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Blatt 2

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Humboldt-Universit¨at zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Prof. Dr. Peter Imkeller,
Victor Nzengang
Blatt 2
WS 2014/15
20. Oktober 2014
¨
Ubungen
zu Stochastik 2
Aufgabe 1 (2 Punkte)
Sei B die Borel-σ-Algebra auf R. Es sei Ω := (ωt )t∈[0,1] | ωt ∈ R, ∀t ∈ [0, 1] der Raum
aller reellwertigen Funktionen auf [0, 1] ausgestattet mit der Produkt-σ-Algebra t∈[0,1] B.
Zeigen Sie, dass die Menge aller stetigen Funktionen auf [0, 1] keine messbare Teilmenge von
Ω ist.
Hinweiss: Nutzen Sie Blatt 1, Aufgabe 2.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Es sei (S, G) ein polinscher Raum.
1. Zeigen Sie, dass jede abgeschlossene Menge F ⊆ S, zusammen mit ihrer Spurtopologie,
ein polnischer Raum ist.
2. Zeigen Sie, dass jede offene Menge G ⊆ S, zusammen mit ihrer Spurtopologie, ein
polnischer Raum ist.
Hinweiss: Betrachten Sie f¨
ur eine passende Metrik d auf S die Abbildung
(x, y) → d(x, y)+
1
1
−
, x, y ∈ G.
c
dist(x, G ) dist(y, Gc )
Aufgabe 3 (2 Punkte)
Ist (Xt )t∈[0,1] ein reellwertiger stochastischer Prozeß mit stetigen Pfaden auf einem meßbaren
Raum (Ω, F) (d.h f¨
ur t ∈ [0, 1] ist Xt : Ω → R eine Zufallsvariable, und f¨
ur ω ∈ Ω ist die
Pfadabbildung t → Xt (ω) stetig so ist die Abbildung
X : Ω → S,
ω → X(ω) = (Xt (ω))t∈[0,1]
(F, B)-meßbar, wobei S ist der Banachraum (C ([0, 1], R) , || · ||∞ ) und B ist die Borel-σAlgebra auf S.
2
Aufgabe 4 ( 2 Punkte)
Sei K : N × N → R eine Funktion mit
(i) K(s, t) = K(t, s) f¨
ur alle s, t ∈ N,
(ii)
k
i,j=1
K(ti , tj )xi xj > 0 f¨
ur k ≥ 1 und t1 , · · · , tk ∈ N, (x1 , · · · , xk ) ∈ Rk \ {0}.
Zeigen Sie:
Es gibt einen stochastischen Prozeß (Xt )t∈N , sodass f¨
ur t1 , · · · , tk ∈ N gilt: (Xt1 , · · · , Xtk )
besitzt eine zentrierte Normalverteilung mit Kovarianzmatrix (K(ti , tj ))ki,j=1 .
¨
Abgabe: Montag, 27.10.14, 15.15 Uhr in der Ubung,
Rudower Chaussee 25, Raum
3.008
Die Aufgaben sind auf getrennten Bl¨attern zu bearbeiten und mit Namen und Matrikelnummer zu versehen. Bitte geben Sie die Losungen zu zwei.
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