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Aufgabe - Institut für Mathematik

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Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. A. Griewank Ph.D.; Dipl.Math. Nikolai Strogies
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Mathematik für Informatiker (WS 14/15)
Serie 1
Abgabe bis 03.11.2014
Aufgabe 1.1:
Betrachten Sie die Matrix




−3
1
2
1
0 −1  ∈ R3×3 und den Vektor b =  −1  ∈ R3
A= 1
4 −1
2
8
Lösen Sie das Gleichungssystems Ax = b. Verwenden Sie zum lösen die Cramersche Regel und
Gauss mit Pivoting. Dokumentieren Sie ihr Ergebnis inklusive der Zwischenschritte für beide
Verfahren.
Aufgabe 1.2:
Betrachten Sie folgende dünnbesetzte Matrix in Blockform.







A=







4 −1
0 −1
0
0
0
0
0
−1
4 −1
0 −1
0
0
0
0 

0 −1
4
0
0 −1
0
0
0 

−1
0
0
4 −1
0 −1
0
0 

9×9
0 −1
0 −1
4 −1
0 −1
0 
∈R

0
0 −1
0 −1
4
0
0 −1 
0
0
0 −1
0
0
4 −1
0 

0
0
0
0 −1
0 −1
4 −1 
0
0
0
0
0 −1
0 −1
4
Des Weiteren sei ein Vektor
b = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] ∈ R9
gegeben. Schreiben Sie eine Methode zur Lösung des Gleichungssystems
(A + γI)x = b
welcher b und γ ∈ R1 als Argument übergeben werden und die x bis auf eine Genauigkeit von
tol = 10−5 berechnet sowie die Anzahl der dafür benötigten Schritte zurückgibt. Hierbei ist
I ∈ R9×9 die Einheitsmatrix. Verwenden Sie zum Lösen das Jakobi-Verfahren. Analysieren
Sie die Anzahl der benötigten Schritte in Abhängigkeit von γ und dokumentieren Sie ihre
Ergebnisse.
1
Aufgabe 1.3:
Bestimmen Sie den Wert der analytischen Ableitung f (x) für die Funktion
f (x) =
x2
sin(x)
an dem Punkt x = 1. Vergleichen Sie den Ableitungswert mit dem zentralen Differenzenquotienten
f (x + h) − f (x − h)
2h
für verschiedene Werte von h. Das heisst, visualisieren Sie den Fehler
Ef,x (h) =
f (x + h) − f (x − h)
− f (x)
2h
als Funktion von h für Werte h = 10−i mit i = 1, ..., 15. Benutzen Sie bei der Ausgabe sowohl
für h als auch den Fehler eine logarithmische Skalierung und erklären Sie das auftretende
’V-Phänomen’.
Weitere Anforderungen und die Lösungen der Aufgebe sind:
1. Erstellen Sie für alle Aufgaben eine ausführliche schriftliche Ausarbeitung im PDFFormat mit Ihren Ergebnissen und Beobachtungen.
2. Nutzen Sie Formeln, Tabellen und Grafiken um Ihre Ergebnisse geeignet zu präsentieren.
3. Die Abgabe der Ausarbeitungen und Programme geschieht Gruppenweise in elektronischer Form als EINE gepackte Datei pro Serie.
4. Achten Sie darauf dass in allen Unterlagen Ihr Name/Immat.Nr. und EMail festgehalten
ist.
5. Dokumentieren Sie die notwendigen Schritte zur Ausführung ihrer Programme in einer
README Datei.
6. Achten Sie darauf, dass sich der Quellcode fehlerfrei kompilieren lässt und (möglichst)
einfach strukturiert ist. Fehlerhafter/Unvollständiger Code wird NICHT bewertet!
2
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Kategorie
Gesundheitswesen
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