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9. 9. 2014

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Funktionentheorie 1
Sommersemester 2014
Hendrik Kasten
29. Oktober 2014
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Komplexe Zahlen
3
1.1
Definition der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Konjugation, Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Geometrische Veranschaulichung der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Elementare analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Der Limes und elementare topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Möbiustransformationen
21
2.1
Die Gruppe der Möbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Möbiustransformationen und verallgemeinerte Kreise . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Komplexwertige Funktionen
32
3.1
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2
Komplex differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.3
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4
Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen im Komplexen .
44
3.5
Der komplexe Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Komplexe Integrationstheorie
54
4.1
Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2
Der Cauchy’sche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.3
Die Cauchy’schen Integralformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.4
Direkte Folgerungen aus den Cauchy’schen Integralformeln . . . . . . . . . . . .
73
1
Inhaltsverzeichnis
5
6
7
8
9
2
Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
82
5.1
Elementargebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.2
Der Identitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.3
Der Satz von der Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Singularitäten
93
6.1
Klassifikation der Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.2
Laurentzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.3
Meromorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Der Residuensatz
109
7.1
Die Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2
Das Residuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3
Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4
Funktionentheoretische Anwendung des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5
Berechnung reeller Integrale mithilfe des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . 118
Konforme Abbildungen
124
8.1
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2
Der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3
Geometrische Charakterisierung von Elementargebieten . . . . . . . . . . . . . . 133
Bildbereiche holomorpher Funktionen
140
9.1
Der Satz von Bloch ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.2
Der Kleine Satz von Picard ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3
Der Satz von Schottky ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4
Der Große Satz von Picard ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
KAPITEL 1
Komplexe Zahlen
1.1
Definition der komplexen Zahlen
Die Gleichung x2 = −1 hat über den reellen Zahlen R keine Lösung. Wir wollen letztere daher
in geeigneter Weise zu einem größeren Bereich erweitern, in dem diese Gleichung Lösungen
hat. Naiv geht man dabei wie folgt vor:
Sei i ein Symbol mit i2 = −1. Dann heißen Ausdrücke der Form
a + bi,
mit a, b ∈ R
komplexe Zahlen. Zwei solcher Zahlen a + bi und a + b i seien gleich genau dann, wenn a = a
und b = b gelten. Wir können komplexe Zahlen mit der üblichen Vektoraddition
( a + bi ) + (c + di ) = ( a + c) + (b + d)i
in R2 addieren und nach der folgenden Vorschrift multiplizieren
( a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi2 = ( ac − bd) + ( ad + bc)i.
Folgendes fällt uns sofort auf:
Die gerade konstruierten komplexen Zahlen enthalten die reellen Zahlen als Teilmenge
{ a + bi komplexe Zahl | b = 0}.
Da wir als Addition die Vektoraddition in R2 gewählt haben, bilden die komplexen Zahlen mit der Addition eine kommutative Gruppe.
Es gilt 1 · ( a + bi ) = a + bi, wir haben also mit 1 ein multiplikatives neutrales Element.
3
4
1.1. Definition der komplexen Zahlen
Ist a + bi = 0 (d. h. a = 0 oder b = 0), so gilt:
( a + bi ) ·
a
b
− 2
i
a2 + b2
a + b2
= 1,
so dass a + bi ein multiplikatives Inverses hat.
Wir wollen diese naiven Betrachtungen nun streng mathematisch nachvollziehen.
Definition 1.1. Ein Körper K ist eine nichtleere Menge K zusammen mit zwei Abbildungen
+:
K×K
( a, b)
→ K,
→ a+b
und
·:
K×K
( a, b)
→ K,
→ a · b,
für welche die folgenden Rechenregeln gelten.
(i) (K, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0K .
(ii) (K
{0K }, ·) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1K .
(iii) Für alle a, b, c ∈ K gilt das Distributivitätsgesetz
a(b + c) = ab + ac.
Beispiel. Q, R, Z/pZ für eine Primzahl p.
Unser erstes Ziel ist nun analog unserer Vorüberlegung die Menge R2 zu einem Körper zu
machen. Dafür setzen wir
( a, b) + (c, d) := ( a + c, b + d) und ( a, b) · (c, d) := ( ac − bd, ad + bc).
Proposition 1.2. R2 mit obiger Addition und Multiplikation ist ein Körper. Dieser heißt Körper der
komplexen Zahlen und wird mit C bezeichnet.
Beweis. Dass (R2 , +) mit der obigen Addition eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (0, 0) ist, haben wir schon vorhin eingesehen. Weiter ist (R2 {(0, 0)}, ·) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (1, 0),
denn: Zunächst ist die Multiplikation wegen
( a, b) · ( a , b ) · ( a , b ) = ( a, b) · ( a a − b b , a b + b a )
= a ( a a − b b ) − b ( a b + b a ), a ( a b + b a ) + b ( a a − b b )
= ( aa − bb ) a − ( ab + ba )b , ( ab + ba ) a + ( aa − bb )b
= ( aa − bb , ab + ba ) · ( a , b )
= ( a, b) · ( a , b ) · ( a , b ).
für alle ( a, b), ( a , b ), ( a , b ) ∈ R2 assoziativ. Die Kommutativität folgt sofort aus der Definition und der Kommutativität der reellen Multiplikation. Mit
(1, 0) · (c, d) = (c, d)
5
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
ist (1, 0) das neutrale Element der Multiplikation. Ist schließlich ( a, b) = (0, 0), also a = 0 oder
b = 0, so gilt
a
−b
( a, b) · 2
,
= (1, 0),
a + b2 a2 + b2
so dass mit
a
, −b
a2 + b2 a2 + b2
ein multiplikatives Inverses zu ( a, b) gefunden ist.
#
Es gilt in R2 auch Distributivität, denn für alle ( a, b), ( a , b ), ( a , b ) ∈ R2 gilt
( a, b) · ( a , b ) + ( a , b ) = ( a, b) · ( a + a , b + b )
= ( a( a + a ) − b(b + b ), a(b + b ) + b( a + a ))
= ( aa + aa − bb − bb , ab + ab + ba + ba )
= ( aa − bb ) + ( aa − bb ), ( ab + ba ) + ( ab + ba )
= ( aa − bb , ab + ba ) + ( aa − bb , ab + ba )
= ( a, b) · ( a , b ) + ( a, b) · ( a , b ).
Insgesamt folgt die Proposition.
Bemerkung 1.3. Die Abbildung
ϕ:
→ C,
→ ( a, 0)
R
a
ist ein injektiver Körperhomomorphismus, also eine injektive Abbildung mit
ϕ( a) + ϕ(b) = ϕ( a + b)
und
ϕ( a · b) = ϕ( a) · ϕ(b)
und ϕ(1) = (1, 0). Arbeitet man in C, so schreibt man statt ( a, 0) mit a ∈ R einfach a.
Wir wollen im Folgenden das Element (0, 1) als i bezeichnen. Es gilt dann die erhoffte Rechenregel
i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Wir wollen nun einsehen, dass unsere naive Konstruktion der komplexen Zahlen durchaus ihre
Berechtigung hat und zeigen dafür die folgende
Proposition 1.4. Jedes z ∈ C hat eine eindeutige Darstellung z = a + bi mit a, b ∈ R. Wir werden
von nun an komplexe Zahlen z ∈ C auch in der Form z = a + bi schreiben und meinen damit immer
diese eindeutige Darstellung.
Beweis. Sei z = ( a, b) ∈ C. Dann gilt:
( a, b) = ( a, 0) + (0, b)
= ( a, 0) · (1, 0) + (b, 0) · (0, 1)
= a · 1 + bi
= a + bi
Es ist klar, dass diese Darstellung eindeutig ist.
6
1.2. Konjugation, Absolutbetrag
Bemerkung 1.5. Für eine komplexe Zahl z = a + bi ∈ C gilt
( a + bi ) · ( a − bi ) = a2 + b2 ∈ R.
Ist hierbei z = 0, gilt daher
1
b
1
a − bi
a
− 2
i.
=
=
= 2
z
a + bi
( a + bi )( a − bi )
a + b2
a + b2
Beispiel.
5
5(3 − 4i )
3 4
=
= − i.
3 + 4i
(3 + 4i )(3 − 4i )
5 5
Definition 1.6. Sei z = a + bi ∈ C. Dann heißt a der Realteil und b der Imaginärteil von z. Wir
schreiben
a =: Re(z)
und
b =: Im(z).
Es ist offensichtlich eine komplexe Zahl z ∈ C genau dann 0, wenn sowohl ihr Realteil als auch
ihr Imaginärteil verschwinden.
Wie in jedem Körper lässt sich in den komplexen Zahlen eine lineare Gleichung
α·z+β = 0
mit α, β ∈ C und α = 0
β
eindeutig lösen durch z = − α . Die quadratische Gleichung
z2 + 1 = 0
hat in C genau die beiden Lösungen i und −i; das unterscheidet C zum Beispiel von R und
war die Motivation für die Konstruktion von C gewesen. Wie wir später feststellen werden gilt
jedoch noch mehr: In den komplexen Zahlen hat jedes Polynom n-ten Grades mit komplexen
Koeffizienten genau n Lösungen.1 Das ist der Fundamentalsatz der Algebra 4.30.
1.2
Konjugation, Absolutbetrag
Definition 1.7. Sei z = a + bi in C. Dann heißt
z := a − bi
die zu z komplex konjugierte Zahl.
1 Wenn
man Nullstellen mit ihren Vielfachheiten zählt. Man kann auch unmissverständlicher sagen, jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten zerfalle über C in Linearfaktoren.
7
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
Abbildung 1.1: Die komplexe Konjugation lässt sich geometrisch als Spiegelung an der x-Achse
veranschaulichen.
Proposition 1.8. Für alle z, w ∈ C gelten die folgenden Rechenregeln der komplexen Konjugation.
(i) z + w = z + w, z w = z w,
(ii) z ∈ R ⇐⇒ z = z,
(iii) z = z,
(iv) Re(z) =
z+z
2 ,
Im(z) =
z−z
2i .
Beweis. Seien für den gesamten Beweis z = a + bi und w = c + di. Eigenschaft (i) gilt, denn
z + w = ( a + c) + (b + d)i = ( a + c) − (b + d)i = ( a − bi ) + (c − di ) = z + w
zw = ( ac − bd) + ( ad + bc)i = ac − bd − ( ad + bc)i = ( a − bi )(c − di ) = z w.
Um Eigenschaft (ii) einzusehen betrachten wir
z − z = a + bi − ( a − bi ) = 2bi.
Dies ist offenbar genau dann Null, wenn z reell ist.
Eigenschaft (iii) ist klar.
Eigenschaft (iv) gilt wegen
z+z
a + bi + a − bi
=
= a = Re(z)
2
2
und
z−z
a + bi − ( a − bi )
=
= b = Im(z).
2i
2i
Definition 1.9. Sei z = a + bi ∈ C. Dann heißt
|z| :=
der Absolutbetrag von z.
a2 + b2
8
1.2. Konjugation, Absolutbetrag
Abbildung 1.2: Identifiziert man C mit R2 , also z = a + bi mit ( a, b)√
, so ist |z| der E UKLID’sche
Abstand2 von ( a, b) zu (0, 0). Im Beispiel gilt |4 + 3i | = ||(4, 3)|| = 42 + 32 = 5.
Proposition 1.10. Für alle z, w ∈ C gelten die folgenden Rechenregeln des Absolutbetrags.
(i) Positive Definitheit: |z| ≥ 0 und |z| = 0 ⇐⇒ z = 0,
(ii) Multiplikativität: |zw| = |z| · |w|,
(iii) Dreiecksungleichungen: |z + w| ≤ |z| + |w| und |z − w| ≥ |z| − |w| ,
(iv) Zusammenhang mit der komplexen Konjugation: |z| = |z| und |z|2 = z z.
Beweis. Die positive Definitheit (i) und die Eigenschaften (iv) sind klar.
2
Wir zeigen nun als nächstes die Multiplikativität (ii). Hierfür genügt es |zw|2 = (|z| · |w|) zu
zeigen. Es gilt nach (iv)
|zw|2 = zw · zw = z z · w w = |z|2 · |w|2 .
Es verbleiben die Dreiecksungleichungen (iii). Für die erste derselben genügt es |z + w|2 ≤
(|z| + |w|)2 zu zeigen. Die beiden Seiten der Behauptung lassen sich umformen zu
|z + w|2 = (z + w)(z + w) = |z|2 + |w|2 + z w + w z = |z|2 + |w|2 + 2Re(z w),
(|z| + |w|)2 = |z|2 + |w|2 + 2|z| |w| = |z|2 + |w|2 + 2|z w|,
so dass die erste Dreiecksungleichung aus Re(z w) ≤ |z w| folgt. Es gilt aber Re(u) ≤ |u| für
alle u ∈ C,
√
denn: Für u = a + bi gilt Re(u) = a ≤ a2 + b2 = |u|.
#
Die zweite Dreiecksungleichung folgt aus der ersten,
denn: Nach der ersten Dreiecksungleichung gilt insbesondere |z + w| − |w| ≤ |z|. Ersetzen wir
nun z und w durch z − w und w , so erhalten wir
| z | − | w | ≤ | z − w |.
2 Euklid
von Alexandria (ca. 360-280 v. Chr.)
9
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
Ersetzen wir z und w stattdessen durch w − z und z , bekommen wir
| w | − | z | ≤ | w − z |.
Wegen |u| = | − u| für alle u ∈ C folgt die Behauptung aus diesen beiden Ungleichungen.
Bemerkung 1.11. Wie wir schon vorhin in Bemerkung 1.5 gesehen haben, gilt für alle z ∈ C
#
{0}
1
z
z
=
= 2.
z
zz
|z|
1.3
Geometrische Veranschaulichung der Multiplikation
Die Addition komplexer Zahlen können wir uns schön als Vektorraumaddition in R2 vorstellen. Bei der Multiplikation müssen wir ein bisschen länger nachdenken.
Sei z ∈ C
{0}. Wir schreiben zur Veranschaulichung
z = |z|
z
|z|
z
|z|
z
|z|
= x + yi mit x, y ∈ R, so gilt
deshalb + = 1, und ( x, y) ∈
liegt auf dem Einheitskreis. Daher gibt es ein ϕ ∈ R mit
x = cos ϕ und y = sin ϕ. Setzt man r := |z|, so gilt insgesamt
und beachten, dass
x2
y2
Absolutbetrag 1 hat. Setzen wir nun
R2
z = r (cos ϕ + i sin ϕ).
Auf diese Weise lässt sich eine beliebige komplexe Zahl in Polarkoordinaten ausdrücken.
Definition 1.12. Die reelle Zahl ϕ heißt das Argument von z und wird mit arg z bezeichnet.3 Wählt
man −π < ϕ ≤ π, so heißt diese Wahl des Arguments Hauptwert des Arguments. Diesen werden
wir mit Arg z bezeichnen.
Wir wollen nun untersuchen, wie das Produkt zweier komplexer Zahlen in Polarkoordinatenschreibweise aussieht. Seien dafür
z = r (cos ϕ + i sin ϕ)
und
w = s(cos ψ + i sin ψ)
zwei komplexe Zahlen mit r, s ∈ R>0 und ϕ, ψ ∈ R. Dann gilt
z · w = rs(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= rs (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i (sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)
= rs cos( ϕ + ψ) + i sin( ϕ + ψ) .
3 Man
beachte, dass ϕ = arg z nur modulo 2π bestimmt ist, und mit ϕ somit ist auch ϕ + 2π n für alle n ∈ Z ein
Argument von z ist.
10
1.3. Geometrische Veranschaulichung der Multiplikation
Komplexe Zahlen werden also multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre
Argumente (modulo 2π) addiert.
Ein Spezialfall dieses Multiplikationsgesetzes ist offensichtlich das n-fache Potenzieren komplexer Zahlen vom Absolutbetrag 1. Hier ergibt sich
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ für alle n ∈ N und alle ϕ ∈ R.
Multipliziert man die linke Seite nach dem binomischen Lehrsatz aus und vergleicht, folgen
hieraus die DE M OIVRE’schen Formeln.4
Beispiel. Für n = 2 und beliebiges x ∈ R gelten
cos 2x = cos2 x − sin2 x
sin 2x = 2 cos x sin x.
und
Proposition 1.13. Sei n ∈ N und a ∈ C {0}. Dann hat die Gleichung zn = a genau n verschiedene
Lösungen z in C. Ist a = r (cos ϕ + i sin ϕ), so werden diese gegeben durch
z=
√
n
r cos
ϕ
2π
+k
n
n
+ i sin
ϕ
2π
+k
n
n
mit k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}.
(1.1)
Beweis. Wir wollen zunächst zeigen, dass die Gleichung zn = a mindestens n Lösungen hat,
indem wir diese konkret angeben. Sei dafür z wie in (1.1) definiert. Dann gilt
zn = r cos( ϕ + k · 2π ) + i sin( ϕ + k · 2π ) = r (cos ϕ + i sin ϕ) = a
Also löst jedes solche z die Gleichung zn = a. Andererseits sind alle diese Lösungen paarweise
verschieden,
denn: Nehmen wir an, es gälte
√
n
r cos
ϕ
2π
+k
n
n
ϕ
2π
+k
n
n
+ i sin
=
√
n
r cos
mit 0 ≤ k, k < n. Dann folgte nach Division durch
cos
sin
2π
ϕ
+k
n
n
ϕ
2π
+k
n
n
√
n
= cos
= sin
ϕ
2π
+k
n
n
+ i sin
ϕ
2π
+k
n
n
r
ϕ
+k
n
ϕ
+k
n
2π
n
2π
.
n
Es existiert also eine ganze Zahl m ∈ Z mit
ϕ
2π
ϕ
2π
+k
= +k
+2π ·m
n
n
n
n
und insbesondere (k − k ) = m · n. Wegen 0 ≤ k, k < n ist dies nur möglich, wenn m = 0 und
somit k = k gilt.
#
4 Abraham
de Moivre (1667 - 1754)
11
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
Wir wollen nun zeigen, dass die Gleichung zn = a auch höchstens n komplexe Lösungen hat.
Das ist trivial, wenn man weiß, dass ein beliebiges Polynom P vom Grad n aus dem Polynomring C[ X ] in einer Variablen über C höchstens n Nullstellen hat.5
Wir können die Aussage aber auch direkt zeigen. Sei dafür z ∈ C mit zn = a. Wegen a = 0 und
der Nullteilerfreiheit von C gilt dann z = 0, so dass wir z in der Form z = s(cos ψ + i √
sin ψ) mit
s ∈ R>0 und ψ ∈ R schreiben können. Aus zn = a folgt sofort |z|n = | a|, also s = n r. Damit
und wieder aus zn = a folgt weiter
cos nψ + i sin nψ = (cos ψ + i sin ψ)n = cos ϕ + i sin ϕ.
Wie oben gibt es also ein m ∈ Z mit nψ = ϕ + 2πm, also ψ =
n + k mit ∈ Z und 0 ≤ k < n. Es folgt
ψ=
also
cos ψ = cos
ϕ
2π
+k
n
n
ϕ
n
+ m 2π
n . Wir schreiben m =
ϕ
2π
+ 2π + k
,
n
n
und
sin ψ = sin
ϕ
2π
+k
n
n
.
Insgesamt haben wir eingesehen, dass z von der Form (1.1) ist.
Beispiel. Der wichtigste Spezialfall hierfür ist der Fall a = 1. Lösungen von zn = 1 nennt man n-te
Einheitswurzeln. Sie spielen unter anderem in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Abbildung 1.3: Die dritten Einheitswurzeln sind 1,
und
2
mit
= − 12 +
√
3
2
i.
5 Diese
Tatsache gilt auch, wenn man C durch einen beliebigen Körper K ersetzt, und lässt sich mit ein paar
Algebrakenntnissen wie folgt einsehen: Sei α ∈ K eine beliebige Nullstelle von P. In K [ X ] gilt der Satz von der
Polynomdivision, so dass es für n ≥ 1 eindeutig bestimmte Polynome Q, R ∈ K [ X ] gibt mit
P( X ) = Q( X ) · ( X − α) + R( X )
und
deg R < deg( X − α) = 1.
Insbesondere ist R ∈ K [ X ] konstant und verschwindet sogar, wie man durch Einsetzen von X = α einsieht. Es gibt
daher ein größtes 1 ≤ r ≤ n, für dass es ein Polynom Q˜ ∈ K [ X ] vom Grad n − r gibt mit
P( X ) = Q˜ ( X ) · ( X − α)r .
Jede von α verschiedene Nullstelle β ∈ K von P( X ) ist wegen der Nullteilerfreiheit von K auch eine Nullstelle
von Q˜ ( X ), so dass wir induktiv eine Zerlegung von P( X ) als Produkt von höchstens n Linearfaktoren und einem
nullstellenfreien Restpolynom erhalten. P( X ) hat also höchstens n Nullstellen in K.
12
1.4. Elementare analytische Geometrie
1.4
Elementare analytische Geometrie
In der ebenen Geometrie untersucht man geometrische Objekte, die durch Gleichungen in den
kartesischen Koordinaten x, y gegeben werden. Ist z = x + yi ∈ C, so gelten nach Proposition
1.8
z+z
z−z
x = Rez =
und y = Imz =
.
2
2i
Jede solche Gleichung lässt sich daher auch als Gleichung in den Termen z und z auffassen.
Dies ist oft sehr nützlich.
Beispiel. (a) Der Kreis Kr (z0 ) vom Radius r mit Mittelpunkt z0 = x0 + y0 i wird durch |z − z0 | = r
beschrieben, denn
| z − z0 | = r
⇐⇒
| z − z0 |2 = r 2
⇐⇒
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = r 2 .
(b) Geraden werden durch die Parametergleichung z = a + bt mit t ∈ R gegeben, wobei a, b ∈ C
mit b = 0 fest gewählt sind.
(c) Jede solche Gerade bestimmt zwei Halbebenen
{z ∈ C | Im
z−a
b
< 0} bzw. {z ∈ C | Im
denn: z ∈ C liegt genau dann auf der Geraden a + bt, wenn
Im z−b a = 0 gilt.
z− a
b
z−a
b
> 0}.
eine reelle Zahl ist, also wenn
#
Abbildung 1.4: Für a = 2 + 3i und b = 1 + i erhalten wir die Bedingung Im( z−b a ) =
y − x −1
2
≷ 0.
Proposition 1.14. Kreise und Geraden wie im Beispiel lassen sich einheitlich schreiben als
α|z|2 + βz + βz + γ = 0
mit α, γ ∈ R, β ∈ C und ββ > αγ.
Im Fall der Kreislinien ist α = 0, im Fall der Geraden ist α = 0. Die Menge aller solchen Kreise und
Geraden nennt man auch verallgemeinerte Kreise.
Beweis. Sei Kr (z0 ) mit r ∈ R>0 und z0 ∈ C ein Kreis wie in Punkt (a) des Beispiels. Es gilt
| z − z0 | = r
⇐⇒
| z − z0 |2 = r 2
⇐⇒
|z|2 − z0 z − z0 z + (|z0 |2 − r2 ) = 0.
13
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
Mit α := 1 = 0, β := −z0 und γ := |z0 |2 − r2 ist wegen
ββ = |z0 |2 > |z0 |2 − r2 = αγ
eine Darstellung von Kr (z0 ) wie gewünscht gefunden.
Sei nun z = a + bt mit a, b ∈ C, b = 0 und t ∈ R eine Gerade wie im Punkt (b) des Beispiels.
Diese bringen wir wie folgt in ihre H ESSE’sche Normalform.6 Zunächst sehen wir ein, dass wir
ohne Einschränkung annehmen können, a liege in biR. Das stimmt,
denn: Falls a in bR liegt, können wir wegen
{z ∈ C | z = a + bt} = {z ∈ C | z = ( a + bt0 ) + bt}
(1.2)
ohne Einschränkung a = 0 annehmen, so dass a insbesondere in biR liegt und nichts zu zeigen
ist.
Nehmen wir also an, a liege nicht in bR, so dass { a, b} eine R-Basis von C bildet. Schreiben wir
a = x a + y a i und b = xb + yb i, so gilt
ab + ab
= x a xb + y a yb = ( x a , y a ) | ( xb , yb ) ,
2
wobei · | · das Standardskalarprodukt im R-Vektorraum R2 bezeichne. Mit dem Orthogonalisierungsverfahren von E. S CHMIDT7 finden wir ein t0 ∈ R, für welches das Skalarprodukt
von ( xb , yb ) und ( x a + xb t0 , y a + yb t0 ) verschwindet. Mit der obigen Identifikation und mit (1.2)
können wir daher ohne Einschränkung
ab+ab
=0
2
annehmen. Das ist äquivalent zu ab = − ab und somit zu a ∈ biR, was zu zeigen war.
Wegen a ∈ biR gilt insbesondere abi ∈ R, und es folgt
i
abi
z=
+ it}
b
bb
i
ai
= {z ∈ C | Re( z) = }
b
b
i
−i
2ai
z−
= 0}.
= {z ∈ C | z +
b
b
b
{z ∈ C | z = a + bt} = {z ∈ C |
Mit α := 0, β :=
i
b
und γ := − 2ai
b folgt wegen
ββ = |b|−2 > 0 = αγ
die Behauptung.
6 Otto
Hesse (1811 - 1874) wirkte übrigens 1856 - 1868 an der Heidelberger Universität.
Schmidt (1876 - 1959)
7 Erhard
#
14
1.5. Der Limes und elementare topologische Begriffe
1.5
Der Limes und elementare topologische Begriffe
Wie in der reellen Analysis wollen wir in diesem Abschnitt die Konvergenz von Folgen und
Reihen untersuchen und eine Topologie auf der Menge der komplexen Zahlen C einführen.
Definition 1.15. Eine Folge (zn )n∈N komplexer Zahlen heißt konvergent, wenn es ein z ∈ C gibt, so
dass es für alle ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N gibt mit
|zn − z| < ε für alle n > N.
Dann heißt z der Limes von (zn )n∈N ; man schreibt
z = lim zn .
n→∞
Der Limes hat die aus der Analysis bekannten Verträglichkeiten. Darüber hinaus vertauscht er
auch mit der komplexen Konjugation, Real- oder Imaginärteilbildung und dem Absolutbetrag.
Lemma 1.16.
(i) Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
(ii) Konvergente Folgen sind beschränkt, es existiert also ein C > 0 mit
|zn | ≤ C für alle n ∈ N.
(iii) Ist lim zn = z und lim wn = w, so folgt
lim(zn + wn ) = z + w
und
lim(zn · wn ) = z · w
(iv) Ist lim zn = z = 0 und zn = 0 für alle n ∈ N, so folgt lim z1n = 1z .
(v) Ist lim zn = z, so folgt
lim zn = z,
lim Rezn = Rez,
lim |zn | = |z|,
lim Imzn = Imz.
Beweis. Die Beweise zu den Punkten (i)-(iv) lassen sich wortwörtlich aus der reellen Analysis
übertragen. Es bleibt (v) zu zeigen. Sei also lim zn = z. Dann gilt
|zn − z| = |zn − z| = |zn − z| < ε für alle n > N
und somit lim zn = z. Des Weiteren ist für alle w ∈ C
Rew =
w+w
2
w−w
.
2i
und
Imw =
und
lim Imzn = Imz
Mit lim zn = z und lim zn = z folgen
lim Rezn = Rez
aus (iii). Mit der zweiten Dreiecksungleichung aus Teil (iii) von Proposition 1.10 gilt schließlich
|zn − z| ≥ |zn | − |z| .
Die letzte zu zeigende Aussage lim |zn | = |z| folgt sofort.
15
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
Genau wie in der reellen Analysis brauchen wir natürlich wieder Konvergenzkriterien für Folgen. Das prominenteste unter diesen ist natürlich das Konvergenzkriterium von C AUCHY,8
für das wir den Begriff der Cauchyfolge benötigen. Diese ist hier genauso definiert wie in der
reellen Analysis: Eine Folge ( an )n∈N heißt eine Cauchyfolge, wenn gilt:
Für alle ε > 0 gibt es ein N = N (ε) ∈ N mit | an − am | < ε für alle m, n > N.
Das Kriterium lautet dann wieder
Lemma 1.17 (Cauchy’sches Konvergenzkriterium). Eine Folge (zn )n∈N ist genau dann konvergent,
wenn sie eine Cauchyfolge ist.
Beweis. Sei zunächst (zn )n∈N konvergent. Dann gibt es für jedes ε > 0 ein N ∈ N mit
|zn − z| <
ε
2
für alle n > N.
Es gilt somit für alle m, n > N
|zm − zn | ≤ |zm − z| + |zn − z| <
ε
ε
+ = ε,
2 2
und (zn )n∈N ist auch eine Cauchyfolge.
Sei nun umgekehrt (zn )n∈N eine Cauchyfolge. Für ein beliebiges w ∈ C gelten
|Rew| ≤ |w| und |Imw| ≤ |w|,
weshalb dann auch
(Rezn )n∈N
und
(Imzn )n∈N
Cauchyfolgen sind.9 Da R vollständig ist, gibt es α, β ∈ R mit lim Rezn = α und lim Imzn = β.
Sei nun z := α + βi. Dann gilt
n→∞
|zn − z| = |Rezn − α + (Imzn − β)i | ≤ |Rezn − α| + |Imzn − β| −→ 0,
und die Folge (zn )n∈N konvergiert.
Aus dem Begriff der Folge lässt sich wieder derjenige der Reihe herleiten.
Definition 1.18. Unter der unendlichen Reihe ∞
ν=1 zν mit zν ∈ C versteht man die Folge ( Sn )n∈N
der Partialsummen Sn := nν=1 zν . Ist diese konvergent, so ist die Reihe konvergent. Ist S = lim Sn ,
so schreibt man
∞
S=
zν .
ν =1
8 August
9 Wir
Louis Cauchy (1789 - 1857)
betrachten für Re die Abschätzung |Rezm − Rezn | = |Re(zm − zn )| ≤ |zm − zn | und analog für Im.
16
1.5. Der Limes und elementare topologische Begriffe
Beispiel. Die geometrische Reihe
∞
n
n =0 z
für |z| < 1. Für diese gilt
Sn = 1 + z + z2 + . . . + z n =
z n +1 − 1
.
z−1
Wegen |z| < 1 gilt limn→∞ zn+1 = 0, also folgt:
∞
zn = S = lim Sn =
n→∞
n =0
1
.
1−z
Für komplexe Reihen gelten die aus der reellen Analysis bekannten Gesetzmäßigkeiten, wie
etwa
Wenn die Reihe
∞
n =0 z n
Wenn die Reihe
∞
n =0
konvergiert, dann ist (zn )n∈N eine Nullfolge,
|zn | konvergiert, dann auch die Reihe
∞
n =0 z n ,
Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, . . .
Zum Beweis übertrage man wortwörtlich die Beweise der entsprechenden Aussagen aus der
reellen Analysis.
Definition 1.19. Die Standardtopologie auf der Menge der komplexen Zahlen C ist wie folgt gegeben.
(a) Seien z0 ∈ C und ε ∈ R>0 . Dann heißt
Uε (z0 ) := {z ∈ C | |z − z0 | < ε}
eine (offene) ε-Umgebung von z0 .
(b) Sei A ⊆ C und z0 ∈ A. Genau dann heißt z0 ein innerer Punkt von A, wenn A eine ε-Umgebung
von z0 enthält.
(c) Eine Teilmenge A ⊆ C heißt offen, wenn jeder Punkt z0 ∈ A innerer Punkt von A ist. Eine
Teilmenge A ⊆ C heißt abgeschlossen, falls ihr Komplement C A offen ist.
Definition 1.20. (a) Eine Teilmenge A ⊆ C heißt beschränkt, wenn es ein C ∈ R>0 gibt, so dass
für alle z0 ∈ A die Abschätzung |z0 | ≤ C gilt.
(b) Eine Teilmenge A ⊆ C heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Nach dem Satz von H EINE -B OREL10 ist dies äquivalent dazu, dass sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Beim Studium komplexer Funktionen werden wir später feststellen, dass viele interessante
Funktionen auf C nur außerhalb einer „kleinen“ Teilmenge von Polstellen definiert sind (vgl.
Definition 6.22). Das einfachste Beispiel ist hierbei sicherlich die Funktion
f :
10 Eduard
C
z
{0} → C,
→ 1z .
Heine (1821 - 1881) und Félix Édouard Justin Émile Borel (1871 - 1956)
(1.3)
17
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
Der Betrag von 1z geht für z → 0 gegen unendlich, ein Verhalten, das allen Polstellen gemein ist.
Möchte man solche Funktionen miteinander verketten, ist es also naheliegend, die komplexen
Zahlen noch um einen weiteren Punkt „∞“ zu erweitern und Funktionen auf der Menge C :=
C ∪ {∞} zu betrachten.
Bemerkung 1.21. Die erweiterten komplexen Zahlen C sind kein Körper, so dass nicht einfach alle
Rechenregeln aus den komplexen Zahlen C übernommen werden können. Wollen wir etwa die Funktion
f aus (1.3) als Funktion
f :C→C
schreiben, müssen wir also gesondert angeben, was mit dem Punkt ∞ geschehen soll. Passend zu unserer
Anschauung wählen wir f (0) = ∞ und f (∞) = 0.11
Um Analysis auf der Menge C betreiben zu können, müssen wir wieder sagen, was dort eine
offene Menge sein soll.
Definition 1.22. Eine Teilmenge A ⊆ C heißt offen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
(a) A
∪
C ist offen,
(b) Ist ∞ in A, so gibt es ein ε > 0 mit A ⊇ {z ∈ C | |z| > 1ε } ∪ {∞} =: Uε (∞).
Abbildung 1.5: Anstelle der offenen Umgebungen aus Definition 1.19 betrachten wir für ∞ das
Äußere von Kreisen um den Nullpunkt.
Wir können uns geometrisch C als Kugeloberfläche
S2 = {( x, y, t) ∈ R3 | x2 + y2 + t2 = 1} ∼
= {(z, t) ∈ C × R | |z|2 + t2 = 1}
veranschaulichen. Um dies einzusehen, kann man zeigen, dass die durch
σ(z, t) =
11 Das
z
1− t
∞
für (z, t) = (0, 1),
für (z, t) = (0, 1).
ist auch die einzige Wahl, für die die Abbildung f : C → C stetig ist.
18
1.5. Der Limes und elementare topologische Begriffe
gegebene stereographischen Projektion eine Bijektion zwischen S2 und C ist, die die Topologie
erhält. Genauer ist σ ein Homöomorphismus, also eine Bijektion, für die sowohl σ selbst als
auch ihre Umkehrabbildung
σ
−1
(z) =
| z |2 −1
2z
,
2
| z | +1 | z |2 +1
(0, 1)
für z = ∞,
für z = ∞,
(1.4)
offene Mengen auf offene Mengen abbilden. Die offenen Teilmengen von S2 sind hierbei die
Durchschnitte der offenen Teilmengen von C × R mit der Sphäre S2 selbst.
Betrachtet man S2 auf diese Weise als Modell für C, so nennt man C auch die R IEMANN’sche
Zahlenkugel.12
Abbildung 1.6: Die Koordinaten des Bilds unter der stereographischen Projektion erhält man
zum Beispiel mit dem Strahlensatz der Euklid’schen Geometrie.
Proposition 1.23. Unter der stereographischen Projektion σ werden Kreise auf S2 auf Kreise oder Geraden in C abgebildet, wobei letzteren noch der Punkt ∞ beigefügt ist.
Beweis. Ein Kreis auf S2 entsteht als Schnitt mit einer Ebene in C × R. Eine solche ist in Normalenform gegeben durch


   
a
x


E( a, b, c, p) = (z = x + iy, t) ∈ C × R | b | y = ax + by + ct = p


c
t
mit Parametern a, b, c, p ∈ R. Dabei können wir ohne Einschränkung a, b, c so wählen, dass
a2 + b2 + c2 = 1 gilt, sonst multiplizieren wir die Gleichung mit ( a2 + b2 + c2 )−1/2 durch. Der
Durchschnitt mit der Sphäre ist genau dann nicht leer und von einem Punkt verschieden, wenn
der Abstand von E( a, b, c, p) zum Ursprung kleiner als 1 ist, d. h. falls
p2 < 1 = a2 + b2 + c2
12 Georg
Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
19
Kapitel 1. Komplexe Zahlen
gilt. Setzen wir die Beschreibung von σ−1 aus (1.4) in die Ebenengleichung ein, so erhalten wir
nach Multiplikation mit |z|2 + 1 die Gleichung
2a Rez + 2b Imz + c(|z|2 − 1) = p(|z|2 + 1)
bzw.
(c − p)|z|2 + ( a − bi )z + ( a + bi )z − (c + p) = 0.
Setzen wir α := c − p, β := a − bi und γ := −c − p, so gilt nach Voraussetzung
ββ = a2 + b2 > p2 − c2 = αγ.
Nach 1.14 ist dies für c = p eine Geradengleichung und ansonsten eine Kreisgleichung.
Übungsaufgaben
Aufgabe 1.1. Käpt’n Schwartbart, der alte Haudegen, hinterließ bei seinem Ableben im Alter von 107
Jahren auch eine Schatzkarte:
Geh direkt vom Galgen zur Palme, dann gleich viele Schritte unter rechtem Winkel nach
rechts - steck die erste Fahne.
Geh vom Galgen zu den drei Felsbrocken, genausoweit unter rechtem Winkel nach links steck die zweite Fahne.
Der Schatz steckt in der Mitte zwischen den beiden Fahnen.
Die Erben starteten sofort eine Expedition zur Schatzinsel. Die Palme und die Felsbrocken waren sofort
zu identifizieren. Vom Galgen war keine Spur mehr zu finden. Obwohl man die Schritte von einer zufälligen (und sehr wahrscheinlich falschen) Stelle aus gezählt hatte, stieß man gleich beim ersten Spatenstich
auf die Schatztruhe. Wie war das möglich und wo lag der Schatz?
Aufgabe 1.2. Zeigen Sie, dass sich verallgemeinerte Kreise äquivalent auch als A POLLONISCHE Kreise13
z−a
= k mit a = b ∈ C, k ∈ R>0
z−b
beschreiben lassen.
Abbildung 1.7: Für 0 < k < 1 erhält man Kreise, die a im Inneren enthalten, für k = 1 eine
Gerade, nämlich die Mittelsenkrechte der Strecke von a nach b, und für k > 1 Kreise mit b im
Inneren.
13 Apollonius
von Perge (262 - 190 v. Chr.)
20
1.5. Der Limes und elementare topologische Begriffe
Aufgabe 1.3. Nachdem die Erben von Käpt’n Schwartbart die Schatztruhe geöffnet hatten, fanden sie
anstelle des erhofften Schatzes nur einen vergilbten Zettel:
Um den Schatz meines guten Freundes Schwartbart vor allzu (neu)gierigen Fingern zu
schützen, habe ich ihn besser versteckt. Gehst du von der Palme zum Schatz, so wirst du
doppelt so viele Schritte brauchen, wie wenn du vom Felsbrocken aus zum Schatz gehst. Von
all diesen möglichen Orten ist der Schatz an dem Ort versteckt, der am weitesten nördlich
liegt. Viel Glück, Schatzsucher!
Käpt’n Holzbein aus Apollonien
Die Erben stellten fest, dass der Felsbrocken sich genau im Osten von der Palme befand. Danach wussten
sie jedoch nicht weiter. Wo lag der Schatz?
Aufgabe 1.4. Zeigen Sie, dass die Menge C mit der in Definition 1.22 eingeführten Topologie ein
kompakter topologischer Raum ist, also die folgenden Eigenschaften erfüllt.
Die leere Menge und C selbst sind offene Teilmengen von C.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Teilmengen ist eine offene Teilmenge.
Die Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen ist eine offene Teilmenge.
Jede offene Überdeckung von C besitzt eine endliche Teilüberdeckung.
KAPITEL 2
Möbiustransformationen
In diesem Kapitel wollen wir Möbiustransformationen behandeln, eine spezielle Klasse von
Abbildungen, die auf der komplexen Zahlenebene definiert sind. Diese wurden erstmals systematisch untersucht von ihrem Namensgeber A UGUST F ERDINAND M ÖBIUS (1790 - 1868).
Diese illustrieren zum einen schön die Geometrie der komplexen Ebene, wie wir sie in Abschnitt 1.4 kennengelernt haben, und sind zum anderen grundlegend für verschiedene Teile
der höheren Funktionentheorie, wie etwas der Theorien der Automorphen Funktionen, der
Klein’schen und der Fuchs’schen Gruppen.
2.1
Die Gruppe der Möbiustransformationen
Für eine invertierbare komplexe (2 × 2)-Matrix
M :=
a b
c d
∈ GL2 (C) = { A ∈ C2×2 | det A = 0}
betrachten wir die Abbildung
ϕM :
C
z
→ C,
→M z =
a z+b
c z+d .
Diese Definition ergibt noch keinen Sinn, wenn wir z = ∞ einsetzen oder der Nenner cz + d
verschwindet. Damit ϕ M wohldefiniert ist, setzen wir daher noch
M − dc = ∞ und M ∞ =
M ∞ =∞
a
c
falls c = 0,
falls c = 0.
(2.1)
Aus dieser Definition sehen wir sofort ein, dass für jedes λ ∈ C {0} die Matrix λ · M die
selbe Abbildung liefert wie M selbst. Es gibt insbesondere keinen Eins-zu-eins-Zusammenhang
zwischen Matrizen aus GL2 (C) und Möbiustransformationen.
21
22
2.1. Die Gruppe der Möbiustransformationen
Definition 2.1. Für ein beliebiges M ∈ GL2 (C) heißt die Abbildung ϕ M eine Möbiustransformation.
Beispiel. Wählen wir
M=
0 1
1 0
∈ GL2 (C),
so erhalten wir die Möbiustransformation z → 1z , die insbesondere M 0 = ∞ und M ∞ = 0 erfüllt.
Abbildung 2.1: Veranschaulichen können wir uns diese Abbildung als Hintereinanderausführung der Spiegelung an der reellen Achse und der Inversion am Einheitskreis; vergleiche auch
Bemerkung 1.11.
Proposition 2.2.
(a) Für zwei Matrizen A, B ∈ GL2 (C) gilt ϕ A ◦ ϕ B = ϕ AB .
(b) Die Abbildung ϕ A ist bijektiv mit Umkehrabbildung ( ϕ A )−1 = ϕ A−1 .
(c) Die Möbiustransformationen bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe.
Beweis. (b) folgt aus (a), wenn man dort A−1 für B einsetzt.
(c) folgt aus (a) und (b),
denn: Die Assoziativität der Hintereinanderausführung folgt aus (a) und der Assoziativität der
Matrizenmultiplikation. ϕ I2 = id ist offensichtlich das neutrale Element. Nach (b) hat jede
Möbiustransformation schließlich ein Inverses.
#
Es verbleibt (a) zu zeigen. Dies kann man direkt nachrechnen. Mit
A=
a b
c d
und
B=
a
c
b
d
gilt nämlich außerhalb der Sonderfälle (2.1)
( ϕ A ◦ ϕ B )(z) = ϕ A (
=
+b
a a z+
a z+b
d +b
) = ac zz+
b
c z+d
c c z+d + d
a( a z + b ) + b(c z + d )
( a a + b c )z + ( a b + b d )
=
c( a z + b ) + d(c z + d )
(c a + d c )z + (c b + d d )
23
Kapitel 2. Möbiustransformationen
= ϕ AB (z).
Den Rest rechnet man analog nach. (vgl. Übungsaufgabe 2.1)
Es gibt drei spezielle Typen von Möbiustransformationen, die hier im Folgenden vorgestellt
werden sollen. Da man alle anderen Möbiustransformationen auf diese zurückführen kann,
nennt man sie Elementartypen. Diese sind
Die Inversion
Der erste Elementartyp ist die bereits studierte Inversion z →
1
z
mit M =
0 1
.
1 0
Drehstreckungen
Sei a ∈ C
{0} eine beliebige komplexe Zahl und M =
a 0
. Dann ist die Möbiustransfor0 1
mation
M z =
az
∞
für z ∈ C,
für z = ∞
eine Drehstreckung. Geometrisch veranschaulichen können wir uns dies mit der Interpretation
der komplexen Multiplikation aus Abschnitt 1.3. Dafür schreiben wir a = r (cos ϕ + i sin ϕ) mit
r ∈ R>0 und ϕ ∈ R.
Abbildung 2.2: Für r = 1 erhalten wir eine Multiplikation mit cos ϕ + i sin ϕ, also eine Drehung
gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel ϕ. Für ϕ = 0 erhalten wir eine Multiplikation mit
r ∈ R>0 , also eine Streckung um den Faktor r.
Verschiebungen
Für M =
1 b
mit einem beliebigen b ∈ C erhalten wir
0 1
M z =
z+b
∞
für z ∈ C,
für z = ∞.
2.2. Möbiustransformationen und verallgemeinerte Kreise
24
Geometrisch wird zu jedem Punkt der komplexen Zahlenebene ein fester Vektor b addiert.
Proposition 2.3. Die Gruppe der Möbiustransformationen wird von den Elementartypen erzeugt.
Beweis. Sei ϕ M durch eine Matrix
M=
a b
c d
∈ GL2 (C)
gegeben.
Ist c = 0, so wird dies zu
ϕ M (z) =
a
d
z+
∞
b
d
für z = ∞,
für z = ∞,
und wir können ϕ M als Hintereinanderausführung einer Drehstreckung und einer Translation
darstellen.
Ist c = 0, so errechnet man sofort
a

c +
ϕ M (z) = ∞

a
c
b c− a d
c(c z+d)
für z ∈ {− dc , ∞},
für z = − dc ,
für z = ∞.
Dies lässt sich auf folgende Weise aus Inversionen, Drehstreckungen und Translationen zusammensetzen.
z → cz → cz+d →
1
bc−ad
a
bc−ad
→
→ +
= ϕ M ( z );
cz+d
c(c z + d)
c c(c z + d)
die beiden Sonderfälle überprüft man wieder separat. (vgl. Übungsaufgabe 2.2)
2.2
Möbiustransformationen und verallgemeinerte Kreise
Satz 2.4 (Möbius (1853)). Möbiustransformationen bilden verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab.
Beweis. Auch hier genügt es, die Aussage für die Elementartypen zu zeigen. Für Translationen
und Drehstreckungen ist dies aus geometrischen Gründen klar, so dass die Aussage für die
Inversion zu zeigen bleibt.
Die Inversion bildet definitionsgemäß 0 auf ∞ und ∞ auf 0 ab. Seien also diese beiden Punkte
in der folgenden Überlegung als Werte von z zunächst ausgenommen. Nach Proposition 1.14
lassen sich alle verallgemeinerten Kreise durch eine Gleichung der Form
α | z |2 + β z + β z + γ = 0
mit α, γ ∈ R, β ∈ C und β β > α γ
25
Kapitel 2. Möbiustransformationen
beschreiben. Setzen wir dann für z ∈ C {0} als neue Variable w :=
|w|2 , so erhalten wir für alle w ∈ C {0}
γ | w |2 + β w + β w + α = 0
1
z
und multiplizieren mit
mit α, γ ∈ R, β ∈ C und β β > α γ.
War 0 Punkt des ursprünglichen verallgemeinerten Kreises, so gilt offensichtlich γ = 0, und
die neue Gleichung beschreibt nach Proposition 1.14 eine Gerade, auf der zwangsläufig der
Punkt ∞ liegt. War ∞ Punkt des ursprünglichen verallgemeinerten Kreises, so ist dieser eine
Gerade, und es gilt α = 0, so dass 0 eine Lösung der neuen Gleichung ist.
Definition 2.5. Sei M ∈ GL2 (C). Ein Punkt z0 ∈ C heißt Fixpunkt bezüglich der Möbiustransformation ϕ M , falls ϕ M (z0 ) = z0 gilt.
Beispiel.
(a) Für M = I2 ist jeder Punkt Fixpunkt von ϕ M .
(b) Für M =
1 1
hat ϕ M genau einen Fixpunkt, nämlich z0 = ∞.
0 1
(c) Für M =
2 1
hat ϕ M genau zwei Fixpunkte, nämlich z0 = ∞ und z1 = −1.
0 1
Proposition 2.6. Jede von der Identität verschiedene Möbiustransformation hat entweder genau einen
oder genau zwei Fixpunkte.
Beweis. Sei M =
a b
c d
∈ GL2 (C) mit M z ≡ z.
Fall 1: c = 0. Nach Definition gilt dann M ∞ = ∞, so dass mit ∞ ein erster Fixpunkt von ϕ M
gefunden ist. Außerdem gilt in diesem Fall a = 0 = d, so dass wir für z = ∞
M z =
b
a
z+
d
d
schreiben können. Dies hat für a = d keinen weiteren Fixpunkt,
denn: Für b = 0 ist dies klar, da wir so eine Translation um db = 0 erhalten. Andererseits
kann nicht gleichzeitig c = 0, a = d und b = 0 gelten, da sonst M als skalares Vielfaches der
Einheitsmatrix trivial operierte, was wir in unserer Voraussetzung ausgeschlossen hatten.
#
Nehmen wir also a = d an. Dann gilt
z0 Fixpunkt von ϕ M
⇐⇒
a
b
z0 + = z0
d
d
⇐⇒
z0 =
b
.
d−a
In diesem Fall hat also ϕ M genau einen oder genau zwei Fixpunkte.
Fall 2: c = 0. In diesem Fall geben die beiden Sonderfälle (2.1) offensichtlich keinen Fixpunkt
her. Nehmen wir also z ∈ {− dc , ∞} an. Ähnlich wie in Fall 1 gilt dann
z0 Fixpunkt von ϕ M ⇐⇒
a z0 + b
= z0
c z0 + d
26
2.2. Möbiustransformationen und verallgemeinerte Kreise
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
c z20 + (d − a)z0 − b = 0
d−a
b
z20 +
z0 − = 0
c
c
2
d−a
b ( d − a )2
z0 +
= +
.
2c
c
4c2
Nach Proposition 1.13 hat diese Gleichung genau zwei komplexe Lösungen für z0 + d−c a und
somit auch für z0 , falls die rechte Seite ungleich Null ist. Ist andererseits die rechte Seite gleich
−a
Null, so ist offensichtlich z0 = − d2c
die einzige Lösung. Auch in diesem Fall hat also ϕ M genau
einen oder genau zwei Fixpunkte.
Aus Proposition 2.6 kann man eine Folgerung ziehen, die fast noch wichtiger als die Proposition ist.
Korollar. Jede Möbiustransformation ist durch die Angabe der Bilder dreier verschiedener Punkte eindeutig festgelegt.
Beweis. Sei ϕ eine Möbiustransformation, und seien z1 , z2 , z3 , w1 , w2 , w3 sechs Punkte in C mit
ϕ(zk ) = wk für k ∈ {1, 2, 3}. Nehmen wir nun an, es gebe eine weitere Möbiustransformation
ψ, die ψ(zk ) = wk erfüllt für k ∈ {1, 2, 3}. Da nach Proposition 2.2 die Möbiustransformationen
eine Gruppe bilden, ist die Abbildung ψ−1 ◦ ϕ wieder eine Möbiustransformation. Diese hätte
nach Konstruktion die drei Fixpunkte z1 , z2 , z3 , muss also nach Proposition 2.6 die Identität
sein. Es folgt ψ = ϕ und somit das Korollar.
An dieser Stelle ist die offensichtliche nächste Frage, ob es andersherum auch für vorgegebene Bilder von drei Punkten z1 , z2 , z3 ∈ C immer eine Möbiustransformation gibt, die diese
annimmt. Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir ein wenig ausholen.
Proposition 2.7. Seien z1 , z2 , z3 ∈ C paarweise verschiedene Punkte und z ∈ C ein weiterer Punkt.
Dann ist durch
 (z−z )(z −z )
2
3
1

für z1 , z2 , z3 ∈ C,

(z−z3 )(z1 −z2 )


 z − z2
für z1 = ∞,
ϕ : z → DV(z, z1 , z2 , z3 ) := zz−−zz3
3
1

für z2 = ∞,

z − z3


 z − z2
für z3 = ∞
z1 − z2
und

z1 − z3


z1 − z2


1
ϕ(∞) = DV(∞, z1 , z2 , z3 ) :=

0



∞
für z1 , z2 , z3 ∈ C,
für z1 = ∞,
für z2 = ∞,
für z3 = ∞
jeweils eine Möbiustransformation gegeben, die
ϕ(z1 ) = 1,
ϕ ( z2 ) = 0
und
ϕ ( z3 ) = ∞
27
Kapitel 2. Möbiustransformationen
erfüllt. Für z ∈ {z1 , z2 , z3 } heißt hierbei DV(z, z1 , z2 , z3 ) das Doppelverhältnis der Punkte z, z1 , z2 ,
z3 .
Bemerkung 2.8. (a) Die Spezialfälle für zk = ∞ mit einem k ∈ {1, 2, 3} ergeben sich aus dem
endlichen Fall durch den Grenzübergang zk → ∞.
(b) Nach dem obigen Korollar ist ϕ die einzige Möbiustransformation mit ϕ(z1 ) = 1, ϕ(z2 ) = 0 und
ϕ(z3 ) = ∞.
Beweis von Proposition 2.7. Falls alle Punkte z1 , z2 , z3 endlich sind, gilt definitionsgemäß für z =
∞
(z − z2 )(z1 − z3 )
( z − z3 ) z − z2 ( z1 − z3 )
= 1
,
ϕ(z) =
(z − z3 )(z1 − z2 )
( z1 − z2 ) z − z3 ( z1 − z2 )
Das stimmt auf C offensichtlich mit der Möbiustransformation ϕ M zur Matrix
M=
z1 − z3 − z2 ( z1 − z3 )
z1 − z2 − z3 ( z1 − z2 )
überein, für welche
det M = (z1 − z2 )(z1 − z3 )(z2 − z3 ) = 0
gilt, da ja nach Voraussetzung die Punkte z1 , z2 , z3 paarweise verschieden sind. Wie in (2.1) gilt
zudem
z1 − z3
ϕ M (∞) =
,
z1 − z2
so dass in der Tat ϕ M die durch das Doppelverhältnis gegebene Möbiustransformation ist, und
ϕ M (z3 ) = ∞.
Durch Einsetzen in die Formel der Proposition sieht man außerdem direkt
(z1 − z2 )(z1 − z3 )
= 1,
(z1 − z3 )(z1 − z2 )
(z2 − z2 )(z1 − z3 )
ϕ ( z2 ) =
= 0.
(z2 − z3 )(z1 − z2 )
ϕ ( z1 ) =
Die Fälle, in denen einer der Punkte z1 , z2 , z3 gleich ∞ ist, behandeln sich genauso (vgl. Übungsaufgabe 2.4).
Das bisher erarbeitete lässt sich zu folgendem Satz über Möbiustransformationen zusammenfassen.
Satz 2.9 (Klassifizierung der Möbiustransformationen). Sind (z1 , z2 , z3 ) und (w1 , w2 , w3 ) jeweils
Tripel paarweise verschiedener Punkte aus C, so gibt es genau eine Möbiustransformation ϕ mit ϕ(zk ) =
wk für k ∈ {1, 2, 3}.
2.2. Möbiustransformationen und verallgemeinerte Kreise
28
Beweis. Nach Proposition 2.7 gibt es durch Doppelverhältnisse definierte Möbiustransformationen ϕ1 und ϕ2 mit
ϕ1 (z1 ) = 1, ϕ1 (z2 ) = 0, ϕ1 (z3 ) = ∞,
ϕ2 (w1 ) = 1, ϕ2 (w2 ) = 0, ϕ2 (w3 ) = ∞.
Da die Möbiustransformationen unter Hintereinanderausführung eine Gruppe sind, ist auch
ϕ2−1 ◦ ϕ1 eine Möbiustransformation. Nach Konstruktion erfüllt diese die verlangten Eigenschaften. Mit dem Korollar von Proposition 2.6 folgt die Eindeutigkeit.
Bemerkung 2.10. Satz 2.9 hat eine wichtige geometrische Anwendung, denn es gilt:
Verallgemeinerte Kreise sind durch drei paarweise verschiedene Punkte, die ihre Gleichung
erfüllen, eindeutig festgelegt.
Zu je zwei verallgemeinerten Kreisen K1 und K2 gibt es daher und wegen des Satzes 2.4 über die
Kreistreue der Möbiustransformationen eine Möbiustransformation ϕ mit ϕ(K1 ) = K2 . Diese ist allerdings nicht eindeutig; so lassen beispielsweise die Möbiustransformationen z → z + 1 und z → z + 2
beide die reelle Achse in der komplexen Ebene fest.
Proposition 2.11 (Invarianz des Doppelverhältnisses). Seien z1 , z2 , z3 ∈ C paarweise verschieden
und z ∈ C beliebig, und sei ϕ eine beliebige Möbiustransformation. Dann gilt
DV( ϕ(z), ϕ(z1 ), ϕ(z2 ), ϕ(z3 )) = DV(z, z1 , z2 , z3 ).
Beweis. Wie im Beweis des Klassifizierungssatzes 2.9 der Möbiustransformationen eingesehen
lässt sich jede Möbiustransformation ϕ schreiben als ϕ = ϕ2−1 ◦ ϕ1 mit zwei durch Doppelverhältnisse gegebenen Möbiustransformationen ϕ1 und ϕ2 , die
ϕ1 (z1 ) = 1,
ϕ1 (z2 ) = 0,
ϕ1 (z3 ) = ∞,
ϕ2 ( ϕ(z1 )) = 1, ϕ2 ( ϕ(z2 )) = 0, ϕ2 ( ϕ(z3 )) = ∞.
erfüllen. Das ist äquivalent zu
ϕ2 ( ϕ(z)) = ϕ1 (z),
was nach Einsetzen der Definitionen von ϕ1 und ϕ2 die Behauptung ergibt.
Proposition 2.12. Ein Punkt z ∈ C liegt genau dann auf dem durch z1 , z2 , z3 bestimmten verallgemeinerten Kreis K, wenn DV(z, z1 , z2 , z3 ) in R ∪ {∞} liegt.
Beweis. Betrachten wir die durch das Doppelverhältnis gegebene Möbiustransformation ϕ mit
ϕ(z1 ) = 1, ϕ(z2 ) = 0 und ϕ(z3 ) = ∞. Mit dem Satz 2.4 über die Kreistreue der Möbiustransformationen folgt
z ∈ K ⇐⇒ ϕ(z) ∈ R ∪ {∞}.
29
Kapitel 2. Möbiustransformationen
Bemerkung 2.13. Die Hinrichtung des Korollars hat für endliche z, z1 , z2 , z3 eine schöne geometrische
Interpretation. Sei
(z − z2 )(z1 − z3 )
λ = DV(z, z1 , z2 , z3 ) =
(z − z3 )(z1 − z2 )
das Doppelverhältnis. Dann gilt
arg (λ) = (arg (z − z2 ) − arg (z − z3 )) − (arg (z1 − z2 ) − arg (z1 − z3 )) =: α − β.
Genau dann ist λ reell, wenn arg (λ) durch π teilbar ist, wenn also α ≡ β mod (π ) gilt. Für
z, z1 , z2 , z3 ∈ K ist letzteres gerade der Peripheriewinkelsatz aus der Euklid’schen Geometrie.14
Abbildung 2.3: Liegen z und z1 auf der selben Seite der Sehne z2 z3 , so stimmen α und β überein.
Liegen sie auf verschiedenen Seiten, so gilt α = β − π.
Übungsaufgaben
Aufgabe 2.1. Beenden Sie den Beweis von Proposition 2.2.
Aufgabe 2.2. Beenden Sie den Beweis von Proposition 2.3.
Aufgabe 2.3. Sei ϕ : C → C ein Möbiustransformation. Zeigen Sie, dass für jede offene Teilmenge
U ⊆ C auch das Urbild ϕ−1 (U ) offen in C ist.15
Aufgabe 2.4. Beenden Sie den Beweis von Proposition 2.7.
Aufgabe 2.5. Seien z1 , z2 ∈ C, und sei ϕ eine Möbiustransformation mit ϕ(z1 ) = 0 und ϕ(z2 ) = ∞.
Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) ϕ ist von der Form
ϕ(z) = c ·
z − z1
z − z2
mit einer Konstanten c ∈ C.
14 Man
beachte, dass hier durch die Definition der Winkel α und β über das Doppelverhältnis im Vergleich zu
üblichen Formulierungen des Peripheriewinkelsatzes ein Vorzeichenwechsel eingebaut ist.
15 Damit ist gezeigt, dass Möbiustransformationen stetige Abbildungen sind.
30
2.2. Möbiustransformationen und verallgemeinerte Kreise
(b) Die Urbilder unter ϕ der Geraden durch z = 0 sind verallgemeinerte Kreise durch z1 und z2 .
(c) Die Urbilder unter ϕ der konzentrischen Kreise um z = 0 sind Apollonische Kreise bezüglich z1
und z2 (vgl. Übungsaufgabe 1.2).
Aufgabe 2.6. In der komplexen Ebene seien vier paarweise verschiedene Geraden mit gemeinsamem
Schnittpunkt P ∈ C gegeben und weiter eine Gerade g, die nicht durch P geht und die anderen Geraden
wie in der Abbildung dargestellt in Punkten A, B, C, D ∈ C schneidet.
Zeigen Sie, dass für das Doppelverhältnis der Punkte A, B, C, D dann die Identität
DV( A, B, C, D ) =
sin(α + β) · sin( β + γ)
sin(α + β + γ) · sin( β)
gilt, wobei die Winkel α, β und γ wie in der Abbildung definiert seien. Insbesondere hängt also das
Doppelverhältnis DV( A, B, C, D ) nicht von der genauen Lage von g ab.
Hinweis: Im Beweis dürfen Sie den Sinussatz verwenden, der besagt, dass in einem beliebigen Dreieck
mit Ecken X, Y, Z ∈ C und Innenwinkeln ϕ bei X und ψ bei Y die Gleichung
sin( ϕ)
sin(ψ)
=
|Y − Z |
|X − Z|
gilt.
Aufgabe 2.7. In Proposition 1.14 wurde für verallgemeinerte Kreise die Schreibweise
α|z|2 + βz + βz + γ = 0
mit α, γ ∈ R, β ∈ C und ββ > αγ
eingeführt. Rechnerisch ist es oft geschickter, dies als
z 1 ·C·
zu schreiben.
z
1
= 0 mit C =
α β
β γ
31
Kapitel 2. Möbiustransformationen
(a) Sei M ∈ GL2 (C) eine Matrix mit zugehöriger Möbiustransformation ϕ M . Zeigen Sie, dass ϕ M
t
einen durch C beschriebenen verallgemeinerten Kreis auf den durch ( M−1 ) · C · ( M−1 ) beschriebenen schickt.


a b

Hinweis: Beweisen und verwenden Sie für z ∈ C und M =
∈ GL2 (C) mit cz + d = 0
c d
die Gleichung
z
ϕ M (z)
M
= (cz + d)
.
1
1
(b) Sei speziell
M=
1 −i
1 i
∈ GL2 (C).
Zeigen Sie, dass dann ϕ M (R ∪ {∞}) = {z ∈ C | |z| = 1} gilt.
KAPITEL 3
Komplexwertige Funktionen
3.1
Stetigkeit
Definition 3.1. Sei D ⊆ C, und sei z0 ∈ C ein Häufungspunkt von D, d. h., in jeder offenen εUmgebung von z0 liegen unendlich viele Punkte aus D. Sei weiter f : D → C eine Funktion. Man sagt
dann, dass der Limes von f gegen z0 existiert und gleich w0 ist, in Zeichen
lim f (z) = w0 ,
z → z0
wenn es für alle ε > 0 ein δ > 0 gibt mit
| f (z) − w0 | < ε für alle z ∈ D mit 0 < |z − z0 | < δ.
Definition 3.2. Sei D ⊆ C, und sei f : D → C eine Funktion und z0 ∈ D. Dann heißt f stetig in z0 ,
wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit
| f (z) − f (z0 )| < ε für alle z ∈ D mit |z − z0 | < δ.
Bemerkung 3.3. (a) Ist z0 ein isolierter Punkt von D, d. h. kein Häufungspunkt von D, dann ist
jedes f in z0 stetig.
(b) Ist z0 ein Häufungspunkt von D, so ist f genau dann stetig in z0 , wenn limz→z0 f (z) = f (z0 )
gilt.
Lemma 3.4. Sei D ⊆ C. Genau dann ist die Funktion f : D → C im Punkt z0 ∈ D stetig, wenn für
jede Folge (zn )n∈N mit zn ∈ D und limn→∞ zn = z0 die Bedingung
lim f (zn ) = f (z0 )
n→∞
gilt.
Beweis. Wortwörtliche Übertragung aus der Analysis 1.
32
33
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Lemma 3.5. Sei D ⊆ C, und sei z0 ∈ D. Seien weiter f , g : D → C in z0 stetige Funktionen. Dann
gelten die folgenden Aussagen.
(a) f + g :
D
z
→ C,
→ f (z) + g(z)
und
f ·g:
D
z
→ C,
sind stetig in z0 .
→ f (z) · g(z)
(b) z → Re f (z), z → Im f (z), z → f (z) und z → | f (z)| sind stetig in z0 .
(c) Ist g(z0 ) = 0, so gibt es eine δ-Umgebung Uδ (z0 ) von z0 mit g(z) = 0 für alle z ∈ D
und die Abbildung
∪
Uδ (z0 ) D → C,
f
:
g
z
→ gf ((zz))
∪
Uδ (z0 ),
ist stetig in z0 .
Beweis. (a) und (b) sowie der zweite Teil von (c) folgen sofort aus Lemma 3.4 und den Grenzwertrechenregeln aus Lemma 1.16.
Es verbleibt der erste Teil von (c) zu zeigen. Sei also g(z0 ) = 0. Dann ist ε :=
z0 stetig ist, existiert zu diesem ε > 0 ein δ > 0 mit
| g(z0 )|
2
> 0. Da g in
| g(z) − g(z0 )| < ε für alle z ∈ D mit |z − z0 | < δ.
Für solche z gilt dann
| g(z)| = g(z0 ) − g(z0 ) − g(z)
≥ | g(z0 )| − | g(z0 ) − g(z)|
≥ | g(z0 )| − | g(z) − g(z0 )|
= 2ε − | g(z) − g(z0 )|
> 2ε − ε = ε > 0.
Es ist also g(z) = 0 für alle z ∈ D
∪
Uδ (z0 ), was zu zeigen war.
Lemma 3.6. Sind D, E ⊆ C, sind f : D → C und g : E → C zwei Funktionen mit f ( D ) ⊆ E, und
sind f in z0 und g in f (z0 ) stetig, so ist auch ihre Hintereinanderausführung g ◦ f in z0 stetig.
Beweis. Siehe Analysis 2.
Beispiel.
(a) Sei p(z) =
n
ν
ν =0 a ν z
mit aν ∈ C ein Polynom. Dann ist p stetig in jedem z0 ∈ C.
(b) Sei S1 := {z ∈ C | |z| = 1} der Einheitskreis. Für z ∈ S1 sei Arg z der Hauptwert des
Arguments von z, also Arg z = ϕ ∈ (−π, π ] mit z = cos ϕ + i sin ϕ. Dann ist die Abbildung
S1 → C,
z → Arg z
nicht stetig in z0 = −1,
34
3.2. Komplex differenzierbare Funktionen
denn: Seien für alle n ∈ N
1
) + i sin(π −
n
1
bn = cos(π + ) + i sin(π +
n
an = cos(π −
1
),
n
1
).
n
Dann sind alle an , bn ∈ S1 , und es gilt
lim an = lim bn = cos π + i sin π = −1.
n→∞
n→∞
Andererseits gilt für die Funktionswerte
Arg an = π −
1 n→∞
→ π
n
und
Arg bn = −π +
1 n→∞
→ −π,
n
so dass nach Lemma 3.4 Arg z in z0 = −1 nicht stetig ist.
3.2
#
Komplex differenzierbare Funktionen
Die komplexen Zahlen C bilden einen Körper, insbesondere kann man durch alle von Null
verschiedenen komplexen Zahlen dividieren. In Analogie zur Analysis 1 ist daher folgende
Definition naheliegend.
Definition 3.7. Sei D ⊆ C offen. Sei z0 ∈ D und f : D → C. Genau dann heißt f in z0 komplex
differenzierbar, wenn der Grenzwert
lim
z → z0
f ( z ) − f ( z0 )
z − z0
existiert. Dieser heißt dann die komplexe Ableitung von f in z0 und wird mit f (z0 ) bezeichnet. Ist f
in jedem z0 ∈ D komplex differenzierbar, so heißt f auf D holomorph.
Bemerkung 3.8. Natürlich ist
lim
z → z0
f ( z ) − f ( z0 )
f ( z0 + h ) − f ( z0 )
= lim
,
z − z0
h
h →0
wenn die Limites existieren. Hierbei ist natürlich h komplex.
Beispiel. (a) Die Funktion f (z) = zn ist für alle n ∈ N in jedem Punkt z0 ∈ C komplex differenzierbar, ist also auf C holomorph. Ihre komplexe Ableitung in z0 ist f (z0 ) = n z0n−1 ,
denn:
f ( z0 + h ) − f ( z0 )
1
= ((z0 + h)n − z0n )
h
h
n
1
n ν n−ν
=
h z0 − z0n
h
ν
ν =0
35
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
=
1
h
n
ν =2
n
= n z0n−1 +
ν =2
h →0
→
n ν n−ν
h z0 − z0n
ν
z0n + n h z0n−1 +
n ν −1 n − ν
h
z0
ν
n z0n−1 .
#
(b) Die komplexe Konjugation
·:
C
z
→ C,
→z
ist in keinem Punkt z0 ∈ C komplex differenzierbar,
denn:
z0 + h − z0
h
= =
h
h
1
−1
falls h ∈ R,
falls h ∈ i R.
#
Lemma 3.9. Sei D ⊆ C offen, z0 in D enthalten und weiter f : D → C eine Funktion. Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent.
(i) f ist in z0 komplex differenzierbar, und es gilt f (z0 ) = w0 .
(ii) Es gibt eine in z0 stetige Funktion ϕ : D → C mit
f (z) = f (z0 ) + ϕ(z)(z − z0 )
und
ϕ ( z 0 ) = w0 .
Beweis. Sei zunächst f in z0 komplex differenzierbar und w0 = f (z0 ). Dann setzen wir
ϕ(z) :=
f (z)− f (z0 )
z − z0
für z ∈ D
w0
für z = z0 .
{ z0 },
Für dieses ϕ gilt
lim ϕ(z) = f (z0 ) = w0 = ϕ(z0 ),
z → z0
es ist also in z0 stetig.
Sei nun umgekehrt ein ϕ mit den in (ii) angegebenen Eigenschaften gegeben. Für z = z0 gilt
dann:
f ( z ) − f ( z0 )
z→z
= ϕ ( z ) → 0 ϕ ( z 0 ) = w0 ,
z − z0
also ist f in z0 komplex differenzierbar, und es gilt w0 = f (z0 ).
Lemma 3.10. Sei D ⊆ C offen, z0 in D enthalten und weiter f : D → C eine Funktion. Ist f in z0
komplex differenzierbar, so ist f in z0 auch stetig.
36
3.2. Komplex differenzierbare Funktionen
Beweis. Sei f in z0 differenzierbar. Nach Lemma 3.9 gibt es dann eine in z0 stetige Funktion
ϕ : D → C mit f (z) = f (z0 ) + ϕ(z)(z − z0 ). Wegen
lim ϕ(z) = ϕ(z0 )
und
z → z0
lim (z − z0 ) = 0
z → z0
folgt
lim f (z) = f (z0 ) + lim ϕ(z)(z − z0 ) = f (z0 ),
z → z0
z → z0
so dass f in z0 stetig ist.
Proposition 3.11. Sei D ⊆ C offen, z0 in D enthalten und f , g : D → C in z0 komplex differenzierbar.
Dann gelten die folgenden Aussagen.
(a) f + g ist in z0 komplex differenzierbar und hat dort die komplexe Ableitung
( f + g ) ( z0 ) = f ( z0 ) + g ( z0 ).
(b) f · g ist in z0 komplex differenzierbar und hat dort die komplexe Ableitung
( f · g ) ( z0 ) = f ( z0 ) · g ( z0 ) + f ( z0 ) · g ( z0 ).
(c) Ist g(z0 ) = 0, so ist auch
die komplexe Ableitung
f
g
(definiert für z nahe bei z0 ) in z0 komplex differenzierbar und hat dort
f
g
( z0 ) =
f ( z0 ) g ( z0 ) − f ( z0 ) g ( z0 )
.
g2 ( z0 )
Beweis. Genauso wie in Analysis 1.
Beispiel. Nach Teil (a) des letzten Beispiels und Teil (a) von Proposition 3.11 sind Polynome p(z) =
n
ν
ν=0 aν z auf C holomorph und besitzen die komplexe Ableitung
n
ν a ν z ν −1 .
p (z) =
ν =1
Proposition 3.12 (Kettenregel). Seien D, E ⊆ C offen und f : D → C und g : E → C Funktionen
mit f ( D ) ⊆ E. Sei weiter z0 ∈ D. Sind f in z0 und g in w0 := f (z0 ) komplex differenzierbar, so ist
auch g ◦ f : D → C in z0 komplex differenzierbar und hat dort die komplexe Ableitung
( g ◦ f ) (z0 ) = g ( f (z0 )) f (z0 ).
Beweis. Nach Lemma 3.9 gibt es eine in w0 stetige Funktion ψ : E → C mit
g(w) − g(w0 ) = ψ(w)(w − w0 )
und
ψ ( w0 ) = g ( w0 ) .
Mit w = f (z) und insbesondere w0 = f (z0 ) folgt also für z = z0
f ( z ) − f ( z 0 ) z → z0
g( f (z)) − g( f (z0 ))
= ψ( f (z))
→ ψ( f (z0 )) f (z0 ) = g ( f (z0 )) f (z0 ).
z − z0
z − z0
37
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Wir hatten ja die komplexen Zahlen C als den mit einer Körpermultiplikation ausgestatteten
reellen Vektorraum R2 eingeführt. An dieser Stelle drängt sich daher ein Vergleich der Begriffe
der komplexen Differenzierbarkeit in C und der (totalen) reellen Differenzierbarkeit in R2 auf.
Zur Erinnerung: Für eine offene Teilmenge D ⊆ R2 heißt eine Funktion f : D → R in ( x0 , y0 ) ∈
D total differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung L : R2 → R gibt mit
lim
h,k →0
f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) − L(h, k )
= 0,
||(h, k)||
√
wobei ||(h, k )|| =
h2 + k2 die Euklid’sche Norm bezeichnet. Die lineare Abbildung L =
d f ( x0 , y0 ) ist dann eindeutig durch f und ( x0 , y0 ) bestimmt. Schreibt man
L(h, k ) = A h + B k
so sind A =
∂f
∂x ( x0 , y0 )
und B =
∂f
∂y ( x0 , y0 )
mit A, B ∈ R,
die partiellen Ableitungen von f in ( x0 , y0 ).
Für eine offene Teilmenge D ⊆ R2 heißt eine Funktion f = (u, v) : D → R2 mit u : D → R,
v : D → R total differenzierbar in ( x0 , y0 ) ∈ D genau dann, wenn u und v in ( x0 , y0 ) total
differenzierbar sind.
Einen Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Differenzierbarkeit stellt nun folgender
wichtiger Satz her.
Satz 3.13. Sei D ⊆ C offen, z0 in D enthalten und f : D → C eine Funktion. Sei weiter z = x + i y
mit x, y ∈ R und insbesondere z0 = x0 + i y0 . Schreiben wir nun f ( x, y) = u( x, y) + i v( x, y) mit
u( x, y), v( x, y) ∈ R, so sind folgende Aussagen äquivalent.
(i) f ist in z0 komplex differenzierbar.
(ii) f ist in ( x0 , y0 ) total reell differenzierbar, und es gelten die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen
∂u
∂v
( x0 , y0 ) =
( x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
( x0 , y0 ) = − ( x0 , y0 ).
∂y
∂x
Beweis. Sei f in z0 komplex differenzierbar und f (z0 ) =: w0 . Dann gilt nach Definition
0 = lim
t →0
f ( z 0 + t ) − f ( z 0 ) − w0 · t
f ( z0 + t ) − f ( z0 )
− w0 = lim
,
t →0
t
t
was äquivalent zu
0 = lim
t →0
f ( z 0 + t ) − f ( z 0 ) − w0 · t
|t|
ist. Schreiben wir w0 = u0 + i v0 mit u0 , v0 ∈ R und t = h + i k mit h, k ∈ R, so gilt:
w0 · t = u 0 h − v 0 k + i ( u 0 k + v 0 h )
38
3.2. Komplex differenzierbare Funktionen
Nach Aufspaltung in Real- und Imaginärteil ist dies äquivalent zu
u( x0 + h, y0 + k ) − u( x0 , y0 ) − (u0 h − v0 k )
= 0,
||(h, k)||
h,k →0
v( x0 + h, y0 + k ) − v( x0 , y0 ) − (u0 k + v0 h)
lim
= 0.
||(h, k)||
h,k →0
lim
(3.1)
Setzen wir
L1 (h, k ) := u0 h − v0 k
und
L2 (h, k ) := v0 h + u0 k,
so sind L1 und L2 lineare Abbildungen von R2 → R. (3.1) bedeutet also genau, dass u und v in
( x0 , y0 ) total differenzierbar sind und die Gleichungen
∂u
∂v
( x0 , y0 ) = u0 =
( x0 , y0 ),
∂x
∂y
∂u
∂v
( x0 , y0 ) =−v0 = − ( x0 , y0 )
∂y
∂x
gelten.
Wir haben gerade im Beweis sogar etwas mehr gezeigt, nämlich
∂u
∂v
∂f
( x0 , y0 ) + i ( x0 , y0 ) =
( x0 , y0 ),
∂x
∂x
∂x
∂v
∂u
∂f
( x0 , y0 ) =
( x0 , y0 ).
i f ( z 0 ) = i w0 = i u 0 − v 0 = i ( x 0 , y 0 ) +
∂y
∂y
∂y
f ( z 0 ) = w0 = u 0 + i v 0 =
(3.2)
Korollar. Sei D ⊆ C ein Gebiet, d. h. D ⊆ C offen und zusammenhängend. Sei f : D → C auf D
holomorph und f (z) = 0 für alle z ∈ D. Dann ist f konstant auf D.
Beweis. Wir schreiben wieder z = x + i y mit x, y ∈ R und f (z) = u( x, y) + i v( x, y). Nach Satz
3.13 ist f auf D total reell differenzierbar, und es gilt (3.2). Mit der Voraussetzung 0 ≡ f (z) ≡
i f (z) folgt daraus
∂u
∂v
∂u
∂v
0≡
+i
=
+i .
∂x
∂x
∂y
∂y
Komponentenweise können wir
∂v
∂v
∂u
∂u
=
=
=
=0
∂x
∂x
∂y
∂y
ablesen. Da nach Voraussetzung D ⊆ C ∼
= R2 ein Gebiet ist, können wir einen Satz aus der
Analysis 2 anwenden, der besagt, dass u und v auf D konstant sein müssen. Es folgt schließlich,
dass auch f auf D konstant ist.
Wie wir im Beweis gerade gesehen haben, ist es aufgrund der komplizierten Notation recht
umständlich mit den partiellen Ableitungen von u und v nach x und y zu arbeiten. Wir werden
∂u ∂v ∂v
daher in Zukunft gelegentlich vereinfachend u x , uy , v x , vy für ∂u
∂x , ∂y , ∂x , ∂y schreiben.
39
3.3
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Potenzreihen
Wie wir im letzten Abschnitt gesehen haben, stellen Polynome mit Koeffizienten in C stets
holomorphe Funktionen auf ganz C dar und haben eine leicht zu bestimmende Ableitung. In
diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, wie sich Potenzreihen in dieser Hinsicht verhalten,
die ja sozusagen „Polynome von unendlichem Grad“ sind. Wir bauen die entsprechende Theorie aus der reellen Analysis nach, oftmals mit den wortwörtlich gleichen Beweisen.
Definition 3.14. Eine unendliche Reihe der Form
∞
a ν ( z − z0 ) ν
mit aν ∈ C
ν =0
heißt Potenzreihe mit den Koeffizienten aν und um den Entwicklungspunkt z0 . Die Menge der z ∈ C,
für die die Reihe konvergiert, heißt der Konvergenzbereich der Reihe.
Definition 3.15. Sei A ⊆ C eine Teilmenge und für jedes n ∈ N eine Funktion f n : A → C gegeben.
Dann heißt die Folge ( f n )n∈N auf A gleichmäßig konvergent, wenn es eine Funktion f : A → C gibt,
für die es für alle ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N gibt mit
| f n (z) − f (z)| < ε für alle n ≥ N und alle z ∈ A.
Lemma 3.16 (Cauchy-Kriterium für Folgen). Sei A ⊆ C eine Teilmenge und für jedes n ∈ N eine
Funktion f n : A → C gegeben.
(a) Genau dann ist ( f n )n∈N auf A gleichmäßig konvergent, wenn es für alle ε > 0 ein N = N (ε) ∈
N gibt mit
| f m (z) − f n (z)| < ε für alle m, n ≥ N und alle z ∈ A.
(b) Ist ( f n )n∈N auf A gleichmäßig konvergent gegen f : A → C und sind alle f n auf A stetig, so ist
auch f auf A stetig.
Beweis. Wie in Analysis 1.
Definition 3.17. Eine Reihe ∞
n=1 f n ( z ) mit Funktionen f n : A → C heißt auf A gleichmäßig
konvergent, wenn die Folge der Partialsummen (S N ) N ∈N auf A gleichmäßig konvergiert. Hierbei ist
wie in Analysis 1 die N-te Partialsumme gegeben durch
N
SN =
f n ( z ).
n =1
Lemma 3.18 (Cauchy-Kriterium für Reihen). Sei A ⊆ C eine Teilmenge und für jedes n ∈ N eine
Funktion f n : A → C gegeben.
(a) Genau dann ist ∞
ν=1 f ν ( z ) auf A gleichmäßig konvergent, wenn es für alle ε > 0 ein N =
N (ε) ∈ N gibt mit
| f n (z) + f n+1 (z) + . . . + f n+ p (z)| < ε für alle n ≥ N, alle p ∈ N und alle z ∈ A.
40
3.3. Potenzreihen
(b) Sei
∞
ν =1 a ν
∞
ν =1 f ν ( z )
mit aν ∈ R≥0 eine Majorante von
aν ≥ | f ν (z)|
auf A, gelte also
für alle z ∈ A.
∞
Konvergiert dann ∞
ν=1 aν , so ist
ν=1 f ν ( z ) auf A gleichmäßig absolut konvergent, es ist
∞
also ν=1 | f ν (z)| auf A gleichmäßig konvergent.
Nach (a) ist unter diesen Voraussetzungen auch
∞
ν=1 f ν ( z ) selbst auf
A gleichmäßig konvergent.
Beweis. Wie in Analysis 1.
n
Beispiel. Sei 0 ≤ q < 1 fest. Ist |z| ≤ q, so folgt |z|n ≤ qn für alle n ∈ N. Die Reihe ∞
n =0 q < ∞
∞
ist also eine konvergente Majorante von n=0 zn auf A := {z ∈ C | |z| ≤ q}. Mit Teil (b) von Lemma
n
3.18 folgt, dass ∞
n=0 z auf A gleichmäßig absolut konvergent ist.
n
Lemma 3.19. Ist die Potenzreihe ∞
n=0 an ( z − z0 ) für z = z1 konvergent und gilt r : = | z1 − z0 |,
so konvergiert sie für alle z ∈ Ur (z0 ). Ferner konvergiert die Reihe gleichmäßig absolut auf jedem
abgeschlossenen Kreis |z − z0 | ≤ < r.
n
Beweis. Da ∞
n=0 an ( z1 − z0 ) konvergiert, bilden die Glieder dieser Reihe eine Nullfolge, insbesondere also eine beschränkte Folge. Also existiert ein c > 0 mit
| an |r n = | an (z1 − z0 )n | ≤ c für alle n ∈ N, 16
was sich zu
c
für alle n ∈ N
rn
umschreiben lässt, wenn wir ohne Einschränkung annehmen, r sei positiv. Für |z − z0 | ≤
folgt hieraus
c
| an (z − z0 )n | = | an | |z − z0 |n ≤ n n = c qn mit q := .
r
r
| an | ≤
<r
n
Wegen < r ist q < 1. Da sowieso q ≥ 0 gilt, ist die Reihe ∞
n=0 q konvergent, also wie im
n
Beispiel eine konvergente Majorante für die Potenzreihe ∞
n=0 an ( z − z0 ) auf | z − z0 | ≤ .
n
Satz 3.20. Zu jeder vorgegebenen Potenzreihe ∞
n=0 an ( z − z0 ) existiert genau ein r ∈ [0, ∞ ) ∪ { ∞ },
Konvergenzradius genannt, mit folgenden Eigenschaften.
(i) In jedem abgeschlossenen Kreis |z − z0 | ≤
< r ist die Reihe gleichmäßig absolut konvergent.
(ii) Für |z − z0 | > r ist die Reihe divergent.
(iii) Es gilt die Formel von Cauchy-H ADAMARD17
r=
1
lim sup
n→∞
16 Bislang
n
| an |
.
war die Frage, ob Null in den natürlichen Zahlen liegt, nicht wichtig. Hier soll n auch den Wert Null
annehmen dürfen. Wir halten also fest: Für uns ist in dieser Vorlesung stets N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
17 Jacques Hadamard (1865 - 1963)
41
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Bemerkung 3.21. (a) Sei (bn )n∈N eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen. Nehmen wir zunächst
an, (bn )n∈N sei nach oben beschränkt. Dann ist die Menge M der Häufungspunkte von (bn )n∈N
nichtleer und nach oben beschränkt. In diesem Fall setzen wir
lim sup bn := sup M.
n→∞
Sei nun andererseits (bn )n∈N nicht nach oben beschränkt. In diesem Fall setzen wir
lim sup bn := ∞.
n→∞
Ist (bn )n∈N konvergent, so gilt lim supn→∞ bn = limn→∞ bn .
(b) Ist lim sup
n→∞
n
| an | = 0 (bzw. ∞), so ist r = ∞ (bzw. r = 0) zu setzen.
(c) Die Formel von Cauchy-Hadamard ist nicht immer zweckmäßig, um r auszurechnen.
Beweis von Satz 3.20. (i) und (ii) und insbesondere die Existenz von r folgen unmittelbar aus
Lemma 3.19.
Um Behauptung (iii) zu beweisen, zeigen wir nun, dass mit dem gewählten Wert für r die Reihe
für 0 ≤ |z − z0 | < r konvergiert und für |z − z0 | > r divergiert.
Sei dafür zunächst 0 < r ≤ ∞. Wir wählen ein
lim sup
n
n→∞
so dass es ein N ∈ N gibt mit
n
| an | <
1
∈ (0, r ). Für dieses gilt
| an | =
1
1
< ,
r
für alle n ≥ N, also
| z − z0 |
| a n ( z − z0 ) n | <
n
für alle n ≥ N.
Wie man durch Vergleich mit der geometrischen Reihe einsieht, konvergiert somit die Reihe
| z − z0 |
∞
n
< 1, also für |z − z0 | < . Da ∈ (0, r ) beliebig gewählt war, folgt
n=0 an ( z − z0 ) für
die erste Hälfte von (iii).
Sei nun 0 ≤ r < ∞. Wir wählen ein
∈ (r, ∞). Für dieses gilt
1
<
1
= lim sup
r
n→∞
n
| a n |.
Daher existiert eine Folge (n p ) p∈N natürlicher Zahlen mit
1
also
−n p
< | an p |. Für |z − z0 | >
< an p
1
np
für alle p ∈ N,
folgt deshalb
a n p ( z − z0 ) n p > 1
für alle p ∈ N.
n
Die Glieder der Reihe ∞
n=0 an ( z − z0 ) bilden somit keine Nullfolge, so dass letztere in diesem
Fall nicht konvergiert. Da ∈ (r, ∞) beliebig gewählt war, folgt die zweite Hälfte von (iii).
42
3.3. Potenzreihen
Beispiel.
(b)
(a)
∞
zn
n=0 n!
(c) Hat
∞
n =0
nn zn hat Konvergenzradius r = 0.
(Cauchy-Hadamard)
hat Konvergenzradius r = ∞.
∞
n =0 a n ( z
(siehe Proposition 3.26)
− zn )n Konvergenzradius r, so hat auch die (gliedweise abgeleitete) Reihe
∞
n a n ( z − z 0 ) n −1
n =1
Konvergenzradius r,
√ n→∞
denn: Wegen n n → 1 hat
abhängt, folgt mit
∞
n =1
n an (z − z0 )n Konvergenzradius r. Da (z − z0 ) nicht von n
∞
∞
n a n ( z − z 0 ) n −1
n a n ( z − z0 ) n = ( z − z0 )
n =1
n =1
die Behauptung.
#
n
Satz 3.22. Sei ∞
n=0 an ( z − z0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, und sei f ( z ) die durch
diese Reihe auf Ur (z0 ) gegebene Funktion. Dann ist f (z) auf Ur (z0 ) holomorph, und es gilt
∞
n a n ( z − z 0 ) n −1
f (z) =
für alle z ∈ Ur (z0 ).
n =1
Beweis. Ohne Einschränkung können wir z0 = 0 annehmen, sonst führen wir eine Translation
um −z0 durch. Für jedes N ∈ N schreiben wir dann
∞
N −1
f (z) = s N (z) + R N (z)
an zn und R N (z) :=
mit s N (z) :=
n =0
an zn .
n= N
Sei weiter
∞
n a n z n −1
f 1 (z) :=
für alle |z| < r
n =1
die aus Punkt (c) des Beispiels bekannte Reihe. Da Polynome gliedweise abgeleitet werden, gilt
f 1 (z) = lim s N (z)
N →∞
für alle |z| < r.
(3.3)
Der Satz folgt, wenn wir zeigen können, dass f (z) für |z| < r komplex differenzierbar ist und
f (z) = f 1 (z) gilt. Wir untersuchen also die Differenzierbarkeit in z1 ∈ C mit |z1 | < r. Seien
dafür ∈ (|z1 |, r ) und z ∈ C {z1 } mit |z| < .
43
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Abbildung 3.1: z darf im rot markierten Bereich liegen, solange es nicht z1 trifft.
Für dieses z gilt
f ( z ) − f ( z1 )
s ( z ) + R N ( z ) − s N ( z1 ) − R N ( z1 )
− f 1 ( z1 ) = N
− f 1 ( z1 )
z − z1
z − z1
(3.4)
s ( z ) − s N ( z1 )
R ( z ) − R N ( z1 )
= N
− s N ( z1 ) + s N ( z1 ) − f 1 ( z1 ) + N
.
z − z1
z − z1
Es gilt nun natürlich die einzelnen Terme im Betrag nach oben abzuschätzen und zu zeigen,
dass der Gesamtausdruck für z gegen z1 verschwindet. Wir betrachten zunächst den letzten
Term. Dieser lässt sich umschreiben zu
R N ( z ) − R N ( z1 )
=
z − z1
was uns wegen |z1 |, |z| <
∞
an
n= N
zn − z1n
=
z − z1
∞
an zn−1 + zn−2 z1 + . . . + z z1n−2 + z1n−1 ,
n= N
< r die Abschätzung
R N ( z ) − R N ( z1 )
<
z − z1
∞
∞
| an | n
n= N
n −1
| a n | n r n −1
<
n= N
liefert. Nach Teil (c) des Beispiels konvergiert die Reihe in der Mitte, so dass es für jedes ε > 0
ein geeignetes NR = NR (ε) ∈ N gibt mit
ε
R N ( z ) − R N ( z1 )
<
z − z1
3
für alle N ≥ NR und alle z ∈ C
{z1 } mit |z| < .
Wegen (3.3) gibt es zu demselben ε > 0 wie gerade eben ein N1 ∈ N mit
|s N (z1 ) − f 1 (z1 )| <
ε
3
für alle N ≥ N1 .
Sei jetzt N > max{ NR , N1 }. Da s N (z) in z1 komplex differenzierbar ist, existiert zu dem gegebenen ε > 0 ein δ > 0 mit
s N ( z ) − s N ( z1 )
ε
− s N ( z1 ) <
z − z1
3
für alle z ∈ C mit 0 < |z − z1 | < δ.
3.4. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen im Komplexen
44
Wir dürfen hierbei ohne Einschränkung δ > 0 so klein wählen, dass |z − z1 | < δ schon |z| <
impliziert.18 Setzen wir unsere Ergebnisse in (3.4) ein, so folgt insgesamt für 0 < |z − z1 | < δ
f ( z ) − f ( z1 )
ε
ε
ε
− f 1 ( z1 ) < + + = ε
z − z1
3 3 3
und somit die Behauptung.
Bemerkung 3.23. Leiten wir f (z) sukzessive ab, so erhalten wir durch vollständige Induktion für alle
k∈N
∞
(n + k)!
(k)
f (z) =
an+k (z − z0 )n für alle |z − z0 | < r.
n!
n =0
Setzen wir speziell z = z0 , so folgt f (k) (z0 ) = k! ak , also ak =
sich daher f (z) umschreiben zu
∞
f (z) =
n =0
3.4
f ( n ) ( z0 )
( z − z0 ) n
n!
für alle |z − z0 | < r.
f ( k ) ( z0 )
k!
für alle k ≥ 0. Insgesamt lässt
(TAYLORformel19 für Potenzreihen)
Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen im Komplexen
In der reellen Analysis spielen die durch Potenzreihen definierten Funktionen e x , sin x und
cos x eine gewichtige Rolle. Wir werden sehen, dass dies in der Funktionentheorie nicht anders
ist, und führen die genannten Funktionen nun auch im Komplexen ein.
∞
Definition 3.24. Für z ∈ C heißt ez := exp z :=
n =0
zn
die (komplexe) Exponentialfunktion.
n!
Bemerkung 3.25. Die komplexe Exponentialfunktion exp z setzt die reelle Exponentialfunktion
∞
xn
exp x =
n=0 n! „natürlich“ ins Komplexe fort. Wir werden gleich in Proposition 3.26 sehen, dass
exp z eine holomorphe Funktion auf ganz C ist, und in einem Korollar von Satz 5.6 verstehen, dass sie
die einzige holomorphe Fortsetzung von exp x nach C ist.
Proposition 3.26. Es gelten die folgenden Aussagen.
(a) Die Potenzreihe exp z hat Konvergenzradius r = ∞.
(b) Die Ableitung von exp z ist für alle z ∈ C durch exp z = exp z gegeben.
(c) Für alle z, w ∈ C gilt das Additionstheorem ez+w = ez · ew .
(d) Für z = x + i y mit x, y ∈ R hat exp(z) die Darstellung
e z = e x ei y
18 Es
genügt hierfür offensichtlich δ <
Taylor (1685 - 1731)
19 Brook
mit |ez | = e x und |ei y | = 1.
− |z1 | zu wählen.
45
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Beweis. Wir berechnen den Konvergenzradius von exp z mit dem Quotientenkriterium.20 Sei
n
dafür z ∈ C {0} fest gewählt und an = zn! . Dann gilt
z n +1
( n +1) !
zn
n!
a n +1
=
an
=
|z|
1
<
n+1
2
für n hinreichend groß.
Die Exponentialreihe konvergiert also für alle z ∈ C absolut, was (a) zeigt.
Nach Satz 3.22 dürfen wir exp z gliedweise ableiten. (b) folgt mit
d z0
d
= 1=0
dz 0!
dz
und
d zn
n z n −1
z n −1
=
=
dz n!
n!
( n − 1) !
für alle n > 0.
Wir wollen nun das Additionstheorem zeigen. Dafür betrachten wir für ein fest gewähltes
c ∈ C die Funktion f (z) := ez · ec−z . Diese ist als Produkt holomorpher Funktionen auf C
holomorph, und es gilt nach (b) und der Produkt- und der Kettenregel für Ableitungen
f (z) = ez · ec−z + (−1) ez · ec−z = 0
∀z ∈ C.
Da C ein Gebiet ist, ist nach dem Korollar von Satz 3.13 f (z) = C ∈ C konstant. Setzt man in
dieser Gleichung z = 0, so erhält man C = f (0) = ec . Daher folgt für alle c ∈ C
ez ec−z = ec
für alle z ∈ C.
Für c = z + w gilt dann speziell
ez ew = ez+w
für alle z, w ∈ C,
so dass wir auch (c) gezeigt haben.
20 Gemeint ist das übliche Quotientenkriterium für Reihen komplexer Zahlen, nicht das Quotientenkriterium für
Potenzreihen. Letzteres ist eine Verallgemeinerung von ersterem und besagt:
n
Sei z0 ∈ C eine komplexe Zahl und ∞
n=0 an ( z − z0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R, welche für alle
n ∈ N die Bedingung an = 0 erfüllt. Dann gilt
lim inf
n→∞
| an |
| an |
≤ R ≤ lim sup
.
| a n +1 |
n → ∞ | a n +1 |
|a |
Insbesondere gilt R = limn→∞ | a n | , falls der Grenzwert existiert. Dies zeigen wir in Übungsaufgabe 3.5
n +1
Ein Beispiel, das die Schwächen des Quotientenkriteriums für Potenzreihen aufzeigt, ist übrigens durch die Reihe
∞
n
n=0 an z mit
2 n
für gerades n,
an = 2n3−1
für ungerades n
n
+
1
3
gegeben. Nach Cauchy-Hadamard gilt offenbar R = 32 . Für die Quotienten gilt nur
lim inf
n→∞
| an |
1
| an |
= < R < 9 = lim sup
.
| a n +1 |
4
|
a
n +1 |
n→∞
3.4. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen im Komplexen
46
Zum Beweis von (d) verwenden wir zunächst das soeben gezeigte Additionstheorem und erhalten
ez = e x+iy = e x eiy .
Wegen
|ez | = |e x eiy | = |e x | · |eiy | = e x · |eiy |
folgt Behauptung (d), wenn wir zeigen können, dass eiy für alle y ∈ R Betrag 1 hat. Aber für
ein allgemeines z ∈ C gilt
∞
ez
=
n =0
zn
=
n!
∞
n =0
zn
= ez ,
n!
denn gilt limn→∞ sn = s, so auch limn→∞ sn = s. Ist speziell z = iy mit y ∈ R, so gilt also
eiy = eiy = e−iy
und
|eiy |2 = eiy · eiy = eiy · e−iy = eiy−iy = e0 = 1,
so dass wir auch die letzte Aussage der Proposition bewiesen haben.
Definition 3.27. Für z ∈ C definieren wir die komplexen trigonometrischen Funktionen21 Kosinus
und Sinus durch:
eiz + e−iz
eiz − e−iz
cos z :=
und sin z :=
.
2
2i
Proposition 3.28.
(a) Für alle z ∈ C gelten die Reihenentwicklungen
cos z = 1 −
z4
z2
+ −...
2!
4!
und
sin z = z −
z3
z5
+ −....
3!
5!
Insbesondere stimmen Sinus und Kosinus für reelle z mit den jeweils gleich benannten Funktionen
aus der reellen Analysis überein.
(b) Für alle z ∈ C gilt die E ULER’sche Formel22
eiz = cos z + i sin z.
Insbesondere gilt für alle y ∈ R
(c) Für alle z ∈ C gilt
eiy = cos y + i sin y.
cos2 z + sin2 z = 1.
(d) Für alle z ∈ C gelten
sin z = cos z
21 Der
und
cos z = − sin z.
Begriff der trigonometrischen Funktionen wurde übrigens zum ersten Mal 1595 vom damaligen Heidelberger Oberhofprediger B ARTOLOMÄUS P ITISCUS (1561 - 1613) in seiner Arbeit Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus verwendet. (Quelle: Robert E. Krebs: Groundbreaking scientific experiments,
inventions, and discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. Greenwood Publishing Group, 2004)
22 Leonhard Euler (1707 - 1783)
47
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Beweis. Für alle z ∈ C gilt nach Definition
cos z =
∞
eiz + e−iz
1
=
2
2
n =0
(iz)n
+
n!
∞
n =0
(−iz)n
n!
=
1
2
∞
n =0
zn n
i + (−i )n .
n!
Im Summanden gilt
in + (−i )n = (1 + (−1)n )in =
0
2 · (−1)n/2
für ungerades n,
für gerades n,
so dass die Behauptung folgt. Die entsprechende Formel für sin z zeigt man analog.
Die Eulerformel (b) folgt durch Einsetzen der Definitionen von Sinus und Kosinus:
cos z + i sin z =
eiz + e−iz
eiz − e−iz
+i
= eiz .
2
2i
Als unmittelbare Folgerung sehen wir
cos2 z + sin2 z = (cos z + i sin z) · (cos z − i sin z)
(a)
= (cos z + i sin z) · (cos(−z) + i sin(−z))
(b) iz
= e · e−iz = e0 = 1.
Die Ableitung des Sinus berechnet sich als
eiz + e−iz
i eiz + i e−iz
=
= cos z,
2i
2
für die Ableitung des Kosinus verfährt man analog.
sin z =
Bemerkung 3.29.
(a) Setzen wir in die Eulerformel z = 2π ein, erhalten wir
e2π i = cos 2π + i sin 2π = 1.
Mit dem Additionstheorem folgt ez+2π i = ez , dass also ez periodisch ist mit Periode 2π i.23 Ähnlich berechnet man weitere spezielle Werte der Exponentialfunktion, vgl. Übungsaufgabe 3.4.
(b) Mit der Eulerformel ist klar, dass exp z in den ganzzahligen Vielfachen von 2π i zu Eins wird. Es
gilt aber sogar die Äquivalenz
ez = 1
⇐⇒
z = 2πik mit k ∈ Z,
denn: Für ez = 1 gilt insbesondere e x = |ez | = 1, was genau für x = 0 richtig ist. Es folgt also
1 = ez = eiy = cos y + i sin y,
so dass y ein ganzzahliges Vielfaches von 2π sein muss, was zu zeigen war.
#
(c) Die übrigen trigonometrischen Funktionen definiert man vermittels der nun bekannten Funktionen Sinus und Kosinus. So ist beispielsweise
tan z :=
23 Hierfür
sin z
cos z
für alle z ∈ C mit cos z = 0.
benötigen wir noch ez = 0, was aber aus e−z · ez = e0 = 1 folgt.
48
3.5. Der komplexe Logarithmus
3.5
Der komplexe Logarithmus
In der reellen Analysis hat die Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion, den Logarithmus,
die ebenfalls sehr wichtig ist. In Analogie hierzu definieren wir zunächst
Definition 3.30. Sei w ∈ C
von w.
{0}. Dann heißt jede Lösung der Gleichung ez = w ein Logarithmus
Man schreibt dann ungenau z = log w. Das Problem hierbei ist, dass die komplexe Exponentialfunktion nach Bemerkung 3.29 periodisch und insbesondere nicht auf ganz C injektiv ist.
Genauer bedeutet dies
Proposition 3.31. Jedes w ∈ C {0} hat unendlich viele Logarithmen. Schreiben wir w = |w| ·
(cos ϕ + i sin ϕ) in Polarkoordinaten, so sind diese durch
log w = log |w| + i ϕ + 2πi k
für alle k ∈ Z
gegeben, wobei log |w| der gewöhnliche Logarithmus der positiven reellen Zahl |w| ist.
Man sagt auch ungenau: Der Logarithmus von w ist durch log |w| + i arg w gegeben, wobei arg w
das Argument von w ist.
Beweis von Proposition 3.31. Für ein beliebiges k ∈ Z gilt mit dem Additionstheorem
elog |w|+i ϕ+2π i k = elog |w| ei ϕ e2π i k = |w| · (cos ϕ + i sin ϕ) · 1 = w.
Sei umgekehrt ez = w = |w| · (cos ϕ + i sin ϕ). Schreiben wir z = x + yi mit x, y ∈ R und
nehmen Absolutbeträge, so erhalten wir |ez | = |w| = e x und also x = log |w|. Da andererseits
e x · (cos y + i sin y) = e x eyi = ez = |w| · (cos ϕ + i sin ϕ)
gilt, folgt
cos y + i sin y = cos ϕ + i sin ϕ,
also
y = ϕ + 2π k
mit einem k ∈ Z
und somit die Behauptung.
Es liegt nun nahe, die Eindeutigkeit des Logarithmus’ durch geschickte Wahl eines Vertreters
wieder herzustellen.
Definition 3.32. Für w ∈ C
{0} schreiben wir
Log w := log |w| + i Arg w.
mit − π < Arg w ≤ π Hauptwert des Arguments.
49
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Proposition 3.33.
(a) Die Einschränkung exp | A der komplexen Exponentialfunktion auf die Menge
A := {z = x + yi ∈ C | −π < y ≤ π }
liefert eine Bijektion von A auf C
{0}, deren Umkehrabbildung durch w → Log w gegeben ist.
(b) Die Funktion Log w ist unstetig in allen Punkten der negativen reellen Achse.
Beweis. Wir wollen zunächst die Injektivität der Exponentialfunktion zeigen. Sei dafür ez = ez
mit z, z ∈ A. Dann gilt ez−z = 1, also z − z ∈ 2π i Z. Das ist gleichbedeutend mit
x=x
und
y − y = 2πk für ein k ∈ Z.
Da nach Voraussetzung −π < y, y ≤ π gilt, folgt z = z und die Injektivität.
Die Surjektivität von exp(z)| A : A → C
{0} ist klar,
denn: Für w ∈ C {0} können wir in Polarkoordinaten w = |w| · (cos y + i sin y) schreiben mit
y ∈ (−π, π ]. Die reelle Exponentialfunktion exp : R → R>0 ist surjektiv, so dass es ein x ∈ R
gibt mit |w| = e x . Mit der Eulergleichung aus Teil (b) von Proposition 3.28 folgt
w = e x · eyi = e x+yi .
Wir haben also mit z := x + yi ein Urbild von w in A gefunden und somit die Surjektivität
gezeigt.
#
Nach Definition wird die Umkehrabbildung durch w → Log w gegeben, so dass Behauptung
(a) gezeigt ist.
Es verbleibt zu zeigen, dass Log w in allen Punkten der negativen reellen Achse unstetig ist.
Das zeigen wir wie in Teil (b) des Beispiels in Abschnitt 3.1, wo wir schon einen Spezialfall
bewiesen haben. Seien also x0 ∈ R<0 und t ∈ R beliebig. Dann gilt
Log( x0 + ti ) = log | x0 + ti | + i Arg( x0 + ti )
und also
lim Log( x0 + ti ) = log | x0 | + i lim Arg( x0 + ti ) = log | x0 | + πi,
t ↓0
t ↓0
lim Log( x0 + ti ) = log | x0 | + i lim Arg( x0 + ti ) = log | x0 | − πi.
t ↑0
t ↑0
Daher kann Log w in w = x0 nicht stetig sein, und (b) ist gezeigt.
Unter exp wird das Komplement der Geraden y = π in A genau auf die längs der negativen
reellen Achse geschlitzte C-Ebene
C− : = C
abgebildet, denn e x+πi = e x · (−1) = −e x .
{ u ∈ R | u ≤ 0}
50
3.5. Der komplexe Logarithmus
Satz 3.34. Die Funktion Log w ist auf C− holomorph. Es gilt
Log w =
1
w
für alle w ∈ C− .
Beweis. Für w0 ∈ C− schreiben wir Log w0 =: z0 =: x0 + y0 i mit x0 , y0 ∈ R. Nach Definition
gilt dann |y0 | < π. Für ε > 0 betrachten wir die Menge
K := {z = x + yi | |y| ≤ π, | x − x0 | ≤ log 2, |z − z0 | ≥ ε}.
Diese ist als Durchschnitt dreier abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen und für hinreichend kleines ε auch nichtleer. Da K offensichtlich beschränkt ist, ist es sogar kompakt. Daher
nimmt die stetige reellwertige Funktion z → |ez − ez0 | auf K ihr Minimum m an. Es ist hierbei
m > 0,
denn: Wäre m = 0, so gäbe es in K ein z mit |ez − ez0 | = 0. Wie im Beweis der Injektivität in
Proposition 3.33 und mit |y0 | < π folgte dann z = z0 . Andererseits gälte |z − z0 | ≥ ε > 0 wegen
z ∈ K, was offensichtlich nicht beides sein kann. Also ist m > 0.
#
x
Wir zeigen nun die Stetigkeit von Log w in w0 : Sei δ := min{m, e20 } > 0, und sei w ∈ C− mit
|w − w0 | < δ. Dann folgt | Log w − Log w0 | < ε,
denn: Sei z = Log w. Angenommen, es gälte |z − z0 | = | Log w − Log w0 | ≥ ε. Wir wollen zeigen,
dass dann z ∈ K folgte. Dies stünde wegen |w − w0 | = |ez − ez0 | ≥ m ≥ δ im Widerspruch zur
Voraussetzung |w − w0 | < δ. Um z ∈ K zu zeigen, genügt es | x − x0 | ≤ log 2 zu zeigen, da
die Bedingung |y| ≤ π für w ∈ C− automatisch erfüllt ist. Wir müssen also x0 − log 2 ≤ x ≤
x0 + log 2 zeigen.
Fall 1: x > x0 + log 2. Dann folgt:
1 x0
2e
≥δ
> | w − w0 | = | e z − e z0 |
= | e x − e x0 | ≥ e x − e x0
≥ | e z | − | e z0 |
x
+
log
2
x
>e 0
− e 0 = 2e x0 − e x0 = e x0 .
Fall 2: x < x0 − log 2. Dann folgt:
1 x0
2e
≥δ
> | w − w0 |
= | e z − e z0 |
z
z
z
z
0
0
= |e − e | ≥ |e | − |e |
= | e x0 − e x |
x
x
x
x
−
log
2
≥ e 0 −e
> e 0 −e 0
= e x0 − 12 e x0
= 21 e x0
#
Wir zeigen jetzt, dass Log w in w0 komplex differenzierbar ist, und dass Log w0 = w10 gilt. Sei
dafür (wn )n>1 eine Folge mit wn ∈ C− {w0 } und limn→∞ wn = w0 . Sei zn := Log wn für alle
n ∈ N. Wegen der Stetigkeit von Log folgt dann also limn→∞ zn = z0 und somit
1
1
1
= z0 =
z n − e z0 ,
w0
e
limn→∞ ezn −
z0
( ( e z ) ( z 0 ) = e z0 )
51
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
= lim
1
z
z
n→∞ e n −e 0
z n − z0
= lim
n→∞
z n − z0
n → ∞ e z n − e z0
= lim
Log wn − Log w0
.
w n − w0
Damit ist der Satz bewiesen.
Definition 3.35. Die holomorphe Funktion Log : C− → C heißt der Hauptzweig des (komplexen)
Logarithmus.
Übungsaufgaben
Aufgabe 3.1. Sei U ⊆ C offen, und sei f : U → C gegeben als
f (z) = f ( x, y) = u( x, y) + iv( x, y)
Seien weiter
∂f
1
:=
∂z
2
∂f
∂f
−i
∂x
∂y
mit u = Re( f ), v = Im( f ) ∈ C 1 (U ).
und
∂f
1
:=
∂z
2
∂f
∂f
+i
∂x
∂y
.
Zeigen Sie dann die folgenden Aussagen.
(a)
∂u
∂v
=
∂x
∂y
und
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
⇐⇒
∂f
= 0.
∂z
∂ ∂
∂ ∂
f =4
f = ∆ f :=
∂z ∂z
∂z ∂z
(b) u, v ∈ C 2 (U )
=⇒
4
(c) u, v ∈ C 2 (U )
und
f holomorph
=⇒
∂2
∂2
+
∂x2
∂y2
f.
∆u = ∆v = 0.
Bemerkung. Eine zweimal (reell) stetig differenzierbare Funktion h : U → R mit ∆h = 0 heißt
auch harmonische Funktion. Wie wir in Satz 4.25 sehen werden, folgt aus der Holomorphie von f
automatisch u, v ∈ C ∞ (U ). Nach Teil (c) sind also Real- und Imaginärteile holomorpher Funktionen
stets harmonisch.
Aufgabe 3.2. Kurz nachdem der kostbare Schatz geborgen und sicher an Bord verstaut worden war,
stachen die Erben Käpt’n Schwartbarts in See. Beim Durchqueren der Cauchy-Riemann-See geriet das
Schiff in verhextes Gewässer. Der oberste Maat notierte dieser Tage in sein Logbuch:
8. Mai 1663. Es herrscht absolute Windstille. Unser Schiff ist vollkommen den merkwürdigen Strömungen ausgesetzt, die dieses Meeresgebiet durchziehen. In dieser Lage bleibt
uns nichts anderes übrig, als die Änderung der Strömungsgeschwindigkeiten bei Blick nach
Osten und Norden je entlang der Blickrichtung und senkrecht dazu zu beobachten. Seit
Tagen ergibt sich dabei stets unverändert das selbe Bild: Blickt man nach Osten, so ändert
sich die Strömungsgeschwindigkeit in Blickrichtung in gleicher Weise, wie sie sich bei Blick
nach Norden in Blickrichtung ändert. Andererseits gleicht die Änderung der Strömungsgeschwindigkeit in Richtung Norden bei Blick nach Osten dem negativen Wert derer in
Richtung Osten bei Blick nach Norden. Darüber hinaus haben wir in unserer Umgebung
betragsmäßig stets unverändert die gleiche Strömungsgeschwindigkeit gemessen.
52
3.5. Der komplexe Logarithmus
Trotz des unnatürlichen Wellengangs während der Reise erreichten die Erben schließlich doch noch
den sicheren Heimathafen. Welche Route hatte ihr Schiff genommen, wenn es beim Eintreten in das
mysteriöse Gewässer nach Osten gesegelt war?
Aufgabe 3.3. Für zwei komplexe Zahlen a, b ∈ C
durch
{0} definieren wir rekursiv eine Folge ( gn )n∈N
g0 = b,
g1 = a + b,
g n +2 = g n +1 + g n
für alle n ∈ N.
n
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe p(z) = ∞
n=0 gn z in Abhängigkeit von a
und b. Was ist der größte Konvergenzradius, der auftreten kann?
(b) Zeigen Sie, dass es von a und b abhängige Polynome r (z) und s(z) gibt mit
p(z) =
r (z)
s(z)
für alle z im Inneren des Konvergenzgebiets von p.
Bemerkung. Für a = 1 und b = 0 ergibt sich die Folge
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
der F IBONACCI-Zahlen,24 die im Folgenden mit ( f n )n∈N bezeichnet werden soll. Explizit lassen sich
ihre Glieder angeben durch
1
f n = √ ( α n − β n ),
5
wobei α =
bezeichnen.
√
1+ 5
2
und β =
√
1− 5
2
= − α1 die beiden Nullstellen des Polynoms X 2 − X − 1 ∈ C[ X ]
Aufgabe 3.4. Verifizieren Sie die folgenden Funktionswerte der Exponentialfunktion.
eπ i = −1,
e
±π i
2
= ±i und e
πi
4
1+i
= √
2
Aufgabe 3.5. Sei
∞
a n ( z − z0 ) n
f (z) =
mit an ∈ C
{0} für alle n ∈ N0
n =0
eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R und Entwicklungspunkt z0 ∈ C. Zeigen Sie, dass dann
lim inf
n→∞
| an |
| an |
≤ R ≤ lim sup
| a n +1 |
|
a
n +1 |
n→∞
gilt. Hieraus folgt offensichtlich limn→∞
24 Leonardo
| an |
| a n +1 |
= R, falls der Grenzwert existiert.
da Pisa, genannt Fibonacci (ca. 1170 - ca. 1240)
53
Kapitel 3. Komplexwertige Funktionen
Aufgabe 3.6. In dieser Aufgabe soll untersucht werden, in wieweit die bekannten Rechenregeln des
reellen Logarithmus und die reellen Potenzrechenregeln ins Komplexe übertragen werden können. Zunächst untersuchen wir das Additionstheorem des Logarithmus.
(a) Zeigen Sie, dass für je zwei Punkte z, w ∈ C die folgende Äquivalenz gilt.
Log(zw) = Log(z) + Log(w)
⇐⇒
Arg(z) + Arg(w) ∈ (−π, π ]
Für w ∈ C {0} und a ∈ C setzen wir nun w a := e a Log(w) und untersuchen die bekannten Potenzrechenregeln. Zeigen Sie also die folgenden Aussagen.
(b) Es gilt w a+b = w a wb für alle a, b ∈ C.
(c) Für w, z ∈ C {0} und a, b ∈ C gilt im Allgmeinen nicht w a z a = (wz) a oder (w a )b = w ab .
Geben Sie jeweils ein Gegenbeispiel an.
(d) Gilt in (c) zusätzlich Re(w), Re(z) > 0, dann gilt w a z a = (wz) a .
(e) Die Abbildung f : C− → C mit f (z) = zs ist für alle s ∈ C komplex differenzierbar, und es gilt
f (z) = szs−1 .
KAPITEL 4
Komplexe Integrationstheorie
4.1
Komplexe Kurvenintegrale
Definition 4.1. Sei I = [ a, b] ⊆ R mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei γ : I → C eine
Abbildung. Für letztere schreiben wir γ = γ1 + i γ2 mit reellwertigen Abbildungen γ1 , γ2 . Genau dann
heißt γ stetig bzw. differenzierbar bzw. stetig differenzierbar, falls die entsprechenden Aussagen für
γ1 und γ2 gelten. Ist γ differenzierbar, so setzt man γ := γ1 + i γ2 .
Zur Erinnerung: Ist f : [ a, b] → R differenzierbar, so bedeutet dies in den Randpunkten a und
b, dass die einseitigen Limites
f ( a) = lim
x↓a
f ( x ) − f ( a)
x−a
und
f (b) = lim
x ↑b
f ( x ) − f (b)
x−b
existieren.
Lemma 4.2. (a) Summen und Produkte differenzierbarer Funktionen sind wieder differenzierbar,
und es gelten die üblichen Rechenregeln.
(b) Sei D ⊆ C offen und f : D → C auf D holomorph. Sei δ : I → C eine differenzierbare Abbildung
mit δ( I ) ⊆ D. Dann ist auch
I → C,
γ:
t → f (δ(t))
differenzierbar und hat die Ableitung
γ ( t ) = f δ ( t ) · δ ( t ).
Beweis. (a) ist klar.
54
55
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Wir wollen nun (b) zeigen und schreiben dafür f = u + i v und δ = δ1 + i δ2 mit reellwertigen
u, v und δ1 , δ2 . Dann gilt
γ(t) = u δ1 (t), δ2 (t) + i v δ1 (t), δ2 (t) .
Nach der Kettenregel aus Analysis 2 und den Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen
3.13 ist somit γ(t) differenzierbar und hat die Ableitung
∂u
∂u
δ1 (t), δ2 (t) · δ1 (t) +
δ1 (t), δ2 (t) · δ2 (t)
∂x
∂y
∂v
∂v
δ1 (t), δ2 (t) · δ1 (t) +
δ1 (t), δ2 (t) · δ2 (t)
+i
∂x
∂y
∂u
∂v
=
δ1 (t), δ2 (t) + i
δ1 (t), δ2 (t)
δ1 (t) + i δ2 (t)
∂x
∂x
γ (t) =
(3.2)
= f δ ( t ) · δ ( t ).
Definition 4.3. Sei I = [ a, b] ⊆ R mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei γ : I → C eine
stetige Abbildung. Wir schreiben wieder γ = γ1 + i γ2 mit reellwertigen Abbildungen γ1 , γ2 . Dann
sind Integrale über die Abbildung γ definiert durch
b
b
γ(t) dt :=
a
b
γ1 (t) dt + i
a
a
γ2 (t) dt
γ(t) dt := −
und
a
b
b
γ(t) dt.
a
Lemma 4.4. Sei I = [ a, b] ⊆ R mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und seien γ, δ : I → C stetig.
Dann gelten die folgenden Aussagen.
b
b
γ(t) dt +
c γ(t) + δ(t) dt = c
(a)
a
b
a
δ(t) dt
für alle c ∈ C.
a
t
(b) Die Abbildung t →
γ( x ) dx ist auf I differenzierbar und hat die Ableitung
a

d 
dt
t

γ( x ) dx = γ(t).
a
b
(c) Ist γ : I → C stetig differenzierbar, so gilt
γ (t) dt = γ(b) − γ( a).
a
Beweis. (a) ist klar, (b) und (c) folgen sofort aus der Definition und dem Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung.
56
4.1. Komplexe Kurvenintegrale
Lemma 4.5. Sei I = [ a, b] ⊆ R mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei γ : I → C stetig.
Dann gilt
b
b
γ(t) dt ≤
a
|γ(t)| dt.
a
Beweis. Offenbar stehen auf beiden Seiten der Behauptung nicht-negative Zahlen, so dass wir
nichts zeigen müssen, wenn die linke Seite Null ist. Wir dürfen deshalb ohne Einschränkung
annehmen, die linke Seite sei echt positiv. Dann gibt es eine Polarkoordinatendarstellung
b
γ(t) dt = r ei ϕ
mit r ∈ R>0 und ϕ ∈ R.
a
Es gilt dann
b
r=e
b
4.4
−i ϕ
e−i ϕ γ(t) dt
γ(t) dt =
a
a
b
=
b
Re e
−i ϕ
Im e−i ϕ γ(t) dt
γ(t) dt + i
a
a
Wir können auf beiden Seiten der Gleichung den Realteil betrachten und erhalten so
b
r=
b
Re e
−i ϕ
e−i ϕ γ(t) dt,
γ(t) dt ≤
a
a
wobei wir rechts verwendet haben, dass für alle z0 ∈ C die Abschätzung Re z0 ≤ |z0 | gilt. Mit
|ei ϕ | = 1 und der Multiplikativität des Absolutbetrags folgt die Behauptung.
Definition 4.6. Sei I = [ a, b] ⊆ R mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei γ : I → C stetig.
Läuft t von a nach b, so sagen wir, γ(t) durchlaufe eine (stetige) Kurve C vom Anfangspunkt γ( a) bis
zum Endpunkt γ(b) von C. Man sagt hierfür auch, die Kurve C sei für t ∈ I durch die Gleichung γ(t)
gegeben. Eine Kurve heißt geschlossen, falls γ( a) = γ(b) ist.
Beispiel. (a) Für feste Punkte z1 = z2 ∈ C ist die Verbindungsstrecke von z1 nach z2 durch die
Gleichung
γ(t) = (1 − t)z1 + t z2 mit t ∈ [0, 1]
gegeben.
(b) Für feste z0 ∈ C und r ∈ R>0 ist die genau einmal im Gegenuhrzeigersinn duchlaufene Kreislinie
um z0 vom Radius r durch
γ(t) = z0 + r e2πit
gegeben.
mit t ∈ [0, 1]
57
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Definition 4.7. Sei I = [ a, b] ⊆ R mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei die Kurve C durch
die stetige Abbildung γ : I → C gegeben.
(a) Die Kurve C heißt differenzierbar, wenn γ differenzierbar ist, und glatt, wenn γ stetig differenzierbar ist.
(b) Die Kurve C −1 ist für t ∈ [ a, b] durch die Gleichung γ( a + b − t) gegeben. Geometrisch bedeutet
dies, dass C in umgekehrter Richtung von γ(b) nach γ( a) durchlaufen wird.
(c) Sei a = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b eine Unterteilung von I in Teilintervalle. Sei weiter für
jedes k ∈ {1, . . . , n} die Kurve Ck für t ∈ [ ak−1 , ak ] durch eine Gleichung γk (t) gegeben, so dass
für alle 1 ≤ k < n die Bedingung
γk ( a k ) = γk + 1 ( a k )
erfüllt ist, dass also der Endpunkt von Ck gleich dem Anfangspunkt von Ck+1 ist. Gilt dann
für alle t ∈ [ ak−1 , ak ],
γ ( t ) = γk ( t )
so schreiben wir C = C1 · C2 · . . . · Cn . Sind hierbei alle Ck glatt, so heißt C stückweise glatt.
Definition 4.8. Sei D ⊆ C offen und f : D → C eine stetige Abbildung. Sei weiter I = [ a, b] ⊆ R
mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei durch γ : I → D eine glatte Kurve C gegeben. Dann
definieren wir das komplexe Kurvenintegral von f über C als
b
f γ(t) γ (t) dt.
f (z) dz :=
a
C
Ist allgemeiner C = C1 · C2 · . . . · Cn stückweise glatt, so setzen wir
f (z) dz :=
C
f (z) dz + . . . +
C1
f (z) dz.
Cn
Lemma 4.9. Sei D ⊆ C offen und f : D → C eine stetige Abbildung. Sei weiter I = [ a, b] ⊆ R mit
a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei durch γ : I → D eine glatte25 Kurve C gegeben. Dann hat
das komplexe Kurvenintegral von f über C die folgenden Eigenschaften.
(a) Das Kurvenintegral ist in der Weise invariant unter (differenzierbarer) Parametertransformation
von [ a˜ , b˜ ] nach [ a, b] mit t( a˜ ) = a und t(b˜ ) = b, dass
b˜
b
f γ(t) γ (t) dt =
a
f δ( x ) δ ( x ) dx
a˜
gilt, wobei δ( x ) := γ(t( x )) gelte für alle x ∈ [ a˜ , b˜ ]. Dies rechtfertigt die Schreibweise
f (z) dz = −
(b)
C −1
25 In
C
f (z) dz.
f (z) dz.
C
Übungsaufgabe 4.1 zeigen wir, dass die selben Aussagen ebenso für stückweise glatte Kurven gelten.
58
4.1. Komplexe Kurvenintegrale
Beweis. Mit der Substitutionsregel aus Analysis 1 gilt
t(b˜ )
b
f γ(t) γ (t) dt =
a
f γ(t) γ (t) dt
t( a˜ )
b˜
f γ(t( x )) γ t( x ) t ( x ) dx
=
a˜
b˜
f δ( x ) δ ( x ) dx.
=
a˜
Behauptung (a) folgt.
Wir wollen nun Behauptung (b) zeigen. Nach Definition wird C −1 auf [ a, b] durch γ( a + b − t)
gegeben. Daher gilt
b
f (z) dz = −
f γ( a + b − t) γ ( a + b − t) dt
a
C −1
a
t → a+b−t
=
f γ(t) γ (t) dt
b
b
=−
f γ(t) γ (t) dt = −
a
f (z) dz,
C
und die Behauptung folgt.
Lemma 4.10. Sei D ⊆ C offen, und seien f , g : D → C stetige Abbildungen. Sei weiter I = [ a, b] ⊆ R
mit a ≤ b ein abgeschlossenes Intervall, und sei durch γ : I → D eine stückweise glatte Kurve C
gegeben. Dann gilt in Analogie zu Teil (a) von Lemma 4.4
c f (z) + g(z) dz = c ·
C
f (z) dz +
C
g(z) dz
für alle c ∈ C.
C
Wir können dazu auch sagen, das komplexe Kurvenintegral sei linear.
Beweis. Klar.
Definition 4.11. Sei C = C1 · . . . · Cn eine stückweise glatte Kurve, wobei für jedes k ∈ {1, . . . , n} die
Kurve Ck durch γk (t) mit t ∈ [ ak−1 , ak ] gegeben ist. Dann heißt
n
ak
|γ (t)| dt
(C ) :=
k = 1 a k −1
die Bogenlänge von C.
59
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Bemerkung 4.12. Wird C einfach durchlaufen, sind also für alle k die Abbildungen γk auf den jeweiligen Intervallen [ ak , ak+1 ] injektiv, so ist (C ) die im anschaulichen Sinne gegebene Länge von C.
Besonders gut lässt sich dies einsehen, wenn C der Graph einer reell stetig differenzierbaren Abbildung
t → y(t) mit t ∈ [ a, b] ist. Dann gilt zum einen γ(t) = (t, y(t)) und also
|γ (t)| = |1 + i y (t)| =
1 + y 2 ( t ).
Andererseits können wir C durch einen Polygonzug approximieren und die Länge mithilfe Riemann’scher Summen berechnen.
Abbildung 4.1: Die Länge des Geradenstücks zwischen den zwei ausgewählten Punkten ist
(b − a)2 + (y(b) − y( a))2 = (b − a) ·
1+
y(b)−y( a) 2
.
b− a
Beispiel. Wir greifen das Beispiel nach Definition 4.6 wieder auf.
(a) Seien z1 = z2 ∈ C. Ihre Verbindungsstrecke γ(t) = (1 − t)z1 + t z2 mit t ∈ [0, 1] hat dann
erwartungsgemäß die Bogenlänge
1
1
|γ (t)| dt =
(C ) =
0
| − z1 + z2 | dt = |z1 − z2 |.
0
(b) Sei k eine natürliche Zahl, und sei C die k-fach im mathematisch positiven Sinn durchlaufene
Einheitskreislinie. Dann ist C gegeben durch γ(t) = e2π i t für t ∈ [0, k ] und die Bogenlänge ist
k
|2π i e2π i t | dt = 2π
|γ (t)| dt =
(C ) =
k
k
0
0
dt = 2π k.
0
Lemma 4.13 (Standardabschätzung für Integrale). Sei D ⊆ C offen und f : D → C stetig. Sei
weiter C eine stückweise glatte Kurve, die ganz in D enthalten ist. Ist f auf C betragsmäßig durch ein
M ∈ R>0 beschränkt, so gilt
f (z) dz ≤ M · (C ).
C
60
4.1. Komplexe Kurvenintegrale
Beweis. Mit den üblichen Notationen gilt
n
f (z) dz =
f (z) dz
k =1 C
k
C
n
ak
n
≤
f γk (t) γk (t) dt
f (z) dz =
k =1 C
k
ak
n
≤
k = 1 a k −1
f γk (t) γk (t) dt
k = 1 a k −1
n
ak
≤M
|γk (t)| dt = M · (C ).
k = 1 a k −1
Natürlich ist es nicht schlecht, Integrale abschätzen zu können. Ungleich besser ist aber natürlich eine Methode zu ihrer exakten Berechnung. Aus der reellen Analysis wissen wir, dass
hierzu die Existenz einer Stammfunktion von großem Nutzen wäre.
Satz 4.14. Sei D ⊆ C offen und f : D → C stetig. Wir setzen voraus, dass f auf D eine Stammfunktion
hat, dass es also eine holomorphe Funktion F : D → C gibt mit F (z) = f (z) für alle z ∈ D. Sei weiter
C eine ganz in D enthaltene stückweise glatte Kurve mit Anfangspunkt z1 und Endpunkt z2 . Dann gilt
f (z) dz = F (z2 ) − F (z1 ).
C
Beweis. Sei zunächst C glatt und für t ∈ [ a, b] durch γ(t) gegeben. Dann gilt
b
f (z) dz =
b
f γ(t) γ (t) dt =
a
C
a
b
4.2
=
a
F γ(t) γ (t) dt
d
4.4
F γ(t) dt = F (γ(b)) − F (γ( a))
dt
= F ( z2 ) − F ( z1 ).
Ist C = C1 · . . . · Cn stückweise glatt, so gilt
n
f (z) dz =
f (z) dz
k =1 C
C
k
n
F γk ( a k ) − F γk ( a k − 1 )
=
k =1
(mit dem Bisherigen)
61
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
= − F γ1 ( a0 ) + F γn ( an )
(Teleskopsumme)
= F ( z2 ) − F ( z1 ).
Aus dem Satz folgt sofort
Korollar. Gleiche Voraussetzungen wie oben. Dann gilt für alle geschlossenen stückweise glatten Kurven C
f (z) dz = 0.
C
Beispiel. Dieses Korollar hat einen sehr wichtigen Spezialfall. Sei dafür r > 0 fest und C die einfach
im positiven Sinne durchlaufene Kreislinie mit Radius r. Dann gilt
zn dz =
C
n ∈ Z {−1},
n = −1,
0
2πi
n +1
denn: Für n = −1 ist zn+1 eine Stammfunktion von zn auf C
ist, gilt somit nach dem Korollar C zn dz = 0.
{0}. Da C nach Definition geschlossen
Andererseits gilt mit C : γ(t) = r e2πit für t ∈ [0, 1]
1
dz
=
z
C
1
2πir e2πit dt = 2πi.
r e2πit
0
Insbesondere hat nach dem Korollar die Funktion
4.2
1
z
auf C
{0} keine Stammfunktion.26
Der Cauchy’sche Integralsatz
In diesem Abschnitt wollen wir in Ausweitung des Korollars von Satz 4.14 zeigen, dass das
komplexe Kurvenintegral einer holomorphen Funktion f : D → C auf einer offenen Teilmenge
D ⊆ C längs geschlossener „Dreieckswege“ immer Null ist. Hieraus wird sich ergeben, dass jede holomorphe Funktion auf einem „Sterngebiet“ dort immer eine Stammfunktion hat. Dies ist
eine Schlüsselaussage der Funktionentheorie, aus der sich viele zentrale Sätze ableiten lassen.
Definition 4.15. Die von z1 , z2 , z3 ∈ C aufgespannte abgeschlossene Dreiecksfläche
{z = t1 z1 + t2 z2 + t3 z3 | t1 , t2 , t3 ≥ 0, t1 + t2 + t3 = 1}
bezeichnen wir mit
26 Sie
( z1 , z2 , z3 ).
hat mit Log z eine Stammfunktion auf C− .
62
4.2. Der Cauchy’sche Integralsatz
Das ist die Beschreibung der Dreiecksfläche mit baryzentrischen Koordinaten. Anschaulich
besteht (z1 , z2 , z3 ) aus genau den Punkten z, die auf den Verbindungsstrecken von z1 nach z∗
liegen, wobei z∗ alle Punkte auf der Verbindungsstrecke von z2 und z3 durchläuft.
Abbildung 4.2: Sei z∗ ein Punkt auf der Verbindungsstrecke von z2 und z3 , und sei z ein Punkt
auf der Verbindungsstrecke von z1 und z∗ . Dann gelten z = t1 z1 + t∗ z∗ mit t1 + t∗ = 1 und
z∗ = t˜2 z2 + t˜3 z3 mit t˜2 + t˜3 = 1. Setzen wir t2 := t∗ t˜2 und t3 := t∗ t˜3 , so haben wir offensichtlich
eine Darstellung von z als Punkt von (z1 , z2 , z3 ) gefunden. Die umgekehrte Inklusion zeigt
man analog.
Definition 4.16. Wir bezeichnen mit C (z1 , z2 , z3 ) die durch


für t ∈ [0, 1],
z1 + t ( z2 − z1 )
γ(t) := z2 + (t − 1)(z3 − z2 ) für t ∈ [1, 2],


z3 + (t − 2)(z1 − z3 ) für t ∈ [2, 3]
gegebene geschlossene, stückweise glatte Kurve. Anschaulich ist also C (z1 , z2 , z3 ) der genau einmal
durchlaufene Rand von (z1 , z2 , z3 ), angefangen bei z1 , dann weiter nach z2 , und über z3 zurück nach
z1 .
Satz 4.17 (Lemma von G OURSAT27 ). Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph. Seien weiter
z1 , z2 , z3 ∈ D so gewählt, dass die abgeschlossene Dreiecksfläche (z1 , z2 , z3 ) ganz in D enthalten ist.
Mit der soeben eingeführten Kurve C (z1 , z2 , z3 ) gilt dann
f (z) dz = 0.
C (z1 ,z2 ,z3 )
Beweis. Wir schreiben verkürzend
:= (z1 , z2 , z3 ) und C := C (z1 , z2 , z3 ). Wir können ohne
Einschränkung annehmen, dass C im mathematisch positiven Sinn durchlaufen wird, und ersetzen sonst C durch C −1 . Weiter können wir annehmen, dass ein „nichtentartetes“ Dreieck
ist, dass also z1 , z2 und z3 nicht auf einer Geraden liegen,
denn: Sind zwei Eckpunkte gleich, etwa z1 = z2 , so wird nach Teil (a) von Lemma 4.9 zunächst
von z1 nach z2 = z1 integriert, dann von z1 = z2 nach z3 und schließlich von z3 zurück nach
z1 = z2 . Offensichtlich ist also das Integral Null.
27 Édouard
Goursat (1858 - 1936)
63
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Seien nun die drei Eckpunkte paarweise verschieden, liegen aber trotzdem alle drei auf einer
gemeinsamen Geraden; ohne Einschränkung können wir also annehmen z3 liege auf der Verbindungsstrecke z1 z2 . Integriert wird nun nach Teil (a) von Lemma 4.9 zunächst von z1 nach z2
und dann über z3 zurück nach z1 . Nach Teil (b) von Lemma 4.9 ist das Gesamtintegral Null. #
Wir verbinden die Mittelpunkte der Kanten von
und erhalten so vier abgeschlossene Dreiecksflächen 1 , 2 , 3 , 4 ⊆ . Deren Ränder seien wieder im mathematisch positiven Sinne
einfach durchlaufen und mit C1 , . . . , C4 bezeichnet.
Dann gilt
f (z) dz =
C
f (z) dz +
C1
f (z) dz +
C2
f (z) dz +
C3
f (z) dz,
C4
denn nach Teil (b) von Lemma 4.9 ist die Summe der Integrale in entgegengesetzten Richtungen
längs der Kanten von 4 Null. Mit der Dreiecksungleichung folgt
f (z) dz ≤
C
f (z) dz + . . . +
C1
f (z) dz .
C4
Es gibt unter den vier nicht-negativen reellen Zahlen auf der rechten Seite ein Maximum. Wir
wählen ein solches aus und bezeichnen die zugehörige Fläche mit (1) und deren Rand mit
C (1) . Es folgt
f (z) dz ≤ 4 ·
C
f (z) dz .
C (1)
Wir verfahren jetzt mit (1) wie zuvor mit und erhalten eine abgeschlossene Dreiecksfläche
(2) ⊆
(1) mit positiv orientiertem Rand C (2) , so dass
f (z) dz ≤ 4 ·
C (1)
f (z) dz .
C (2)
Fahren wir induktiv fort, so erhalten wir mit (0) :=
und C (0) := C eine Folge ( (n) )n∈N
abgeschlossener Dreiecksflächen mit positiv orientierten Rändern (C (n) )n∈N , die für alle n ∈ N
64
4.2. Der Cauchy’sche Integralsatz
die Aussagen
( n +1)
(n)
⊆
f (z) dz ≤ 4n ·
und
C
f (z) dz
C (n)
erfüllen. Nach Konstruktion ist die Folge ( (n) )n∈N geschachtelt. Nach dem auf C verallgemeinerten Intervallschachtelungsprinzip gibt es also einen Punkt z0 im Durchschnitt n∈N (n) ,
so dass es für alle δ > 0 ein N = N (δ) ∈ N gibt mit
(n)
⊆ Uδ (z0 ) für alle n ≥ N
(siehe Analysis 1 und 2 oder Übung). Wegen z0 ∈
⊆ D ist f in z0 komplex differenzierbar, es
gibt also nach Lemma 3.9 eine in z0 stetige Funktion ϕ : D → C mit
f ( z ) = f ( z0 ) + ( z − z0 ) ϕ ( z )
ϕ ( z0 ) = f ( z0 ).
und
Wir benutzen jetzt die Stetigkeit von ϕ in z0 . Sei dafür ε > 0. Dann gibt es ein δ > 0 mit
| ϕ(z) − f (z0 )| < ε für alle |z − z0 | < δ.
Für hinreichend großes n liegt
(n)
in der Umgebung Uδ (z0 ). Schreiben wir
f (z) = f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + ( ϕ(z) − f (z0 ))(z − z0 )
und integrieren über C (n) , so folgt
f (z) dz =
C (n)
f (z0 )(z − z0 ) dz +
f (z0 ) dz +
C (n)
C (n)
= f ( z0 )
dz + f (z0 )
C (n)
ϕ(z) − f (z0 ) (z − z0 ) dz
C (n)
(z − z0 ) dz +
C (n)
ϕ(z) − f (z0 ) (z − z0 ) dz.
C (n)
Da die Integranden der ersten beiden Integrale als Polynome in z Stammfunktionen haben,
verschwinden diese Integrale nach dem Korollar von Satz 4.14. Es folgt also
ϕ(z) − f (z0 ) (z − z0 ) dz.
f (z) dz =
C (n)
C (n)
Wegen C (n) ⊆ (n) ⊆ Uδ (z0 ) gilt für alle z ∈ C (n) die Abschätzung | ϕ(z) − f (z0 )| < ε. Für
z ∈ C (n) gilt elementargeometrisch |z − z0 | ≤ (C (n) ), denn es war ja z0 ∈ (n) vorausgesetzt.
Mit der Standardabschätzung 4.13 für Integrale folgt daher
f (z) dz ≤ ε · (C (n) )2 .
C (n)
Andererseits gilt nach Konstruktion (C (n+1) ) =
1
2
f (z) dz ≤
C (n)
(C (n) ) und induktiv (C (n) ) =
ε
( C )2 .
4n
1
2n
(C ), also
65
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Zusammengesetzt gilt somit für alle ε > 0
f (z) dz ≤ 4n
ε
( C )2 = ε ( C )2 .
4n
C
Der Satz folgt, wenn wir ε gegen Null gehen lassen.
Definition 4.18. Eine offene Teilmenge D ⊆ C heißt Sterngebiet, falls es einen Punkt z∗ ∈ D gibt,
für den mit jedem z ∈ D auch die Verbindungsstrecke z∗ z von z∗ nach z ganz in D enthalten ist. Ein
solcher (nicht notwendig eindeutig bestimmter) Punkt z∗ heißt ein Sternmittelpunkt von D.
Beispiel. (a) Offensichtlich sind offene, konvexe Teilmengen von C Sterngebiete; hier sind alle Punkte Sternmittelpunkte. Besonders wichtige Beispiele dieses Typs sind C selbst und offene Kreisscheiben in C.
(b) Wegen des komplexen Logarithmus’ ist natürlich auch die geschlitzte komplexe Ebene C− von
Interesse. Hier sind alle Punkte auf der positiven reellen Achse Sternmittelpunkte.
(c) C
{0} und Uε (z0 )
{z0 } sind keine Sterngebiete.
Bemerkung 4.19. Nach Definition sind Sterngebiete wegzusammenhängend, also auch zusammenhängend, also Gebiete im Sinne der bekannten Definition.
Satz 4.20 (Cauchy’scher Integralsatz für Sterngebiete). Sei D ⊆ C ein Sterngebiet, und sei f :
D → C holomorph. Dann gelten die folgenden Aussagen.
(a) f hat auf D eine Stammfunktion, es gibt also eine holomorphe Funktion F : D → C mit F = f .
f (z) dz nur vom Anfangspunkt
(b) Ist C eine stückweise glatte Kurve in D, so hängt das Integral
und vom Endpunkt von C ab.
C
(c) Ist C eine geschlossene, stückweise glatte Kurve in D, so ist
f (z) dz = 0.
C
Beweis. (b) und (c) folgen unmittelbar aus (a), wenn wir Satz 4.14 bzw. sein Korollar anwenden.
Es genügt also (a) zu zeigen.
Sei also z0 ∈ D ein Sternmittelpunkt von D. Für z ∈ D sei
z
F (z) :=
f (w) dw,
z0
wobei wir über die Verbindungsstrecke z0 z integrieren, welche ganz in D liegt, da letzteres ein
Sterngebiet ist. Sei z ∈ D im Folgenden fest gewählt.
Ist h ∈ C betragsmäßig klein, so ist
(z0 , z + h, z) ganz in D enthalten,
denn: Da D offen ist, ist z ein innerer Punkt von D, so dass für hinreichend kleines |h| auch z + h
samt der Verbindungsstrecke z(z + h) in D liegt. Da D ein Sterngebiet ist, enthält es dann auch
jeden Punkt auf der Verbindungsstrecke von z0 und jedem Punkt auf obiger Verbindungsstrecke. Dies zeigt die Behauptung.
#
66
4.2. Der Cauchy’sche Integralsatz
Für |h| klein gilt somit nach dem Lemma von Goursat 4.17
z+h
0=
f (w) dw =
f (w) dw +
z0
C (z0 ,z+h,z)
z0
z
f (w) dw +
z+h
f (w) dw.
z
Setzen wir die Definition unserer Funktion F ein, erhalten wir
z+h
F (z + h) − F (z) =
f (w) dw.
z
Für h = 0 gilt daher
1
F (z + h) − F (z)
− f (z) =
h
h
1
=
h
=
1
h
z+h
f (w) dw − f (z)
z
z+h
z
z+h
1
f (w) dw − f (z)
h
dw
z
z+h
f (w) − f (z) dw.
z
Sei ε > 0. Da f (w) in w = z stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit
| f (w) − f (z)| < ε für alle w ∈ D mit |w − z| < δ.
Wir wählen |h| > 0 so klein, dass insbesondere |h| < δ und (z0 , z + h, z) ⊆ D gelten. Für
jeden Punkt w = z + t h mit t ∈ [0, 1] auf der Verbindungsstrecke von z nach z + h gilt dann
|w − z| = |t · h| ≤ |h| < δ.
Also folgt | f (w) − f (z)| < ε und somit
1
F (z + h) − F (z)
− f (z) =
h
|h|
z+h
f (w) − f (z) dw ≤
z
1
· ε · |h| = ε.
|h|
Daher ist F in z komplex differenzierbar, und es gilt F (z) = f (z).
Beispiel. Für z ∈ C− sei
z
L(z) :=
1
dw
,
w
wobei über irgendeine stückweise glatte Kurve von 1 nach z integriert wird, die in C− enthalten ist.28
Nach 4.14 gilt wegen Log w = w1
L(z) = Log z − Log 1 = Log z.
28 Man
beachte, dass C− ein Sterngebiet und
Cauchy’schen Integralsatz 4.20 wohldefiniert ist.
1
w
auf C− holomorph ist, so dass das Integral nach dem
67
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Wir erhalten also eine neue Darstellung von Log z, die die klassische Formel aus Analysis 1 verallgemeinert.
Bemerkung 4.21. Eine nützliche Anwendung des Cauchy’schen Integralsatzes 4.20 liegt darin, dass
wir nun unter geeigneten Bedingungen Integrale über komplizierte Integrationskurven durch solche
über besonders einfache erklären können. Sei beispielsweise die Kurve C = C1 + C2 gegeben durch
3
γ1 (t) := e2πit für t ∈ [0, ]
4
3
γ2 (t) := −i + (4t − 3)(1 + i ) für t ∈ [ , 1].
4
und
Sei weiter die Kurve C˜ 2 gegeben durch
3
γ˜ 2 (t) := e2πit für t ∈ [ , 1].
4
Offensichtlich ist die Halbebene (vgl. Beispiel in Abschnitt 1.4)
D = {z ∈ C | Im
ein Sterngebiet, in dem die Funktion f (z) =
zur Gänze enthalten ist.
1
z
2z + i
< 0}
i+1
holomorph ist, und in der die geschlossene Kurve C˜ 2 − C2
Nach dem Cauchy’schen Integralsatz 4.20 und dem Beispiel am Ende des letzten Abschnitts gilt dann
C
4.3
dz
=
z
C1 +C2
dz
+
z
C˜ 2 −C2
dz
=
z
C1 +C˜ 2
dz
= 2πi.
z
Die Cauchy’schen Integralformeln
Lemma 4.22. Sei D ⊆ C offen und K ⊆ D kompakt. Dann gibt es ein r ∈ R>0 , so dass für alle a ∈ K
die offene Kreisscheibe Ur ( a) vom Radius r um a ganz in D enthalten ist. Eine solche (nicht eindeutige)
Zahl r nennt man eine L EBESGUE’sche Zahl.29
29 Henri
Léon Lebesgue (1875 - 1941)
68
4.3. Die Cauchy’schen Integralformeln
Beweis. Zu jedem a ∈ K wählen wir ein r a ∈ R>0 mit U2ra ( a) ⊆ D. Dann ist {Ura ( a)} a∈K eine
offene Überdeckung von K. Da K als kompakt vorausgesetzt war, hat diese Überdeckung eine
endliche Teilüberdeckung
N
K⊆
Urν ( aν )
mit rν := r aν .
ν =1
Sei r := minν=1,...,N rν . Für jedes feste a ∈ K wählen wir nun ein ν ∈ {1, . . . , N } mit | a − aν | < rν .
Sei z ∈ Ur ( a). Dann gilt
|z − aν | ≤ |z − a| + | a − aν | < r + rν ≤ 2 rν .
Insbesondere liegt also z in U2rν ( aν ) ⊆ D und somit ganz Ur ( a) in D.
Satz 4.23 (Cauchy’sche Integralformel). Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph. Die abgeschlossene Kreisscheibe
Ur (z0 ) = {z ∈ C | |z − z0 | ≤ r }
sei ganz in D enthalten. Dann gilt für alle z in der offenen Kreisscheibe Ur (z0 ) die Darstellung
f (z) =
f (w)
dw,
w−z
1
2πi
C
wobei C für t ∈ [0, 1] durch die Gleichung z0 + r e2πit gegeben wird.
Beweis. Sei im Folgenden z ∈ Ur (z0 ) fest gewählt und z1 einer der Schnittpunkte der Geraden durch z und z0 mit dem Graphen von C. Bezeichne weiter K −1 einen im mathematisch
negativen Sinn einfach durchlaufenen ganz in Ur (z0 ) enthaltenen Kreis um z.
Wir definieren nun wie in der Abbildung zwei im mathematisch positiven Sinne einfach durchlaufene Kurven C1 und C2 jeweils mit Anfangs- und Endpunkt z1 . Hierbei bestehe der Graph
69
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
von C1 aus dem großen Halbkreis rechts, dem kleinen Durchmesserstück, dann der rechten
Hälfte des Halbkreises K −1 um z und schließlich dem großen Durchmesserstück. C2 bestehe
aus den entsprechenden Stücken links.
Wegen Ur (z0 ) ⊆ D sind C1 und C2 zwei stückweise glatte geschlossene Kurven in einem Sternf (w)
gebiet,30 auf dem die Funktion w → w−z holomorph ist. Nach dem Cauchy’schen Integralsatz
für Sterngebiete 4.20 gilt daher
f (w)
dw = 0
w−z
für k = 1, 2.
Ck
Dies lässt sich praktischerweise umformen zu
f (w)
dw +
w−z
0=
C1
f (w)
dw =
w−z
f (w)
dw +
w−z
K −1
C2
f (w)
dw,
w−z
C
denn die Integrale entlang der C1 und C2 gemeinsamen Geradenstücke mit entgegengesetzter
Orientierung heben sich gegenseitig auf. Wir erhalten
f (w)
dw =
w−z
f (w)
dw,
w−z
K
C
wobei K den im mathematisch positiven Sinne durchlaufenen Kreis bezeichne. Es folgt
f (w)
dw = f (z)
w−z
K
C
f (w) − f (z)
dw.
w−z
dw
+
w−z
(4.1)
K
Das erste Integral rechts lässt sich leicht berechnen: Der kleine Kreis K ist durch z + e2πit mit
t ∈ [0, 1] und > 0 gegeben, so dass
1
dw
=
w−z
K
2πi e2πit
dt = 2πi
e2πit
0
gilt. Wir wollen nun das zweite Integral rechts in (4.1) bestimmen. Sei dafür ε > 0. Da f (w) in
w = z stetig ist, gibt es ein δ > 0 mit
| f (w) − f (z)| < ε für alle w ∈ D mit |w − z| < δ.
Wir wählen nun speziell ein
∈ (0, δ). Für alle Punkte w = z + e2πit auf K gilt dann
|w − z| =
30 Nämlich
e2πit =
< δ,
für ein hinreichend kleines ε > 0 die Kreisscheibe Ur+ε (z0 ) ohne den Schlitz z + R≤0 bzw. z + R≥0 .
Solch ein ε gibt es nach Lemma 4.22.
70
4.3. Die Cauchy’schen Integralformeln
also | f (w) − f (z)| < ε. Es folgt daher
1
f (w) − f (z)
dw =
w−z
f (z + e2πit ) − f (z)
0
K
1
2πi e2πit
dt
e2πit

f (z + e2πit ) − f (z) dt ≤ 2π ε.
= 2π
0
Dies gilt für alle ε > 0. Setzen wir dies in (4.1) ein, erhalten wir
f (w)
dw − 2πi f (z) ≤ 2π ε
w−z
für alle ε > 0.
C
Der Satz folgt, wenn wir ε gegen Null gehen lassen.
Die Cauchy’sche Integralformel lässt sich kanonisch verallgemeinern auf eine Formel über die
n-ten Ableitungen der behandelten Funktion f . Dafür benötigen wir einen Hilfssatz, der uns
unter bestimmten Bedingungen erlaubt, Differentiation und Integration zu vertauschen.
Lemma 4.24 (L EIBNIZ’sche Regel31 ). Seien a < b ∈ R und sei D ⊆ C offen. Sei weiter f C : [ a, b] ×
D → C eine stetige Funktion, die für jedes feste t ∈ [ a, b] stetig komplex nach z ∈ D differenzierbar ist.
Dann ist die Funktion
b
gC ( z ) : =
f C (t, z) dt
a
komplex differenzierbar auf D, und es gilt
b
gC ( z ) =
a
∂ f C (t, z)
dt.
∂z
Beweis. Wir zeigen zunächst die entsprechende Aussage im Reellen und führen dann das Lemma darauf zurück.
Behauptung. Seien a < b ∈ R und c < d ∈ R. Sei weiter f R : [ a, b] × [c, d] → R eine stetige
Funktion, die für jedes feste t ∈ [ a, b] stetig partiell nach x ∈ [c, d] differenzierbar ist. Dann ist die
Funktion
b
gR ( x ) : =
f R (t, x ) dt
a
auf (c, d) partiell nach x ∈ [c, d] differenzierbar, und es gilt
b
gR ( x ) =
a
31 Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
∂ f R (t, x )
dt.
∂x
71
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
denn: Wir bilden den Differenzenquotienten in einem Punkt x0 ∈ [c, d]:
b
gR ( x ) − gR ( x 0 )
=
x − x0
a
f R (t, x ) − f R (t, x0 )
dt.
x − x0
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein von t abhängiges ξ zwischen x
und x0 mit
f R (t, x ) − f R (t, x0 )
∂ fR
(t, ξ ).
=
x − x0
∂x
Nach dem Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit32 gibt es für alle ε > 0 ein δ > 0 mit
∂ fR
∂x
( t1 , x1 ) −
∂ fR
∂x
(t2 , x2 ) < ε für | x1 − x2 | < δ und |t1 − t2 | < δ.
Insbesondere gilt
∂ fR
∂x
∂ fR
∂x
(t, ξ ) −
(t, x0 ) < ε für | x − x0 | < δ,
wobei weiterhin δ nicht von t abhängt. Wir erhalten so mit der reellen Standardabschätzung
für Integrale
gR ( x ) − gR ( x 0 )
−
x − x0
b
a
∂ fR
∂x
(t, x0 ) dt ≤ ε(b − a) für | x − x0 | < δ.
Die Behauptung folgt, wenn wir ε gegen Null gehen lassen.
#
Da f C für feste t komplex differenzierbar ist, gilt mit (3.2)
b
a
∂ f C (t, z)
dt =
∂z
b
a
∂ f C (t, x, y)
dt
∂x
b
i
und
a
∂ f C (t, z)
∂z
b
dt =
a
∂ f C (t, x, y)
dt.
∂y
(4.2)
b
Nach der Behauptung ist dann die Funktion gC (z) = gC ( x, y) = a f C (t, x, y) dt für feste y reell
partiell differenzierbar nach x und für feste x reell partiell differenzierbar nach y. Offensichtlich
sind die partiellen Ableitungen stetig, so dass gC (z) reell total differenzierbar ist.
Schreiben wir nun f C (t, x, y) = uC (t, x, y) + i vC (t, x, y) mit reellwertigen Funktionen uC , vC .
Dann gilt nach (4.2)
b
b
dt
=
a
∂ f C (t,x,y)
∂x
b
dt =
a
∂uC (t,x,y)
∂x
b
dt + i
a
∂vC (t,x,y)
∂x
dt
=
a
∂ f C (t,z)
∂z
b
(−i ) i
a
∂ f C (t,z)
∂z
b
dt = (−i ) ·
a
∂ f C (t,x,y)
∂y
b
dt =
a
∂vC (t,x,y)
∂y
b
dt − i
a
∂uC (t,x,y)
∂y
dt.
32 Stetige Funktionen auf Kompakta sind gleichmäßig stetig. Hier ist das Kompaktum durch [ a, b ] × [ c, d ] gegeben.
72
4.3. Die Cauchy’schen Integralformeln
Man rechnet leicht nach, dass hieraus die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen für
gC ( x, y) folgen. Mit Satz 3.13 folgt die komplexe Differenzierbarkeit von gC (z).
Die Formel für die Ableitung ergibt sich schließlich wie folgt.
b
(3.2)
∂gC
gC ( z ) =
( x, y) =
∂x
a
∂ f C (t, x, y)
(4.2)
dt =
∂x
b
a
∂ f C (t, z)
dt.
∂z
Satz 4.25. Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph. Dann gelten folgende Aussagen.
(a) f ist auf D beliebig oft komplex differenzierbar.33
(b) Seien Ur (z0 ) ⊆ D und C wie im Satz über die Cauchy’sche Integralformel 4.23. Für jedes n ∈ N
gilt dann die Verallgemeinerte Cauchy’sche Integralformel
f (n) ( z ) =
f (w)
dw
( w − z ) n +1
n!
2πi
für alle z ∈ Ur (z0 ),
C
wobei f (n) die n-te komplexe Ableitung von f bezeichne.
Beweis. Nach der Cauchy’schen Integralformel 4.23 gilt in der gegebenen Situation
f (z) =
f (w)
dw
w−z
1
2πi
für alle z ∈ Ur (z0 ).
(4.3)
C
Der Integrand ist als Funktion von z stetig komplex differenzierbar,34 und es gilt
d
dz
f (w)
w−z
=
f (w)
.
( w − z )2
(4.4)
Leiten wir (4.3) partiell nach z ab, erhalten wir mit der Leibniz’schen Regel 4.24 und (4.4)
f (1) ( z ) =
f (w)
dw
w−z
1 ∂
2πi ∂z
C
=
f (w)
dw
( w − z )2
1
2πi
für alle z ∈ Ur (z0 ).
C
Die Behauptung des Satzes für n > 1 folgt induktiv.
33 Das
gilt in der reellen Analysis nicht. Holomorphie ist also ein sehr starker Begriff!
bemerke, dass wegen z ∈ Ur (z0 ) und w ∈ C niemals w = z gelten kann.
34 Man
73
4.4
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Direkte Folgerungen aus den Cauchy’schen Integralformeln
Proposition 4.26 (Cauchy’sche Ungleichungen). Sei Ur (z0 ) eine offene Kreisumgebung um einen
Punkt z0 ∈ C, und sei f : Ur (z0 ) → C holomorph. Gibt es dann eine positive reelle Zahl M ∈ R>0 mit
| f (z)| ≤ M für alle z ∈ Ur (z0 ), so gilt
f ( n ) ( z0 ) ≤ M
n!
rn
für alle n ∈ N.
Beweis. Wir verwenden die verallgemeinerte Cauchy’sche Integralformel 4.25 mit z = z0 und
Integrationsweg C gegeben durch γ(t) = z0 + e2πit mit t ∈ [0, 1], wobei < r gelte. Dann gilt
f (w)
dw
( w − z 0 ) n +1
n!
2πi
| f (n) (z0 )| =
C
1
n!
=
·
2π
≤
0
1
n!
2π
f (z0 + e2πit )
· 2πi e2πit dt
( e2πit )n+1
| f (z0 + e2πit )|
|( e2πit )n+1 |
2πi e2πit dt
0
n! M
n!
≤
2π = M n .
n
2π
Dies gilt für alle
∈ (0, r ). Lassen wir gegen r gehen, folgt daher
| f (n) (z0 )| ≤ M
n!
rn
und somit die Behauptung.
Definition 4.27. Eine Funktion f : C → C, die auf ganz C holomorph ist, heißt eine ganze Funktion.
Mit den Cauchy’schen Ungleichungen zeigen wir den folgenden zentralen Satz.
Satz 4.28 (L IOUVILLE35 ). Eine beschränkte ganze Funktion ist notwendigerweise konstant.
Beweis. Aus der Cauchy’schen Ungleichung 4.26 für n = 1 folgt
| f (z0 )| ≤
M
r
für alle z0 ∈ C und alle r > 0,
wobei M eine Schranke für | f | auf ganz C sei. Lassen wir r gegen unendlich gehen, so folgt
daher | f (z0 )| = 0 und somit auch f (z0 ) = 0 für alle z0 ∈ C. Also ist f identisch Null, also ist
f konstant, denn C ist ein Gebiet und insbesondere zusammenhängend.
35 Joseph
Liouville (1809 - 1882)
74
4.4. Direkte Folgerungen aus den Cauchy’schen Integralformeln
Bemerkung 4.29. Es gilt sogar noch mehr: Nach dem Kleinen Satz von P ICARD36 9.10 ist eine ganze
Funktion bereits konstant, wenn es zwei komplexe Zahlen gibt, die nicht in ihrem Bild liegen.
Mit dem Satz von Liouville kann man beispielsweise das folgende wichtige Resultat beweisen.
Satz 4.30 (Fundamentalsatz der Algebra37 ). Sei P ein nichtkonstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Dann hat P eine komplexe Nullstelle.
Beweis. Schreiben wir P( X ) =
Durch P ist eine Funktion
n
ν
ν =0 a ν X
P:
∈ C[ X ] mit n ≥ 1, aν ∈ C für alle ν ∈ N und an = 0.
→ C,
→ P(z) :=
C
z
n
ν
ν =0 a ν z
gegeben.38
Angenommen wir hätten P(z) = 0 für alle z ∈ C. Dann wäre die Funktion 1/P(z) auf ganz C
definiert und holomorph. Für z = 0 gälte
n
aν zν−n = zn · ( an + g(z))
P(z) = zn ·
ν =0
mit
g(z) :=
a n −1
a0
+...+ n
z
z
für alle z = 0.
Für |z| → ∞ geht g(z) gegen Null, ist also insbesondere kleiner als
also
| an |
2
> 0. Für großes |z| gilt
| P(z)| = |z|n | an + g(z)| = |z|n an − (− g(z)) ≥ |z|n | an | − | g(z)| ≥ |z|n
| an | 39
.
2
Wegen n ≥ 1 und an = 0 geht also | P(z)| für |z| → ∞ gegen unendlich. Für ein vorgegebenes
M > 0 gibt es also ein R > 0 mit
| P(z)| ≥ M für alle z ∈ C mit |z| ≥ R,
beziehungsweise mit
1
≤ M −1
P(z)
für alle z ∈ C mit |z| ≥ R.
Da 1/P(z) auf ganz C stetig wäre, wäre ihr Betrag |1/P(z)| auf dem durch |z| ≤ R gegebenen Kompaktum beschränkt. Insgesamt wäre also die ganze Funktion 1/P(z) auf ganz C
beschränkt, nach dem Satz von Liouville also konstant. Es folgte, dass auch P(z) auf ganz C
konstant wäre, was im Widerspruch zu unserer Annahme stünde. P(z) muss also eine Nullstelle in C haben.
36 Charles
Émile Picard (1856 - 1941)
klassisch wichtigste Problem der Algebra ist die Lösung algebraischer Gleichungen. Historisch ist das
nichts anderes als die Bestimmung von Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten. Hier ist offensichtlich
der von Johann Carl Friedrich G AUSS (1777 - 1855) bewiesene Fundamentalsatz von grundlegender Bedeutung.
38 Da C ein unendlicher Körper ist, ist die Abbildung, die einem Polynom die zugehörige komplexe Polynomfunktion zuordnet, sogar injektiv.
39 Diese Aussage lässt sich zum Wachstumslemma für Polynome verallgemeinern, vgl. Übungsaufgabe 4.5.
37 Das
75
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Satz 4.31 (Taylorentwicklung). Sei Ur (z0 ) eine offene Kreisumgebung um einen Punkt z0 ∈ C, und
sei f : Ur (z0 ) → C holomorph. Dann gilt für alle z ∈ Ur (z0 ) die Taylordarstellung
∞
f (z) =
ν =0
f ( ν ) ( z0 )
( z − z0 ) ν .
ν!
Beweis. Für |z| < r sei h(z) := f (z0 + z). Dann ist h(z) für |z| < r holomorph. Für
nach der Cauchy’schen Integralformel 4.23
h(z) =
h(w)
dw
w−z
1
2πi
∈ (0, r ) gilt
für alle z mit |z| < ,
C
wobei C durch e2πit mit t ∈ [0, 1] gegeben sei.
Die Idee ist nun, den so genannten „Cauchykern“
Für ζ ∈ C gilt offensichtlich
1
w−z
nach Potenzen von
(1 − ζ ) (1 + ζ + . . . + ζ n −1 ) = 1 − ζ n .
Für ζ = 1 folgt die Partialsummenformel
1 + ζ + . . . + ζ n −1 =
1 − ζn
1−ζ
für die geometrische Reihe und somit
1
ζn
= 1 + ζ + . . . + ζ n −1 +
.
1−ζ
1−ζ
Setzen wir nun mit w ∈ C und |z| <
die Zahl
1
1
1
= ·
w−z
w 1−
z
w
für ζ ein, so erhalten wir
z
w
1
z
z
= · 1+ +...+
w
w
w
=
Für |z| <
n −1
+
z n
w
1 − wz
1
z
z n −1
zn
1
+ 2 +...+ n + n ·
.
w w
w
w w−z
folgt daher
n −1

zν 
h(z) =
ν =0

n
h(w)
+ z
dw
2πi
w ν +1
1
2πi
C
h(w)
dw.
− z)
wn (w
C
Nach der verallgemeinerten Cauchy’schen Integralformel 4.25 gilt
h(w)
h ( ν ) (0)
dw
=
ν!
w ν +1
1
2πi
C
z
w
zu entwickeln.
76
4.4. Direkte Folgerungen aus den Cauchy’schen Integralformeln
und somit
n −1
h(z) =
ν =0
h ( ν ) (0) ν
zn
z +
ν!
2πi
h(w)
dw.
wn (w − z)
C
Der Satz folgt, wenn wir zeigen können, dass der letzte Summand rechts für n → ∞ verschwindet. Dafür betrachten wir ein ˜ ∈ (0, ) und |z| ≤ ˜. Für w ∈ C gilt dann
|w − z| ≥ |w| − |z| = − |z| ≥ − ˜ > 0.
Sei M := maxw∈C |h(w)|.40 Für |z| ≤ ˜ folgt dann
zn
2πi
˜n
h(w)
dw ≤
n
w (w − z)
2π
M
(C ) =
n ( − ˜)
˜
n
·
M n→∞
→ 0,
−˜
C
denn wir hatten ja
˜
< 1 vorausgesetzt. Also folgt
∞
h(z) =
ν =0
h ( ν ) (0) ν
z
ν!
für alle z ∈ C mit |z| ≤ ˜
beziehungsweise
∞
f (z) =
ν =0
Da
f ( ν ) ( z0 )
( z − z0 ) ν
ν!
für alle z ∈ C mit |z − z0 | ≤ ˜.
und ˜ beliebige reelle Zahlen mit 0 < ˜ <
< r waren, ist hiermit der Satz gezeigt.
Aus dem Satz lässt sich folgendes sehr wichtige Korollar gewinnen.
Korollar. Sei D ⊆ C offen und f : D → C eine Abbildung. Dann sind folgende beiden Aussagen
äquivalent.
(i) f ist auf D holomorph.
(ii) f ist auf D analytisch, d. h., f ist um jeden Punkt z0 ∈ D in eine Potenzreihe entwickelbar. Es
gibt also zu jedem z0 ∈ D eine offene Kreisumgebung Uε (z0 ) ⊆ D und eine Potenzreihe
∞
a ν ( z − z0 ) ν
ν =0
mit Entwicklungspunkt z0 , die auf Uε (z0 ) konvergiert und mit f (z) übereinstimmt.
Beweis. Sei zunächst f auf D holomorph. Zu einem beliebigen Punkt z0 ∈ D gibt es dann ein
hinreichend kleines ε > 0 mit Uε (z0 ) ⊆ D. f ist dann insbesondere auf Uε (z0 ) holomorph und
dort analytisch nach dem Satz von der Taylorentwicklung 4.31.
Sei nun f auf D analytisch, also in jedem Punkt z0 ∈ D in eine Potenzreihe mit Konvergenzbereich Uε (z0 ) entwickelbar. Da Potenzreihen nach Satz 3.22 auf dem Konvergenzbereich holomorph sind, ist f auf Uε (z0 ) holomorph. Da z0 in D beliebig gewählt war, ist f auf ganz D
holomorph.
40 Dieses
Maximum gibt es, da h stetig und C kompakt ist.
77
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Bemerkung 4.32.
(a) Die Koeffizienten aν in Aussage (ii) des Korollars sind nach Bemerkung 3.23
notwendigerweise gleich
f ( ν ) ( z0 )
ν! .
(b) Das Analogon des Korollars im Reellen ist im Allgemeinen falsch: Ist I ⊆ R ein offenes Intervall
und f : I → R beliebig oft differenzierbar, so braucht f nicht um jeden Punkt x0 ∈ I in einer
Potenzreihe entwickelbar zu sein.
Beispiel. Betrachten wir I = (−1, 1) und f : I → R mit
−
f ( x ) :=
e
0
1
x2
für x = 0,
für x = 0.
In Analysis 1 zeigt man, dass f auf I beliebig oft differenzierbar ist, aber f (ν) (0) = 0 erfüllt für
alle ν ∈ N. Die Taylorreihe von f an der Stelle x0 = 0 ist also identisch Null, die Funktion selbst
ist aber nur für x0 = 0 gleich Null. f ist also in x0 = 0 nicht in eine Potenzreihe entwickelbar.
(c) Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph. Sei r > 0 eine positive reelle Zahl mit Ur (z0 ) ⊆ D.
Dann konvergiert nach Satz 4.31 die Taylorreihe von f in z auf Ur (z0 ) und stimmt dort mit f
überein.
Abbildung 4.3: Der Konvergenzradius der Taylorreihe von f in z0 ist also der Radius des größten Kreises um z0 , der noch in Gänze in D liegt.
Es kann nun passieren, dass die Taylorreihe tatsächlich auf einem sehr viel größeren Bereich konvergiert, dort aber nicht mehr notwendigerweise die Funktion f darstellt.
Beispiel. Sei Log(z) der für z ∈ C− definierte Hauptwert des Logarithmus. Sei weiter z0 ∈ C− .
Mit
1
d 1
1
Log (z) = ,
= − 2,...
z
dz z
z
sehen wir, dass
∞
Log(z) = Log(z0 ) +
ν =1
(−1)ν−1
( z − z0 ) ν
z0ν ν
für alle z ∈ Ur (z0 ) ⊆ C− .
die Taylorreihe von Log(z) an der Stelle z = z0 ist. Nach der Formel von Cauchy-Hadamard 3.20
hat die Potenzreihe rechts den Konvergenzradius
R=
1
lim supν→∞
ν
| aν |
=
1
lim supν→∞
ν
(−1)ν−1
z0ν ν
= | z0 |.
78
4.4. Direkte Folgerungen aus den Cauchy’schen Integralformeln
Andererseits ist für Rez0 < 0 der Abstand von z0 zur negativen reellen Achse, auf der Log(z)
unstetig ist, echt kleiner als |z0 |.
Abbildung 4.4: Es gilt |z0 |2 = Re(z0 )2 + Im(z0 )2 und somit |z0 | > Im(z0 ). Vergleiche auch den
Beweis der Dreiecksungleichung für den Absolutbetrag 1.10 (iii).
Satz 4.33 (Approximationssatz von W EIERSTRASS41 ). Sei D ⊆ C offen und ( f n )n∈N eine Folge von
Funktionen f n : D → C, die punktweise gegen eine Funktion f : D → C konvergiert. Die Konvergenz
sei gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von D, und alle f n seien auf D holomorph. Dann ist f
auf D holomorph, die Folge ( f n )n∈N konvergiert gegen f , und die Konvergenz ist gleichmäßig auf jeder
kompakten Teilmenge von D.
Beweis. Sei z0 ∈ D fest, und sei Ur (z0 ) eine Kreisumgebung von z0 mit Ur (z0 ) ⊆ D. Der Abschluss U 2r (z0 ) ist kompakt, so dass nach Voraussetzung die Folge ( f n )n∈N auf U 2r (z0 ) gleichmäßig gegen f konvergiert. Da weiterhin die Funktionen f n stetig sind, folgt wie in der reellen
Analysis die Stetigkeit von f auf U 2r (z0 ). Da z0 ∈ D beliebig gewählt war, folgt die Stetigkeit
von f in ganz D.
Mit der Cauchy’schen Integralformel 4.23 gilt für alle n ∈ N
f n (z) =
f n (w)
dw
w−z
1
2π i
für alle z ∈ Ur (z0 ),
C
wobei die Integrationskurve C durch z0 + r e2πit mit t ∈ [0, 1] gegeben sei. Für z ∈ U 2r (z0 ) und
w ∈ C gilt
|w − z| = |(w − z0 ) − (z − z0 )| ≥ |w − z0 | − |z − z0 | ≥ r −
r
r
= .
2
2
(4.5)
Da C ⊆ D kompakt ist, konvergiert nach Voraussetzung die Folge ( f n )n∈N auf C gleichmäßig
gegen f , für alle ε > 0 gibt es also ein N ∈ N mit
| f n (w) − f (w)| < ε für alle n > N und alle w ∈ C.
Für z ∈ U 2r (z0 ) und w ∈ C folgt dann mit (4.5)
f n (w)
f (w)
| f n (w) − f (w)|
2ε
−
=
≤
.
w−z
w−z
|w − z|
r
41 Karl
Theodor Wilhelm Weierstraß (1815 - 1897)
79
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
Das bedeutet, dass die Folge
f n (w)
w − z n ∈N
auf C gleichmäßig gegen
f (w)
w−z
konvergiert. Für alle
z ∈ U 2r (z0 ) folgt somit nach Übungsaufgabe 4.2
f (z) = lim f n (z) = lim
n→∞
n→∞
f n (w)
dw
w−z
1
2πi
C
=
1
1
2πi
lim
n→∞
f n (w)
dw
w−z
0
=
f (w)
dw.
w−z
1
2πi
C
Mit der Leibniz’schen Regel 4.24 folgt, dass f (z) auf U 2r (z0 ) holomorph ist. Wegen z0 ∈ D
beliebig ist also f auf D holomorph. Der Rest der Behauptung wird in Übungsaufgabe 4.6
gezeigt.
Übungsaufgaben
Aufgabe 4.1. Übertragen Sie Lemma 4.9 auf stückweise glatte Kurven C = C1 · . . . · Cn .
Aufgabe 4.2. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Sei C eine durch γ : [ a, b] → C gegebene stückweise glatte Kurve, und sei ( f n )n∈N : γ([ a, b]) →
C eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann gilt
f n (z) dz =
lim
n→∞
C
f (z) dz.
C
(b) Sei −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞, und sei C eine durch γ : ( a, b) → C gegebene stetig differenzierbare Kurve. Sei weiter f : γ(( a, b)) → C stetig. Dann ist (in Analogie zum Reellen) das uneigentliche
Kurvenintegral definiert durch
b
f (z) dz :=
C
f (γ(t))γ (t) dt,
a
wobei rechts das uneigentliche Riemann- oder Regelintegral bzw. das Lebesque-Integral steht (falls
existent).
Sei nun außerdem ( f n )n∈N : γ(( a, b)) → C eine Folge stetiger Funktionen, deren Summe
n∈N f n ( z ) lokal gleichmäßig konvergiert und für die
b
n ∈N
a
| f n (γ(t))γ (t)| dt < ∞
80
4.4. Direkte Folgerungen aus den Cauchy’schen Integralformeln
C(
existiert. Dann existiert auch
n∈N f n ( z )) dz,
und es gilt42
f n (z) dz.
f n (z) dz =
C
n ∈N C
n ∈N
Aufgabe 4.3. (Satz von M ORERA43 ) Sei D ⊆ C ein Gebiet und f : D → C eine stetige Funktion.
Zeigen Sie: Gibt es für alle z0 ∈ D eine offene Kreisumgebung Ur (z0 ) ⊆ D, in der für alle Dreiecke
(z1 , z2 , z3 ) ⊆ D das Integral
f (z) dz
C (z1 ,z2 ,z3 )
verschwindet, so ist f holomorph.
Aufgabe 4.4. (Riemann’scher Fortsetzungssatz) Sei D ⊆ C offen und A ⊆ D eine abgeschlossene
Teilmenge, die nur aus isolierten Punkten besteht. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen über eine
auf D A holomorphe Funktion f äquivalent sind.
(i) f ist holomorph nach ganz D fortsetzbar.
(ii) f ist stetig nach ganz D fortsetzbar.
(iii) f ist in einer Umgebung U ⊆ D eines jeden Punktes a ∈ A beschränkt.
(iv) limz→a (z − a) f (z) = 0 für alle a ∈ A.
Aufgabe 4.5. Sei P ∈ C[ X ] ein Polynom vom Grad n ∈ N. Zeigen Sie, dass es für je zwei Konstanten
0 < c1 < 1 < c2 < ∞ eine Schranke R gibt, so dass für alle z ∈ C mit |z| > R die Abschätzungen
c1 | an | |z|n ≤ | P(z)| ≤ c2 | an | |z|n
gelten. Diese Aussage nennt man auch das Wachstumslemma für Polynome.
Aufgabe 4.6. Beenden Sie den Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß 4.33: Sei D ⊆ C
offen, und sei ( f n )n∈N : D → C eine Folge von holomorphen Funktionen, die punktweise gegen eine
holomorphe Funktion f : D → C konvergiert. Die Konvergenz sei gleichmäßig auf jeder kompakten
Teilmenge von D. Zeigen Sie, dass dann die Folge ( f n )n∈N gegen f konvergiert, und zwar gleichmäßsig
auf jeder kompakten Teilmenge von D.
Aufgabe 4.7.
(a) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral
∞
Γ(z) :=
tz−1 e−t dt
0
42 Beim
Beweis hilft der folgende Satz aus der reellen Analysis, der für alle oben genannten Integrale gilt:
Seien a < b zwei reelle Zahlen, und sei ( f n )n∈N : ( a, b) → R eine Folge auf ( a, b) absolut integrierbarer Funktionen. Seien weiter die Summen
b
n ∈N a
| f n ( x )| dx und
f n (x)
n ∈N
konvergent, und sei die letzte Summe als Funktion in x sogar stetig. Dann existiert das Integral
b
und nimmt den Wert n∈N a f n ( x ) dx an.
43 Giacinto Morera (1856 - 1909)
b
a(
n∈N f n ( x )) dx
81
Kapitel 4. Komplexe Integrationstheorie
für z ∈ C mit Re(z) > 0 absolut konvergent ist und auf D := {z ∈ C; Re(z) > 0} eine
holomorphe Funktion darstellt.
Hinweis: Zum Beweis der Holomorphie zeigt man zunächst, dass die Funktionenfolge (Γn )n∈N
mit
n
tz−1 e−t dt
Γn (z) :=
für alle z ∈ D
1/n
auf Kompakta gleichmäßig gegen Γ(z) konvergiert und benutzt die Leibniz’sche Regel 4.24 sowie
den Approximationssatz von Weierstraß 4.33.
(b) Zeigen Sie die Funktionalgleichung
Γ(z + 1) = zΓ(z)
und folgern Sie Γ(n + 1) = n! für n ∈ N.
für alle z ∈ D
KAPITEL 5
Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
5.1
Elementargebiete
Definition 5.1. Ein Gebiet D ⊆ C heißt Elementargebiet, wenn jede holomorphe Funktion f : D →
C auf D eine Stammfunktion hat.
Beispiel.
(a) Sterngebiete sind Elementargebiete (siehe Cauchy’scher Integralsatz 4.20).
(b) C {0} ist kein Elementargebiet, denn 1z hat auf C
nach Satz 4.14).
{0} keine Stammfunktion (siehe das Beispiel
Satz 5.2. Seien D1 , D2 ⊆ C zwei Elementargebiete. Gilt D1
hängend, so ist auch D1 ∪ D2 ein Elementargebiet.
∪
D2 = ∅ und ist D1
∪
D2 zusammen-
Beweis. Zunächst einmal ist klar, dass D1 ∪ D2 wieder offen ist. D1 ∪ D2 ist aber auch zusammenhängend, denn D1 und D2 sind zusammenhängend und haben nichtleeren Schnitt. Insgesamt ist also D1 ∪ D2 ein Gebiet.
Sei nun f : D1 ∪ D2 → C eine holomorphe Funktion. Dann sind insbesondere f | D1 und f | D2
holomorph. Da D1 und D2 Elementargebiete sind, gibt es holomorphe Funktionen F1 : D1 → C
bzw. F2 : D2 → C, deren Ableitungen auf D1 bzw. D2 mit f (z) übereinstimmen. Es folgt
( F1 − F2 ) (z) = F1 (z) − F2 (z) = f (z) − f (z) = 0.
∪
∪
Da D1 D2 zusammenhängend ist, gilt also F1 = F2 + c auf D1 D2 mit einer Konstanten c ∈
C. Mit F2 ist auch F2 + c Stammfunktion von f auf D2 . Wir können daher ohne Einschränkung
∪
F2 durch F2 + c ersetzen, also annehmen, dass F1 und F2 auf D1
D2 übereinstimmen. Wir
setzen nun
D1 ∪ D2 → C,
F:
z
→ Fk (z)für z ∈ Dk und k ∈ {1, 2}.
Dann ist F wohldefiniert, holomorph auf D1 ∪ D2 und erfüllt F = f auf D1 ∪ D2 . Folgerichtig
ist D1 ∪ D2 ein Elementargebiet.
82
83
Kapitel 5. Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
Man kann den Satz benutzen, um zu zeigen, dass nicht jedes Elementargebiet auch ein Sterngebiet ist.
Abbildung 5.1: D1 und D2 sind als Sterngebiete insbesondere Elementargebiete. Nach dem
Satz ist also auch D1 ∪ D2 ein Elementargebiet. Man sieht andererseits schnell, dass D1 ∪ D2
kein Sterngebiet ist.
Bemerkung 5.3. In Abschnitt 8.3 werden wir zeigen, dass sich Elementargebiete auch geometrisch
charakterisieren lassen als einfach zusammenhängende Gebiete, also Gebiete, in denen jede geschlossene Kurve nullhomotop ist, sich also stetig auf einen Punkt zusammenziehen lässt. Anschaulich sind
Elementargebiete also Gebiete „ohne Löcher“.
Auf Elementargebieten lassen sich von holomorphen Funktionen ohne Nullstellen der Logarithmus und beliebige Wurzeln ziehen, wie wir in Lemma 5.4 einsehen.
Lemma 5.4. Sei D ⊆ C ein Elementargebiet, und sei f : D → C holomorph. f (z) habe auf D keine
Nullstelle. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen.
(a) Es gibt eine holomorphe Funktion h : D → C mit f (z) = exp(h(z)) für alle z ∈ D.
(b) Für jedes n ∈ N gibt es eine holomorphe Funktion H : D → C mit H n = f auf D.
Beweis. Da f (z) auf D keine Nullstellen hat, ist die logarithmische Ableitung
f (z)
f (z)
auf D ho-
f
f
lomorph. Da D ein Elementargebiet ist, hat somit
eine Stammfunktion F auf D. Schreiben
wir
exp F (z)
mit z ∈ D.
G (z) :=
f (z)
Dann gilt
G (z) =
F (z) f (z) exp F (z) − exp F (z) f (z)
f (z) exp F (z) − f (z) exp F (z)
=
= 0.
f 2 (z)
f 2 (z)
Da D ein Gebiet ist, ist also G (z) = C konstant auf ganz D mit einer Konstanten C ∈ C {0}.
Andererseits ist exp : C → C {0} surjektiv, so dass es ein c ∈ C gibt mit C = ec . Insgesamt
gilt
e F (z)
,
ec =
f (z)
84
5.2. Der Identitätssatz
also
f (z) = e F(z)−c .
Wir können daher h := F (z) − c wählen, was Behauptung (a) zeigt.
Setzen wir H (z) := exp( n1 h(z)), so gilt
H n (z) = exp h(z) = f (z),
und Behauptung (b) folgt.
5.2
Der Identitätssatz
∞
ν
ν
Lemma 5.5 (Identitätssatz für Potenzreihen). Seien ∞
ν=0 aν ( z − z0 ) und
ν=0 bν ( z − z0 ) zwei
Potenzreihen mit Entwicklungspunkt z0 , die in einer Kreisumgebung Ur (z0 ) von z0 konvergieren. Sei
weiter (zn )∞
{z0 } mit Grenzwert limn→∞ zn = z0 . Gilt dann
n=1 eine Folge in Ur ( z0 )
∞
∞
bν ( z n − z 0 ) ν
a ν ( z n − z0 ) ν =
für alle n ∈ N
{0},
ν =0
ν =0
so gilt bereits aν = bν für alle ν ∈ N.
Beweis. Angenommen, es gibt ein ν ∈ N mit aν = bν . Sei µ die kleinste nichtnegative Zahl ν
mit dieser Eigenschaft. Dann gilt
∞
∞
bν ( z n − z 0 ) ν
a ν ( z n − z0 ) =
ν
ν=µ
für alle n ∈ N
{0}.
ν=µ
Nach Division durch (zn − z0 )µ = 0 folgt:
∞
a ν ( z n − z0 ) ν − µ
a µ + a µ +1 ( z n − z 0 ) + . . . =
ν=µ
∞
bν ( z n − z 0 ) ν − µ = bµ + bµ + 1 ( z − z 0 ) + . . . .
=
ν=µ
Wegen lim zn = z0 liegen die Folgenglieder zn schon in einem Kompaktum K ⊆ Ur (z0 ). Potenzreihen konvergieren auf kompakten Mengen gleichmäßig, und bei gleichmäßig kompakten Reihen dürfen Grenzübergänge und Summation vertauscht werden. Lassen wir also n gegen ∞ gehen, so folgt wegen limn→∞ zn = z0 die Gleichheit aµ = bµ , was im Widerspruch zu
unserer Annahme steht. Es gilt also aν = bν für alle ν ∈ N, so dass das Lemma bewiesen ist.
Wie wir wissen, sind holomorphe Funktionen lokal in Potenzreihen entwickelbar. Auf diese
Weise sollten wir das Lemma also auch auf holomorphe Funktionen anwenden können. In der
Tat:
85
Kapitel 5. Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
Satz 5.6 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen). Sei D ⊆ C ein Gebiet. Seien f , g : D →
C zwei holomorphe Funktionen. Es gebe außerdem einen Punkt z0 ∈ D und eine Folge (zn )∞
n=1 in
D {z0 } mit Grenzwert limn→∞ zn = z0 , für die
f (zn ) = g(zn )
für alle n ∈ N
{0}
gilt. Dann stimmen auf ganz D die Funktionen f (z) und g(z) überein.
Beweis. Sei F (z) := f (z) − g(z) für alle z ∈ D. Dann ist F (zn ) = 0 für alle n ∈ N
{0}. Seien
A := {z ∈ D | F (ν) (z) = 0 für alle ν ∈ N},
B := {z ∈ D | es gibt ein ν ∈ N mit F (ν) = 0}.
Wir wollen nun zeigen, dass A und B beides offene Mengen sind. Dazu schreiben wir die
Funktion F (z) um: Holomorphe Funktionen sind nach dem Korollar von Satz 4.31 analytisch,
und nach Teil (a) von Bemerkung 4.32 kennen wir die Gestalt der lokalen Taylorkoeffizienten.
Es gibt somit zu jedem a ∈ D ein ε > 0 mit Uε ( a) ⊆ D und
∞
F (z) =
ν =0
F (ν) ( a )
(z − a)ν
ν!
für alle z ∈ Uε ( a).
(5.1)
A ist offen,
denn: Sei a ∈ A. Nach (5.1) verschwindet F (z) dann auf ganz Uε ( a), insbesondere gilt F (ν) (z) =
0 für alle z ∈ Uε ( a) und alle ν ∈ N. Es folgt Uε ( a) ⊆ A und somit die Offenheit von A.
#
B ist offen,
denn: Sei a ∈ B. Dann gibt es ein ν ∈ N mit F (ν) ( a) = 0. Wegen der Stetigkeit von F (ν) gibt es
eine Umgebung V von a, auf der F (ν) (z) keine Nullstelle hat. Insbesondere ist V in B enthalten,
und letzteres ist offen.
#
Weiter gilt nach Konstruktion
A
∪
B=∅
und
A ∪ B = D,
so dass D die disjunkte Vereinigung zweier offener Mengen ist.
Außerdem ist A = ∅,
denn: Wählen wir speziell a = z0 und schreiben F (z) wie in (5.1). Da nach Voraussetzung
F (zn ) = 0 gilt für alle n ∈ N {0}, folgt mit dem Identitätssatz für Potenzreihen 5.5 F (ν) (z0 ) =
0 für alle ν ∈ N. Insbesondere liegt z0 in A.
#
Da D zusammenhängend ist, folgt hieraus B = ∅, also D = A. Insbesondere ist F (z) = 0 für
alle z ∈ D, also f (z) = g(z) auf ganz D.
Bemerkung 5.7.
(a) Der Identitätssatz 5.6 gilt nicht für beliebige offene Teilmengen D ⊆ C.
86
5.3. Der Satz von der Gebietstreue
Beispiel. Sei D = U1 (0) ∪ U1 (3). Dann stimmen die Funktionen f = idD und g : D → C mit
g(z) =
z
−z
z ∈ U1 (0),
z ∈ U1 (3)
auf jeder in U1 (0) enthaltenen Folge mit Grenzwert 0 überein, sind aber offensichtlich verschieden.
(b) Nach dem Identitätssatz 5.6 ist der Gesamtverlauf einer holomorphen Funktion auf einem Gebiet
schon durch ihre Werte auf einer „sehr kleinen Teilmenge“ von D, wie etwa einem Geradenstückchen, vollständig bestimmt.
Korollar 1 Sei D ⊆ C ein Gebiet. Sei f : D → C holomorph nicht identisch Null auf D. Dann ist
die Nullstellenmenge T ( f ) := {z ∈ D | f (z) = 0} abgeschlossen in D und besteht nur aus isolierten
Punkten.
Beweis. Wir zeigen beide Aussagen, wenn wir zeigen können, dass T ( f ) in D keinen Häufungspunkt hat. Nehmen wir also an, es gäbe einen Häufungspunkt z0 von T ( f ) in D. Es existierte
dann eine Folge (zn )n∈N in T ( f ) {z0 } mit Grenzwert limn→∞ zn = z0 . Nach Konstruktion gilt
f (zn ) = 0 für alle n ∈ N. Nach dem Identitätssatz 5.6 gälte dann f ≡ 0 auf D. Das hatten wir
aber explizit ausgeschlossen.
Folgendes zweites Korollar des Identitätssatzes ist zwar offensichtlich aber dennoch von
großem Nutzen.
Korollar 2 (Eindeutigkeit der holomorphen Fortsetzung) Sei D ⊆ C ein Gebiet und M ⊆ D eine
Teilmenge, die in D mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Sei f : M → C eine Abbildung. Wenn es
eine holomorphe Funktion f˜ : D → C gibt mit f˜(z) = f (z) auf ganz M, so ist f˜ eindeutig bestimmt.
Beispiel. Die reellen Funktionen e x , sin x, cos x usw. haben genau eine Fortsetzung ins Komplexe.
5.3
Der Satz von der Gebietstreue
Satz 5.8 (Satz von der Gebietstreue). Sei D ⊆ C ein Gebiet. Sei f : D → C holomorph und nicht
konstant auf D. Dann ist auch f ( D ) ein Gebiet.
Beweis. Da f stetig und D zusammenhängend ist, ist auch f ( D ) zusammenhängend (Analysis
2). Wir müssen also nur zeigen, dass f ( D ) offen ist.
Sei dafür a ∈ D mit Bild b := f ( a). Wir müssen zeigen, dass es eine offene Umgebung Uε (b)
von b gibt, die ganz in f ( D ) enthalten ist. Ersetzen wir dabei gegebenenfalls f (z) durch g(z) :=
f (z + a) − f ( a) und beachten g(0) = 0 und dass Translationen Homöomorphismen sind, so
können wir ohne Einschränkung a = b = 0 annehmen.
87
Kapitel 5. Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
D ist offen, so dass 0 ∈ D ein innerer Punkt ist. Da f holomorph und also analytisch ist, gibt es
ν
also eine offene Umgebung Uε (0) in D und eine auf Uε (0) konvergente Potenzreihe ∞
ν =0 a ν z
mit
∞
aν zν
f (z) =
für alle z ∈ Uε (0).
ν =0
D ist ein Gebiet. Nach dem Identitätssatz 5.6 können nicht alle Koeffizienten aν Null sein, sonst
wäre f (z) auf D konstant Null, was wir ausgeschlossen hatten. Wegen f (0) = 0 gilt aber a0 = 0.
Sei also nun n ≥ 1 der kleinste Index ν mit aν = 0. Wir können somit
∞
aν zν−n
n
f (z) = z ·
für alle z ∈ Uε (0)
ν=n
=:g(z)
schreiben. Die Funktion g(z) ist hierbei auf Uε (0) holomorph und erfüllt g(0) = an = 0. Da g
stetig ist, folgt hieraus g(z) = 0 in einer ganzen Kreisumgebung Uε 1 (0) mit einem hinreichend
kleinen ε 1 ∈ (0, ε). Wir wenden nun Teil (b) von Lemma 5.4 an auf die Funktion
g : Uε 1 (0) → C.
Das dürfen wir, da Uε 1 (0) ein Sterngebiet und also insbesondere ein Elementargebiet ist. Es
folgt die Existenz einer holomorphen Funktion
H : Uε 1 (0) → C mit g(z) = H n (z)
für alle z ∈ Uε 1 (0).
Setzen wir F (z) := z H (z) auf Uε 1 (0), so erhalten wir dort f (z) = (z H (z))n = F n (z).44 Ferner
gilt F (0) = 0 und F (0) = 0,
denn: Es gilt F (z) = H (z) + z H (z) und somit F (0) = H (0) = 0.
#
Da F stetig ist, gibt es ein ε 2 ∈ (0, ε 1 ) mit F (z) = 0 für alle z ∈ Uε 2 (0). Wir wollen den Satz
über die inverse Funktion aus Analysis 2 auf F anwenden und interpretieren dafür C ∼
= R2 .
Das dürfen wir tun,
denn: Wir schreiben F = u + vi mit reellen Funktionen u und v. Als holomorphe Funktion ist
zum einen F reell stetig total differenzierbar, was die erste Voraussetzung des Satzes über die
inverse Funktion ist. Wir müssen noch zeigen, dass die J ACOBIdeterminante45
J ( F ) = det
u x uy
v x vy
= u x vy − uy v x
nicht verschwindet. Wegen seiner Holomorphie erfüllt F die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen u x = vy und uy = −v x (siehe Satz 3.13) und die Folgerung F = u x + i v x
daraus (siehe (3.2)). Mit F = 0 auf Uε 2 (0) folgt dort also
J ( F ) = u2x + v2x = 0,
44 Insbesondere
haben wir hier in Verallgemeinerung von Lemma 5.4 eine n-te Wurzel aus einer nicht nullstellenfreien holomorphen Funktion gezogen. Vgl. hierzu auch Übungsaufgabe 5.1.
45 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851)
88
5.3. Der Satz von der Gebietstreue
was zu zeigen war.
#
Mit dem Satz über die inverse Funktion erhalten wir nun eine offene Umgebung V ⊆ Uε 2 (0)
von 0, für die F (V ) offen ist.46 0 = F (0) ist somit ein innerer Punkt von F (V ), so dass es ein
hinreichend kleines r > 0 gibt mit Ur (0) ⊆ F (V ). Dann gilt bereits Urn (0) ⊆ f (V ) ⊆ f ( D ),
denn: Wie in Proposition 1.13 können wir ein beliebiges w ∈ Urn (0) in der Form w = τ n mit
einem τ ∈ C schreiben. Dann gilt |τ |n = |w| < r n und also |τ | < r. Wegen Ur (0) ⊆ F (V ) gibt
es daher ein z ∈ V mit F (z) = τ. Es folgt
w = τ n = F (z)n = F n (z) = f (z)
und damit die Behauptung.
#
Wir haben somit gezeigt, dass es eine offene Umgebung von 0 gibt, die ganz in f ( D ) enthalten
ist. Da wir bereits zu Beginn den Satz auf diese Behauptung zurückgeführt hatten, ist dieser
hiermit bewiesen.
Korollar 1 Sei D ⊆ C offen, und sei f : D → C eine holomorphe Funktion, die auf keiner Zusammenhangskomponente von D konstant ist. Dann ist f eine offene Abbildung, bildet also offene Teilmengen
von D stets auf offene Teilmengen von C ab.
Beweis. Sei für den Beweis zunächst D ein Gebiet. Jede offene Teilmenge A ⊆ D lässt sich als
Vereinigung
A=
An
n ∈N
von Gebieten An ⊆ D schreiben. Nach Korollar 2 des Identitätssatzes 5.6 ist f als nichtkonstante Funktion auf keinem dieser Gebiete An konstant. Nach dem Satz von der Gebietstreue 5.8 ist dann für alle n ∈ N das Bild f ( An ) ⊆ C offen. Die Behauptung folgt, da die
Vereinigung beliebig vieler offener Mengen wieder offen ist.
Ist D ⊆ C nun eine beliebige offene Teilmenge, so liegt in der obigen Zerlegung von A jedes An
bereits in einer eindeutigen Zusammenhangskomponente von D. Das Korollar folgt aus dem
zuerst gezeigten Spezialfall für Gebiete.
Der Satz von der Gebietstreue 5.8 hat noch zwei weitere Korollare, für deren Formulierung wir
allerdings zuerst noch etwas Notation einführen wollen.
Definition 5.9. Sei D ⊆ C ein Gebiet, und sei f : D → C eine holomorphe Funktion. Wir sagen, f
habe in z0 ∈ D ein lokales Betragsmaximum bzw. lokales Betragsminimum, wenn es eine offene
Umgebung Uδ (z0 ) von z0 in D gibt mit
| f (z)| ≤ | f (z0 )| bzw. | f (z)| ≥ | f (z0 )| für alle z ∈ Uδ (z0 ).
46 Die Aussage des Satzes lautet zumeist, dass F unter den genannten Bedingungen eingeschränkt auf eine hinreichend kleine Menge bijektiv ist und eine stetig differenzierbare und insbesondere stetige Umkehrfunktion hat.
Unser Ergebnis folgt, da die Urbilder offener Mengen unter einer stetigen Funktion wieder offen sind.
89
Kapitel 5. Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
Korollar 2 Sei D ⊆ C ein Gebiet und f : D → C eine holomorphe Funktion, die auf D nicht konstant
ist. Dann gilt
(a) Die Funktion f hat auf D kein lokales Betragsmaximum.
(Maximumprinzip)
(b) Besitzt f in z0 ein lokales Betragsminimum, so gilt f (z0 ) = 0.
(Minimumprinzip)
Beweis. Wir zeigen zunächst das Maximumprinzip. Angenommen, f nähme in z0 ∈ D ein
lokales Betragsmaximum an. Nach Definition 5.9 gäbe es dann eine offene Umgebung Uδ (z0 ) ⊆
D mit δ > 0 und
| f (z)| ≤ | f (z0 )| für alle z ∈ Uδ (z0 ).
Die Funktion f wäre auch eingeschränkt auf Uδ (z0 ) nicht konstant,
denn: Der Punkt z0 ist ein Häufungspunkt von Uδ (z0 ). Wäre also f eingeschränkt auf Uδ (z0 )
konstant, so nach dem Identitätssatz 5.6 auch auf ganz D, was der Voraussetzung des Satzes
widerspäche.
#
Nach dem Satz von der Gebietstreue 5.8 wäre somit auch f (Uδ (z0 )) ein Gebiet und insbesondere offen, und f (z0 ) wäre ein innerer Punkt von f (Uδ (z0 )). Es gäbe dann also eine offene
Umgebung Uε ( f (z0 )) ⊆ f (Uδ (z0 )) mit ε > 0. Jede solche Umgebung enthält aber einen Punkt
f (z1 ) mit z1 ∈ Uδ (z0 ) und | f (z1 )| > | f (z0 )|,47 was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist.
Der Beweis des Minimumprinzips geht genauso, mit dem einzigen Unterschied, dass im Fall
f (z0 ) = 0 in der Entsprechung zu Fußnote 47 kein Punkt mit kleinerem Betrag zu finden ist.
Korollar 3 (Maximumprinzip auf Kompakta) Sei D ⊆ C ein Gebiet und f : D → C holomorph.
Sei weiter K ⊆ D kompakt. Dann nimmt die Einschränkung f K ihr Betragsmaximum auf dem Rand
∂K von K an.48
Beweis. Als Kompaktum ist K die disjunkte Vereinigung seines Inneren K˚ und seines Randes
∂K. Sei z0 ∈ K ein Punkt, in dem f K sein Betragsmaximum annimmt. Liegt z0 auf dem Rand ∂K,
˚ so nimmt f in z0 ∈ D ein lokales Betragsmaximum
so ist nichts zu zeigen. Liegt z0 im Inneren K,
an, ist also nach dem Maximumprinzip konstant auf D, also auch auf K. Auch in diesem Fall
wird also das Betragsmaximum auf dem Rand angenommen.
Satz 5.10 (Lemma von S CHWARZ49 ). Sei E := {z ∈ C | |z| < 1} die offene Einheitskreisscheibe.
Sei f : E → E holomorph und gelte f (0) = 0. Dann gelten
| f (z)| ≤ |z| für alle z ∈ E und | f (0)| ≤ 1.
47 Für
f (z0 ) = 0 ist das klar. Für f (z0 ) = 0 können wir f (z1 ) := (1 + 2 | f (εz )| ) f (z0 ) wählen.
0
Existenz des Betragsmaximums ist gesichert, da f stetig und K kompakt ist.
49 Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921)
48 Die
90
5.3. Der Satz von der Gebietstreue
ν
Beweis. Sei f (z) = ∞
ν=0 aν z die Taylorentwicklung (vgl. Satz 4.31) von f um den Nullpunkt.
Wegen f (0) = 0 ist a0 = 0, so dass die Funktion g : E → C mit
f (z)
z
g(z) =
f (0)
für z = 0,
für z = 0
ν−1 um den z = 0
auf dem Gebiet E holomorph ist und die Taylorentwicklung g(z) = ∞
ν =1 a ν z
hat. Nach dem Maximumprinzip auf Kompakta nimmt daher die Funktion g eingeschränkt auf
ein beliebiges Kompaktum der Form Kr := {z ∈ C | |z| ≤ r } mit r ∈ (0, 1) ihr Maximum auf
dem Rand ∂Kr = {z ∈ C | |z| = r } an. Dort gilt aber
| g(z)| =
f (z)
| f (z)|
1
=
≤ ,
z
r
r
so dass | g(z)| auf ganz Kr durch 1r beschränkt ist. Lassen wir r gegen 1 gehen, folgt für alle
z∈E
| g(z)| ≤ 1 und somit auch | f (z)| ≤ |z|.
Außerdem gilt | f (0)| = | g(0)| ≤ 1.
Korollar. Gibt es in der Situation des Lemmas von Schwarz 5.10 zusätzlich einen Punkt z0 ∈ E
mit | f (z0 )| = |z0 |, so gibt es eine Konstante c ∈ C vom Betrag |c| = 1 mit f (z) = cz.50
{0}
Beweis. Sei z0 ∈ E {0} mit | f (z0 )| = |z0 |, also mit | g(z0 )| = 1. Wegen | g(z)| ≤ 1 für alle z ∈ E
(vgl. Beweis des Lemmas von Schwarz 5.10) nimmt g dann in z0 ein lokales Betragsmaximum
an. Nach dem Maximumprinzip ist also g auf E konstant, so dass wir
g(z) = c
für alle z ∈ E
schreiben können mit einer Konstanten c ∈ C. Setzen wir nun z = z0 in g(z) ein, so folgt |c| = 1
wegen | g(z0 )| = 1. Hieraus folgt offensichtlich das Korollar.
Definition 5.11. Sei D ⊆ C ein Gebiet. Dann heißt
Aut( D ) := { f : D → D | f ist bijektiv und f , f −1 sind holomorph}
die Automorphismengruppe von D.51
Übungsaufgaben
Aufgabe 5.1. Sei D ein Elementargebiet und f : D → C holomorph. Weiter sei z0 die einzige Nullstelle
von f in D. Zeigen Sie: Genau dann gibt es eine in D holomorphe Funktion h mit (h(z))k = f (z), wenn
k die Nullstellenordnung von f in z0 teilt.
50 Wie
wir schon in Abschnitt 2.1 eingesehen haben, ist dann f geometrisch eine Drehung.
dass Aut( D ) mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung tatsächlich eine Gruppenstruktur trägt.
51 Klar,
91
Kapitel 5. Lokale Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen
Aufgabe 5.2. In der reellen Analysis ordnet man einer glatten Funktion f : I → R auf einem offenen
Intervall I ⊆ R ihre Taylorreihe
∞
f ( n ) ( x0 )
( x − x0 ) n
n!
n =0
um den Entwicklungspunkt x0 ∈ I zu. Bekanntlich besitzt die Funktion g : R → R mit
−
g( x ) =
e
0
1
x2
x = 0,
x = 0,
für alle x ∈ R
zwar eine auf ganz R konvergente Taylorreihe um x0 = 0 (alle Koeffizienten sind 0), aber diese stellt
g offensichtlich nur im Punkt x = 0 dar. Andererseits besagt der Satz von Taylor, dass im Komplexen
jede auf einer offenen Kreisscheibe gegebene holomorphe Funktion überall durch ihre Taylorreihe um den
Mittelpunkt dargestellt wird. In dieser Aufgabe untersuchen wir, wie sich die Funktion g beim Übergang
ins Komplexe verhält.
(a) Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen
{0} → C
h:C
mit h( x ) = g( x ) für alle x ∈ R× .
(b) Zeigen Sie, dass sich keine der in (a) bestimmten Funktionen h stetig nach z = 0 fortsetzen lässt.
(c) Welchen Konvergenzradius hat die reelle Taylorreihe der Funktion g um x = 1?
(d) Wie wir in Kapitel 6 sehen werden, trifft für jede holomorphe Funktion h : D
D ⊆ C offen und a ∈ D genau einer der folgenden drei Fälle zu.
{ a} → C mit
(a) h ist stetig nach a fortsetzbar.
(b) Es gilt |h(z)| → ∞ für z → a.
(c) h kommt in jeder in D gelegenen Umgebung von a jedem Wert in C beliebig nahe.
Welcher Fall trifft jeweils für die in Teil (a) bestimmten Funktionen h zu?
Aufgabe 5.3. Sei D ⊆ C ein Elementargebiet und u : D → R eine harmonische Funktion (vgl.
Übungsaufgabe 3.1).
(a) Zeigen Sie, dass es dann eine holomorphe Funktion f : D → C gibt mit Re( f ) = u.
Hinweis: Falls es ein solches f gibt, kann man f durch u ausdrücken.
(b) Folgern Sie mit dem Satz von der Gebietstreue 5.8, dass die Funktion u konstant ist, wenn sie ein
lokales Extremum hat.
Aufgabe 5.4. In dieser Aufgabe sollen die Automorphismengruppen Aut(E) und Aut(H) bestimmt
werden.
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
ϕa :
E
z
→ E,
→ azz−−a1
für alle a ∈ E wohldefiniert, selbstinvers und holomorph ist.
92
5.3. Der Satz von der Gebietstreue
(b) Folgern Sie
Aut(E) =
αz + β
| α, β ∈ C mit |α| − | β| = 1
βz + α
Aut(H) =
az + b
|
cz + d
und
a b
c d
∈ SL2 (R) .
Hinweis: Ist f ∈ Aut(E), so gibt es ein a ∈ E und ein c ∈ C mit |c| = 1, für die f = c · ϕ a gilt
mit der Funktion ϕ a aus Teil (a).
KAPITEL 6
Singularitäten
6.1
Klassifikation der Singularitäten
Definition 6.1.
(a) Sei z0 ∈ C. Dann heißt für alle r > 0
U˙ r (z0 ) := {z ∈ C | 0 < |z − z0 | < r }
eine punktierte Kreisscheibe um z = z0 .
D aber U˙ r (z0 ) ⊆ D für ein r > 0.
(b) Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph. Sei z0 ∈ C
Dann heißt z0 eine (isolierte) Singularität von f .
Bemerkung 6.2. Wir sprechen in der Definition von „isolierten“ Singularitäten, da wir per Konstruktion ausgeschlossen haben, dass die Menge der Singularitäten einen Häufungspunkt enthält. Man kann
allgemeiner auch Funktionen f : D → C mit nicht-isolierten Singularitäten betrachten, wie etwa
D=C
{ k −1 | k ∈ Z
{0}} und
f :
D
z
→ C,
→ sin( πz )−1 .
Offensichtlich ist für jedes k ∈ Z {0} die Stelle zk := k−1 eine isolierte Singularität von f wie in der
Definition. Ebenfalls offensichtlich ist f auch in z0 := 0 nicht definiert. Wegen limk→∞ zk = z0 liegt
aber in z0 keine isolierte Singularität vor. Wir werden im Weiteren keine nicht-isolierten Singularitäten behandeln und deshalb vereinfachend schlicht von „Singularitäten“ sprechen, wenn wir „isolierte
Singularitäten“ meinen.
Definition 6.3. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine Singularität von f . Genau dann
heißt z0 hebbar, wenn sich f holomorph auf D ∪ {z0 } fortsetzen läßt, wenn es also eine holomorphe
Funktion f˜ : D ∪ {z0 } → C gibt mit f˜| D = f .
Bemerkung 6.4.
(a) Als Vereinigung zweier offener Mengen ist D ∪ {z0 } = D ∪ Ur (z0 ) offen.
93
94
6.1. Klassifikation der Singularitäten
(b) f˜ ist holomorph und insbesondere stetig in z0 . Somit gilt
f˜(z0 ) = lim f˜(z) = lim f (z),
z → z0
z = z0
z → z0
z = z0
und f˜ ist, wenn existent, eindeutig durch f bestimmt. Wir schreiben daher auch einfach f statt f˜.
Beispiel. f (z) =
sin z
z
für z ∈ C
{0}.
Mit der Taylorentwicklung 3.28 des Sinus gilt
f (z) = 1 −
z2
z4
+ ∓...
3!
5!
für alle z ∈ C,
so dass wir eine holomorphe Fortsetzung von f (z) in z = 0 erhalten.
Satz 6.5 (Riemann’scher Hebbarkeitssatz). Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine
Singularität von f . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
(i) z0 ist hebbar.
(ii) Es gibt ein δ > 0 mit U˙ δ (z0 ) ⊆ D, so dass f auf U˙ δ (z0 ) beschränkt ist.
Beweis. Nehmen wir zunächst an, z0 sei hebbar. f˜ ist in z0 holomorph, also auch stetig. Daher
gibt es ein δ > 0 mit
f˜(z) − f˜(z0 ) < 1 für alle z ∈ Uδ (z0 ).
Für z ∈ U˙ δ (z0 ) ist f˜(z) = f (z), also gilt für solche z:
| f (z)| ≤ f (z) − f˜(z0 ) + f˜(z0 )
= f˜(z) − f˜(z0 ) + f˜(z0 )
≤ 1 + f˜(z0 ) ,
so dass f auf U˙ δ (z0 ) beschränkt ist.
Nehmen wir umgekehrt an, es gebe ein δ > 0, für das f auf der punktierten Kreisscheibe U˙ δ (z0 )
um z0 beschränkt ist. Wir definieren dann eine Funktion g : Uδ (z0 ) → C durch
g(z) :=
(z − z0 )2 f (z) für z = z0 ,
0
für z = z0 .
Offensichtlich ist g auf U˙ δ (z0 ) holomorph. Da f nach Voraussetzung auf U˙ δ (z0 ) beschränkt ist,
gilt
g ( z ) − g ( z0 )
( z − z0 )2 f ( z ) − 0
lim
= lim
= lim (z − z0 ) f (z) = 0,
z → z0
z → z0
z → z0
z − z0
z − z0
z = z0
95
Kapitel 6. Singularitäten
und g ist auch in z = z0 komplex differenzierbar mit Ableitung g (z0 ) = 0. Nach dem Satz von
Taylor 4.31 hat deshalb g auf Uδ (z0 ) die Taylorentwicklung
∞
a ν ( z − z0 ) ν
g(z) =
ν =0
g(ν) ( z )
mit aν = ν! 0 . Wegen g(z0 ) = g (z0 ) = 0 gilt dabei a0 = a1 = 0. Klammern wir nun (z − z0 )2
aus und setzen
∞
a ν ( z − z 0 ) ν −2
h(z) :=
für alle z ∈ Uδ (z0 ).
ν =2
Dann ist h nach Konstruktion holomorph auf Uδ (z0 ) und stimmt auf U˙ δ (z0 ) wegen
h(z) =
1
( z − z0 )2
∞
a ν ( z − z0 ) ν =
ν =2
g(z)
= f (z)
( z − z0 )2
für alle z ∈ U˙ δ (z0 )
mit f überein. h liefert also eine holomorphe Fortsetzung von f auf ganz Uδ (z0 ). Die Hebbarkeit
der Singularität z0 folgt, wenn wir wie folgt eine holomorphe Funktion f˜ : D ∪ {z0 } → C mit
f˜| D = f definieren.
h(z) für z ∈ Uδ (z0 ),
f˜(z) :=
f (z) für z ∈ Uδ (z0 ).
Definition 6.6. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine Singularität von f . Genau dann
heißt z0 ein Pol von f , wenn es ein δ > 0 gibt mit Uδ (z0 ) ⊆ D ∪ {z0 }, eine holomorphe Funktion
g : Uδ (z0 ) → C mit g(z0 ) = 0 und ein m ∈ N {0} mit
f (z) =
g(z)
( z − z0 ) m
für alle z ∈ U˙ δ (z0 ).
Die Zahl m heißt hierbei die Polstellenordnung ∞-ord( f ; z0 ) von f in z0 . Ist speziell m = 1, so heißt
z0 ein einfacher Pol von f .
Bemerkung 6.7.
bestimmt,
(a) Die Zahl m ist für eine gegebene Funktion f wie in der Definition eindeutig
˜ ∈N
denn: Nehmen wir an, es gälte für m > m
f (z) =
{0}
g(z)
h(z)
=
m
( z − z0 )
(z − z0 )m˜
für alle z ∈ U˙ δ (z0 ),
wobei g, h : Uδ (z0 ) → C holomorphe Abbildungen mit g(z0 ) = 0 = h(z0 ) seien. Wegen
h(z0 ) = 0 und der Stetigkeit von h können wir h(z) in einer kleinen punktierten Umgebung von
z = z0 invertieren, und es gilt dort
(z − z0 )m−m˜ =
g(z)
.
h(z)
˜ > 0 die Unmöglichkeit g(z0 ) = 0. Da sich
Lassen wir nun z gegen z0 gehen, folgt mit m − m
˜ analog ausschließen lässt, folgt m = m
˜ und somit die Eindeutigkeit von m.
m<m
#
96
6.1. Klassifikation der Singularitäten
(b) Hat f in z0 einen Pol der Ordnung m, so können wir für geeignete δ > 0
a−m
a − m +1
a
f (z) =
+
+ . . . + −1 + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + . . .
m
m
−
1
( z − z0 )
z − z0
( z − z0 )
für alle z ∈ U˙ δ (z0 )
schreiben, wobei a−m ∈ C {0} gilt. Dafür müssen wir nur g(z) in z = z0 in eine Taylorreihe entwickeln und g(z0 ) = 0 beachten. Wir werden diesen Effekt in Abschnitt 6.2 genauer
untersuchen.
ez
Beispiel. f (z) = m mit m ∈ Z>0 ist holomorph in D = C {0} und hat einen Pol m-ter Ordnung
z
in z = 0.
Satz 6.8. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine Singularität von f . Dann sind folgende
Aussagen gleichbedeutend.
(i) z0 ist ein Pol von f .
(ii) lim | f (z)| = ∞.
z → z0
Beweis. Sei zunächst z0 ein Pol von f und
f (z) =
g(z)
( z − z0 ) m
für alle z ∈ U˙ δ (z0 )
mit g und m wie in der Definition. Wegen g(z0 ) = 0, der Stetigkeit von g in z0 und m ≥ 1 folgt
dann wie verlangt
| g(z)|
lim | f (z)| = lim
= ∞.
z → z0
z → z0 | z − z 0 | m
Gelte nun umgekehrt die in (ii) gegebene Bedingung limz→z0 | f (z)| = ∞. Dann gibt es eine
punktierte Umgebung U˙ δ (z0 ) von z0 , die ganz in D liegt, und auf der f keine Nullstelle hat.
Dort ist 1/ f definiert, holomorph und wegen (ii) auch beschränkt. Nach dem Riemann’schen
Hebbarkeitssatz 6.5 läßt sich 1/ f somit holomorph zu einer Funktion f˜ auf Uδ (z0 ) fortsetzen.
Diese erfüllt wegen (ii) zwangsläufig f˜(z0 ) = 0. Nach dem Satz von Taylor 4.31 hat deshalb f˜
auf Uδ (z0 ) eine Taylorentwicklung
∞
f˜(z) =
a ν ( z − z0 ) ν
mit aν ∈ C für alle ν ∈ Z≥m
ν=m
mit einem m ∈ Z>0 und am ∈ C {0}, und nach dem Identitätssatz 5.6 ist das auch die
Entwicklung von 1/ f (z) selbst. Es gilt also
f˜(z) = (z − z0 )m h(z)
mit einer holomorphen Funktion h : Uδ (z0 ) → C ohne Nullstellen in Uδ (z0 ).52 Für z ∈ U˙ δ (z0 )
gilt somit
1
1
1
g(z)
h(z)
=
=
,
f (z) =
=
˜f (z)
( z − z0 ) m h ( z )
( z − z0 ) m
( z − z0 ) m
wobei g := 1/h auf Uδ (z0 ) holomorph ist und g(z0 ) = 0 erfüllt.
52 Dass
h in U˙ δ (z0 ) keine Nullstellen hat, ist klar. Außrdem gilt h(z0 ) = am = 0.
97
Kapitel 6. Singularitäten
Bemerkung 6.9. Mit Definition 1.22 lässt sich der Satz so interpretieren, dass die Funktion f in der
Polstelle z0 den Wert ∞ ∈ C annimmt.
Definition 6.10. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine Singularität von f . Genau dann
heißt z0 eine wesentliche Singularität von f , wenn z0 weder hebbar noch ein Pol von f ist.
1
Beispiel. f (z) = e z ist holomorph auf D = C
Die Folgen
1 ∞
n n =1
und
f
1 ∞
i n n =1
1
n
{0} und hat eine Singularität in z = 0.
haben beide den Grenzwert 0 für n gegen unendlich. Es gilt aber
n→∞
= en → ∞ und
f
1
in
n→∞
= ei n = 1 → 1,
so dass offenbar f keinen Pol in z = 0 hat und sich dorthin auch nicht holomorph fortsetzen lässt.
Satz 6.11 (Satz von C ASORATI-Weierstraß53 ). Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine
wesentliche Singularität von f . Sei weiter U˙ δ (z0 ) eine beliebige, vorgegebene punktierte Umgebung von
∪
z0 . Dann existiert zu jedem a ∈ C und zu jedem ε > 0 ein z ∈ U˙ δ (z0 ) D mit | f (z) − a| < ε.
Bemerkung 6.12. Die Funktion f kommt also in jeder noch so kleinen punktierten Umgebung U˙ von
z0 jedem Wert a ∈ C beliebig nahe. Es gilt sogar noch mehr: Nach dem Großen Satz von Picard 9.16
gibt es für jedes U˙ ein c(U˙ ) ∈ C, so dass C {c(U˙ )} in f (U˙ ) enthalten ist.
Beweis von Satz 6.11. Sei ohne Einschränkung δ > 0 so klein, dass U˙ δ (z0 ) ganz in D liegt. Angenommen die Behauptung wäre nicht richtig. Dann gäbe es ein a ∈ C und ein ε > 0 mit
| f (z) − a| ≥ ε für alle z ∈ U˙ δ (z0 ).
Es folgte, dass durch
g(z) :=
1
f (z) − a
auf U˙ δ (z0 ) eine holomorphe und beschränkte Funktion ohne Nullstellen gegeben wäre. Nach
dem Riemann’schen Hebbarkeitssatz 6.5 ließe sich dieses g dann holomorph auf Uδ (z0 ) fortsetzen.
Fall 1: g(z0 ) = 0. Dann gilt f (z) = g(1z) + a auf ganz Uδ (z0 ), und f (z) ist auf Uδ (z0 ) holomorph,
so dass z0 eine hebbare Singularität von f ist. Widerspruch.
Fall 2: g(z0 ) = 0. Da g auf Uδ (z0 ) nicht identisch Null ist, gilt nach dem Satz von Taylor 4.31
und dem Identitätssatz 5.6
g ( z ) = ( z − z0 ) m h ( z )
mit m ∈ Z>0 und h : Uδ (z0 ) → C holomorph mit h(z0 ) = 0.
Für z ∈ U˙ δ (z0 ) folgt
f (z) =
53 Felice
Casorati (1835 - 1890)
1
1/h(z)
G (z)
+a=
+a=
m
g(z)
( z − z0 )
( z − z0 ) m
98
6.2. Laurentzerlegung
mit
G (z) :=
Es gilt G (z0 ) =
1
h ( z0 )
1
+ a ( z − z0 ) m
h(z)
für alle z ∈ Uδ (z0 ).
= 0, so dass f in z0 einen Pol hat. Widerspruch.
Insgesamt ist der Satz bewiesen.
Bemerkung 6.13. Es gilt auch die Umkehrung des Satzes von Casorati-Weierstraß 6.11,
denn: Liegt das Bild einer beliebigen punktierten Umgebung von z0 dicht in C, so kann z0 nach den
Sätzen 6.5 und 6.8 weder hebbar noch ein Pol sein. Definitionsgemäß ist z0 dann wesentlich, was zu
zeigen war.
#
6.2
Laurentzerlegung
Bekanntermaßen können wir eine holomorphe Funktion f : D → C auf einem Gebiet D ⊆ C
in jedem Punkt z0 ∈ D in eine Potenzreihe entwickeln (vgl. Korollar des Satzes von Taylor
4.31). Es stellt sich heraus, dass dies in punktierten Umgebungen isolierter Singularitäten im
Wesentlichen genauso funktioniert. Es lassen sich sogar allgemeiner Reihenentwicklungen für
holomorphe Funktionen auf so genannten Ringgebieten definieren. Letztere wollen wir nun
einführen.
Definition 6.14. Für jedes z0 ∈ C und alle r, R ∈ R ∪ {∞} mit 0 ≤ r < R ≤ ∞ heißt das Gebiet
DrR (z0 ) := {z ∈ C | r < |z − z0 | < R}
ein Ringgebiet.
Bemerkung 6.15. Wir werden im Weiteren ohne Einschränkung nur Ringgebiete DrR (z0 ) mit z0 = 0
studieren, da die allgemeineren Ringgebiete mit z0 = 0 aus diesen schlicht durch Translation hervorgehen. Für diese schreiben wir dann kurz DrR := DrR (0).
Satz 6.16 (Satz von der L AURENTzerlegung54 ). Seien r, R ∈ R ∪ {∞} mit 0 ≤ r < R ≤ ∞, und
sei f : DrR → C holomorph. Dann besitzt f eine Zerlegung
f (z) = g(z) + h
1
z
für alle z ∈ DrR
(6.1)
mit holomorphen Funktionen
g : UR (0) → C
und
h : U 1 (0) → C mit h(0) = 0.
r
Diese Zerlegung ist eindeutig bestimmt. Die Funktion z → h( 1z ) heißt hierbei der Hauptteil und die
Funktion z → g(z) der Nebenteil von f . Die Zerlegung (6.1) heißt die Laurentzerlegung von f .
Bevor wir den Satz beweisen, zeigen wir noch ein technisches Lemma, das wir für die Existenz
der Laurentzerlegung benötigen werden.
54 Pierre
Alphonse Laurent (1813 - 1854)
99
Kapitel 6. Singularitäten
Lemma 6.17. Seien r, , P, R ∈ R ∪ {∞} mit 0 ≤ r <
holomorph. Dann gilt
G (w) dw =
|w|=
< P < R ≤ ∞, und sei G : DrR → C
G (w) dw,
|w|= P
wobei jeweils einfach im mathematisch positiven Sinn über die angegebenen Kreislinien integriert wird.
Beweis. Sei die Notation wie im folgenden Bild.
Die Wege Ck mit k ∈ {1, . . . , n}55 sind geschlossen und stückweise glatt, und sie liegen jeweils
in einem Sterngebiet, auf dem G (w) holomorph ist. Nach dem Cauchy’schen Integralsatz 4.20
gilt daher
n
n
0 = 0.
G (w) dw =
k =1
k =1 C
k
Da sich die Integrale über die entgegengesetzt orientierten kleinen Geradenstückchen gegenseitig aufheben, folgt also



G (w) dw + −
0=
|w|= P

G (w) dw ,
|w|=
und das Lemma ist bewiesen.
55 Im
Bild ist n = 4. Die tatsächlich benötigte Anzahl von Unterteilungen hängt vom Quotienten
von arccos Rr , in der folgenden Skizze mit β bezeichnet.
r
R
ab, genauer
100
6.2. Laurentzerlegung
Beweis von Satz 6.16. Wir zeigen zuächst die Eindeutigkeit der Laurentzerlegung. Seien
f (z) = g(z) + h
1
z
= g˜ (z) + h˜
1
z
für alle z ∈ DrR
zwei Zerlegungen mit Funktionen h und g bzw. h˜ und g˜ wie im Satz gefordert. Mit G := g − g˜
und H := h − h˜ gilt dann
G (z) = − H
1
z
F (z) :=
G (z)
−H
für alle z ∈ DrR .
Für z ∈ C setzen wir
1
z
für |z| < R,
für |z| > r.
Dann ist F wohldefiniert und auf C holomorph. Sei nun ∈ (r, R). Auf dem Kompaktum
|z| ≤ ist die stetige Funktion F (z) = G (z) beschränkt. Ebenso ist die stetige Funktion H (w)
auf dem Kompaktum |w| ≤ 1 < 1r beschränkt, so dass F (z) = − H ( 1z ) auf |z| ≥ beschränkt ist.
Insgesamt ist F (z) auf ganz C beschränkt und somit nach dem Satz von Liouville 4.28 konstant.
Es gilt
1
1
= lim H
= 0,
lim | F (z)| = lim − H
z
z
|z|→∞
|z|→∞
|z|→∞
˜ Also ist F auf C identisch Null, also sind G
denn es gilt ja h(0) = 0, h˜ (0) = 0 und H = h − h.
˜
und H identisch Null und somit g = g˜ und h = h.
Es verbleibt die Existenz der Laurentzerlegung zu zeigen. Seien dafür wie Lemma 6.17 r < <
P < R. Da wir die Eindeutigkeit der Laurentzerlegung bereits gezeigt haben, genügt es, ihre
Existenz auf jedem der kleineren Ringgebiete D P zu beweisen. Das wollen wir mit dem Lemma
tun. Sei also z ∈ D P fest. Für w ∈ DrR sei

 f (w) − f (z) für w = z,
G (w) :=
w−z

f (z)
für w = z.
Dann ist G (w) auf DrR {z} holomorph. Außerdem ist G (w) in w = z stetig, denn f ist ja
in w = z komplex differenzierbar. G (w) ist somit in einer Umgebung von w = z beschränkt
und lässt sich daher nach dem Riemann’schen Hebbarkeitssatz 6.5 holomorph auf ganz DrR
fortsetzen. Nach Lemma 6.17 gilt somit
f (w)
dw − f (z)
w−z
|w|= P
dw
=
w−z
|w|= P
G (w) dw
|w|= P
=
G (w) dw
(6.2)
|w|=
f (w)
dw − f (z)
w−z
=
|w|=
dw
.
w−z
|w|=
101
Kapitel 6. Singularitäten
1
Die Funktion w → w−
z ist für w = z holomorph. Da wir außerdem | z | >
hatten, gilt nach dem Cauchy’schen Integralsatz 4.20
|w|=
vorausgesetzt
dw
= 0.
w−z
Nach der Cauchy’schen Integralformel 4.23 gilt zudem wegen |z| < P
dw
= 2πi.
w−z
|w|= P
Setzen wir dies in (6.2) ein, ergibt sich
f (z) =
f (w)
dw −
w−z
1
2πi
|w|= P
f (w)
dw
w−z
1
z
= g(z) + h
|w|=
mit
g(z) :=
f (w)
dw
w−z
für |z| < P,
f (w)
dw
w − 1z
für 0 < |z| <
1
2πi
|w|= P
h(z) :=
−1
2πi
|w|=
1
.
Analog zum Beweis der verallgemeinerten Cauchy’schen Integralformel 4.25 zeigt man, dass
g(z) auf UP (0) und h(z) auf U˙ 1 (0) holomorph ist. Wir müssen noch zeigen, dass sich h durch
h(0) = 0 holomorph nach z = 0 fortsetzen läßt. Für |w| =
w−
1
1
= −w ≥
z
z
1
− |w| =
z
und |z| <
1
−
z
1
gilt
> 0.
Mit der Standardabschätzung für Integrale folgt
|h(z)| ≤
1 max|w|= | f (w)|
· 2π
1
2π
z −
z →0
→ 0.
Insbesondere ist h(z) beschränkt für z nahe bei 0, hat also nach dem Riemann’schen Hebbarkeitssatz 6.5 eine hebbare Singularität bei z = 0. Aus Stetigkeitsgründen folgt h(0) = 0.
∞
n=−∞ an
Definition 6.18. Unter einer unendlichen Reihe der Form
∞
versteht man das Paar
∞
an ,
n =0
a−n
.
n =1
∞
Eine solche Reihe heißt konvergent, wenn ∞
n=0 an und
n=1 a−n beide konvergieren; in diesem Fall
∞
∞
∞
heißt n=1 a−n + n=0 an der Grenzwert von n=−∞ an , und man schreibt
∞
∞
an =
n=−∞
∞
an +
n =0
a−n .
n =1
102
6.2. Laurentzerlegung
Im selben Sinn verwenden wir die Begriffe „absolute Konvergenz“ und „gleichmäßige Konvergenz“ bei
obigen Reihen.
Definition 6.19. Eine Laurentreihe (mit Entwicklungspunkt z0 ∈ C) ist eine Reihe der Form
∞
a n ( z − z0 ) n
mit an ∈ C für alle n ∈ Z.
n=−∞
Satz 6.20 (Satz von der Laurententwicklung). Sei für z0 ∈ C und 0 ≤ r < R ≤ ∞ eine holomorphe
Abbildung f : DrR (z0 ) → C gegeben. Dann besitzt f eine eindeutige Laurententwicklung
∞
a n ( z − z0 ) n
f (z) =
für alle z ∈ DrR (z0 ),
n=−∞
die auf DrR (z0 ) absolut und auf jeder kompakten Teilmenge von DrR (z0 ) gleichmäßig absolut konvergiert.
Für die Koeffizienten gilt
an =
f (w)
dw
( w − z 0 ) n +1
1
2πi
|w−z0 |=
für alle n ∈ Z,
wobei über die genau einmal im mathematisch positiven Sinn durchlaufene Kreislinie vom Radius
(r, R) um z0 integriert wird.
∈
Beweis. Sei ohne Einschränkung z0 = 0. Sei f (z) = g(z) + h( 1z ) wie im Satz von der Laurentzerlegung 6.16. Seien
∞
g(z) =
an zn
für alle z ∈ UR (0),
bn z n
für alle z ∈ U 1 (0)
n =0
∞
h(z) =
r
n =1
die Taylorreihen von g und h.56 Setzen wir a−n := bn für alle n ≥ 1, so gilt
f (z) = g(z) + h
1
z
∞
an zn
=
für alle z ∈ DrR .
n=−∞
Die Eindeutigkeit der Laurententwicklung folgt dann aus der entsprechenden Aussage aus
dem Satz von der Laurentzerlegung 6.16. Die Aussagen über die Konvergenz folgen aus den
wohlbekannten Sätzen über Konvergenz von Potenzreihen.
Es verbleibt die Koeffizientenformel zu zeigen. Für n ≥ 0 gilt hier nach der verallgemeinerten
Cauchy’schen Integralformel 4.25 und dem Satz von Taylor 4.31
an =
1
g ( n ) (0)
=
n!
2πi
g(w)
dw
w n +1
|w|=
56 Man
beachte h(0) = 0.
für alle
∈ (0, R).
103
Kapitel 6. Singularitäten
Sei jetzt zusätzlich > r. Die Abbildung w → w1 bildet die Kreislinie |w| =
|w| = 1 ab und ändert die Orientierung. Daher gilt
w → w1
h( w1 )
dw
= −
w n +1
h(w)
1 n +1
w
|w|= 1
|w|=
d
1
w
auf die Kreislinie
h(w) wn−1 dw,
=
|w|= 1
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen d( w1 ) = − dw
beachten. Dieses Integral ist Null,
w2
denn: Nach Voraussetzung gilt 1 < 1r , und w → h(w) wn−1 ist für n ≥ 0 holomorph.57 Wir
können somit den Cauchy’schen Integralsatz 4.20 anwenden, und die Behauptung folgt.
#
Zusammengefasst gilt
an =
g(w) + h( w1 )
1
dw =
n
+
1
2πi
w
1
2πi
|w|=
f (w)
dw
w n +1
|w|=
wie verlangt.
Für n < 0 argumentiert man ähnlich. (Übung!)
Beispiel.
f (z) =
z2
2
− 4z + 3
für alle z ∈ C
{1, 3}.
f (z) hat in D13 eine Laurententwicklung. Diese können wir wie folgt bestimmen. Die Partialbruchzerlegung liefert
1
1
f (z) =
+
.
1−z z−3
Für 1 < |z| gilt
1
1
1
=− ·
1−z
z 1−
1
z
=−
1
z
n ≥0
1
=−
zn
1
n ≥0
z n +1
,
und für |z| < 3 gilt
1
1
1
=− ·
z−3
3 1−
z
3
=−
1
3
n ≥0
z
3
n
zn
=−
n ≥0
3n +1
.
f (z) hat also auf D13 eine Laurentzerlegung f (z) = g(z) + h( 1z ) mit
zn
g(z) = −
n ≥0
zn
h(z) = −
n ≥1
57 Man
beachte h(0) = 0.
3n +1
für alle |z| < 3,
für alle |z| < 1.
104
6.3. Meromorphe Funktionen
Satz 6.21. Ist D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine Singularität von f , so ist f auf dem
Ringgebiet U˙ R (z0 ) = D0R (z0 ) für geeignetes R > 0 holomorph, besitzt dort also nach Satz 6.20 eine
Laurententwicklung. In dieser Situation gilt
(a) Genau dann ist z0 hebbar, wenn an = 0 gilt für alle n < 0.
(b) Genau dann ist z0 eine Polstelle der Ordnung m ≥ 1, wenn an = 0 gilt für alle n < −m und
a−m = 0 erfüllt ist.
(c) Genau dann ist z0 wesentlich, wenn an = 0 gilt für unendlich viele n < 0.
Diesen Satz beweisen wir in Übungsaufgabe 6.3.
6.3
Meromorphe Funktionen
Wir haben in den letzten zwei Abschnitten drei Typen isolierter Singularitäten kennengelernt.
Wir wollen nun auch Funktionen studieren, die in ihrem Definitionsbereich (isolierte) Singularitäten aufweisen. Dies wäre im Allgemeinen recht kompliziert, wir beschränken uns daher
auf Funktionen, deren Singularitäten hebbar oder Pole sind. Ist D ⊆ C offen und f : D → C
holomorph mit einem Pol in z0 ∈ C, so setzen wir f (z0 ) := ∞ und betrachten f als eine Funktion mit Werten in der erweiterten komplexen Ebene C (vgl. Abschnitt 1.5). Diese Notation
rechtfertigt sich durch den in Satz 6.8 gezeigten Grenzwert limz→z0 | f (z)| = ∞.
Definition 6.22. Sei D ⊆ C offen und f : D → C eine Abbildung. Genau dann heißt f eine meromorphe Funktion auf D, falls gilt
(i) S( f ) := f −1 ({∞}) ist abgeschlossen und besteht nur aus isolierten Punkten in D.
(ii) Die Einschränkung f 0 := f
D S( f )
ist holomorph.
(iii) Alle Punkte aus S( f ) sind Polstellen von f 0 .
Nachdem wir nun meromorphe Funktionen eingeführt haben, wollen wir mit diesen auch
rechnen können; wir wollen also sagen, was die Summe, die Differenz, das Produkt oder der
Quotient zweier meromorpher Funktionen ist. Dies lässt sich außerhalb der Pol- bzw. Nullstellenmenge der betrachteten Funktionen problemlos punktweise definieren. Sind die jeweiligen
Ausnahmemengen abgeschlossene Mengen isolierter Punkte, so liefern sie die Polstellenmenge der Summe, der Differenz, des Produkts bzw. des Quotienten zusammen mit noch einigen
hebbaren Singularitäten, die man durch das Studium der jeweiligen Laurententwicklungen
dingfest machen kann.
Wir wollen als Beispiel nun die Summe zweier meromorpher Funktionen f , g : D → C mit
Polstellenmengen S( f ) und S( g) betrachten. Zunächst ist die Summe f 0 + g0 eine holomorphe
Funktion auf D (S( f ) ∪ S( g)), welche die Punkte aus S( f ) ∪ S( g) als Singularitäten hat. Eine
solche Singularität z0 ist hebbar, wenn sich die Hauptteile der Laurententwicklungen von f 0
und g0 in einer kleinen punktierten Umgebung von z0 nur um das Vorzeichen unterscheiden,
105
Kapitel 6. Singularitäten
und sonst eine Polstelle. Daher lässt sich f 0 + g0 eindeutig zu einer meromorphen Funktion auf
D ergänzen, die wir mit f + g bezeichnen wollen.
Ähnlich definiert man die meromorphen Funktionen f − g, f · g und
f
g;
letztere allerdings
nur, wenn die Nullstellenmenge von g eine abgeschlossene Menge isolierter Punkte ist.58 In
Übungsaufgabe 6.4 beweisen wir dies und ebenso die folgende Proposition.59
Proposition 6.23. Ist D ⊆ C ein Gebiet, so bilden die meromorphen Funktionen auf D unter den
genannten Rechenoperationen einen Körper M( D ). Die Teilmenge der auf D holomorphen Funktionen
trägt die Struktur eines Teilrings H( D ) darin.
P(z)
Beispiel. (a) Rationale Funktionen R(z) = Q(z) mit Polynomen P(z), Q(z) mit Q ≡ 0 sind meromorphe Funktionen auf D = C. Die Menge S( R) ist hierbei eine Teilmenge der Nullstellenmenge
von Q.
cos π z
(b) cot π z :=
auf D = C. Es gilt hierbei S(cot π z) = Z.
sin π z
(c) Allgemeiner Quotienten
f
g
holomorpher Funktionen f , g : D → C mit g nicht identisch Null auf
D.60
Es bietet sich nun an, den Begriff der meromorphen Funktion auch auf offenen Teilmengen
D ⊆ C einzuführen, wie wir sie in 1.22 definiert haben.
Definition 6.24. Sei D ⊆ C offen und f : D → C eine Abbildung. Genau dann heißt f eine meromorphe Funktion auf D, wenn die folgenden Bedingungen gelten.
(i) f ist auf D
∪
C meromorph.
(ii) Die Funktion
fˆ(z) := f
1
z
ist auf der offenen Menge
ˆ :=
D
{z ∈ C
{z ∈ C
{0} |
{0} |
1
z
1
z
∈ D },
falls ∞ ∈ D,
∈ D } ∪ {0}, falls ∞ ∈ D
meromorph.
58 Das
ist nach Korollar 1 des Identitätssatzes 5.6 immer der Fall, wenn g nicht identisch verschwindet und D ein
Gebiet ist.
59 In Funktionentheorie 2 werden wir den Begriff der meromorphen Funktion mithilfe der Theorie der Riemann’schen Flächen konzeptioneller beschreiben und diese Ergebnisse mehr oder weniger gleich mit erhalten.
60 Man kann sogar zeigen, dass alle meromorphen Funktionen h : D → C von diesem Typ sind. Das zeigt man
mit dem Weierstraß’schen Produktsatz, den wir in Funktionentheorie 2 zeigen werden. Algebraisch formuliert ist
dann M( D ) gerade der Quotientenkörper
Quot(H( D )) = {
des Rings der holomorphen Funktionen H( D ).
f
| f , g ∈ H( D ), g ≡ 0}
g
106
6.3. Meromorphe Funktionen
Offensichtlich ist diese Definition für ∞ ∈ D äquivalent zu Definition 6.22. Im Fall ∞ ∈ D
bedeutet (ii) jedoch eine echte weitere Bedingung, die Meromorphie von f (z) in z = ∞. Diese
entspricht definitionsgemäß gerade der Meromorphie von fˆ(z) in z = 0.61 Das legt folgende
Festsetzungen nahe.
Definition 6.25. (a) Sei D ⊆ C eine offene Teilmenge, die ∞ enthält, und sei f : D {∞} → C
eine holomorphe Funktion. Dann heißt ∞ eine Singularität von f . Weiter nennen wir ∞ eine
hebbare Singularität, einen Pol bzw. eine wesentliche Singularität, wenn die Singularität 0
der Funktion fˆ die entsprechende Eigenschaft besitzt.
(b) Die Laurententwicklung von f (z) um den Punkt z = ∞ erhält man aus der Laurententwicklung
von fˆ(z) um den Punkt z = 0, indem man z durch 1z ersetzt.
Beispiel.
(a) Seien aν ∈ C für ν ∈ {0, . . . , n} komplexe Zahlen mit an = 0 und
n
aν zν
P(z) :=
für alle z ∈ C
ν =0
ein Polynom. Das Verhalten von P(z) bei z = ∞ entspricht definitionsgemäß dem Verhalten von
Pˆ (z) = P
1
z
=
an
a −1
+ nn−
+ . . . + a0
n
z
z 1
bei z = 0. P(z) hat also in z = ∞ für n = 0 eine hebbare Singularität und für positives n einen
Pol n-ter Ordnung.
(b) Sei f (z) =
∞
n
n =0 a n z
eine ganze Funktion, die kein Polynom ist. Da
∞
0
an z−n =
fˆ(z) =
n =0
a−n zn
n=−∞
nach Satz 6.21 in z = 0 eine wesentliche Singularität hat, trifft das auch auf f (z) an der Stelle
z = ∞ zu.62
61 Klammheimlich reden wir hier über meromorphe Funktionen auf der Riemann’schen Fläche C. Letztere ist wie
folgt gegeben.
Die Menge C wird überdeckt von den offenen Teilmengen C und C {0}, die sich jeweils auf eine offene Teilmenge von C, in diesem Fall C selbst, abbilden lassen. Diese Kartenabbildungen ϕ1 : C → C und ϕ2 : C {0} → C
sind durch
1
für z ∈ C {0},
ϕ1 (z) = z für z ∈ C und ϕ2 (z) = z
0 für z = ∞
gegeben und homöomorph, d. h. stetig und bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung. Auf C {0} ist die Kartenwechselabbildung ϕ2 ◦ ϕ1−1 (z) = 1z defininiert und konform, d. h. holomorph und bijektiv mit holomorpher Umkehrabbildung (vgl. Definition 8.1).
62 Insbesondere ist f ( z ) keine meromorphe Funktion auf C. In Funktionentheorie 2 werden wir mit der Theorie
der Riemann’schen Flächen zeigen, dass die meromorphen Funktionen auf C gerade aus den rationalen Funktionen
bestehen.
107
Kapitel 6. Singularitäten
Proposition 6.26. Sei
a b
c d
M=
∈ GL2 (C).
Dann ist die in Abschnitt 2.1 eingeführte zugehörige Möbiustransformation ϕ M eine meromorphe Abbildung auf C im Sinne von Definition 6.24.
Beweis. Fall 1: c = 0. Dann gilt
ϕ M (z) =
a z+b
d
∞
für z ∈ C,
für z = ∞,
so dass ϕ M gerade ein Polynom von Grad n = 1 wie in Teil (a) des obigen Beispiels ist und
insbesondere eine meromorphe Funktion auf C.
Fall 2: c = 0. Dann gilt

a z+b

 c z+d
ϕ M (z) = ∞

a
c
Offensichtlich ist ϕ M |C
{− dc }
für z ∈ C {− dc },
für z = − dc ,
für z = ∞.
holomorph, und − dc wegen
az+b
az+b
1
=
·
cz+d
c
z − (− dc )
d
für alle z ∈ U˙ r (− ), r hinreichend klein,
c
ein Pol erster Ordnung. ϕ M |C ist also eine meromorphe Funktion auf C. Desweiteren gilt auf
ˆ =C
einer kleinen Umgebung von z = 0 in C
ϕˆ M (z) = ϕ M
1
z
=
a 1z + b
1
z
c +d
=
a + bz z→0 a
−→ ,
c + dz
c
die Singularität von ϕ M in ∞ ist also hebbar.
Übungsaufgaben
Aufgabe 6.1. Sei D ⊆ C offen und f , g : D → C holomorph mit einer gemeinsamen Nullstelle z0 ∈ D,
die für beide Funktionen die selbe Nullstellenordnung k hat. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Es gibt ein δ > 0 mit Uδ (z0 ) ⊆ D und g(z) = 0 für alle z ∈ U˙ δ (z0 ).
(b) Die Funktion f /g : U˙ δ (z0 ) → C hat in z0 eine hebbare Singularität.
(c) lim
z → z0
f (z)
f ( k ) ( z0 )
= (k)
.
g(z)
g ( z0 )
108
6.3. Meromorphe Funktionen
Aufgabe 6.2. Betrachten Sie die folgende Laurententwicklung für die Nullfunktion.
0=
1
1
1
1
+
= ·
z−1 1−z
z 1−
1
z
+
1
=
1−z
∞
n =1
1
+
zn
∞
∞
zn =
n =0
zn .
n=−∞
Dies scheint ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der Laurententwicklung zu sein. Warum ist es das
nicht?
Aufgabe 6.3. Beweisen Sie Satz 6.21.
Aufgabe 6.4. Sei ∅ = D ⊆ C ein Gebiet, und sei M( D ) die Menge der meromorphen Funktionen auf
D.
(a) Seien f , g ∈ M( D ). Zeigen Sie, dass dann auch f − g und f · g in M( D ) liegen, und dass dies
im Fall g = 0 auch auf f /g zutrifft.
(b) Folgern Sie, dass M( D ) mit den so definierten Verknüpfungen ein Körper ist.
(c) Gibt es ein 0 = f ∈ M(C) mit f (1/n) = 0 für alle n ∈ N?
Aufgabe 6.5. (a) Sei f : C → C eine ganze Funktion, welche in ∞ eine nicht-wesentliche Singularität besitzt. Zeigen Sie, dass f dann ein Polynom ist.
(b) Bestimmen Sie die Automorphismengruppe Aut(C) der komplexen Ebene.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Casorati-Weierstraß 6.11, um zu zeigen, dass jedes
f ∈ Aut(C) eine nicht-wesentliche Singularität in ∞ hat. Welche Polynome definieren bijektive
Abbildungen?
Aufgabe 6.6. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Jede meromorphe Funktion f : C → C ist rational.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass f nur endlich viele Singularitäten in C haben kann und
modifizieren Sie f geeignet mit den Hauptteilen dieser Singularitäten, um eine Funktion wie in
Teil (a) von Aufgabe 6.5 zu erhalten.
(b) Sei f : C → C meromorph mit f (C) ⊆ C. Dann ist f bereits konstant.
Aufgabe 6.7. In dieser Aufgabe wollen wir
Aut(C) = { ϕ M | M ∈ GL2 (C)}
zeigen. Beweisen Sie dafür die folgenden Aussagen.
(a) Für M ∈ GL2 (C) gilt ϕ M ∈ Aut(C).
(b) Ist f ∈ Aut(C), dann ist f stetig.
Hinweis: Da C das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, sind hier die Begriffe der Stetigkeit und
Folgenstetigkeit äquivalent, was ohne Beweis verwendet werden darf. Hierbei ist der topologische
Konvergenzbegriff zu verwenden, d.h. eine Folge konvergiert gegen einen Punkt z ∈ C, wenn jede
offene Menge in C, die z enthält, auch fast alle Folgenglieder enthält.
(c) Ist f ∈ Aut(C), dann gibt es ein M ∈ GL2 (C) mit f = ϕ M .
Hinweis: Verwenden Sie Übungsaufgabe 6.5 und beachten Sie, dass dort die Holomorphie der
Umkehrfunktion im Beweis nicht benötigt wurde.
KAPITEL 7
Der Residuensatz
Ist D ⊆ C ein Sterngebiet, so wissen wir, dass für alle geschlossenen stückweise glatten Kurven
C in D und für alle holomorphen Funktionen f : D → C das Integral
f (z) dz = 0
C
verschwindet. Der Residuensatz lässt uns eine größere Klasse von Integralen berechnen: Sei
f : D {z1 , . . . , zk } → C holomorph, wobei z1 , . . . , zk endlich viele paarweise verschiedene
Punkte aus D sind, und sei C eine Kurve, die durch keinen der Punkte z1 , . . . , zk läuft. Dann
gilt
k
f (z) dz = 2πi
χ(C; z j ) resz=z j f ,
j =1
C
wobei χ(C; z j ) die Umlaufzahl von C bzgl. z j ist und resz=z j f das Residuum von f in z j .
Um den Residuensatz formulieren und dann auch beweisen zu können, müssen wir offenbar
zunächst die Begriffe der Umlaufzahl und des Residuums einführen.
7.1
Die Umlaufzahl
Definition 7.1. Sei C eine geschlossene, stückweise glatte Kurve in C und z ∈ C
χ(C; z) :=
1
2πi
dw
w−z
C
die Umlaufzahl von C bzgl. z.
109
C. Dann heißt
110
7.1. Die Umlaufzahl
Beispiel. Sei k ∈ Z {0}, und sei C die k-fach im mathematisch positiven Sinn durchlaufene Kreislinie um einen Punkt z0 ∈ C mit Radius r > 0, so dass C durch die Gleichung
γ(t) = z0 + r e2πikt
mit t ∈ [0, 1]
gegeben wird. Offensichtlich gibt hierbei das Vorzeichen von k den Umlaufsinn der Kurve vor. Es gilt
dann
0 für |z − z0 | > r,
χ(C; z) =
k für |z − z0 | < r,
denn: Im ersten Fall liegt C im Sterngebiet, auf dem die Funktion w →
Cauchy’schen Integralsatz 4.20 folgt somit die Behauptung.
1
w−z
holomorph ist. Mit dem
Im zweiten Fall gilt mit der Cauchy’schen Integralformel 4.23 für die Abbildung f (w) ≡ 1
χ(C; z) =
1
2πi
dw
1
= k·
w−z
2πi
C
dw
= k.
w−z
|w−z0 |=r
#
Unsere Definition der Umlaufzahl ist ungeometrisch, stimmt aber im gerade untersuchten Beispiel mit unserer Anschauung überein. Man kann topologisch begründen, dass die Zahl χ(C; z)
tatsächlich angibt, wie oft im Sinne der Anschauung die Kurve C den Punkt z umläuft. Eine mathematisch präzise Definition der Umlaufzahl, die auch unserer Anschauung sehr nahe
kommt, ist schwer anzugeben. Wir werden uns damit begnügen zu zeigen, dass χ(C; z) stets
eine ganze Zahl ist, und dass sie auf Zusammenhangskomponenten von C C konstant ist.
Proposition 7.2. Sei C eine geschlossene, stückweise glatte Kurve in C und z ∈ C
χ(C; z) ∈ Z.
C. Dann gilt
Beweis. Sei ohne Einschränkung C glatt und für t ∈ [ a, b] durch die Gleichung γ(t) gegeben.
Wir setzen
t
h(t) :=
a
γ (u)
du
γ(u) − z
für alle t ∈ [ a, b].
Dann gilt insbesondere h(b) = 2πi χ(C; z). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist h auf [ a, b] stetig differenzierbar, und es gilt
h (t) =
γ (t)
.
γ(t) − z
Sei nun weiter H (t) := e−h(t) · (γ(t) − z) für alle t ∈ [ a, b]. Dann gilt H (t) = 0, so dass insbesondere H (t) auf [ a, b] konstant ist. Mit
H ( a ) = e − h ( a ) ( γ ( a ) − z ) = e0 ( γ ( a ) − z ) = γ ( a ) − z
111
Kapitel 7. Der Residuensatz
folgt H (t) ≡ γ( a) − z auf [ a, b] und somit
e h(t) =
γ(t) − z
γ( a) − z
für alle t ∈ [ a, b].
Setzen wir nun speziell t = b, so folgt wegen der Geschlossenheit der Kurve C
e h(b) =
γ(b) − z
= 1.
γ( a) − z
Es folgt h(b) ∈ 2πi Z und damit die Behauptung χ(C; z) ∈ Z.
Proposition 7.3. Sei C eine geschlossene, stückweise glatte Kurve, und seien z0 , z1 ∈ C C. Die
Punkte z0 und z1 seien durch einen Weg in C C verbindbar, es existiere also ein stetiges ϕ : [0, 1] →
C C mit ϕ(0) = z0 und ϕ(1) = z1 . Dann gilt
χ(C; z0 ) = χ(C; z1 ).
Beweis. Die Teilmenge U := C
W ( z0 ) : = { z ∈ C
C ⊆ C ist offen. Sei
C | z ist mit z0 durch einen Weg in C
C verbindbar}.
Nach Konstruktion ist dann W (z0 ) wegzusammenhängend, es lassen sich also je zwei Punkte
aus W (z0 ) durch einen Weg in W (z0 ) verbinden. Insbesondere ist W (z0 ) wie in Analysis 2 auch
zusammenhängend. Die Abbildung
C
z
C → C,
→ χ(C; z)
ist holomorph, also auch stetig. Daher ist mit W (z0 ) auch χ(C; W (z0 )) zusammenhängend.
Nach Proposition 7.2 besteht andererseits χ(C; W (z0 )) ⊆ Z aus isolierten Punkten. Es folgt,
dass χ(C; W (z0 )) nur aus einem einzigen Punkt bestehen kann. Da nach Voraussetzung z0 und
z1 beide in W (z0 ) liegen, folgt die Behauptung χ(C; z0 ) = χ(C; z1 ).
7.2
Das Residuum
Definition 7.4. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 eine Singularität von f . Sei
∞
a n ( z − z0 ) n
f (z) =
für z ∈ U˙ R (z0 )
n=−∞
mit einem geeigneten R > 0 die Laurententwicklung von f um z0 . Dann heißt der Koeffizient a−1 das
Residuum von f in z0 . Wir schreiben dafür
a−1 =: resz=z0 f .
112
7.2. Das Residuum
Bemerkung 7.5. (a) Nach der Koeffizientenformel aus dem Satz von der Laurententwicklung 6.20
gilt für hinreichend kleines
1
a −1 =
f (z) dz.
2πi
|z−z0 |=
(b) Ist z0 hebbar, so ist resz=z0 f = 0 (vgl. Satz 6.21).
Beispiel.
(a) resz=0
cos z
z
(b) resz=0 e1/z = 1, denn es gilt e1/z =
(c) Analog gilt resz=0 e
z2
2! ± . . . für alle
· zn )−1 für alle z ∈ C
= 1, denn es gilt cos z = 1 −
1/zk
∞
n=0 ( n!
z ∈ C.
{0}.
= 0 für alle 1 < k ∈ Z.
Lemma 7.6. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph und z0 ein Pol von f der Ordnung m ≥ 1. Dann
gibt es ein R > 0 und eine holomorphe Funktion g : UR (z0 ) → C mit g(z0 ) = 0, so dass wir
f (z) =
g(z)
( z − z0 ) m
für alle z ∈ U˙ R (z0 )
schreiben können. In dieser Situation gilt
resz=z0 f =
g ( m −1) ( z 0 )
.
( m − 1) !
Insbesondere gilt für m = 1, also für einen einfachen Pol,
resz=z0 f = lim (z − z0 ) f (z).
z → z0
Beweis. Sei
∞
g(z) =
n =0
g ( n ) ( z0 )
( z − z0 ) n
n!
für alle z ∈ UR (z0 )
die Taylorentwicklung von g um z0 . Für z = z0 folgt dann
g(z)
f (z) =
=
( z − z0 ) m
∞
n =0
g ( n ) ( z0 )
( z − z0 ) n − m .
n!
Das ist die Laurententwicklung von f um z0 ; nach Definition des Residuums gilt also
resz=z0 f =
g ( m −1) ( z 0 )
.
( m − 1) !
Ist speziell m = 1, so gilt
resz=z0 f = g(z0 ) = lim g(z) = lim (z − z0 ) f (z).
z → z0
z → z0
113
Kapitel 7. Der Residuensatz
ei z
für alle z ∈ C {±i }
z2 + 1
Offensichtlich hat f (z) in z = ±i jeweils einen einfachen Pol. Daher gilt nach dem Spezialfall des
Lemmas für m = 1
Beispiel.
(a) f (z) =
e −1
−i
ei z
=
=
,
2i
2e
z →i
z →i z + i
ei z
e
ei
f = lim (z + i ) f (z) = lim
=
= .
−2i
2
z→−i
z→−i z − i
resz=i f = lim(z − i ) f (z) = lim
resz=−i
1
für alle z ∈ C {±i }.
+ 1)3
Offensichtlich hat f in z = ±i jeweils einen Pol der Ordnung m = 3, und wir können schreiben:
(b) f (z) =
( z2
f (z) =
g∓ ( z )
( z ∓ i )3
mit g∓ (z) =
1
( z ± i )3
Nach dem Lemma für m = 3 gilt dann wegen g∓ (z) =
resz=±i f =
7.3
für alle z ∈ C
{∓i }.
12
( z ± i )5
g∓ (±i )
∓3i
6
=
=
.
5
2!
(±2i )
16
Der Residuensatz
Satz 7.7 (Residuensatz). Sei D ⊆ C ein Elementargebiet, und seien z1 , . . . , zk endlich viele, paarweise
verschiedene Punkte in D. Sei weiter f : D {z1 , . . . , zk } → C holomorph und C eine geschlossene,
stückweise glatte Kurve in D {z1 , . . . , zk }. Dann gilt die Residuenformel
k
f (z) dz = 2πi
χ(C; z j ) resz=z j f .
j =1
C
Beweis. Definitionsgemäß sind alle z j Singularitäten von f . Sei also für ein geeignetes R j > 0
∞
an,j (z − z j )n
f (z) =
für alle z ∈ U˙ R j (z j )
n=−∞
die Laurententwicklung von f um z j . Nach dem Satz über die Laurentzerlegung 6.16 ist jeder
Hauptteil
hj
1
z − zj
−1
an,j (z − z j )n
=
für alle z ∈ C
{z j }
n=−∞
holomorph. Sei
k
g(z) := f (z) −
hj
j =1
1
z − zj
für alle z ∈ D
{ z1 , . . . , z k }.
114
7.3. Der Residuensatz
Die einzigen Singularitäten von g(z) sind die bekannten Punkte z1 , . . . , zk . Da aber die Laurententwicklung von g(z) um jeden der Punkte z j keine negativen Terme hat, sind die Singularitäten in allen z j hebbar (vgl. Satz 6.21). Da D ein Elementargebiet ist, hat g auf D eine
Stammfunktion. Es gilt also
0=
g(z) dz
C


k
 f (z) −
=
C
1
 dz
z − zj
hj
j =1
k
f (z) dz −
=
1
z − zj
hj
j =1 C
C
−1
k
an,j (z − z j )n
f (z) dz −
=
dz
n=−∞
j =1 C
C
dz
Nach Satz 6.20 konvergieren die Laurententwicklungen auf der kompakten Menge C gleichmäßig, so dass wir in der Summe rechts Integration und Summation vertauschen dürfen. Es
gilt somit
−1
k
f (z) dz −
0=
j=1 n=−∞
C
C
k
f (z) dz −
=
a−1,j
j =1
C
(z − z j )n dz
an,j
C
dz
z − zj
k
f (z) dz −
=
C
resz=z j f · 2πi χ(C; z j ) ,
j =1
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen berücksichtigt haben, dass die Integrale rechts für
1
n+1 auf C
n < −1 verschwinden, da dann die Funktion (z − z j )n mit n+
{z j } eine
1 (z − z j )
63
Stammfunktion hat.
Bemerkung 7.8. In der Residuenformel liefern nur diejenigen Punkte z j einen Beitrag, deren Umlaufzahl χ(C; z j ) nicht verschwindet, die also im Inneren der Kurve C liegen.
Als Korollar des Residuensatzes erhalten wir die folgende Verallgemeinerung der Cauchy’schen Integralformel.
Satz 7.9. Sei D ⊆ C ein Elementargebiet, f : D → C holomorph und C eine stückweise glatte,
geschlossene Kurve in D. Dann gilt für alle z ∈ D C
χ(C; z) f (z) =
f (w)
dw.
w−z
1
2πi
C
63 Dieses
Wegfallen der anderen Terme erklärt übrigens den Namen „Residuum“.
115
Kapitel 7. Der Residuensatz
Beweis. Sei z fest gewählt. Dann setzen wir
g(w) :=
f (w)
w−z
für alle w ∈ D
{ z }.
Die Taylorreihe von f (w) um w = z ist
f (w) = f (z) +
f (z)
(w − z) + . . . ,
1!
so dass sich resw=z g(w) = f (z) ergibt. Des weiteren ist g(w) holomorph auf D
dem Residuensatz gilt also
{z}. Nach
g(w) dw = 2πi χ(C; z) f (z).
C
7.4
Funktionentheoretische Anwendung des Residuensatzes
Definition 7.10. Sei D ⊆ C offen, f : D → C holomorph, und sei z0 eine nicht-wesentliche Singularität von f , um die es eine punktierte Kreisscheibe gibt, auf der f nicht konstant Null ist. Sei schließlich
für ein hinreichend kleines R > 0
∞
a n ( z − z0 ) n
f (z) =
für alle z ∈ U˙ R (z0 )
n=−∞
die Laurententwicklung von f um z0 . Wir definieren dann die Nullstellenordnung
0-ord( f ; z0 ) :=
min{n ∈ Z | an = 0}
0
falls es kein n < 0 gibt mit an = 0,
falls es ein n < 0 gibt mit an = 0
und erweitern die Definition 6.6 der Polstellenordnung
∞-ord( f ; z0 ) :=
0
− min{n ∈ Z | an = 0}
falls es kein n < 0 gibt mit an = 0,
falls es ein n < 0 gibt mit an = 0.
Satz 7.11 (Satz vom Null- und Polstellen zählenden Integral). Sei D ⊆ C ein Elementargebiet und
f ≡ 0 eine auf D meromorphe Funktion mit endlich vielen Null- und Polstellen a1 , . . . , an . Sei C eine
geschlossene stückweise glatte Kurve mit a j ∈ C für alle j ∈ {1, . . . , n}. Dann gilt
f (z)
dz =
f (z)
1
2πi
C
n
χ(C; aν ) · 0-ord( f ; aν ) − ∞-ord( f ; aν ) .
ν =1
116
7.4. Funktionentheoretische Anwendung des Residuensatzes
Beweis. Die Funktion
f (z)
f (z)
{ a1 , . . . , an }. Nach dem Residuensatz gilt also
ist holomorph auf D
f (z)
dz =
f (z)
1
2π i
C
n
χ(C; aν ) resz=aν
ν =1
f
,
f
und es genügt zu zeigen: Ist z0 eine Nullstelle oder ein Pol von f , so gilt
resz=z0
f
= 0-ord( f ; z0 ) − ∞-ord( f ; z0 ) =: m ∈ Z.
f
Es gibt ein R > 0 und eine holomorphe Funktion g : UR (z0 ) → C mit g(z0 ) = 0, so dass wir
f ( z ) = ( z − z0 ) m g ( z )
für alle z ∈ U˙ R (z0 )
schreiben können.64 Für z nahe bei aber ungleich z0 gilt dann
f ( z ) = m ( z − z 0 ) m −1 g ( z ) + ( z − z 0 ) m g ( z )
und somit
Da mit g auch
g (z)
m ( z − z 0 ) m −1 g ( z ) + ( z − z 0 ) m g ( z )
m
f (z)
+
=
=
.
m
f (z)
( z − z0 ) g ( z )
z − z0
g(z)
g
g
in z0 holomorph ist, folgt mit Lemma 7.6 wie behauptet
resz=z0
f
= m.
f
Hieraus ergibt sich unmittelbar das folgende Korollar.
Korollar (Argumentprinzip). Seien die Voraussetzungen wie im Satz von Null- und Polstellen zählenden Integral 7.11. Sei weiter
n
N (0) : =
n
0-ord( f ; aν )
ν =1
bzw.
N (∞) :=
∞-ord( f ; aν )
ν =1
die Gesamtanzahl der Null- bzw. Polstellen von f , jeweils mit Vielfachheit gezählt. Dann gilt
f (z)
dz = N (0) − N (∞)
f (z)
1
2πi
C
für jede geschlossene, stückweise glatte Kurve C, die jeden der Punkte aν genau einmal im positiven
Sinne umläuft.
64 Ist
hierbei m < 0, so hat f einen Pol, und wir verwenden Lemma 7.6. Ist m > 0, so hat f eine Nullstelle, und die
Behauptung ist klar.
117
Kapitel 7. Der Residuensatz
Satz 7.12 (R OUCHÉ65 ). Sei D ⊆ C ein Elementargebiet, seien f und g zwei holomorphe Funktionen
auf D, und sei C eine durch γ : [0, 1] → D parametrisierte geschlossene stückweise glatte Kurve, welche
jeden Punkt in ihrem Inneren genau einmal in mathematisch positiver Richtung umläuft.66 Es haben f
und g nur endlich viele Nullstellen in D,67 und es gelte
| f (z) − g(z)| < | f (z)| für alle z ∈ γ([0, 1]).
Dann haben f und g im Inneren der Kurve C mit Vielfachheiten gerechnet gleich viele Nullstellen.
Beweis. Wir betrachten für alle t ∈ [0, 1] die Funktion ht := f + t( g − f ) auf D. Offensichtlich
gilt h0 = f und h1 = g. Nach Voraussetzung gilt für alle z ∈ γ([0, 1])
|ht (z)| ≥ | f (z)| − |t( g(z) − f (z))| > | f (z)| − t | f (z)| ≥ 0 für t = 0,
|ht (z)| > | f (z) − g(z)| ≥ 0
für t = 0.
Für t ∈ [0, 1] hat also ht (z) auf γ([0, 1]) keine Nullstellen, und wir können den Satz vom Nullund Polstellen zählenden Integral 7.11 anwenden. Wir erhalten
1
2πi
C
ht (z)
1
dz =
ht (z)
2πi
f (z) + t( g (z) − f (t))
dz = Nt (0),
f (z) − t( g(z) − f (z))
C
wobei Nt (0) die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen von ht im Inneren von C bezeichne.
Wie man der Formel entnimmt, hängt Nt (0) stetig von t ab. Andererseits liegt der Wertebereich von Nt (0) in den natürlichen Zahlen, so dass Nt (0) für t ∈ [0, 1] konstant sein muss.
Insbesondere folgt N1 (0) = N0 (0) und somit der Satz.
Satz 7.13 (H URWITZ68 ). Sei D ⊆ C ein Gebiet und ( f n )n∈N eine Folge holomorpher Funktionen
f n : D → C, die auf jeder kompakten Teilmenge von D gleichmäßig gegen eine Funktion f : D → C
konvergiert. Es gelte f n (z) = 0 für alle z ∈ D und alle n ∈ N. Dann ist entweder f identisch Null auf
D, oder f hat keine Nullstelle auf D.
Beweis. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß 4.33 ist f auf D holomorph. Wir nehmen an, f sei nicht identisch Null auf D. Da D ein Gebiet ist, besteht die Nullstellenmenge von
f in D nach Korollar 1 des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen 5.6 nur aus isolierten
Punkten. Wir müssen nun für ein beliebiges aber festes z0 ∈ D zeigen, dass f (z0 ) = 0 gilt.
Wegen der Isoliertheit der Nullstellen gibt es ein r > 0 mit Ur (z0 ) ⊆ D und f (z) = 0 für alle
Ur (z0 ) {z0 }. Insbesondere gilt für dieses r
M := min | f (z)| > 0.
|z−z0 |=r
65 Eugène
Rouché (1832-1910)
verlangen also, dass für alle z ∈ D γ([0, 1]) die Umlaufzahl χ(C; z) entweder 0 oder 1 ist.
67 Diese Bedingung ist in Wahrheit überflüssig, wie man mit den Methoden von Abschnitt 8.3 einsieht.
68 Adolf Hurwitz (1859 - 1919)
66 Wir
118
7.5. Berechnung reeller Integrale mithilfe des Residuensatzes
Da ( f n ) auf der kompakten Menge |z − z0 | = r gleichmäßig gegen f konvergiert, gibt es ein
N ∈ N mit
| f n (z) − f (z)| <
M
2
für alle n > N und alle z ∈ D mit |z − z0 | = r.
Für solche n und solche z folgt dann
| f n (z)| = | f (z) − ( f (z) − f n (z))| ≥ | f (z)| − | f (z) − f n (z)| ≥ M −
und somit
M
M
=
2
2
1
2 1
| f (z) − f n (z)|
1
−
≤
·
| f n (z) − f (z)|.
=
f n (z)
f (z)
| f n (z)| · | f (z)|
M M
Da nach Voraussetzung die Folge ( f n )n∈N auf |z − z0 | = r gleichmäßig gegen f konvergiert, konvergiert dort also auch die Folge
1
fn
n ∈N
gleichmäßig, und zwar gegen
1
f.
Nach
der zweiten Aussage des Approximationssatzes von Weierstraß 4.33 konvergiert ( f n )n∈N auf
|z − z0 | = r gleichmäßig gegen f , so dass dort insgesamt
vergiert. Es folgt
f n (z)
1
dz =
f n (z)
2πi
1
n→∞ 2πi
lim
|z−z0 |=r
lim
n→∞
|z−z0 |=r
fn
fn
n ∈N
gleichmäßig gegen
f n (z)
1
dz =
f n (z)
2πi
f
f
kon-
f (z)
dz.
f (z)
|z−z0 |=r
Da die Funktionen f n nach Voraussetzung auf D keine Nullstellen haben, verschwindet nach
dem Argumentprinzip (Korollar zu Satz 7.11) die linke Seite für alle n ∈ N. Wenden wir das
Argumentprinzip auf die rechte Seite an, folgt jetzt f (z) = 0 für alle z ∈ D mit |z − z0 | < r.
Insbesondere gilt f (z0 ) = 0 und somit der Satz.
Korollar. Sei D ⊆ C ein Gebiet und ( f n )n∈N eine Folge injektiver holomorpher Funktionen f n : D →
C, die auf jeder kompakten Teilmenge von D gleichmäßig gegen ein f : D → C konvergiert. Dann ist f
entweder konstant oder auch injektiv.
Beweis. Sei f nicht konstant und z0 ∈ D fest gewählt. Dann sind die Funktionen f n (z) − f n (z0 )
nullstellenfrei auf dem Gebiet D {z0 }. Nach dem Satz von Hurwitz 7.13 ist dann f (z) − f (z0 )
auf D {z0 } entweder identisch Null oder nullstellenfrei. Der erste Fall ist nach Voraussetzung
ausgeschlossen, also gilt f (z) = f (z0 ) für alle z ∈ D {z0 }. Da z0 ∈ D beliebig gewählt war,
folgt die Injektivität von f auf D.
7.5
Berechnung reeller Integrale mithilfe des Residuensatzes
Satz 7.14. Seien P( X, Y ) und Q( X, Y ) zwei Polynome in zwei Variablen mit reellen bzw. komplexen
Koeffizienten, und sei
P( x, y)
R( x, y) :=
Q( x, y)
119
Kapitel 7. Der Residuensatz
die als Quotient von P und Q gegebene rationale Funktion. Weiter sei Q( x, y) = 0 für alle x, y ∈ R
mit x2 + y2 = 1. Dann gilt
2π
resz=z0 f , 69
R(cos t, sin t) dt = 2π
z0 ∈E
0
wobei E = {z ∈ C | |z| < 1} die offene Einheitskreisscheibe sei und f die rationale Funktion
f (z) =
Beweis. Für |z| = 1 ist
1
z
1
R
z
1
2
z+
1
z
,
1
2i
z−
1
z
.
= z, und die Zahlen
1
2
1
2i
1
z
1
z−
z
z+
1
(z + z) = Rez = x
2
1
= (z − z) = Imz = y
2i
=
sind reell. Wegen 1 = |z|2 = x2 + y2 hat Q( x, y) für solche z nach Voraussetzung keine Nullstellen; insbesondere hat f auf |z| = 1 keine Pole. Damit ist das Integral aus dem Satz definiert
und lässt sich umschreiben zu
2π
1
R(cos t, sin t) dt =
i
0
2π
1 it
1 it
e + e−it ,
e − e−it
2
2i
R
e−it i eit dt
0
1
=
i
R
1
2
z+
1
z
,
1
2i
z−
1
z
1
dz
z
|z|=1
=
1
i
f (z) dz.
|z|=1
Da die meromorphe Funktion f auf dem Kompaktum E nur endlich viele Polstellen hat, können wir zur Berechnung des Integrals den Residuensatz 7.7 bezüglich der durch |z| = 1 gegebenen Kurve C anwenden und erhalten


1
i
f (z) dz =
1 
2πi
i 
|z|=1
= 2π
z0 ∈E
z0 Pol

χ(C; z0 ) resz=z0 f 

resz=z0 f ,
z0 ∈E
z0 Pol
wobei wir verwenden, dass für z0 ∈ E stets χ(C; z0 ) = 1 gilt.
69 Man
beachte: In der Summe rechts wird in Wirklichkeit nur über die endlich vielen Polstellen von f summiert.
120
7.5. Berechnung reeller Integrale mithilfe des Residuensatzes
2π
Beispiel.
dt
a + cos t
für ein a ∈ R>1 .
0
Hier gilt R( x, y) =
1
a+ x ,
also
f (z) =
1
·
z a+
1
2
1
z+
=
1
z
z2
2
2
=
+ 2a z + 1
(z − α)(z − β)
mit
a2 − 1
α = −a +
und
a2 − 1.
β = −a −
Offensichtlich sind α und β reelle Zahlen. Außerdem gilt |α| < 1,
denn:
√
<√
− a + a2 − 1
< a2 − 1
< a2 − 1
< −1
< −1
|α| < 1 ⇐⇒ −1
⇐⇒ a − 1
⇐⇒ ( a − 1)2
⇐⇒ −2a + 1
⇐⇒ − a
<1
< a+1
< ( a + 1)2
< 2a + 1
< a.
Wegen a > 1 ist die letzte Zeile erfüllt, und die Behauptung ist gezeigt.
#
Durch Ausmultipliziern sehen wir α · β = 1 ein und insbesondere | β| > 1. Wenden wir nun Satz 7.14
an, erhalten wir somit
2π
dt
2
1
= 2π resz=α 2
= 4π resz=α
a + cos t
z + 2a z + 1
(z − α)(z − β)
0
z−α
(z − α)(z − β)
1
1
= 4π
= 2π √
.
α−β
a2 − 1
7.6
= 4π lim
z→α
Definition 7.15. Sei f : R → R stetig. Dann heißt f integrierbar über R, falls die beiden Grenzwerte
A
A→∞
0
f ( x ) dx
lim
und
0
f ( x ) dx
lim
B→∞
−B
(unabhängig voneinander) existieren. Wir schreiben dann
∞
A
f ( x ) dx = lim
−∞
0
f ( x ) dx + lim
A→∞
0
B→∞
−B
f ( x ) dx.
f heißt absolut integrierbar, falls | f | integrierbar ist. Man zeigt leicht, dass absolute Integrierbarkeit
die Integrierbarkeit impliziert.70
70 Beweis
mit Hilfe eines Analogons des Cauchykriteriums, ähnlich wie bei unendlichen Reihen.
121
Kapitel 7. Der Residuensatz
Satz 7.16. Seien P( X ) und Q( X ) zwei Polynome mit reellen Koeffizienten. Es gelte
deg Q ≥ deg P + 2 und
Q( x ) = 0 für alle x ∈ R.
Für die auf C definierte Quotientenfunktion R(z) :=
P(z)
Q(z)
gilt dann
(a) R( x ) ist absolut integrierbar über R.
k
∞
(b)
−∞
R( x ) dx = 2πi
resz=z j R,
j =1
wobei z1 , . . . , zk gerade die Polstellen von R(z) in der oberen Halbebene H := {z ∈ C | Imz > 0}
sind.
Beweis. Sei m der Grad von P und n der Grad von Q. Dann schreiben wir
n
m
aν X ν
P( X ) =
und
bν X ν .
Q( X ) =
ν =0
ν =0
Für z ∈ C
{0} gilt
R(z) =
P(z)
= zm−n ·
Q(z)
a0
zm
b0
zn
+ . . . + am
+ . . . + bn
.
Für |z| → ∞ strebt der zweite Faktor gegen am /bn , ist also insbesondere beschränkt. Es gibt
somit Konstanten M > 0 und c > 0 mit
| R(z)| ≤ |zm−n | M für alle |z| > c.
Mit n − m ≥ 2 folgt
| R(z)| ≤
M
| z |2
für alle |z| > c.
R( x ) ist stetig auf R. Für z = x reell folgt also für hinreichend großes A ∈ R
A
c
| R( x )| dx =
0
A
| R( x )| dx +
| R( x )| dx
c
0
c
≤
A
| R( x )| dx + M ·
c
0
dx
x2
c
| R( x )| dx + M
=
− x −1
A
c
0
c
| R( x )| dx + M −
=
0
1
1
+
A
c
122
7.5. Berechnung reeller Integrale mithilfe des Residuensatzes
c
≤
| R( x )| dx +
M
< ∞.
c
0
Diese Abschätzung ist unabhängig von A. Hieraus folgt leicht, dass der Grenzwert
A
| R( x )| dx
lim
A→∞
0
existiert.71 Genauso zeigt man die Existenz von limB→∞
hiermit Aussage (a) gezeigt.
0
−B
| R( x )| dx. Insgesamt haben wir
Es verbleibt (b) zu zeigen. Sei dafür r > 0 und Cr die durch
für alle t ∈ [−r, r ],
für alle t ∈ [r, r + π ]
t
r e i ( t −r )
ϕr ( t ) =
gegebene geschlossene, stückweise glatte Kurve. Nehmen wir weiter an, r sei größer als alle
|z j | für j = 1, . . . , k, und schreiben wir αr für die durch ϕr |[r,r+π ] gegebene Halbkreiskurve. Mit
dem Residuensatz 7.7 gilt dann
r
R(z) dz +
k
R( x ) dx =
−r
αr
R(z) dz = 2πi
resz=z j R,
j =1
Cr
denn für alle j gilt ja χ(Cr ; z j ) = 1. Andererseits gilt
π
π
it
it
0
αr
r
0
| R(r eit )| dt ≤ r
R(r e ) ri e dt ≤ r
R(z) dz =
M
M π r →∞
π=
→ 0.
2
r
r
0
Offenbar folgt hieraus die Behauptung.
∞
Beispiel.
−∞
dx
.
+1
x2
Es gilt z2 + 1 = (z − i )(z + i ). Also hat
resz=i
Mit Satz 7.16 folgt
∞
−∞
71 Das
1
z2 +1
z2
genau eine Polstelle in H, nämlich i, und es gilt
1
1
1
= lim
= .
+1
2i
z →i z + i
dx
1
= 2πi = π.
+1
2i
x2
ist das Analogon zur Tatsache, dass eine monoton wachsende, beschränkte Zahlenfolge konvergiert.
123
Kapitel 7. Der Residuensatz
Übungsaufgaben
Aufgabe 7.1. Diese Aufgabe ist eine erstaunliche Anwendung des Satzes von Rouché 7.12.
n
Sei f (z) = ∞
n=0 an z eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0, und sei z0 ∈ UR (0)
ein beliebiger Punkt. Zeigen Sie: Zu jeder offenen Umgebung z0 ∈ U ⊆ UR (0) gibt es ein z1 ∈ U und
ein N ∈ N mit
∞
N
an z0n =
f ( z0 ) =
n =0
an z1n .
n =0
Hinweis: Ohne Einschränkung ist f nicht konstant. Dann findet man ε > 0 und δ > 0 mit Uε (z0 ) ⊆ U
und | f (z0 ) − f (z)| ≥ δ für alle z ∈ C mit |z0 − z| = ε.
KAPITEL 8
Konforme Abbildungen
8.1
Motivation
Definition 8.1. Seien D1 , D2 ⊆ C offen. Genau dann heißt eine Abbildung ϕ : D1 → D2 konform
(oder biholomorph), wenn die folgenden Bedingungen gelten.
(i) ϕ ist bijektiv.
(ii) ϕ ist holomorph.
(iii) ϕ−1 ist holomorph.
Beispiel. Sei
M=
a b
c d
∈ GL2 (C)
und ϕ M die zugehörige Möbiustransformation.
(a) Ist c = 0, so ist offensichtlich ϕ M eine konforme Abbildung von C auf sich selbst.
(b) Ist c = 0, so ist ϕ M eine konforme Abbildung von C
{− dc } nach C
{ ac }.
Natürlich lässt sich ϕ M auf eine beliebige offene Teilmenge D1 von C bzw. C {− dc } einschränken.
Dann erhält man eine konforme Abbildung von D1 auf ϕ M ( D1 ). Wir werden gleich sehen, wieso dies
nützlich ist.
Definition 8.2. Zwei Gebiete D1 , D2 ⊆ C heißen konform äquivalent, wenn es eine konforme Abbildung ϕ : D1 → D2 gibt.72
72 Dieser
Begriff ist insofern wohldefiniert als die konforme Äquivalenz tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf
der Menge aller Gebiete in C definiert. Letzteres zu überprüfen ist eine leichte Übung.
124
125
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
Beispiel. (a) Die obere Halbebene H und die Einheitskreisscheibe E sind konform äquivalent, denn
die Möbiustransformation ϕ M mit
M=
1 −i
1 i
∈ GL2 (C)
ist nach dem letzten Beispiel konform und bildet H auf E ab,
denn:
z−i
< 1 ⇐⇒ |z − i |2 < |z + i |2
z+i
⇐⇒ (z − i )(z + i ) < (z + i )(z − i )
⇐⇒ |z|2 + i (z − z) + 1 < |z|2 − i (z − z) + 1
⇐⇒ 2i (z − z) < 0
z−z
⇐⇒
>0
2i
⇐⇒ Imz > 0
⇐⇒ z ∈ H.
#
(b) C und E sind nicht konform äquivalent,
denn: Eine holomorphe Abbildung f : C → E ist stets beschränkt, nach dem Satz von Liouville
4.28 also konstant. Insbesondere kann eine solche holomorphe Funktion f keine Bijektion sein. #
Lemma 8.3. Seien D1 , D2 ⊆ C Gebiete und ϕ : D1 → D2 eine Abbildung. Dann sind die folgenden
Aussagen äquivalent.
(i) ϕ ist konform.
(ii) ϕ ist bijektiv, holomorph und ϕ (z) hat auf D1 keine Nullstelle.
(iii) ϕ ist bijektiv und holomorph.
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass (ii) aus (i) folgt. Sei dafür ϕ konform. Dann gilt ϕ ◦ ϕ−1 = id;
also folgt nach der Kettenregel
ϕ ϕ −1 ( w ) ( ϕ −1 ) ( w ) = 1
Insbesondere gilt
ϕ ( ϕ−1 (w)) = 0
für alle w ∈ D2 .
für alle w ∈ D2
und wegen der Bijektivität von ϕ−1
ϕ (z) = 0
Dass (iii) aus (ii) folgt, ist trivial.
für alle z ∈ D1 .
126
8.1. Motivation
Es verbleibt zu zeigen, dass (i) aus (iii) folgt, dass also die Umkehrabbildung ϕ−1 einer bijektiven, holomorphen Funktion ϕ : D1 → D2 stets holomorph ist. Zunächst einmal ist ϕ−1 stetig,
denn: Sei U ⊆ D1 eine offene Teilmenge. Als injektive Funktion ist ϕ auf keiner Zusammenhangskomponente von U konstant, so dass wir das Korollar 1 des Satzes von der Gebietstreue
5.8 anwenden können, nach dem das Urbild ( ϕ−1 )−1 (U ) = ϕ(U ) unter der Umkehrabbildung
ϕ−1 offen ist.
#
Die Ableitung ϕ ist wegen der Injektivität auf keinem Teilgebiet von D1 identisch Null, so dass
nach Korollar 1 des Identitätssatzes 5.6 die Nullstellenmenge N ( ϕ ; 0) von ϕ nur aus isolierten
Punkten besteht und abgeschlossen in D1 ist. Wegen der Offenheit von ϕ besteht dann auch
N := ϕ( N ( ϕ ; 0)) nur aus isolierten Punkten und ist abgeschlossen in D2 .
Sei nun w0 ∈ D2
N mit Urbild z0 := ϕ−1 (w0 ). Dann gilt
ϕ ( z ) = ϕ ( z0 ) + ( z − z0 ) ψ ( z )
mit einer in z0 stetigen Funktion ψ : D1 → C mit ψ(z0 ) = ϕ (z0 ) = 0. Setzen wir nun z :=
ϕ−1 (w) für alle w ∈ D2 , so folgt
w = w0 + ( ϕ−1 (w) − ϕ−1 (w0 )) · ψ( ϕ−1 (w)).
Die Funktion q := ψ ◦ ϕ−1 ist stetig in w0 und erfüllt q(w0 ) = ψ(z0 ) = 0, es gibt also ein r ∈ R>0
mit
w − w0
∪
ϕ −1 ( w ) = ϕ −1 ( w0 ) +
für alle w ∈ Ur (w0 ) D2 .
q(w)
Hieraus lässt sich ablesen, dass der Differenzenquotient von ϕ−1 (w) in w0 durch die stetige
Funktion q(1w) gegeben ist, so dass ϕ−1 in w0 komplex differenzierbar ist und dort die Ableitung
( ϕ −1 ) ( w0 ) =
1
1
1
1
=
=
=
−
q ( w0 )
ψ ( z0 )
ϕ ( z0 )
ϕ ( ϕ 1 (w0 ))
besitzt.
Nach dem eben Gezeigten ist ϕ−1 auf D2 N holomorph. Andererseits ist ϕ−1 ja auf ganz
D2 stetig. Nach dem Riemann’schen Fortsetzungssatz (Übungsaufgabe 4.4) ist somit ϕ−1 holomorph auf ganz D2 .
Zwei Gebiete, die konform äquivalent sind, sollten dieselben funktionentheoretischen Eigenschaften haben. In der Tat gilt
Lemma 8.4. Seien D1 , D2 ⊆ C Gebiete und ϕ : D1 → D2 eine konforme Abbildung. Ist dann D1 ein
Elementargebiet, so auch D2 .
Beweis. Sei g : D2 → C holomorph. Wir müssen zeigen, dass g eine Stammfunktion G : D2 → C
hat. Es gilt das folgende kommutative Diagramm.
D1
g◦ϕ
ϕ
−→
C
D2
g
127
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
Da D1 ein Elementargebiet ist und ( g ◦ ϕ) ϕ : D1 → C eine holomorphe Abbildung, hat ( g ◦
ϕ) ϕ eine Stammfunktion F : D1 → C. Für G := F ◦ ϕ−1 gilt nun
G ( w ) = ( F ◦ ϕ −1 ) ( w )
= F ϕ −1 ( w ) ( ϕ −1 ) ( w )
= ( g ◦ ϕ ) ϕ −1 ( w ) · ϕ ϕ −1 ( w ) · ( ϕ −1 ) ( w )
= g ( w ) · ( ϕ ◦ ϕ −1 ) ( w )
= g ( w ).
Es ist also G eine Stammfunktion von g. Es folgt, dass D2 ein Elementargebiet ist.
Die große Fragestellung über konforme Äquivalenz ist offensichtlich die nach einem Vertretersystem der Äquivalenzklassen. Wir suchen also eine Liste möglichst schön beschreibbarer
Gebiete D ⊆ C, so dass jedes Gebiet in C äquivalent ist zu einem Gebiet aus der Liste und
keine zwei Gebiete in der Liste äquivalent sind.
8.2
Der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz
Für Elementargebiete ist die Antwort, wenn auch nicht ihr Beweis, auf diese Frage einfach.
Satz 8.5 (Kleiner Riemann’scher Abbildungssatz73 ). Sei ∅
ist D konform äquivalent zur Einheitskreisscheibe E.
D
C ein Elementargebiet.74 Dann
Den Beweis des Abbildungssatzes erfolgt in mehreren Schritten und füllt den Rest dieses Abschnitts aus.
1. Schritt: Vorbereitung
Lemma 8.6. Sei ∅ D1 C ein Elementargebiet. Dann ist D1 konform äquivalent zu einem Elementargebiet D2 mit 0 ∈ D2 ⊆ E.
Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein c ∈ C D1 . Die holomorphe Funktion f (z) = z − c hat
dann auf D1 keine Nullstelle. Da D1 ein Elementargebiet ist, hat f auf D1 nach Lemma 5.4 eine
holomorphe Quadratwurzel, also eine holomorphe Funktion g : D1 → C mit g2 (z) = f (z) auf
ganz D1 . Für z1 , z2 ∈ D1 gilt dann
g ( z1 ) = ± g ( z2 )
=⇒
f ( z1 ) = f ( z2 )
=⇒
z1 = z2 .
Hieraus folgt:
73 Wo
es einen kleinen Satz gibt, da gibt es auch einen großen: Der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz ist ein
Spezialfall des Großen Riemann’schen Abbildungssatzes, welcher besagt, dass jede einfach zusammenhängende
Riemann’sche Fläche konform äquivalent ist zu C, E oder C.
74 In unserer Definition ist auch die leere Menge ein Elementargebiet, für welches der Satz aber offensichtlich
falsch wäre. Weil das unintuitiv ist, wird oft auch die leere Menge als Gebiet verboten.
128
8.2. Der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz
(a) g ist injektiv, definiert also eine konforme Abbildung von D1 auf das Elementargebiet
g( D1 ), vgl. hierzu Lemma 8.4.
(b) Ist w ∈ g( D1 )
{0}, so folgt −w ∈ g( D1 ),
denn: Ist w = g(z1 ) = − g(z2 ) mit z1 , z2 ∈ D1 , so gilt nach dem obigen z1 = z2 . Setzen wir
dies in die ursprüngliche Gleichung ein, erhalten wir w = −w und somit w = 0.
#
Da g( D1 ) offen und nicht leer ist, gibt es ein z0 ∈ C {0} und ein r > 0 mit Ur (z0 ) ⊆ g( D1 )
und 0 ∈ Ur (z0 ). Dann gilt
|w + z0 | ≥ r für alle w ∈ g( D1 ),
denn: Gäbe es ein w ∈ g( D1 ) mit |w + z0 | < r, dann läge dieses in Ur (−z0 ) = −Ur (z0 ). Nach
∪
Punkt (b) und den Voraussetzungen an w und z0 ist aber der Durchschnitt −Ur (z0 )
g( D1 )
leer, was einen Widerspruch ergäbe.
#
Die Abbildung
h:w→
1
w + z0
ist für w = −z0 holomorph und injektiv, bildet also g( D1 ) auf das konform äquivalente Gebiet
h( g( D1 )) ab. Dieses ist beschränkt,
denn: Für w ∈ g( D1 ) gilt nach dem obigen |w + z0 | ≥ r und somit
1
w + z0
≤ 1r .
#
Nach Anwenden einer geeigneten Translation t : w → w + a erhalten wir ein konform äquivalentes beschränktes Elementargebiet t(h( g( D1 ))), das 0 enthält. Nach Anwenden einer geeigneten zentrischen Streckung s : w → · w erhalten wir ein konform äquivalentes Gebiet D2 ,
das wie verlangt 0 ∈ D2 ⊆ E erfüllt.
Wir nehmen das Lemma zum Anlass, im weiteren Beweis des Kleinen Riemann’schen Abbildungssatzes stets 0 ∈ D ⊆ E vorauszusetzen. Da für D = E nichts zu zeigen ist, können wir
im Folgenden sogar 0 ∈ D E annehmen.
2. Schritt: Rückführung auf ein Extremalproblem
Lemma 8.7. Sei D ein Elementargebiet mit 0 ∈ D
Abbildung ϕ : D → E mit ϕ(0) = 0 und | ϕ (0)| > 1.
Beweis. Für jedes a ∈ E
E. Dann gibt es eine injektive holomorphe
{0} gilt
Ma : =
1 −a
a −1
∈ GL2 (C).
Wie wir im letzten Abschnitt eingesehen haben, ist die Möbiustransformation ϕ a := ϕ Ma eine
konforme Abbildung von C { 1a } auf sich selbst. Nach Übungsaufgabe 5.4 ist die Einschränkung von ϕ a |E : E → E auf die offene Einheitskreisscheibe E ebenfalls konform. Offensichtlich
gilt dabei außerdem ϕ a ( a) = 0.
129
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
Nach Voraussetzung gibt es ein b ∈ E D. Das zugehörige ϕb ist daher auf D nullstellenfrei.
Da D ein Elementargebiet ist, gibt es eine holomorphe Abbildung h : D → C mit h2 (z) = ϕb (z)
für alle z ∈ D. Da außerdem
| ϕb (z)| < 1 für alle z ∈ D
gilt und ϕb auf D injektiv ist, gelten diese beiden Eigenschaften auch für h. Sei c := h(0).75
Dann ist auch ϕ := ϕc ◦ h eine injektive holomorphe Abbildung von D nach E. Weiter gilt
ϕ (0) =
h (0) − c
0
= 2
= 0.
c h (0) − 1
|c| − 1
Es verbleibt zu zeigen, dass die Ableitung von ϕ an der Stelle z = 0 betragsmäßig größer als 1
ist. Es gilt
ϕ (0) =
h (0) c h (0) − 1 − c h (0) h (0) − c
c h (0) − 1
2
=
h (0) | c |2 − 1
(|c|2
− 1)
2
=
h (0)
.
| c |2 − 1
(8.1)
Wir müssen nun den Term auf der rechten Seite noch genauer untersuchen. Es gilt h2 (z) =
ϕb (z), also insbesondere
2 h (0) h (0) = ( h2 ) (0) = ϕ b (0) =
( b 0 − 1) − b (0 − b )
= |b|2 − 1.
( b 0 − 1)2
Andererseits gilt
|c|2 = |h(0)|2 = | ϕb (0)| = |b|
und somit |c| = |h(0)| =
|b|. Setzen wir beides in (8.1) ein, erhalten wir
| ϕ (0)| =
| b |2 − 1
2 h (0) h (0)
|b| + 1
=
> 1,
=
2
2
2 h(0)(|c| − 1)
2 |c|(1 − |c| )
2 |b|
wobei wir in der Abschätzung benutzt haben, dass
2
|b| − 2
|b| + 1 > 0
⇐⇒
|b| − 1
>0
gilt.
Korollar. Sei D ein Elementargebiet mit 0 ∈ D
E, und sei weiter
K( D ) := { ϕ : D → E | ϕ injektiv, holomorph, ϕ(0) = 0}.
Falls es ein ψ ∈ K( D ) gibt mit
ψ (0) ≥ ϕ (0)
für alle ϕ ∈ K( D ),
dann ist dieses ψ eine konforme Abbildung von D nach E.
75 Das
geht, da wir 0 ∈ D angenommen hatten.
(8.2)
130
8.2. Der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz
Beweis. Angenommen ψ wäre nicht surjektiv, es gälte also ψ( D ) E. Nach Lemma 8.4 ist mit
D auch ψ( D ) ein Elementargebiet, so dass wir dann Lemma 8.7 auf ψ( D ) anwenden könnten.
Nach diesem gäbe es dann ein ϕ ∈ K(ψ( D )) mit | ϕ (0)| > 1. Es gälte dann ϕ ◦ ψ ∈ K( D ) und
( ϕ ◦ ψ ) (0) = ϕ ψ (0) ψ (0) = ϕ (0) · ψ (0) > ψ (0) .
Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von |ψ (0)|. Also ist ψ surjektiv und daher nach
Lemma 8.3 eine konforme Abbildung von D auf E.
Wir haben also den Beweis des Riemann’schen Abbildungssatzes darauf reduziert, die Voraussetzung (8.2) zu zeigen. Im nächsten Schritt gelingt uns dies mithilfe des Satzes von Montel.
3. Schritt: Rückführung auf den Satz von M ONTEL76
Sei K := sup ϕ∈K( D) | ϕ (0)|.77 Nach Definition des Supremums gibt es eine Folge ( ϕn )n∈N von
Funktionen ϕn ∈ K( D ), für die | ϕn (0)| mit n → ∞ gegen K geht.
Lemma 8.8 (Satz von Montel). Sei A ⊆ C offen und ( f n )n∈N eine Folge holomorpher Funktionen
f n : A → C, die auf A beschränkt ist, für die es also ein C > 0 gibt mit | f n (z)| ≤ C für alle n ∈ N und
alle z ∈ A. Dann besitzt ( f n )n∈N eine konvergente Teilfolge, und diese konvergiert auf jeder kompakten
Teilmenge von A gleichmäßig.
Beweis. Im 4. Schritt.
Wegen ϕn ( D ) ⊆ E ist die Folge ( ϕn )n∈N von oben beschränkt. Wir können also den Satz von
Montel 8.8 auf sie anwenden, der besagt, dass sie eine Teilfolge besitzt, die auf jeder kompakten
Teilmenge von D gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion ψ : D → C konvergiert. Bezeichnen
wir die Glieder dieser Teilfolge mit ϕnν .
Wegen ϕnν (0) = 0 und
ν→∞
ϕ n ν (0) → ψ (0)
gilt ψ(0) = 0. Da ( ϕnν )ν∈N nach dem Satz von Montel 8.8 auf Kompakta gleichmäßig konvergiert, können wir den Weierstraß’schen Approximationssatz 4.33 anwenden, und erhalten,
dass die Grenzfunktion ψ auf D holomorph ist, und dass ϕnν (z) → ψ (z) gilt für alle z ∈ D,
insbesondere also für z = 0. Wegen
ν→∞
| ϕnν (0)| → K
folgt also K = |ψ (0)|, insbesondere gilt K < ∞ und | ϕ (0)| ≤ |ψ (0)| für alle ϕ ∈ K( D ).
Mit der soeben gezeigten Maximalitätseigenschaft von ψ und id | D ∈ K( D ) folgt ψ (0) = 0, so
dass insbesondere ψ auf dem Gebiet nicht konstant sein kann.78 Da alle ϕnν injektiv sind, ist
somit nach dem Korollar des Satzes von Hurwitz 7.13 auch ψ injektiv.
76 Paul
Antoine Aristide Montel (1876 - 1975)
ist ein wohldefiniertes Element aus R≥0 ∪ {∞}, da mit idD ∈ K( D ) die Menge K( D ) nicht leer ist.
78 denn sonst wäre ja ψ ( z ) = 0 für alle z ∈ D
77 Das
131
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
Da die Folge ϕnν (z) für ν → ∞ auf ganz D gegen ψ(z) konvergiert und dort stets | ϕnν (z)| < 1
gilt, folgt |ψ(z)| ≤ 1 für alle z ∈ D. Gäbe es ein z0 ∈ D mit |ψ(z0 )| = 1, so nähme ψ in
diesem z0 ein Betragsmaximum, wäre also nach dem Maximumprinzip konstant, was bereits
ausgeschlossen wurde. Also gilt ψ( D ) ⊆ E.
Insgesamt liegt also ψ in K( D ) und erfüllt die Extremalbedingung (8.2). Mit den Ergebnissen
des 2. Schritts haben wir somit gezeigt, dass der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz aus dem
Satz von Montel folgt. Letzteren gilt es nun noch zu beweisen.
4. Schritt: Beweis des Satzes von Montel
Lemma 8.9. Sei A ⊆ C offen, C ∈ R>0 eine Konstante und ( f n )n∈N eine Folge holomorpher Funktionen
f n : A → C mit | f n (z)| ≤ C für alle n ∈ N und alle z ∈ A.
Es gebe eine dichte Teilmenge S ⊆ A, auf der ( f n )n∈N punktweise konvergiert. Dann konvergiert
( f n )n∈N auf A, und zwar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen.
Beweis. Es genügt zu zeigen, dass es für ein beliebiges Kompaktum K ⊆ A und jedes ε > 0 eine
natürliche Zahl N ∈ N gibt mit
| f m (z) − f n (z)| < ε für alle m, n > N und alle z ∈ K,
(8.3)
denn: Aus (8.3) folgt wegen der Vollständigkeit von C zunächst die Konvergenz von ( f n (z))n∈N
in jedem z ∈ K. Sei die Grenzfunktion durch
f (z) := lim f n (z)
n→∞
für alle z ∈ K
gegeben. Wählen wir n > N fest aber beliebig und nehmen in (8.3) den Limes für m → ∞, so
folgt
| f (z) − f n (z)| = lim | f m (z) − f n (z)| ≤ ε für alle z ∈ K.
m→∞
Die Folge ( f n )n∈N konvergiert auf K somit gleichmäßig gegen f .
#
Sei also K ⊆ A kompakt. Da A offen ist, gibt es zu jedem a ∈ K ⊆ A ein r a > 0 mit U2ra ( a) ⊆ A.
Die Familie {Ura ( a)} a∈K bildet eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, hat diese
Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung
N
K⊆
Urν ( aν )
mit a1 , . . . , a N ∈ K,
ν =1
wobei wir kurz rν := r aν geschrieben haben. Es folgt insbesondere
N
K⊆
Urν ( aν ) ⊆ A,
ν =1
132
8.2. Der Kleine Riemann’sche Abbildungssatz
wobei die zweite Inklusion nach Konstruktion der Umgebungen Urν ( aν ) gilt. Es genügt daher,
(8.3) für kompakte Mengen der Form
K = Ur ( a) ⊆ A
mit a ∈ A und r > 0
zu zeigen, wobei wir noch U2r ( a) ⊆ A annehmen dürfen.
r
Das wollen wir nun tun. Zu einem ε > 0 wählen wir also ein 24C
· ε > δ > 0. Seien z0 , z1 ∈
U 3 r ( a) mit |z0 − z1 | < δ. Nach der Cauchy’schen Integralformel 4.23 gilt dann für alle n ∈ N
2
| f n (z0 ) − f n (z1 )| =
f n (w)
f n (w)
−
w − z0
w − z1
1
2π i
|w− a|=2r
=
| z0 − z1 |
·
2π
|w− a|=2r
dw
f n (w)
dw .
(w − z0 )(w − z1 )
Für |w − a| = 2r und z ∈ U 3 r ( a) gilt
2
|w − z| = |(w − a) − (z − a)| ≥ |w − a| − |z − a| ≥ 2r −
3
r
r= .
2
2
Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so erhalten wir mit der Standardabschätzung für
Integrale
| f n (z0 ) − f n (z1 )| ≤
| z0 − z1 |
2π
2
r
2
· C · 4π r =
|z0 − z1 | · 8C
r
8C
ε
<
·ε·
= .
r
24C
r
3
Es gilt also
| f n (z0 ) − f n (z1 )| <
ε
3
für alle n ∈ N und alle z0 , z1 ∈ U 3 r ( a) mit |z0 − z1 | < δ.
2
(8.4)
Da S dicht in A ist, lässt sich Ur ( a) wie folgt überdecken.
Ur ( a) ⊆
b∈S
∪
Uδ (b).
U 3 r ( a)
2
Da Ur ( a) kompakt ist, hat diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung
M
Ur ( a) ⊆
Uδ (bµ )
µ =1
mit b1 , . . . , b M ∈ S
∪
U 3 r ( a ).
2
(8.5)
Sei z ∈ Ur ( a). Dann gibt es also ein µ ∈ {1, . . . , M } mit |z − bµ | < δ. Insbesondere können wir
(8.4) anwenden und erhalten für alle m, n, die größer als ein geeignetes Nµ ∈ N sind,
| f m (z) − f n (z)| ≤ | f m (z) − f m (bµ )| + | f m (bµ ) − f n (bµ )| + | f n (bµ ) − f n (z)|
133
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
(8.4)
ε
ε
+ | f m (bµ ) − f n (bµ )| +
3
3
ε
ε
ε
< + + = ε,
3 3 3
<
wobei wir für die letzte Abschätzung die punktweise Konvergenz der Folge ( f n )n∈N auf S ausgenutzt haben. Da die Überdeckung (8.5) endlich war, existiert das Maximum N := maxµM=1 Nµ ,
und für alle z ∈ Ur ( a) und alle m, n > N gilt die Behauptung.
Beweis des Satzes von Montel 8.8. Sei S eine abzählbare dichte Teilmenge von A, etwa
S = { x + iy ∈ A | x, y ∈ Q},
und sei s1 , s2 , . . . eine Abzählung von S. Die Folge ( f n (s1 ))n∈N ist beschränkt, also hat die Folge
( f n )n∈N nach dem Satz von B OLZANO-Weierstraß79 eine Teilfolge, die in s1 konvergiert. Eine
solche sei f 11 , f 12 , f 13 . . . . Ebenso hat diese wiederum eine Teilfolge f 21 , f 22 , f 23 , . . . , die in s2
konvergiert. Induktiv konstruiert man eine Folge von Folgen, derart dass jede dieser Folgen
Teilfolge der vorhergehenden ist und so dass die n-te Folge f n1 , f n2 , f n3 , . . . in s1 , . . . , sn konvergiert. Offensichtlich konvergiert dann die Diagonalfolge f 11 , f 22 , f 33 , . . . in allen s ∈ S. Der Satz
von Montel 8.8 folgt somit aus Lemma 8.9.
Insgesamt haben wir so den Kleinen Riemann’schen Abbildungssatz bewiesen.
8.3
Geometrische Charakterisierung von Elementargebieten
Ein Elementargebiet in C ist definitionsgemäß ein Gebiet auf dem jede holomorphe Funktion
eine Stammfunktion besitzt. Diese Definition ist zwar gut geeignet, um Sätze in der Integrationstheorie zu zeigen, gibt aber nicht gut darüber Aufschluss, ob ein gegebenes Gebiet ein
Elementargebiet ist oder nicht. Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, dass die Elementargebiete in C gerade diejenigen Gebiete in C sind, die einfach zusammenhängend sind, die also
anschaulich „keine Löcher haben“. Für dieses Resultat werden wir eine Umformulierung des
Cauchy’schen Integralsatzes verwenden, die wir nun zunächst herleiten wollen.
Lemma 8.10. Sei D ⊆ C offen und C eine (stetige) Kurve in D, die durch γ(t) mit t ∈ [ a, b] gegeben
ist. Dann existiert eine Unterteilung a = a0 < a1 < . . . < an = b und ein r ∈ R>0 , derart dass
Ur (zν ) ⊆ D
mit
und
γ([ aν , aν+1 ]) ⊆ Ur (zν )
zν := γ( aν )
∪
Ur (zν+1 )
gelten.
79 Bernardus
Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 - 1848)
für alle 0 ≤ ν ≤ n
für alle 0 ≤ ν ≤ n − 1
8.3. Geometrische Charakterisierung von Elementargebieten
134
Beweis. Die Kurve C = γ([ a, b]) ist als Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung wieder kompakt. Nach Lemma 4.22 gibt es daher ein r ∈ R>0 mit Ur ( a) ⊆ D für alle
a ∈ C. Da γ auf dem Kompaktum [ a, b] gleichmäßig stetig ist, gibt es zu diesem r ein δ > 0 mit
|γ(t) − γ(t )| < r für alle t, t ∈ [ a, b] mit |t − t | < δ.
Wir wählen nun ein n ∈ N mit
a+
der Länge
b− a
n
b− a
n
< δ und unterteilen das Intervall [ a, b] in die n Teilintervalle
b−a
b−a
ν, a +
( ν + 1)
n
n
mit ν ∈ {0, . . . , n − 1}
< δ. Seien
aν := a +
b−a
ν
n
und
für alle ν ∈ {0, . . . , n}.
zν := γ( aν )
Dann liegt nach Konstruktion Ur (zν ) in D, und für ein beliebiges t ∈ [ aν , aν+1 ] gilt |t − aν |, |t −
aν+1 | < δ. Mit der gleichmäßigen Stetigkeit von γ folgt dann
|γ(t) − zν | , |γ(t) − zν+1 | < r,
also γ(t) ∈ Ur (zν )
∪
Ur (zν+1 ).
Definition 8.11. Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph. Sei C eine Kurve in D. Sei die Notation
wie in Lemma 8.10. Dann ist das Integral von f längs C definiert als
n −1
z ν +1
f (z) dz :=
f (z) dz,
ν =0 z ν
C
wobei jeweils längs der Verbindungsstrecke zν nach zν+1 integriert wird.80
Lemma 8.12. (a) Obige Definition ist wohldefiniert in dem Sinne, dass sie unabhängig ist von der
Auswahl der Unterteilung.
(b) Ist C stückweise glatt, so ist die rechte Seite der Definition gerade das übliche Kurvenintegral.
Beweis. Um die Wohldefiniertheit (a) zu zeigen, genügt es offensichtlich zu zeigen, dass sich
der Wert des Integrals beim Übergang zu einer Verfeinerung der Unterteilung nicht ändert.
Genauer sei a = a0 < a1 < . . . < an = b eine Unterteilung von [ a, b] wie in Lemma 8.10 und
a = a˜ 0 < a˜ 1 < . . . < a˜ m = b eine weitere solche Unterteilung mit m ≥ n und { a0 , . . . , an } ⊆
{ a˜ 0 , . . . , a˜ m }. Dann gilt
n −1
z ν +1
m −1
γ( a˜ µ+1 )
f (z) dz =
ν =0 z ν
f (z) dz,
µ =0
γ( a˜ µ )
denn: Betrachten wir aν = a˜ µ < a˜ µ+1 < . . . < a˜ µ+k = aν+1 mit einem k > 0. Nach Voraussetzung
liegen all diese Punkte in der offenen Kreisscheibe Ur (zν ). Da letztere konvex ist, sind damit
80 Man
beachte, dass nach Lemma 8.10 die Punkte zν , zν+1 samt ihrer Verbindungsstrecke in D liegen.
135
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
auch alle Verbindungsstrecken ganz enthalten. Da f (z) auf Ur (zν ) holomorph ist, folgt mit dem
Cauchy’schen Integralsatz für Sterngebiete 4.20
f (z) dz =
zν
µ+k −1 γ( a˜ κ +1 )
γ ( a ν +1 )
z ν +1
f (z) dz.
f (z) dz =
κ =µ
γ( aν )
γ( a˜ κ )
#
Um Behauptung (b) zu zeigen, nehmen wir nun an, C sei stückweise glatt. Insbesondere trifft
dies dann auch auf das Teilstück von zν nach zν+1 zu, also ist dieses zusammen mit der Strecke von zν nach zν+1 eine geschlossene stückweise glatte Kurve im Sterngebiet Ur (zν ), also ist
wieder nach dem Cauchy’schen Integralsatz für Sterngebiete 4.20 das Integral von f hierüber
gleich Null.
Definition 8.13. Sei D ⊆ C offen, und seien C1 und C2 zwei Kurven in D, die für t ∈ [0, 1] durch
γ1 (t) bzw. γ2 (t) gegeben sind. Dabei gelte
γ1 (0) = γ2 (0)
und
γ1 (1) = γ2 (1),
es sollen also die Anfangs- und die Endpunkte von C1 und C2 jeweils übereinstimmen. Genau dann
heißen C1 und C2 homotop in D (mit festgehaltenem Anfangs- und Endpunkt), wenn es eine stetige
Abbildung H : [0, 1] × [0, 1] → D gibt mit
(a) H (t, 0) = γ1 (t) und H (t, 1) = γ2 (t).
(b) Für alle s ∈ [0, 1] gilt
H (0, s) = γ1 (0) = γ2 (0)
und
H (1, s) = γ1 (1) = γ2 (1).
In diesem Fall nennt man auch H eine Homotopie von C1 nach C2 in D.
Diese Definition bedeutet gerade, dass man C1 in D stetig nach C2 deformieren kann, wobei
Anfangs- und Endpunkt fest bleiben.
8.3. Geometrische Charakterisierung von Elementargebieten
136
Beispiel. Ist D konvex, so sind je zwei Kurven C1 und C2 in D mit gleichem Anfangs- und Endpunkt
homotop in D. Eine Abbildung H mit den geforderten Eigenschaften ist
H (t, s) = γ1 (t) + s (γ2 (t) − γ1 (t))
mit s, t ∈ [0, 1].
Abbildung 8.1: Im konvexen Gebiet D = C sind die gerade Strecke von 0 nach 1 und der
Halbkreisbogen von Radius 12 um 12 homotop. Eingezeichnet sind die Kurven H (t, s) mit s ∈
{0, 41 , 12 , 34 , 1}.
Definition 8.14. (a) Sei D ⊆ C offen und C eine geschlossene Kurve in D mit Anfangs- und Endpunkt z0 . Genau dann nennen wir C nullhomotop in D, falls C in D zur Punktkurve C˙ z0
homotop ist.81
(b) Ein Gebiet D heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve in D nullhomotop
in D ist.
Abbildung 8.2: Anschaulich ist ein Gebiet D einfach zusammenhängend genau dann, wenn es
„keine Löcher“ hat: Im Bild lässt sich die rot eingezeichnete geschlossene Kurve wegen des
„Lochs“ im Gebiet D nicht zur Punktkurve C˙ z0 „zusammenziehen“.
Satz 8.15 (Homotopieversion des Cauchy’schen Integralsatzes). (a) Sei D ⊆ C offen, und seien C, C zwei Kurven in D mit gleichem Anfangs- und Endpunkten, die in D homotop sind. Sei
weiter f : D → C holomorph. Dann gilt
f (z) dz =
C
81 Hierbei
ist C˙ z0 gegeben durch γ(t) = z0 für alle t ∈ [0, 1].
f (z) dz.
C
137
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
(b) Sei D ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann ist
f (z) dz = 0
C
für alle geschlossenen Kurven C in D.
Vor dem Satz zeigen wir noch ein technisches Lemma, das wir für den Beweis benötigen.
Lemma 8.16. Sei D ⊆ C offen, sei Q := [0, 1] × [0, 1], und sei H : Q → D eine stetige Abbildung.
Das Bild H (∂Q) des positiv orientierten Randes von Q ist gegeben als Summe C1 + C2 + C3 + C4 ,
wobei für k ∈ {1, 2, 3, 4} die Kurve Ck durch γk mit
γ1 (t)
γ2 (t)
γ3 (t)
γ4 (t)
:=
:=
:=
:=
H (t, 0)
H (1, t − 1)
H (3 − t, 1)
H (0, 4 − t)
für t
für t
für t
für t
∈ [0, 1],
∈ [1, 2],
∈ [2, 3],
∈ [3, 4]
parametrisiert sei.
Für jede holomorphe Abbildung f : D → C gilt dann
f (z) dz = 0.
H (∂Q)
Beweis. Die stetige Funktion H ist auf dem Kompaktum Q gleichmäßig stetig. Ähnlich wie
beim Beweis von Lemma 8.10 kann man daher unter Benutzung von Lemma 4.22 eine derartige
Unterteilung von Q in n2 Teilquadrate
Qµν
mit µ, ν ∈ {0, . . . , n − 1}
gleicher Kantenlänge finden, dass die Bildmengen H ( Qµν ) jeweils ganz in einer offenen Kreisscheibe Uµν ⊆ D liegen. Da H (∂Qµν ) eine geschlossene Kurve ist, gilt dann nach dem Cauchy’schen Integralsatz 4.2082
f (z) dz = 0.
H (∂Qµν )
82 Diesen dürfen wir anwenden, da das Integral längs der (nur stetigen) Kurve
das Integral längs einer stückweise glatten Kurve gegeben ist.
H (∂Qµν ) laut Definition 8.11 durch
138
8.3. Geometrische Charakterisierung von Elementargebieten
Mit
f (z) dz =
f (z) dz
0≤µ,ν<n
H (∂Q)
H (∂Qµν )
folgt hieraus die Behauptung.
Beweis von Satz 8.15. (b) folgt sofort aus (a), denn für die konstante Kurve Cz0 gilt ja
f (z) dz = 0.
Cz0
Wir wollen nun Behauptung (a) zeigen. Sei dafür in der Notation von Lemma 8.16 mit H : Q →
D eine Homotopie von C nach C gegeben; insbesondere gelte also C = C1 und (C )−1 = C3 ,
und die beiden Kurven C2 und C4 sind konstant. Nach Lemma 8.16 gilt somit
0=
f (z) dz + 0 −
f (z) dz =
C
∂H ( Q)
f (z) dz + 0,
C
und der Satz folgt.
Satz 8.17. Sei D ⊆ C ein Gebiet. Dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent.
(i) D ist ein Elementargebiet.
(ii) D ist einfach zusammenhängend.
Beweis. Für leeres D ist nichts zu zeigen. Sei also für den Rest des Beweises D nicht leer.
Sei zunächst D einfach zusammenhängend, und sei z1 ∈ D fest gewählt. Zu einer beliebigen
holomorphe Abbildung f : D → C definieren wir dann
z
F (z) :=
f (w) dw
für alle z ∈ D.
z1
Integriert wird hierbei entlang einer beliebigen Kurve von z1 nach z. Das ist möglich, da
D einfach zusammenhängend ist, und das Integral somit nach der Homotopieversion des
Cauchy’schen Integralsatzes 8.15 unabhängig von der Auswahl der Kurve ist. Genau wie im
Beweis des Cauchy’schen Integralsatzes 4.20 zeigt man, dass F holomorph ist und F = f erfüllt. Es folgt, dass D ein Elementargebiet ist.
Sei nun umgekehrt D ein Elementargebiet. Nach dem Kleinen Riemann’schen Abbildungssatz
8.5 ist dann D = C, oder D ist konform äquivalent zu E. C und E sind beide konvex und insbesondere einfach zusammenhängend. Dass D einfach zusammenhängend ist, folgt nun, wenn
wir zeigen können, dass Nullhomotopie von Kurven unter konformen Abbildungen erhalten
wird. Dies folgt aus Übungsaufgabe 8.1.
139
Kapitel 8. Konforme Abbildungen
Korollar. Je zwei nichtleere einfach zusammenhängende Gebiete in der komplexen Ebene sind homöomorph.
Beweis. Nach Satz 8.17 sind einfach zusammenhängende Gebiete dasselbe wie Elementargebiete. Nach dem Kleinen Riemann’schen Abbildungssatz gibt es bis auf konforme Äquivalenz
genau zwei nichtleere Elementargebiete, nämlich C und E. Die Behauptung folgt also, wenn
wir zeigen können, dass C und E homöomorph sind. Tatsächlich ist
ϕ:
C
z
→ E,
→ 1+|z z| ,
ein Homöomorphismus,
denn: Zunächst einmal gilt
|z|
z
<1
=
1 + |z|
1 + |z|
und somit tatsächlich ϕ(C) ⊆ E. Dass hier in Wirklichkeit Gleichheit herrscht, dass also ϕ surjektiv ist, zeigen wir zusammen mit seiner Injektivität durch Angabe einer Umkehrabbildung:
Wie man leicht nachrechnet (Übung!), ist diese durch
ϕ −1 :
E
w
→ C,
→ 1−|ww|
gegeben. Dass sowohl ϕ als auch ϕ−1 stetig sind, folgt leicht aus der Stetigkeit von idC bzw.
idE und den Rechenregeln aus Lemma 3.5.
#
Übungsaufgaben
Aufgabe 8.1. Seien D1 , D2 ⊆ C offen, und sei ϕ : D1 → D2 ein Homöomorphismus. Zeigen Sie: Ist
dann H eine Homotopie in D1 , so ist ϕ ◦ H eine Homotopie in D2 .
KAPITEL 9
Bildbereiche holomorpher Funktionen
In diesem Kapitel untersuchen wir Bilder holomorpher Funktionen. Die generische Fragestellung ist hier die folgende:
Sei F die Familie holomorpher Funktionen auf einem Gebiet D ⊆ C, die eine bestimmte Eigenschaft P erfüllen. Wie sieht dann für alle f ∈ F das Bild f ( D ) aus?
Wir haben bereits Ergebnisse dieser Art bewiesen, wie etwa den Satz von Casorati-Weierstraß
6.11. Dieses Kapitel wird in einer Verschärfung dieses Satzes münden, dem Großen Satz von Picard 9.16. Bevor wir diesen zeigen können, müssen wir noch eine Reihe weiterer Resultate über
den Bildbereich holomorpher Funktionen zeigen, die aber auch jeweils für sich von Interesse
sind.
9.1
Der Satz von Bloch ( )
Passend zur Notation der Einleitung sei in diesem Abschnitt D = E die offene Einheitskreisscheibe und D ⊆ C ein Gebiet, das den Abschluss E von E in C enthält. Sei weiter FE die Menge aller holomorphen Funktionen f : D → C mit f (0) = 0 und f (0) = 1. Wegen f (0) = 1 = 0
ist für jedes f ∈ FE das Bild f (E) eine offene Menge und enthält so eine offene Kreisscheibe
von positivem Radius. Wir wollen nun mit dem Satz von B LOCH83 zeigen, dass es eine Unterschranke für den größtmöglichen Radius einer solchen Kreisscheibe gibt. Dafür zeigen wir
zunächst einige vorbereitende Lemmata.
Lemma 9.1. Sei C ∈ R>0 , und sei f : E → C holomorph mit
f (0) = 0,
f (0) = 1
und
Dann gilt C ≥ 1 und f (E) ⊇ U(6C)−1 (0).
83 André
Bloch (1893-1948)
140
| f (z)| ≤ C für alle z ∈ E.
141
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
Beweis. Sei 0 < r < 1 beliebig. Nach den Cauchy’schen Ungleichungen 4.26 gilt dann
| f (n) (0)| ≤ C
n!
rn
für alle n ∈ N
und somit auch sofort | f (n) (0)| ≤ Cn! für alle n ∈ N. Die holomorphe Funktion f ist nach dem
Satz von Taylor 4.31 auf E durch ihre Taylorentwicklung
∞
an zn
f (z) =
mit an =
n =0
f ( n ) (0)
für alle n ∈ N
n!
mit Entwicklungspunkt z = 0 gegeben, so dass wir stattdessen bequemer auch | an | ≤ C für
alle n ∈ N schreiben können. Insbesondere gilt mit 1 = | a1 | ≤ C die erste Behauptung.
Es liegen dann alle z ∈ C mit |z| = (4C )−1 in der offenen Einheitskreisscheibe E. Betrachten
wir f auf dieser Kreislinie, so gilt wegen a0 = 0 und a1 = 1 die Abschätzung
∞
an zn
| f (z)| ≥ |z| −
(Minus-Dreiecksungleichung)
n =2
∞
≥ (4C )−1 −
| an | (4C )−n
(Dreiecksungleichung)
n =2
∞
C (4C )−n
≥ (4C )−1 −
(| an | ≤ C für alle n ∈ N)
n =2
= (4C )−1 − C ·
1
− (1 + (4C )−1 )
1 − (4C )−1
(geometrische Reihe)
= (4C )−1 − (16C − 4)−1
≥ (6C )−1 .
Betrachten wir nun ein w ∈ U(6C)−1 (0), so hat die Funktion g(z) := f (z) − w in E eine Nullstelle,
denn: Für |z| = (4C )−1 gilt
| f (z) − g(z)| = |w| < (6C )−1 ≤ | f (z)|,
so dass nach dem Satz von Rouché 7.12 die Funktionen f (z) und g(z) in U(4C)−1 (0) dieselbe
Anzahl von Nullstellen haben. Die Behauptung folgt mit f (0) = 0.
#
Für ein fest vorgegebenes w ∈ U(6C)−1 (0) gibt es also ein z ∈ E mit f (z) = w, was das Lemma
zeigt.
Lemma 9.2. Sei R > 0 eine reelle Zahl, und sei g : UR (0) → C eine holomorphe Funktion mit
g(0) = 0,
| g (0)| =: C1 > 0 und | g(z)| ≤ C2 für alle z ∈ UR (0).
Dann gilt
g(UR (0)) ⊇ Ur (0)
mit r =
R2 C12
.
6C2
142
9.1. Der Satz von Bloch ( )
−1
Beweis. Für alle z ∈ E setzen wir f (z) := Rg (0)
g( Rz). Dann erfüllt f offensichtlich die
C2
Voraussetzungen von Lemma 9.1 mit C = RC1 . Es folgt also
f (E) ⊇ U RC1 (0).
6C2
Das Lemma folgt unmittelbar, wenn wir in diese Inklusion die Definition von f einsetzen.
Lemma 9.3. Sei z0 ∈ C beliebig, und sei R > 0 eine reelle Zahl. Dann ist jede holomorphe Funktion
f : UR (z0 ) → C mit
| f (z) − f (z0 )| < | f (z0 )| für alle z ∈ U˙ R (z0 )
injektiv.
Beweis. Seien z1 = z2 zwei verschiedene Punkte in UR (z0 ). Sei weiter C das durch γ(t) =
z1 + t(z2 − z1 ) mit t ∈ [0, 1] gegebene Geradenstück. Dann folgt mit der Integraldreiecksungleichung
| f (z1 ) − f (z2 )| =
f (z) dz
C
≥
f (z) − f (z0 ) dz
f (z0 ) dz −
C
C
≥ | f (z0 )| · |z1 − z2 | −
| f (z) − f (z0 )| |dz|.84
C
Nach Voraussetzung ist dies eine echt positive Zahl; es folgt also f (z1 ) = f (z2 ) und somit die
Injektivität von f .
Satz 9.4 (Bloch). Sei f ∈ FE . Dann enthält E eine offene Kreisscheibe U, so dass die folgenden beiden
Aussagen gelten.
(i) f |U ist injektiv.
(ii) f (U ) enthält eine offene Kreisscheibe von Radius
1
72 .
Beweis. Wir wollen zunächst eine offene Kreisscheibe U finden, auf die eingeschränkt f injektiv
ist. Das tun wir, indem wir für ein geeignetes U die Voraussetzungen von Lemma 9.3 zeigen.
Wir interessieren uns also für die Ableitung f von f .
Für r ∈ [0, 1] sei
K (r ) := max | f (z)|.
|z|=r
Die Funktion K : [0, 1] → R ist offenbar stetig und nach dem Maximumprinzip auf Kompakta (Korollar 3 des Satzes von der Gebietstreue 5.8) außerdem monoton wachsend. Setzen wir
weiterhin
h (r ) : = (1 − r ) K (r ),
84 Wir
haben die Schreibweise |dz| nicht eingeführt. Gemeint ist hier das Integral
1
0
| f (γ(t)) − f (z0 )| |γ (t)| dt.
143
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
so erhalten wir in h : [0, 1] → R eine stetige Funktion mit h(0) = 1 und h(1) = 0. Mit r0 :=
suph(r)=1 r gilt dann aus Stetigkeitsgründen h(r0 ) = 1 und h(r ) < 1 für r > r0 . Wegen h(1) = 0
folgt außerdem r0 < 1.
Wählen wir nun ein z0 mit |z0 | = r0 und | f (z0 )| = K (r0 ), so gilt nach Definition von r0
| f (z0 )| =
1
.
1 − r0
(9.1)
Mit der Minus-Dreiecksungleichung zeigt man leicht U 1−r0 (z0 ) ⊆ U 1+r0 (0). Für ein beliebiges
2
z ∈ U 1−r0 (z0 ) gilt also
2
2
| f (z)| ≤ K (|z|)
1 + r0
≤K
2
=
1+r0
2
1+r0
1− 2
<
2
.
1 − r0
(Definition von K (·))
(Monotonie von K (·) und |z| <
h
1+r0
2 )
(Definition von h(·))
(h(r ) < 1 für alle r > r0 )
Mit der Dreiecksungleichung und (9.1) folgt
| f (z) − f (z0 )| ≤ | f (z)| + | f (z0 )| <
3
1 − r0
für alle z ∈ U 1−r0 (z0 ).
2
Mit dem Lemma von Schwarz 5.10 gilt sogar
| f (z) − f (z0 )| <
6 | z − z0 |
(1 − r0 )2
für alle z ∈ U 1−r0 (z0 ),
denn: Betrachten wir die auf E definierte Abbildung
F := ϕ T˜ ◦ ϕ D˜ ◦ f ◦ ϕ T ◦ ϕ D ,
2
(9.2)
144
9.1. Der Satz von Bloch ( )
˜ D
˜ } die durch
wobei ϕ· mit · ∈ { D, T, T,
D=
1−r0
2
0
0
,
1
1 z0
,
0 1
T=
T˜ =
1 − f ( z0 )
0
1
und
1−r0
3
˜ =
D
0
0
1
gegebenen Möbiustransformationen seien.85 Offensichtlich gilt F (0) = 0. Mit (9.2) lässt sich
außerdem leicht F (E) ⊆ E zeigen, so dass für F die Voraussetzungen des Lemmas von Schwarz
5.10 erfüllt sind. Nach diesem gilt dann
| F (z)| ≤ |z|
für alle z ∈ E
2 | z − z0 |
1 − r0
1 − r0
2 | z − z0 |
( f (z) − f (z0 )) ≤
⇐⇒
3
1 − r0
⇐⇒ |( ϕT˜ ◦ ϕ D˜ )( f (z))| ≤
für alle z ∈ U 1−r0 (z0 )
2
für alle z ∈ U 1−r0 (z0 )
2
und somit die Behauptung.
#
Insbesondere gilt mit (9.1)
1−r
3 6 60
1
| f (z) − f (z0 )| <
=
= | f (z0 )|
2
2 (1 − r0 )
1 − r0
für alle z ∈ U 1−r0 (z0 ).
6
Nach Lemma 9.3 ist dann die Einschränkung von f auf U 1−r0 (z0 ) injektiv. U 1−r0 (z0 ) ist demnach
6
6
eine mögliche Wahl für die offene Kreisscheibe U aus Teil (i) des Satzes. Es bleibt Teil (ii) des
1
Satzes zu zeigen, dass nämlich U 1−r0 (z0 ) eine offene Kreisscheibe vom Radius 72
enthält. Das
6
wollen wir tun, indem wir die offene Kreisscheibe U 1−r0 (z0 ) nach Null verschieben und dann
eine geeignete Funktion g wie in Lemma 9.2 finden.
6
Betrachten wir also die auf U 1−r0 (0) definierte Abbildung
6
g := ϕ Tˆ ◦ f ◦ ϕ T
mit den durch
T=
1 z0
,
0 1
Tˆ =
1 − f ( z0 )
0
1
gegebenen Möbiustransformationen ϕ T und ϕ Tˆ . Mit (9.1) gilt offensichtlich
g (0) = 0
und
| g (0)| = | f (z0 )| =
1
> 0.
1 − r0
Für z ∈ U 1−r0 (0) liegt das durch γ(t) = z0 + tz mit t ∈ [0, 1] gegebene Geradenstück C ganz in
6
der offenen Kreisscheibe U 1−r0 (z0 ) ⊆ U 1−r0 (z0 ). Es gilt daher
6
2
| g(z)| =
f (w) dw
C
85 Wir
erinnern uns, dass ϕ D und ϕ D˜ Drehstreckungen und ϕ T und ϕ T˜ Translationen sind.
145
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
2 |z|
1 − r0
2 1−6r0
1
<
= .
1 − r0
3
(Standardabschätzung und | f (w)| <
<
2
1−r0 )
Lemma 9.2 besagt nun, dass das Bild g(U 1−r0 (0)) die offene Kreisscheibe Ur (0) mit
6
r=
1−r0
6
2
1
1−r0
·
6·
1
3
2
=
1
72
enthält. Der Satz folgt nach Übersetzen in eine Aussage über f .
Korollar. Sei R > 0 eine reelle Zahl, und sei
RD := {z ∈ C | z = Rw für ein w ∈ D }.
Dann enthält das Bild f (UR (0)) einer jeden holomorphen Funktion f : RD → C eine offene KreisR | f (0)|
scheibe vom Radius 72 .
Beweis. Für f (0) = 0 ist offenbar die leere Kreisscheibe in f (UR (0)) enthalten, so dass wir für
den weiteren Beweis ohne Einschränkung f (0) = 0 annehmen können. Es bleibt nun aber nur
noch der Bloch’sche Satz 9.4 auf die Funktion
g(z) :=
f ( Rz) − f (0)
R f (0)
anzuwenden. Das ist erlaubt, da g offensichtlich in FE liegt.
Bemerkung 9.5. Sei für jedes f ∈ FE die Zahl β( f ) gegeben als das Supremum aller reellen Zahlen r,
für die es eine offene Kreisscheibe U ⊆ E gibt, so dass f |U injektiv ist und f (U ) eine offene Kreisscheibe
1
≤ β ( f ).
vom Radius r enthält. Der Satz von Bloch 9.4 besagt dann 72
Für die Bloch’sche Konstante B := inf β( f ) gilt deshalb und wegen idD ∈ FE die Abschätzung
f ∈FE
1
< B ≤ 1.
72
Tatsächlich sind noch sehr viel bessere Abschätzungen von B bekannt; man weiß86
0, 4332 < B ≤ 0, 4719.
Den tatsächlichen Wert von B kennt man nicht.
86 Die obere Schranke wurde 1937 von L ARS VALERIAN A HLFORS (1907-1996) und H ELMUT G RUNSKY (19041986) bewiesen, die untere in einer Reihe von Artikeln bis zurzeit 2003 von mehreren Autoren. Die Grundidee
hierzu lieferte M ARIO B ONK im Jahr 1990.
146
9.1. Der Satz von Bloch ( )
Ganz ähnlich wie die Bloch’sche Konstante lässt sich die etwas einfachere L ANDAU’sche Konstante87 einführen.
Definition 9.6. Sei für jedes f ∈ FE
λ( f ) := sup{r ∈ R | r ist Radius einer offenen Kreisscheibe in f (E)}.
Die Landau’sche Konstante L ist dann definiert als L := inf λ( f ).
f ∈ FE
Auch hier bekommt man schnell Abschätzungen geliefert: Es gilt
B ≤ L ≤ 1,
wobei die Abschätzung nach unten trivial ist und die Abschätzung nach oben wie für die
Bloch’sche Konstante geschieht. Wieder kann man die Abschätzung signifikant verbessern; es
gilt88
0, 5 < L ≤ 0, 5433
und insbesondere B < L.
Proposition 9.7. Für jedes f ∈ FE enthält f (E) eine offene Kreisscheibe vom Radius L.
Beweis. Wir zeigen die etwas stärkere Aussage, dass für jedes f ∈ FE das Bild f (E) eine offene
Kreisscheibe vom Radius λ( f ) enthält. Nach Definition von λ( f ) gibt es für jedes n ∈ N>0 ein
zn ∈ f (E) mit Uλ( f )− 1 (zn ) ⊆ f (E). Da f (E) kompakt ist, gibt es ein z0 ∈ f (E), gegen den eine
n
Teilfolge von (zn ) konvergiert, ohne Einschränkung sei dies bereits die Folge (zn ) selbst.
Für ein beliebiges z ∈ Uλ( f ) (z0 ) wählen wir ein n( f ) mit
| z − z0 | < λ ( f ) −
1
.
n( f )
Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein n(z) > n( f ) mit
| z n − z0 | < λ ( f ) −
1
− | z − z0 |
n( f )
für alle n ≥ n(z).
Es folgt
| z − z n | ≤ | z − z0 | + | z0 − z n | < λ ( f ) −
1
1
< λ( f ) −
n( f )
n
für alle n ≥ n(z).
Da z ∈ Uλ( f ) (z0 ) beliebig war, folgt Uλ( f ) (z0 ) ⊆ f (E) und somit die Proposition.
Korollar. Sei R > 0 eine reelle Zahl. Dann enthält das Bild f (UR (0)) einer jeden holomorphen Funktion f : RD → C eine offene Kreisscheibe vom Radius R | f (0)| L.
Beweis. Analog zum Beweis des Korollars des Bloch’schen Satzes 9.4.
87 Edmund
Georg Hermann Landau (1877-1938)
H ANS A DOLPH R ADEMACHER (1892-1969) bewiesen, die untere 1938 von
R APHAEL M ITCHEL R OBINSON (1911-1995).
88 Die obere Schranke wurde 1943 von
147
9.2
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
Der Kleine Satz von Picard ( )
Das Ziel dieses Abschnitts, der Kleine Satz von Picard, ist eine Verschärfung des Satzes von
Liouville 4.28. Statt der Beschränktheit der ganzen Funktion wird für ihre Konstanz nur noch
gefordert, dass ihr Wertebereich zwei komplexe Zahlen auslässt. Wie im vergangenen Abschnitt auch zeigen wir zunächst einige vorbereitende Lemmata.
Lemma 9.8. Sei D ein Elementargebiet und f : D → C holomorph mit {0, 1}
gibt es eine holomorphe Funktion g : D → C mit
f (z) = − exp(πi cosh(2g(z)))
∪
f ( D ) = ∅. Dann
für alle z ∈ D.
Beweis. Da f auf dem Elementargebiet D holomorph ist und keine Nullstelle hat, gibt es nach
Lemma 5.4 eine holomorphe Funktion h : D → C mit f (z) = eh(z) .
Nähme nun die Funktion
h(z)
2πi
einen ganzzahligen Wert an, so wäre im Widerspruch zur Vorh(z)
aussetzung der Wert von f an dieser Stelle gleich 1. Da 2πi also insbesondere die Werte 0
und 1 nicht annimmt, ist es, wieder mit Lemma 5.4, möglich, auf D holomorphe Funktionen
Q1 : D → C und Q2 : D → C mit
Q1 ( z )2 =
h(z)
2πi
und
Q2 ( z )2 =
h(z)
−1
2πi
für alle z ∈ D
zu definieren und diese zu einer holomorphen Funktion H : D → C mit
H ( z ) : = Q1 ( z ) − Q2 ( z )
für alle z ∈ D
zusammenzufügen. Nach Konstruktion hat H (z) auf D keine Nullstellen, so dass wir wie gerade eben eine holomorphe Funktion g : D → C finden mit H (z) = e g(z) . Es folgt89
1 2g(z)
(e
+ e−2g(z) ) + 1
2
1
= ( e g ( z ) + e − g ( z ) )2
2
2
1
1
=
H (z) +
2
H (z)
h(z)
=
.
πi
cosh(2g(z)) + 1 =
Setzen wir dies in die Definition von h ein, so erhalten wir
f (z) = eh(z) = exp(πi cosh(2g(z)) + πi ) = − exp(πi cosh(2g(z))).
89 Die
letzte Gleichheit erfordert hierbei etwas Rechenarbeit. Die Durchführung dauert zwar ein wenig, kommt
aber ohne besondere Tricks aus.
9.2. Der Kleine Satz von Picard ( )
148
Lemma 9.9. Seien D, f und g wie in Lemma 9.8. Dann enthält g( D ) keine offene Kreisscheibe von
Radius 1.
Beweis. Wir zeigen das Lemma, indem wir eine Menge M ⊆ C angeben, die mit g( D ) leeren
Schnitt haben muss, und deren Komplement keine offene Kreisscheibe von Radius 1 enthält.
Wir wollen zeigen, dass
√
√
mπ
M := {± log( n + n − 1) +
i | m ∈ Z, n ∈ Z>0 }
2
√
√
√
√
eine mögliche Wahl ist. Wegen log( n + 1 + n) − log( n + n − 1) > 0 sind die Elemente von M die Eckpunkte einer Parkettierung der komplexen Ebene mit Rechtecken positiver
Breite. Genauer gelten für die Abmessungen dieser Rechtecke die Abschätzungen
√
π
Höhe =
< 3
2
und
√
√
√
√
√
Breite = log( n + 1 + n) − log( n + n − 1) < log( 2 + 1) − log(1) < log(e) = 1.
Mit P YTHAGORAS90 folgt, dass die Länge einer jeden Rechtecksdiagonalen echt kleiner ist als
2, so dass C M keine offene Kreisscheibe von Radius 1 enthalten kann.
Abbildung 9.1: Die Werte für −1 ≤ m ≤ 3 und 1 ≤ n ≤ 7.
Es verbleibt also noch zu zeigen, dass g( D ) mit M leeren Schnitt hat. Nehmen wir dafür an, es
gäbe einen Punkt z0 ∈ D gibt mit
√
√
mπ
g(z0 ) = ± log( n + n − 1) +
i
2
90 Pythagoras
von Samos (ca. 570-510 v. Chr.)
149
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
für geeignete m ∈ Z und n ∈ Z>0 . Dann gälte
1 2g(z0 )
e
+ e−2g(z0 )
2
√
√
√
1 πim √
=
e ( n + n − 1)±2 + e−πim ( n + n − 1)∓2
2
√
√
√
√
1
=
(−1)m ( n + n − 1)±2 + ( n − n − 1)±2
2
= (−1)m (2n − 1),
cosh(2g(z0 )) =
wobei wir beim vorletzten Gleichheitszeichen ausgenutzt haben, dass nach der 3. binomischen
Formel
√
√
√
√
( n + n − 1)( n − n − 1) = n − (n − 1) = 1
(9.3)
gilt. Nach der Definition von g folgte f (z0 ) = − exp(πi (−1)m (2n − 1)). Da 2n − 1 ungerade
ist, erhielten wir so
f (z0 ) = 1,
was nicht sein kann. Der Durchschnitt von g( D ) und M ist also tatsächlich leer und das Lemma
bewiesen.
Satz 9.10 (Kleiner Satz von Picard). Sei f eine ganze Funktion. Gibt es zwei komplexe Zahlen, die
nicht im Bild f (C) liegen, so ist f konstant.
Beweis. Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass die zwei komplexen Zahlen, die
nicht im Bild von f liegen, gerade 0 und 1 sind,
denn: Wenn a und b zwei verschiene komplexen Zahlen sind, die nicht im Bild von f liegen,
dann nimmt die ganze Funktion
f (z) − a
b−a
die Werte 0 und 1 nicht an.
#
Nach Lemma 9.8 gibt es dann eine ganze Funktion g mit
f (z) = − exp(πi cosh(2g(z)))
für alle z ∈ C.
Nach Lemma 9.9 gibt es keine offene Kreisscheibe von Radius 1, die ganz im Bild g(C) enthalten ist.
Nehmen wir nun an, f wäre nicht konstant. Dann wäre auch g nicht konstant, so dass es einen
Punkt z0 ∈ C gäbe mit g (z0 ) = 0. Wir können hierbei ohne Einschränkung z0 = 0 annehmen,
denn: Offensichtlich erfüllte die Funktion g(z + z0 ) die Bedingung g (0) = 0 und hätte ebenfalls
keine offene Kreisscheibe von Radius 1 im Bild.
#
Wir können aber auch das Korollar von Proposition 9.7 auf g anwenden. Dieses besagt, dass
für ein beliebiges R ∈ R>0 die Menge g(UR (0)) eine offene Kreisscheibe von Radius R | f (0)| L
enthält. Insbesondere enthält g(C) eine offene Kreisscheibe von Radius 1, was ein Widerspruch
zur Annahme ist, f wäre nicht konstant.
150
9.3. Der Satz von Schottky ( )
9.3
Der Satz von Schottky ( )
Satz 9.11 (S CHOTTKY91 ). Seien α ∈ (0, ∞) und β ∈ [0, 1] beliebig. Dann gibt es eine Konstante
C (α, β) ∈ R>0 mit folgender Eigenschaft: Ist D ein Elementargebiet, das den Abschluss E der offenen
Einheitskreisscheibe E enthält, und f : D → C eine holomorphe Funktion, welche die Werte 0 und 1
nicht annimmt und außerdem | f (0)| ∈ (0, α] erfüllt, so gilt
| f (z)| ≤ C (α, β) für alle z ∈ Uβ (0).
Beweis. Haben wir den Satz für ein festes α0 ∈ (0, ∞) gezeigt, so folgt er offensichtlich für alle
α ∈ (0, α0 ]. Es genügt daher ohne Einschränkung, wenn wir den Satz für α ∈ (2, ∞) zeigen.
Den eigentlichen Beweis erledigen wir, indem wir zwei Fälle getrennt studieren.
Fall 1: | f (0)| ∈ [ 21 , α].92 Wir verwenden die Notation aus dem Beweis von Lemma 9.8. Das
heißt, zu unserer gegebenen Funktion f betrachten wir
eine Funktion h : D → C mit f (z) = eh(z) auf ganz D,
Funktionen Q1 : D → C und Q2 : D → C mit
h(z) = 2πi Q1 (z)2 = 2πi ( Q2 (z)2 + 1)
für alle z ∈ D,
eine Funktion H : D → C mit H (z) = Q1 (z) − Q2 (z) auf ganz D,
eine Funktion g : D → C mit H (z) = e g(z) auf ganz D.
Die Funktionen h und g sind hierbei offensichtlich nur bis auf Addition ganzzahliger Vielfacher
von 2πi eindeutig gewählt. Für unseren Beweis wählen wir die Normierungen93
−π < Im(h(0)) ≤ π und
− π < Im( g(0)) ≤ π.
(9.4)
Auch die Quadratwurzeln Q1 und Q2 sind nicht eindeutig, es gibt hier jeweils zwei Wahlen,
die sich nur um das Vorzeichen unterscheiden. Für H ergeben sich so vier Möglichkeiten, von
denen wir aber keine besondere auswählen.
Wir wollen uns als erstes eine Abschätzung für den Betrag | g(0)| herleiten. Unter Ausnutzung
von | f (0)| ∈ [ 21 , α] und α ≥ 2 liefert uns die Normierung (9.4)
|h(0)| = | log | f (0)| + i Arg( f (0))|
≤ | log | f (0)|| + | Arg( f (0))|
≤ max{log(2), log(α)} + π
= log(α) + π
=: 2π C0 (α).
(9.5)
91 Friedrich
Schottky (1851-1935)
dieser Stelle benötigen wir α ≥ 21 . In (9.5) werden wir sehen, warum wir sogar α ≥ 2 vorausgesetzt haben.
93 Wir können ungenau
92 An
h(z) = log( f (z)) = log | f (z)| + i arg ( f (z))
für alle z ∈ D
schreiben. Dann bedeutet unsere Normierung von h, dass wir für z = 0 den Hauptwert des Arguments auswählen
und die Funktion h stetig fortsetzen. Das Analoge gilt natürlich für die Normierung von g.
151
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
Dies können wir benutzen, um eine Abschätzung des Betrags von | H (0)| zu bekommen. Wir
untersuchen dabei alle vier Möglichkeiten für H gleichzeitig.
| ± Q1 (0) ± Q2 (0)| ≤ | Q1 (0)| + | Q2 (0)|
=
|h(0)|
2π
≤
|h(0)|
2π
1
2
+
|h(0) − 2πi |
2π
+
|h(0)|
+1
2π
1
2
1
≤ C0 (α) 2 + C0 (α) + 1
1
2
1
2
(9.6)
1
2
=: C1 (α).
Analog zu (9.5) erhalten wir schließlich die gesuchte Abschätzung von | g(0)|. Es gilt
| g(0)| ≤
=
log | H (0)| + π
− log | H (0)| + π
falls | H (0)| ≥ 1,
falls | H (0)| < 1
log | Q1 (0) − Q2 (0)| + π
log | Q1 (0) + Q2 (0)| + π
falls | H (0)| ≥ 1,
falls | H (0)| < 1
(9.7)
(9.6)
≤ log(C1 (α)) + π
=: C2 (α),
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen wieder den Trick mit der 3. binomischen Formel
aus (9.3) angewendet haben.
Unser nächstes Ziel ist eine Abschätzung für den Betrag | g(z0 )|, wenn z0 ∈ E beliebig ist. Sei
dafür C das durch γ(t) = tz0 mit t ∈ [0, 1] parametrisierte Geradenstück. Dann gilt
| g(z0 )| ≤ | g(0)| + | g(z0 ) − g(0)|
(9.7)
≤ C2 (α) +
g (z) dz
C
≤ C2 (α) + |z0 |
(9.8)
max | g (z)|.
z∈γ([0,1])
Wir benötigen also eine Abschätzung für | g (z)| mit z ∈ E. Sei also z1 ∈ E fest gewählt. Dann
enthält das Bild g U1−|z1 | (z1 ) ⊆ g(E) nach dem Korollar von Proposition 9.7 eine offene Kreisscheibe von Radius (1 − |z1 |) · | g (z1 )| · L.94 Andererseits enthält das Bild g(E) nach Lemma 9.9
keine offene Kreisscheibe von Radius 1. Es folgt
| g (z1 )| <
1
(1 − |z1 |) L
für alle z1 ∈ E.
Setzen wir dies in (9.8) ein, so erhalten wir
| g(z0 )| ≤ C2 (α) +
94 Dafür
| z0 |
.
(1 − |z0 |) L
wenden wir das Korollar auf die um z1 verschobene Funktion g(z + z1 ) an.
152
9.3. Der Satz von Schottky ( )
Offensichtlich ist die rechte Seite dieser Abschätzung monoton in |z0 |. Setzen wir also für ein
β ∈ [0, 1]
β
C3 (α, β) := C2 (α) +
,
(1 − β ) L
so folgt
| g(z)| ≤ C3 (α, β) für alle z ∈ Uβ (0).
Es gilt abschließend für diesen Fall
| f (z)| = | exp(πi cosh(2g(z)))|
≤ exp(π | cosh(2g(z))|)
≤ exp(π e2| g(z)| )
≤ exp(π e2C3 (α,β) )
=: C4 (α, β).
Fall 2: 0 < | f (0)| < 12 . Dann gilt
3
1
< 1 − | f (0)| ≤ |1 − f (0)| ≤ 1 + | f (0)| < ,
2
2
die Funktion (1 − f ) genügt also den Bedingungen von Fall 1 mit α = 32 . Es gilt also
|1 − f (z)| ≤ C4
3
,β
2
für alle z ∈ Uβ (0),
und | f (z)| ist für alle z ∈ Uβ (0) durch 1 + C4 ( 32 , β) beschränkt.
In Zusammenfassung von Fall 1 und Fall 2 folgt der Satz mit
C (α, β) := max C4 (α, β), 1 + C4
3
,β
2
.
Korollar. Seien R ∈ (0, ∞), α ∈ (0, ∞), β ∈ [0, 1] reelle Zahlen. Sei weiter f : RD → C eine
holomorphe Funktion, welche die Werte 0 und 1 nicht annimmt und der Bedingung | f (0)| ∈ (0, α]
erfüllt. Dann gilt
| f (z)| ≤ C (α, β) für alle z ∈ URβ (0),
wobei C (α, β) die Konstante aus dem Satz von Schottky 9.11 bezeichne.
Beweis. Man wende den Satz von Schottky 9.11 auf die Funktion f ( Rz) an.
Der Satz von Schottky (und auch sein Korollar) liefert Folgen von Funktionen, die auf offenen
Kreisscheiben in E gleichmäßig beschränkt sind. Nach dem Satz von Montel 8.8 hat jede solche
Folge eine auf kompakten Teilmengen gleichmäßig konvergente Teilfolge. Diese Anwendung
des Satzes von Schottky wird uns im nächsten Abschnitt für den Beweis des Großen Satzes von
Picard von Nutzen sein.
153
9.4
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
Der Große Satz von Picard ( )
Bevor wir den Großen Satz von Picard beweisen können, wollen wir noch einige Begriffe definieren.
Definition 9.12. Eine Familie F von Funktionen auf einer offenen Teilmenge D ⊆ C heißt lokal
gleichmäßig beschränkt, wenn es für jedes z0 ∈ D eine offene Umgebung U ⊆ D und ein C > 0 gibt
mit
| f (z)| < C für alle z ∈ U und alle f ∈ F .
Definition 9.13. Sei D ⊆ C offen.
(a) Genau dann heißt eine Folge ( f n )n∈N von Funktionen f n : D → C kompakt konvergent, wenn
( f n )n∈N auf D punktweise konvergiert und die Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge von
D gleichmäßig ist.
(b) Genau dann heißt eine Folge ( f n )n∈N von Funktionen f n : D → C kompakt divergent, wenn
es für jede kompakte Teilmenge K ⊆ D und jedes C > 0 ein N ∈ N gibt mit
| f n (z)| > C für alle n > N und alle z ∈ K.
(c) Eine Familie F von auf D holomorphen Funktionen heißt normal, wenn jede Folge in F eine
kompakt konvergente Teilfolge besitzt.
(d) Eine Familie F von auf D holomorphen Funktionen heißt fast normal, wenn jede Folge in F
eine kompakt konvergente oder eine kompakt divergente Teilfolge besitzt.
In dieser Sprache lautet der Satz von Montel 8.8 wie folgt.
Lemma 9.14 (Satz von Montel). Sei D ⊆ C offen. Dann ist jede lokal gleichmäßig beschränkte Familie
auf D holomorpher Funktionen normal.
Eine unmittelbare Anwendung ist das folgende für den Beweis des Großen Satzes von Picard
wichtige Ergebnis.
Satz 9.15 (Satz von Montel-C ARATHÉODORY95 ). Sei D ⊆ C ein Gebiet und
F := { f : D → C holomorph | f (z) = {0, 1} für alle z ∈ D }.
Dann ist F fast normal.
Beweis. Für ein festes z0 ∈ D definieren wir
F1 := { f ∈ F | | f (z0 )| ≤ 1}
und F2 := { f ∈ F | | f (z0 )| > 1}.
Wir werden zeigen, dass F1 normal und F2 fast normal ist.
95 Constantin
Carathéodory (1873-1950)
154
9.4. Der Große Satz von Picard ( )
Zum Beweis der ersten Aussage langt es nach dem Satz von Montel 9.14 die lokal gleichmäßige Beschränktheit von F1 zu zeigen. Sei dazu w0 ∈ D beliebig und C eine Kurve in D mit
Anfangspunkt z0 und Endpunkt w0 . Eine solche Kurve gibt es,
denn: Zusammenhang und Wegzusammenhang sind in topologischen Räumen der Form K n
mit K Körper und n ∈ N äquivalent. Die Behauptung folgt, da D als Gebiet eine zusammenhängende Teilmenge des topologischen Raums C ∼
#
= R2 ist.
Wir wählen nun Punkte z0 , z1 , . . . , zk−1 , zk = w0 auf dem Graphen von C und geeignete Umgebungen Dκ := Urκ (zκ ) mit κ ∈ {0, . . . , k }, für die die folgenden Bedingungen gelten.
(i) zκ −1 , zκ ∈ Dκ −1
(ii) Dκ ⊆ D
∪
Dκ
für alle κ ∈ {1, . . . , k },
für alle κ ∈ {0, . . . , k }.
Solche Punkte und Umgebungen gibt es,
denn: Der Graph einer Kurve ist als stetiges Bild eines kompakten Intervalls selbst wieder kompakt. Nach Lemma 4.22 gibt es also eine Lebesguezahl r ∈ R>0 , so dass für alle Punkte z auf
dem Graphen die offenen Umgebungen Ur (z) ganz in D liegen. Im vorliegenden Fall wählen
wir dann rκ := 2r für alle κ ∈ {0, . . . , k } um Bedingung (ii) zu erfüllen und setzen k so groß,
dass auch Bedingung (i) gilt.
#
Abbildung 9.2: Nach Konstruktion liegt also jedes zκ nicht nur in Dκ sondern auch in Dκ −1 und
Dκ +1 , falls es diese gibt.
Für ein beliebiges f ∈ F1 gilt | f (z0 )| ≤ 1. Wir können daher auf die Funktion f und das Gebiet
D0 das Korollar des Satzes von Schottky 9.11 anwenden und erhalten
| f (z)| < C (1, r0 ) =: C0
für alle z ∈ D0 .
155
Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
Nach Konstruktion liegt nun z1 in D0 . Nach dem eben Gezeigten gilt also | f (z1 )| < C0 , so dass
wir erneut das Korollar des Satzes von Schottky anwenden können, diesmal auf die Funktion
f und das Gebiet D1 . So erhalten wir
| f (z)| < C (C0 , r1 ) =: C1
für alle z ∈ D1 .
Sukzessiv erhalten wir schließlich
| f (z)| < C (Ck−1 , rk ) =: Ck
für alle z ∈ Dk .
Wegen w0 ∈ Dk und der Beliebigkeit von f ∈ F1 haben wir die gleichmäßige Beschränktheit
von F1 in einer offenen Umgebung von w0 gezeigt. Da auch w0 ∈ D beliebig gewählt war, folgt
die lokal gleichmäßige Beschränktheit und nach dem Satz von Montel 9.14 auch die Normalität
von F1 .
Wir wollen nun die zweite Aussage zeigen, dass nämlich F2 fast normal ist. Sei dazu ( f n )n∈N
eine Folge in F2 . Dann ist offenbar (1/ f n )n∈N eine Folge in F1 . Wegen der Normalität von F1
gibt es eine Teilfolge von (1/ f n )n∈N , die kompakt gegen eine holomorphe Funktion f˜ : D → C
konvergiert. Jede der Funktionen 1/ f n ist nullstellenfrei, da ja die Funktionen f n holomorph
sind. Nach dem Satz von Hurwitz 7.13 ist also entweder f˜ ebenfalls nullstellenfrei oder konstant Null auf D. Wegen der kompakten Konvergenz von ( f n )n∈N gibt es eine Teilfolge von
( f n )n∈N , die kompakt divergiert (falls f˜ die Nullfunktion ist) oder kompakt gegen 1/ f˜ =: f
konvergiert (falls f˜ nullstellenfrei ist). Es folgt, dass F2 fast normal ist.
Damit ist der Satz bewiesen, denn jede Folge in F hat eine Teilfolge in F1 oder in F2 .
Satz 9.16 (Großer Satz von Picard). Sei D ⊆ C offen und f : D → C holomorph mit einer wesentlichen Singularität in z0 ∈ C. Dann nimmt f in jeder Umgebung von z0 in D jeden Wert in C mit
höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.
Beweis. Wir nehmen nun an, es gäbe eine Umgebung U ⊆ D von z0 , in der f mehr als nur einen
Wert in C nicht annähme, und wollen dies zum Widerspruch führen. Ohne Einschränkung
dürfen wir dabei annehmen, dabei gälte z0 = 0, und die nicht angenommenen Funktionswerte
wären 0 und 1,
denn: Anstelle von f (z) betrachten wir f (z − z0 ) für die erste Annahme und, analog zum Beweis
f (z)− a
des Kleinen Satzes von Picard 9.10, b−a für die zweite Annahme, wobei hier a, b die von f
nicht angenommenen Funktionswerte bezeichnen.
#
Desweiteren können wir ohne Einschränkung annehmen, U wäre von der Gestalt U = U˙ r (0)
mit einem kleinen r > 0 und ersetzen sonst U durch eine solche punktierte Kreisscheibe in U.
Wir definieren nun eine Folge ( f n )∞
n=1 von Funktionen durch
z
f n (z) = f ( )
n
für alle z ∈ U.
Die f n sind wohldefiniert, da mit z auch jedes nz mit n ≥ 1 in U liegt, und nach Annahme nähme
keine der Funktionen f n die Werte 0 und 1 an. Es folgte, dass die Folge ( f n )∞
n=1 in der Familie
F := { f : U → C holomorph | f (z) = {0, 1} für alle z ∈ U }
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9.4. Der Große Satz von Picard ( )
läge, so dass wir den Satz von Montel-Carathéodory 9.15 anwenden könnten. Nach diesem
gäbe es eine Teilfolge ( f nk )k∈N , die kompakt divergiert oder kompakt gegen eine holomorphe
Funktion g : U → C konvergiert. In beiden Fällen werden wir im Folgenden einen Widerspruch herleiten.
Im Falle der kompakten Divergenz gälte
lim f (
k→∞
z
) = lim f nk (z) = ∞
nk
k→∞
für alle z ∈ U.
Da für alle z ∈ U die Folge ( nzk ) für k gegen unendlich gegen 0 konvergiert, wäre dann z = 0
eine Polstelle von f , was unserer Voraussetzung widerspricht, die Singularität dort sei wesentlich.
Im Falle der kompakten Konvergenz setzen wir
K := {z ∈ U | |z| =
r
}
2
C := max | g(z)|.
und
z∈K
Da K kompakt ist, konvergierte ( f nk )k∈N auf K gleichmäßig gegen g. Es gäbe also ein k0 ∈ N,
für das
| f nk (z) − g(z)| ≤ C für alle k > k0 und alle z ∈ K
gälte. Es folgte
f(
z
) = | f nk (z)| ≤ | f nk (z) − g(z)| + | g(z)| ≤ 2C
nk
für alle k > k0 und alle z ∈ K.
Das ist äquivalent zu
| f (z)| ≤ 2C für alle z ∈ U˙ 2nr (0) mit k > k0 .
k
Die Funktion f wäre folglich in einer punktierten Umgebung von z = 0 beschränkt und hätte
dort somit eine hebbare Singularität, was unserer Voraussetzung widerspricht, die Singularität
dort sei wesentlich.
Wir haben nun gezeigt, dass f in einer beliebigen Umgebung einer wesentlichen Singularität
z0 jeden bis auf möglicherweise einen Wert aus C annimmt. Es bleibt noch zu zeigen, dass jeder
dieser Werte unendlich oft angenommen wird. Nehmen wir also an, es gäbe einen Wert, der
von f in einer Umgebung U von z0 nur endlich oft angenommen wird und einen weiteren, der
dort von f ebenfalls nur endlich oft oder sogar gar nicht angenommen wird. Dann wären die
Stellen in U, an denen diese Werte angenommen werden, isoliert, und wir könnten in U eine
Umgebung von z0 bestimmen, in der beide Werte gar nicht angenommen werden, was nicht
sein kann.
Wenden wir den Großen Satz von Picard 9.16 nun auf ganze Funktionen an, so erhalten wir
eine Aussage in der Form des Kleinen Satzes von Picard 9.10.
Satz 9.17 (Satz von Picard). Sei f eine ganze Funktion, die nicht durch ein Polynom gegeben ist. Dann
nimmt f mit einer möglichen Ausnahme jeden Wert in C unendlich oft an.
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Kapitel 9. Bildbereiche holomorpher Funktionen
Beweis. Wie wir schon in Abschnitt 6.3 eingesehen haben, hat f in z = ∞ eine wesentliche
Singularität. Nach dem Großen Satz von Picard 9.16 folgt somit, dass f mit einer möglichen
Ausnahme jeden Wert in C unendlich oft annimmt.
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