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Mathematical Finance - Mathematisches Seminar - Christian

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Christian-Albrechts-Universit¨
at zu Kiel
Mathematisches Seminar
Prof. Dr. Jan Kallsen
Matthias Lenga
WS 2013/14
Blatt 2
Mathematische Studieng¨ange
Mathematical Finance
Aufgabe 1
Sei X eine Zufallsgr¨oße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ), C ⊂ F eine Unterσ-Algebra und p ∈ [1, ∞). Zeigen Sie, dass
E(X|C)
p
≤ X
p
gilt. Hierbei ist Z p := p E|Z|p die Lp -Norm. Anmerkung: Der bedingte Erwartungswert
ist also eine lineare Kontraktion auf Lp .
Aufgabe 2
Es seien (Ω, F, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine nicht-negative oder integrierbare
Zufallsvariable, und C, G seien Unter-σ-Algebren von F. Zeigen Sie: Falls C unabh¨angig
von σ(σ(X) ∪ G) ist, gilt E(X|σ(C ∪ G)) = E(X|G).
Hinweis: Betrachten Sie zun¨achst einen Erzeuger von σ(C ∪ G).
Aufgabe 3
Es seien X, Y Zufallsgr¨oßen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) und f : R2 → R
Dichte von (X, Y ) bez¨
uglich des Lebesguemaßes auf R2 . Außerdem sei f¨
ur x ∈ R
f
X|Y
(x) :=
f (x,Y )
,
f (˜
x,Y )d˜
x
falls
0
f (˜
x, Y )d˜
x = 0,
sonst.
Zeigen Sie:
1. f Y : R → R, y →
f (x, y)dx ist Dichte von Y bez¨
uglich des Lebesguemaßes.
2. f X|Y ist in dem Sinne bedingte Dichte von X gegeben Y , dass
f X|Y (x)dx
E(1B (X)|Y ) =
B
f¨
ur alle Borel-meßbaren Mengen B gilt.
Aufgabe 4
Wir beweisen die bedingte H¨older-Ungleichung. Es seien X, Y Zufallsgr¨oßen auf einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ) und C ⊂ F eine Unter-σ-Algebra. Ferner seien p, q ∈
(1, ∞) mit p1 + 1q = 1. Zeigen Sie, dass
E |XY | C ≤ E |X|p C
1/p
E |Y |q C
1/q
P -fast sicher gilt.
Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass ab ≤
ap
p
+
bq
q
f¨
ur alle a, b ≥ 0 gilt.
Freiwilliger Zusatz: Formulieren und beweisen Sie (analog zu der bedingte H¨olderUngleichung) eine bedingte Version der Minkowski-Ungleichung.
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Gesundheitswesen
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