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Mathematical Finance I WS 2014/2015 – Problem Sheet 3

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Mathematical Finance I WS 2014/2015 – Problem
Sheet 3
Prof. Dr. F. Biagini, J. Mancin
If you want handle your exercises for the correction, you have to do
that during the exercise class
Exercise 3.1. Gegeben sei ein Finanzmarkt, bestehend aus einem Numeraire
bzw. Bankkonto S 0 und einer risikobehafteten Anleihe S 1 . Mit der Notation
der Vorlesung sei dabei π 0 = 1 und S 0 = 1, 04 (r = 4%). Außerdem sei π 1 = 1
und PS 1 = 13 (δ0 + δ1,04 + δ2,08 ). Nun f¨
uhren wir ein Derivat S 2 auf die Aktie S 1
2
1
+
der Form S = (S − 1, 04) ein.
1. Bestimmen Sie die Menge der arbitragefreien Preise π 2 von S 2 zum Zeitpunkt 0 mit Hilfe einer Maßtransformation. Finden Sie also zun¨achst die
zu P ¨
aquivalenten Martingalmaße P∗ und bewerten Sie dann S 2 .
2. Bestimmen Sie die Menge der arbitragefreien Preise π 2 von S 2 geometrisch.
Betrachten Sie dazu den um S 2 erweiterten Markt.
Exercise 3.2. Gegeben sei ein Finanzmarkt, bestehend aus einem Numeraire
S 0 , einer Aktie S 1 und einem Derivat S 2 auf S 1 der Form S 2 ∶= (S 1 −1)+ . Ferner
sei S 0 = π 0 = 1 und S 1 sei gegeben durch S 1 = eX mit X ∼ N (0, 1).
1. Finden Sie die Menge Π der arbitragefreien Preise geometrisch. Geben
Sie außerdem die Menge Π2 der arbitragefreien Preise von S 2 unter der
Annahme π 1 = 1, 5 an.
2. Geben Sie f¨
ur jedes Preispaar (π 1 , π 2 ) ∈ Π ein quivalentes Martingalmaß
an.
Exercise 3.3. Sei ein Finanzmarkt bestehend aus einem Numeraire S 0 mit
π 0 = S 0 = 1 (d.h. r = 0) und einer Aktie S 1 mit S 1 = eZ gegeben, wobei
Z ∼ N (0, 1). Wir f¨
uhren ein Derivat auf S 1 von der Form S 2 = (K − ∣S 1 − L∣)+
fr 0 < K < L ein.
Zeichnen Sie die Menge der arbitragefreien Preise f¨
ur S 2 . Ist L = π 1 > 0, so
1
nennt man dieses Derivat einen Butterfly Spread. Geben Sie in diesem Fall die
Menge der arbitragefreien Preise von S 2 an.
Exercise 3.4. Consider a financial market with one risky asset such that π 1 > 0
and the distribution of S 1 has a stricly positive density function f ∶ (0, ∞) ↦
x
(0, ∞). That is, P(S 1 ≤ x) = ∫0 f (y)dy for x > 0. Find an equivalent risk-neutral
∗
measure P .
2
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