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Aufgabenblatt 1 - Mathematisches Institut der Ludwig-Maximilians

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Mathematisches Institut
der Universität München
Stochastische Prozesse
Übungsblatt 1
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✏
Prof. Dr. Franz Merkl
WS 2014/15
✑
Aufgabe 1
Es seien µ und µn , n ∈ N, Wahrscheinlichkeitsmaße auf (R, B(R)). Zeigen Sie die Äquivalenz
der beiden folgenden Aussagen:
w
(a) µn −→ µ für n → ∞.
(b) Es gibt einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und Zufallsvariablen X und Xn , n ∈
N, darauf mit LP (Xn ) = µn für alle n ∈ N, LP (X) = µ und Xn → X für n → ∞
P -fast sicher.
Hinweis: Wählen Sie für die Richtung (a) ⇒ (b) das Einheitsintervall ]0, 1[ mit der Gleichverteilung und die Quantilsfunktionen von µ und µn .
Aufgabe 2
Zeigen Sie, dass Erwartungswertbildung nicht schwach stetig ist. Geben Sie dazu ein Beispiel einer Folge von Verteilungen an, die schwach gegen das Diracmaß δ0 konvergiert, deren
Erwartungswertfolge jedoch gegen eine andere reelle Zahl als 0 konvergiert.
Aufgabe 3
Es seien µ und µn , n ∈ N, Wahrscheinlichkeitsmaße auf (R, B(R)) mit den Verteilungsfunktionen F bzw. Fn . Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen:
w
(a) µn −→ µ für n → ∞.
(b) Für alle x ∈ R, in denen F stetig ist, gilt limn→∞ Fn (x) = F (x).
Zeigen Sie an einem Gegenbeispiel, dass die Implikation (a) ⇒ (b) falsch werden kann, wenn
man die Voraussetzung, dass F in x stetig sein soll, weglässt.
Aufgabe 4
w
Es seien µ und µn , n ∈ N, Wahrscheinlichkeitsmaße auf (R, B(R)) mit µn −→ µ für n → ∞.
(a) Zeigen Sie: Für jede offene Menge U ⊆ R gilt lim inf n→∞ µn (U ) ≥ µ(U ).
(b) Zeigen Sie in der Situation von eben mit einem Gegenbeispiel, dass lim inf n→∞ µn (U ) >
µ(U ) möglich ist.
(c) Zeigen Sie mit einem weiteren Gegenbeispiel, dass limn→∞ µn (U ) nicht immer zu existieren braucht.
Abgabe der Hausaufgaben bis 13.10.2014, 14:00 Uhr, in den Übungskasten
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Bildung
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