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14WS-S_Brauer_Programm - Goethe-Universität

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Seminar
Brauergruppe
Wintersemester 2014/15
Goethe-Universität Frankfurt am Main
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Jakob Stix
Nithi Rungtanapirom
Programm
Vortrag 1: Ringe und Moduln I – Adrian Baumann
23.10.2014
Ringe, das Zentrum eines Ringes und (Links- und Rechts-)Ideale, Beispiel eines Linksideals, welches kein
Rechtsideal ist und umgekehrt; Faktorringe und Homomorphiesatz (III.1.7); Schiefkörper, als Beispiel die
Hamilton’schen Quaternionen, siehe [Ker07, §0]; entgegengesetzter Ring; (Links- und Rechts-)Moduln,
Untermoduln, Modulhomomorphismen, Faktormoduln und Homomorphiesatz (VII.2.2); direkte Summen von
Moduln und deren universelle Eigenschaft.
Literatur: [JS06, §III.1, §VII.1-3] und [Ker07, §0]
Vortrag 2: Ringe und Moduln II – Aaron Siddhartha Mondal
04.11.2014
Annullator; Erzeugendensysteme und Basen; exakte Folgen von Moduln, spaltende exakte Folgen (Satz
VII.5.1); endlich erzeugbare und noethersche Moduln, zugehörige Aussagen im Hinblick auf exakte Folgen
(VII.6.1 und 6.5) sowie Charakterisierungen noethercher Moduln (VII.6.4); (links- und rechts-)noethersche
Ringe; einfache Moduln und Beispiele, vor allem VIII.1.2(3); halbeinfache Moduln und Charakterisierungen
(Satz VIII.1.6) mit Folgerung (VIII.1.8).
Literatur: [JS06, §VII.4-6 bis Satz 6.9, §VIII.1 bis Bemerkung 1.9]
Vortrag 3: Halbeinfache Ringe – Jairo Eichler
11.11.2014
Schurs Lemma und Folgerungen (VIII.1.10-11); Berechnung von EndMn (S) (S n ) (VIII.1.14); halbeinfache Ringe;
Struktur von Moduln über halbeinfachen Ringen (VIII.2.3); Struktursatz für halbeinfache Ringe (VIII.2.11),
als Folgerung die Zerlegung eines halbeinfachen Moduls in isotypische Komponenten (Bemerkung nach
Lemma VIII.2.6); der Dichtesatz von Jacobson und dessen Folgerungen (VIII.3.1-2 und 3.4).
Literatur: [JS06, §VIII.1 ab Lemma 1.10, §VIII.2-3]
Vortrag 4: Tensorprodukte – Phoung Bao Pham
18.11.2014
Tensorprodukt von Moduln über einem kommutativen Ring, universelle Eigenschaft, Existenz und Eindeutigkeit (Satz VII.10.3), funktorielles Verhalten (Lemma VII.10.5), Verträglichkeit mit direkten Summen (Lemma
VII.10.6), Tensorprodukt von freien Moduln (Satz VII.10.7), Erweiterungen der Skalare (VII.10.8), Rechtsexaktheit (Lemma VII.10.9); Tensorprodukt von einem Rechts- und einem Linksmodul über einem beliebigen
Ring (VII.10.11).
Literatur: [JS06, §VII.10]
Vortrag 5: Algebren und artinsche Moduln – Frederike Hotop
25.11.2014
Algebren über kommutativen Ringen, Übergang von einer Algebra zu einem Ringhomomorphismus und umgekehrt; endlich-dimensionale Algebren über einem Körper (VIII.4.4 mit anschließenden Bemerkungen);
Struktursatz von Wedderburn (Satz IX.5.1); Erweiterungen der Skalare; artinsche Moduln; (links- und
rechts-)artinsche Ringe; das Radikal eines Moduls; Charakterisierung halbeinfacher Ringe (Satz VIII.7.5).
Literatur: [JS06, §VIII.4, §VIII.6-7 bis Korollar 7.6]
Vortrag 6: Tensorprodukte von Algebren – David Kautz
02.12.2014
Tensorprodukt von Algebren und dessen universelle Eigenschaft; Tensorprodukte für Matrizenringen, siehe
[JS06, IX.2.3]; der Zentralisator eines Unterrings, speziell für Tensorprodukte; Tensorprodukt von (zentralen)
einfachen Algebren; Beispiele für zentrale einfache Algebren über einem Körper.
Literatur: [JS06, §IX.2] und [Ker07, §2.5-8]
Vortrag 7: Die Brauergruppe – Karin El Salim
09.12.2014
Azumaya-Algebren; Ähnlichkeitsrelation (Brauer-Äquivalenz), v.a. mit Nachweis der Transitivität; die Brauergruppe Br(K ) mit Nachweis der Gruppenaxiome; die Brauergruppe eines algebraisch abgeschlossenen
Körpers; funktorielles Verhalten (die Restriktionsabbildung), Beispiel dafür, dass resL/K i.Allg. nicht injektiv
ist; Charakterisierung von Azumaya-Algebren; der Grad und der Index einer Azumaya-Algebra.
Literatur: [Ker07, §3.1-10]
Vortrag 8: Skolem-Noether und der Zentralisatorsatz – Maritza Martínez
16.12.2014
Der Satz von Skolem-Noether (4.2) und der Satz über Automorphismen auf Azumaya-Algebren (4.3) als
Folgerung; Einfachheit des Zentralisators; der Zentralisatorsatz (4.5) und dessen Anwendung auf Körpererweiterungen mit einer Dimensionsbeziehung (4.7).
Literatur: [Ker07, §4.1-7]
Vortrag 9: Zerfällungskörper und maximale Teilkörper – Andre Münch
13.01.2015
Definition des Zerfällungskörpers und der relativen Brauergruppe; maximal kommutative Unterringe eines
Schiefkörpers (5.2); maximale Teilkörper eines zentralen Schiefkörpers (5.4); Existenz eines separablen bzw.
galoisschen Zerfällungskörpers (5.6-7); Beziehung zwischen der Brauergruppe und relativen Brauergruppen
(5.8); Satz über endlichdimensionale Zerfällungskörper (5.9).
Literatur: [Ker07, §5.1-9]
Vortrag 10: Br(Fq ) und Quaternionenalgebren I – N.N.
20.01.2015
Die Brauergruppe eines endlichen Körpers (Satz von Wedderburn für endliche Schiefkörper); Definition einer Quaternionenalgebra, Konjugation, reduzierte Spur und reduzierte Norm; Konstruktion im Falle
der Charakteristik = 2, als Beispiel die Matrizenalgebra; Tensorprodukt mit einer Körpererweiterung; F Darstellungen und Beispiele.
Literatur: [Ker07, §6.1-3] und [Vig80, Ch.1 §1]
Vortrag 11: Quaternionenalgebren II – N.N.
27.01.2015
Satz von Automorphismen (Thm.2.1) und Folgerungen; Satz von Frobenius und Folgerung für Br(R); Tensorprodukte von Quaternionenalgebren mit demselben maximalen Teilkörper, den expliziten Beweis des
Theorems 2.9 für den Fall der Charakteristik = 2 findet man z.B. in [GS13, Lemma 1.5.2].
Literatur: [Vig80, Ch.1 §2] und [GS13, §1.5]
Vortrag 12: Verschränkte Produkte I – N.N.
03.02.2015
Definition eines verschränkten Produkts; Strukturanalyse; 2-Kozyklen (Faktorsysteme); Ansatz zur Konstruktion von verschränkten Produkten.
Literatur: [Ker07, §7.1-5]
Vortrag 13: Verschränkte Produkte II – N.N.
10.02.2015
Konstruktion von verschränkten Produkten (Satz von E.Noether in §7.5); 2-Koränder; Isomorphiekriterium
für verschränkte Produkte.
Literatur: [Ker07, §7.5-7]
Literatur
[GS13] P. Gille, T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge studies in advanced mathematics, no. 101, Cambridge Univ. Press, 2006.
[JS06] J. C. Jantzen, J. Schwermer, Algebra, Springer-Lehrbuch, Springer, 2006
[Ker07] I. Kersten, Brauergruppen, Universitätsverlag Göttingen 2007. Digitale Version verfügbar unter webdoc.sub.gwdg.de/univerlag/2007/brauergruppen.pdf.
[Vig80] M.-F. Vignéras, Arithmétique des algèbres de quaternions, Lecture notes in mathematics, vol. 800,
Springer, 1980.
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