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8. Satz vom Nullprodukt

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Satz vom Nullprodukt
a·b=0
⇐⇒
a = 0 oder b = 0
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Dieser Satz gilt f¨
ur a, b ∈ R (und allgemeiner f¨
ur Elemente eines K¨
orpers,
einer algebraischen Struktur also, in der dieselben Rechengesetze wie in R gelten).
Das (math.) oder (∨) ist vom entweder oder zu unterscheiden.
Auf diesem Satz beruht das L¨
osen von Gleichungen wie:
a) (x − 3)(x + 4) = 0
x1 = 3, x2 = −4
b) x(x − 5) = 0
x1 = 0, x2 = 5
c) x3 + x2 = 0
x2 (x + 1) = 0, x1 = 0, x2 = −1
d) e2x − x2 e2x = 0
e2x (1 − x2 ) = 0, x1/2 = ±1
Auf der einen Seite steht ein Produkt - evt. erst durch Ausklammern - und auf der anderen eine null.
Eine Erweiterung der L¨
osungsmethode auf Zahlen ungleich null ist nicht m¨
oglich.
Beweis
Zwei Richtungen sind zu begr¨
unden.
⇐=
Sei b = 0, dann ist a · 0 = 0 zu zeigen, d. h.
wenn ein Faktor null ist, so ist das Produkt null.
Hierzu rechnen wir a · (0 + 0) auf zwei Arten aus, distributiv und mit c + 0 = c.
a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 | −a · 0
0
0 = a·0
=⇒
R ist nullteilerfrei
Sei a · b = 0 und a = 0.
1
a·b = 0 | ·a
b = 0
15
10
5
0
–3
–5
–2
–1
–10
f (x, y) = x · y
0
1
–15
–3
–2
c Roolfs
–1
2
0
y
1
2
3
3
x
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Kategorie
Seele and Geist
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