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1. Haftung - Prof. Dr. Johannes Wandinger

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16.10.14
1. Haftung
●
Das Coulombsche Gesetz:
–
Betrachtet wird ein Klotz auf einer rauen Oberfläche, an
dem eine horizontale Kraft F angreift:
F
g
m
rau
–
Die Erfahrung zeigt: Solange die Kraft F einen bestimmten
Betrag nicht überschreitet, bleibt der Körper in Ruhe.
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-1
16.10.14
1. Haftung
–
Gleichgewicht:
∑ F x =0
∑ F y =0
–
: −H + F=0 → H =F

G
F
: −G+ N =0 → N =G
Der Körper haftet für F=H < H 0 .
–
Coulombsches Gesetz:
–
Haftbedingung:
H 0 =μ 0 N
y
H
N
x
H < H 0 =μ 0 N
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-2
16.10.14
1. Haftung
–
Die Haftungskraft ist so gerichtet, dass die Bewegung verhindert wird.
–
Der maximale Wert H0 ist näherungsweise proportional zur
Normalkraft N.
–
Der Proportionalitätsfaktor μ0 heißt Haftungskoeffizient oder
Haftzahl.
–
Der Haftungskoeffizient hängt vom Material und der Beschaffenheit der Oberflächen ab.
–
Der Angriffspunkt der Normalkraft N kann aus dem Momentengleichgewicht bestimmt werden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-3
16.10.14
1. Haftung
●
Typische Werte des Haftungskoeffizienten μ0:
Stahl auf Eis
Stahl auf Stahl (blank)
Stahl auf Stahl (rostig)
Stahl auf Teflon
Leder auf Grauguss
Leder auf Metall
Holz auf Holz
Autoreifen auf Straße
Ski auf Schnee
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
0,03
0,1 ... 0,15
0,3 ... 0,8
0,04
0,2 ... 0,3
0,2 ... 0,6
0,5
0,7 ... 0,9
0,1 ... 0,3
TM 1 5.1-4
16.10.14
1. Haftung
●
Haftungswinkel:
–
Der Haftungswinkel gibt die
maximal mögliche Abweichung der Wirkungslinie der
Reaktionskraft von der Normalenrichtung an, bei der
noch Gleichgewicht herrscht.
G
Fmax
N
ρ0
tan (ρ 0 )=
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
H0
A
H0
N
=μ 0
TM 1 5.1-5
16.10.14
1. Haftung
–
Gleichgewicht ist möglich, wenn die benötigte Reaktionskraft innerhalb des Haftungskeils bzw. Haftungskegels liegt.
Haftungskeil:
Haftungskegel:
ρ0
A
A
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
ρ0
TM 1 5.1-6
16.10.14
1. Haftung
●
Beispiel 1: Schiefe Ebene
–
Gegeben:
●
–
Haftungskoeffizient
μ0 = 0,2
Gesucht:
●
mg
Winkel α0 , bei dem der
Körper anfängt zu gleiten
α
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-7
16.10.14
1. Haftung
–
Gleichgewicht:
∑ F x =0
: H −m g sin (α)=0

H
→ H =m g sin (α)
∑ F y =0
: N −m g cos(α)=0
→ N =m g cos(α)
–
α
y
x
N
mg
Haftbedingung:
H < H 0 =μ 0 N → m g sin(α)<μ 0 m g cos(α) → tan(α)<μ 0
→ α<α 0 =ρ0 (Haftungswinkel)
–
Zahlenwert:
Prof. Dr. Wandinger
tan (α 0 )=0,2 → α 0 =11,3°
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-8
16.10.14
1. Haftung
●
Beispiel 2: Keilnut
–
A
–
Gegeben:
●
Anpresskraft A
●
Keilwinkel α
●
Haftungskoeffizient μ0
Gesucht:
●
F
durch Haftung übertragbare Kraft F
α
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-9
16.10.14
1. Haftung
Kräfte am Keil:
–
α/2
z
A
x
y
A
α/2

N
H
α
z
F
Prof. Dr. Wandinger
N
5. Haftung und Reibung
N
y
TM 1 5.1-10
16.10.14
1. Haftung
–
Gleichgewicht am Keil:
∑ F x =0
N
A
–
: F−2 H =0
→ F=2 H
H 0 =μ 0 N
μ0 A
→ F =2 H 0 =
sin(α /2)
=μ ' 0 A
α/2
α/2
N
–
1
A=N sin α
2
2
( )
A
→ N=
2 sin ( α/2 )
Prof. Dr. Wandinger
Maximale Haftungskraft
pro Fläche:
Der Koeffizient
μ0
μ ' 0=
>μ 0
sin ( α/ 2 )
heißt Keilnuthaftzahl.
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-11
16.10.14
1. Haftung
●
Beispiel 3: Leiter
–
Auf der dargestellten Leiter
steht ein Mann der Masse m.
–
Wie hoch kann er steigen,
wenn die Wand als glatt betrachtet wird?
–
Gegeben:
mg
h
y
φ
–
●
Haftungskoeffizient μ0
●
Höhe h, Winkel φ
Gesucht:
●
Prof. Dr. Wandinger
maximale Höhe y
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-12
16.10.14
1. Haftung
∑ F x =0
∑ F y =0
Gleichgewicht:
–
NB

B
:−H A + N B =0 → H A =N B
: N A −mg=0 → N A =m g
A
M
∑ =0 : −h N B + x mg=0
x
→ N B= m g
h
mg
h
y
–
φ
A
HA
Haftbedingung:
N B =H A <μ 0 N A
x
y
NA
x
Prof. Dr. Wandinger
x
→
m g<μ 0 m g
h
→ x <μ 0 h
y= x tan(ϕ)<μ 0 h tan(ϕ)
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-13
16.10.14
1. Haftung
–
Wird auch im Punkt B eine Haftungskraft zugelassen, so
treten vier unbekannte Reaktionskräfte auf. Die Leiter ist
dann statisch unbestimmt gelagert.
–
Mithilfe der Haftungskeile in den Lagerpunkten A und B
lässt sich graphisch ermitteln, unter welchen Bedingungen
Gleichgewicht möglich ist.
–
Die Leiter ist im Gleichgewicht, wenn sich die Wirkungslinien der Reaktionskräfte in den Punkten A und B und der
Gewichtskraft in einem Punkt schneiden.
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-14
16.10.14
1. Haftung
–
Grenzlage
B
Gleichgewicht ist möglich,
wenn sich die Wirkungslinien im schraffierten Gebiet schneiden.
B
mg
A
A
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-15
16.10.14
1. Haftung
●
Beispiel 4: Klemmhalterung
b
a
A
–
Der Stab mit Gewicht GS wird
von zwei Klemmbacken mit
Gewicht GB gehalten.
–
Gegeben:
α
GB
GB
y
GS
x
Prof. Dr. Wandinger
●
Gewicht GB
●
Abmessungen a, b
●
Haftungskoeffizient μ0
●
Winkel α
B
–
Gesucht:
●
maximales Stabgewicht GS
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-16
16.10.14
1. Haftung
–
Gleichgewicht am Stab:
∑ F x =0

d
N1
y
→ N 1 =N 2= N
P
H1
N2
H2
GS
d
d
∑ M =0 : 2 H 2− 2 H 1=0
→ H 1 =H 2=H
P
∑ F y =0
x
Prof. Dr. Wandinger
: N 1− N 2 =0
: H 1 + H 2−G S =0
→ G S =2 H
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-17
16.10.14
1. Haftung
–
Gleichgewicht am Klemmbacken:

A
M
∑ =0 :
−a G B −b H +b tan (α) N =0
N
α
Ax
A
Ay
GB
a
b
a
→ N = H + G B cot (α)
b
(
H
)
y
x
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-18
1. Haftung
16.10.14
–
Haftbedingung:
–
a
H <μ 0 N =μ 0 H + G B cot (α)
b
a
a
→ ( 1−μ 0 cot (α) ) H <μ 0 G B cot (α) → ( tan (α)−μ 0 ) H <μ 0 G B
b
b
Es müssen drei Fälle unterschieden werden:
(
●
)
Für tan (α)>μ 0 gilt:
2 μ0
a
a
H<
G B → G S =2 H <
GB
tan (α)−μ 0 b
tan (α)−μ 0 b
μ0
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-19
1. Haftung
●
Für tan (α)=μ 0 gilt:
a
0<μ 0 G B
b
●
Für tan (α)<μ 0 gilt:
tan (α)−μ 0 <0
16.10.14
μ0
a
a
−( μ 0 −tan(α) ) H <μ 0 G B → −H <
GB
b
μ 0 −tan(α) b
●
Die Bedingungen für tan (α)≤μ 0 sind immer erfüllt. Das
Stabgewicht GS kann beliebig groß werden. Dieser Fall wird
als Selbsthemmung bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
5. Haftung und Reibung
TM 1 5.1-20
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Gesundheitswesen
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