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Faltung: Grafische Interpretation

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Faltung: Grafische Interpretation
Gregor Ochsner
14. Oktober 2014
1
Einleitung
Dieses Dokument soll als Hilfe zum Verst¨
andnis der sogenannten Faltung (Convolution) dienen. Die Faltung bezeichnet einen Operator angewendet auf zwei Signale zur Berechnung eines dritten Signals. Die Faltung wird unter anderem zur
Berechnung der L¨
osung von linearen Differentialgleichungssystemen ben¨
otigt.
Die Faltung wird u
¨blicherweise mit Hilfe von Computern und nicht von Hand
berechnet. In Matlab ist es ausserdem nicht n¨
otig zur Simulation von linearen Systemen selber eine Faltung zu programmieren, da der Befehl lsim() zur
Verf¨
ugung steht. Ein konzeptionelles Verst¨
andnis der Faltung ist also f¨
ur Studierende von Regelungstechnik I ausreichend.
2
Ausgangslage
Die Faltung wird zur Berechnung der L¨
osung von linearen Differentialgleichungssystemen der Form
d
x(t) = A ∙ x(t) + b ∙ u(t)
dt
y(t) = c ∙ x(t) + d ∙ u(t)
(1)
ben¨
otigt. Ein solches Differentialgleichungssystem hat die L¨
osung1
y(t) = c ∙ eA∙t ∙ x(0) +
t
0
c ∙ eA∙(t−ρ) ∙ b ∙ u(ρ) dρ + d ∙ u(t).
(2)
Der erste Term der L¨
osung ist der homogene Teil und beschreibt, wie sich der
Anfangszustand x(0) auf die L¨
osung auswirkt. Der zweite Term enth¨
alt das
Faltungsintegral und beschreibt wie sich der Eingang u
¨ber die Dynamik des
Systems auf den Ausgang auswirkt. Der dritte Term beschreibt den (selten vorhandenen) direkten, algebraischen Durchgriff (feed through) des Eingangs auf
den Ausgang. Dieses Dokument behandelt ausschliesslich das Faltungsintegral.
3
Notation
Das Faltungsintegral l¨
asst sich mit verschiedenen Notationen darstellen, was zu
Beginn zu unn¨
otigen Verst¨
andnisproblemen f¨
uhrt. Deshalb f¨
uhren wir zuerst
1 Section 4.2 in L. Guzzella, Analysis and Synthesis of Single-Input and Single-Output
Systems. vdf Hochschulverlag, 2011.
1
die neue Notation ein. Wir definieren das Signal σ(t) := c ∙ eA∙t ∙ b. Dann gilt
offensichtlich auch σ(t − ρ) = c ∙ eA∙(t−ρ) ∙ b, wodurch sich das Integral aus
Gleichung (2) in der Form
t
0
σ(t − ρ) ∙ u(ρ) dρ
(3)
darstellen l¨
asst.
Nun wird zus¨
atzlich ein neuer Operator eingef¨
uhrt, welcher ben¨
utzt wird um
die Gleichung (3) in kurzer Notation darzustellen. Der Faltungsoperator ∗ ist
definiert als
σ(t) ∗ u(t) :=
t
0
σ(t − ρ) ∙ u(ρ) dρ.
(4)
Wichtig dabei ist die Erkenntnis, dass bisher nur die Notation gewechselt, aber
noch keine Berechnung durchgef¨
uhrt wurde.
4
Impulsantwort
Wie oben beschrieben, berechnet sich der Ausgang eines Systems als Faltung
eines Signals σ(t) mit dem Eingang u(t). Das Signal σ(t) ist nun aber nicht
irgendein beliebiges Signal, sondern die Impulsantwort des Systems (1)2 . Das
heisst, σ(t) entspricht dem Ausgangssignal y(t), welches resultiert, wenn das System mit einem Impuls angeregt wird: u(t) = δ(t). Abbildung 1 zeigt beispielhaft
die Impulsantwort eines Systems zweiter Ordnung.
Impulse response (-)
4
3
2
1
0
−1
−2
−1
0
1
2
3
time (s)
4
5
Abbildung 1: Impulsantwort eines Systems zweiter Ordnung.
5
Grafische Interpretation der Faltung
Abbildung 2 zeigt eine grafische Interpretation der Faltung mit dem oben eingef¨
uhrten System zweiter Ordnung und einem rechteckigen Puls (Breite: 1 Sekunde, H¨ohe: 0.8) als Eingangssignal u(t). Der Schl¨
ussel zum Verst¨
andnis liegt
2 Appendix C.4 in L. Guzzella, Analysis and Synthesis of Single-Input and Single-Output
Systems. vdf Hochschulverlag, 2011.
2
t = 1.1
t = 0.3
2
t=2
u(ρ)
1
0
σ(t − ρ)
−1
4
2
0
σ(t − ρ) ∙ u(ρ)
−2
4
Integral =
0.65015
2
Integral =
−0.17515
Integral =
1.1977
0
−2
−1
0
1
ρ
2
3 −1
0
1
ρ
2
3 −1
0
1
ρ
2
3
Abbildung 2: Die Faltung von σ(t) mit u(t) zu drei diskreten Zeitpunkten. Die
obere Reihe zeigt den input u(ρ), die mittlere Reihe zeigt die umgedrehte und
um t verschobene Impulsantwort σ(t − ρ) und die untere Reihe zeigt das Signal, welches resultiert, wenn die oberen zwei Signale multipliziert werden. Das
Resultat der Faltung zu jedem diskreten Zeitpunkt entspricht dem Integral des
Signals in der unteren Reihe. Dieses Integral wiederum entspricht der grau eingezeichneten Fl¨ache, wobei die Fl¨
ache unterhalb von 0 negativ gez¨
ahlt werden
muss.
darin, sich die Faltung jeweils f¨
ur einen fixen Zeitpunkt t vorzustellen. Abbildung 2 zeigt, wie das Faltungsintegral f¨
ur drei bestimmte Zeitpunkte berechnet
wird.
Um die komplette Systemantwort zu erhalten, muss das Integral f¨
ur viele diskrete Zeitpunkte separat berechnet werden. Im Allgemeinen existiert f u
¨r
die Faltung keine geschlossene L¨
osung. Abbildung 3 zeigt die resultierende Systemantwort y(t) u
¨ber mehrere Sekunden und die drei separat berechneten Werte
aus Abbildung 2.
3
4
3
3
System response (-)
System input (-)
4
2
1
0
1
0
−1
−1
−2
−1
2
0
1
2
time (s)
−2
3 −1
0
1
2
time (s)
3
Abbildung 3: Eingang und Ausgang des Systems zweiter Ordnung. Die drei
Kreise entsprechen den in Abbildung 2 berechneten Werten.
4
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Kategorie
Gesundheitswesen
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