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FEM-Vorlesung Teil 1 - Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

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FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. DR.-ING. DANIEL JUHRE
INSTITUT FÜR MECHANIK, FAKULTÄT FÜR MASCHINENBAU
OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG
KURSINFORMATIONEN
Verantwortlicher:
Jun.-Prof. Dr.-Ing. Daniel Juhre
E-Mail: daniel.juhre@ovgu.de
Büro: 10-040
Tel: 0391/67 52905
Übungsleiter:
Dr.-Ing. Harald Berger
E-Mail: harald.berger@ovgu.de
Büro: 10-013
Tel: 0391/67-52406
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
JUN.-PROF. D. JUHRE
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INHALT DER VORLESUNG
1. Einführung
2. Grundlagen linearer Strukturmechanik
3. Räumliche isoparametrische Stabelemente
4. Ebene finite Elemente
5. Finite Volumenelemente
6. Strukturelemente
7. Erweiterte Elementtechnologie
WS 2014/15
FINITE-ELEMENT-METHODE
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INHALT DER VORLESUNG
1. Einführung
2. Grundlagen linearer Strukturmechanik
3. Räumliche isoparametrische Stabelemente
4. Ebene finite Elemente
5. Finite Volumenelemente
6. Strukturelemente
7. Erweiterte Elementtechnologie
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1. EINFÜHRUNG
1.1 ANWENDUNGEN DER FEM IN DEN INGENIEURWISSENSCHAFTEN
Die Finite-Element-Methode
Die Finite-Element-Methode, ursprünglich zur Lösung strukturmechanischer Problemstellungen
entwickelt, wurde bis heute zu einem leistungsfähigen numerischen Lösungsverfahren natur- und
ingenieurwissenschaftlicher partieller, zeit- und ortsabhängiger Differentialgleichungen mit
entsprechenden Anfangs- und Randbedingungen weiterentwickelt.
Mit der rasanten Steigerung der Rechenleistung moderner Computeranlagen und der nicht weniger
fortschreitenden Entwicklung kommerzieller Programmsysteme auf Basis der Finite-ElementMethode hat sich dieses Verfahren im Alltag des Ingenieurs etabliert.
Die Finite-Element-Methode hat sich in vielen Bereichen gegen die Alternativen FiniteDifferenzenverfahren, Global-Ritz-Verfahren, Finite-Volumen-Verfahren oder Randelementverfahren
vor allem wegen seiner Vielseitigkeit, der Möglichkeit zur Berechnung beliebiger Geometrien mit
unstrukturierten Netzen oder Unterteilungen des Lösungsgebiets durchgesetzt.
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1. EINFÜHRUNG
1.1 ANWENDUNGEN DER FEM IN DEN INGENIEURWISSENSCHAFTEN
Medium
Grundgleichung
Materialgesetz
Anwendung
Struktur
Energiegleichung
Fourier
Wärmeleitung (Bauphysik, Motorenbau,
Kühlungstechnologie)
Impulsgleichung
Materialgesetz
Elastostatik und –dynamik
(Tragwerksberechnung, Fahrzeugbau, Luftund Raumfahrt)
Masse- und
Impulserhaltung
(Navier-Stokes)
Newton Fluid
inkompressible und kompressible
Strömungssimulation (Fahrzeug- und
Flugkörperumströmung, Rohrströmung)
Energiegleichung
Fourier
Wärmetransport in strömenden Medien
(Wärmetauscher)
Maxwellgleichungen
elektrische
Feldstärke
magnetische
Induktion
Elektrostatik und –dynamik
(Kondensatoren, Elektromotoren,
Generatoren)
Fluid
Fluid - Struktur
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Kommerzielle FEM-Programme
Kommerzielle Programme der Finite-Element-Methode wie z.B.
•
Abaqus
•
Adina
•
Ansys
•
COMSOL Multiphysics
•
MSC.MARC
•
LS-DYNA
•
…
werden derzeit sehr erfolgreich im allen Bereichen des Ingenieurswesen zur Berechnung linearer
und nichtlinearer Probleme der Strukturmechanik eingesetzt.
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Akademische FEM-Programme
Neben diesen anwendungsfreundlichen Programmen existiert eine Vielzahl von
Forschungsprogrammen, die insbesondere zur Weiterentwicklung der Finite-Element-Methode im
Bereich der Elemententwicklung und der Lösungsalgorithmen sowie zur Entwicklung weiterer
Applikationen der Methode eingesetzt werden. Exemplarisch seien hier die folgenden Programme
genannt :
•
CARAT (Institut für Baustatik, Universität Stuttgart)
•
COSAR (Institut für Mechanik, Universität Magdeburg)
•
FEAP (University of Berkeley, USA)
•
INA (Institut für Mechanik, Universität Hannover)
•
KRATOS (CIMNE, Uinversidad de Catalunya, Barcelona)
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Aufbau und Ablauf der FE-Berechnung
Kommerziellen Programmen sowie Forschungsprogrammen gemeinsam ist der prinzipielle
Aufbau und Ablauf der Berechnung, wobei kommerzielle Programme für gewöhnlich den 'Blick
hinter die Kulissen' sowie Erweiterungen oder Modifikationen der Prozeduren nur begrenzt
zulassen.
Der typische Ablauf numerischer Analysen im Rahmen der Finite-Element-Methode zur Lösung
linearer Probleme der Elastostatik kann in drei Schritte unterteilt werden
1. Preprocessing
2. Processing
3. Postprocessing
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Preprocessing
Hierin werden dem Finite-Element-Programm die zur Berechnung des Problems notwendigen
Eingabedaten interaktiv oder auch in Form von Eingabedateien zur Verfügung gestellt.
Die Kontrolle der Eingabe kann zumeist grafisch durchgeführt werden.
Wesentliche Eingabedaten sind:
•
Geometrie
•
Material
•
geometrische Randbedingungen (Verschiebungen, Lager)
•
statische Randbedingungen (Lasten)
•
Volumenlasten
•
Typ der verwendeten finiten Elemente
•
Netzgenerierung (Zerlegung der Struktur in finite Elemente)
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Processing
Innerhalb des Processing findet die numerische Umsetzung der Finite-Element-Methode statt.
Hierzu sind im wesentlichen folgende Schritte notwendig:
•
Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen
•
Berechnung der Elementlastvektoren (Volumen- und Randlasten)
•
Zusammenbau (Assemblierung) der Systemsteifigkeitsmatrix und das Systemlastvektors
•
Auflösung des entstandenen linearen Gleichungssystems nach dem
Systemverschiebungsvektor
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Postprocessing
Die Ausgabe der Lösung und die Interpretation und Kontrolle der Ergebnisse durch den
anwendenden Ingenieur erfolgt im Postprocessor des Programmsystems.
Durchzuführende Operationen sind:
•
Separierung der Elementverschiebungsvektoren
•
Berechnung der approximierten kontinuierlichen Verschiebungen mittels der Ansatzfunktionen
•
Berechnung der approximierten kontinuierlichen Verzerrungen und Spannungen
•
Visualisierung von Deformationen, Dehnungen und Spannungen
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Methodik der FE-Berechnung
Methodisch kann die Entwicklung und Anwendung der Finite-Element-Methode durch die unten
dargestellten wesentlichen Schritte bei der grundlegenden Formulierung des Verfahrens
charakterisiert werden.
Modellbildung
Umsetzung des physikalischen Problems in ein mathematisch und geometrisch formulierbares Modell
Formulierung der modellbeschreibenden Differentialgleichungen und Randbedingungen
Schwache Formulierung
Übergang von (starken oder lokalen) Differentialgleichungen und Randbedingungen zu (globalen oder schwachen)
Integralgleichungen – schwache Form der Differentialgleichung
Gebietszerlegung
Zerlegung des Geometriemodells in geometrisch ähnliche Teilgebiete oder Elemente und Anwendung der schwachen
Form auf die Elemente
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1. EINFÜHRUNG
1.2 STRUKTUR VON PROGRAMMEN DER FINITE-ELEMENT-METHODE
Methodik der FE-Berechnung
Diskretisierung
Approximation der kontinuierlichen primären Lösungsvariablen mit Hilfe von Ansatzfunktionen und diskreten
Lösungsvariablen, Formulierung von Elementmatrizen und Belastungsvektoren
Assemblierung
Zusammenbau der Elementvektoren und -matrizen zu Systemgrößen, dies ergibt die diskrete schwache Form des
Systems
Fundamentallemma der Variationsrechnung
Die schwache Form muss für alle Variationen der primären Variablen erfüllt sein, damit ergibt sich ein
Gleichungssystem für die diskreten Lösungsvariablen
Lösung des Gleichungssystems
Direkte Lösung für lineare stationäre Systeme
Zeitintegration und iterative Lösung für nichtlineare instationäre Systeme
Nachlaufrechnung abhängiger Größen
Berechnung von abgeleiteten Größen mit Hilfe der diskreten Lösungsvariablen und der Ansatzfunktionen auf
Elementebene
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1. EINFÜHRUNG
1.2 LITERATUR ZUR FINITE-ELEMENT-METHODE
Literatur in deutscher Sprache
•
F.R.S. Argyris und H.-P. Mlejnek. Die Methode der finiten Elemente in der elementaren
Strukturmechanik. Band I - III. Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, Braunschweig,
1988.
•
K.-J. Bathe. Finite-Elemente-Methoden. Springer, Berlin, 2002.
•
J. Betten. Finite Elemente für Ingenieure I - II. Springer, Berlin, 1997/98.
•
D. Braess. Finite Elemente Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie.
Springer, Berlin, 1997.
•
F. Hartmann und C. Katz. Statik mit finiten Elementen. Springer, Berlin, 2002.
•
K. Knothe und H. Wessels. Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. Springer, Berlin,
1999.
•
M. Link. Finite Elemente in der Statik und Dynamik. Teubner Studienbücher, Stuttgart, 2002.
•
P. Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, Berlin, 2001.
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1. EINFÜHRUNG
1.2 LITERATUR ZUR FINITE-ELEMENT-METHODE
Literatur in englischer Sprache
•
•
•
•
•
•
•
T. Belytschko, W.K. Liu und B. Moran. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures.
John Wiley & Sons, Chicester, 2000.
J. Bonet und R.D. Wood. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis.
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
S.C. Brenner und L.R. Scott. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer,
New York, 1994.
M.A. Crisfield. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. I-II. John Wiley &
Sons, Chicester, 1991.
G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics. A Continuum Approach for Engineering. John Wiley
& Sons, Chichester, 2000.
T.J.R. Hughes. The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis.
Dover Publications, New York, 2000.
O.J. Zienkiewicz und R.L. Taylor. The Finite Element Method. I-III. Butterworth-Heinemann,
Oxford, 2000.
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INHALT DER VORLESUNG
1. Einführung
2. Grundlagen linearer Strukturmechanik
3. Räumliche isoparametrische Stabelemente
4. Ebene finite Elemente
5. Finite Volumenelemente
6. Strukturelemente
7. Erweiterte Elementtechnologie
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Verschiebungsfeld
Die Kinematik des Kontinuums beschreibt die Geometrie eines Körpers, dessen Bewegung im
Raum sowie seine Deformation während der Bewegung.
Basis dieser Beschreibung bildet die
Betrachtung eines Körpers als
Ensemble materieller Punkte sowie
der Charakterisierung ihres
ursprünglichen und aktuellen Orts
mit Hilfe des Orts- und
Verschiebungsvektors.
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Abbildung
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Verschiebungsfeld
Während der Bewegung existiert zu jeder Zeit  eine eindeutige Konfiguration des Körpers. Sie wird
Momentankonfiguration genannt. In der Ausgangslage heißt sie Ausgangskonfiguration.
Der Ortsvektor  gibt die Position
eines Materialpunkts in der Ausgangskonfiguration an. Die Bewegung des
Materialpunkts wird mit Hilfe des
Verschiebungsvektors  bestimmt.
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Abbildung
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Verschiebungsfeld
Die Komponenten der Orts- und Verschiebungsvektoren sind in der kartesischen Basis mit den
orthogonalen Einheitsvektoren oder auch Basisvektoren  für  ∈ 1,2,3 definiert.
Abbildung
Die aktuelle Position des betrachteten
materiellen Punkts zur Zeit  ist mit dem
Ortsvektor  gegeben.
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Durch das Verschiebungsfeld kann die Lage und Gestalt des deformierten Körpers eindeutig
beschrieben werden. Eine Aussage über lokale Verzerrungen oder Dehnungen ist allerdings nicht
möglich.
Abbildung
Hierzu bedarf es der Betrachtung des
differentiellen Umfelds eines materiellen
Punkts. Das kann mit Hilfe der zeitlichen
Veränderung des Linienelements 
in der Ausgangskonfiguration zu 
in der Momentankonfiguration
ermöglicht werden.
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Der funktionale Zusammenhang zwischen  und  kann
wie folgt dargestellt werden.
Abbildung
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Hierin ist  der Einheitstensor zweiter Stufe, dessen Komponenten dem Kroneckersymbol 
entsprechen.
Abbildung
mit
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Der Verschiebungsgradient  bezeichnet die Ableitung des Verschiebungsvektors nach dem
Ortsvektor der Ausgangskonfiguration.
Abbildung
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Als Maß für die Längenänderung eines Linienelements  während der Deformation wird das
Längenquadrat in der Ausgangskonfiguration
Abbildung
bzw. das Längenquadrat in der
Momentankonfiguration
gebildet (s. Folie 22).
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2. GRUNDLAGEN LINEARER STRUKTURMECHANIK
2.1 KINEMATIK DES KONTINUUMS
Definition eines allgemeinen Verzerrungsmaßes
Die Differenz der beiden Längenquadrate ergibt
Abbildung
Bezieht man nun die Differenz auf das
zweifache Längenquadrat der
Referenzkonfiguration erhält man
 ist der sogenannte Green-Lagrange
Verzerrungstensor.
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