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3. Übungsblatt zu Analysis 1

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3. Übungsblatt zu Analysis 1
WS 2014/15
für den 22.10.2014
17. Sei b > 0 und x, y ∈ Q. Zeigen Sie, dass gilt: (bx )y = bxy .
18. Bestimmen Sie für die folgenden komplexen Zahlen jeweils den Real- und Imaginärteil:
√
(3 − 7i)(1 + 2i)
1
i
(1 + 3i)2
4 − 3i
2−i
√
19. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung z 9 = −1 − 3 i.
20. Bestimmen und skizzieren Sie folgende Teilmengen von C:
M1 := {z ∈ C : |i − 2 − 3z| = |z − 5 + 3i|}
M2 := {z ∈ C : 3i + 2|z| = 1}
Bestimmen Sie weiters d ∈ R, so dass
M3 :=
z ∈ C\{5} :
i−z
=d
z−5
eine Gerade ist und skizzieren Sie diese.
21. Sei X ein euklidischer Vektorraum über R mit der Norm · :=
Sie die Parallelogrammgleichung
∀x, y ∈ X : x + y
2
+ x−y
2
= 2( x
2
·, · . Zeigen
+ y 2)
und fertigen Sie eine erklärende Skizze für X = R2 an.
22. Sei (V, · ) ein normierter Vektorraum. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) ∀x, y ∈ V : | x − y | ≤ x − y
(b) ∀x, y ∈ V : x − y ≤ x + y
23. Für x = (x1 , x2 ) ∈ R2 sei
m(x) := max
4
|x |
3 1
+ 21 |x2 |, 35 |x2 | .
Ist m eine Norm auf R2 ? Falls ja, skizzieren Sie die Einheitskugel
{x ∈ R2 : m(x) ≤ 1} .
24. Sei M ein metrischer Raum mit der Metrik d. Zeigen Sie, dass für je vier Punkte
a, b, e, f die Vierecksungleichung
|d(a, b) − d(e, f )| ≤ d(a, e) + d(b, f )
gilt.
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Gesundheitswesen
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