close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Blatt 2 Analysis für Informatik [MA0902] - M5 - TU München

EinbettenHerunterladen
TU München, Zentrum Mathematik
M5
WS 2014/2015
Prof. Dr. Silke Rolles
Dr. Christian Döbler
Blatt 2
Analysis für Informatik [MA0902]
Ausgabe: 13. Oktober 2014
Abgabe: bis 20. Oktober 2014, 12 Uhr im Briefkasten im Untergeschoss
Tutoriumsaufgabe 1. Untersuchen Sie jeweils die Folge (an )n∈N reeller Zahlen
auf Konvergenz. Begründen Sie dabei all Ihre Rechenschritte bzw. nennen Sie die
verwendeten Verfahren.
3n2 + 5n − 6
(a) an =
(n + 2)2
4n3 + 7n
12n2 + 9n + 4
2n + 3
(c) an = 2
n + 8n
1
(d) an = √
n
√
√
(e) an = 4n + 1 − 4n − 3
(b) an =
Tutoriumsaufgabe 2.
reeller Zahlen an mit:
Geben Sie, falls möglich, Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N
(a) (an )n∈N konvergiert gegen 0, (bn )n∈N konvergiert nicht und (an bn )n∈N konvergiert.
(b) (an )n∈N konvergiert gegen 0, (bn )n∈N konvergiert nicht und (an bn )n∈N konvergiert nicht.
(c) (an )n∈N konvergiert gegen a = 0, (bn )n∈N konvergiert nicht und (an bn )n∈N konvergiert.
Tutoriumsaufgabe 3. Sei (an )n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen. Überlegen Sie sich, dass dann der Grenzwert limn→∞ an eindeutig bestimmt ist.
Hinweis: Machen Sie sich dies zunächst anschaulich anhand eines Bildes klar und
versuchen Sie dann, die Idee zu formalisieren.
1
2
Hausaufgabe 1. (4 Punkte) Untersuchen Sie jeweils die Folge (an )n∈N reeller
Zahlen auf Konvergenz. Begründen Sie dabei all Ihre Rechenschritte bzw. nennen
Sie die verwendeten Verfahren.
(a) an =
(b) an =
√
5n2 +3n+8 n
√
(n+4)2 + πn
n+
√
√
n− n
(c) an = q n , wobei q eine beliebige reelle Zahl ist
√
(d) an = bn , wobei (bn )n∈N eine gegen b ≥ 0 konvergente Folge nichtnegativer
reeller Zahlen ist.
Hinweis: Für (c) dürfen sie ohne Beweis die Bernoulli-Ungleichung verwenden:
Für alle x > −1 und n ∈ N0 gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Hausaufgabe 2. (4 Punkte) Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Es gebe ein
a ∈ R sowie eine Folge (bn )n∈N nichtnegativer reeller Zahlen mit limn→∞ bn = 0
und
|an − a| ≤ bn für alle n ∈ N.
Zeigen Sie, dass dann limn→∞ an = a gilt.
Hausaufgabe 3. (4 Punkte) Die Folge (fn )n∈N der Fibonacci-Zahlen wird rekursiv definiert durch f1 := f2 := 1 und fn := fn−1 + fn−2 für n ≥ 3.
(a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n die sogenannte Formel von
Binet:
√ n
√ n
1
1− 5
1+ 5
fn = √
−
,n ∈ N
2
2
5
(b) Zeigen Sie, dass die Folge ( fn+1
)
gegen den goldenen Schnitt
fn n∈N
√
1+ 5
Φ :=
2
konvergiert.
Hinweis: Evtl. ist für (b) die Formel
an+1 − bn+1
bn
=
a
+
(a
−
b)
an − b n
an − b n
für reelle Zahlen a, b mit |a| = |b| und n ∈ N0 hilfreich.
Document
Kategorie
Sport
Seitenansichten
14
Dateigröße
191 KB
Tags
1/--Seiten
melden