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5. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Analysis III - Ruhr-Universität Bochum

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¨
5. Ubungsblatt
zur Vorlesung Analysis III
Prof. Dr. Angelika Rohde, Kamil Jurczak WiSe 2014/2015
Aufgabe 1.
(2 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Begriffe schwach ¨aquivalent“ und ¨aquivalent“ wie in der Vorlesung definiert
”
”
¨
tats¨schlich Aquivalenzrelationen
auf der Menge aller Kurven im Rn definieren.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
n
Zeigen Sie folgende Bemerkung aus der Vorlesung: Sei X ⊂ R eine Teilmenge und α : (0, 1) → X
eine bijektive und regul¨
are Abbildung. Folgende beiden Aussagen sind ¨aquivalent:
(i) α ist ein Hom¨
oomorphismus;
(ii) X ist lokal abgeschlossen im Rn und die Menge X \ {a} ist f¨
ur kein a ∈ X zusammenh¨
angend.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
¨
Wie auf dem letzten Ubungsblatt bezeichnet κn das Volumen der n-dimensionalen euklidischen
Einheitskugel. Dar¨
uberhinaus sei Γ : R>0 → R die sogenannte Gammafunktion definiert durch
die Integraldarstellung
tx−1 exp(−t)dt.
Γ(x) :=
(0,∞)
Man zeige die folgenden beiden Gleichungen
n
exp −||x||2 dx = π n/2 und κn =
Rn
π2
,
n
Γ 2 +1
wobei || · || die euklidische Norm im Rn bezeichnet.
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
a) Man zeige, dass die Jacobi-Abbildung Jn : (0, 1)n −→ (∆n )◦ , n ≥ 2, definiert durch die
Rekursionsformel
Jn (u1 , ..., un , un ) :=
Jn−1 (u1 , ..., un−1 ) · (1 − un )
u1 un
mit J2 (u1 , u2 ) :=
u1 (1 − u2 )
,
u1 u2
ein Diffeomorphismus ist, wobei ∆n das Standardsymplex im Rn bezeichnet, das wie folgt
definiert ist
∆n := {x ∈ Rn : x1 , ..., xn ≥ 0 und x1 + ... + xn ≤ 1} .
b) Zeigen Sie die folgende Aussage u
¨ber die Integration mittels der Jacobi-Transformation: Seien
p1 , ..., pn > 0 und sei f : (0, 1) → R eine beliebige Funktion. Dann ist
1
F (x1 , ..., xn ) := xp11 −1 · ... · xpnn −1 · f (x1 + ... + xn )
genau dann u
¨ber ∆n integrierbar, wenn die Funktion u → up1 +...+pn −1 f (u) u
¨ber (0, 1) integrierbar ist. Außerdem gilt dann die Dirichlet-Formel
F (x)dx =
∆n
Γ(p1 ) · ... · Γ(pn )
·
Γ(p1 + ... + pn )
up1 +...+pn −1 f (u)du.
(0,1)
Abgabetermin: Freitag, 14. November 2014, 8:15 Uhr, im Zettelkasten auf NA 02.
Hinweis: Die Zettel sind in Gruppen von bis zu drei Studierenden abzugeben. Bitte notieren Sie
¨
auf Ihren L¨
osungen auch Ihre Ubungsgruppe
(Nummer und Leiter), dort erfolgt die R¨
uckgabe
der korrigierten Aufgaben.
2
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Gesundheitswesen
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