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Wiederholung Grundlagen der Matrixrechnung I - Institut für Statistik

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Wiederholung Grundlagen der Matrixrechnung I
1. Tutorium zu Statistik III für Nebenfachstudierende
Simon Prokopf
Basierend auf Materialien von Nora Fenske
Institut für Statistik, LMU München
15. Oktober 2014
Überblick
Matrizen und Vektoren
Matrixoperationen
Vektoraddition und skalare Multiplikation
Matrixaddition und skalare Multiplikation
Matrixmultiplikation
Vektor
n-Tupel x = (x1 . . . xn )T reeller Zahlen x1 , . . . , xn .
Im Allgemeinen bezeichnen Vektoren hier Spaltenvektoren
Matrix
Ein nach n Zeilen und m Spalten geordnetes Schema A von n · m Elementen aij ∈ R
heißt reelle Matrix der Dimension (n × m).

a11
a21

A = .
n×m
 ..
an1
a12
a22
..
.
an2
...
...
..
.
...

a1m
a2m 

..  = (aij )
. 
anm
i-te Zeile von A : ai· ∈ Rm , i = 1, . . . , n
j-te Spalte von A : a·j ∈ Rn , j = 1, . . . , m
A = B ⇔ aij = bij ∀ i, j
Beispiel: „Datenmatrix“
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Transponierte Matrix
Die zu A transponierte Matrix AT wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von
A gebildet.

A
T
m×n
a11
 a12

= .
 ..
a1m
a21
a22
..
.
a2m
...
...
..
.
...

an1
an2 

.. 
. 
anm
Partitionierte Matrix
Eine Matrix, die durch Teilmatrizen dargestellt wird, heißt partitionierte Matrix.
A =
n×m
A
m×n
T
=
A11(r ×s)
A21((n−r )×s)
AT11
AT12
A12(r ×(m−s))
A22((n−r )×(m−s))
AT21
AT22
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Spezielle Matrizen
Definition
Notation
Beispiel
Quadratisch
n=p
An×n
1
5
3
4
Diagonalmatrix
aij = 0, ∀ i = j
diag(a)
1
0
0
5
Einheitsmatrix
diag(1n )
In×n
1
0
0
1
Einsenmatrix
aij ≡ 1
1n 1Tn
1
1
1
1
Symmetrisch
aij = aji
1
3
3
4

(Obere) Dreiecksmatrix
aij = 0, ∀ i < j
Idempotent
AT A = A2 = A
Orthonormal
AT A = AAT = I
1 3
0 3
0 0

2/3
−1/3
2/3
−1/3
1
− /3 −1/3
√1
2
√1
2

5
4
8

−1/3
−1/3
2/3
√1
2
− √12
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Matrizen und Vektoren
Matrixoperationen
Vektoraddition und skalare Multiplikation
Matrixaddition und skalare Multiplikation
Matrixmultiplikation
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Vektoraddition und skalare Multiplikation
x, y ∈ Rn , λ ∈ R
Vektoraddition:
    

x1
y1
x1 + y1
x2  y2  x2 + y2 
    

x +y = . + . = . 
 ..   ..   .. 
xn
yn
xn + yn
Skalare Multiplikation:

  
λx1
x1
x2  λx2 

  
λx = λ  .  =  . 
 ..   .. 
λxn
xn

|λ| > 1




|λ| < 1
Streckung


λ>0



λ<0
Richtung bleibt erhalten
Stauchung
Richtung kehrt sich um
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Vektoraddition und skalare Multiplikation: Rechenregeln
Für beliebige Vektoren x, y , z ∈ Rn und Skalare λ, µ ∈ R gelten die folgenden
Rechenregeln:
1. x + (y + z) = (x + y ) + z
2. x + y = y + x
3. x + 0 = x
4. x + (−x) = 0
5. (λ + µ)x = λx + µx
λ(x + y ) = λx + λy
6. (λµ)x = λ(µx)
7. 1 · x = x
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Matrixaddition und skalare Multiplikation
A, B ∈ Rn×m , λ ∈ R
Matrixaddition
A + B = (aij + bij )

a11 + b11
 a12 + b12

A+B =
..

.
a1m + b1m
a21 + b21
a22 + b22
..
.
a2m + b2m
...
...
..
.
...

an1 + bn1
an2 + an2 


..

.
anm + bnm
Skalare Multiplikation
λA = (λaij )

λa11
λa21

λA =  .
 ..
λan1
λa12
λa22
..
.
λan2
...
...
..
.
...

λa1m
λa2m 

.. 
. 
λanm
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Matrixaddition und skalare Multiplikation: Rechenregeln
Für beliebige (n × m)-Matrizen A, B, C und Skalare λ, µ ∈ R gelten die folgenden
Rechenregeln:
1. A + (B + C ) = (A + B) + C
2. A + B = B + A
3. A + 0 = A
4. A + (−A) = 0
5. (λ + µ)A = λA + µA
λ(A + B) = λA + λB
6. (λµ)A = λ(µA)
7. 1 · A = A
8. 0 · A = 0
9. (λA)T = λAT
10. (A + B)T = AT + B T
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Matrixmultiplikation
Das Produkt der (n × m)-Matrix A = (aij ) mit der (m × p)-Matrix B = (bjk ) ist die
(n × p)-Matrix
A · B
(n×m)
(m×p)
mit
= C = (cik )
(n×p)
Ausführlich geschrieben:
 m






C =





cik =
aij bjk
m
a1j bj1
j=1
m
a1j bj2
···
···
j=1
..
.
..
.
m
j=1
..
.
..
.
..
anj bj2
···
.
..
.
m
anj bj1
j=1
m
j=1
m
j=1
···

a1j bjp 



..

.


..


.


anj bjp 
j=1
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen gilt:
A·B =B ·A
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Matrixmultiplikation: Rechenregeln
Für beliebige Matrizen A, B, C passender Ordnung gelten die folgenden Rechenregeln:
1. A · (B + C ) = A · B + A · C
2. A · (B · C ) = (A · B) · C
3. (A · B)T = B T · AT
4. AIn = A bzw. In A = A
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