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Blatt 2 - Der Fachbereich Mathematik - Universität Stuttgart

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Prof. Dr. J. P¨oschel
Dr. D. Zimmermann
Dipl.-Math. K. Sanei Kashani
Universit¨
at Stuttgart
Fachbereich Mathematik
H¨
ohere Mathematik III
Blatt 2
27.10.2014
el, kyb, mecha, phys
Gruppenu
¨ bungen
Aufgabe 5. (schriftlich) (4P)


sin(z 2 )
a) Sei h(x, y, z) =  x10 − z + 2y  . Bestimmen Sie rot h und div h.
xy
b) Bestimmen Sie die L¨ange der Kurve mit der Parametrisierung
p(t) = e−t
cos t
sin t
f¨
ur t ∈ [0, ∞) .
c) Berechnen Sie die iterierten Integrale
1
1
1
1
f (x, y) dx dy ,
0
f¨
ur
0
f (x, y) dy dx
0
0
x−y
falls (x, y) = (0, 0)
(x + y)3
f (x, y) =

0
falls (x, y) = (0, 0)


Welchen Schluss u
¨ber die Stetigkeit von f kann man mit dem Satz von Fubini ziehen?
Aufgabe 6.
a) Berechnen Sie das Integral
(1
M x
+ y1 )dF u
¨ber die Menge M = [1, 5] × [1, 7].
b) Integrieren Sie f (x, y) = sin(x + y) u
¨ber die Menge [0, π2 ]2 .
c) Bestimmen Sie die Fl¨ache, welche durch die Kurven y = 2x4 und y = 4 − 2x4 eingeschlossen
wird, mithilfe eines Doppelintegrals.
Bitte wenden!
1
Aufgabe 7. (Klausuraufgabe)
Die archimedische Spirale wird durch
A : R → R2
parametrisiert. F¨
ur π
ϕ
mit A(ϕ) = (ϕ cos ϕ, ϕ sin ϕ)T
3π begrenzt diese zusammen mit dem Gradenst¨
uck
G := {(x, y) ∈ R2 | − 3π
x
−π,
y = 0}
ein ebenes Gebiet J . Bestimmen Sie f¨
ur g : R2 → R2 mit g(x, y) = (−y, x)T die Zirkulation von
g entlang des Randes von J .
(Hinweis: Ist K eine geschlossene Kurve, so schreibt man auch K gdx statt K gdx und spricht
von der Zirkulation des Vekorfeldes g l¨angs K .)
Aufgabe 8.
Die Gammafunktion ist definiert durch das uneigentliche Integral
∞
e−t tx−1 dt (x > 0).
Γ(x) :=
0
Untersuchen Sie die Konvergenz von Γ(x) f¨
ur jedes x ∈ (0, ∞). Berechnen Sie die Ableitung Γ (x)
und weisen Sie ihre Existenz nach.
(Hinweis: Finden Sie integrierbare Majoranten auf einem Rechteck und nutzen Sie die Konvergenzs¨atze aus der Vorlesung f¨
ur Parameterintegrale.)
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 3.11.2014 in den
¨
Ubungsgruppen.
2
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