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Bewegte Fluide

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Bildquellen (wenn nicht anders erwähnt):Halliday Physik, Tipler Physik oder Wikipedia
Physik I für Ingenieure
Christoph T. Koch | Institut für Experimentelle Physik | Uni Ulm
13. Strömende Fluide
Page 13/2
C. T. Koch | Physik I für Ingenieure | Uni Ulm
Inhalt Physik I: Mechanik, Wellen und Geometrische Optik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Grundlagen, Messen und Maßeinheiten
Kinematik (Beschreibung der Bewegung)
Dynamik (Bewegung und deren Ursachen [Kräfte])
Scheinkräfte und Reibungskraft
Kinetische Energie und Arbeit
Systeme von Teilchen, Impuls- und Energieerhaltung, Stöße
Rotation ausgedehnter Körper, Drehmoment und -Impuls
Kreisel
Keplersche Gesetze + Gravitation
Schwingungen
Mechanik deformierbarer fester Körper
Mechanik der Fluide (Flüssigkeiten und Gase)
Strömende Fluide
Wellen I
Wellen II
Geometrische Optik
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C. T. Koch | Physik I für Ingenieure | Uni Ulm
Annahmen für Betrachtung von Strömungen Idealer Fluide
1. Gleichmäßige Strömung: Bei einer
gleichmäßigen (oder laminaren) Strömung
verändert sich die Geschwindigkeit des Fluids
in einem gegebenen Punkt nicht, weder
hinsichtlich ihres Betrags noch hinsichtlich
ihrer Richtung.
2. Inkompressible Strömung: Wir nehmen das
Fluid als ideal, d.h. auch inkompressibel an.
3. Nichtviskose Strömung: Das Fluid sollte
keine innere Reibung haben.
4. Wirbelfreie Strömung: Die Strömung sollte
rotationsfrei sein.
Bei einem bestimmten Punkt ändert sich
die Strömung aus Rauch und heißem Gas
von einer gleichmäßigen zu einer
turbulenten Strömung
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Laminare Strömung
Die Bewegung eines Fluidelements P
folgt einer Stromlinie.
Der Geschwindigkeitsvektor des Elements
ist an jedem Punkt tangential zur Stromlinie.
Bei laminarer Strömung sind Stromlinien nahezu gerade und schneiden
sich nicht.
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C. T. Koch | Physik I für Ingenieure | Uni Ulm
Volumenstrom und die Kontinuitätsgleichung
Bewegt sich ein Fluid mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einer
(Querschnitts-)fläche A, dann definiert man den Volumenstrom als
IV = Av
Für inkompressible Flüssigkeiten gilt, dass der Volumenstrom konstant ist, denn
Inkompressibilität bedeutet, dass das Volumen
einer bestimmten Menge Fluid konstant bleibt
V =A∆x = A(v∆t ) = const
Daraus ergibt sich folgende
Kontinuitätsgleichung:
IV = const ⇒ A1v1 = A2 v2
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Kontinuitätsgleichung für kompressible Fluide
Für kompressible Fluide ist kann die Dichte sich mit dem Ort ändern. Die
Kontinuitätsgleichung gilt in dem Fall nicht für das Volumen, sondern die Anzahl
von Molekülen. Da jedes Molekül eine wohldefinierte Masse hat ist diese
Anzahl der Moleküle pro Volumen proportional zur Dichte.
Definition Massestrom:
I M = ρAv
Dieser ist auch für kompressible Fluide (z.B. Gase) konstant. Wenn trotzdem
eine Differenz von Masseströmen an verschiedenen Orten zu messen ist, dann
lässt das auf eine Änderung der Masse des Fluids dm/dt in dem System
schliessen (z.B. ein Leck oder eine Öffnung zwischen Orten 1 und 2):
I M ,1 − I M , 2 = ρ1 A1v1 − ρ 2 A2 v2 =
d12 m
dt
Ganz allgemein gilt die differentielle
Kontinuitätsgleichung, in der auch die
zeitliche Variation der Dichte berücksichtigt
wird, für jeden Punkt im Fluid:
I M ,2
I M ,1



 ∂ρ ∂ ( ρv ) ∂ ( ρv ) ∂ ( ρv )
∂ρ
+
+
=0
+ div( ρv ) =
+
∂t
∂t
∂x
∂y
∂z
dm12
dt
(folgt aus
dm
=0)
dt
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Grundidee der Bernoulli Gleichung
Gilt für nichtviskose (kein Strömungswiderstand
aufgrund innerer Reibung), inkompressible Fluide
in laminarer Strömung.
Idee: Druckunterschiede werden nicht in Verdichtung
(inkompressibel), sondern Bewegung umgesetzt.
=> Das 2. Newtonsche Axiom diktiert die
Beschleunigung kleiner ‚Portionen‘ des Fluids
aufgrund von Druckunterschieden.
Daniel Bernoulli
1700 - 1782
dv
F = − A∆P = ma = ρA∆l
dt
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Versuch: Rohr mit Verengung
Bernoulli-Gleichung für konstante Höhe:
P1 +
1 2
1
ρv1 = P2 + ρv22
2
2
⇒ Wenn v2 > v1, dann muss gelten P2 < P1.
⇒ Wir können anhand des lokalen Drucks die
lokale Fließgeschwindigkeit bestimmen.
⇒ Anhand der Kontinuitätsgleichung können
wir damit lokalen Rohrquerschnitte bestimmen.
A1 v2
=
A2 v1
MF-3 Bernoulli-Effekt:
Rohr mit Verengung
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Bernoulli-Gleichung kombiniert mit Schweredruck
Wenn wir auch die Möglichkeit, dass sich zwischen den Orten (P1,v1) und (P2,v2)
auch der Schweredruck aufgrund einer Höhenänderung h1→h2 ändert,
dann muss die allgemeine Bernoulli Formel durch den hydrostatischen Druck
erweitert werden:
1 2
1 2
P1 + ρgh1 + ρv1 = P2 + ρgh2 + ρv2
2
2
Etwas allgemeiner heißt dann die Bernoulli-Gleichung in ihrer üblichen Form:
1 2
P + ρgh + ρv = const
2
Diese Gleichung gilt für jeden Punkt einer stationären Strömung eines
inkompressiblem nichtviskosen Fluids.
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Der Venturi-Effekt
Bernoulli-Gleichung für konstante Höhe:
1 2
1 2
P1 + ρv1 = P2 + ρv2 = P0
2
2
Daraus folgt, dass in einem bewegten Fluid der Druck
immer geringer ist, als in dessen Umgebung, in der das
der Fluid ruht (v1 > 0 => P1 < P0).
Auf diese Art wird noch in manchen
Fahrzeugen das nötige Benzin-Luft-Gemisch
hergestellt (Vergaser), oder Perfüm zerstäubt.
http://www.2cv-power.de/motor/vergaser/prinzip/prinzip.htm
Giovanni Battista Venturi
1746 - 1822
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Versuch: Venturi-Düse
Venturi-Effekt:
Wenn Luft oder ein anderes Fluid durch
eine Verengung strömt, nimmt die
Strömungsgeschwindigkeit zu und der
Druck nimmt ab.
1
1
2
P1 + ρ F v1 = P2 + ρ F v22
2
2
ρ F v12
ρ F v12 A12
P1 +
= P2 +
2
2 A22

 2 − 1
P1 − P2 =
2  A2

= ( ρU − ρ F ) g∆h
ρ F v12  A12
MF-23 Druckverteilung in Venturi-Düse:
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Der Staudruck: Umkehrung des Venturi-Effekts
Am Staupunkt eines von einem Fluid
umströmten Körpers ruht das Fluid.
Der Druck im bewegten Fluid ist der
statische Druck
Animation: Wikipedia
⇒ Der Druck am Staupunkt ist
höher, als im bewegten Fluid.
⇒ Aus der Differenz zwischen
Staudruck und Statischem Druck
im bewegten Fluid lässt sich v
bestimmen:
PGes
1
= ρv 2 + PStat
2
PStau = PGes − PStat
⇒v=
h
ρU
PStau = ρU gh
1 2
= ρv
2
2 PStau
ρ
Prinzip einer Prandtlsonde
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Versuch: Staurohr
Gesamtdruck = Druck, der in
ruhendem Fluid gemessen wird
(am Staupunkt)
Statischer Druck = Druck im
bewegten Fluid
Staudruck = Differenz zwischen
Gesamtdruck und statischem Druck
MF-16 Bernoulli-Gleichung:
Gesamtdruck, Staudruck, statischer Druck
PStau = PGesamt − PStat
1 2
= ρv
2
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Das Tragflächenprinzip
Venturi-Effekt:
P1
P1 > P2

F2
P2
Aus dem Venturi-Effekt folgt:
Je dichter die Stromlinien, desto kleiner der Druck
Oberhalb der Tragfläche sind Stromlinien dichter, als
unterhalb
⇒ Der Druck über der Tragfläche ist kleiner als der
darunter
⇒ Die Kraft des Luftdrucks auf die Tragfläche ist von
unten größer, als von oben
⇒ Auftrieb
 
P2 < P1 ⇒ F2 − F1 < 0 ⇒ Auftrieb

F2
P2
P1
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Versuch: Tragflügel
Der Tragflügel wird hauptsächlich
aufgrund des Unterdrucks oberhalb des
Flügels getragen.
⇒ ‚hängt unter der Luft‘
MF-4 Tragflügel: Druckmessung am
angeblasenen Tragflügel
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Der Magnus Effekt
Die unterschiedlichen relativen Strömungsgeschwindigkeiten an der Oberfläche
eines rotierenden Zylinders bewirken einen niedrigeren Druck auf der Seite, wo die
Zylinderwand sich mit der Strömungsrichtung bewegt.
⇒ Es wirkt eine Kraft senkrecht zur Strömungsrichtung.
‚Segel‘-Schiff mit Flettner-Rotoren
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Versuch: Hydrodynamisches Paradoxon
MF-26 Bernoulli-Effekt: Hydrodynamisches Paradoxon
Durch den geringen Druck in den
schnell durchströmten Zwischenräumen
werden deren Wände aneinander
gedrückt, was die Strömungsgeschwindigkeit weiter erhöht.
Venturi-Effekt:
P1
P1 > P2
P2
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Viskose Strömungen
Ein Fluid strömt nur, wenn es einem Druckunterschied ausgesetzt ist.
Der Volumenstrom, der sich aufgrund eines Druckgradienten einstellt ist invers
proportional zum Strömungswiderstand R.
∆P P1 − P2
=
IV =
R
R
Der Strömungswiderstand R ist Konsequenz
der Reibung unterschiedlich schneller
Fluid-Schichten aneinander (Viskosität).
Dabei nimmt man an, dass die alleräußerste (sehr dünne) Schicht
relativ zur Gefäßwand in Ruhe ist (oder sich kaum bewegt).
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Viskosität
Wenn wir 2 Platten im Abstand z
voneinander und einem Fluid der Viskosität
η gegeneinander bewegen, dann steigt die
der Bewegung entgegengesetzte
Reibungskraft F
• mit wachsender Geschwindigkeit v
• mit der Größe der Fläche A der Platten
• mit kleiner werdendem Abstand z
Für geringe Geschwindigkeiten und laminare Strömung sind diese Abhängigkeiten
weitgehend linear, so dass folgendes gilt:


Av
⇒ F = −η
z
Dabei ist der fehlende Faktor η (Einheit Pa∙s) eine Eigenschaft der Flüssigkeit,
die Viskosität
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Versuch: Fließender Honig
Substanz
η in mPa·s
Wasser (5 °C)
1,52
Wasser (20 °C)
1,00
Blut (37 °C)
4 bis 25
Olivenöl
100
Honig
10000
Asphalt (je nach Rezeptur)
1011 bis 1016
Quecksilber
1,55
Glas
(Verarbeitungstemperatur)
102 bis 104
Glas (Raumtemperatur)
1018 bis 1020
Luft
17∙10-6
MF-10 Viskosität: Honigversuch
Laminare Strömung einer viskosen Flüssigkeit
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C. T. Koch | Physik I für Ingenieure | Uni Ulm
Gesetz von Hagen-Poiseuille
Die Kraft F die eine zylindrische Schicht mit
Radius r der Dicke dr eines viskosen Fluids
dem Fluss entgegensetzt ist
2πrldv
Adv
=η
F =η
dr
dr
Wobei dv die Differenz der Geschwindigkeiten
auf beiden Seiten der Schicht ist.
In einem Rohr mit Radius r wird die Fläche A
konzentrischer Fluidschichten immer kleiner, so dass die
Geschwindigkeit nach innen hin quadratisch ansteigt.
Der Strömungswiderstand kann so berechnet werden als
8ηl
R= 4
πr
Da dieser der Druckdifferenz proportional ist, erhalten wir
8ηl
∆P = RIV = 4 IV
πr
Gesetz von Hagen-Poiseuille
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Versuch: Hagen-Poiseuille-Gesetz
Hagen-Poiseuille-Gesetz
IV =
MF-33 Hagen-Poiseuille-Gesetz:
Kapillaren mit verschiedenen Durchmessern
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Die Reynolds-Zahl
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit v eines Fluids einen bestimmten
Grenzwert übersteigt, dann geht die laminare Strömung in eine turbulente
Strömung über. Dieser nur empirisch zu ermittelnde Grenzwert hängt auch
von der Viskosität η, der Dichte ρ der Flüssigkeit, und dem Rohrdurchmesser
oder der charakteristischen Größe L des umströmten Objekts ab.
Die Reynolds-Zahl Re gibt Auskunft über die Art
der Strömung (hilfreich für Dimensionsabschätzungen)
Re =
Lρv
η
Re < 1
=> Strömung laminar
1 ≤ Re ≤ 3000
=> Strömung wird langsam instabil
Re > 3000
=> Strömung turbulent
Für Strömung in einem Rohr oder um eine Kugel ist
L = Durchmesser des Rohrs oder der Kugel.
Für einen Fluss ist L dessen Breite.
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Versuch: Übergang Laminar => Turbulent
Die Ausbildung von Wirbeln sind der Beginn
der turbulenten Strömung.
MF-21 Übergang laminare-turbulente Strömung:
Satellitenbild: Wirbel verursacht durch Wind, der um
die Juan Fernández Islands vor der Küste Chiles weht.
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Zusammenfassung 13: Strömende Fluide
Kontinuitätsgleichung:
IV = const ⇒ A1v1 = A2 v2
Staudruck:
v Ausfluss = 2 gh
1 2
P + ρgh + ρv = const
2
1
PStau = PGes − PStat = ρv 2
Strömungswiderstand:
R=
Gesetz von Toricelli:
Gesetz von Bernoulli:
∆P
IV
8ηl
∆P = RIV = 4 IV (η = Viskosität)
πr
Lρv
(Re < 1 => laminar)
Re =
η
Gesetz von Hagen-Poiseuille:
Reynolds-Zahl:
2
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