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Blatt 04 - Fachbereich Mathematik - Universität Hamburg

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Fachbereich
Mathematik
PD Dr. Ralf Holtkamp
¨
Ubungsaufgaben
Mathematik III fu
¨ r Studierende der Physik:
Blatt 4 zur Abgabe am 18.11.2014 (vor der Vorlesung).
Die L¨osungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben (Einzelabgabe).
Aufgabe 1: (2+2+2+2 Punkte)
Zeigen Sie:
a) Gilt f¨
ur eine Funktion f auf Rn , dass f 1 = 0 ist, so ist f = 0 fast u
¨berall.
b) Offene, nicht-leere Mengen haben stets Lebesgue-Maß > 0. Folgern Sie damit außer◦
dem: Eine Nullmenge N enth¨alt keine inneren Punkte, d.h. das Innere N ist leer.
c) Jede stetige Funktion f : Rn → C mit f 1 = 0 ist die Nullfunktion.
d) Sind die folgenden Mengen Nullmengen? (Kurze Begr¨
undung!)
• Die Kreislinie S1 ⊂ R2
• Die Menge {n +
1
k
| ∀ n, k ∈ N} ⊂ R
Aufgabe 2: (2+2 Punkte)
Sei f : [a, b] → [0, ∞) eine stetige Funktion.
Der Rotationsk¨orper V := {(x, y, z) ∈ R3 , x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ f (x)2 } habe die konstante
Dichte µ, also die Masse µ · v3 (V ).
a) Zeigen Sie folgende Formel f¨
ur das Lebesguemaß der Menge V ⊂ R3
b
v3 (V ) :=
f (x)2 dx.
1V (x, y, z) d(x, y, z) = π
a
b) Sei F := {(x, z) ∈ R2 , x ∈ [a, b], 0 ≤ z ≤ f (x)} und
(ξ, ζ) =
1
v2 (F )
x d(x, z),
F
1
v2 (F )
z d(x, z)
F
der Schwerpunkt von F . Beweisen Sie die Guldinsche Regel:
v3 (V ) = 2πζ · v2 (F ).
√
f 2 −z 2
f
Hinweis: Es darf ohne Beweis die Formel −f √ 2 2 1 dy dz = πf 2 f¨
ur f > 0 benutzt
−
f −z
werden.
Aufgabe 3: (3+3 Punkte)
Seien f : [a, b] → [0, ∞) und V := {(x, y, z) ∈ R3 , x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ f (x)2 } wie in
der vorhergehenden Aufgabe. Das Tr¨agheitsmoment Θ bez¨
uglich der x-Achse ist definiert
durch das Integral
µ · (y 2 + z 2 ) d(x, y, z).
Θ :=
V
Universität Hamburg · Tor zur Welt der Wissenschaft
FB Mathematik · www.math.uni-hamburg.de/
a) Zeigen Sie:
Θ=
π
µ
2
b
f (x)4 dx.
a
b) Berechnen Sie Masse und Tr¨agheitsmoment bez¨
uglich der x-Achse f¨
ur das Rotations2
π π
hyperboloid H mit f : [− 2 , 2 ] → R, f (x) = 1 + sin (x). Alle auftauchenden Integrale
sind mit partieller Integration zu berechnen.
Hinweis: Es d¨
urfen die Ergebnisse der vorhergehenden Aufgabe benutzt werden.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Es sei R > 0,
ZR = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 ≤ R2 }, K = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 1},
Berechnen Sie das Volumen von K ∩ ZR .
2
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