close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

00

EinbettenHerunterladen
¨
Ubung
zur H¨
oheren Analysis
WiSe 2014/15
¨
0. Ubungsblatt
– Nur Pr¨
asenzu
¨ bungen
Pr¨
asenzu
¨ bungen
Aufgabe P1
Wir setzen Γ := {A ⊆ Rn | A ist h¨
ochstens abz¨ahlbar}. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen
gelten:
a) A, B ∈ Γ ⇒ A \ B ∈ Γ.
b) A, B ∈ Γ ⇒ A ∪ B ∈ Γ.
c) A1 , ..., An ∈ Γ ⇒ A1 ∪ ... ∪ An ∈ Γ.
d) {Ai | ∀i ∈ N : Ai ∈ Γ} ⇒
i∈N Ai
∈Γ
Aufgabe P2
ur x ∈ R ∞ + x := ∞ =: x + ∞, −∞ + x := −∞ =:
Wir setzen R := R ∪ {∞, −∞} und definieren f¨
x + (−∞) und x − ∞ := x + (−∞). Ebenfalls setzten wir ∞ + ∞ := ∞ und −∞ − ∞ := −∞. Andere
Ausdr¨
ucke sind nicht definiert. Zeigen Sie, dass f¨
ur a, b, c ∈ R die K¨
urzungsregel
a+c=a+b⇒c=b
genau dann gilt, wenn a ∈
/ {±∞}.
Aufgabe P3
Definieren Sie den Begriff einer Folge (xi )i∈N reeller Zahlen, die gegen ∞ oder −∞ konvergiert. Geben
Sie jeweils ein Beispiel einer Folge an, die
a) gegen ∞ konvergiert,
b) gegen −∞ konvergiert,
c) divergiert.
Bemerkung: In der Vorlesung werden wir auch xi → ∞ schreiben, falls (xi ) gegen ∞ konvergiert
(und analog f¨
ur −∞). Wir werden dies weiterhin dadurch begr¨
unden, dass wir auf R eine Metrik
einf¨
uhren, die den Begriff Konvergenz gegen ±∞“ konkretisiert.
”
Bitte wenden!
In der folgenden Aufgabe benutzen Sie bitte den folgenden Satz, den wir im Laufe der Vorlesung
beweisen werden (siehe auch [R1, Satz 6.10]):
Satz: Sei f : [a, b] → R und N ⊆ [a, b] endlich, so dass f |[a,b]\N stetig ist. Dann ist f Riemannintegrierbar.
Aufgabe P4
Konstruieren Sie mit Hilfe des vorigen Satzes eine Funktionenfolge fi : [0, 1] → R mit i ∈ N, so dass
jedes fi Riemann-integrierbar ist, limi→∞ fi (x) f¨
ur alle x ∈ [0, 1] existiert, die Grenzfunktion
f : [0, 1] → R,
x → lim fi (x)
i→∞
beschr¨ankt ist, f aber nicht Riemann-integrierbar ist.
Bemerkung: Wir werden in der Vorlesung einen Integralbegriff entwickeln, der es erlaubt die obige
Grenzfunktion immer zu integrieren.
Document
Kategorie
Bildung
Seitenansichten
2
Dateigröße
111 KB
Tags
1/--Seiten
melden