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Algebra (Lehramt Gymnasium)

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Dr. Ralf Gerkmann
Freitag, 24. Oktober 2014
Algebra (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 3 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
(a) Wie wurde in der Vorlesung die Ordnung einer Gruppe und die Ordnung eines Gruppenelements
definiert?
(b) Mit Hilfe welcher Kriterien kann gezeigt werden, dass ein Gruppenelement die endliche Ordnung n
bzw. unendliche Ordnung besitzt?
(c) Sei C× die Gruppe der komplexen Zahlen ungleich Null mit der Multiplikation als Verkn¨
upfung.
Bestimmen Sie die Ordnungen der Elemente
i
1
α= √ +√
2
2
und
β = 2 + i.
(d) Berechnen Sie Real- und Imagin¨
arteil von α124759601945454673001 .
(e) Bestimmen Sie die Ordnung des Elements σ ∈ S5 gegeben durch
σ
=
(1 2 3)(4 5)
=
1
2
3
4
5
2
3
1
5
4
.
Geben Sie alle Elemente der Untergruppe σ von S5 in Zykelschreibweise an.
Aufgabe 2
Seien G und H Gruppen.
(a) Zeigen Sie, dass ein Element (g, h) ∈ G × H genau dann eine endliche Ordnung besitzt, wenn die
Ordnungen von g und h endlich sind.
(b) Wenn f¨
ur ein g ∈ G die Gleichung g 15 = eG gilt, welche Werte sind dann f¨
ur ord(g) m¨oglich?
¨
(c) Zeigen Sie f¨
ur alle g ∈ G, h ∈ H und m ∈ Z die Aquivalenz
ord((g, h)) | m ⇔ ord(g) | m und ord(h) | m.
(d) Seien g ∈ G und h ∈ H Elemente endlicher Ordnung. Beweisen Sie die Gleichung
ord((g, h)) = kgV(ord(g), ord(h)).
(e) Seien nun g, h ∈ G Elemente endlicher Ordnung mit gh = hg und g ∩ h = {e}. Zeigen Sie, dass
dann ord(gh) = kgV(ord(g), ord(h)) gilt. Dabei darf die Gleichung (gh)m = g m hm f¨
ur alle m ∈ Z
ohne Beweis verwendet werden.
Aufgabe 3
Seien σ = (1 2 3 4), τ = (1 2 3 4 5) und C4 = σ , C5 = τ die in der Vorlesung definierten zyklischen
Gruppen.
(a) Sei G = C4 × C5 . Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (d) aus Aufgabe 2, dass G ein Element der Ordnung
20 besitzt.
(b) Folgern Sie aus Teil (a) dieser Aufgabe, dass G eine zyklische Gruppe ist.
(c) Was wurde in der Vorlesung u
¨ber die Untergruppen einer zyklischen Gruppe gezeigt?
(d) Wieviele verschiedene Untergruppen besitzt die Gruppe G?
Geben Sie f¨
ur jede Untergruppe ein erzeugendes Element an.
(e) Wieiviele Elemente der Ordnung 10 gibt es in G?
Dieses Blatt wird vom 27. bis zum 31. Oktober in den Tutorien bearbeitet.
Algebra (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 3 —
(Global¨
ubungsblatt)
Aufgabe 1
(a) Gegeben sei (GL(2, C), ·), die Gruppe der komplexen invertierbaren (2 × 2)-Matrizen mit der Matrizenmultiplikation. Betrachten Sie die Elemente
A =
−i
0
0
i
,
B =
1
1
0
1
Berechnen Sie A und B . Geben Sie außerdem ord(A) sowie ord(B) an.
(b) Gegeben sei nun (S17 , ◦). Bestimmen Sie die Ordnung der Elemente σ und τ mit
σ =
τ =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
4
2
3
5
8
6
7
1
15
10
9
12
13
14
11
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5
6
7
1
2
3
4
8
11
12
13
9
10
14
16
17
15
Hinweis: Verwenden Sie den Satz u
¨ber das kgV aus Aufgabe 2 (e) vom Tutoriumsblatt.
Aufgabe 2
Sei (G, ·) eine Gruppe und seien a, b, c ∈ G. Zeigen Sie:
(a) Es gilt ord(a) = ord(a−1 ).
(b) Es gilt ord(ab) = ord(ba).
Hinweis: Beweisen Sie, dass f¨
ur alle n ∈ N0 gilt: (ab)n a = a(ba)n .
(c) Es gilt ord(a) = ord(bab−1 ).
(d) Die Formel ord(abc) = ord(bac) gilt im allgemeinen nicht. Finden Sie ein geeignetes Gegenbeispiel.
Aufgabe 3
Gegeben sei die Gruppe (C10 × C10 , ∗) mit (σ1 , σ2 ) ∗ (τ1 , τ2 ) = (σ1 ◦ τ1 , σ2 ◦ τ2 ) f¨
ur alle
(σ1 , σ2 ), (τ1 , τ2 ) ∈ C10 × C10 .
Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente aus C10 × C10 , welche die Ordnung 10 haben.
Hinweis: Verwenden Sie auch hier den Satz u
¨ber das kgV auf Aufgabe 2 (d) vom Tutoriumsblatt.
Abgabetermin: Dienstag, 4. November, bis 16:15 Uhr
¨
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