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Kurzskript - TU Dortmund

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Analysis III
Kurzskript — Definitionen und Sätze
TU Dortmund, Wintersemester 2014/15
Ben Schweizer
Version vom 18.11.2014
Inhaltsverzeichnis
I. Das Lebesgue-Integral
3
1. Das Lebesgue-Maß
4
2. Das Lebesgue-Integral
7
3. Integralsätze
3.1. Konvergenzsätze . .
3.2. Satz von Fubini . .
3.3. Substitutionsformel
3.4. Lp -Räume . . . . .
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II. Hilberträume und Fourierreihen
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10
10
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11
12
14
4. Hilberträume
15
4.1. Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Basis eines Hilbertraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. Fourier-Reihen
18
5.1. Das Fourier-Orthonormalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2. Punktweise Konvergenz und Ff = f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
III. Flächenintegrale und Integralsätze
21
6. Integration über Untermannigfaltigkeiten
22
6.1. Integrale über Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2. Integrale über Untermannigfaltigkeiten mit globaler Karte . . . . . . . . 22
6.3. Integration über beliebige Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 23
7. Der Satz von Gauß
24
7.1. Der Gauß’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2. Folgerungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8. Differentialformen
26
8.1. 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.2. k-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Teil I.
Das Lebesgue-Integral
3
1. Das Lebesgue-Maß
Definition 1.1 (Eigenschaften eines Inhalts) Eine Inhaltsfunktion I ordnet einer
Menge M ⊂ Rn einen Inhalt zu. Von I : M −→ I(M ) := |M | erwarten wir
(I1) |M | ≥ 0
(Positivität)
(I2) M kongruent zu N =⇒ |M | = |N |
(Bewegungsinvarianz)
(I3) I([0, 1]n ) = 1
(Normierung)
(I4) M ∩ N = ∅ =⇒ |M ∪ N | = |M | + |N |
(Additivität)
Wir erinnern: M kongruent zu N heißt: Es gibt einen Vektor b ∈ Rn und eine Matrix
R ∈ SO(n) ⊂ Rn×n , so dass N = b + R M .
Definition 1.2 (Inhalt von Intervallen und Intervallsummen) Ein n-dimensionales Intervall ist das n-fache kartesische Produkt beschränkter Intervalle (aj , bj ) oder
(aj , bj ] oder [aj , bj ) oder [aj , bj ] mit aj ≤ bj ∈ R.
Für ein n-dimensionales Intervall I setzen wir
n
|I| :=
(bj − aj ).
j=1
Eine endliche Intervallsumme ist eine Menge S =
disjunkte Intervallsummen S setzen wir |S| := N
k=1 |Ik |.
N
k=1 Ik
mit Intervallen Ik . Für
Wir bemerken, dass durch Vergrößerung der Anzahl der Intervalle jede endliche Intervallsumme als disjunkte Intervallsumme geschrieben werden kann. Daher ist mit Definition 1.2 für alle Intervallsummen S ein Inhalt |S| definiert.
Definition 1.3 (Jordan-Inhalt) Wir nennen für M ⊂ Rn
|M |i := sup{|S| : S ⊂ M, S endliche Intervallsumme},
|M |a := inf{|S| : S ⊃ M, S endliche Intervallsumme}.
Eine Menge M heißt Jordan-messbar falls |M |i = |M |a .
In diesem Fall nennen wir |M | := |M |a den Jordan-Inhalt.
Der Jordan-Inhalt wird manchmal auch als Riemann-Inhalt bezeichnet.
Satz 1.4 (Der Jordan-Inhalt ist ein Inhalt) Für Jordan-messbare Mengen M und
N sind die Mengen M ∪N , M ∩N und M \N ebenfalls Jordan-messbar. Das Jordan-Maß
erfüllt die Eigenschaften (I1) bis (I4).
4
Warnung zu Satz 1.4: Der Jordan-Inhalt erfüllt zwar die Eigenschaften einer Inhaltsfunktion, aber er kann lediglich den Jordan-messbaren Mengen einen Inhalt zuordnen.
Definition 1.5 (Äußeres Lebesgue-Maß) Einer Menge A ⊂ Rn ordnen wir zu:
∞
∞
|Ik | A ⊂
λ(A) := inf
k=1
Eine Menge
∞
k=1 Ik
Ik
.
k=1
nennen wir abzählbare Intervallsumme.
Bemerkung: Für (endliche) Intervallsummen S ⊂ Rn gilt: λ(S) = |S|.
Lemma 1.6 (Offene Mengen als Intervallsummen) Jede offene Menge G ⊂ Rn
läßt sich als abzählbare Intervallsumme darstellen. Genauer sogar als
∞
G=
Ik
k=1
mit paarweise disjunkten Intervallen Ik ⊂ Rn , die I k ⊂ G erfüllen.
Definition 1.7 (Rechnen in R) Wir setzen R := [−∞, ∞] = R ∪ {±∞}.
Für alle a ∈ R setzen wir
a + ∞ = ∞,
a − ∞ = −∞,
∞ + ∞ = ∞,
−∞ − ∞ = −∞.
Für a ∈ (0, ∞] setzen wir a · ∞ = ∞, a · (−∞) = −∞ und für a ∈ [−∞, 0) setzen wir
a · ∞ = −∞, a · (−∞) = ∞. Für die Integrationstheorie setzen wir zusätzlich
0 · ∞ := 0,
0 · (−∞) := 0.
Weiterhin nicht definiert bleiben ∞ − ∞ und
∞
.
∞
Definition 1.8 (Äußeres Maß) Eine Abbildung λ : P(Rn ) → R heißt äußeres Maß
auf Rn , falls für beliebige Mengen A, B, Ai ⊂ Rn folgendes gilt:
(A1) 0 ≤ λ(A) ≤ ∞ und λ(∅) = 0
(Positivität)
(A2) A ⊂ B =⇒ λ(A) ≤ λ(B)
(Monotonie)
(A3) Ist (Ai )i eine abzählbare Familie, so gilt
λ
Ai
i
(σ-Subadditivität)
≤
λ(Ai )
i
Satz 1.9 (Eigenschaften von λ) Die Abbildung λ : P(Rn ) → R aus Definition 1.5
ist ein äußeres Maß auf Rn , das äußere Lebesgue-Maß.
Das äußere Lebesgue-Maß erfüllt, zusätzlich zu (A1)–(A3) aus Definition 1.8:
5
4. Mit dem Jordan-Inhalt |.|i und |.|a gilt
|A|i ≤ λ(A) ≤ |A|a .
Insbesondere stimmt λ(A) mit |A| für Jordan-messbare Mengen überein.
5. λ ist bewegungsinvariant und normiert.
Definition 1.10 (Nullmenge) Eine Menge A ⊂ Rn mit λ(A) = 0 heißt (Lebesgue-)
Nullmenge.
Notation: Sei P eine Eigenschaft von Parametern x, also P (x) ∈ {wahr, falsch} für alle
x ∈ Ω ⊂ Rn . Dann sagen wir “P ist wahr fast überall” :⇐⇒ es existiert eine Nullmenge
N ⊂ Rn , so dass P (x) = wahr für alle x ∈ N .
Definition 1.11 (Lebesgue-messbar) Eine Menge A ⊂ Rn heißt Lebesgue-messbar
(wir schreiben A ∈ L) genau dann, wenn
λ(Σ) = λ(Σ ∩ A) + λ Σ ∩ A
für alle Σ ⊂ Rn . Hierbei ist A := Rn \ A das Komplement von A in Rn .
Definition 1.12 (σ-Algebra) Ein System L ⊂ P(Rn ) von Teilmengen des Rn heißt
σ-Algebra in Rn , falls
(S1) ∅ ∈ L
(S2) M ∈ L =⇒ M ∈ L
(S3) Mk ∈ L, k ∈ N =⇒
k∈N
Mk ∈ L
Satz 1.13 (Lebesgue-σ-Algebra) Das System L der Lebesgue-messbaren Teilmengen
des Rn bildet eine σ-Algebra in Rn . Zusätzlich zu (S1)–(S3) aus Definition 1.12 gilt:
4. L enthält alle Nullmengen
5. L enthält alle Jordan-messbaren Mengen
6. L enthält alle offenen Mengen
Satz 1.14 (Lebesgue-Maßraum) Das Tripel (Rn , L, λ) ist ein Maßraum, das heißt
1. L ist eine σ-Algebra in Rn und
2. Die Abbildung λ : L −→ [0, ∞] erfüllt
λ(∅) = 0
und
λ
Ak
k∈N
λ(Ak ) falls Ak ∩ Am = ∅ ∀k = m.
=
k∈N
Zusätzlich ist λ bewegungsinvariant und normiert.
6
2. Das Lebesgue-Integral
Definition 2.1 (Messbarkeit einer Funktion) Eine Funktion f : Ω −→ R heißt
messbar, falls
{f < α} := {x ∈ Ω|f (x) < α}
messbar ist für alle α ∈ R.
Satz 2.2 (Viele messbare Funktionen) Sei Ω ∈ L. Dann gilt für f : Ω → R.
a) f ist stetig =⇒ f ist messbar
b) g messbar, f = g fast überall =⇒ f messbar
c) Seien fk : Ω −→ R messbar (für alle k ∈ N) =⇒ f := supk fk ist messbar.
Ebenso sind auch das Infimum, der Limes-Superior und der Limes-Inferior messbarer Funktionen erneut messbar.
d) Sind fk : Ω −→ R für alle k ∈ N messbar und existiert f (x) := limk fk (x) fast
überall, so ist f ebenfalls messbar.
Bemerkung 2.3 Sei f : Ω → R messbar. Dann gibt es fk : Ω → R so dass
(i) fk nur endlich viele Werte annimmt (Treppenfunktion bzw. einfache Funktion)
(ii) fk ist messbar
(iii) fk (x) → f (x) für alle x ∈ Ω.
Im Falle f ≥ 0 kann fk+1 ≥ fk erreicht werden.
Satz 2.4 Seien f, g : Ω −→ R messbar und α ∈ R. Dann sind auch
f + := max{f, 0},
f − := max{−f, 0},
|f |,
α f,
f + g, und f g
messbar. Mit diesen Definitionen gilt f = f + − f − . Wir nehmen dabei an, dass in f + g
nicht +∞ − ∞ vorkommt.
Satz 2.5 Seien f1 , ..., fN : Ω −→ R messbar und ϕ : Rn −→ R stetig. Dann ist auch
ϕ ◦ (f1 , ..., fN ) : Ω −→ R messbar.
Eine Funktion ist messbar, wenn das Urbild offener Mengen messbar ist.
Definition 2.6 (Integral) Sei Ω ⊂ Rn messbar und f : Ω → R messbar.
7
a) Sei f eine einfache Funktion, also: Ω = K
k=1 Ωk mit Ωk = {f = tk } und f (x) =
K
k=1 tk 1Ωk (x). Das Integral der einfachen Funktion f ist definiert durch
K
f :=
Ω
K
tk |{f = tk }|.
tk λ(Ωk ) =
k=1
k=1
b) Sei f ≥ 0. Wir wählen einfache Funktionen fK wie in Bemerkung 2.3 mit fK
Das Integral der Funktion f ist gegeben durch
f :=
fK ∈ [0, ∞].
f (x) dx := lim
Ω
K
Ω
f.
Ω
c) Ein allgemeines f heißt (Lebesgue-) integrierbar, falls
f− < ∞ .
f + < ∞ und
Ω
Ω
Wir schreiben dann f ∈ L1 (Ω) und setzen
Ω
f − ∈ R.
f+ −
f :=
Ω
Ω
Notation: Für f ∈ L1 (Ω) bezeichnen wir das Lebesgue-Integral mit einem der folgenden Ausdrücke:
f dx.
f (x) dx =
f=
f=
Ω
Ω
Ω
Bemerkung 2.7 (i) Monotonie für einfache Funktionen: Sind g und h einfach mit
g ≤ h, so gilt g ≤ h.
(ii) Wohldefiniertheit I: Für f ≥ 0 ist die Folge
existiert der Limes in [0, ∞].
fK monoton wachsend in K. Daher
(iii) Wohldefiniertheit II: Das Integral ist unabhängig von der Wahl der Folge fK : Es
gelte f ≥ 0 und 0 ≤ fK
f und 0 ≤ fK
f für einfache Funktionen fK und
fK . Dann gilt
lim
K
fK = lim
K
fK .
(iv) Ist f ∈ L1 (Ω), so folgt |{|f | = ∞}| = 0.
(v) f Riemann-integrierbar über Ω := (a, b) mit −∞ < a < b < ∞ =⇒ f ist Lintegrierbar und es gilt
L−
f =R−
Ω
f.
Ω
Satz 2.8 (Eigenschaften des Integrals) Sei Ω messbar und f : Ω → R.
a) f ∈ L1 (Ω) ⇐⇒ f + , f − ∈ L1 (Ω) ⇐⇒ f ist messbar und
8
Ω
|f | < ∞.
b) Seien f, g ∈ L1 (Ω) mit f ≤ g. Es gilt
f≤
g
(Monotonie)
c) Seien f, g ∈ L1 (Ω), α ∈ R. Dann sind auch f + g und α f ∈ L1 (Ω) und es gilt:
(f + g) = f + g und (αf ) = α f
(Linearität)
d) Gilt Ω =
∈N
Ω für messbare und disjunkte Teilmengen Ω , so gilt
Ω
f=
Ω
f
(Zerlegungseigenschaft)
e) Es gelte f = g fast überall, g ∈ L1 (Ω). Dann gilt auch f ∈ L1 (Ω) und
f=
g.
Ist |f | ≤ g ∈ L1 (Ω) und f messbar, so ist f ∈ L1 (Ω).
f ∈ L1 (Ω) =⇒
Ω
f ≤
Ω
|f |.
(Dreiecksungleichung)
Bemerkung 2.9 Sei f ∈ L1 (Ω). Dann gilt:
(i) Falls f ≥ 0 und
f = 0, so gilt f = 0 fast überall
(ii) Sind Ω ⊂ Ω messbar mit |Ω | → 0, so gilt
Ω
f → 0.
Definition 2.10 Wir wollen nun den Raum L1 (Ω) definieren. Wir haben bereits fest¯ (mit endlichem Integral des Betrags) ein
gelegt, dass jede messbare Funktion f : Ω → R
1
¯
Element von L (Ω). Wir wollen aber nun festlegen, dass wir alle Funktionen g : Ω → R,
die mit f fast überall übereinstimmen, mit f identifizieren.
Formal definiert man: L1 (Ω) := {f : f messbar mit |f | integrabel}. Auf L1 (Ω) definiert
man eine Äquivalenzrelation ∼ durch f ∼ g :⇐⇒ f (x) = g(x) für fast alle x. Damit
setzt man
L1 (Ω) = L1 (Ω)/ ∼ ,
den Raum aller Äquivalenzklassen bezüglich Übereinstimmung fast überall.
Definition 2.11 (Funktionen mit Werten in Rm ) Für Ω ⊂ Rn , Ω ∈ L und f :
Ω −→ Rm setzen wir
f messbar :⇐⇒ fj messbar für alle j = 1, ..., m,
f ∈ L1 (Ω) :⇐⇒ fj ∈ L1 (Ω) für alle j
f :=
f1 , . . . ,
fm
Es gilt f ∈ L1 (Ω) ⇐⇒ f ∈ L1 und die Dreiecksungleichung
9
≤
f
Ω
Rm
f
Ω
Rm .
3. Integralsätze
3.1. Konvergenzsätze
Lemma 3.1 (Beppo Levi) Seien fk , f : Ω → R mit fk ≥ 0 messbar und fk (x)
monoton konvergent für jedes x ∈ Ω. Dann gilt
f = lim
k→∞
f (x)
fk .
Ω
Insbesondere: Ist die rechte Seite endlich, so gilt f ∈ L1 (Ω).
Satz 3.2 (Monotone Konvergenz) Seien fk ∈ L1 (Ω) mit fk
f → ∞. Dann gilt f ∈ L1 (Ω) und
Ω k
fk .
f = lim
k→∞
Ω
f monoton und
Ω
Satz 3.3 (Satz von Lebesgue/Majorisierte Konvergenz) Seien fk : Ω → R
messbare Funktionen mit |fk (x)| ≤ g(x) für alle x ∈ Ω und k ∈ N mit g ∈ L1 (Ω).
fk (x) −→: f (x) existiere für fast alle x ∈ Ω. Dann gilt
f = lim
Ω
k→∞
fk .
Ω
Satz 3.4 (Lemma von Fatou) Seien fk : Ω −→ R messbar mit fk ≥ 0. Dann gilt
lim inf fk ≤ lim inf
Ω k→∞
k→∞
fk .
Ω
3.2. Satz von Fubini
Satz 3.5 (Fubini für f ≥ 0) Sei f : Rn → [0, ∞] messbar. Dann:
(a) f (., y) : x −→ f (x, y) ist messbar in Rp für fast alle y ∈ Rn−p
(b) F (y) :=
Rp
f (x, y) dx ist fast überall definiert und messbar
(c) Es gilt
f (z) dz =
Rn
F (y) dy =
Rn−p
f (x, y) dxdy.
Rn−p
Rp
Satz 3.6 (Prinzip von Cavalieri) Sei A ⊂ Ω messbar. Für y ∈ Rq betrachten wir
den „Schnitt“ Ay := {x ∈ Rp : (x, y) ∈ A}. Dann gilt
10
(a) Ay ist messbar für fast alle y ∈ Rq
(b) F : Rq → R, F (y) := λp (Ay ) ist messbar
(c) Es gilt λn (A) =
Rq
λp (Ay ) dy.
Satz 3.7 (Fubini) Sei f : Rn = Rq × Rp −→ R messbar. Falls
|f (z)| dz < ∞ oder
|f (x, y)| dx
Rn
Rq
dy < ∞,
Rp
dann gilt
f (x, y) dx dy.
f dz =
Rn
Rq
Rp
3.3. Substitutionsformel
Lemma 3.8 (Lineare Transformation von Würfeln) Sei A ∈ Rn×n und W =
(0, 1)n . Setze α := |A|WW|a|a = |A W |. Ist V ⊂ Rn Jordan-messbar, dann ist auch A V
Jordan-messbar und es gilt
|A V | = α |V |.
Satz 3.9 (Bestimmung des Volumenfaktors) Sei A ∈ Rn×n und V ⊂ Rn Jordanmessbar. Dann ist A V Jordan messbar und es gilt
|A V | = | det(A)| |V |.
Lemma 3.10 (Volumenabschätzung von Sard) Sei W ⊂ Rn ein abgeschlossener
Würfel und Φ ∈ C 1 (W, Rn ). Dann gilt
| det(DΦ(x))| dx.
|Φ(W )| ≤
W
Satz 3.11 (Substitutionsformel) Sei Ω ⊂ Rn offen und Φ : Ω −→ Rn injektiv, in C 1
mit det(DΦ) = 0 in Ω. Für f : Φ(Ω) −→ R ist
f integrierbar ⇐⇒ (f ◦ Φ) | det(DΦ)| integrierbar
und es gilt
f ◦ Φ | det(DΦ)|.
f=
Φ(Ω)
Ω
11
3.4. Lp-Räume
Sei p ∈ [1, ∞), Ω ⊂ Rn messbar und f : Ω → R messbar. Wir definieren
f
Lp
1
p
p
|f (x)| dx
:=
.
Ω
Dies ist wohldefiniert (eventuell mit dem Wert +∞).
Definition 3.12 Wir definieren einen Vektorraum von Funktionen durch
Lp (Ω) := {f : Ω → R |f messbar mit f
Lp
< ∞} .
Bemerkung: Streng genommen ist auch Lp (Ω) ein Raum von Äquivalenzklassen, bei
dem zwei Funktionen identifiziert werden, wenn sie punktweise fast überall übereinstimmen.
Lemma 3.13 (Young-Ungleichung) Für a, b ∈ R, a, b > 0 und Exponenten p, q ∈
(1, ∞) mit
1 1
1
1
+ =1
gilt
a b ≤ ap + b q .
(3.1)
p q
p
q
Lemma 3.14 (Hölder-Ungleichung) Sei f ∈ Lp (Ω) und g ∈ Lp (Ω) mit
Dann gilt f g ∈ L1 (Ω) und
p
1
p
p
|g|
|f |
|f g| ≤
+
1
p
= 1.
1
p
.
Ω
Ω
Ω
1
p
Lemma 3.15 (Minkowski-Ungleichung) Seien f, g ∈ Lp (Ω) mit p ∈ [1, ∞). Dann
ist f + g ∈ Lp (Ω) und es gilt
f +g
Lp (Ω)
≤ f
Lp (Ω)
+ g
Lp (Ω) .
Satz 3.16 (Der Banachraum Lp (Ω)) Sei p ∈ [1, ∞) und Ω ⊂ Rn messbar. Dann ist
Lp (Ω) ein Banachraum.
Satz 3.17 (Der Hilbertraum L2 (Ω)) Sei Ω ⊂ Rn messbar. Dann ist L2 (Ω) ein Hilbertraum.
Satz 3.18 (Parameterabhängige Integrale) Sei G ⊂ Rm offen, Ω ⊂ Rn messbar,
k ≥ 0 und f : G × Ω −→ R. Weiterhin gelte:
1. f (λ, .) ist messbar für alle λ ∈ G
2. f (., x) ∈ C k für fast alle x ∈ Ω
3. es gibt eine Majorante F ∈ L1 (Ω) mit
|Dλk f (λ, x)| ≤ F (x)
für alle λ ∈ G und fast alle x ∈ Ω.
12
Dann ist G
λ −→
Ω
f (λ, x) dx k-mal stetig differenzierbar und es gilt
∂k
∂λk
f (λ, x) dx =
Ω
Ω
∂k
f (λ, x) dx.
∂λk
Satz 3.19 (Starke Konvergenz und punktweise Konvergenz) Sei fk → f in
L1 (Ω) für k → ∞. Dann existiert eine Teilfolge ki mit fki (x) → f (x) für fast alle
x ∈ Ω.
Satz 3.20 (Dichtheit) C0∞ (Rn ) liegt dicht in Lp (Rn ). Dies bedeutet, dass für alle f ∈
Lp (Rn ) und beliebiges ε > 0 ein fε ∈ C0∞ (Rn ) existiert, so dass f − fε Lp ≤ ε.
13
Teil II.
Hilberträume und Fourierreihen
14
4. Hilberträume
Hilberträume und Banachräume sind vollständige normierte Vektorräume über R oder
über C. Schreibe K für R oder C.
Ein Banachraum H heißt Hilbertraum, falls ein Skalarprodulkt , : H × H −→ K
existiert mit u, u : u 2 .
Seien B1 und B2 Banachräume. Ein linearer Operator T : B1 −→ B2 ist eine lineare
Abbildung T : B1 −→ B2 .
T heißt beschränkt :⇐⇒ es existiert ein C ∈ R, so dass
Tx
B2
≤C x
B1
für alle x ∈ B1 gilt.
Sei T ein linearer Operator. Dann ist T beschränkt ⇐⇒ T ist stetig.
Ist B1 endlichdimensional, so ist jeder linearer Operator B1 −→ B2 beschränkt.
Ein linearer Operator T : B1 −→ B2 heißt Isomorphismus, falls T bijektiv ist und
sowohl T als auch T −1 beschränkt sind.
Für Hilberträume H1 und H2 heißt T : H1 −→ H2 isometrisch (oder unitär), falls
T x, T y
H2
= x, y
H1
für alle x, y ∈ H1 gilt.
T heißt Hilbertraumisomorphimus :⇐⇒ T ist Isomorphismus und isometrisch.
4.1. Projektionen
Definition 4.1 (orthogonales Komplement) Sei V ein Teilraum eines Hilbertraums
H. Dann ist
V ⊥ := {x ∈ H : x, f H = 0 ∀f ∈ V }
das orthogonale Komplement von V in H.
Satz 4.2 (Projektionssatz) Sei H ein Hilbertraum, V ein abgeschlossener Teilraum.
Dann gibt es zu jedem x ∈ H genau ein v ∈ V , so dass
x − v = min{ x − ϕ : ϕ ∈ V }.
Setze w := x − v. Dann ist x = v + w mit v ∈ V und w ∈ V ⊥ .
Die Zerlegung ist eindeutig, also H = V ⊕ V ⊥ .
Wir nennen die Abbildung P : H −→ H, P : x −→ v = P x Projektion auf V .
15
Satz 4.3 Sei H ein Hilbertraum, V = {0} ein abgeschlossener Teilraum, P : H −→ H
die orthogonale Projektion auf V . Dann ist P linear, beschränkt mit P = 1, P 2 = P
und
P x, y = x, P y
(Orthogonalität).
Satz 4.4 Sei H ein Hilbertraum, P : H −→ H eine lineare Abbildung mit P 2 = P
und P x, y = x, P y für alle x, y ∈ H. Dann ist V := Bild(P ) ein abgeschlossener
Teilraum von H und P ist die orthogonale Projektion auf V .
Definition 4.5 (Dualraum) Eine beschränkte, lineare Abbildung F : H −→ R (oder
C) heißt auch Funktional.
Wir setzen F := sup{|F (x)| : x = 1, x ∈ H}.
Der Raum
H := {F : H −→ K, linear, F < ∞}
heißt Dualraum von H.
Satz 4.6 (Darstellungssatz von Riesz (-Fréchet)) Sei H ein Hilbertraum. Zu jedem F ∈ H existiert ein f ∈ H mit
für alle g ∈ H.
F g = g, f
4.2. Basis eines Hilbertraums
Sei H ein komplexer Hilbertraum.
Definition 4.7 (Orthonormalsystem und Basis) Sei H ein Hilbertraum. Eine Folge (ek )k∈N mit ek ∈ H für alle k heißt Orthonormalsystem in H, falls für alle m, ∈ N:
em , e
= δm .
(ek ) heißt Basis, falls für jedes u ∈ H eine Folge (ak )k∈N existiert mit ak ∈ K und
N
u = lim
N →∞
ak e k .
k=1
Ist (ek ) eine Basis und Orthonormalsystem, so nennen wir ek ein vollständiges Orthonormalsystem.
Definition 4.8 (Fourier-Koeffizient) Sei (ek )k∈N ein Orthonormalsystem im Hilbertraum H. Zu u ∈ H bezeichnet
ck := u, ek
für alle k ∈ N
den k-ten Fourier-Koeffizienten von u bzgl. (ek )k .
16
Satz 4.9 (Bessel’sche Ungleichung) Sei (ek ) ein Orthonormalsystem und u ∈ H, ck
die Fourier-Koeffizienten und (ak ) eine beliebige Folge in C. Dann gilt für N ∈ N:
2
N
u−
ak uk
N
2
= u
N
2
−
k=1
|ak − ck |2 .
|ck | +
k=1
k=1
Es gilt die Bessel’sche Ungleichung
N
|ck |2 ≤ u 2 ,
k=1
das heißt (ck )k∈N ∈
2
(N, C).
Satz 4.10 Sei (ek ) ein Orthonormalsystem in H und ck die jeweiligen FourierKoeffizienten. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
a) (ek ) ist vollständiges Orthonormalsystem.
b) Für eine dichte Teilmenge M ⊂ H gilt
∞
ck ek für alle u ∈ M.
u=
k=1
c) Für alle u ∈ H gilt
u, ek = 0 für alle k =⇒ u = 0.
d) Für alle u ∈ H gilt die Parseval-Relation
∞
u
2
|ck |2 .
=
k=1
e) Für alle u, v ∈ H
∞
ck d k
u, v =
k=1
für ck = u, ek und dk = v, ek .
Satz 4.11 Sei (ek ) ein vollständiges Orthonormalsystem. Dann ist die Koeffizientendarstellung
J
H u ←→ (ck ) ∈ 2 (N, C)
ein Hilbertraum-Isomorphimus.
Definition 4.12 (separabel) Ein Hilbertraum heißt separabel, falls eine abzählbare,
dichte Teilmenge existiert.
Satz 4.13 H besitzt ein vollständiges Orthonormalsystem ⇐⇒ H ist separbel.
17
5. Fourier-Reihen
Wir setzen H := L2π := L2 ((−π, π), C).
5.1. Das Fourier-Orthonormalsystem
Definition 5.1 (Fourier-Orthnormalsystem) Setze ek (x) :=
L2π für alle k ∈ Z.
Zu f ∈ L2π definieren wir die Fourier-Koeffizienten als
π
ck := ck (f ) := f, ek =
1
f (x)ek (x) dx = √
2π
−π
√1 eikx .
2π
Dann ist ek ∈
π
f (x)e−ikx dx.
−π
Die Fourier-Reihe ist
Ff (x) :=
1
ck ek (x) = √
2π
k∈Z
ck eikx .
k∈Z
Satz 5.2 Sei f : R −→ C zweimal stetig differenzierbar und 2π-periodisch. Identifiziere
f : (−π, π) −→ C mit den zugehörigen Fourier-Koeffizienten ck .
a) Es gilt
ck (f ) = ikck (f )
b) Es gilt |ck (f )| ≤
Es gilt
C(f )
k2
und die Reihe
und
ck (f ) = −k 2 ck (f ).
k∈Z ck ek (x)
Ff (x) =
konvergiert für alle x ∈ [−π, π].
ck ek (x)
k∈Z
für alle x.
Satz 5.3 Die Familie {ek } bildet ein vollständiges Orthonormalsystem von L2π =
L2 ((−π, π), C).
Für alle f ∈ L2π gilt
1
f (x) = √
ck (f )eikx in L2π .
2π k∈Z
Es gilt weiterhin
π
f
2
L2
|f (x)|2 dx =
=
−π
|ck |2 .
k∈Z
Beweis: Der Beweis verwendet den Satz 4.10 „b) =⇒ a)“ und den noch folgenden
Satz 5.6.
18
Satz 5.4 Jedes f ∈ L2π,R := L2 ((−π, π), R) lässt sich schreiben als
∞
∞
1
f (x) = a0 +
ak cos(kx) +
bk sin(kx).
2
k=1
k=1
Diese Reihen konvergieren in L2π,R . Dabei gilt für die Koeffizienten
1 π
2c0
a0 = √ =
f (x) dx,
π −π
2π
1 π
2Re (ck )
√
f (x) cos(kx) dx,
=
ak =
π −π
2π
2Im (ck )
1 π
bk = − √
=
f (x) sin(kx) dx.
π −π
2π
Es gilt die Parseval-Relation:
∞
π
|f (x)|2 dx =
−π
|ck |2 = |c0 |2 + 2
k∈Z
bzw.
1
π
|Re (ck )|2 + |Im (ck )|2
k=1
∞
π
1
|f (x)| dx = a20 +
(a2k + b2k ).
2
−π
k=1
2
5.2. Punktweise Konvergenz und Ff = f
Lemma 5.5 Sei f ∈ L2π , so dass die Funktion g : x −→
f (x)
x
in L2π ist. Dann gilt
!
ck (f ) ek (0) = 0.
Ff (0) =
k∈Z
= √1 ∀k
2π
Insbesondere ist damit Ff (0) = f (0), das heißt es gilt Ff = f in 0.
Satz 5.6 (Punktweise Konvergenz für C 1 -Funktionen) Sei f : R −→ C eine 2πperiodische C 1 -Funktion. Dann existiert
1
Ff (x) = lim √
N →∞
2π
N
ck (f )eikx
∀x ∈ R
k=−N
und es gilt f (x) = Ff (x) für alle x ∈ R.
Satz 5.7 Sei Q = (−π, π)n ⊂ Rn , ek (x) =
(k1 , ..., kn ) ∈ Zn setze
ek (x) := ek1 (x1 ) ... ekn (xn ) = √
eikx
√
2π
1
ik x
,
ne
2π
19
für alle x ∈ (−π, π). Für k =
x = (x1 , ..., xn ) .
Dann bildet (ek )k∈Zn ein vollständiges Orthonormalsystem von L2 ((−π, π)n ) = L2 (Q).
Insbesondere hat jedes f ∈ L2 (Q) die Darstellung
1
f (x) = √ n
2π
mit ck = √
1
n
2π
ck eik x
k∈Zn
f (x)e−ik x dx. Die Reihe konvergiert in L2 (Q).
Q
Satz 5.8 (Weierstraß) Es gibt eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion f :
[0, 1] −→ R.
20
Teil III.
Flächenintegrale und Integralsätze
21
6. Integration über
Untermannigfaltigkeiten
6.1. Integrale über Graphen
Definition 6.1 (k-dimensionale Fläche für Graphen) Sei D ⊂ Rk offen, ϕ :
x
D −→ R stetig differenzierbar. Sei weiter Φ : D −→ Rk+1 , x −→
, Γ = Φ(D).
ϕ(x)
Dann ist die k-dimensionale Fläche von Γ gegeben durch
1 + |∇ϕ|2 .
V olk (Γ) =
D
Für f : Γ −→ R setzen wir
f dHk :=
f :=
f (Φ(x))
Γ
Γ
1 + |∇ϕ(x)|2 dx.
D
Example 1 (Kugeloberfläche) Sei D = B1 (0) und ϕ(x) :=
V ol2 (∂B1 (0) ⊂ R3 ) = 4 π.
1 − |x|2 . Dann ist
6.2. Integrale über Untermannigfaltigkeiten mit
globaler Karte
Definition 6.2 Sei D ⊂ Rk offen, Φ : D −→ Rn sei injektiv und C 1 , setze Γ := Φ(D).
Definiere den Maßtensor G := (gij )i,j≤k , gi,j (x) := ∂i Φ(x), ∂j Φ(x) . Dann ist G =
DΦ DΦ ∈ Rk×k . Die Gram’sche Determinanten sei g(x) := det(G). Dann ist
V olk (Γ) :=
1 :=
Γ
g(x) dx.
D
Für f : Γ −→ R ist
f :=
Γ
f dS :=
Γ
f (Φ(x))
g(x) dx.
D
Diese Definition ist unabhängig von der Parametrisierung.
Φ
Example 2 Sei S 2 = ∂B1 (0) ⊂ R3 und Φ : (0, π) × (0, 2π) =: R −→ R3 , (ϑ, ϕ) −→
(cos(ϕ) sin(ϑ), sin(ϕ) sin(ϑ), cos(ϑ)). Dann ist
1=
S2
sin(θ) dθ dϕ = 4 π.
R
22
Verhalten bei Streckung
Für r > 0 sei θr : Rn −→ Rn , x −→ rx. Ist Γ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit,
so ist auch θk Γ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und es gilt
V olk (θr Γ) = rk V olk (Γ).
Example 3 Sei I = (a, b) ⊂ R und R : I −→ (0, ∞) der Radius. Für die Rotationsfäche
Γ = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ I, |(y, z)| = R(x)} gilt
b
V ol2 (Γ) =
2 πR(x)
1 + |R (x)|2 dx.
a
6.3. Integration über beliebige
Untermannigfaltigkeiten
Sei f : Rn −→ R. Der Träger von f ist definiert als
Träger(f ) := supp(f ) := {x : f (x) = 0}.
Sei U ⊂ Rn offen und f : U −→ R. Wir schreiben f ∈ Cc (U ), genau dann, wenn
supp(f ) ⊂ U gilt.
Sei Γ ⊂ Rn eine kompakte Untermannigfaltigkeit mit dim (Γ) = k. Dann ist Γ ⊂
N
k
j=1 Uj mit offenen Teilmengen Uj ⊂ R . Zu Uj suchen wir eine Teilung der Eins,
also Funktionen ϕj : Rn −→ [0, 1] mit ϕj ≡ 0 auf Rn \ Uj , ϕj ∈ C ∞ und N
j=1 ϕj (x) = 1
für alle x ∈ Γ.
Satz 6.3 Sei K ⊂ U ⊂ Rn mit U offen und K kompakt. Dann gibt es eine Funktion
ϕ : U −→ [0, 1], ϕ ∈ Cc∞ (U ) mit ϕ ≡ 1 auf K.
Corollar 6.4 (Abschneiden) Sei K ⊂ U ⊂ Rn , K kompakt, U offen und f ∈ C k (U ).
Dann gibt es ein f˜ ∈ Cck (U ) mit f˜ = f auf K.
Lemma 6.5 (Lebesgue’sches Lemma) Sei A ⊂ Rn kompakt und (Uj )j∈J eine Familie offener Mengen mit A ⊂ j∈J Uj . Dann existiert eine Lebesgue’sche Zahl λ > 0, so
dass für alle K ⊂ Rn mit diam(K) ≤ λ und K ∩ A = ∅ ein j ∈ J existiert mit K ⊂ Uj .
n
Satz 6.6 Sei Γ ⊂ Rn kompakt, Γ ⊂ N
j=1 Uj mit Uj ⊂ R offen. Dann gibt es eine
zugehörige Teilung der Eins, also ϕj ∈ Cc∞ (Uj ) mit
N
ϕj (x) ≡ 1 auf Γ.
j=1
Definition 6.7 (Integral über kompakte Untermannigfaltigkeiten) Sei Γ ⊂ Rn
eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, so dass Γ∩Uj mit einer Karte Φj : Dj −→ Uj
mit maximalem Rang dargestellt wird. Dann setzen wir, für eine zugehörige Teilung der
Eins wie in Satz 6.6, ϕj ,
N
f :=
Γ
f ϕj .
j=1
Γ∩Uj
Bemerkung 6.8 Diese Definition ist unabhängig von der Teilung der Eins.
23
7. Der Satz von Gauß
7.1. Der Gauß’sche Satz
Lemma 7.1 Sei R = (0, L1 ) × ... × (0, Ln ) ⊂ Rn ein offenes Rechteck und f : R −→ Rn
ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Sei weiter ν : ∂R −→ Rn das Normalenfeld des
Randes (es sei fast überall auf ∂R definiert). Dann gilt
∇f =
R
f ν.
∂R
Lemma 7.2 Sei Ω ⊂ Rn offen und f ∈ Cc1 (Ω). Dann gilt
div f = 0.
Ω
Proposition 7.3 Sei V ⊂ Rn−1 ein offenes Rechteck und g : V −→ R+ eine C 1 Funktion. Definiere Ω := {(x, y) : x ∈ V, y ∈ (0, g(x))} ⊂ Rn und ∂ + Ω := {(x, g(x)) :
x ∈ V }. Für eine stetig differenzierbare Funktion f : Ω −→ Rn mit supp(f ) ⊂ Ω ∪ ∂ + Ω
gilt
∇f =
Ω
f ν.
∂Ω
Satz 7.4 (Gauß) Sei Ω ⊂ Rn beschränkt mit C 1 -Rand, das heißt der Rand ist eine
C 1 -Untermannigfaltigkeit. Sei f : Ω −→ Rn eine stetig differenzierbare Funktion und
ν : ∂Ω −→ Rn der äußere Normalenvektor. Dann gilt
div f =
Ω
f ν.
∂Ω
Dieser Satz gilt auch für Lipschitz-Gebiete, also ∂Ω ∈ C 0,1 (hierbei sind Kanten erlaubt) und für unbeschränkte Gebiete.
7.2. Folgerungen und Anwendungen
Setze für eine differenzierbare Funktion f : Ω −→ R und x ∈ Ω
∂f
(x) := ∇f (x) ν(x).
∂ν
Satz 7.5 (Greensche Formel) Sei U ⊂ Rn offen, A ⊂ U kompakt mit ∂A in C 1 . Sei
ν : ∂A −→ Rn ein äußeres Normalenfeld. Sind f, g : U −→ R in C 2 , dann gilt
f (∆g) −
A
(∆f )g =
A
f
∂A
24
∂g
∂f
−g .
∂ν
∂ν
Sei D ⊂ R2 ⊂ R3 und V eine offene Umgebung von D. Für f ∈ C 1 (V, R3 ) definieren
wir die Rotation von f als


∂2 f3 − ∂3 f2
rot f :=  ∂3 f1 − ∂1 f3  .
∂1 f2 − ∂2 f1
Proposition 7.6 Sei F ⊂ R2 ⊂ R3 eine glatte berandete Fläche im R3 , die in einer
Ebene enthalten ist und V eine offene Umgebung von F . Sei f : V −→ R3 stetig differenzierbar und ν ein Normalenfeld an F und τ tangential zu ∂F . Dann gilt
rot f ν =
F
f τ.
∂F
Satz 7.7 (Stokes in R3 ) Sei F ⊂ V ⊂ R2 ⊂ R3 eine glatte berandete Fläche im R3 ,
die in einer Ebene enthalten ist, Φ : D −→ R3 (D ⊂ R3 offen) eine bijektive C 1 (D)Funktion, so dass DΦ maximalen Rang hat und Φ(D) = F ist. Sei weiter γ : [0, L) −→
∂D eine (bijektive) Parametrisierung des Randes und f ∈ C 1 (V, R3 ). Dann gilt
f τ.
rot f ν =
Φ(∂D)
F
Lemma 7.8 Seien a, b ∈ R3 . Dann gilt
a×b
2
= det((a, b) (a, b)).
25
8. Differentialformen
8.1. 1-Formen
Definition 8.1 (1-Form) Sei U ⊂ Rn offen. Eine 1-Form auf Rn ist eine Abbildung
ω : U −→ (Rn ) ,
x −→ ω(x)
ω(x)
mit ω(x) : Rn −→ R, v −→ ω(x) v linear.
Definition 8.2 Sei U ⊂ Rn offen, ω : U −→ (Rn ) eine stetige 1-Form. Sei γ : [a, b] −→
U ein C 1 Weg. Dann ist
b
ω :=
ω(γ(t)) γ (t) dt.
a
γ
Lemma 8.3 Sei U ⊂ Rn offen, γ : [a, b] −→ U ein C 1 Weg und ω : U −→ (Rn ) eine
stetige 1-Form. Sei ϕ : [a1 , b1 ] −→ [a, b] eine Umparametrisierung, ϕ ∈ C 1 mit ϕ > 0.
Dann gilt
ω.
ω=
γ◦ϕ
γ
Satz 8.4 Sei U ⊂ Rn offen, F : U −→ R eine stetig differenzierbare Funktion und
γ : [a, b] −→ U eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit γ(a) =: p und γ(b) =: q.
Dann gilt
dF = F (q) − F (p).
γ
Definition 8.5 (zusammenhängend) Eine offene Teilmenge U ⊂ Rn heißt zusammenhängend, wenn je zwei Punkte a, b ∈ U durch eine stetige Kurve in U verbunden
werden können.
Satz 8.6 Sei U ⊂ Rn ein Gebiet, das heißt offen und zusammenhängend. Sei F : U −→
R stetig differenzierbar mit dF = 0. Dann ist F konstant.
Lemma 8.7 Sei U ⊂ Rn offen und γ : [0, 1] −→ U eine stetige Kurve mit γ(0) =: p und
γ(1) =: q. Dann gibt es auch eine stückweise stetig differenzierbare Kurve α : [0, 1] −→ U
mit α(0) = p und α(1) = q.
Definition 8.8 (Stammfunktion) Sei ω eine stetige 1-Form in einer offenen Menge
U ⊂ Rn . Eine stetig differenzierbare Funktion F : U −→ R hießt Stammfunktion von ω,
falls dF = ω gilt.
26
Satz 8.9 Sei U ⊂ Rn ein Gebiet und ω eine stetige 1-Form in U . ω besitzt eine Stammfunktion genau dann, wenn für jede stückweise differenzierbare geschlossene Kurve γ in
U gilt
ω = 0.
γ
Definition 8.10 (geschlossene 1-Form) Sei U ⊂ Rn offen und ω = ni=1 fi dxi eine
stetig differenzierbare 1-Form in U (das heißt alle fi sind stetig differenzierbar). ω heißt
geschlossen, falls gilt
∂fi
∂fj
=
∀i, j.
∂xj
∂xi
Definition 8.11 (sternförmig) U ⊂ Rn heißt sternförmig bzgl. p ∈ U , wenn für jeden
Punkt x ∈ U die ganze Verbindungsstrecke von p nach x, {(1 − t) p + t x : 0 ≤ t ≤ 1},
in U liegt.
Satz 8.12 Sei U ⊂ Rn ein sternförmiges Gebiet und ω eine stetig differenzierbare geschlossene 1-Form in U . Dann besitzt ω eine Stammfunktion F : U −→ R.
Definition 8.13 (homotop) Sei U ⊂ Rn offen. Zwei Kurven α und β : [0, 1] −→ U
mit α(0) = β(0) =: p0 und α(1) = β(1) =: p1 heißen homotop in U , falls es eine
stetig differenzierbare Abbildung A : [0, 1] × [0, 1] −→ U , (u, t) −→ A(u, t) mit folgenden
Eigenschaften gibt:
(a) A(0, t) = α(t), A(1, t) = β(t) für alle t ∈ [0, 1],
(b) A(u, 0) = p0 , A(u, 1) = p1 für alle u ∈ [0, 1].
Satz 8.14 Sei U ⊂ Rn offen, p0 , p1 ∈ U , α, β : [0, 1] −→ U stückweise stetig differenzierbare Kurven von p0 nach p1 , die in U zueinander homotop sind. Dann gilt für jede
stetig differenzierbare geschlossene 1-Form ω in U
ω.
ω=
α
β
Eine Kurve α : [0, 1] −→ U heißt nullhomotop, falls sie in U homotop zur Punktkurve
p0 ist.
Definition 8.15 (einfach zusammenhängend) Ein Gebiet U ⊂ Rn heißt einfach zusammenhängend, falls für einen Punkt p0 ∈ U alle geschlossenen Wege mit Startpunkt
p0 nullhomotop sind.
Satz 8.16 Sei U ⊂ Rn einfach zusammenhängend, ω eine stückweise stetig differenzierbare geschlossene 1-Form in U und α eine stückweise stetig differenzierbare geschlossene
Kurve. Dann gilt
ω = 0.
α
27
8.2. k-Formen
Sei V := Rn .
Definition 8.17 Die Menge der alternierenden k-Formen auf V ist
k
V ∗ := {ω : V k −→ R : ω linear in jedem Argument,
ω(v1 , ..., vk ) = 0, falls vi = vj für ein i = j}.
Definition 8.18 (Dachprodukt) Seien ϕ1 , ..., ϕk ∈ V ∗ . Dann ist die Abbildung
V k −→ R

ϕ1 (v1 ) . . .

..
(ϕ1 ∧ ... ∧ ϕk )(v1 , ..., vk ) := det 
.
ϕk (v1 ) . . .
ϕ1 ∧ ... ∧ ϕk
k
alternierend und ϕ1 ∧ ... ∧ ϕk ∈
:

ϕ1 (vk )

..

.
ϕk (vk )
V ∗.
Definition 8.19 Sei U ⊂ Rn offen und V := Rn . Eine Differentialform der Ordnung k
(k-Form) in U ist eine Abbildung
k
ω : U −→
Tp∗ (U ),
p∈U
also ω(x) ∈
k
V ∗ für alle x ∈ U .
Definition 8.20 (Ableitung) Sei U ⊂ Rn offen. Sei
fi1 ,...,ik dxi1 ∧ ... ∧ dxik
ω=
i1 <...<ik
mit einer C 1 -Funktion f . Dann ist
dfi1 ,...,ik ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
dω :=
i1 <...<ik
das Differential von ω.
Satz 8.21 (Eigenschaften von d) Es gilt die Produktregel und d ◦ d = 0 (auf C 2 Formen).
Satz 8.22 (Lemma von Poincaré) Sei U sterförmig, ω eine k-Form auf U . Ist dω =
0, so existiert eine (k − 1)-Form σ auf U mit dσ = ω.
28
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