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Deutsch - IWR - Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg

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Dr. Christian Kirches
Interdisziplin¨
ares Zentrum
f¨
ur Wissenschaftliches Rechnen (IWR)
Ruprecht–Karls–Universit¨
at Heidelberg
24. Oktober 2014
Website zur Vorlesung: http://goo.gl/y9WWnx
Einfu
¨ hrung in die Numerik
WS 2014/2015
¨
2. Ubungsblatt
Aufgabe 2.1 (Ausl¨
oschung und Fehlerrechnung) (4 Punkte)
Ausl¨oschung: Formen Sie folgende Ausdr¨
ucke um, so daß die subtraktive Ausl¨oschung vermieden
werden kann.
a)
−b −
b) ln(x −
√
√
b2 − 4ac /2a, f¨
ur b < 0, |a| und |c|
x2 − 1), f¨
ur x
1,
1.
Fehlerrechnung: Es gelten die Umformungen
√
2−1
6
√
= 3−2 2
3
√
= 99 − 70 2 =
1
√ .
99 + 70 2
√
Wenn man 2 durch die N¨
aherung 1.4 ersetzt und die Rechnungen rundungsfehlerfrei ausf¨
uhrt, was
ergibt sich dann f¨
ur den absoluten Fehler der jeweiligen Ausdr¨
ucke? Welcher Ausdruck liefert den
kleinsten Fehler?
Aufgabe 2.2 (Kondition numerischer Aufgaben) (4 Punkte)
Die Ausdr¨
ucke
1−x
1 − 2x
3x2
a(x) =
−
,
b(x) =
1 + 2x
1+x
(1 + 2x)(1 + x)
stellen f¨
ur x > 0 dieselbe Funktion f (x) dar (nachrechnen!).
a) Wie sieht es mit der Konditionierung der jeweiligen numerischen Aufgaben aus,
den Wert f (x) f¨
ur 0 < |x|
1 aus diesen Darstellungen zu berechnen?
b) Wie w¨
urde man bei der praktischen Auswertung von f (x) f¨
ur 0 < |x|
guter numerischer Stabilit¨
at vorgehen?
1 zur Gew¨ahrleistung
Aufgabe 2.3 (Relativer Fehler bei zentralen finiten Differenzen) (4 Punkte)
(1)
Zu einer stetig differenzierbaren Funktion f (x) betrachten wir Approximation yi der Ableitungswerte f (xi ) an Stellen xi durch zentrale Differenzenquotienten
(1)
f (xi ) ≈ yi
=
f (xi+1 ) − f (xi−1 )
,
xi+1 − xi−1
i = 1, . . . , n − 1.
F¨
ur die Funktion f (x) = x + 1, f¨
ur n + 1 ¨aquidistante Auswertungsstellen xi = ih, i = 0, . . . , n,
n = 103 , h = 1/n, auf dem Intervall [0, 1], und f¨
ur gemessene Funktionswerte yi ≈ f (xi ) mit einem
(1)
relativen Fehler von maximal 0,1% zeige man, dass die N¨aherung yi einen relativen Fehler von bis
zu 100% haben kann.
Hinweis: Konstruieren Sie einen speziellen Messfehler f¨
ur die yi , der die maximale Fehlerfortpflanzung
ausl¨ost.
Aufgabe 2.4 (Lagrange-Polynome) (4 Punkte)
Gegeben seien n + 1 paarweise verschiedene St¨
utzstellen xi ∈ R, i = 0, . . . , n und die zugeh¨origen
(n)
(n)
Lagrange-Polynome Li . Zeigen Sie, dass die Polynome {Li , i = 0, . . . , n} eine Basis des Polynomraums Pn bilden, und dass die folgenden Beziehungen zwischen den Polynomen gelten:
n
(n)
1.
i=0
n
Li (x) = 1,
(n)
2.
i=0
n
xki Li (0) = 0,
(n)
3.
i=0
x ∈ Rn ,
k = 1, . . . , n,
xn+1
Li (0) = (−1)n
i
n
xi .
i=0
Hinweis: Verwenden Sie die Eindeutigkeit des Lagrange’schen Interpolationspolynoms und die Fehlerdarstellung zur Lagrange’schen Interpolationsaufgabe.
Abgabe: Freitag, 31.10.2014, bis 9 Uhr s.t. (Briefk¨
asten in INF 288)
Programmieraufgabe P2 (Newton-Interpolation):
Schreiben Sie zwei Matlab/Octave-Funktionen zur L¨osung der Lagrange’schen Interpolationsaufgabe
mittels der Newton’schen Basispolynome:
a) Eine Funktion NewtonCoeff, die aus gegebenen St¨
utzstellen x0 , . . . , xn und St¨
utzwerten
y0 , . . . , yn die Newton-Koeffizienten a0 , . . . , an unter Verwendung dividierter Differenzen berechnet.
b) Eine Funktion NewtonValue, die f¨
ur ein Newton-Interpolationspolynom p ∈ Pn , das durch
St¨
utzstellen x0 , . . . , xn und Koeffizienten a0 , . . . , an eindeutig dargestellt ist, an einer Stelle x
sowohl den Funktionswert p(x) als auch die Ableitung p (x) mittels der vollst¨andigen HornerSchemas berechnet.
Interpolieren Sie mit NewtonCoeff folgende Funktionen
f (x) =
1
,
1 + x2
g(x) =
|x|,
−1 ≤ x ≤ 1,
jeweils zu den St¨
utzstellen xi = −1 + ih, i = 0, ..., n , mit h = 2/n , f¨
ur n = 5, 10, 15, 20 . Werten
Sie die Interpolationspolynome mit NewtonValue auf einem dichten Gitter (z.B. 1000 Gitterpunkte)
aus, stellen Sie die Ergebnisse graphisch dar und vergleichen Sie sie mit den richtigen“ Funktions”
verl¨aufen.
Abgabe: Mi./Fr., 5./7.11.2014, ab 14/16 Uhr (INF 350, U011/012)
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Gesundheitswesen
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