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1. Übungsblatt - Universität Duisburg-Essen

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Universit¨
at Duisburg-Essen
Fakult¨
at fu
¨ r Mathematik
Arbeitsgruppe Angewandte Stochastik
WS 14/15
PD Dr. Volker Kr¨atschmer
¨
1. Ubung
zu Elementarer Sachversicherungsmathematik
¨
Abgabe: Montag, den 20.10.2014 (vor der Ubung)
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Ein Versicherungsunternehmen verf¨
ugt u
¨ber ein homogenes Portfolio mit 6400 Policen,
sowie einer typischen Einzelschadensumme mit Erwartungswert von 5000 Euro und Standardabweichung von 720 Euro. Bestimmen Sie eine m¨oglichst kleine Einzelpr¨amie P, die
f¨
ur alle Policen gezahlt werden soll, und zu einer Ruinwahrscheinlichkeit mit akkumulierter
Pr¨amienzahlung f¨
uhrt, die 1 % nicht u
¨berschreiten darf.
Aufgabe 2
(5 + 6 + 4 Punkte)
Sei (Z1 , ..., Zm ) ein individuelles Modell zu einem Portfolio mit Bestandsgr¨oße m, wobei f¨
ur
die Sch¨aden der Einzelrisiken die Varianzen V ar(Z1 ), ..., V ar(Zm ) existieren. Weiterhin sei
π > 0 vorgegeben, und S bezeichne den Gesamtschaden des Portfolios mit Erwartungswert
E[S] und Varianz V ar(S).
1. Sch¨atzen Sie mit Hilfe der Tschebycheff-Ungleichung die Ruinwahrscheinlichkeit mit
Pr¨amienzahlung π nach oben ab, wenn π > E[S] ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis
mit der Absch¨atzung, die durch die Cantelli-Ungleichung gewonnen wird.
2. Sch¨atzen Sie mit Hilfe der Tschebycheff-Ungleichung die Ruinwahrscheinlichkeit mit
Pr¨amienzahlung π nach unten ab, wenn π < E[S] ist. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis
mit der Absch¨atzung, die durch die Cantelli-Ungleichung gewonnen wird.
3. Zeigen Sie, dass weder die Tschebycheff- noch die Cantelli-Ungleichung eine hilfreiche Absch¨atzung f¨
ur die Ruinwahrscheinlichkeit mit Pr¨amienzahlung π = E[S]
liefert.
[Hinweis: F¨
ur jede Zufallsvariable X gilt P({X > 0}) = lim P({X ≥ k1 })]
k→∞
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Sei (Z1 , ..., Zm ) ein individuelles Modell zur Verteilung des Gesamtschaden Sm eines homogenen Portfolios mit typischem Einzelschaden Z, der eine Varianz besitze. Zeigen Sie
lim P({Sm > m · E[Z]}) =
m→∞
[Hinweis: Zentraler Grenzwertssatz]
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Gesundheitswesen
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