close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Blatt 04 - Universität Würzburg

EinbettenHerunterladen
Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. Michael Schönlein, Andreas Wenz,
Mathias Schäffner
WiSe 2014/15
4. Übung zu Gewöhnliche Differentialgleichungen
4.1 Es sei G := J × D ⊆ Rn+1 offen sowie f : G → Rn beschränkt und stetig. Ferner bezeichne
ϕ : (a, b) → D mit (a, b) ⊆ J eine Lösung des Anfangswertproblems
x˙ = f (t, x)
x(t0 ) = x0 .
mit
Zeigen Sie, dass ϕ auf [a, b] stetig fortgesetzt werden kann.
4.2 Betrachten Sie das Anfangswertproblem
x˙ =
exp(x) − x − 2
arctan2 (x) + 1
mit
x(0) = x0 .
(a) Begründen Sie, dass das Anfangswertproblem für alle x0 ∈ R eindeutig lösbar ist.
(b) Es bezeichne ϕ die Lösung des Anfangswertproblems im Fall x0 = 0. Bestimmen Sie das
maximale Existenzintervall von ϕ.
4.3 Berechnen Sie unter Verwendung der Picard-Iteration die Lösung des Anfangswertproblems
x¨ = x
mit
x(0) = 0 und x(0)
˙
= 1.
Transformieren Sie hierzu die vorgelegte Differentialgleichung in ein System erster Ordnung.
4.4 Es seien a, b, c : J → R stetige Funktionen auf einem reellen Intervall J ⊆ R. Eine Differentialgleichung der Form
x(t)
˙
= a(t) + b(t)x(t) + c(t)(x(t))2
heißt Riccati-Gleichung. Die Lösungen lassen sich im Allgemeinen nicht in geschlossener Form
angeben. Kennt man allerdings eine Lösung ϕ, so lassen sich die Übrigen explizit berechnen:
(S1) Schritt 1: Man substituiere z :=
1
x−ϕ
und löse die dadurch entstehende lineare DGL.
(S2) Schritt 2: Eine weitere Lösung der Riccati-Gleichung ist dann gegeben durch ϕ˜ :=
1
z
+ ϕ.
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben:
(a) Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen Riccati- und Bernoulli-Gleichungen und begründen Sie, dass Anfangswertprobleme zu Riccati-Gleichungen eindeutig lösbar sind.
(b) Beweisen Sie, dass die Substitution in (S1) auf eine lineare DGL führt.
(c) Zeigen Sie, dass die Formel aus (S2) tatsächlich die Riccati-Gleichung löst.
(d) Lösen Sie mit der oben beschriebenen Methode das Anfangswertproblem
1
x(0) = .
2
Verifizieren Sie hierfür, dass ϕ = id eine spezielle Lösung der Riccati-Gleichung ist.
x˙ = x2 − (2t + 1)x + t2 + t + 1
mit
Jede Aufgabe wird mit maximal 10 Punkten bewertet.
Abgabe in der Vorlesung am Mittwoch den 05.11.2014 bis 15:59 Uhr.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
6
Dateigröße
307 KB
Tags
1/--Seiten
melden