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2. Termin am 22.10. • lineare Unabhängigkeit, Basen und

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2. Termin am 22.10.
• lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimension
• lineare Abbildungen
• Matrixdarstellung linearer Abbildungen
2.1. Lineare Unabhängigkeit, Basen und Dimension.
Frage 2.1.1. Was ist eine Basis eines K-VRs V ?
Ein Teilmenge B ⊆ V , die folgende äq. Bedingungen erfüllt:
(a)
(b)
(c)
(d)
B ist ein linear unabh. Erzeugendensystem
B ist eine maximale linear unabhängige TM
B ist ein minimales Erzeugendensystem
jedes v ∈ V lässt sich (bis auf Umnummerierung) auf genau eine Weise als Linearkombination
v = λ1 b 1 + · · · + λn b n
(1)
mit n ∈ ◆, b1 , . . . , bn ∈ B, λ1 , . . . , λn ∈ K schreiben, d.h.
sB : K (B) → V, f →
f (b)b,
b∈B
ist bijektiv.
Wie beweist man die Äquivalenz von (a)–(d)? (HA)
Dabei: B linear unabhängig/Erzeugendensystem ⇔ sB ist injektiv/surjektiv.
Frage 2.1.2. Wie prüft man, ob ein geg. Tupel B = (b1 , . . . , bm ) ∈ K n linear unabh./ein
Erz.-System ist?
Später: Bestimme Rang der Matrix B durch Umformung auf Zeilenstufenform.
Frage 2.1.3. Was ist die lineare Hülle LH(B) einer TM B ⊆ V ? (HA)
Das Bild von sB , das ist auch der kleinste B enthaltende UR.
Frage 2.1.4. Hat jeder VR eine Basis?
Ja: Für jede Kette l.u. TMen B0 ⊆ B1 ⊆ · · · von V ist auch B :=
Zorn (benutzt Auswahlaxiom) ⇒ ∃ maximale l.u. TM. von V .
n
Bn l.u.; Lemma von
Frage 2.1.5. Was sagt der Basisergänzungssatz?
Jede l.u. Menge B0 lässt sich zu einer Basis ergänzen: Beweis ähnlich wie oben.
Frage 2.1.6. Was ist die Dimension eines VR? Warum ist sie wohldefiniert?
Für je zwei Basen B, C von V gilt |B| = |C| =: dim V .
Die erste Gleichheit folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz (HA):
Sei B eine Basis des VR V und S ⊆ V l.u..
Dann ex. T ⊆ B mit |T | = |S| so, dass (B \ T ) ∪ S eine Basis ist.
Und zwar so: Für S := C folgt |B| ≥ |T | = |C|, wegen Symmetrie folgt |B| = |C|.
1
Beispiel.
(a) dim K (I) = |I| und B = {δx : x ∈ I} ist eine Basis, wobei δx (y ) =
1,
x = y,
0, sonst.
(b) Für |K| < ∞ ist dim P(K) ≤ |K||K| aber dim K (◆) = ∞
Frage 2.1.7. Was besagt die Dimensionsformel für UR? (HA)
Für URe V, W ⊆ U gilt dim(V + W ) = dim(V ) + dim(W ) − dim(V ∩ W ).
Beweisidee: Wähle Basis B von V ∩ W , ergänze zu Basen B ∪ C von V und B ∪ D von W ;
dann ist B ∪ C ∪ D Basis von V + W .
Frage 2.1.8. Andere Anwendung des Basisergänzungssatzes?
Zu jedem Unterraum W ⊆ V ex. ein Komplement(erraum) U ⊆ V mit V = W
U. (HA)
2.2. Lineare Abbildungen.
Frage 2.2.1. Was ist eine lineare Abbildung?
Eine Abb. f zwischen K-VRen V, W s.d.
∀λ ∈ K, v , v ∈ V : f (λv ) = λf (v ), f (v + v ) = f (v ) + f (v ).
Die Menge Hom(V, W ) der lin. Abb. ist ein K-VR mit
(λf )(v ) = λ · f (v ).
(f + g)(v ) = f (v ) + g(v ),
Frage 2.2.2. Was ist ein Isomorphismus? (HA)
Eine bijektive lin. Abb.; deren Umkehrabb. ist automatisch auch linear.
Frage 2.2.3. Beispiele?
(a) Jede Matrix A = (aij )ij ∈ K m×n definiert eine lin. Abb.
K n → K m , (xj )j = x → Ax := (
aij xj )j
j
(b) Integration:
C([a, b]) → ❈, g →
b
g(x)dx
a
(c) Ableiten formaler Polynome:
K (◆ ) → K (◆ ) ,
an X n →
n
nan X n
n
(d) Auswertung formaler Polynome an einer Stelle λ ∈ K:
K (◆) → K,
an X n → Σn an λn
n
(e) Die Abb. sB :
K (B)
→ V für B ⊆ V ist ein Isomorphismus ⇔ B ist eine Basis.
Frage 2.2.4. Wie hängen der Kern und Injektivität einer lin. Abb. zusammen? (HA)
Frage 2.2.5. Was besagt die Dimensionsformel für lin. Abb.?
2
Zunächst: ker f ⊆ V und f (V ) ⊆ W sind URe. (HA)
Für f wie oben gilt dim V = dim ker f + dim f (V ).
=Rang(f )
Beweisidee: Wähle Basis B von ker f und ergänze zu Basis B ∪ C von V ; dann gilt:
• f ist auf LH(C) injektiv, also |f (C)| = |C|
• f (C) eine Basis von f (V ).
Falls V = W und dim(V ) < ∞, so folgt:
f injektiv ⇔ dim ker f = 0 ⇔ dim f (V ) = dim V ⇔ f surjektiv.
Frage 2.2.6. Wodurch ist eine lin. Abbildung eindeutig bestimmt?
Ist f : V → W linear und B Basis von V , so gilt f |B eindeutig bestimmt durch
(2)
f(
λi bi ) =
λi f (bi ).
i
i
Umgekehrt definiert (2) für jede Wahl von f |B eine lin. Abb. f .
Erhalten damit lin. Isomorphismus Hom(V, W ) → W B = {Abb.B → W }, f → f |B .
2.3. Matrixdarstellung linearer Abbildungen.
Frage 2.3.1. Wie kann man lineare Abbildungen durch Matrizen beschreiben?
Sei f : V → W lin. Abb. V, W endlich-dim., B = (b1 , . . . , bn ) und C = (c1 , . . . , cm )
geordnete Basen von V bzw. W .
Bzgl. B und C kann man jedes v ∈ V , w ∈ W durch die Koordinatenvektoren
B [v ]
:= sB−1 (v ),
C [w ]
:= sC−1 (w )
darstellen.
Insbes. ex. eindeutige λij ∈ K mit
f (bj ) =
λij ci ,
d.h.
C [f
(bj )] = (λij )i ∈ K m ,
i
und die Matrix von f bzgl. B, C ist


λ11 . . . λ1n
 .
.. 
m×n
..
.
.
C [f ]B = (C [f (b1 )] · · · C [f (bn )]) =  ..
. ∈K
λm1 . . . λmn
Das Diagram
VO
f
sB
Kn
/W
O
,
sC
x→C [f ]B x
/ Km
kommutiert, also
C [f
denn f (
j
µj bj ) =
j
(v )] =C [f ]B · B [v ],
λij µj cj .
3
Frage 2.3.2. Beispiele?
1 0
;
0 −1
0 −1
1 0
(a) Spiegelung im R2 an x-Achse:
(b) Drehung im R2 um π/2:
Frage 2.3.3. Was bedeutet dabei die Matrixmultiplikation?
Ist g : W → U lin. Abb., D geordnete Basis von U, so gilt
(3)
D [g
◦ f ]B =
D [g]C
◦C [f ]B ,
=(µij )ij
denn
(g ◦ f )(bj ) =
g(λij ci ) =
i
λij g(ci ) =
i
λij µki dk =
i
k
µki λij dk .
k
i
Frage 2.3.4. Wie hängt die Matrix von den Basen ab?
Obiges liefert
C
[f ]B = C [idW ]C · C [f ]B · B [idV ]B
und B [idV ]B = B [idV ]B −1 .
Im Fall V = W , B = C, B = C ist also B [f ]B = S · B [f ]B · S −1 für S = B [id]B , d.h. die
Matrizen B [f ]B und B [f ]B sind ähnlich.
Frage 2.3.5. Beispiele?
(a) B = (b1 , . . . , bn ) Basis von K n , C = E Standardbasis ⇒
E [id]B
= (E [b1 ] · · ·
E [bn ])
Kn
= (b1 · · · bn ) = B,
denn E [v ] = v für alle v ∈
(b) B, C Basen von K n ⇒ C [id]B =C [id]E · E [id]B = C −1 · B nach (a) und 1.3.3, 1.3.4.
4
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