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2.¨Ubung zur Mathematik für Studierende der Wirtschaftsinformatik

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MATHEMATISCHES INSTITUT
¨ ZU KOLN
¨
DER UNIVERSITAT
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. A. Klawonn
Martin K¨
uhn, M. Sc.
15. Oktober 2014
¨
2. Ubung
zur Mathematik f¨ur Studierende der Wirtschaftsinformatik
¨
Hinweis: Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt ihren Namen. Auf die erste Seite Ihrer Ubung
¨
schreiben Sie bitte zus¨atzlich Ihre Matrikelnummer und Tag und Zeit Ihrer Ubungsstunde.
Heften Sie die Bl¨atter m¨oglichst zusammen.
Begr¨
unden Sie Ihre Antworten ausf¨
uhrlich und geben Sie immer L¨osungswege an.
Aufgabe 1: (6 Punkte)
i) Sei A = {n ∈ N : 0 < n < 5}. Bilden Sie A2 = A × A und A3 = A × A × A. Gilt
(1, 2) ∈ A2 ? Gilt (1, 3, 0) ∈ A3 ? Begr¨
unden Sie!
ii) Seien X = {0, 1, 2}, Y = {3, 4, 5, 6}, Z = {−2, −1}. Bilden Sie X × Z und X × Y × Z.
Gilt (0, 3, −2) ∈ X × Z? Gilt (1, 2, −1) ∈ X × Y × Z? Begr¨
unden Sie!
Aufgabe 2: (9 Punkte)
a) Sei f : M→N mit M = {a, b}, N = {1, 2, 3}, f (a) = 1, f (b) = 2. Ist f injektiv, surjektiv,
bijektiv?
b) Betrachten Sie Teilaufgabe a). K¨onnen Sie f¨
ur gegebenes M und N eine spezielle Funktion
(Zuordnung) f : M → N, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, angeben? K¨onnen
Sie weiterhin eine Funktion g : M → N, die weder injektiv noch surjektiv ist, angeben?
Begr¨
unden Sie und geben Sie die entsprechende Funktion gegebenenfalls an.
i) Seien M = {a, b}, N = {1, 2}.
ii) Seien M = {a, b, c, d}, N = {1, 2, 3}.
iii) Seien M = {a}, N = {1, 2, 3}.
Aufgabe 3: (18 Punkte) Es ist N := {0, 1, 2, 3, . . .}, Z := N ∪ {−1, −2, −3, . . .}, Q :=
{m
: m, n ∈ Z} und R := (−∞, ∞). Entscheiden Sie, ob folgende Funktionen f : A→B
n
injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
a)
i) A = B = R, f (x) = ex
ii) A = [0, ∞), B = R, f (x) =
√
x
iii) A = B = R, f (x) = sin x
iv) A = (− π2 , π2 ), B = R, f (x) = tan x
v) A = B = N, f (n) = n2
vi) A = N, B = Q, f (n) =
1
n
1
vii) A = B = R, f (x) = |2x − 4|
b) Sofern f in den Teilaufgaben nicht bijektiv ist: Existieren Einschr¨ankungen bzw. Teilmengen A′ ⊂ A und B ′ ⊂ B, sodass f : A′ → B ′ jeweils bijektiv ist?
Aufgabe 4: (7 Punkte) Seien f : X→Y, g : Y →Z zwei Funktionen und h = g ◦ f ihre
Komposition. Zeigen Sie: Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch h bijektiv.
Bemerkung: Die Verkn¨
upfung oder Komposition ◦ zweier Funktionen f und g, als g ◦ f , ist
f¨
ur x ∈ X definiert durch
(g ◦ f )(x) := g(f (x)).
Abgabedatum: bis Mittwoch, 22. Oktober 2014, 15:00 Uhr im jeweiligen Kasten
in Raum 3.01 des Mathematischen Instituts.
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Bildung
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