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12.2 Grauwertmorphologie

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12.2 Grauwertmorphologie
735
12.2
12.2 Grauwertmorphologie
12.2.1 Punktmenge eines Grauwertbildes
Die Punktmenge eines Binärbildes besteht aus allen Pixeln vom Wert 1. Wie
lässt sich nun ein Bild, das mehr als zwei Werte annehmen kann, als Punktmenge auffassen? Ein allgemeines einkanaliges Bild, z. B. ein Grauwertbild,
lässt sich als eine skalarwertige Funktion g : Ωg → R darstellen, die einer Fläche im dreidimensionalen Raum R3 entspricht. Der Bildwert wird
als weitere Dimension zusätzlich zu den örtlichen Dimensionen x, y aufgefasst. Die Punktmenge U eines skalarwertigen Bildes ist eine Teilmenge dieses dreidimensionalen Raums, und zwar die Menge aller Punkte unterhalb
der Fläche z = g(x, y):
U = {(x, y, z)T ∈ R3 | z ≤ g(x, y)} .
(12.159)
Die auf diese Weise konstruierte Punktmenge heißt Umbra („Kernschatten“) des Bildes. Umgekehrt kann man aus einer Umbra das Bild rekonstruieren, indem man die „Oberfläche“ der Punktmenge bestimmt, also für jedes
Pixel (x, y)T das Element von U mit maximalem z-Wert auswählt.
Die Umbra-Operation lässt sich in allgemeinen N -dimensionalen Räumen RN , N ≥ 2, für Funktionen RN −1 → R definieren [153, 252]. Im
Folgenden werden diskrete, quantisierte, einkanalige Bilder betrachtet, sodass R = Z und N = 3. Häufig handelt es sich um Grauwertbilder, weshalb hier in Übereinstimmung mit der Literatur von Grauwertmorphologie (gray-scale morphology) gesprochen wird. Besonders anschaulich ist aber
auch die Anwendung morphologischer Operatoren auf ein Entfernungsbild wie z. B. ein Oberflächenrelief. Darüber hinaus können morphologische
Verfahren auf die Kanäle eines Farbbildes komponentenweise angewendet
werden. Einen alternativen Ansatz zur morphologischen Verarbeitung von
Farbbildern stellt die Vektormorphologie dar, in der die Operationen min
und max für Bildwertvektoren mit Hilfe von Abstandsmaßen oder Ordnungsrelationen definiert werden [226, 243].
Definition 12.8: Umbra
12.8
Eine Menge U ⊆ ZN heißt Umbra genau dann, wenn
(xT , g)T ∈ U
⇒
∀z ≤ g : (xT , z)T ∈ U ,
(12.160)
736
12. Morphologische Bildverarbeitung
wobei x = (x, y)T ∈ ZN −1 und g, z ∈ Z. Die Umbra einer Funktion g : Ωg →
Z, Ωg ⊆ ZN −1 , ist gegeben durch
U{g} := {(xT , z)T ∈ Ωg × Z | z ≤ g(x)} .
(12.161)
Die Oberfläche (top oder top surface) einer Umbra U ⊆ ZN ist eine Funktion
T{U } :
Ωg → Z
x → max{g | (xT , g)T ∈ U}
(12.162)
mit
Ωg := {x ∈ ZN −1 | ∃g ∈ Z : (xT , g)T ∈ U} .
(12.163)
Mithin ist U{ · } ein Operator, der aus dem Bild g(x) eine Punktmenge in
Form einer Umbra erzeugt, und T{ · } ein Operator, der aus einer solchen
speziellen Punktmenge wieder ein Bildsignal g(x) generiert. Diese beiden
Operatoren sind im folgenden Sinne zueinander invers:
12.6
Satz 12.6: Umbra-Operator
Für beliebiges g(x) : Ωg → Z, Ωg ⊆ ZN −1 gilt:
T {U{g(x)}} = g(x) .
(12.164)
Für jede Umbra U gilt:
U {T{U }} = U .
(12.165)
♦
Beweis 12.6 (Umbra-Operator): siehe [153].
Eine besonders anschauliche Interpretation der Umbra erhält man, wenn
z = g(x, y) nicht als Intensitätsbild, sondern als Oberflächenrelief aufgefasst
wird. In diesem Fall entspricht die Umbra einem dreidimensionalen Objekt,
das g(x, y) als Oberfläche hat und in Richtung der negativen z-Achse unendliche Ausdehnung besitzt. Umgekehrt liefert der Oberflächenoperator T{ · }
eine Funktion, die das Relief der Objektoberfläche in positiver z-Richtung
beschreibt. Morphologische Operationen lassen sich als mechanische Abtastung der Objektoberfläche mit einer Tastsonde veranschaulichen, wobei das
12.2 Grauwertmorphologie
737
strukturierende Element die Form der Tastspitze bestimmt (vgl. Abb. 12.22).
Strukturierende Elemente werden in der Grauwertmorphologie ebenfalls
durch Funktionen s(x) repräsentiert, deren Umbra gebildet werden kann.
12.2.2 Erosion und Dilatation
Mit Hilfe der Operatoren Umbra U{ · } und Oberfläche T{ · } lassen sich
die morphologischen Grundoperationen von Punktmengen auf Funktionen
übertragen: Zunächst wird die Umbra der Funktionen g(x) und s(x) gebildet, dann werden die bekannten morphologischen Operationen auf diese
Punktmenge angewandt, und schließlich transformiert man die resultierende Umbra wieder zurück in ein Bild [153]. Da die Dimension der Punktmenge in der Definition der binärmorphologischen Operatoren keine Rolle
spielt, können die binärmorphologischen Operatoren unmittelbar auf die
Umbra angewendet werden.
Definition 12.9: Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie
12.9
Für Ωg , Ωs ⊆ ZN −1 und Funktionen g : Ωg → Z, s : Ωs → Z sind Erosion
g s und Dilatation g ⊕ s als folgende skalarwertige Funktionen definiert:
U{s}} ,
(12.166)
g ⊕ s := T {U{g} ⊕ U{s}} .
(12.167)
g
s := T {U{g}
Erosion und Dilatation auf den Umbren erfolgen entsprechend den Definitionen dieser Operationen für Punktmengen aus Abschn. 12.1.
Die Handhabung der dreidimensionalen Punktmengen von Grauwertbildern ist mit erheblichem Rechen- und Speicheraufwand verbunden. Glücklicherweise zeigt eine detaillierte Analyse, dass einfache signalbezogene
Operationen gefunden werden können, die zu den mengenbezogenen Operationen äquivalent sind [153]. Im Hinblick auf die Signale g(x) und s(x)
selbst erhält man für die Erosion und die Dilatation:
Satz 12.7: Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie
Die Erosion und die Dilatation von Funktionen gemäß Def. 12.9 lassen sich
12.7
738
12. Morphologische Bildverarbeitung
wie folgt berechnen:
(g
s)(x) = min {g(x + ξ) − s(ξ)} ,
ξ∈Ωs
(g ⊕ s)(x) = max {g(x − ξ) + s(ξ)} ,
ξ∈Ωs
x−ξ∈Ωg
(12.168)
(12.169)
♦
wobei Ωs die Trägermenge von s(x) bezeichnet.
Beweis 12.7 (Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie):
(g
s)(x) = T {U{g}
U{s}} (x)
= max z (x , z) ∈ (U{g}
T
T
(12.170)
U{s})
= max z (x , z) ∈ {(v , w) ∈ ZN | (U{s})(vT ,w)T ⊆ U{g}}
T
T
T
T
= max z (xT , z)T ∈
{(vT , w)T ∈ ZN | ∀(ξ, ζ) ∈ U{s} : (ξ T , ζ)T + (vT , w)T ∈ U{g}}
= max z ∀(ξ, ζ) ∈ U{s} : (ξ T , ζ)T + (xT , z)T ∈ U{g}
= max z ∀ξ ∈ Ωs ∀ζ ≤ s(ξ) : ζ + z ≤ g(ξ + x)
= max z ∀ξ ∈ Ωs : s(ξ) + z ≤ g(ξ + x)
= max z z ≤ min {g(ξ + x) − s(ξ)}
ξ∈Ωs
= min {g(ξ + x) − s(ξ)} .
ξ∈Ωs
(12.171)
Der Beweis für die Dilatation verläuft ähnlich [153].
Mit diesen Rechenvorschriften lassen sich die morphologischen Operationen ohne explizite Betrachtung der Umbra durchführen. Der Aufwand entspricht dem einer Faltung im Ortsbereich mit einer Impulsantwort mit einem Definitionsbereich von Ωs . Da jedoch eine Extremwertbildung an die
Stelle von Multiplikation und Addition tritt, sind die morphologischen Operationen nichtlinear.
Veranschaulichen lassen sich diese Rechenvorschriften mit Hilfe der
Analogie der mechanischen Abtastung (Abb. 12.22). Das strukturierende
Element entspricht einer Tastsonde der Form s(x). Die Minimumbildung
bei der Erosion lässt sich beschreiben als Abtastung der Oberfläche von unten, also aus dem Inneren der Umbra. Die Tastsonde wird an jedem Punkt x
der x, y-Ebene so nah wie möglich an die Oberfläche z = g(x) herangeführt.
Die Oberfläche des erodierten Bildes verläuft dann durch den Nullpunkt
des strukturierenden Elements. Die Umbra des Bildes U{g} wird horizontal
12.2 Grauwertmorphologie
739
g(x + ξ)
(g
(g ⊕ s)(x)
s)(x)
g(x − ξ)
min {g(x + ξ) − s(ξ)}
ξ∈Ωs
(a) Erosion
(b) Dilatation
Abbildung 12.22. Veranschaulichung der Rechenvorschriften für die Grundoperationen der
Grauwertmorphologie. Dargestellt ist ein Schnitt in der x, z-Ebene der dreidimensionalen Umbren.
in zwei Dimensionen verschoben, die Umbra des strukturierenden Elements
U{s} wird in einer Dimension vertikal verschoben. Das Ergebnis der Erosion
folgt aus allen Verschiebungskonstellationen, bei denen das strukturierende
Element das Signal g von unten berührt.
Die Dilatation entspricht infolge der Maximumbildung einer Abtastung
von oben. Denn nach Definition ist
g⊕s=T
w
(U{s})R
w
∩ U{g} = ∅
,
(12.172)
insbesondere wird das strukturierende Element bei der Dilatation gespiegelt, vgl. Def. 12.4. Die umgedrehte Tastsonde wird also an jedem Punkt
x von oben so weit an die Umbra herangeführt, dass sie sich noch mit ihr
überlappt. Die dilatierte Oberfläche verläuft dann durch den Ursprung des
strukturierenden Elements in der z-Position, in der es die Umbra gerade
noch berührt (Abb. 12.22(b)).
Weitere Eigenschaften der grauwertmorphologischen Grundoperationen lassen sich direkt aus der Binärmorphologie übertragen, da die UmbraOperation ein Homomorphismus ist.
740
12.8
12. Morphologische Bildverarbeitung
Satz 12.8: Umbra-Homomorphiesatz
1. Seien U , V Umbren. Dann sind die Erosion U
ebenfalls Umbren.
V und die Dilatation U ⊕V
2. Die Bildung der Umbra ist ein Homomorphismus bezüglich der Operationen Erosion und Dilatation:
U{g
s} = U{g}
U{s} ,
(12.173)
U{g ⊕ s} = U{g} ⊕ U{s} .
(12.174)
3. Die Relation g1 ≤ g2 für Funktionen g1 , g2 : Ωg → Z entspricht der
Teilmengenbeziehung ihrer Umbren:
U{g1 } ⊆ U{g2 }
⇔
∀x ∈ Ωg : g1 (x) ≤ g2 (x) .
(12.175)
♦
Beweis 12.8 (Umbra-Homomorphiesatz):
1. Siehe [153].
2. Mit 1. folgt aus Satz 12.6:
U{g
s} = U {T {U{g}
= U{g}
U{s}}}
U{s}
(12.176)
(12.177)
und analog für die Dilatation.
3. Sei zunächst U{g1 } ⊆ U{g2 }. Für ein beliebiges x ∈ Ωg ist (xT , g1 (x))T ∈
U{g1 }, also auch (xT , g1 (x))T ∈ U{g2 }. Nach der Definition der Umbra
muss daher g1 (x) ≤ g2 (x) sein.
Sei nun g1 (x) ≤ g2 (x) für alle x. Für ein beliebiges (xT , z)T ∈ U{g1 }
gilt z ≤ g1 (x) ≤ g2 (x). Daher folgt (xT , z)T ∈ U{g2 } und insgesamt
U{g1 } ⊆ U{g2 }.
Da die grauwertmorphologischen Operatoren in Def. 12.9 auf die allgemeinen Definitionen für Punktmengen zurückgeführt werden, übernehmen sie
dank der Homomorphie alle Eigenschaften aus Abschn. 12.1.
Beispiel 12.3 (Assoziativität der grauwertmorphologischen Dilatation): Mit Hil-
fe des Umbra-Homomorphiesatzes sieht man, dass die Dilatation eines
Grauwertbildes g mit den strukturierenden Elementen s1 und s2 asso-
12.2 Grauwertmorphologie
741
ziativ ist:
g ⊕ (s1 ⊕ s2 ) = T {U{g} ⊕ U{s1 ⊕ s2 }}
(12.178)
= T {U{g} ⊕ (U{s1 } ⊕ U{s2 })}
(12.179)
= T {(U{g} ⊕ U{s1 }) ⊕ U{s2 }}
(12.180)
= T {U{g ⊕ s1 } ⊕ U{s2 }}
(12.181)
= (g ⊕ s1 ) ⊕ s2 .
(12.182)
Auf Punktmengen gilt die Assoziativität U{g} ⊕ (U{s1 } ⊕ U{s2 }) =
(U{g} ⊕ U{s1 }) ⊕ U{s2 } gemäß Satz 12.2.
Beispiel 12.4 (Enthaltenseinsrelation der grauwertmorphologischen Erosion):
Sei (0, 0, 0)T ∈ U{s}, also s(0) ≥ 0. Dann gilt nach Satz 12.1:
U{g}
U{s} ⊆ U{g} .
(12.183)
Mit dem Homomorphiesatz erhält man daraus
U{g
s} ⊆ U{g}
⇔
∀x : (g
s)(x) ≤ g(x) .
(12.184)
Obwohl morphologische Operationen für Binär- und Grauwertbilder auf
denselben theoretischen Grundlagen beruhen, gibt es grundsätzliche Unterschiede in ihren Auswirkungen auf das Ergebnisbild: Während binäre
morphologische Operatoren sich nur auf den Rand von Objekten im Bild
auswirken, ändern Grauwertoperatoren die Bildwerte nahezu des gesamten Bildes. Beispielsweise führt eine Dilatation zu einer Erhöhung des Bildwerts auch innerhalb von örtlich homogenen Objekten. Die Ursache für diese Unterschiede liegt in der Bedeutung der Dimensionen der Punktmengen:
Während die zweidimensionale Punktmenge eines Binärbildes ausschließlich örtliche Dimensionen besitzt, kommt bei der Punktmenge eines Grauwertbildes die Dimension des Bildwerts hinzu. Die morphologischen Operatoren sind auf den Punktmengen identisch definiert, ihre Auswirkungen
unterscheiden sich jedoch aufgrund der unterschiedlichen Semantik der Dimensionen.
Wie alle Eigenschaften der binärmorphologischen Operationen besitzt
auch die Dualität von Erosion und Dilatation ihre Entsprechung in der
Grauwertmorphologie [152,153]. An die Stelle der Komplementbildung tritt
hier die Negation der Funktion g. Die Negation ist allerdings nicht äquiva-
742
12. Morphologische Bildverarbeitung
lent zur Komplementbildung der Umbren, wie man sich am Beispiel des
strukturierenden Elements aus Abb. 12.22 klar machen kann.
12.9
Satz 12.9: Dualität der Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie
Zwischen Erosion und Dilatation eines skalarwertigen Bildes g mit einem
strukturierenden Element s besteht folgende Dualitätsbeziehung:
− (g ⊕ s) = (−g)
sR ,
(12.185)
wobei sR (x) := s(−x) eine Funktion sR : ΩR
s → Z ist.
♦
Beweis 12.9 (Dualität der Erosion und Dilatation in der Grauwertmorphologie):
(−(g ⊕ s))(x) = − max {g(x − ξ) + s(ξ)}
(12.186)
min {−g(x − ξ) − s(ξ)}
(12.187)
−g(x − ξ) − sR (ξ)
(12.188)
sR (x) .
(12.189)
ξ∈Ωs
x−ξ∈Ωg
=
=
ξ∈Ωs
x−ξ∈Ωg
min
ξ∈ΩR
s
x+ξ∈Ωg
= (−g)
12.2.3 Öffnung und Schließung
Öffnung und Schließung werden ebenso wie für Binärbilder als Verkettung
einer Dilatation und einer Erosion mit dem gleichen strukturierenden Element definiert.
12.10
Definition 12.10: Öffnung und Schließung in der Grauwertmorphologie
Sei g : Ωg → Z ein skalarwertiges Bild und s : Ωs → Z ein strukturierendes
Element. Die Öffnung g ◦ s und die Schließung g • s sind wie folgt definiert:
g ◦ s := (g
s) ⊕ s ,
g • s := (g ⊕ s)
s.
(12.190)
(12.191)
Bei Verwendung „üblicher“ strukturierender Elemente heben sich Erosion
und Dilatation auf örtlich homogenen Bereichen des Bildes gegenseitig auf,
12.2 Grauwertmorphologie
743
sodass sich Öffnung und Schließung nur auf Kanten und andere Strukturen
im Bild auswirken.
Aufgrund des Umbra-Homomorphiesatzes 12.8 bleibt Satz 12.4 auch für
die grauwertmorphologischen Operationen gültig. Öffnung und Schließung
besitzen daher u. a. folgende Eigenschaften:
Satz 12.10: Eigenschaften der grauwertmorphologischen Öffnung und Schließung
g◦s≤g ≤g•s
(12.192)
(g ◦ s) ◦ s = g ◦ s
(12.193)
(g • s) • s = g • s
⎧
⎨
g◦s=T
⎩
z∈{z∈ZN | (U{s})z ⊆U{g}}
− (g ◦ s) = (−g) • sR
⎫
⎬
(U{s})z
⎭
(12.194)
(12.195)
(12.196)
♦
Beweis 12.10 (Eigenschaften der grauwertmorphologischen Öffnung und Schließung): Die ersten vier Beziehungen folgen mit Satz 12.8 aus Satz 12.4. Die
letzte Gleichung erhält man mit Hilfe von Satz 12.9 [153].
Anhand von (12.195) kann man die Öffnung als mechanische Abtastung veranschaulichen: Das strukturierende Element U{s} tastet die Oberfläche von
unten, aus dem Inneren der Umbra ab. Die geöffnete Umbra ist die Vereinigung aller verschobenen Tastsonden, die vollständig in der Umbra enthalten sind. Die Öffnung entfernt daher schmale Maxima der Oberfläche, in die
das strukturierende Element nicht hineinpasst (Abb. 12.23(a)).
An jedem Bildpunkt x entspricht die geöffnete Oberfläche dem maximalen Wert s(ξ), der an einer Stelle ξ eines der verschobenen strukturierenden Elemente angenommen wird. Die Maximumbildung ist also nicht
auf den Nullpunkt bzw. den Maximalwert des strukturierenden Elements
beschränkt, sondern erstreckt sich über das gesamte verschobene strukturierende Element [153].
Die Schließung lässt sich wegen der Dualität (12.196) schreiben als
g • s = −((−g) ◦ sR ) .
(12.197)
12.10
744
12. Morphologische Bildverarbeitung
g
(a) Öffnung
g•s
g
g◦s
(b) Schließung
Abbildung 12.23. Veranschaulichung der Öffnung und Schließung von skalarwertigen Bildern
als mechanische Abtastung.
Sie entspricht daher anschaulich einer Abtastung der an der x, y-Ebene gespiegelten Oberfläche −g von unten. Dies ist äquivalent zu einer Abtastung
der ursprünglichen Oberfläche g von oben mit dem gespiegelten strukturierenden Element (U{s})R . Diese Tastsonde wird von oben so über die Oberfläche g geführt, dass sie nicht in das Objekt eindringt. Am Bildpunkt x verläuft die geschlossene Oberfläche durch den tiefsten Punkt auf einer der
verschobenen Tastsonden. Schmale Täler der Oberfläche, in die das strukturierende Element nicht hineinpasst, verschwinden (Abb. 12.23(b)).
Die grauwertmorphologischen Operationen Öffnung und Schließung
sind verwandt zur Medianfilterung aus Abschn. 9.3.2.1 und eignen sich daher zur Störungsunterdrückung [152].
Beispiel 12.5 (Störungsunterdrückung): Wegen der geschilderten Eigenschaf-
ten können Öffnung und Schließung zur Störungsunterdrückung eingesetzt werden. Im Gegensatz zur Konvention bei der Darstellung von Binärbildern repräsentieren hohe Bildwerte g in der Grauwertmorphologie
wie üblich helle Bereiche im Bild, während niedrige Bildwerte dunklen
Bereichen entsprechen. Die Öffnung entfernt Störungen, die kleiner als
das strukturierende Element und heller als die umgebenden Bildwerte
sind. Die Schließung entfernt Störungen, die dunkler als die Bildwerte in
ihrer Umgebung sind. Die Verkettung beider Operationen unterdrückt
sowohl helle als auch dunkle Störungen.
In Abb. 12.24 wird dieses Verhalten an einem Beispielbild mit künst-
12.2 Grauwertmorphologie
745
s
(a) g
(b) g ◦ s
(c) g • s
(d) (g ◦ s) • s
Abbildung 12.24. Beispiel zur grauwertmorphologischen Störungsunterdrückung: (a) Testbild
mit künstlich eingebrachten hellen und dunklen Störungen, (b) Öffnung mit dem links unten dargestellten strukturierenden Element s, (c) Schließung, (d) Öffnung und nachfolgende
Schließung.
lich eingebrachten Störungen illustriert. Öffnung und Schließung führen
zu einer Glättung von Strukturen, die kleiner als das strukturierende Element sind. Größere Strukturen bleiben nahezu unverändert erhalten.
Ist man umgekehrt nur an schmalen Extrema im Bild interessiert, z. B. an
hellen oder dunklen Linien, kann man das Differenzbild zum ursprüngli-
746
12. Morphologische Bildverarbeitung
chen Bild berechnen [136]:
g − (g ◦ s)
white top-hat
(12.198)
(g • s) − g
black top-hat
(12.199)
Abbildung 12.25 veranschaulicht diese beiden Operationen an einem Testbild. Das Ergebnis enthält helle bzw. dunkle Strukturen, die schmaler als das
verwendete strukturierende Element sind.
12.2.4 Kantendetektion
Ebenso wie die Binärmorphologie zur Randextraktion in Binärbildern eingesetzt werden kann, ermöglicht die Grauwertmorphologie eine Kantenextraktion in skalarwertigen Bildern. Wie in Abschn. 11.2 beschrieben, kann
eine Kantendetektion auf Grundlage der ersten Ableitung oder der zweiten Ableitung erfolgen. Beide Varianten lassen sich grauwertmorphologisch
realisieren.
Der sogenannte Beucher-Gradient liefert eine Approximation des Gradientenbetrags:
grad g + const. ≈ (g ⊕ s) − (g
s) .
(12.200)
Das erodierte Bild wird vom dilatierten Bild subtrahiert [256].
Eine Näherung für die zweite Ableitung erhält man durch den morphologischen Laplace-Operator:
Δg = div(grad g) ≈ (g ⊕ s) + (g
s) − 2g .
(12.201)
In Abb. 12.26 werden die
beiden Kantenoperatoren auf das Testbild aus Abb. 12.25(a) angewendet. Die Verstärkung des Rauschens mit jedem Differentiationsschritt ist
auch bei der morphologischen Kantenextraktion deutlich zu erkennen.
Die Verwendung größerer strukturierender Elemente bewirkt eine gewisse Glättung auf Kosten der Lokalisierbarkeit und der Detektion feiner Strukturen.
Zum Vergleich mit anderen Kantenoperatoren zeigt Abb. 12.27 die Ergebnisse der beiden vorgestellten morphologischen Operatoren am Beispielbild aus Kap. 11.
Beispiel 12.6 (Morphologische Kantendetektion):
12.2 Grauwertmorphologie
747
300
200
100
0
0
(a) g(x)
50
100
150
(b) g(x, y0 )
150
100
50
0
0
50
100
150
s
(c) g − (g ◦ s)
(d) g − (g ◦ s)
150
100
50
0
0
50
100
150
s
(e) (g • s) − g
(f) (g • s) − g
Abbildung 12.25. Grauwertmorphologische Extraktion heller bzw. dunkler Punkte und Linien:
(a) Testbild, künstlich mit weißem Rauschen überlagert; (b) eindimensionaler Grauwertverlauf
an der markierten Linie; (c), (d) white top-hat mit dem dargestellten strukturierenden Element s;
(e), (f) black top-hat.
748
12. Morphologische Bildverarbeitung
300
200
100
0
50
100
150
100
150
100
150
s
(a)
(b)
300
200
100
0
50
s
(c)
(d)
200
100
0
ƺ 100
0
50
s
(e)
(f)
Abbildung 12.26. Grauwertmorphologische Kantenextraktion: (a) Beucher-Gradient, berechnet
für das Testbild aus Abb. 12.25(a) mit dem dargestellten strukturierenden Element s vom Radius 1; (b) eindimensionaler Grauwertverlauf an der in Abb. 12.25(a) markierten horizontalen
Linie; (c), (d) Beucher-Gradient mit einem kreisförmigen strukturierenden Element vom Radius 3; (e), (f) Ergebnis des morphologischen Laplace-Operators.
12.2 Grauwertmorphologie
(a) Beucher-Gradient
749
(b) morphologischer Laplace-Operator
Abbildung 12.27. Morphologische Kantenoperatoren am Beispiel von Abb. 11.14(a).
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