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Algebra (Lehramt Gymnasium)

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Kathrin Bild
Dr. Ralf Gerkmann
Freitag, 31. Oktober 2014
Algebra (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 4 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
Wir betrachten in der symmetrischen Gruppe S8 das Element
σ
=
1
2
3
4
5
6
7
8
5
1
4
8
3
6
7
2
(a) Stellen Sie das Element in Zykelschreibweise dar und bestimmen Sie seine Ordnung.
(b) Geben Sie die Elemente der Gruppe G = σ an.
(c) Sei U = σ 3 . Zeigen Sie, dass U eine Untergruppe von G ist.
(d) Wiederholen Sie die Definition der Begriffe Linksnebenklasse, Rechtsnebenklasse und Index.
(e) Welchen Wert hat (G : U ) im hier vorliegenden Fall?
(f) Geben Sie alle Linksnebenklassen von U in G an.
(g) Finden Sie zwei Elemente τ1 , τ2 ∈ G mit τ1 = τ2 und τ1 U = τ2 U .
(h) Bestimmen Sie alle Rechtsnebenklassen von U in G.
Aufgabe 2
Seien G und U wie in Aufgabe 1 definiert. Sei außerdem V = σ 2 . Ohne Beweis darf verwendet werden,
dass V eine Untergruppe von G ist.
(a) Bestimmen Sie (G : V ) und alle Linksnebenklassen von V .
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 1 (g), dass es keine Abbildung φ : G/U → G mit φ(τ U ) = τ f¨
ur
alle τ ∈ G gibt, indem Sie die Annahme φ(τ1 U ) = τ1 , φ(τ2 U ) = τ2 zu einem Widerspruch f¨
uhren.
(c) Zeigen Sie, dass auch keine Abbildung ψ : G/U → G/V mit ψ(τ U ) = τ V f¨
ur alle τ ∈ G existiert.
Aufgabe 3
(a) Was sind die Aussagen des Satzes von Lagrange und des kleinen Satzes von Fermat? Wie h¨angen
diese beiden Aussagen miteinander zusammen?
(b) Sei G eine Gruppe, und seien U und V Untergruppen mit |U | = 10 und |V | = 15. Zeigen Sie, dass
jedes Element g ∈ U ∩ V entweder Ordnung 1 oder Ordnung 5 besitzt.
(c) Seien nun U1 , U2 zwei Untergruppen von G der Ordnung 5. Zeigen Sie, dass entweder U1 = U2 oder
U1 ∩ U2 = {e} gilt.
Dieses Blatt wird vom 3. bis zum 6. November in den Tutorien bearbeitet.
Algebra (Lehramt Gymnasium)
— Blatt 4 —
(Global¨
ubungsblatt)
Aufgabe 1
Erinnerung: In der Linearen Algebra wurde die Signumsfunktion eingef¨
uhrt:
sgn : Sn → {1, −1},
sgn(σ) =
i,j∈Mn
i<j
σ(j) − σ(i)
j−i
f¨
ur alle n ∈ N.
Seien σ, τ ∈ Sn . Es gelten die folgenden Eigenschaften:
(i) sgn(σ ◦ τ ) = sgn(σ) · sgn(τ ).
(ii) Ist τ ein k-Zykel, so ist sgn(τ ) = (−1)k−1 .
Zu jedem n ∈ N sei die Menge An ⊆ Sn gegeben durch An = {σ ∈ Sn | sgn(σ) = 1}.
(a) Zeigen Sie, dass An eine Untergruppe von Sn ist.
(b) Geben Sie alle Elemente von A4 ⊆ S4 an.
Hinweis: Die Elemente von S4 sind im Skript aufgef¨
uhrt.
(c) Betrachten Sie nun die Kleinsche Vierergruppe V4 ⊆ A4 aus der zweiten Aufgabe des ersten Global¨
ubungsblattes. Bestimmen Sie die Anzahl der Linksnebenklassen von V4 in A4 .
(d) Geben Sie zwei Repr¨
asentantensysteme von A4 /V4 an.
(e) Bestimmen Sie die Anzahl der Repr¨
asentantensysteme von A4 /V4 .
Aufgabe 2
Gegeben sei die Gruppe (G, +) mit G = Z sowie deren Untergruppen U = 4Z und V = 3Z.
(a) Betrachten Sie die Menge G/U und zeigen Sie: F¨
ur a, b ∈ Z ist a + U = b + U genau dann, wenn
a − b durch 4 teilbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass es keine Abbildung φ : G/U → G/V gibt mit φ(a + U ) = a + V f¨
ur alle a ∈ Z.
(c) Zeigen Sie, dass es keine Abbildung ψ : G/U × G/V → G/U gibt mit ψ((a + U, b + V )) = a + b + U
f¨
ur alle a, b ∈ Z.
Aufgabe 3
Sei (G, ·) eine endliche Gruppe und U, V Untergruppen von G.
(a) Man zeige: Ist U ⊆ V , so gilt (G : U ) = (G : V ) · (V : U ).
(b) Eine Untergruppe U von G heißt maximal, wenn es keine zwischen U und G liegende Untergruppe
V mit U
V
G gibt. Man beweise: Ist (G : U ) eine Primzahl, so ist U maximal.
Abgabetermin: Dienstag, 11. November, bis 16:15 Uhr
¨
Bitte geben Sie die Nummer Ihrer Ubungsgruppe
an!
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Seele and Geist
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