close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

4. Übungsblatt - Universität zu Köln

EinbettenHerunterladen
Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln
Prof. Dr. Martin Zirnbauer
Daniel Wieczorek
Mathematische Methoden der Physik
Blatt 4
WS 2014/15
Abgabe: 04.11.2014 bis 12 Uhr im entsprechenden Briefkasten
Besprechung: 06.11.2014 in den Übungsgruppen
Website: http://www.thp.uni-koeln.de/∼dwieczor/mm1415
18. Entwickeln nach Orthonormalbasen
Sei B = {e1 , . . . , en } eine Orthonormalbasis des euklidischen Vektorraums (V, ·, · ).
a) Zeigen Sie: Für jedes v ∈ V lassen sich die Komponenten bzgl. B durch vi = v, ei
berechnen.
Wir betrachten nun den Fall n = 3.
b) Rechnen Sie nach, dass

 
 
  
1
−3
1
 1

1
1
C = √ 2 , √  0  , √ −5
 14

10
35
3
1
3
B
B
B
ebenfalls eine Orthonormalbasis ist.
c) Verwenden Sie das Ergebnis von a), um folgende Vektoren zur Basis C auszudrücken:
 
 
 
−2
0
1
1
1
0
3 B
−1 B
0 B
19. Spatprodukt
Sei (V, ·, · ) ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum mit Orthonormalbasis B = {e1 , e2 , e3 }.
Berechnen Sie das Volumen des Spats, das von den Vektoren


 
 
5
−1
5





6
u = −10
v = 17
w=
2
3 B
−7 B
B
aufgespannt wird.
1
20. Euklidische Geometrie aus Sicht der Vektorrechnung
Der euklidische Raum (E2 , R2 , +) mit Koordinatensystem {p0 ; e1 , e2 }, wobei B = {e1 , e2 } eine
Orthonormalbasis bzgl. des Skalarprodukts ·, · ist, ist ein Modell1 für die Ihnen aus der Sekundarstufe I gut bekannte euklidische Geometrie. Dementsprechend sind alle Sätze, die Ihnen dort
begegnet sind, auch in diesem Modell gültig; sie lassen sich mit Hilfe der Vektorrechnung jedoch
mitunter leichter beweisen. Beweisen bzw. formulieren und beweisen Sie folgende Sätze:
a) Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1.
b) Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebiges Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
c) Der Kosinussatz.
d) Der Satz des Thales.
e) Der Höhensatz des Euklid.
21. Matrixvektorräume und Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt
Es sei Mn die Menge aller quadratischen Matrizen mit n Zeilen (und n Spalten) mit reellen
Elementen.
a) Zeigen Sie: Mit der elementweisen Verknüpfung (A+B)ij := Aij +Bij für alle A, B ∈ Mn
und der elementweisen skalaren Multiplikation (λ · A)ij := λAij für alle A ∈ Mn , λ ∈ R
wird (Mn , +, ·) zu einem reellen Vektorraum.
b) Es sei tr(A) := ni=1 Aii die Spur der Matrix A, d.h. die Summe ihrer Diagonalelemente,
und At die transponierte Matrix, d.h. (At )ij = Aji . Beispielsweise gilt



t 

1 2 3
1 2 3
1 4 7
tr 4 5 6 = 1 + 5 + 9 = 15 und 4 5 6 = 2 5 8 .
7 8 9
7 8 9
3 6 9
Zeigen Sie: Durch A, B := tr(At B) wird ein Skalarprodukt auf Mn definiert.
Hinweis: Es ist nützlich, zunächst tr(λA) = λtr(A) und tr(A + B) = tr(A) + tr(B) zu
zeigen.
c) Eine Orthonormalbasis von (M2 , ·, · ) ist
B=
1
√
2
1
1 0
,√
0 1
2
0 1
0 0
1 0
,
,
0 0
1 0
0 −1
.
Drücken Sie folgende Elemente von M2 als Spaltenvektoren bzgl. B aus:
−2 0
1 1
1 2
3 4
Hinweis: Sie müssen analog zu 18c vorgehen!
1
Dies bedeutet, dass eine konkrete mathematische Struktur vorliegt, die Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie genügt.
2
Document
Kategorie
Bildung
Seitenansichten
8
Dateigröße
231 KB
Tags
1/--Seiten
melden