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Maß- und Integrationstheorie - Fakultät 1 - TU Bergakademie Freiberg

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Lesender: Dr. Udo Lorz
Maß- und Integrationstheorie
Kontaktdaten:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/dek/mitarbeiter/udo-lorz
Studienjahr 2014/15
Website zur Vorlesung:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/mit
¨
Ubungsleiter:
Dr. Felix Ballani
Dr. Udo Lorz
TU Bergakademie Freiberg
Fakult¨
at f¨
ur Mathematik und Informatik
Kontaktdaten:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/sto/mitarbeiter/felix-ballani
¨
Website zur Ubung:
http://www.mathe.tu-freiberg.de/mit-ue
Stand: 17. November 2014
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¨
HAITI-Ubungen
Alleine versuchen, die Aufgaben zu l¨
osen
Im Team die Probleme besprechen und gemeinsam L¨
osungen finden
¨
¨
In der n¨achsten Ubung
werden vom Ubungsleiter
nur die
Restprobleme behandelt
Maß- und Integrationstheorie
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Literatur
Elstrodt, J.: Maß- und Integrationstheorie.
Springer-Verlag, 6. Auflage, 2009.
¨
Hausaufgaben (Ubungsserien)
werden bereitgestellt
TU Bergakademie Freiberg
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Bauer, H.: Maß- und Integrationstheorie.
Verlag Walter de Gruyter, 2. Auflage, 1992.
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Module, die auf der Grundvorlesung Stochastik aufbauen
Stochstische Prozesse
(WS: Stochstische Prozesse, SS: Stochastische Analysis)
Modul Stochastik f¨
ur Mathematiker
Im Wintersemester: Maß- und Integrationstheorie 2+1 SWS
Im Sommersemester: Wahrscheinlichkeitstheorie
(sowie Elemente der Mathematischen Statistik) 3+2 SWS
Stochastische Geometrie und r¨aumliche Statistik
(WS: Stochastische Geometrie, SS: R¨aumliche Statistik)
Stochastik: fasst als Oberbegriff Wahrscheinlichkeitstheorie und
Mathematische Statistik zusammen
Theoretische Statistik
(WS: Sch¨atz- und Testtheorie, SS: Asymptotische und algorithmische
Statistik)
Großteil der Wahrscheinlichkeitstheorie baut auf den allgemeinen
Aussagen der Maß- und Integrationstheorie auf
Statistische Analysemethoden f¨ı¿ 12 r Mathematiker
(WS: Multivariate Statistik, SS: Zeitreihenanalyse)
Maß- und Integrationstheorie aber auch wichtig in der Analysis
(z.B. Lebesgue-Maß)
Angewandte Statistik (WS: Teil 1, SS: Teil 2)
Finanz- und Versicherungsmathematik (SS)
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Motivation zur Maßtheorie
Maßtheorie
...
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Messen
Sinnvolle Eigenschaften eines Maßes
Was wird woran gemessen?
Die L¨ange einer Strecke bzw. Kurve.
µpHq “ 0.
Der Umfang oder der Fl¨acheninhalt eines ebenen Gebietes.
µpAq ě 0.
Die Oberfl¨ache oder das Volumen eines r¨aumlichen K¨
orpers.
F¨
ur A Ď B sollte gelten: µpAq ď µpBq.
F¨
ur A X B “ H sollte gelten: µpA Y Bq “ µpAq ` µpBq.
Menge
A
Messen (Maß)
ÝÑ
µ
Menge
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ÝÑ
Maßzahl
µpAq
Maßzahl
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aume
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Vereinbarungen
N “ t1, 2, . . .u bezeichnet die Menge der nat¨
urlichen Zahlen.
Definitionsbereich eines Maßes
Kann man ein Maß mit den obigen Eigenschaften f¨
ur alle Teilmengen A
einer Grundmenge X definieren, d.h.
N0 “ N Y t0u
Z bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen.
Q bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen.
µ : PpXq ÞÑ r0, 8s also Dµ “ PpXq?
R bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.
Antwort: Nein, nicht immer!
ñ Was ist der geeignete, m¨
oglichst große Definitionsbereich eines Maßes?
X ‰ H ist eine nichtleere Grundmenge.
Ac “ XzA Ď X bezeichnet das Komplement der Menge A Ď X.
PpXq bezeichnet die Potenzmenge der Menge X.
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1.1 Algebren
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1.1 Definition
Unter einem Mengensystem M u
¨ber (auf, in) X versteht man eine System
von Teilmengen A Ď X, d.h.
H Ă M Ď PpXq.
1.2 Definition
Ein Mengensystem M u
¨ber X heißt durchschnittsabgeschlossen
(durchschnittsstabil, X-stabil), falls f¨
ur beliebige Mengen A, B P M gilt
A X B P M.
Man beachte!
Die Elemente eines Mengensystems sind Mengen!
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1.3 Beispiele
1.4 Definition
(1) Das Mengensystem I0,1,2 “ tra, bq : 0 ď a ă 1, 1 ă b ď 2u u
¨ber
X “ r0, 2q ist durchschnittsabgeschlossen.
Ein Mengensystem M u
¨ber X heißt vereinigungsabgeschlossen
(vereinigungsstabil, Y-stabil), falls f¨
ur beliebige Mengen A, B P M gilt
(2) Das Mengensystem Ia,b “ tra, bq : a, b P R, a ă bu u
¨ber X “ R ist
nicht durchschnittsabgeschlossen.
Jedoch ist Ia,b “ Ia,b Y tHu durchschnittsabgeschlossen.
A Y B P M.
(3) Das Mengensystem S “ tp´8, xs : x P Ru u
¨ber X “ R ist
durchschnittsabgeschlossen.
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1.5 Beispiele
1.6 Definition
(1) Das Mengensystem I0,1,2 “ tra, bq : 0 ď a ă 1, 1 ă b ď 2u u
¨ber
X “ r0, 2q ist vereinigungsabgeschlossen.
Ein Mengensystem M u
¨ber X heißt differenzenabgeschlossen
(differenzenstabil), falls f¨
ur beliebige Mengen A, B P M gilt
(2) Das Mengensystem Ha “ tp´8, xs : x P Ru u
¨ber X “ R ist
vereinigungsabgeschlossen.
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AzB P M.
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1.7 Definition
1.8 Beispiele
Unter einer Algebra A u
¨ber X versteht man ein Mengensystem A Ď PpXq
mit
(1) Die kleinstm¨
oglichste Algebra
A “ tH, Xu .
(A1) X P A.
(A2) F¨
ur A P A ist Ac P A.
(2) Die gr¨
oßtm¨
oglichste Algebra
(A3) F¨
ur A, B P A ist A Y B P A.
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A “ PpXq.
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1.10 Beispiel
1.9 Beispiel
Etwas gr¨
oßer...
Die n¨achst gr¨
oßere Algebra als die Kleinste
A “ tH, A, Ac , Xu
A “ tH, A, Ac , B, B c , A Y B, Ac X B c , Xu
f¨
ur H Ă A Ă X.
f¨
ur
H Ă A, B Ă X, A X B “ H.
X
X
A
A
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B
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1.12 Beispiel
1.11 Beispiel
Nun etwas gr¨
oßer...
Nicht gr¨
oßer, aber etwas anders...
c
c
c
c
A “ tH, A, A , B, B , A Y B , A X B, Xu
A “tH, A, Ac , B, B c , A Y B, Ac X B c , Ac Y B, A X B c , A Y B c , Ac X B,
f¨
ur
Ac Y B c , A X B, pA Y Bq X pA X Bqc , pA X Bq Y pA Y Bqc , Xu
H Ă A, B Ă X, A Ă B.
f¨
ur H Ă A, B Ă X beliebig.
X
X
A
B
A
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B
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Beipiel f¨
ur eine endliche Zerlegung
1.13 Beispiel
Sei A1 , . . . , An eine endliche Zerlegung von X, d.h. die Mengen Ai Ă X,
n
Ť
i “ 1, . . . , n, sind paarweise disjunkt, und es gilt
Ai “ X. Dann ist das
A10
A9
X
A7
i“1
Mengensystem
A“
#
ď
A1
+
Ai : I P PpIn q ,
wobei
In “ t1, . . . , nu ,
A3
iPI
A8
eine Algebra u
oglichen Vereinigungen
¨ber X, d.h. A bestehtŤaus allen m¨
von Mengen Ai . Da H P PpIn q ist
Ai “ H P A.
iPH
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A4
A12
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A2
A6
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1.15 Beispiel
1.14 Anmerkung
Algebren, die wie in Beispiel 1.13 durch endliche Zerlegungen erzeugt
werden, haben 2n Elemente, wobei n “ card pIn q. Die Algebren aus den
Beispielen 1.8 (1), 1.9 bis 1.12 ordnen sich hier entsprechend ein.
Beispiel 1.8 (1): n “ 1, A1 “ X.
Beispiel 1.9: n “ 2, A1 “ A, A2 “ Ac .
Beispiel 1.10: n “ 3, A1 “ A, A2 “ B, A3 “ pA Y Bqc .
Beispiel 1.11: n “ 3, A1 “ A, A2 “ BzA, A3 “ B c .
Beispiel 1.12: n “ 4, A1 “ A X B, A2 “ AzB, A3 “ BzA, A4 “ pA Y Bqc .
Nun etwas konkretere Beispiele f¨
ur endliche Algebren u
¨ber derselben
Grundmenge X.
X “ ta, b, c, du
A1 “ tH, ta, b, c, duu
(vgl. Beispiel 1.8 (1))
A2 “ tH, tau, tb, c, du, ta, b, c, duu
(vgl. Beispiel 1.9)
A3 “ tH, ta, bu, tc, du, ta, b, c, duu
(vgl. Beispiel 1.9)
A4 “ tH, tau, tb, cu, tb, c, du, ta, du, tdu, ta, b, cu, ta, b, c, duu (vgl. 1.10)
A5 “ tH, tau, ta, bu, tb, c, du, tc, du, tbu, ta, c, du, ta, b, c, duu (vgl. 1.11)
A6 “tH, tau, tbu, tcu, tdu, ta, bu, ta, cu, ta, du, tb, cu, tb, du, tc, du,
ta, b, cu, ta, b, du, ta, c, du, tb, c, du, ta, b, c, duu (vgl. Beispiel 1.12)
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1.16 Beispiel
X “ ra, bq,
1.17 Beispiel
´8 ă a ă b ă 8
M “ trc, dq : a ď c ď d ď bu
M ist nicht vereinigungsabgeschlossen und auch nicht abgeschlossen
bez¨
uglich der Komplementbildung
ñ M ist keine Algebra u
¨ber X
Aber:
A . . . das System aller Vereinigungen von endlich vielen, paarweise
disjunkten Intervallen aus M
#
+
n
ď
A“
rci , di q : a ď ci ď di ď b, rci , di q X rcj , dj q “ H, @i ‰ j, n P N
X“
d
ą
rai , bi q,
´8 ă ai ă bi ă 8,
i “ 1, . . . , d
i“1
#
Md “
+
d
ą
rci , di q : ai ď ci ď di ď bi ,
i “ 1, . . . , d
i“1
ñ Md ist keine Algebra
Aber:
Ad analog konstruiert wie in Beispiel 1.16 ist eine Algebra u
¨ber X.
i“1
ñ A ist Algebra u
¨ber X
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1.18 Anmerkung
Eine Algebra ist abgeschlossen bez¨
uglich
Komplementbildung
¨
1.19 Ubungsaufgabe
endlicher Vereinigungsbildung
Zeigen Sie, dass jedes differenzenstabile Mengensystem M Ď PpXq
durchschnittsstabil ist.
endlicher Durchschnittsbildung
Differenzbildung
Bildung der symmetrischen Differenz
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¨
1.21 Ubungsaufgabe
¨
1.20 Ubungsaufgabe
Zeigen Sie, dass jedes durchschnittsstabile MengensystemM Ď PpXq, das
auch bez¨
uglich der Komplementbildung abgeschlossen ist, differenzenstabil
ist.
Zeigen Sie, dass ein Mengensystem A Ď PpXq genau dann eine Algebra
ist, wenn die folgenden Bedingungen erf¨
ullt sind
(A1’) H P A.
(A2) F¨
ur A P A ist Ac P A.
(A3’) F¨
ur A, B P A ist A X B P A.
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1.2 σ-Algebren
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Unter einer σ-Algebra X u
¨ber X versteht man ein Mengensystem
X Ď PpXq mit
abz¨ahlbarer Vereinigungsbildung ñ Grenz¨
uberg¨ange sind m¨
oglich
abz¨ahlbarer Durchschnittsbildung ñ Grenz¨
uberg¨ange sind m¨
oglich
(S2) F¨
ur A P X ist Ac P X.
(S3) F¨
ur A1 , A2 , . . . P X ist
8
Ť
Differenzbildung
An P X.
Bildung der symmetrischen Differenz
n“1
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1.2 σ-Algebren
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1 Messbare R¨
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1.2 σ-Algebren
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1.25 Satz
1.24 Beispiele
Sei X eine σ-Algebra u
¨ber X und X0 Ď X. Dann ist das Mengensystem
Die kleinstm¨
oglichste σ-Algebra X “ tH, Xu.
Die gr¨
oßtm¨
oglichste σ-Algebra X “ PpXq.
X X X0 :“ tA X X0 : A P Xu
Jede endliche Algebra ist eine σ-Algebra
(vgl. Beispiele 1.8 bis 1.15).
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Komplementbildung
(S1) X P X.
1 Messbare R¨
aume
1.2 σ-Algebren
1.23 Anmerkung
Eine σ-Algebra ist abgeschlossen bez¨
uglich
1.22 Definition
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eine σ-Algebra u
¨ber X0 .
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1.2 σ-Algebren
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1.27 Beispiel
Wir betrachten die (σ-)Algebra
1.26 Definition
Die σ-Algebra X X X0 u
¨ber X0 wird Spur-σ-Algebra bzw. kurz Spur von X
auf X0 genannt.
A6 “tH, tau, tbu, tcu, tdu, ta, bu, ta, cu, ta, du, tb, cu, tb, du, tc, du,
ta, b, cu, ta, b, du, ta, c, du, tb, c, du, ta, b, c, duu
u
¨ber X “ ta, b, c, du (vgl. Beispiel 1.15), und es sei Xo “ ta, c, du. Dann
ist
A6 X Xo “ tH, tau, tcu, tdu, ta, cu, ta, du, tc, du, ta, c, duu.
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1.2 σ-Algebren
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1.28 Anmerkung
Man beachte, dass die Darstellung der Mengen B P A6 X Xo nicht
eindeutig ist, d.h. es kann mehrere Mengen A, A1 P A6 , A ‰ A1 mit
B “ A X Xo “ A1 X Xo
1.29 Satz
Sei I ‰ H eine beliebige Indexmenge. F¨
ur i P I sei Xi eine σ-Algebra u
¨ber
X. Dann ist
č
X“
Xi
geben. Die Mengen A und A1 k¨
onnen sich außerhalb von Xo
unterscheiden. Offensichtlich gilt im Beispiel 1.27
H
tau
tcu
tdu
ta, cu
ta, du
tc, du
ta, c, du
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“
H X ta, c, du
“
tau X ta, c, du
“
tcu X ta, c, du
“
tdu X ta, c, du
“
ta, cu X ta, c, du
“
ta, du X ta, c, du
“
tc, du X ta, c, du
“ ta, c, du X ta, c, du
“
tbu X ta, c, du,
“
ta, bu X ta, c, du,
“
tb, cu X ta, c, du,
“
tb, du X ta, c, du,
“
ta, b, cu X ta, c, du,
“
ta, b, du X ta, c, du,
“
tb, c, du X ta, c, du,
“ ta, b, c, du X ta, c, du.
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iPI
eine σ-Algebra u
¨ber X.
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1.2 σ-Algebren
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1.2 σ-Algebren
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1.30 Definitionen
Sei E Ď PpXq ein Mengensystem und
1.31 Anmerkungen
X pEq :“ tX : E Ď X, X ist σ-Algebra u
¨berXu
Die erzeugte σ-Algebra σpEq ist die kleinste σ-Algebra, die E umfasst
und damit eindeutig bestimmt.
das System der E umfassenden σ-Algebren, dann heißt
č
X
σpEq :“
Unterschiedliche Erzeugendensysteme k¨
onnen dieselbe σ-Algebra
erzeugen. Das Erzeugendensystem einer σ-Algebra ist somit nicht
eindeutig bestimmt.
XPXpEq
die von E erzeugte σ-Algebra. Das Mengensystem E wird
Erzeugendensystem(erzeugendes System bzw. Erzeuger) von σpEq
genannt.
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1.2 σ-Algebren
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1.32 Beispiele
Sei E “ tHu. Dann ist σpEq “ tH, Xu.
1.33 Satz
Sei E “ tXu. Dann ist σpEq “ tH, Xu.
(1) F¨
ur jedes Mengensystem E Ď PpXq gilt
Sei A Ă X beliebig und E “ tAu. Dann ist (vgl. Beispiel 1.9)
σpσpEqq “ σpEq
σpEq “ tH, A, Ac , Xu.
Seien A, B P PpXq beliebig und E “ tA, Bu. Dann ist (vgl. Beispiel
1.12)
σpEq “tH, A, Ac , B, B c , A Y B, Ac X B c , Ac Y B, A X B c ,
A Y B c , Ac X B, Ac Y B c , A X B,
pσ ist H¨
ullenoperatorq.
(2) F¨
ur beliebige Mengensysteme E1 , E2 Ď PpXq gilt
(a) E1 Ď E2
ñ σpE1 q Ď σpE2 q
(b) E1 Ď E2 Ď σpE1 q
ñ σpE1 q “ σpE2 q
(c) E1 Ď σpE2 q ^ E2 Ď σpE1 q ñ σpE1 q “ σpE2 q
pA Y Bq X pA X Bqc , pA X Bq Y pA Y Bqc , Xu.
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1.2 σ-Algebren
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1 Messbare R¨
aume
1.2 σ-Algebren
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1.34 Definitionen
Unter einem messbaren Raum versteht man ein Paar pX, Xq, wobei X
eine nichtleere Grundmenge und X eine σ-Algebra u
¨ber X ist.
Die Mengen A Ď X mit A P X heißen messbare Mengen bzw.
X-messbare Mengen.
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1.2 σ-Algebren
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¨
1.35 Ubungsaufgabe
Geben Sie zwei verschiedene Mengensysteme E1 , E2 Ď PpXq an, die
dieselbe σ-Algebra erzeugen, d.h. f¨
ur die gilt σpE1 q “ σpE2 q.
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1.3 Borel-Mengen
| 48 |
1.37 Definition
¨
1.36 Ubungsaufgabe
Zeigen Sie, dass gilt X “ σpXq, falls X eine σ-Algebra u
¨ber X ist.
Sei pX, dq ein metrischer Raum (oder noch allgemeiner pX, τ q ein
topologischer Raum) und O das System der offenen Teilmengen O Ď X.
Dann wird
BpXq :“ σpOq
die σ-Algebra der Borel-Mengen u
¨ber X genannt.
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1 Messbare R¨
aume
1.3 Borel-Mengen
| 49 |
1 Messbare R¨
aume
1.3 Borel-Mengen
| 50 |
1.38 Satz
Spezielle Bezeichnungen f¨
ur Spezialf¨alle
X “ R,
X “ Rd ,
Die σ-Algebra der Borel-Mengen B u
¨ber R wird durch die folgenden
Mengensysteme erzeugt
B :“ BpRq, messbarer Raum pR, Bq
(1) A “ tA Ď X : A abgeschlossenu abgeschlossene Mengen,
(2) Io “ tpa, bq : a, b P R, a ă bu offene Intervalle,
Bd :“ BpRd q, messbarer Raum pRd , Bd q
(3) Ia,o “ tra, bq : a, b P R, a ă bu halboffene Intervalle,
(4) Ho “ tp´8, bq : b P Ru offene Halbstrahlen.
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1 Messbare R¨
aume
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1.3 Borel-Mengen
| 51 |
¨
1.39 Ubungsaufgabe
Zeigen Sie, dass die σ-Algebra der Borel-Mengen B u
¨ber R durch die
folgenden Mengensysteme erzeugt wird
(5) Io,a “ tpa, bs : a, b P R, a ă bu halboffene Intervalle,
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1 Messbare R¨
aume
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1.3 Borel-Mengen
| 52 |
1.40 Anmerkung
Beispiele f¨
ur Erzeugendensysteme f¨
ur Bd
(
(1) Ko “ x P Rd : }x ´ x0 } ă r, x0 P Rd , r ą 0 offene Kugeln,
" d
*
Ś
(2) Qo “
pai , bi q : ai , bi P R, ai ă bi , i “ 1, . . . , d offene Quader,
i“1
d
Ś
"
(6) Ia “ tra, bs : a, b P R, a ă bu abgeschlossene Intervalle,
(7) Io “ tpa, bq : a, b P Q, a ă bu offene Intervalle mit rationalen
Endpunkten,
(8) Ha “ tp´8, bs : b P Ru abgeschlossene Halbstrahlen,
(9) Ho,Q “ tp´8, bq : b P Qu offene Halbstrahlen mit rationalem
Randpunkt.
(3) Qa,o “
*
rai , bi q : ai , bi P R, ai ă bi , i “ 1, . . . , d
halboffene
i“1
Quader,
" d
*
Ś
(4) Ho “
p´8, bi q : bi P R, i “ 1, . . . , d offene Halbr¨aume,
(5) Ha,Q “
i“1
" d
Ś
*
p´8, bi s : bi P Q, i “ 1, . . . , d
abgeschlossene
i“1
Halbr¨aume mit rationalen Randpunkten.
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2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
| 53 |
2 Messbare Abbildungen
2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
| 54 |
2.1 Definitionen
Sei f : X ÞÑ Y eine Abbildung.
2.2 Satz
Die durch
f ´1 pBq :“ tx P X : f pxq P Bu
f¨
ur B Ď Y
Die Urbildabbildung f ´1 hat folgende Eigenschaften.
(1) f ´1 pY q “ X.
`
˘c
(2) f ´1 pB c q “ f ´1 pBq
definierte Abbildung
f ´1 : PpY q ÞÑ PpXq
f¨
ur B P PpY q.
(3) Sei I ‰ H eine beliebige Indexmenge. Dann gilt
˜
¸
ď
ď
f ´1
Bi “
f ´1 pBi q f¨
ur Bi P PpY q, i P I.
wird Urbildabbildung bzgl. f genannt.
Die Menge f ´1 pBq heißt Urbild der Menge B Ď Y bzgl. f .
iPI
F¨
ur N Ď PpY q wird
iPI
(
f ´1 pNq :“ f ´1 pBq : B P N Ď PpXq
das Mengensystem der Urbilder von N bzgl. f genannt.
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2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
| 55 |
¨
2.3 Ubungsaufgabe
Beweisen Sie diese weiteren Eigenschaften der Urbildabbildung.
(4) f ´1 pAzBq “ f ´1 pAq z f ´1 pBq.
(5) Sei I ‰ H eine beliebige Indexmenge. Dann gilt
˜
¸
č
č
f ´1
Bi “
f ´1 pBi q f¨
ur Bi P PpY q, i P I.
iPI
iPI
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2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
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| 56 |
2.4 Satz
Sei f : X ÞÑ Y eine Abbildung und Y eine σ-Algebra u
¨ber Y . Dann ist das
Mengensystem
(
´1
´1
f pYq “ f pBq : B P Y Ď PpXq
eine σ-Algebra u
¨ber X.
(6) Seien N1 Ď N2 Ď PpY q Mengensysteme. Dann gilt
f ´1 pN1 q Ď f ´1 pN2 q Ď PpXq.
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2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
| 57 |
2.5 Definition
Sei f : X ÞÑ Y eine Abbildung und Y eine σ-Algebra u
¨ber Y . Dann wird
die σ-Algebra f ´1 pYq u
¨ber X Urbild-σ-Algebra von Y bzgl. f genannt.
2 Messbare Abbildungen
2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
| 58 |
¨
2.6 Ubungsaufgabe
Sei f : X ÞÑ Y eine Abbildung und X eine σ-Algebra u
¨ber X. Zeigen Sie,
dass das Mengensystem
(
G “ B Ď Y : f ´1 pBq P X Ď PpY q
eine σ-Algebra u
¨ber Y ist.
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aume
| 59 |
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aume
| 60 |
2.7 Definitionen
Seien pX, Xq und pY, Yq messbare R¨aume.
Die Abbildung f : X ÞÑ Y heißt pX, Yq-messbar, falls
2.8 Satz
f ´1 pYq Ď X,
Seien pX, Xq und pY, Yq messbare R¨aume und E ein Erzeugendensystem
von Y. Die Abbildung f : X ÞÑ Y ist genau dann pX, Yq-messbar, wenn
d.h.
f ´1 pBq P X
f¨
ur alle
BPY
f ´1 pEq Ď X.
(die Urbilder Y-messbarer Mengen bzgl. f sind X-messbar).
Man nennt f eine Abbildung messbarer R¨aume und schreibt daf¨
ur
f
pX, Xq ÝÝÝÑ pY, Yq,
falls f : X ÞÑ Y eine pX, Yq-messbare Abbildung ist.
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2.1 Abbildungen messbarer R¨
aume
| 61 |
2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 62 |
2.9 Satz
Gegeben seien messbare R¨aume pX, Xq, pY, Yq und pZ, Zq. Ist die
Abbildung
f : X ÞÑ Y pX, Yq-messbar
2.10 Definitionen
Reellwertige Abbildungen f : X ÞÑ R werden als Funktionen
bezeichnet.
und die Abbildung
g : Y ÞÑ Z
Sei pX, Xq ein messbarer Raum. F¨
ur den Spezialfall pY, Yq “ pR, Bq
wird die pX, Bq-messbare Funktion f : X ÞÑ R kurz X-messbar
genannt.
pY, Zq-messbar,
so ist die Abbildung
g ˝ f : X ÞÑ Z
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pX, Zq-messbar.
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2.2 Messbare Funktionen
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| 63 |
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2.2 Messbare Funktionen
| 64 |
2.12 Beispiele
2.11 Satz
Sei pX, Xq ein messbarer Raum. F¨
ur die X-Messbarkeit der Funktion
f : X ÞÑ R ist jede der folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend
(1) tx P X : f pxq ă cu P X f¨
ur alle c P R,
(2) tx P X : f pxq ď cu P X f¨
ur alle c P R,
(3) tx P X : f pxq ą cu P X f¨
ur alle c P R,
(4) tx P X : f pxq ě cu P X f¨
ur alle c P R.
(1) Konstante Funktionen sind bez¨
uglich jeder σ-Algebra X u
¨ber X
X-messbar.
(2) Sei pX, Xq ein messbarer Raum und A P X. Dann ist die
Indikatorfunktion der Menge A
"
1 f¨
ur x P A,
IA pxq :“
0 f¨
ur x R A
X-messbar.
(3) Sei X “ PpXq. Dann sind alle Funktionen f : X ÞÑ R X-messbar.
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2.2 Messbare Funktionen
| 65 |
2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 66 |
2.14 Beispiele
2.13 Definition
F¨
ur den noch spezielleren Fall X “ Y “ R und entsprechend X “ Y “ B
wird die pB, Bq-messbare Funktion f : R Ñ
Þ R kurz messbar genannt.
(1) Indikatorfunktionen IB mit B P B sind messbar.
(2) Monotone Funktionen f : R ÞÑ R sind messbar.
(3) Stetige Funktionen f : R ÞÑ R sind messbar.
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2.2 Messbare Funktionen
| 67 |
2.15 Definition
Die Menge
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2.2 Messbare Funktionen
| 68 |
2.15 Definition (Fortsetzung)
F¨
ur die Addition soll gelten
R :“ R Y t´8, `8u
wird Erweiterung (Kompaktifizierung) der reellen Zahlen genannt. F¨
ur R
wird vereinbart, dass
´p˘8q “ ¯8
a ` p˘8q “ p˘8q ` a “ ˘8 f¨
ur alle
a P R,
a ´ p˘8q “ ´p˘8q ` a “ ¯8 f¨
ur alle
a P R,
˘8 ˘ p`8q “ ˘8,
˘8 ` p¯8q ist nicht definiert,
und
| ´ 8| “ | ` 8| “ 8
˘8 ´ p˘8q ist nicht definiert,
sowie
a ą ´8 und a ă `8 f¨
ur alle
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d.h. die Addition auf R ist nicht vollst¨andig definiert.
a P R.
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2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
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2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 70 |
¨
2.16 Ubungsaufgabe
Zeigen Sie, dass das Mengensystem
2.15 Definition (Fortsetzung)
Weiterhin soll f¨
ur die Multiplikation gelten
(
B :“ B Ď R : B X R P B
a ¨ p˘8q “ p˘8q ¨ a “ ˘8 f¨
ur a ą 0,
eine σ-Algebra u
¨ber R ist und dass gilt
a ¨ p˘8q “ p˘8q ¨ a “ ¯8 f¨
ur a ă 0,
B “ B Y tB Y t`8u : B P Bu
0 ¨ p˘8q “ p˘8q ¨ 0 “ 0,
Y tB Y t´8u : B P Bu
p`8q ¨ p˘8q “ p˘8q ¨ p`8q “ ˘8,
Y tB Y t´8, `8u : B P Bu
p´8q ¨ p˘8q “ p˘8q ¨ p´8q “ ¯8,
sowie
d.h. die Multiplikation ist im Unterschied zur Addition auf R vollst¨andig
definiert.
(
B X R “ B X R : B P B “ B,
d.h. die Spur-σ-Algebra von B auf R ist gerade die σ-Algebra B der
Borel-Mengen u
¨ber R.
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2.2 Messbare Funktionen
| 71 |
2.17 Definitionen
2 Messbare Abbildungen
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2.2 Messbare Funktionen
| 72 |
2.18 Satz
Die σ-Algebra B u
¨ber R wird die erweiterte σ-Algebra der
Borel-Mengen u
¨ber R genannt.
Die erweiterte σ-Algebra B der Borel-Mengen u
¨ber R wird durch
folgende Mengensysteme erzeugt
Eine Abbildung f : X ÞÑ R heißt numerische Funktion.
Sei pX, Xq ein messbarer Raum. Dann wird die pX, Bq-messbare
numerische Funktion f : X ÞÑ R kurz X-messbar genannt.
pB, Bq-messbare numerische Funktionen f : R ÞÑ R und
pB, Bq-messbare numerische Funktionen f : R ÞÑ R heißen kurz
messbar.
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(1) Ho “ tr´8, cq : c P Ru,
(2) Ha “ tr´8, cs : c P Ru,
(3) Ho,r “ tpc, `8s : c P Ru,
(4) Ha,r “ trc, `8s : c P Ru.
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2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 73 |
2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 74 |
2.20 Beispiele
2.19 Folgerung
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f : X ÞÑ R eine numerische Funktion.
F¨
ur die X-Messbarkeit von f ist jede der folgenden Bedingungen
notwendig und hinreichend
(1) Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f : X ÞÑ R eine pX, Bq-messbare
Funktion mit tf pxq : x P Xu Ď R. Dann ist f auch pX, Bq-messbar.
(2) Sei X “ PpXq. Dann sind alle numerischen Funktionen f : X ÞÑ R
X-messbar.
(3) Sei pX, Xq ein messbarer Raum, A P X und
#
8 f¨
ur x P A,
f pxq “ 8 ¨ IA pxq “
0 f¨
ur x R A.
(1) tx P X : f pxq ă cu P X f¨
ur alle c P R,
(2) tx P X : f pxq ď cu P X f¨
ur alle c P R,
(3) tx P X : f pxq ą cu P X f¨
ur alle c P R,
(4) tx P X : f pxq ě cu P X f¨
ur alle c P R.
Dann ist die numerische Funktion f : X ÞÑ R X-messbar.
(4) Monotone numerische Funktionen f : R ÞÑ R sind messbar.
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2 Messbare Abbildungen
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2.2 Messbare Funktionen
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| 75 |
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2 Messbare Abbildungen
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| 76 |
2.21 Lemma
2.22 Satz
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f, g : X ÞÑ R X-messbare numerische
Funktionen. Dann gilt
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f, g : X ÞÑ R X-messbare numerische
Funktionen. Dann sind auch die numerischen Funktionen
(1) tx P X : f pxq ă gpxqu P X,
(1) af ` b mit a, b P R,
(2) tx P X : f pxq ď gpxqu P X,
(2) f ` g
(3) tx P X : f pxq “ gpxqu P X und
(3) f ¨ g und
(4) tx P X : f pxq ‰ gpxqu P X,
(4) f {g, falls gpxq R t´8, 0, `8u f¨
ur alle x P X
d.h. die betrachteten Mengen sind X-messbar.
X-messbar.
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und f ´ g, soweit auf ganz X definiert,
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2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 77 |
2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 78 |
2.23 Folgerung
2.24 Satz
Sei pX, Xq ein messbarer Raum, a, b P R und f, g : X ÞÑ R X-messbare
numerische Funktionen. Dann ist auch
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f, g : X ÞÑ R X-messbare numerische
Funktionen. Dann sind auch die numerischen Funktionen
(1) min tf, gu
af ` bg,
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und
(2) max tf, gu
soweit auf ganz X definiert, eine X-messbare numerische Funktion.
X-messbar.
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2.2 Messbare Funktionen
| 79 |
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2 Messbare Abbildungen
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2.2 Messbare Funktionen
| 80 |
2.25 Folgerung und Definitionen
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f : X ÞÑ R eine X-messbare
numerische Funktion. Dann sind auch die numerischen Funktionen
(1) f ` :“ max tf, 0u ě 0,
2.26 Lemma
(2) f ´ :“ max t´f, 0u “ ´ min tf, 0u ě 0,
(2) f pxq “ f ` pxq ´ f ´ pxq.
X-messbar.
Die numerischen Funktionen f ` und f ´ werden positiver bzw. negativer
Anteil von f oder kurz Positivteil bzw. Negativteil von f genannt.
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Maß- und Integrationstheorie
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Sei f : X ÞÑ R eine numerische Funktion. Dann gilt f¨
ur alle x P X
(1) |f pxq| “ f ` pxq ` f ´ pxq
Insbesondere sind somit
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f`
und
` f ´ und f ` ´ f ´ auf ganz X definiert.
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2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 81 |
2 Messbare Abbildungen
2.2 Messbare Funktionen
| 82 |
¨
2.28 Ubungsaufgabe
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und fn : X ÞÑ R, n “ 1, 2, . . . , X-messbare
numerische Funktionen. Zeigen Sie, dass dann auch die numerischen
Funktionen
2.27 Folgerung
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und f : X ÞÑ R eine X-messbare
numerische Funktion. Dann ist auch die numerische Funktion |f |
X-messbar.
(1) inf fn ,
nPN
(2) sup fn ,
nPN
(3) lim fn und
nÑ8
(4) lim fn
nÑ8
X-messbar sind.
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2.2 Messbare Funktionen
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| 83 |
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3 Maßr¨
aume
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3.1 Pr¨
amaße
| 84 |
3.1 Definitionen
2.29 Folgerung
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und fn : X ÞÑ R, n “ 1, 2, . . . , X-messbare
numerische Funktionen. Die Folge pfn q8
n“1 konvergiere punktweise. Dann
ist auch
f “ lim fn
nÑ8
X-messbar.
Sei A eine Algebra u
¨ber X ‰ H. Unter einem Pr¨amaß auf A versteht man
eine Mengenfunktion µ : A ÞÑ r0, 8s mit den Eigenschaften
(P1) µpHq “ 0 und
(P2) µ ist σ-additiv, d.h. f¨
ur eine beliebige Folge A1 , A2 , . . . P A
mit A
ur i ‰ j (paarweise disjunkte Mengen)
Ťi X Aj “ H f¨
und 8
n“1 An P A gilt
˜
¸
8
8
ď
ÿ
µ
An “
µpAn q.
n“1
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n“1
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3 Maßr¨
aume
3.1 Pr¨
amaße
| 85 |
3 Maßr¨
aume
3.1 Pr¨
amaße
| 86 |
3.3 Satz (Eigenschaften eines Pr¨amaßes) und Definitionen
Sei A eine Algebra u
¨ber X ‰ H und µ ein Pr¨amaß auf A.
Dann besitzt µ folgende Eigenschaften.
3.2 Definitionen
Sei A eine Algebra u
¨ber X ‰ H.
Ein Pr¨amaß µ auf A heißt endlich, falls µpXq ă 8.
(1) µ ist endlich additiv,
d.h. f¨
ur paarweise disjunkte Mengen A1 , . . . , An P A, n P N, gilt
˜
¸
n
n
ď
ÿ
µ
Ai “
µpAi q.
Ein Pr¨amaß µ auf A heißt σ-endlich, falls Mengen A1 , A2 , . . . P A
existieren mit
8
ď
An “ X
i“1
i“1
n“1
(2) µ ist subtraktiv, d.h f¨
ur A, B P A, A Ď B, µpAq ă 8, folgt
und
µpAn q ă 8
f¨
ur alle
n P N.
µpBzAq “ µpBq ´ µpAq.
(3) µ ist monoton, d.h f¨
ur A, B P A, A Ď B, folgt µpAq ď µpBq.
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aume
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3.1 Pr¨
amaße
| 87 |
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aume
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3.1 Pr¨
amaße
| 88 |
3.3 Satz (Fortsetzung)
(4) Ť
µ ist σ-subadditiv, d.h. f¨
ur beliebige Mengen A1 , A2 , . . . P A mit
8
n“1 An P A folgt
˜
¸
8
8
ď
ÿ
µ
An ď
µpAn q.
n“1
n“1
(5) µ ist endlich subadditiv, d.h. f¨
ur beliebige Mengen
A1 , . . . , An P A, n P N, folgt
˜
¸
n
n
ÿ
ď
µ
Ai ď
µpAi q.
i“1
3.4 Satz (Stetigkeitseigenschaften eines Pr¨amaßes) und Definition
Sei A eine Algebra u
¨ber X ‰ H und µ ein Pr¨amaß auf A.
Dann ist µ stetig von oben in der leeren Menge,
d.h. f¨
ur eine Folge A1Ş
, A2 , . . . P A mit An Ó H
(A1 Ě A2 Ě . . . und 8
n“1 An “ H) und µpA1 q ă 8 gilt
µpAn q Ó 0
f¨
ur n Ñ 8.
i“1
Insbesondere gilt f¨
ur A, B P A
µpA Y Bq ď µpAq ` µpBq
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(Subadditivit¨at).
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aume
3.1 Pr¨
amaße
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3 Maßr¨
aume
3.1 Pr¨
amaße
| 90 |
3.6 Satz
Sei X “ ra, bq mit ´8 ă a ă b ă 8 und
#
+
n
ď
A“
rci , di q : a ď ci ď di ď b, rci , di q X rcj , dj q “ H, @i ‰ j, n P N
3.5 Satz
Sei A eine Algebra u
¨ber X ‰ H. Jede endliche Mengenfunktion auf A,
die endlich additiv und stetig von oben in der leeren Menge ist, ist ein
Pr¨amaß auf A.
i“1
die in Beispiel 1.16 eingef¨
uhrte Algebra u
¨ber X. Dann wird durch
˜
¸
n
n
ď
ÿ
ν
rci , di q :“
pdi ´ ci q
i“1
i“1
ein endliches Pr¨amaß auf A definiert.
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aume
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3.2 Maße
| 91 |
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3.2 Maße
| 92 |
3.8 Definitionen
3.7 Definitionen
Sei pX, Xq ein messbarer Raum. Unter einem Maß auf pX, Xq versteht
man eine Mengenfunktion µ : X ÞÑ r0, 8s mit den Eigenschaften
Sei pX, Xq ein messbarer Raum.
Ein Maß µ auf pX, Xq heißt endlich, falls µpXq ă 8.
(M1) µpHq “ 0 und
Ist µpXq “ 1, so heißt µ Wahrscheinlichkeitsmaß.
(M2) µ ist σ-additiv, d.h. f¨
ur eine beliebige Folge A1 , A2 , . . . P X
mit Ai X Aj “ H f¨
ur i ‰ j (paarweise disjunkte Mengen) gilt
˜
¸
8
8
ď
ÿ
µ
An “
µpAn q.
Ein Maß µ auf pX, Xq heißt σ-endlich, falls Mengen A1 , A2 , . . . P X
existieren mit
8
ď
An “ X
n“1
n“1
n“1
und
µpAn q ă 8
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f¨
ur alle
n P N.
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aume
3.2 Maße
| 93 |
3.9 Definitionen
3 Maßr¨
aume
3.2 Maße
3.10 Definitionen
Unter einem Maßraum versteht man ein Tripel pX, X, µq, wobei
X ‰ H eine nichtleere Grundmenge, X eine σ-Algebra u
¨ber X und µ
ein Maß auf dem messbaren Raum pX, Xq ist.
Sei pX, X, µq ein Maßraum. Eine Menge A P X heißt µ-Atom bzw.
kurz Atom, falls µpAq ą 0 und f¨
ur jedes B P X mit B Ď A gilt
µpBq “ 0
Ein Maßraum pX, X, µq heißt endlich bzw. σ-endlich, wenn das Maß
µ endlich bzw. σ-endlich ist.
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3.2 Maße
oder µpAzBq “ 0.
Besitzt ein Maßraum pX, X, µq keine Atome, so nennt man das Maß
µ atomlos bzw. diffus.
Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so heißt der endliche Maßraum
pX, X, µq Wahrscheinlichkeitsraum.
3 Maßr¨
aume
| 94 |
| 95 |
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3 Maßr¨
aume
Maß- und Integrationstheorie
3.2 Maße
| 96 |
¨
3.11 Ubungsaufgabe
3.12 Beispiel und Definition
Sei pX, X, µq ein Maßraum und A P X ein µ-Atom. Zeigen Sie, dass dann
gilt:
Sei pX, Xq ein beliebiger messbarer Raum. Dann wird durch
(1) F¨
ur jedes B P X mit B Ď A ist
µpBq “ µpAq
µpAq :“ 0
oder µpAzBq “ µpAq.
(2) Ist B P X mit B Ď A und µpBq ą 0, so ist B ebenfalls ein µ-Atom.
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f¨
ur alle
A P X.
ein Maß auf pX, Xq definiert und Nullmaß genannt. Es ist endlich und
atomlos.
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3 Maßr¨
aume
3.2 Maße
| 97 |
3 Maßr¨
aume
3.2 Maße
| 98 |
3.14 Beispiel und Definition
3.13 Beispiel
Sei pX, Xq ein beliebiger messbarer Raum. Dann wird durch
#
card pAq f¨
ur A endlich,
A P X.
µpAq :“
8
f¨
ur A unendlich,
Sei pX, Xq ein beliebiger messbarer Raum. Dann wird durch
#
0 f¨
ur A “ H,
A P X.
µpAq :“
8 f¨
ur A ‰ H,
ein Maß auf pX, Xq definiert und Z¨ahlmaß genannt.
Ist die Grundmenge X ‰ H endlich, so ist auch das Maß µ endlich.
Ist X u
¨berabz¨ahlbar, so ist µ nicht σ-endlich.
ein Maß auf pX, Xq definiert. Dieses Maß ist nicht σ-endlich.
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3.2 Maße
| 99 |
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3.2 Maße
| 100 |
3.15 Beispiel und Definition
¨
3.16 Ubungsaufgabe
(Eigenschaften eines Maßes)
Sei pX, Xq ein beliebiger messbarer Raum und x P X beliebig fest. Dann
wird durch
$
& 1 f¨
ur x P A,
µpAq :“
A P X.
% 0 f¨
ur x R A,
Sei µ ein Maß auf einem messbaren Raum pX, Xq. Dann besitzt µ die
folgenden Eigenschaften.
ein Maß auf pX, Xq definiert. Das Maß µ wird Dirac-Maß genannt und
mit δx bezeichnet. Das Dirac-Maß δx ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Alle Mengen A P X mit x P A sind δx -Atome.
Es gilt
δx pAq “ IA pxq f¨
ur A P X und x P X.
(3) µ ist monoton.
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(1) µ ist endlich additiv.
(2) µ ist subtraktiv.
(4) µ ist σ-subadditiv.
(5) µ ist endlich subadditiv.
(6) µ ist ein Pr¨amaß.
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aume
3.2 Maße
| 101 |
3 Maßr¨
aume
3.2 Maße
| 102 |
3.17 Satz (Stetigkeitseigenschaften eines Maßes) und Definitionen
3.17 Satz (Fortsetzung)
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und µ : X ÞÑ r0, 8s eine endlich additive
Mengenfunktion mit µpHq “ 0. Wir betrachten die Eigenschaften
(1) µ ist σ-additiv, d.h. µ ist ein Maß.
(4) µ ist stetig von oben in der leeren Menge, d.h. f¨
ur Mengen
A1 , A2 , . . . P X mit An Ó H und µpA1 q ă 8 gilt
µpAn q Ó 0.
(2) µ ist stetig von unten, d.h. f¨
ur MengenŤA1 , A2 , . . . P X
mit An Ò A pA1 Ď A2 Ď . . . und A “ 8
n“1 An q gilt
Dann bestehen folgende Beziehungen
µpAn q Ò µpAq.
p1q ô p2q ñ p3q ô p4q.
(3) µ ist stetig von oben, d.h. f¨
ur MengenŞ
A1 , A2 , . . . P X
mit An Ó A pA1 Ě A2 Ě . . . und A “ 8
n“1 An q und µpA1 q ă 8 gilt
Ist die Mengenfunktion µ endlich, d.h. µpXq ă 8, so sind alle vier
Eigenschaften ¨aquivalent.
µpAn q Ó µpAq.
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| 103 |
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3.2 Maße
| 104 |
3.18 Satz (Maߨ
ubertragungssatz) und Definition
3.19 Beispiel
Seien pX, X, µq ein Maßraum, pY, Yq ein messbarer Raum und
f : X ÞÑ Y eine pX, Yq-messbare Abbildung. Dann wird durch
`
˘
νpBq :“ µ f ´1 pBq
f¨
ur B P Y
Sei pX, Xq ein messbarer Raum, X0 :“ X X X0 die Spur von X auf X0 und
µ ein Maß auf pX0 , X0 q.
Ist f : X0 Ñ X die identische Abbildung, dann ist f wegen
ein Maß ν auf pY, Yq definiert.
Das Maß ν wird Bildmaß von µ bzgl. f bzw. das von µ durch f auf pY, Yq
u
¨bertragene bzw. induzierte Maß genannt und mit
µ ˝ f ´1
f ´1 pAq “ A X X0 P X0
f¨
ur alle
APX
pX0 , Xq-messbar. Somit wird durch νpAq “ µpA X X0 q ein Maß ν auf
pX, Xq erzeugt.
bezeichnet.
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3 Maßr¨
aume
3.2 Maße
| 105 |
3.20 Satz und Definition
3 Maßr¨
aume
3.2 Maße
| 106 |
3.21 Satz
Seien tµn unPN Maße auf demselben messbaren Raum pX, Xq und
tcn unPN Ď r0, 8s. Dann wird durch
Sei pX, X, µq ein Maßraum und X0 P X. Dann wird durch
µ|X0 pBq :“ µpBq f¨
ur B P X X X0
µpAq :“
ein Maß µ|X0 auf pX0 , X X X0 q definiert.
Das Maß µ|X0 wird Einschr¨ankung bzw. Restriktion von µ auf
pX0 , X X X0 q genannt.
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3 Maßr¨
aume
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8
ÿ
cn µn pAq
f¨
ur A P X
n“1
ein Maß auf pX, Xq definiert.
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3.3 Fortsetzung von Pr¨
amaßen
| 107 |
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3.3 Fortsetzung von Pr¨
amaßen
| 108 |
3.23 Beispiel
3.22 Satz (Satz von Caratheodory, Maßfortsetzungssatz)
Sei A eine Algebra u
¨ber der nichtleeren Menge X und ν ein σ-endliches
Pr¨amaß auf A. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Maß µ auf
pX, σpAqq mit
µpAq “ νpAq f¨
ur alle A P A.
Das Maß µ ist σ-endlich.
Sei X “ ra, bq mit ´8 ă a ă b ă 8 und
#
+
n
ď
A“
rci , di q : a ď ci ď di ď b, rci , di q X rcj , dj q “ H, @i ‰ j, n P N
i“1
die in Beispiel 1.16 eingef¨
uhrte Algebra u
¨ber X. Nach Satz 3.6 wird durch
˜
¸
n
n
n
ď
ÿ
ď
ν
rci , di q “
pdi ´ ci q f¨
ur
rci , di q P A
i“1
i“1
i“1
ein endliches Pr¨amaß ν auf A definiert. Dieses Pr¨amaß l¨aßt sich gem¨aß
Satz 3.22 zu einem Maß µ auf σpAq “ B X ra, bq fortsetzen.
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3 Maßr¨
aume
3.4 Bestimmungsst¨
ucke f¨
ur Maße
| 109 |
3 Maßr¨
aume
3.4 Bestimmungsst¨
ucke f¨
ur Maße
| 110 |
3.24 Satz (Eindeutigkeitssatz)
Sei pX, Xq ein messbarer Raum und E ein durchschnittsabgeschlossenes
Erzeugendensystem f¨
ur X. Dann sind zwei Maße µ1 und µ2 auf pX, Xq
genau dann gleich, wenn gilt
(1) µ1 pEq “ µ2 pEq
f¨
ur alle
3.25 Folgerung
Zwei endliche Maße µ1 und µ2 auf einem messbarem Raum pX, Xq sind
genau dann gleich, wenn sie auf einem durchschnittsabgeschlossenen
Erzeugendensystem f¨
ur X u
¨bereinstimmen, das die Grundmenge X enth¨alt.
E P E,
(2) es existiert eine Folge pEn qnPN Ď E mit
8
ď
En “ X und
n“1
µ1 pEn q “ µ2 pEn q ă 8 f¨
ur alle
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aume
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n P N.
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3.5 Vollst¨
andige Maßr¨
aume
| 111 |
3.26 Definitionen
3 Maßr¨
aume
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3.5 Vollst¨
andige Maßr¨
aume
| 112 |
3.27 Beispiele
Sei pX, X, µq ein Maßraum. Eine Menge A P X heißt µ-Nullmenge,
falls µpAq “ 0.
Ein Maßraum pX, X, µq heißt vollst¨andig, falls alle Teilmengen von
µ-Nullmengen X-messbar sind.
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(1) Der Maßraum pX, PpXq, µq ist f¨
ur beliebiges Maß µ vollst¨andig.
(2) Ist die leere Menge die einzige µ-Nullmenge eines Maßraumes
pX, X, µq, so ist pX, X, µq vollst¨andig.
So sind z.B. die Maßr¨aume in den Beispielen 3.13 und 3.14 vollst¨andig.
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3 Maßr¨
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3.5 Vollst¨
andige Maßr¨
aume
| 113 |
3 Maßr¨
aume
3.5 Vollst¨
andige Maßr¨
aume
| 114 |
3.28 Satz und Definition
Sei pX, X, µq ein Maßraum und
Nµ :“ tN Ď X : D µ-Nullmenge A P X mit N Ď Au
das Mengensystem der Teilmengen von µ-Nullmengen. Dann gilt
(1) X˚µ :“ tA Y N : A P X, N P Nµ u ist σ-Algebra u
¨ber X mit X Ď X˚µ .
(2) Es gibt genau ein Maß µ˚ auf pX, X˚µ q mit der Eigenschaft
µpAq “ µ˚ pAq f¨
ur alle
3.29 Definition
Es sei pX, X, µq ein Maßraum und eine Eigenschaft E sei f¨
ur die Elemente
x P X sinnvoll. Dann sagt man, die Eigenschaft E gilt µ-fast u
¨berall
(abgek¨
urzt µ-f.¨
u.) auf X bzw. µ-fast alle x P X besitzen die Eigenschaft
E, falls
tx P X : x besitzt Eigenschaft E nichtu P Nµ .
Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so sagt man auch µ-fast sicher (µ-f.s.)
anstelle von µ- fast u
¨berall.
A P X.
(3) Der Maßraum pX, X˚µ , µ˚ q ist vollst¨andig und wird die
Vervollst¨andigung von pX, X, µq genannt.
(4) Ist pX, X, µq vollst¨andig, so gilt X˚µ “ X.
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 115 |
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3.6 Maße auf pR, Bq
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| 116 |
3.30 Definition
Ein Maß µ auf pR, Bq heißt lokal endlich, falls f¨
ur alle beschr¨ankten
Mengen B P B gilt
µpBq ă 8.
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3.31 Folgerung
Jedes lokal endliche Maß auf pR, Bq ist σ-endlich.
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 117 |
3 Maßr¨
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 118 |
3.33 Definition
Sei µ ein endliches Maß auf pR, Bq. Dann heißt die Funktion
3.32 Satz
Sei µ ein lokal endliches Maß auf pR, Bq. Dann ist µ genau dann atomlos,
wenn µptxuq “ 0 f¨
ur alle x P R.
Fµ : R ÞÑ r0, 8q
mit
Fµ pxq “ µpp´8, xqq f¨
ur x P R
Verteilungsfunktion von µ.
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 119 |
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 120 |
3.34 Beispiele
(1) Sei δc , c P R, ein Dirac-Maß. Dann ist
3.35 Satz
Fδc pxq “ Ipc,8q pxq.
Die Verteilungsfunktion Fµ eines endlichen Maßes µ auf pR, Bq hat
folgende Eigenschaften
(2) Es sei
νpBq :“ µpB X ra, bqq f¨
ur B P B,
(V1) Fµ ist monoton wachsend,
wobei µ das Maß aus Beispiel 3.23 auf dem meßbaren Raum
pra, bq, B X ra, bqq bezeichnet. Dann ist (vgl. Beispiel 3.19 mit
X0 “ ra, bq, ´8 ă a ă b ă `8) ν ein endliches Maß auf pR, Bq,
und es gilt
$
f¨
ur x ď a,
’ 0
&
x ´ a f¨
ur a ă x ď b,
Fν pxq “
’
%
b ´ a f¨
ur x ą b.
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(V2) Fµ ist linksseitig stetig,
(V3)
(V4)
lim Fµ pxq “ 0 und
xÑ´8
lim Fµ pxq “ µpRq ă 8.
xÑ`8
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3 Maßr¨
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 121 |
3.36 Folgerung
Die Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes µ auf pR, Bq hat
die Eigenschaften V1 bis V3, und es gilt
lim Fµ pxq “ 1.
3 Maßr¨
aume
3.6 Maße auf pR, Bq
| 122 |
3.37 Satz
Sei Fµ die Verteilungsfunktion eines endlichen Maßes µ auf pR, Bq. Dann
gilt:
(1) µpra, bqq “ Fµ pbq ´ Fµ paq f¨
ur ´8 ă a ă b ă 8.
(2) µptxuq “ lim Fµ pyq ´ Fµ pxq f¨
ur alle x P R.
xÑ`8
yÓx
(3) Fµ ist genau dann stetig, wenn µ atomlos ist.
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 123 |
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 124 |
3.38 Satz
3.39 Folgerung
Endliche Maße auf pR, Bq sind durch ihre Verteilungsfunktion eindeutig
bestimmt.
Wahrscheinlichkeitsmaße auf pR, Bq sind durch ihre Verteilungsfunktion
eindeutig bestimmt.
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 125 |
3 Maßr¨
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3.6 Maße auf pR, Bq
| 126 |
3.41 Folgerung
Zu jeder Funktion F : R ÞÑ r0, 1s mit den Eigenschaften V1 bis V3 und
3.40 Satz
Zu jeder Funktion F : R ÞÑ r0, 8q mit den Eigenschaften V1 bis V4 gibt
es ein eindeutig bestimmtes endliches Maß µ auf pR, Bq mit Fµ “ F .
lim F pxq “ 1
xÑ`8
gibt es ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf pR, Bq mit
Fµ “ F .
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
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| 127 |
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
Studienjahr 2014/15
| 128 |
3.42 Satz und Definition
3.43 Anmerkung
Das Maß µ in Beispiel 3.23 ist die Einschr¨ankung des
Lebesgue-Borel-Maßes auf pra, bq, B X ra, bqq.
Es existiert genau ein Maß λ auf pR, Bq mit
λpra, bqq “ b ´ a f¨
ur
´ 8 ă a ă b ă `8.
Dieses Maß wird Lebesgue-Borel-Maß genannt.
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3 Maßr¨
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
| 129 |
3 Maßr¨
aume
3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
| 130 |
3.44 Satz und Definition
Das Lebesgue-Borel-Maß λ besitzt folgende Eigenschaften.
(1) λ ist lokal endlich.
3.45 Folgerung
(2) λ ist atomlos.
F¨
ur jede abz¨ahlbare Menge A P B gilt λpAq “ 0.
Insbesondere ist λpQq “ 0.
(3) λ ist translationsinvariant, d.h.
λpBq “ λpB ` yq f¨
ur alle
BPB
und y P R,
wobei
B ` y “ tx ` y : x P Bu P B
f¨
ur y P R
die um y P R verschobene Menge B P B bezeichnet.
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
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| 131 |
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
| 132 |
Anmerkungen zum Lebesgue-Borel-Maß λd auf pRd , Bd q
(1) Es existiert genau ein Maß λd auf pRd , Bd q mit
˜
¸
d
d
ą
ź
λd
rai , bi q “
pbi ´ ai q
3.46 Satz
Jedes translationsinvariante Maß µ auf pR, Bq mit
µpr0, 1qq “ c,
i“1
0 ă c ă 8,
i“1
f¨
ur ´8 ă ai ă bi ă `8, i “ 1, . . . , d.
(2) λd ist lokal endlich.
hat die Form
(3) λd ist atomlos.
µ “ cλ.
(4) Es gilt λd pBq “ 0 f¨
ur alle niederdimensionalen Mengen B P Bd ,
dimpBq P t0, . . . , d ´ 1u.
(5) λd ist translationsinvariant.
(6) λd ist bewegungsinvariant.
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
| 133 |
3.47 Definitionen
Sei pR, B˚ , λ˚ q die Vervollst¨andigung des Maßraumes pR, B, λq
(gem¨aß Satz 3.28) und λ das Lebesgue-Borel-Maß. Dann wird λ˚
als Lebesgue-Maß auf pR, B˚ q bezeichnet.
Die Mengen A P B˚ werden Lebesgue-messbare Mengen genannt.
Sei analog pRd , B˚d , λ˚d q die Vervollst¨andigung des Maßraumes
pRd , Bd , λd q, wobei λd das Lebesgue-Borel-Maß auf pRd , Bd q ist,
so wird λ˚d Lebesgue-Maß auf pRd , B˚d q genannt.
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3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
| 135 |
3.49 Anmerkungen
(1) F¨
ur Gpxq “ x erh¨alt man das Lebesgue-Maß λ˚ auf pR, B˚ q.
(2) Ist µ ein endliches Maß auf pR, Bq, so ist µ˚ gerade das
Lebesgue-Stieltjes-Maß seiner Verteilungsfunktion Fµ .
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3 Maßr¨
aume
3.7 Das Lebesgue-Borel-Maß
| 134 |
3.48 Anmerkung und Definition
Sei G : R ÞÑ R eine linksseitig stetige, monoton wachsende Funktion.
Durch
µG pra, bqq :“ Gpbq ´ Gpaq, ´8 ă a ă b ă 8,
wird ein endliches Pr¨amaß auf der Algebra
#
+
n
ď
A“
rci , di q : a ď ci ď di ď b, rci , di q X rcj , dj q “ H, @i ‰ j, n P N
i“1
u
¨ber X “ ra, bq, ´8 ă a ă b ă 8, definiert werden. Dieses Pr¨amaß kann
analog dem Lebesgue-Borel-Maß zu einem Maß νG auf pR, Bq
˚ dieses Maßes auf pR, B˚ q
fortgesetzt werden. Die Vervollst¨andigung νG
wird als Lebesgue-Stieltjes-Maß auf pR, B˚ q bezeichnet.
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