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Aufgaben - Hochschule Augsburg

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Hochschule f¨
ur angewandte Wissenschaften Augsburg
Fakult¨
at Allgemeinwissenschaften
Mathematik fu
¨ r Bauingenieure I
WS 14/15
¨
Ubungsblatt
D.1
04.11.2014
Prof. Dr. Holger Schmidt
holger.schmidt@hs-augsburg.de
1. Aufgabe
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgende Funktionen
(
)3
(a) f (x) = 1 + sin(x2 )
ex − e−x
(b) f (x) = sinh(x) =
2
ex + e−x
(c) f (x) = cosh(x) =
2
(d) f (x) = xe−x sin(x)
2. Aufgabe
Betrachten Sie die Umkehrfunktion f −1 : R → (−π/2, π/2), f −1 (x) = arctan(x) zur
Funktion f (x) = tan(x). Zeigen Sie, dass die Ableitung dieser Funktion gegeben ist
durch
f ′ (x) =
x2
1
+1
Hinweis: Bestimmen Sie in einem ersten Schritt die Ableitung von f (x) = tan(x) und
dr¨
ucken Sie diese wieder durch tan(x) aus. Danach k¨onnen Sie einfach die Regel zur
Ableitung der Umkehrfunktion anwenden.
3. Aufgabe
Betrachten Sie die beiden Funktionen
(a)f (x) = x2 e−x
(b)f (x) = cosh(x) =
ex + e−x
2
Skizzieren Sie die beiden Funktionen und bestimmen Sie jeweils die lokalen Extrema.
Zeigen Sie f¨
ur die Funktion (b), dass es sich bei dem lokalen Extremum auch um ein
globales Extremum handelt (binomische Formel verwenden!).
4. Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Taylorreihe der Funktion f (x) = cos(x) gegeben ist durch
cos(x) =
∞
∑
k=0
(−1)k
x2k
(2k)!
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