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Algebra - Mathematisches Institut - Ludwig-Maximilians-Universität

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Ralf Gerkmann
Mathematisches Institut der
Ludwig-Maximilians-Universität München
Algebra
(Version vom 19. November 2014)
Inhaltsverzeichnis
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
..................................
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
§ 4.
Der Satz von Lagrange
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
§ 7.
Gruppenoperationen
3
........................
11
......................
15
.....................................
23
...........................
30
............................
39
......................................
48
§ 1. Die Kategorie der Gruppen
Bekanntlich ist eine Verknüpfung auf einer Menge X eine Abbildung X × X → X . Im Prinzip kann eine Verknüpfung
mit einem beliebigen Symbol bezeichnet werden, häufig verwendet man aber eines der Symbole ·, ◦, ∗, , + oder ⊕.
Definition 1.1 Eine Halbgruppe ist ein Paar (G, ·) bestehend aus einer nichtleeren Menge G und
einer Verknüpfung · auf G, die das Assoziativgesetz
(a · b) · c
a · (b · c) für alle a, b, c ∈ G
=
erfüllt.
Zu jeder Struktur gibt es in der Algebra strukturerhaltende Abbildungen, die man als Homomorphismen bezeichnet.
Seien (G, ·) und (H , ∗) Halbgruppen. Ein Halbgruppen-Homomorphismus von
Definition 1.2
(G, ·) nach (H , ∗) ist eine Abbildung φ : G → H mit
φ(g · h)
=
φ(g ) ∗ φ(h)
für alle g , h ∈ G.
Wird als Verknüpfungssymbol für eine Halbgruppe eines der Zeichen ·, ∗, ◦ oder
verwendet, dann spricht man von
einer Halbgruppe in multiplikativer Schreibweise. Häufig wird das Symbol · zwischen einzelnen Bezeichnern auch
weggelassen, d.h. man schreibt ab statt a · b. Ist das Verknüpfungssymbol + oder ⊕, dann liegt die Halbgruppe in
additiver Schreibweise vor.
Definition 1.3
Sei (G, ·) eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G wird als Neutralelement von (G, ·)
bezeichnet, wenn a ·e = e ·a = a für alle a ∈ G erfüllt ist. Eine Halbgruppe mit (mindestens) einem
Neutralelement nennt man Monoid.
Proposition 1.4
Beweis:
Jede Halbgruppe besitzt höchstens ein Neutralelement.
Sei (G, ·) eine Halbgruppe, und seien e, e Neutralelemente von (G, ·). Weil e Neutralelement ist, gilt a · e = a
für alle a ∈ G, insbesondere also e · e = e . Weil e Neutralelement ist, gilt e · a = a für alle a ∈ G, also insbesondere
e · e = e. Insgesamt erhalten wir e = e · e = e.
Aus der Proposition folgt, dass jedes Monoid (G, ·) ein eindeutig bestimmtes Neutralelement besitzt. Bei einem Monoid
in multiplikativer Schreibweise verwendet man für dieses Element üblicherweise die Bezeichnung eG oder 1G , bei
additiver Schreibweise die Bezeichnung 0G .
Definition 1.5
Seien (G, ·) und (H , ∗) Monoide, mit den Neutralelementen eG und e H . Eine
Abbildung φ : G → H wird Monoid-Homomorphismus von (G, ·) nach (H , ∗) genannt, wenn φ
ein Halbgruppen-Homomorphismus von (G, ·) nach (H , ∗) ist und außerdem φ(eG ) = e H gilt.
—– 3 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Sehen wir uns einige Beispiele für Halbgruppen und Monoide an.
(i) Aus der Analysis-Vorlesung ist bekannt, dass die Addition auf dem Körper R der reellen Zahlen das Assoziativgesetz erfüllt. Also gilt erst recht (a + b) + c = a + (b + c) für alle a, b, c ∈ N. Folglich ist (N, +) eine Halbgruppe.
(ii) Das Paar (N, +) ist aber kein Monoid: Nehmen wir an, dass e ∈ N ein Neutralelement ist. Dann müsste insbesondere e +1 = 1 gelten. Ziehen wir auf beiden Seiten 1 ab, dann folgt e = 0, im Widerspruch zur Voraussetzung
e ∈ N.
(iii) Genauso zeigt man, dass (N, ·) eine Halbgruppe ist. Darüber hinaus gilt 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ N. Also ist
(N, ·) sogar ein Monoid, mit 1 als Neutralelement.
(iv) Ebenso leicht überprüft man, dass auch (N0 , +) ein Monoid ist. In diesem Fall ist die Null das Neutralelement.
(v) Das Paar (R, −) (mit der Subtraktion − als Verknüpfung) ist noch nicht einmal eine Halbgruppe, weil das Assoziativgesetz nicht gilt. Beispielsweise ist 1 − (1 − 1) = 1 − 0 = 1, andererseits (1 − 1) − 1 = 0 − 1 = −1.
(vi) Die Menge N0 × N0 ist mit der Verknüpfung ∗ gegeben durch (a, b) ∗ (c, d ) = (ac, bd ) ein Monoid. Das Neutralelement ist (1, 1).
Die folgende Liste enthält Beispiele für Halbgruppen- und Monoidhomomorphismen.
(i) Die Abbildung φ : Z → Z, z → 2z ist ein Halbgruppen-Homomorphismus von (Z, +) nach (Z, +), sogar ein
Monoid-Homomorphismus, denn es gilt
φ(a + b)
=
2(a + b)
2a + 2b
=
=
φ(a) + φ(b) für alle a, b ∈ Z
außerdem φ(0) = 0. Es ist aber kein Halbgruppen-Homomorphismus von (Z, ·) nach (Z, ·), denn es ist φ(1 · 1) =
2(1 · 1) = 2, andererseits φ(1)φ(1) = 2 · 2 = 4, also φ(1 · 1) = φ(1) · φ(1).
(ii) Die Abbildung (Z, ·) → (N0 , ·), a → |a| ist ein Monoid-Homomorphismus. Dies folgt aus der Tatsache, dass der
Absolutbetrag für alle a, b ∈ Z die Gleichung |a · b| = |a| · |b| erfüllt.
(iii) Die Abbildung ψ : N0 → N0 × N0 , a → (a, 0) zwischen den Monoiden (N0 , ·) und (N0 × N0 , ∗) mit der Verknüpfung ∗ aus Beispiel (v) ist ein Halbgruppen-Homomorphismus, aber kein Monoid-Homomorphismus. Es gilt
zwar
ψ(a · b)
=
(ab, 0)
=
(a, 0) ∗ (b, 0)
=
ψ(a) ∗ ψ(b)
für alle a, b ∈ N0 , aber ψ(1) = (1, 0) = (1, 1). Das Neutralelement von (N0 , ·) wird also nicht auf das Neutralelement von (N0 × N0 , ∗) abgebildet.
—– 4 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Definition 1.6
Seien (G, ·) und (H , ∗) Halbgruppen und φ : G → H ein Halbgruppen-
Homomorphismus. Man bezeichnet φ als
(i) Halbgruppen-Monomorphismus, wenn φ injektiv
(ii) Halbgruppen-Epimorphismus, wenn φ surjektiv
(iii) Halbgruppen-Isomorphismus, wenn φ bijektiv ist.
Einen Halbgruppen-Homomorphismus φ : G → G von (G, ·) nach (G, ·) bezeichnet man als Halbgruppen-Endomorphismus. Ist die Abbildung φ außerdem bijektiv, dann spricht man von einem
Halbgruppen-Automorphismus.
Entsprechende Bezeichnungen verwendet man auch bei Monoid-Homomorphismen und genauso bei jeder weiteren
algebraischen Struktur, die wir im weiteren Verlauf noch behandeln werden (Vektorräum, Ringe, Körper etc.).
Definition 1.7 Sei (G, ·) ein Monoid. Ein Element a ∈ G wird invertierbar in (G, ·) genannt, wenn
ein b ∈ G mit a · b = b · a = eG existiert. Man nennt b in diesem Fall ein Inverses von a. Ist jedes
Element aus G in (G, ·) invertierbar, dann nennt man (G, ·) eine Gruppe.
Proposition 1.8
Beweis:
Jedes Element a in einem Monoid besitzt höchstens ein Inverses.
Seien b und b beides Inverse von a. Dann gilt a · b = eG und b · a = eG , und es folgt b = eG · b = (b · a) · b =
b · (a · b) = b · eG = b .
Ist (G, ·) ein Monoid in multiplikativer Schreibweise und a ∈ G ein invertierbares Element, dann verwendet man a −1
als Notation für das Inverse. Bei additiver Schreibweise ist die Bezeichnung −a üblich.
Betrachten wir einige einfache Beispiele für Gruppen.
(i) Das Paar (Z, +) ist eine Gruppe. Das Assoziativgesetz ist offenbar erfüllt, weil es sogar in R gilt. Wegen a + 0 =
0 + a = a für alle a ∈ Z ist die Null das Neutralelement in (Z, +), und wegen a + (−a) = (−a) + a = 0 ist −a für
jedes a ∈ Z jeweils das Inverse von a.
(ii) Das Paar (Z, ·) ist zwar ein Monoid (mit 1 als Neutralelement), aber keine Gruppe. Wäre (Z, ·) eine Gruppe,
dann gäbe es unter anderem auch für das Element 2 ∈ Z ein Inverses, also ein a ∈ Z mit 2a = 1. Aber aus der
Gleichung 2a = 1 folgt a = 12 , was der Annahme a ∈ Z widerspricht.
(iii) Aus den Körperaxiomen folgt, dass für jeden Körper (K , +, ·) die Paare (K , +) und (K × , ·) mit K × = K \{0K } Gruppen sind.
—– 5 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Seien (G, ·) und (H , ◦) Gruppen. Eine Abbildung φ : G → H wird Gruppen-
Definition 1.9
Homomorphismus von (G, ·) nach (H , ◦) genannt, wenn φ ein Monoid-Homomorphismus ist und
außerdem φ(g −1 ) = φ(g )−1 für alle g ∈ G erfüllt ist.
Satz 1.10 Sind (G, ·) und (H , ◦) Gruppen, und ist φ : G → H ein Halbgruppen-Homomorphismus
von (G, ·) nach (H , ◦), dann ist φ bereits ein Gruppen-Homomorphismus.
Beweis:
Nach Voraussetzung gilt φ(g · h) = φ(g ) ∗ φ(h) für alle g , h ∈ G. Insbesondere gilt φ(eG ) = φ(eG · eG ) = φ(eG ) ∗
φ(eG ). durch Multiplikation dieser Gleichung mit φ(eG )−1 erhalten wird
eH
=
φ(eG ) ∗ φ(eG )−1
φ(eG ) ∗ φ(eG ) ∗ φ(eG )−1
=
=
φ(eG ) ∗ e H
=
φ(eG ).
Dies zeigt, dass φ ein Monoid-Homomorphismus ist. Für jedes g ∈ G gilt außerdem φ(g )φ(g −1 ) = φ(eG ) = e H , also
φ(g −1 ) = φ(g )−1 .
Definition 1.11
Gilt in einer Halbgruppe (bzw. einem Monoid, einer Gruppe) (G, ·) die Glei-
chung
a ·b
=
b·a
für alle a, b ∈ G
,
dann bezeichnet man die Halbgruppe (bzw. das Monoid, die Gruppe) als kommutativ oder
abelsch.
Bisher haben wir nur Beispiele für kommutative Halbgruppen, Monoide und Gruppen kennengelernt. Wir werden
nun eine wichtige Klasse von nicht-kommutativen Gruppen definieren, auf die wir im weiteren Verlauf der Vorlesung
immer wieder als Beispiel zurückkommen werden.
Proposition 1.12
Sei X eine Menge und Abb(X ) die Menge der Abbildungen X → X . Für f , g ∈
Abb(X ) bezeichnet f ◦ g wie immer die Komposition von f und g gegeben durch
( f ◦ g )(x)
=
f (g (x))
für alle x ∈ X .
Dann ist das Paar (Abb, ◦) ein Monoid. Das Neutralelement ist die Identitätsabbildung id X gegeben durch id X (x) = x für alle x ∈ X .
Beweis:
Um zu zeigen, dass ◦ eine assoziative Verknüpfung ist, müssen wir die Gleichung ( f ◦ g ) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) für
alle f , g , h ∈ Abb(X ) überprüfen. Dazu rechnen wir nach, dass die Abbildung auf der linken Seite dieser Gleichung auf
jedem Element x ∈ X des Definitionsbereichs mit der Abbildung auf der rechten Seite übereinstimmt. Tatsächlich gilt
(( f ◦ g ) ◦ h)(x)
=
( f ◦ g )(h(x))
=
f (g (h(x)))
=
f ((g ◦ h)(x))
=
( f ◦ (g ◦ h))(x).
Nun zeigen wir, dass id X das Neutralelement von (Abb(X ), ◦) ist, indem wir die Gleichungen f ◦id X = f und id X ◦ f = f
überprüfen. Für beliebiges x ∈ X gilt ( f ◦id X )(x) = f (id X (x)) = f (x) und (id X ◦ f )(x) = id X ( f (x)) = f (x), also sind beide
Gleichungen erfüllt.
—– 6 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Proposition 1.13 Eine Abbildung f ∈ Abb(X ) ist genau dann im Monoid (Abb(X ), ◦) invertierbar,
wenn sie bijektiv ist. Das Inverse ist in diesem Fall die Umkehrabbildung f −1 von f .
Beweis:
Aus der Erstsemester-Vorlesung ist bekannt, dass eine Abbildung f : X → X genau dann bijektiv ist, wenn
eine Abbildung g : X → X mit g ◦ f = id X und f ◦ g = id X existiert. Weil id X in unserem Monoid das Neutralelement
ist, sind diese beiden Gleichungen äquivalent zur Invertierbarkeit von f .
Aus einem Monoid lässt sich eine Gruppe gewinnen, indem man die Verknüpfung auf die Teilmenge der invertierbaren Elemente einschränkt. Dieses wichtige Grundprinzip werden wir nun ausformulieren. Als wichtigsten Punkt
müssen wir dabei überprüfen, dass die Einschränkung der Abbildung auch tatsächlich eine Verknüpfung auf der kleineren Menge liefert. Hierfür benötigen wir ein Kriterium.
Definition 1.14
Sei (X , ◦) eine Menge mit einer Verknüpfung. Eine Teilmenge U ⊆ X wird ab-
geschlossen unter ◦ genannt, wenn für alle x, y ∈ U auch das Element x ◦ y in U liegt.
Ist U ⊆ X abgeschlossen unter ◦, dann ist die Abbildung ◦U : U ×U → X , die man durch Einschränkung von ◦ auf die
Teilmenge U ×U ⊆ X × X erhält, zugleich eine Abbildung U ×U → U , also eine Verknüpfung auf U . Da nach Definition
x ◦U y
=
x◦y
für alle x, y ∈ U
gilt, verwendet man für die Verknüpfung ◦U der Einfachheit halber weiterhin das Symbol ◦.
Satz 1.15
Sei (G, ·) ein Monoid und G × ⊆ G die Teilmenge der invertierbaren Elemente. Dann ist
×
G abgeschlossen unter der Verknüpfung ·, und (G × , ·) ist eine Gruppe. Das Neutralelement eG
von G ist zugleich das Neutralelement von (G × , ·).
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Abgeschlossenheit von G × unter der Verknüpfung ·. Seien a, b ∈ G × und a −1 , b −1
ihre Inversen. Dann gilt
(b −1 a −1 )(ab)
=
b −1 (a −1 a)b
=
b −1 eG b
=
b −1 b
=
eG .
Durch eine analoge Rechnung erhält man (ab)(b −1 a −1 ) = eG . Dies zeigt, dass mit a und b auch ab invertierbar ist,
also in G × liegt.
Nun überprüfen wir für (G × , ·) die Gruppenaxiome. Das Assoziativgesetz ist in G × erfüllt, weil es sogar in G gültig ist.
Wegen eG · eG = eG ist das Neutralelement eG invertierbar und sein eigenes Inverses, also ebenfalls in G × enthalten.
Für alle g ∈ G, und damit erst recht für alle g ∈ G × , gilt g e G = eG g = g . Dies zeigt, dass eG das Neutralelement von
(G × , ·) ist. Für jedes invertierbare Element g ∈ G × mit dem Inversen g −1 gilt
g g −1
=
g −1 g
=
eG
=
eG × .
Die Gleichungen zeigen, dass mit g auch das Element g −1 invertierbar ist, und dass das zu g −1 inverse Element durch
(g −1 )−1 = g gegeben ist. Für jedes g ∈ G × existiert damit in G × (!) ein Inverses, nämlich g −1 . Damit ist der Nachweis
der Gruppenaxiome für (G × , ◦) abgeschlossen.
Als Nebenergebnis des Beweises halten wir fest
—– 7 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Sei (G, ·) ein Monoid, und seien g , h ∈ G invertierbare Elemente. Dann sind
Proposition 1.16
auch die Elemente g h und g −1 invertierbar, und es gilt (g h)−1 = h −1 g −1 und (g −1 )−1 = g . Auch
das Neutralelement eG von (G, ·) ist invertierbar, und es gilt eG−1 = eG .
Weil die bijektiven Abbildungen genau die invertierbaren Elemente im Monoid (Abb(X ), ◦) sind, erhalten wir durch
das soeben beschriebene Verfahren eine in Abb(X ) enthaltene Gruppe.
Definition 1.17
Sei X eine Menge. Dann bildet die Teilmenge Per(X ) ⊆ Abb(X ) bestehend aus
den bijektiven Abbildungen X → X mit der Komposition ◦ von Abbildungen eine Gruppe. Man
bezeichnet (Per(X ), ◦) als die Permutationsgruppe und die Elemente von Per(X ) als die Permutationen von X .
Ist n ∈ N und M n = {1, ..., n}, dann bezeichnet man S n = Per(M n ) auch als symmetrische Gruppe in n Elementen. In der
Linearen Algebra wurde durch vollständige Induktion bewiesen, dass die Gruppe S n aus genau n! = 1·2·...·n Elementen
besteht. Für Elemente aus S n oder Abb(M n ) bietet sich die folgenden Tabellenschreibeweise an: Sind a 1 , ..., a n ∈ M n
vorgegeben, dann verwenden wir den Ausdruck
σ
=
1
2
·
n
a1
a2
...
an
als Symbol für die Abbildung σ : M n → M n mit σ(k) = a k für 1 ≤ k ≤ n. Offenbar ist σ genau dann in S n enthalten,
wenn jede Zahl aus M n unter den Werten a 1 , ..., a n genau einmal vorkommt. Beispielsweise sind die Elemente der
Gruppe S 3 durch die folgenden Tabellen gegeben.
id =
1
2
3
1
2
3
,
1
2
3
2
1
3
,
1
2
3
3
2
1
,
1
2
3
1
3
2
,
1
2
3
2
3
1
,
1
2
3
3
1
2
Wir beschäftigen uns mit der Frage, unter welcher Bedingung die Permutationsgruppen abelsch sind. Hierzu definieren wir
Definition 1.18
Sei X eine Menge und σ ∈ Per(X ). Dann bezeichnet man die Teilmenge
supp(σ) = {x ∈ X | σ(x) = x} ⊆ X als den Träger der Permutation σ. Zwei Elemente σ, τ ∈ Per(X )
nennt man disjunkt, wenn ihre Träger als Teilmengen von X disjunkt sind.
Offenbar ist die identische Abbildung id X das einzige Element mit supp(σ) =
, und es gibt keine Permutationen
mit einelementigem Träger. Zu jeder zweielementigen Teilmenge A = {y, z} ⊆ X gibt es genau eine Permutation σ mit
supp(σ) = A, und diese ist gegeben durch σ(y) = z, σ(z) = y und σ(x) = x für alle x ∈ X \ A. Permutationen, die zwei
Elemente von X miteinander vertauschen und die übrigen Elemente von X festhalten (also auf sich selbst abbilden),
nennt man Transpositionen.
Der neue Begriff hängt nun mit der Frage der Kommutativität folgendermaßen zusammen.
Satz 1.19 Sei X eine Menge. Dann sind je zwei disjunkte Permutationen σ, τ ∈ Per(X ) vertauschbar, das heißt es gilt σ ◦ τ = τ ◦ σ.
—– 8 —–
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Beweis:
Sei x ∈ X vorgegeben, dann ist (σ◦τ)(x) = (τ◦σ)(x) zu zeigen. Wir unterscheiden drei Fälle. Ist x ∉ supp(σ)∪
supp(τ), dann gilt (σ◦τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(x) = x und ebenso (τ◦σ)(x) = τ(σ(x)) = τ(x) = x. Setzen wir nun x ∈ supp(σ)
und x ∉ supp(τ) voraus. Mit x ist auch σ(x) in supp(σ) enthalten, denn andernfalls würden mit x und σ(x) zwei verschiedene Elemente auf σ(x) abgebildet, was der Bijektivität von σ widerspricht. Weil nun supp(σ) und supp(τ) disjunkt sind, gilt damit σ(x) ∉ supp(τ). Wir erhalten (σ ◦ τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(x) und (τ ◦ σ)(x) = τ(σ(x)) = σ(x), also
erneut eine Übereinstimmung der Bilder. Genauso behandelt man den Fall x ∉ supp(σ) und x ∈ supp(τ). Der Fall
x ∈ supp(σ) ∩ supp(τ) ist nach Voraussetzung ausgeschlossen.
Betrachten wir nun die Kommutativität der gesamten Gruppe (an Stelle der Vertauschbarkeit von nur zwei Elementen)
so erhalten wir
Satz 1.20
Beweis:
Eine Permutationsgruppe Per(X ) ist genau dann abelsch, wenn |X | ≤ 2 gilt.
Im Fall |X | ≤ 1 ist die Gruppe Per(X ) einelementig und damit auf jeden Fall kommutativ. Im Fall |X | = 2
besteht Per(X ) aus 2! = 2 Elementen, also aus id X und einer weiteren Permutation σ. (Man kann sich leicht überlegen,
dass es sich bei σ um die Transposition handelt, welche die beiden Elemente der Menge X miteinander vertauscht.)
Weil id X das Neutralelement der Gruppe ist, gilt id X ◦id X = id X , id X ◦σ = σ und σ◦id X = σ. Außerdem muss σ◦σ = id X
gelten, denn wäre σ ◦ σ = σ, dann könnten wir die Gleichung von rechts mit dem Inversen σ−1 multiplizieren und
würden σ ◦ σ ◦ σ−1 = σ ◦ σ−1 ⇔ σ = id X erhalten, im Widerspruch zu σ = id X . Insgesamt sehen wir, dass die Gleichung
τ1 ◦ τ2 = τ2 ◦ τ1 für alle τ1 , τ2 ∈ Per(X ) erfüllt ist.
Setzen wir nun |X | ≥ 3 voraus (wobei wir den Fall einschließen, dass X unendlich ist), und seien x, y, z drei verschiedene Elemente von X . Seien σ, τ ∈ Per(X ) die eindeutig bestimmten Elemente mit supp(σ) = {x, y} und supp(τ) = {x, z}.
Dann gilt
(σ ◦ τ)(x)
=
σ(τ(x))
=
σ(z)
=
z
(τ ◦ σ)(x)
und
=
τ(σ(x))
τ(y)
=
=
y
also σ ◦ τ = τ ◦ σ. Dies zeigt, dass Per(X ) in diesem Fall nicht kommutativ ist.
Insbesondere ist die symmetrische Gruppe S n also genau dann kommutativ, wenn n ≤ 2 ist. Im Hinblick auf spätere
Anwendungen beweisen wir noch
Satz 1.21
Seien X , Y Mengen und φ : X → Y eine Bijektion. Dann ist durch
φˆ : Per(X ) −→ Per(Y )
,
σ → φ ◦ σ ◦ φ−1
ein Isomorphismus von Gruppen definiert.
Beweis:
Sei σ ∈ Per(X ) vorgegeben. Durch Komposition der Abbildungen φ−1 : Y → X , σ : X → X und φ : X → Y
erhält man eine Abbildung Y → Y , und als Komposition bijektiver Abbildungen ist φ ◦ σ ◦ φ−1 ebenfalls bijektiv. Also
ist durch die angegebene Zuordnung φˆ tatsächlich eine Abbildung Per(X ) → Per(Y ) definiert. Um zu zeigen, dass φˆ
ein Homomorphismus von Gruppen ist, seien σ, τ ∈ Per(X ) vorgegeben. Dann gilt
ˆ ◦ τ)
φ(σ
=
φ ◦ σ ◦ τ ◦ φ−1
=
φ ◦ σ ◦ (φ−1 ◦ φ) ◦ τ ◦ φ−1
—– 9 —–
=
(φ ◦ τ ◦ φ−1 ) ◦ (φ ◦ σ ◦ φ−1 )
=
ˆ
ˆ
φ(σ)
◦ φ(τ).
§ 1.
Die Kategorie der Gruppen
Um zu zeigen, dass φˆ bijektiv ist, genügt es zu bemerken, dass durch die Zuordnung σ → φ−1 ◦ σ ◦ φ eine Umkehrabˆ : Per(Y ) → Per(X ) von φˆ gegeben ist. Für jedes σ ∈ Per(Y ) ist nämlich φ−1 ◦ σ ◦ φ eine Abbildung X → X ,
bildung ψ
ˆ tatsächlich eine Abbildung von Per(Y ) nach
und wiederum bijektiv als Komposition bijektiver Abbildungen. Also ist ψ
Per(X ). Außerdem gilt für alle σ ∈ Per(X ) jeweils
ˆ
ˆ ◦ φ)(σ)
(ψ
=
ˆ
ˆ φ(σ))
ψ(
(φ−1 ◦ φ) ◦ σ ◦ (φ−1 ◦ φ)
ˆ ◦ σ ◦ φ−1 )
ψ(φ
=
=
=
id X ◦ σ ◦ id X
=
φ−1 ◦ (φ ◦ σ ◦ φ−1 ) ◦ φ
σ
=
=
idPer(X ) (σ) ,
ˆ ◦ φˆ = idPer(X ) . Durch eine analoge Rechnung zeigt man φˆ ◦ ψ
ˆ = idPer(Y ) . Dies zeigt, dass ψ
ˆ tatsächlich die Umalso ψ
kehrabbildung von φˆ ist.
Für jedes n und jede n-elementige Menge X gilt beispielsweise gilt Per(X ) ∼
= S n , denn nach Definition bedeutet |X | = n
gerade, dass eine bijektive Abbildung zwischen M n und X existiert.
—– 10 —–
§ 2. Untergruppen und Erzeugendensysteme
Ein wichtiges, für das Verständnis wesentliches Merkmal algebraischer Strukturen ist das Auftreten gleichartiger Unterstrukturen. So spielen etwa in der Theorie der Vektorräume die Untervektorräume eine wesentliche Rolle; ohne
sie wäre beispielsweise der Dimensionsbegriff nur schwer zugänglich. Wir werden solche Unterstrukturen nun in der
Kategorie der Gruppen genauer betrachten.
Definition 2.1
Sei (G, ·) eine Gruppe. Eine Teilmenge U ⊆ G wird Untergruppe von G genannt,
wenn eG in U liegt und für alle a, b ∈ U auch die Elemente a · b und a −1 in U liegen.
Ist (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe. Durch Einschränkung der Verknüpfung · : G ×G → G auf die Teilmenge
U ×U ⊆ G × G erhalten wir eine Abbildung ·U : U ×U → G. Auf Grund der Implikation a, b ∈ U ⇒ a · b ∈ U gilt jeweils
a ·U b = a · b ∈ U für alle a, b ∈ U . Also ist ·U auch eine Abbildung U ×U → U , somit eine Verknüpfung auf U .
Proposition 2.2
Beweis:
Das Paar (U , ·U ) ist eine Gruppe.
Die Verknüpfung ·U stimmt auf ihrem gesamten Definitionsbereich mit · überein. Weil das Assoziativgesetz
in G gültig ist, gilt
(a ·U b) ·U c
=
(a · b) · c
=
a · (b · c)
=
a ·U (b ·U c)
für alle a, b, c ∈ U . Auf Grund der Voraussetzung eG ∈ U und wegen eG ·U a = eG · a = a, a ·U eG = a · eG = a ist eG ein
Neutralelement in (U , ·U ). Für jedes a ∈ U ist auch a −1 in U enthalten. Wegen a ·U a −1 = a · a = eG und a −1 ·U a =
a −1 · a = eG ist a −1 das Inverse von a in (U , ·U ).
Im weiteren Verlauf Vorlesung wird uns eine Vielzahl von Untergruppen begegnen. Zunächst beschränken wir uns auf
die folgenden zwei Beispiele.
(i) Ist G eine Gruppe, dann sind {eG } und G Untergruppen von G. Man bezeichnet sie als die trivialen Untergruppen. Für beide Mengen kontrolliert man unmittelbar, dass das die Untergruppen-Bedingungen erfüllt sind.
(ii) Sei K ein Körper, V ein K -Vektorraum und GL(V ) die Menge der Vektorraum-Isomorphismen V → V . Dann ist
GL(V ) eine Untergruppe vom Per(V ). Denn aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass idV eine lineare Abbildung ist. Also ist das Neutralelement von Per(V ) in GL(V ) entahlten. Seien nun ϕ, ψ ∈ GL(V ) vorgegeben. Nach
Ergebnissen aus der Linearen Algebra sind auch die Kompositionen ϕ ◦ ψ und ϕ−1 , außerdem sind sie bijektiv,
insgesamt also in GL(V ) enthalten. Damit haben wir die Untergruppen-Bedingungen verifiziert.
Unser erstes theoretisches Resultat wird die Klassifikation der Untergruppen von (Z, +) sein. Dabei wird die Teilbarkeitsrelation zwischen den ganzen Zahlen eine wichtige Rolle spielen. Für a, b ∈ Z schreiben wir jeweils a|b, wenn b
von a geteilt wird, wenn also ein k ∈ Z mit b = ka existiert.
Proposition 2.3 Für jedes n ∈ N ist n Z = {nk | k ∈ Z} eine Untergruppe von (Z, +). Für beliebige
m, n ∈ N gilt m Z ⊇ n Z genau dann, wenn m ein Teiler von n ist.
—– 11 —–
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
Beweis:
Wegen 0 = n · 0 ist 0 in n Z enthalten. Seien nun a, b ∈ n Z vorgegeben. Dann gilt es k, ∈ Z mit a = nk und
b = n . Es folgt a + b = nk + n = n(k + ) und somit a + b ∈ n Z. Ebenso gilt −a = n(−k) und damit −a ∈ n Z. Also ist
n Z tatsächlich eine Untergruppe von (Z, +).
Nun beweisen wir die angegeben Äquivalenz für m, n ∈ N. Gilt m Z ⊇ n Z, dann ist insbesondere n = n · 1 in m Z
enthalten, es gilt also ein k ∈ Z mit n = mk. Dies zeigt, dass m ein Teiler von n ist. Setzen wir umgekehrt m|n voraus,
dann gibt es ein k ∈ N mit n = mk. Ist nun a ∈ n Z, also a = n für ein ∈ Z, dann folgt a = n = (mk) = m(k ) ∈ m Z.
Somit haben wir n Z ⊆ m Z nachgewiesen.
Häufig kann man aus einer gegebenen Familie von Unterstrukturen durch bestimmte Operationen neue Unterstrukturen definieren. In der Linearen Algebra haben wir dieses Phänomen am Beispiel der Summe und Durchschnitte von
Untervektorräumen gesehen. Entsprechend gilt in der Kategorie der Gruppen
Proposition 2.4
Dann ist auch U =
Beweis:
Sei (G, ·) eine Gruppe, und sei (Ui )i ∈I eine Familie von Untergruppen von G.
i ∈I Ui
eine Untergruppe von G.
Weil jedes Ui eine Untergruppe von (G, ·) ist, gilt eG ∈ Ui für alle i ∈ I und damit auch eG ∈ U . Seien nun
a, b ∈ U vorgegeben. Dann gilt a, b ∈ Ui für alle i ∈ I , und aus der Untergruppe-Eigenschaft von Ui folgt jeweils ab ∈ Ui
und a −1 ∈ Ui , für jedes i ∈ I . Daraus wiederum folgt ab ∈ U und a −1 ∈ U .
In vielen Situationen ist es wünschenswert, Untergruppen auf möglichst kurze und einfache Art und Weise zu spezifizieren. Eine einfache Möglichkeit ist die Beschreibung von Untergruppen durch Erzeugendensysteme.
Satz 2.5 Sei (G, ·) eine Gruppe und S ⊆ G eine Teilmenge. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
Untergruppe U von (G, ·) mit den folgenden Eigenschaften.
(i) U ⊇ S
(ii) Ist V eine weitere Untergruppe von (G, ·) mit V ⊇ S, dann folgt V ⊇ U .
Beide Bedingungen lassen sich zusammenfassen in der Aussage, dass U die kleinste Untergruppe von (G, ·) ist, die S als Teilmenge enthält. Man nennt U die von S erzeugte Untergruppe und
bezeichnet sie mit 〈S〉.
Beweis:
U=
i ∈I
Existenz: Sei (Ui ) die Familie aller Untergruppen von (G, ·) mit Ui ⊇ S. Dann ist nach Proposition 2.4 auch
eine Untergruppe von (G, ·), und aus Ui ⊇ S für alle i ∈ I folgt U ⊇ S. Sei nun V eine weitere Untergruppe von
(G, ·) mit V ⊇ S. Dann gilt V = U j für ein j ∈ I , und weil nach Definition U ⊆ Ui für alle i ∈ I gilt, folgt V ⊇ U .
Eindeutigkeit: Seien U ,U zwei Untergruppen von (G, ·), die beide (i) und (ii) erfüllen. Dann gilt U ⊇ S und U ⊇ S. Aus
der Eigenschaft (ii) für U folgt U ⊇ U , und aus Eigenschaft (ii) für U folgt U ⊇ U , insgesamt also U = U .
In jeder Gruppe (G, ·) gilt 〈 〉 = {eG }. Denn wie wir bereits festgestellt haben, ist {eG } eine Untergruppe, und diese
enthält trivialerweise
als Teilmenge. Andererseits ist eG in jeder Untergruppe U von (G, ·) enthalten, also ist {eG }
eine Teilmenge jeder Untergruppe V von (G, ·) mit V ⊇ .
Ist S eine elementige Teilmenge einer Gruppe G, S = {g } für ein g ∈ G, dann schreibt man 〈g 〉 an Stelle von 〈{g }〉. Auch
bei endlichen Mengen mit mehr Elementen wird häufig an Stelle von 〈{g 1 , ..., g n }〉 die einfachere Notation 〈g 1 , ..., g n 〉
—– 12 —–
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
verwendet.
Definition 2.6
Eine Gruppe (G, ·) wird zyklisch genannt, wenn ein g ∈ G mit G = 〈g 〉 existiert.
Definition 2.7 Sei (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G. Dann ist durch g 0 = eG und g n+1 = g n ·g rekursiv
die n-te Potenz von g für jedes n ∈ N0 definiert. Außerdem definiert man g −n = (g n )−1 für alle
n ∈ N.
Wie in der Erstsemester-Vorlesung für Körper beweist man auch in Gruppen die Potenzgesetze g m+n = g m · g n und
(g m )n = g mn für alle g ∈ G und m, n ∈ Z. Die Gleichung (g · h)m = g m · h m für m ∈ Z und g , h ∈ G ist zwar in abelschen
Gruppen richtig, in nicht-abelschen aber im allgemeinen nicht.
Lemma 2.8
Sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe.
(i) Ist g ∈ U , dann gilt g m ∈ U für alle m ∈ Z.
(ii) Ist m ∈ N und sind g 1 , ..., g m ∈ U , dann ist auch g 1 · ... · g m in U enthalten.
Beweis:
zu (i) Wir zeigen zunächst durch vollständige Induktion über m, dass g m ∈ U für alle m ∈ N0 gilt. Für n = 0 ist dies
wegen g 0 = eG und der Untergruppen-Eigenschaft von U erfüllt. Setzen wir nun g m ∈ V voraus. Dann gilt g m+1 = g m ·
g , und als Produkt zweier Elemente aus U ist auch g m+1 in U enthalten. Für jedes m ∈ N ist mit g m auch g −m = (g m )−1
in V enthalten. Damit haben wir g m ∈ U für alle n ∈ Z bewiesen.
zu (ii) Auch hier führen wir den Beweis durch vollständige Induktion über m. Für m = 1 gilt die Aussage nach Voraussetzung. Setzen wir die Aussage nun für m voraus, und seien g 1 , ..., g m+1 ∈ U vorgegeben. Nach Induktionsvoraussetzung liegt das Element h = g 1 · ... · g m in U . Damit ist auch h · g m+1 = g 1 · ... · g m in U enthalten.
Proposition 2.9
Beweis:
Sei (G, ·) eine Gruppe und g ∈ G. Dann gilt 〈g 〉 = {g n | n ∈ Z}.
Sei U die Menge auf der rechten Seite. Wir überprüfen zunächst, dass U eine Untergruppe von (G, ·) ist.
Wegen eG = g 0 ist eG in U enthalten. Seien nun u, v ∈ U vorgegeben. Dann gibt es m, n ∈ Z mit u = g m und v = g n .
Es folgt u · v = g m · g n = g m+n ∈ U und u −1 = (g m )−1 = g −m ∈ U . Damit ist die Untergruppen-Eigenschaft von U
nachgewiesen. Wegen g = g 1 ∈ U gilt außerdem U ⊇ {g }.
Sei nun V eine Untergruppe von (G, ·) mit V ⊇ {g }. Aus g ∈ V folgt nach Lemma 2.8 (i), dass auch g m für alle m ∈ Z in
V enthalten ist. Es gilt also V ⊇ U . Damit sind die Bedingungen (i) und (ii) aus Satz 2.5 für U und die Menge S = {g }
nachgewiesen, und wir erhalten U = 〈g 〉.
Folgerung 2.10
Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
—– 13 —–
§ 2.
Untergruppen und Erzeugendensysteme
Beweis:
Sei (G, ·) eine zyklische Gruppe und g ∈ G mit G = 〈g 〉. Sind u, v ∈ G zwei beliebige Elemente, dann gibt es
m, n ∈ Z mit u = g m und v = g n . Es gilt dann u · v = g m · g n = g m+n = g n · g m = v · u. Damit ist die Kommutativität von
(G, ·) nachgewiesen.
Weil es sich bei den symmetrischen Gruppen S n für n ≥ 3 um nicht-abelsche Gruppen handelt, sind diese insbesondere nicht zyklisch.
Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe, m ∈ N und seien g 1 , ..., g m , h 1 , ..., h m beliebige
Lemma 2.11
Elemente aus G. Dann gilt
(i) (g 1 · ... · g m ) · (h 1 · ... · h m ) = (g 1 · h 1 ) · ... · (g m · h m )
−1
(ii) (g 1 · ... · g m )−1 = g 1−1 · ... · g m
Beweis:
zu (i) Wir beweisen die Aussage durch vollständige Induktion über m. Für m = 1 ist nichts zu zeigen. Setzen
wir nun die Gleichung für m voraus, und seien g 1 , ..., g m+1 , h 1 , ..., h m+1 ∈ G vorgegeben. Setzen wir u = g 1 · ... · g m ,
v = h 1 · ... · h m und w = (g 1 · h 1 ) · ... · (g m h m ), dann gilt u · v = w nach Induktionsvoraussetzung. Es folgt
(g 1 · ... · g m+1 ) · (h 1 · ... · h m+1 )
(u · g m+1 ) · (v · h m+1 )
=
w · g m+1 · h m+1
u · v · g m+1 · h m+1
=
=
(g 1 · h 1 ) · ... · (g m h m ) · g m+1 · h m+1 .
=
zu (ii) Wieder führen wir den Beweis durch vollständige Induktion über m. Im Fall m = 1 braucht auch hier nichts
gezeigt werden. Setzen wir nun die Aussage für m voraus. Seien g 1 , ..., g m+1 vorgegeben und u = g 1 · ... · g m . Dann gilt
(g 1 · ... · g m+1 )−1
(u · g m+1 )−1
=
=
−1
g m+1
· u −1
=
−1
u −1 · g m+1
−1
−1
g 1−1 · ... · g m
· g m+1
=
,
wobei wir im letzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet haben.
Proposition 2.12
Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe, m ∈ N, und sei S = {g 1 , ..., g m } eine m-
elementige Teilmenge von G. Dann gilt
〈S〉
Beweis:
e
e
g 1 1 · ... · g mm
=
e 1 , ..., e m ∈ Z .
Sei U die Menge auf der rechten Seite der Gleichung. Auch hier überprüfen wir zunächst, dass U eine
0
Untergruppe von (G, ·) ist. Wegen eG = g 10 · ... · g m
ist das Neutralelement eG von G in U enthalten. Seien nun u, v ∈ U
f
e
e
f
vorgegeben. Dann gibt es e 1 , ..., e m , f 1 , ..., f m ∈ Z mit u = g 1 1 · ... · g mm und v = g 11 · ... · g mm . Nach Lemma 2.11 folgt
u·v
=
e
f
e
e + f1
g 11
=
e
e
f
(g 1 1 · ... · g mm ) · (g 11 · ... · g mm )
e
e
e + fm
· ... · g mm
−e 1
außerdem u −1 = (g 1 1 · ... · g mm )−1 = (g 1 1 )−1 · ... · (g mm )−1 = g 1
f
e
e
f
(g 1 1 · g 11 ) · ... · (g mm · g mm )
=
∈U
−e m
· ... · g m
in U . Also ist U tatsächlich eine Untergruppe
von (G, ·).
Sei nun V eine Untergruppe von (G, ·) mit V ⊇ S. Für jedes Tupel (e 1 , ..., e m ) ganzer Zahlen sind nach Lemma 2.8 (i) die
e
e
e
e
Elemente g 1 1 , ..., g mm , und nach Lemma 2.11 auch das Element g 1 1 · ... · g mm in V enthalten. Es gilt also V ⊇ U . Damit
sind die Bedingungen (i),(ii) aus Satz 2.5 sind damit für U und die Menge S nachgewiesen, und wir erhalten U = 〈S〉.
—– 14 —–
§ 3. Elementordnungen und zyklische Gruppen
Sei G eine Gruppe. Die Anzahl |G| der Elemente von G wird die Ordnung von
Definition 3.1
G genannt. Ist g ∈ G ein beliebiges Element, dann bezeichnen wir ord(g ) = |〈g 〉| als die Ordnung
von g .
Lemma 3.2
Sei G eine Gruppe, g ∈ G und m ∈ N mit g m = eG . Dann gilt
〈g 〉
Beweis:
{g r | 0 ≤ r < m}.
=
Die Inklusion „⊇“ folgt direkt aus Proposition 2.9. Zum Nachweis von „⊆“ sei h ∈ 〈g 〉 vorgegeben. Wiederum
auf Grund der Proposition gibt es ein n ∈ Z mit h = g n . Dividieren wir n durch m mit Rest, so erhalten wir ein q, r ∈ Z
mit n = qm + r und 0 ≤ r < m. Es gilt
h
=
gn
=
g qm+r
=
(g m )q · g r
=
q
eG · g r
=
gr.
Also ist h in der Menge auf der rechten Seite enthalten.
Satz 3.3
Sei G eine Gruppe und g ∈ G ein beliebiges Element. Dann sind für jedes n ∈ N die
folgenden Aussagen äquivalent.
(i) n = ord(g )
(ii) Es gibt ein m ∈ N mit g m = eG , und darüber hinaus ist n die minimale natürliche Zahl mit
dieser Eigenschaft.
(iii) Für alle m ∈ Z gilt g m = eG genau dann, wenn m ein Vielfaches von n ist.
Beweis:
„(i) ⇒ (ii)“
Da ord(g ) und damit die Menge 〈g 〉 nach Voraussetzung endlich ist, können die Elemente
g , g , g , ... nicht alle voneinander verschieden sein. Es gibt also i , j ∈ N mit i < j und g i = g j . Setzen wir m = j − i ,
2
3
dann gilt g m = g j −i = g j · (g i )−1 = eG , also existiert ein m ∈ N mit g m = eG .
Weil die zyklische Gruppe 〈g 〉 insgesamt nur n verschiedene Elemente besitzt, müssen bereits unter g , g 2 , ..., g n+1
Elemente mehrfach auftreten. Wir können also für das j von oben j ≤ n + 1 und damit m ≤ n voraussetzen. Wäre
m < n, dann würde 〈g 〉 auf Grund des Lemmas aus der höchstens m-elementigen Menge {eG , g , ..., g m−1 } bestehen,
im Widerspruch zu |〈g 〉| = n. Es gilt also m = n, und n ist die minimale natürliche Zahl mit der Eigenschaft g n = eG .
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei m ∈ Z mit g m = eG vorgegeben. Dann gibt es q, r ∈ Z mit m = qn + r und 0 ≤ r < n. Es gilt
gr
=
g m−qn
=
g m · (g n )−q
=
eG ◦ eG
=
eG .
Da n nach Voraussetzung die minimale natürliche Zahl mit g n = eG ist, muss r = 0 gelten, und m ist somit ein
Vielfaches von n. Setzen wir umgekehrt voraus, dass m ein Vielfaches von n ist, m = kn für ein k ∈ Z, dann gilt
g m = g kn = (g n )k = eGk = eG .
—– 15 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
„(iii) ⇒ (i)“
Nach Voraussetzung gilt g n = eG , und auf Grund des Lemmas ist 〈g 〉 = {eG , g , ..., g n−1 }. Würden zwei
Elemente in dieser Menge übereinstimmen, dann gäbe es i , j ∈ Z mit 0 ≤ i < j ≤ n − 1 und g i = g j , es wäre also
g j −i = eG . Dies aber wäre ein Widerspruch zur Voraussetzung, da n wegen 0 < j − i < n kein Teiler von j − i ist. Dies
zeigt, dass 〈n〉 tatsächlich aus genau n verschiedenen Elementen besteht, also ord(g ) = |〈g 〉| = n gilt.
Folgerung 3.4 Sei G eine Gruppe, n ∈ N und g ∈ G ein Element der Ordnung n. Dann sind durch
eG , g , g 2 , ..., g n−1 die n verschiedenen Elemente der zyklischen Gruppe 〈g 〉 gegeben.
Beweis:
Nach Satz 3.3 gilt g n = eG , und auf Grund von Lemma 3.2 gilt 〈g 〉 = {eG , g , g 2 , ..., g n−1 }. Wegen |〈g 〉| = n sind
alle Elemente in dieser Aufzählung verschieden.
Folgerung 3.5
Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Genau dann ist ord(g ) = ∞, wenn es kein n ∈ N
n
mit g = eG gibt.
Beweis: Wenn es ein n ∈ N mit g n = eG gibt, dann existiert auch eine minimale natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft.
Dies ist nach Satz 3.3 die Ordnung von g , insbesondere ist ord(g ) endlich. Ist umgekehrt n = ord(g ) endlich, dann gilt
g n = eG nach Satz 3.3.
Zur Illustration der bisher behandelten Sätze bestimmen wir die Ordnung des Elements σ ∈ S 4 gegeben durch
σ
=
1
2
3
4
2
3
4
1
.
Offenbar ist σ = id, da beispielsweise σ(1) = 3 = 1 ist. Weiter gilt
σ2
=
σ◦σ
=
σ3
=
σ2 ◦ σ
=
σ4
=
σ3 ◦ σ
=
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
1
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
3
4
4
1
2
3
2
3
4
1
=
=
=
1
2
3
4
3
4
1
2
1
2
3
4
4
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
Also ist n = 4 die minimale Zahl mit σ4 = id. Nach Satz 3.3 gilt damit ord(σ) = 4. Die von σ erzeugte Untergruppe
〈σ〉 besteht also aus den vier (verschiedenen) Elementen id, σ, σ2 , σ3 . Für höhere Exponenten wiederholen sich die
Elemente zyklisch: Es gilt σ5 = σ4 ◦ σ = id ◦ σ, σ6 = σ5 ◦ σ = σ ◦ σ = σ2 , σ7 = σ6 ◦ σ = σ2 ◦ σ = σ3 usw. Ebenso findet man
σ−1 = σ3 ◦ σ−4 = σ3 ◦ (σ4 )−1 = σ3 ◦ id = σ3 und ebenso σ−2 = σ−1 ◦ σ3 = σ2 , σ−3 = σ−1 ◦ σ2 = σ usw.
Als weiteres Anwendungsbeispiel für Satz 3.3 berechnen wir noch die Potenzen σ789 und σ−666 des Elements σ. Wegen
ord(σ) = 4 gilt nach die Gleichung σn = id für jede durch 4 teilbare ganze Zahl n. Division mit Rest liefert
789
=
4 · 197 + 1.
Es gilt also σ789 = σ4·197 ◦σ1 = id◦σ = σ. Ebenso erhalten wir über −666 = 4·(−167)+2 die Gleichung σ−666 = σ4·(−167) ◦
σ2 = id ◦ σ2 = σ2 .
—– 16 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Definition 3.6
Sei n ∈ N und k ∈ {2, ..., n}. Ein k-Zykel in S n ist ein Element σ ∈ S n mit der
folgenden Eigenschaft: Es gibt eine k-elementige Teilmenge {m 1 , ..., m k } ⊆ M n , so dass
σ(x)


m


 i +1
m1




x
=
falls x = m i , 1 ≤ i < k
falls x = m k
sonst
für alle x ∈ M n erfüllt ist. An Stelle der Tabellenschreibweise verwendet man für solche Elemente
auch die Notation σ = (m 1 ... m k ). Die Menge tr(σ) = {m 1 , ..., m k } nennt man den Träger des
Elements σ. Einen 2-Zykel bezeichnet man auch als Transposition.
Das Element σ = (1 2 3 4) aus dem Beispiel oben ist ein 4-Zykel in S 4 . Weitere Beispiele für k-Zykel in S 4 sind
1
2
3
4
4
3
1
2
= (1 4 2 3) ,
1
2
3
4
3
2
4
1
= (1 3 4) ,
1
2
3
4
1
3
2
4
= (2 3)
wobei im ersten Fall k = 4, im zweiten k = 3 und im dritten k = 2 ist. Dagegen ist
1
2
3
4
2
1
4
3
kein Zykel, sondern ein Produkt zweier 2-Zykel: Es gilt τ = (1 2) ◦ (3 4). Wir werden später in der Vorlesung sehen, dass
jedes Element in S n als Produkt von Zyklen dargestellt werden kann, wobei zusätzlich die Träger von je zwei Zyklen in
dem Produkt zueinander disjunkt sind.
Die Zyklenschreibweise erlaubt es, die Elemente der S n auf kompaktere Weise darzustellen als in der Tabellenform. In
der Gruppe S 3 ist jedes Element ein Zykel, es gilt
S3
=
{id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}.
In der Gruppe S 4 ist dies nicht mehr der Fall, da hier auch sogenannte Doppeltranspositionen auftreten, also Produkte
von zwei 2-Zykeln der Form (i j ) ◦ (k ). Insgesamt sind die Elemente der S 4 gegeben durch
S4
=
{id, (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4),
(1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3),
(1 2 3 4), (1 3 2 4), (1 4 3 2), (1 2 4 3), (1 3 4 2), (1 4 2 3),
(1 2) ◦ (3 4), (1 3) ◦ (2 4), (1 4) ◦ (2 3)}.
Im Augenblick ist es noch etwas mühsam, von Hand zu überprüfen, dass diese 24 = 4! Elemente alle verschieden sind,
und dass somit eine vollständige Liste der Elemente von S 4 vorliegt. Der Aufwand wird sich reduzieren, sobald wir
etwas mehr Theorie zur Verfügung haben.
Satz 3.7
Ist σ ∈ S n ein k-Zykel, dann gilt ord(σ) = k.
—– 17 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Beweis:
Wir zeigen, dass k die minimale natürliche Zahl mit σk = id ist. Nach Satz 3.3 folgt daraus dann ord(σ) = k.
Sei σ = (m 1 m 2 ... m k ) mit m 1 , ..., m k ∈ M n . Für alle x ∈ M n \ tr(σ) gilt nach Definition σ(x) = x, und man zeigt leicht
durch vollständige Induktion, dass σr (x) = x für alle r ∈ N erfüllt ist.
Als nächstes zeigen wir durch vollständige Induktion über r , dass σr (m 1 ) = m r +1 für 1 ≤ r < k gilt. Für r = 1 ist σ(m 1 ) =
m 2 = m r +1 nach Definition erfüllt. Sei nun r < k − 1, und setzen wir die Aussage für r voraus. Nach Definition gilt
σ(m r +1 ) = m r +2 , und mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung erhalten wir
σr +1 (m 1 ) = σ(σr (m 1 )) = σ(m r +1 ) = m r +2 .
Damit ist die Aussage für alle r ∈ {1, ..., k − 1} bewiesen. Aus der Aussage folgt insbesondere, dass σr (m 1 ) = m 1 und
somit σr = id für alle r ∈ {1, ..., k − 1} gilt.
Nach Definition von σ gilt auch σk (m 1 ) = σ(σk−1 (m 1 )) = σ(m k ) = m 1 . Wir zeigen nun, dass σk (m r ) = m r auch für alle
r ∈ {2, ..., k} gilt. Wie bereits gezeigt, gilt σr −1 (m 1 ) = m r und somit σ1−r (m r ) = m 1 . Daraus folgt
σk (m r )
=
σ(r −1)+k+(1−r ) (m r )
=
r −1
r −1
σ
k
(σ (m 1 ))
=
σ
σr −1 (σk (σ1−r (m r )))
(m 1 )
=
=
mr .
Insgesamt haben wir somit gezeigt, dass σk (x) = x für alle alle x ∈ tr(σ) gilt, und weiter oben haben wir bereits σk (x) =
x für alle x ∈ M n \ tr(σ) festgestellt. Also gilt σk = id, und k ist die minimale natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft.
Gelegentlich ist auch das folgende Kriterium für die Bestimmung der Ordnung hilfreich.
Satz 3.8
Sei G eine Gruppe und n ∈ N. Ein Element g ∈ G hat genau dann die Ordnung n, wenn
n
g = eG und für jeden Primteiler p von n jeweils g n/p = eG gilt.
Beweis:
„⇒“
Ist n = ord(g ), dann ist n ∈ N minimal mit g n = eG . Insbesondere gilt dann g n/p = eG für jeden
Primteiler p von n.
„⇐“ Sei m = ord(g ) und das angegebene Kriterium für ein n ∈ N erfüllt. Aus der Gleichung g n = eG folgt zunächst
m|n. Nehmen wir nun an, dass m ein echter Teiler von n ist. Dann besitzt die Zahl
k ∈ N mit
n
m
= kp, dann folgt n = kpm und
n
p
n
m
∈ N einen Primteiler p. Ist
= km. Wegen g m = eG würden wir g n/p = (g m )k = eGk = eG erhalten, im
Widerspruch zur Annahme g n/p = eG .
Ist beispielsweise G eine Gruppe und g ∈ G mit
g 16 = eG
und g 8 = eG
,
dann gilt ord(g ) = 16. Ist g dagegen ein Element mit
g 24 = eG
,
g 8 = eG
und g 12 = eG
,
dann folgt ord(g ) = 24. Zu beachten ist, dass aus der Gleichung g n = eG allein nicht n = ord(g ) folgt. Man erhält
durch die Gleichung lediglich die Information, dass ord(g ) ein Teiler von n ist. Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts
beschäftigen wir uns nun mit der Struktur zyklischer Gruppen.
—– 18 —–
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Satz 3.9
(i) Für jedes n ∈ N ist die Untergruppe C n = 〈(1 2 ... n)〉 von S n eine zyklische Gruppe der
Ordnung n.
(ii) Die Gruppe C ∞ = (Z, +) ist eine unendliche zyklische Gruppe.
zu (i) Nach Satz 3.7 ist σ = (1 2 ... n) ein Element der Ordnung n in S n . Die Gruppe C n = 〈σ〉 ist nach
Beweis:
Definition zyklisch, und die Ordnung von σ ist nach Definition gerade die Ordnung der von σ erzeugten Gruppe C n .
zu (ii)
Sei U = 〈1〉 die von 1 erzeugte Untergruppe in (Z, +). Nach Lemma 3.2 gilt U = {n · 1 | n ∈ Z}, wobei n · 1
jeweils die n-te Potenz von 1 in der (additiv geschriebenen) Gruppe (Z, +) bezeichnet. Wir überprüfen nun, dass U
mit Z übereinstimmt. Weil Z unendlich ist, folgt daraus, dass es sich bei (Z, +) um eine unendliche zyklische Gruppe
handelt.
Zunächst beweisen wir die Gleichung n · 1 = n für alle n ∈ N0 . Für n = 0 ist das klar nach Definition, und setzen wir
die Aussage für n als gültig voraus, dann folgt aus den Potenzgesetzen und der Induktionsvoraussetzung (n + 1) · 1 =
n · 1 + 1 · 1 = n + 1. Dass die Gleichung auch für negatives n gültig ist, folgt ebenfalls aus einem Potenzgesetz: Ist n ∈ Z,
n < 0 und m = −n, dann ist m ∈ N0 und folglich n · 1 = (−m) · 1 = −(m · 1) = −m = n.
Satz 3.10
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. Genauer gilt: Sei G eine zykli-
sche Gruppe, g ein Element mit G = 〈g 〉 und U eine Untergruppe = {eG }. Dann gibt es ein m ∈ N
mit U = 〈g m 〉. Ist ord(g ) = n endlich, dann kann die Zahl m so gewählt werden, dass sie ein Teiler
von n ist.
Beweis:
Weil U nichttrivial ist, gibt es ein r ∈ Z, r = 0 mit g r ∈ U . Weil mit g r auch (g r )−1 = g −r in U enthalten ist,
gibt es auch natürliche Zahlen r mit g r ∈ U . Sei nun m ∈ N die minimale natürliche Zahl mit der Eigenschaft g m ∈ U .
Wir zeigen, dass dann U = 〈g m 〉 gilt.
Die Inklusion „⊇“ gilt nach Definition der erzeugten Untergruppe. Nehmen wir nun an, dass „⊆“ nicht erfüllt ist. Dann
gibt es ein Element h ∈ U \ 〈g m 〉 und ein b ∈ Z mit h = g b . Durch Division mit Rest erhalten wir q, r ∈ Z mit b = qm + r
und 0 ≤ r < m. Dabei ist der Fall r = 0 ausgeschlossen, denn ansonsten wäre b ein Vielfaches von m und h damit doch
in 〈g m 〉 enthalten. So aber gilt h · (g m )−q = g r ∈ U , im Widerspruch zur Minimalität von m. Damit ist die Gleichung
U = 〈g m 〉 bewiesen.
Sei nun n = ord(g ) endlich, und nehmen wir an, dass m kein Teiler von n ist. Dann gibt es q, r ∈ Z mit n = qm + r
und 0 < r < m. Es gilt dann g r = g n−mq = g n · (g m )−q = (g m )−q ∈ U , im Widerspruch dazu, dass m mit der Eigenschaft
g m ∈ U minimal gewählt wurde.
Lemma 3.11
Ist G eine Gruppe, g ∈ G ein Element der Ordnung n ∈ N und d ∈ N ein Teiler von
n, dann gilt ord(g d ) = dn .
Beweis:
Wegen n = ord(g ) gilt für jedes k ∈ Z die Äquivalenz
(g d )k = eG
⇔
g d k = eG
⇔
—– 19 —–
n|(d k)
⇔
n
d
| k.
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Nach Satz 3.3 (iii) folgt daraus ord(g d ) = dn .
Folgerung 3.12 Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n ∈ N und U eine Untergruppe. Dann
ist |U | ein Teiler von n.
Beweis:
Sei g ∈ G mit G = 〈g 〉. Nach Satz 3.10 gibt es einen Teiler d von n mit U = 〈g d 〉. Nach Lemma 3.11 gilt
|U | = ord(g d ) = dn , und die Zahl
Folgerung 3.13
n
d
ist ein Teiler von n.
Ist G eine zyklische Gruppe der endlichen Ordnung n, dann gibt es für jeden
Teiler d von n genau eine Untergruppe U mit |U | = d , und keine weiteren Untergruppen. Ist g
ein erzeugendes Element von G, dann ist diese Untergruppe durch U = 〈g n/d 〉 gegeben.
Beweis:
Sei g ∈ G mit G = 〈g 〉. Nach Lemma 3.11 ist g n/d ein Element der Ordnung d und U = 〈g n/d 〉 damit jedenfalls
eine Untergruppe der Ordnung d . Sei nun V eine weitere Untergruppe derselben Ordnung. Dann gibt es nach Satz
3.10 einen Teiler m von n mit U = 〈g m 〉. Es gilt d = ord(g m ) =
n
m,
also
n
d
= m und somit V = 〈g n/d 〉 = U . Damit ist die
Eindeutigkeit bewiesen. Dass es keine weiteren Untergruppen gibt, haben wir bereits in Folgerung 3.12 festgestellt.
Sei beispielsweise G = C 12 und g ∈ G ein beliebiger Erzeuger. Dann sind die Untergruppen von G durch folgende
Tabelle gegeben.
Untergruppe
G
〈g 2 〉
〈g 3 〉
〈g 4 〉
〈g 6 〉
{eG }
Ordnung
12
6
4
3
2
1
Wir erinnern an die Definition des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier
ganzer Zahlen. Seien a, b ∈ Z vorgegeben. Eine Zahl d ∈ N heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn d ein Teiler
von a und zugleich ein Teiler von b ist. Man nennt d den größten gemeinsamen Teiler von a und b und schreibt
d = ggT(a, b), wenn d |d für jeden gemeinsamen Teiler von a und b gilt. Die Zahlen a und b werden als teilerfremd
bezeichnet, wenn ggT(a, b) = 1 ist.
Die Zahl d heißt gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn sowohl a|d als auch b|d erfüllt ist. Vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen kgV(a, b) spricht man, wenn jedes weitere gemeinsame Vielfache d von a und b auch eine
Vielfaches von d ist. Aus der Klassifikation der Untergruppen einer zyklischen Gruppe können wir das folgende zahlentheoretische Resultat herleiten.
Satz 3.14
(Lemma von Bézout)
Seien m, n ∈ Z, (m, n) = (0, 0). Dann gibt es a, b ∈ Z mit am + bn = ggT(m, n).
Beweis:
Sei G = (Z, +) und U = 〈m, n〉, die von m und n erzeugte Untergruppe. Nach Proposition 2.12 gilt U =
Zm + Zn = {am + bn | a, b ∈ Z}. Weil (Z, +) zyklisch ist, gibt es nach Satz 3.10 ein d ∈ N mit U = 〈d 〉. Wir zeigen, dass
d = ggT(m, n) erfüllt ist.
Wegen m, n ∈ 〈d 〉 gibt es k, ∈ Z mit m = kd und n = l d . Dies zeigt, dass d jedenfalls ein gemeinsamer Teiler von m
und n ist. Sei nun d ein weiterer gemeinsamer Teiler. Dann gibt es k ,
—– 20 —–
∈ Z mit m = k d und n =
d . Die Elemente
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
m, n liegen also in der Untergruppe 〈d 〉, und nach Definition der erzeugten Untergruppe folgt 〈d 〉 = U = 〈m, n〉 ⊆ 〈d 〉.
Insbesondere ist d in 〈d 〉 enthalten, es gibt also ein r ∈ Z mit d = r d . Folglich ist d ein Teiler von d . Damit ist der
Beweis der Gleichung d = ggT(m, n) abgeschlossen. Wegen d ∈ U gibt es nun a, b ∈ Z mit am + bn = d = ggT(m, n).
Wir haben bereits gesehen, wie sich die Ordnung eines Elements ändert, wenn man es mit einem Teiler der Elementordnung potenziert. Wir gehen nun der Frage nach, wie sich die Potenzierung mit beliebigen ganzen Zahlen auf die
Ordnung auswirkt.
Sei G eine Gruppe, n ∈ N und g ∈ G ein Element der Ordnung n. Dann gilt für alle
Satz 3.15
m ∈ Z die Äquivalenz
ord(g m ) = n
Beweis:
⇔
ggT(m, n) = 1.
„⇒“ Wegen g m ∈ 〈g 〉 ist 〈g m 〉 eine Untergruppe von 〈g 〉. Ist ord(g m ) = n = ord(g ), dann muss 〈g m 〉 = 〈g 〉
gelten. Es existiert also ein k ∈ Z mit g = (g m )k = g km . Wir erhalten g 1−km = eG und damit n|(1 − km), weil n die
Ordnung von g ist. Sei nun d ∈ N ein Teiler von n und m. Aus d |n folgt dann insbesondere d |(1 − km). Damit ist d
auch ein Teiler von km + (1 − km) = 1, also muss d = 1 sein. Wir haben damit gezeigt, dass 1 der einzige (natürliche)
gemeinsame Teiler von m und n ist, und es folgt ggT(m, n) = 1 wie gewünscht.
„⇐“ Wegen g m ∈ 〈g 〉 ist 〈g m 〉 eine Untergruppe von 〈g 〉. Auf Grund des Lemmas von Bézout gibt es a, b ∈ Z mit
am + bn = ggT(m, n) = 1. Es folgt
g
=
g1
=
g am+bn
=
(g m )a · (g n )b
=
(g m )a · eGb
=
g am
∈
〈g m 〉.
Also ist auch umgekehrt 〈g 〉 eine Untergruppe von 〈g m 〉. Insgesamt erhalten wir 〈g 〉 = 〈g m 〉 und ord(g m ) = |〈g m 〉| =
|〈g 〉| = ord(g ) = n.
Definition 3.16
Die Eulersche ϕ-Funktion ϕ : N → N ist definiert durch
ϕ(n)
=
|{k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n , ggT(k, n) = 1}|
Beispielsweise ist ϕ(18) = 6, denn es gibt genau sechs natürliche Zahlen k mit 1 ≤ k ≤ 18, die teilerfremd zu 18 sind:
1, 5, 7, 11, 13 und 17. Ist p eine Primzahl, dann gilt ϕ(p) = p − 1, denn jedes k ∈ N mit 1 ≤ k < p ist teilerfremd zu p,
während ggT(p, p) = p > 1 ist.
Folgerung 3.17
Sei n ∈ N. Dann besitzt jede zyklische Gruppe G der Ordnung n genau ϕ(n)
Elemente h mit der Eigenschaft G = 〈h〉.
Beweis:
Sei G zyklisch von Ordnung n und g ein beliebiges erzeugendes Element. Dann sind g k mit 1 ≤ k ≤ n die
verschiedenen Elemente von G. Nach Satz 3.15 ist g k genau dann von Ordnung n und somit ein Erzeuger von G, wenn
ggT(k, n) = 1 ist. Die Anzahl der Zahlen k zwischen 1 und n mit dieser Eigenschaft ist genau ϕ(n).
Lemma 3.18
(i) Seien m, n ∈ Z und d = ggT(m, n). Dann sind die Zahlen m =
m
d
(ii) Sind m, n ∈ Z teilerfremd und r ∈ Z mit m|(r n), dann folgt m|r .
—– 21 —–
und n =
n
d
teilerfremd.
§ 3.
Elementordnungen und zyklische Gruppen
Beweis:
zu (i) Sei e ∈ N ein gemeinsamer Teiler von m und n . Dann gibt es k, ∈ Z mit m = ke und n = e. Es
folgt m = kd e und n = d e. Wäre nun e > 1, dann wäre d e ein größerer gemeinsamer Teiler von m und n als d , im
Widerspruch zu d = ggT(m, n). Also muss e = 1 gelten, und m , n sind teilerfremd.
zu (ii) Nach dem Lemma von Bezout gibt es a, b ∈ Z mit am + bn = 1, und wegen m|(r n) existiert ein k ∈ Z mit
r n = km. Es folgt
r
=
r (am + bn)
=
r am + r bn
r am + kbm
=
=
(r a + kb)m.
Also ist m ein Teiler von r .
Sei G eine Gruppe, n ∈ N und g ∈ G ein Element der Ordnung n.
Satz 3.19
Dann gilt
ord(g m ) =
Beweis:
m =
m
d
n
ggT(m, n)
für alle m ∈ Z.
Wir verwenden das Kriterium aus Satz 3.3 (iii) zur Bestimmung der Ordnung von g m . Sei d = ggT(m, n),
und n =
n
d.
Sei k ∈ Z mit (g m )k = g km = eG . Wegen ord(g ) = n folgt n|(km), und somit ist n ein Teiler von
km . Nach Lemma 3.18 (i) sind m und n teilerfremd, und aus Teil (ii) folgt n |k. Ist umgekehrt k ein Vielfaches von
n , k = r n für ein r ∈ Z, dann gilt
(g m )k
=
g mk
=
g r mn
=
g dr m n
=
g (d n )(r m )
Insgesamt ist damit ord(g m ) = n bewiesen.
—– 22 —–
=
(g n )r m
=
eGr m
=
eG .
§ 4. Der Satz von Lagrange
Definition 4.1
Sei (G, ·) eine Gruppe und U eine Untergruppe. Eine Teilmenge von G, die mit
einem geeigneten g ∈ G in der Form
gU
=
{g u | u ∈ U }
geschrieben werden kann, wird Linksnebenklasse von U genannt. Ebenso bezeichnet man die
Teilmengen der Form U g = {ug | u ∈ U } mit g ∈ G als Rechtsnebenklassen von U .
Desweiteren führen wir die Bezeichnung G/U für die Menge der Linksnebenklassen und U \G für die Menge der
Rechtsnebenklassen von U ein. Es gilt also
G/U
=
{ gU | g ∈ G }
und
U \G
=
{ U g | g ∈ G }.
Sei beispielsweise G = S 3 und U = 〈(1, 2)〉 = {id, (1 2)}. Dann sind die Linksnebenklassen von U gegeben durch
id ◦U
=
{id ◦ id, id ◦ (1 2)}
=
{id, (1 2)}
(1 2) ◦U
=
{(1 2) ◦ id, (1 2) ◦ (1 2)}
=
{(1 2), id}
(1 3) ◦U
=
{(1 3) ◦ id, (1 3) ◦ (1 2)}
=
{(1 3), (1 2 3)}
(2 3) ◦U
=
{(2 3) ◦ id, (2 3) ◦ (1 2)}
=
{(2 3), (1 3 2)}
(1 2 3) ◦U
=
{(1 2 3) ◦ id, (1 2 3) ◦ (1 2)}
=
{(1 2 3), (1 3)}
(1 3 2) ◦U
=
{(1 3 2) ◦ id, (1 3 2) ◦ (1 2)}
=
{(1 3 2), (2 3)}
Es gilt also S 3 /U = { {id, (1 2)} , {(1 3), (1 2 3)} , {(2 3), (1 3 2)} }.
Die Menge S 3 /U der Linksnebenklassen kann graphisch folgendermaßen dargestellt werden.
S3 / U
U
id
(1 3) U
(1 3)
(1 2)
(2 3) U
(2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
Offenbar ist es möglich, dass zwei Nebenklassen gU und hU übereinstimmen, ohne dass g = h ist.
In unserem Beispiel gilt etwa (1 3) ◦U = (1 2 3) ◦U .
—– 23 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Nach dem gleichen Schema können wir auch die Rechtsnebenklassen von U bestimmen.
U ◦ id
=
{id ◦ id, (1 2) ◦ id}
=
{id, (1 2)}
U ◦ (1 2)
=
{id ◦ (1 2), (1 2) ◦ (1 2)}
=
{(1 2), id}
U ◦ (1 3)
=
{id ◦ (1 3), (1 2) ◦ (1 3)}
=
{(1 3), (1 3 2)}
U ◦ (2 3)
=
{id ◦ (2 3), (1 2) ◦ (2 3)}
=
{(2 3), (1 2 3)}
U ◦ (1 2 3)
=
{id ◦ (1 2 3), (1 2) ◦ (1 2 3)}
=
{id, (2 3)}
U ◦ (1 3 2)
=
{id ◦ (1 3 2), (1 2) ◦ (1 3 2)}
=
{(1 3 2), (1 3)}
Die Menge der Rechtsnebenklassen U \G ist also gegeben durch { U , {(1 3), (1 3 2)} , {(2 3), (1 2 3)} }.
Es fällt auf, dass jede Links- oder Rechtsnebenklasse genauso viele Elemente enthält wie die Untergruppe U selbst.
Diese Beobachtung ist auch im allgemeinen Fall zutreffend.
Lemma 4.2
Sei G eine Gruppe, U eine Untergruppe von G und g ∈ G ein beliebiges Element.
Dann sind die Abbildungen
τg : U → gU , h → g h
Beweis:
und
τrg : U → U g , h → hg
jeweils bijektiv.
Wir beschränken und auf den Beweis der Surjektivität und der Injektivität der Abbildung τg . Sei h ∈ gU
vorgegeben. Dann existiert nach Definition von gU ein u ∈ U mit h = g u. Es gilt also τg (u) = g u = h. Damit ist die
Surjektivität bewiesen. Seien nun u 1 , u 2 ∈ U mit τg (u 1 ) = τg (u 2 ). Dann folgt u 1 = g −1 g u 1 = g −1 τg (u 1 ) = g −1 τg (u 2 ) =
g −1 g u 2 = u 2 . Dies zeigt, dass τ auch injektiv ist.
Folgerung 4.3
Ist G eine Gruppe und U eine endliche Untergruppe von G, dann gilt
|U | = |gU | = |U g | für alle g ∈ G.
Beweis:
Dies folgt direkt aus dem Lemma sowie der Tatsache, dass zwei Mengen, zwischen denen eine Bijektion
existiert, gleichmächtig sind.
Am Beispiel von oben ist deutlich geworden, dass die Links- und Rechtsnebenklassen einer Untergruppe im allgemeinen nicht übereinstimmen. Es gilt aber
Proposition 4.4
Ist G eine abelsche Gruppe, dann gilt gU = U g für jedes Element g ∈ G und
jede Untergruppe U .
Beweis:
Wir überprüfen die Inklusion gU ⊆ U g . Sei h ∈ gU vorgegeben. Dann gibt es nach Definition ein u ∈ U mit
h = g u. Weil G abelsch ist, folgt h = ug ∈ U g . Der Beweis der Inklusion U g ⊆ gU läuft analog.
Für das Hauptziel dieses Abschnitts, den Beweis des Satzes von Lagrange, ist die Beobachtung entscheidend, dass die
Linksnebenklassen in G/U eine Zerlegung der Menge G bilden. Dieses Konzept wiederum hängt mit dem Begriff der
Äquivalenzrelation eng zusammen.
—– 24 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Definition 4.5 Sei X eine Menge. Eine Relation ≡ auf X bezeichnet man als Äquivalenzrelation,
wenn sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt.
(i) Reflexivität: Es gilt x ≡ x für alle x ∈ X .
(ii) Symmetrie: Aus x ≡ y folgt y ≡ x, für alle x, y ∈ X .
(iii) Transitivität: Aus x ≡ y und y ≡ z folgt x ≡ z, für alle x, y, z ∈ X .
Für jedes x ∈ X bezeichnet man die Teilmenge [x]≡ = {y ∈ X | x ≡ y} als Äquivalenzklasse von x.
Beispielsweise ist auf der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} durch x ≡ y ⇔ „x − y ist gerade“ eine Äquivalenzrelation definiert.
Es gilt [3]≡ = {1, 3, 5}.
Definition 4.6
Unter einer Zerlegung einer Menge X verstehen wir eine Teilmenge Z der Po-
tenzmenge P(X ) von X , also ein System von Teilmengen von X , mit der Eigenschaft, dass alle
A ∈ Z nichtleer sind und jedes x ∈ X in genau einem A ∈ Z enthalten ist. Diese zweite Bedingung ist gleichbedeutend mit
A
X=
und
A ∩ B = ∅ für alle
A, B ∈ Z .
A∈Z
Zum Beispiel ist {{1, 3, 5}, {2, 4, 6}} eine Zerlegung der Menge M von oben. Andererseits sind {∅, {2, 3}, {1, 4, 5}} und
{{1, 2, 3}, {3, 4, 5}} keine Zerlegungen. Der Zusammenhang zwischen diesen beiden Begriffen ist nun durch folgenden
Satz gegeben.
Satz 4.7
Sei X eine Menge.
(i) Ist ≡ eine Äquivalenzrelation auf X , dann ist durch die Menge
Z ≡ = { [x]≡ | x ∈ X } der Äquivalenzklassen eine Zerlegung von X definiert.
(ii) Ist umgekehrt Z eine Zerlegung von X , dann ist durch x ≡Z y ⇔ ∃A ∈ Z : x, y ∈ A
eine Äquivalenzrelation definiert.
Beweis:
zu (i) Für jedes x ∈ X ist die Äquivalenzklasse [x]≡ nicht leer, denn aus x ≡ x folgt x ∈ [x]≡ . Also sind die
Mengen in Z alle nichtleer, und jedes x ∈ X ist in mindestens einer Menge aus Z enthalten. Um zu zeigen, dass jedes
Element von X in nicht mehr als einer Äquivalenzklasse liegt, weisen wir nach, dass für alle x, y ∈ X aus x ∈ [y]≡ bereits
[x]≡ = [y]≡ folgt.
Aus x ∈ [y]≡ folgt x ≡ y nach Definition der Äquivalenzklassen, also auch y ≡ x auf Grund der Symmetrie. Ist nun
z ∈ [x]≡ , dann gilt x ≡ z. Die Transivitiät liefert y ≡ z und damit z ∈ [y]≡ . Setzen wir umgekehrt z ∈ [y]≡ voraus. Dann
gilt y ≡ z, also auch x ≡ z wegen x ≡ y und der Transitivität. Es folgt z ∈ [x]≡ .
—– 25 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
zu (ii) Die Relation Z ist transitiv, denn jedes x ∈ Z ist nach Voraussetzung in einem A ∈ Z enthalten. Aus x ∈ Z
wiederum folgt x ≡Z x, die Relation ≡Z ist also reflexiv. Sind x, y ∈ X mit x ≡Z y, dann gibt es ein A ∈ Z mit x, y ∈ A.
Dies ist natürlich gleichbedeutend mit y, x ∈ A, also gilt auch y ≡Z x. Damit ist die Symmetrie nachgewiesen. Zum
Beweis der Transitivität seien x, y, z ∈ X mit x ≡Z y und y ≡Z z vorgegeben. Dann gibt es A, B ∈ Z mit x, y ∈ A und
y, z ∈ B . Weil aber y nur in einer Menge aus Z enthalten ist, muss A = B gelten. Es folgt x, z ∈ A und damit x ≡Z z.
Ohne Beweis bemerken wir noch, dass die Zuordnungen ≡→ Z ≡ und Z →≡Z zwischen Äquivalenzrelationen auf
X einerseits und Zerlegungen von X andererseits zueinander invers sind. Ist also ≡ eine Äquivalenzrelation auf X ,
Z die Zerlegung von X in die Äquivalenzklassen bezüglich dieser Relation und ≡Z wiederum die zu Z gehörende
Äquivalenzrelation, dann stimmen ≡ und ≡Z überein. Entsprechendes gilt, wenn man mit einer Zerlegung auf X
startet.
Für eine Menge X und eine Zerlegung Z von X gilt offenbar allgemein: Genau dann ist X endlich, wenn sowohl |Z |
als auch |A| für jedes A ∈ Z endlich ist, und in diesem Fall ist dann die Gleichung
|X |
=
|A|
A∈Z
erfüllt. Diese einfache Beobachtung wird später beim Beweis des Satzes von Lagrange (s.u.) eine wichtige Rolle spielen.
Proposition 4.8
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann ist sowohl durch G/U als
auch durch U \G eine Zerlegung von G gegeben.
Beweis:
Wir beschränken uns auf den Nachweis, dass G/U eine Zerlegung von G bildet, und überlassen den Beweis
für die Rechtsnebenklassen dem Leser als Übung. Für jedes g ∈ G gilt g = g eG ∈ gU , also ist jede Linksnebenklasse
nichtleer. Außerdem ist jedes g ∈ G offenbar in mindestens einer Linksnebenklasse enthalten, nämlich in gU . Es bleibt
zu zeigen, dass kein Gruppenelement in zwei unterschiedlichen Linksnebenklassen liegen kann. Nehmen wir an, gU
und g U sind zwei verschiedene Linksnebenklassen, und h ist ein Gruppenelement mit h ∈ gU ∩ g U . Wir zeigen,
dass dann gU = g U gilt und erhalten damit einen Widerspruch zu den Voraussetzungen. Wegen h ∈ gU ∩ g U gibt es
Elemente u, u ∈ U mit h = g u = g u . Durch Umstellen erhält man die Gleichungen
g = g uu −1
und
g = g u u −1 .
Zum Nachweis von gU ⊆ g U sei nun k ∈ gU vorgegeben. Dann existiert ein v ∈ U mit k = g v. Es folgt k = g v =
(g u u −1 )v = g (u u −1 v) ∈ g U . Um g U ⊆ gU zu beweisen, sei k nun ein Element aus g U . Dann gibt es ein v ∈ U
mit k = g v. Wir erhalten k = g v = (g uu −1 )v = g (uu −1 v) ∈ gU . Damit ist die Gleichung gU = g U bewiesen, was der
Voraussetzung gU = g U widerspricht. Dies bedeutet, dass zwei verschiedene Linksnebenklassen tatsächlich disjunkt
sind.
Man vergewissere sich anhand des Beispiels vom Anfang dieses Kapitels, dass sowohl die Links- als auch die Rechtsnebenklassen der Untergruppe U = {id, (1 2)} in der Tat jeweils eine Zerlegung der Menge S 3 bilden.
Definition 4.9
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Eine Teilmenge R ⊆ G wird Reprä-
sentantensystem von G/U genannt, wenn die Abbildung R → G/U , g → gU bijektiv ist. Dies ist
gleichbedeutend damit, dass jede Linksnebenklasse genau ein Element aus R enthält.
—– 26 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Entsprechend ist R ⊆ G ein Repräsentantensystem der Rechtsnebenklassen, wenn die Abbildung R → U \G, g → U g
bijektiv ist. Im Beispiel oben ist jede der Mengen
{id, (1 3), (2 3)} ,
{id, (1 2 3), (2 3)} ,
{(1 2), (1 3), (1 3 2)}
ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen.
Als nächstes zeigen wir, wie sich aus einem Repräsentantensystem der Linksnebenklassen ein Repräsentantensystem
der Rechtsnebenklassen gewinnen lässt.
Proposition 4.10
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Ist R ein Repräsentantesystem
der Linksnebenklassen, dann ist R = {g −1 | g ∈ R} ein Repräsentantensystem der Rechtsnebenklassen.
Beweis:
Zu zeigen ist, dass für jedes h ∈ G die Rechtsnebenklasse U h genau ein Element aus R enthält. Sei also
h ∈ G vorgegeben. Zunächst beweisen wir, dass in U h ein Element aus R liegt. Nach Voraussetzung enthält die Linksnebenklasse h −1U ein Element g ∈ R. Es gibt also ein u ∈ U mit g = h −1 u. Daraus folgt g −1 = u −1 h. Diese Gleichung
wiederum zeigt, dass die Rechtsnebenklasse U h das Element g −1 ∈ R enthält.
Nehmen wir nun an, die Rechtsnebenklasse U h enthält die beiden Elemente h 1 , h 2 ∈ R . Dann gibt es u, v ∈ U mit
h 1 = uh und h 2 = vh. Nach Definition von R gibt es außerdem g 1 , g 2 ∈ R mit g 1−1 = h 1 , g 2−1 = h 2 . Es folgt g 1 = h 1−1 =
h −1 u −1 und g 2 = h 2−1 = h −1 v −1 . Die Gleichungen zeigen, dass die Elemente g 1 , g 2 ∈ R beide in der Linksnebenklasse
h −1U liegen. Weil R ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen ist, muss g 1 = g 2 gelten. Daraus wiederum folgt
h1 = h2 .
Man überprüft leicht, dass durch R → R , g → g −1 eine Bijektion definiert ist. Aus der Proposition folgt somit, dass es
eine Bijektion zwischen G/U und U \G gibt, die sich aus den Bijektionen G/U → R → R → U \G zusammensetzt. Dies
bedeutet, dass die Mengen G/U und U \G gleichmächtig sind.
Definition 4.11
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Die Mächtigkeit |G/U | der Menge
G/U wird der Index von U in G genannt und mit (G : U ) bezeichnet.
Aus unserer Vorüberlegung folgt, dass man zur Definition des Index genauso gut die Mächtigkeit der Menge U \G der
Rechtsnebenklassen verwenden könnte. Im Beispiel oben haben wir gesehen, dass es im Fall G = S 3 und U = 〈(1 2)〉
jeweils drei Links- und drei Rechtsnebenklassen gibt. Hier gilt also (G : U ) = 3.
Satz 4.12
(Satz von Lagrange)
Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe. Dann gilt |G| = (G : U )|U |. Insbesondere ist
die Ordnung |U | der Untergruppe immer ein Teiler der Gruppenordnung |G|.
Beweis:
Sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen. Wie bereits bemerkt, gilt nach Definition eines
Repräsentantensystems die Gleichung |R| = (G : U ). Nach Proposition 4.8 ist G/U eine Zerlegung von G, und nach
—– 27 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Folgerung 4.3 gilt |gU | = |U | für alle Linksnebenklassen. Wir erhalten
|G|
=
|A|
A∈G/U
=
|gU |
=
|U |
g ∈R
=
|R| · |U |
=
(G : U ) · |U |.
g ∈R
Im Beispiel oben ist die Gleichung aus dem Satz von Lagrange offenbar erfüllt, denn im Fall G = S 3 , U = 〈(1 2)〉 gilt
|G| = 6 und (G : U )|U | = 3 · 2 = 6. Die Untergruppe V = 〈(1 2 3)〉 in S 3 ist von Ordnung 3, da (1 2 3) ein Element der
Ordnung 3 ist. Der Satz von Langrange liefert hier für den Index den Wert
(G : V )
=
|G|
|V |
=
6
3
=
2.
Die Zerlegung einer Gruppe in ihre Linksnebenklassen liefert auch eine Aussage für beliebige, nicht notwendigerweise
endliche, Gruppen.
Folgerung 4.13
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Genau dann ist G endlich, wenn
sowohl U als auch G/U endliche Mengen sind (und in diesem Fall gilt dann natürlich der Satz
von Lagrange).
Beweis:
„⇒“ Ist G endlich, dann ist U als Teilmenge von G offenbar ebenfalls endlich. Sei R ⊆ G ein Repräsentan-
tensystem der Menge G/U der Linksnebenklassen. Dann gibt es eine Bijektion von R nach G/U . Weil R als Teilmenge
von G endlich ist, handelt es sich auch bei G/U um eine endliche Menge.
„⇐“ Setzen wir nun voraus, dass U und G/U endlich sind. Weil für jedes g ∈ G zwischen U und gU jeweils eine
Bijektion existiert, ist damit auch jede Linksnebenklasse endlich. Weil es nach Voraussetzung nur endlich viele Linksnebenklassen gibt, ist G als Vereinigung der endlich vielen Linksnebenklassen selbst eine endliche Menge.
Wir haben beim Beweis der bisherigen Sätze bereits mehrmals verwendet, dass für die Linksnebenklassen einer Untergruppe U in einer Gruppe G stets ein Repräsentantensystem existiert. Dass dies tatsächlich der Fall ist, wird durch
das sogenannte Auswahlaxiom der Mengenlehre gewährleistet. Dieses stellt sicher, dass aus jeder Linksnebenklasse ein Repräsentant ausgewählt und die ausgewählten Elemente zu einer neuen Menge R zusammengeführt werden
können. Da in den Vorlesungen die Axiome der Mengenlehre normalerweise nicht behandelt werden, fällt die Verwendung des Auswahlaxioms nicht auf, zumal seine Gültigkeit trivial und selbstverständlich erscheint.
Als wichtige Folgerung aus dem Satz von Lagrange bemerken wir noch
Satz 4.14
(kleiner Satz von Fermat)
Ist G eine endliche Gruppe der Ordnung n, dann ist ord(g ) endlich für alle g ∈ G und ein Teiler
von n. Es gilt also g n = eG für alle g ∈ G.
Beweis:
Sei g ∈ G beliebig. Aus der Endlichkeit von G folgt die Endlichkeit der zyklischen Untergruppe 〈g 〉. Nach
Definition gilt ord(g ) = |〈g 〉|, und auf Grund des Satzes von Lagrange ist |〈g 〉| ein Teiler von n. Die Gleichung g n = eG
folgt dann aus Satz 3.3 (iii).
—– 28 —–
§ 4.
Der Satz von Lagrange
Folgerung 4.15
Sei G eine endliche Gruppe und p = |G| eine Primzahl. Dann gilt G = 〈g 〉 für alle
g ∈ G \ {eG }, insbesondere ist G zyklisch.
Beweis:
Wegen |G| > 1 gibt es mindestens ein Element g ∈ G \ {eG }. Nach dem Satz von Lagrange ist ord(g ) = |〈g 〉|
ein Teiler der Gruppenordnung p. Weil p eine Primzahl ist, gibt es nur die beiden Möglichkeiten ord(g ) = 1 oder
ord(g ) = p. Wegen g = eG scheidet die erste Möglichkeit aus. Es gilt damit |〈g 〉| = p = |G|, also G = 〈g 〉.
Folgerung 4.16
Sei G eine Gruppe, und seien U ,V ⊆ G endliche Untergruppen mit teilerfrem-
den Ordnungen |U | und |V |. Dann gilt U ∩ V = {eG }.
Beweis:
Sei U1 = U ∩V . Dann ist U1 eine Untergruppe von U , und nach dem Satz von Lagrange ist |U1 | ein Teiler von
|U |. Ebenso ist U1 eine Untergruppe von V , also teilt |U1 | auch |V |. Die Zahl |U1 | ist also ein gemeinsamer Teiler von
|U | und |V |. Weil |U | und |V | teilerfremd sind, folgt daraus |U1 | = 1 und U1 = {eG }.
—– 29 —–
§ 5. Homomorphismen und Normalteiler
Im ersten Teil dieses Abschnitts behandeln wir einige grundlegende Sätze über Gruppenhomomorphismen.
Proposition 5.1
Seien φ : G → H und ψ : H → H Gruppenhomomorphismen. Dann gilt:
(i) Die Abbildung ψ ◦ φ : G → H ist ein Homomorphismus.
(ii) Sind φ, ψ Isomorphismen, dann gilt dasselbe für ψ ◦ φ und φ−1 .
Beweis:
zu (i) Mit φ und ψ ist auch ψ ◦ φ ein Homomorphismus, denn für alle g , h ∈ G gilt
(ψ ◦ φ)(g h)
zu (ii)
=
ψ(φ(g h))
=
ψ(φ(g )φ(h))
=
ψ(φ(g ))ψ(φ(h))
=
(ψ ◦ φ)(g )(ψ ◦ φ)(h)
Die Abbildung ψ ◦ φ ist nach (i) ein Homomorphismus, und als Komposition bijektiver Abbildungen auch
bijektiv. Also ist ψ ◦ φ ein Isomorphismus. Als Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung ist φ−1 ebenfalls bijektiv.
Zum Nachweis der Homomorphismus-Eigenschaft seien g , h ∈ H vorgegeben. Dann gilt
φ(φ−1 (g )φ−1 (h))
=
φ(φ−1 (g ))φ(φ−1 (h))
=
gh
=
φ(φ−1 (g h)).
Weil φ injektiv ist, folgt φ−1 (g )φ−1 (h) = φ−1 (g h).
Definition 5.2
Zwei Gruppen G und H werden als isomorph bezeichnet, wenn ein Isomorphis-
mus φ : G → H von Gruppen existiert.
Die folgenden Begriffe sind bereits aus der Linearen Algebra bekannt.
Definition 5.3
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man
ker(φ) = {g ∈ G | φ(g ) = e H } den Kern und im(φ) = {φ(g ) | g ∈ G} das Bild von φ.
Wir untersuchen nun, wie sich Untergruppen unter Homomorphismen verhalten.
Proposition 5.4
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, außerdem U eine Untergruppe
von G und V eine Untergruppe von H . Dann gilt
(i) Die Bildmenge φ(U ) ist eine Untergruppe von H .
(ii) Die Urbildmenge φ−1 (V ) ist eine Untergruppe von G.
Insbesondere ist ker(φ) eine Untergruppe von G, und im(φ) ist Untergruppe von H .
Beweis:
zu (i) Wegen eG ∈ U und φ(eG ) = e H ist e H ∈ φ(U ) enthalten. Seien nun g , h ∈ φ(U ) vorgegeben. Dann
gibt es Elemente g , h ∈ U mit φ(g ) = g und φ(h) = h . Mit g , h liegen auch die Elemente g h und g −1 in U . Es folgt
g h = φ(g )φ(h) = φ(g h) ∈ U , und ebenso erhalten wir g
−1
= φ(g )−1 = φ(g −1 ) ∈ φ(U ).
zu (ii) Aus φ(eG ) = e H ∈ V folgt eG ∈ φ−1 (V ). Sind g , h ∈ φ−1 (V ) vorgegeben, dann gilt φ(g ), φ(h) ∈ V . Es folgt φ(g h) =
φ(g )φ(h) ∈ V und somit g h ∈ φ−1 (V ). Ebenso gilt φ(g −1 ) = φ(g )−1 ∈ V , also g −1 ∈ φ−1 (V ).
—– 30 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Proposition 5.5
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Die Abbildung φ ist genau dann
injektiv, wenn ker(φ) = {eG } gilt.
Beweis:
„⇒“ Ist φ ein Monomorphismus, dann ist eG das einzige Element mit φ(eG ) = e H , also gilt ker(φ) = eG .
„⇐“ Setzen wir ker(φ) = {eG } voraus, und seien g , h ∈ G mit φ(g ) = φ(h) vorgegeben. Dann gilt φ(g )φ(h)−1 = e H , und
wir erhalten φ(g h −1 ) = φ(g )φ(h)−1 = e H . Nach Definition des Kerns folgt g h −1 ∈ ker(φ). Auf Grund der Voraussetzung
bedeutet dies g h −1 = eG und somit g = h.
Lemma 5.6
Ist φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus und g ∈ G, dann gilt φ(g n ) = φ(g )n für
alle n ∈ Z.
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Gleichung φ(g n ) = φ(g )n für alle n ∈ N0 durch vollständige Induktion. Es gilt
φ(g 0 ) = φ(eG ) = e H = φ(g )0 . Setzen wir nun die Gleichung für ein n ∈ N0 voraus. Dann folgt φ(g n+1 ) = φ(g n g ) =
φ(g n )φ(g ) = φ(g )n φ(g ) = φ(g )n+1 . Sei nun n ∈ Z negativ und m = −n. Dann gilt m ∈ N, und mit Hilfe der bereits
bewiesenen Gleichung erhalten wir φ(g n ) = φ(g −m ) = φ((g m )−1 ) = φ(g m )−1 = (φ(g )m )−1 = φ(g )−m .
Proposition 5.7
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Ist g ∈ G ein Element von endli-
cher Ordnung n, dann ist ord(φ(g )) endlich, und ein Teiler von n.
Beweis:
Nach Lemma 5.6 gilt φ(g )n = φ(g n ) = φ(eG ) = e H . Mit dem Kriterium Satz 3.3 (iii) zur Ordnung von Grup-
penelementen folgt sowohl die Endlichkeit von ord(φ(g )) als auch die Teiler-Eigenschaft.
Proposition 5.8
(Eindeutigkeit von Homomorphismen)
Seien G, H Gruppen und S ⊆ G ein Erzeugendensystem von G. Sind φ, φ : G → H Gruppenhomomorphismen mit φ(s) = φ (s) für alle s ∈ S, dann folgt φ = φ .
Beweis:
Wir zeigen, dass die Teilmenge U = {g ∈ G | φ(g ) = φ (g )} eine Untergruppe von G ist. Wegen φ(eG ) = e H =
φ (eG ) ist eG ∈ U . Sind g , h ∈ U beliebig vorgegeben, dann gilt
φ(g h) = φ(g )φ(h) = φ (g )φ (h) = φ (g h)
und
φ(g −1 ) = φ(g )−1 = φ (g )−1 = φ (g −1 ) ,
also gilt g h ∈ U und g −1 ∈ U . Weil U nach Voraussetzung die Menge S enthält, gilt G = 〈S〉 ⊆ U und somit G = U . Die
Abbildungen φ und φ stimmen also auf der gesamten Gruppe G überein.
Proposition 5.9
(Existenz von Homomorphismen auf zyklischen Gruppen)
Sei G eine zyklische Gruppe, g ∈ G ein erzeugendes Element, H eine weitere Gruppe und h ∈ H .
Ist ord(g ) = ∞ oder ord(g ) endlich und ein Vielfaches von ord(h), dann existiert ein (eindeutig
bestimmter) Gruppenhomomorphismus φ : G → H mit φ(g ) = h.
Beweis: Die Eindeutigkeit folgt in beiden Fällen aus Proposition 5.8. Für die Existenz betrachten wir zunächst den Fall
ord(g ) = ∞ und definieren die Abbildung φ durch φ(g n ) = h n für alle n ∈ Z. Dann ist φ ein Homomorphismus, denn
alle Elemente aus G lassen sich in der Form g m mit m ∈ Z darstellen, und für alle m, n ∈ Z gilt φ(g m g n ) = φ(g m+n ) =
h m+n = h m h n = φ(g m )φ(g n ).
—– 31 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Sei nun n = ord(g ) endlich und ein Vielfaches von ord(h). Dann definieren wir φ als Abbildung durch φ(g k ) = h k für
0 ≤ k < n. Wir zeigen, dass dann φ(g m ) = h m für alle m ∈ Z erfüllt ist. Division von m durch n mit Rest liefert q, r ∈ Z
mit m = qn + r und 0 ≤ r < n. Da n ein Vielfaches von ord(h) ist, gilt h n = e H , und es folgt
φ(g m )
=
φ(g qn+r )
=
φ((g n )q g r )
=
φ(g r )
=
hr
=
(h n )q h r
=
hm .
Wie im Fall unendlicher Ordnung prüft man nun die Homomorphismus-Eigenschaft von φ.
Satz 5.10 Je zwei unendliche zyklische Gruppen isomorph. Ebenso sind zwei zyklische Gruppen
derselben endlichen Ordnung isomorph.
Beweis: Seien G und H unendliche zyklische Gruppen und g ∈ G, h ∈ H mit G = 〈g 〉 sowie H = 〈h〉. Dann gibt es nach
Proposition 5.9 eindeutig bestimmte Homomorphismen φ : G → H und ψ : H → G mit φ(g ) = h und ψ(h) = g . Es gilt
(ψ ◦ φ)(g ) = g . Aber nach Proposition 5.8 gibt es nur einen Homomorphismus G → G mit g → g , nämlich idG . Somit
ist ψ ◦ φ = idG . Ebenso schließt man aus der Gleichung (φ ◦ ψ)(h) = h, dass φ ◦ ψ = idH ist. Die Abbildungen φ und ψ
sind also zueinander invers, damit bijektiv. Es folgt G ∼
= H . Im Fall endlicher Ordnung verläuft der Beweis analog.
Der folgende spezielle Typ einer Untergruppe steht mit den Gruppenhomomorphismen in einem besonders engen
Zusammenhang.
Definition 5.11 Sei G eine Gruppe. Eine Untergruppe U von G wird Normalteiler von G genannt
(Schreibweise U
G), wenn gU = U g für alle g ∈ G gilt.
Für die Normalteiler-Eigenschaft einer Untergruppe gibt es mehrere äquivalente Kriterien.
Proposition 5.12
Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe. Dann sind die folgenden Bedin-
gungen äquivalent:
(i) U ist Normalteiler von G.
(ii) Es gilt gU g −1 ⊆ U für alle g ∈ G, wobei gU g −1 = {g ug −1 | u ∈ U } ist.
(iii) Es gilt gU g −1 = U für alle g ∈ G.
Beweis:
„(i) ⇒ (ii)“ Seien g ∈ G und h ∈ gU g −1 vorgegeben. Dann gibt es ein u ∈ U mit h = g ug −1 . Auf Grund
der Gleichung gU = U g finden wir ein u ∈ U mit g u = u g . Es folgt h = (u g )g −1 = u ∈ U . Damit ist die Inklusion
gU g −1 ⊆ U nachgewiesen.
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei g ∈ G vorgeben. Auf Grund der Voraussetzung genügt es, die Inklusion U ⊆ gU g −1 zu beweisen. Seien
g ∈ G und u ∈ U vorgegeben. Nach Voraussetzung gilt auch g −1U g ⊆ U , also liegt das Element u = g −1 ug in U . Es
folgt u = g u g −1 ∈ gU g −1 .
„(iii) ⇒ (i)“ Zunächst beweisen wir die Inklusion gU ⊆ U g . Sei dazu h ∈ gU vorgegeben. Dann gibt es ein u ∈ U mit
h = g u. Nach Voraussetzung liegt das Element u = g ug −1 in U . Es gilt also h = u g ∈ U g . Zum Beweis von U g ⊆ gU
sei nun umgekehrt h ∈ U g enthalten, also h = ug für ein u ∈ U . Wegen g −1U g = U liegt u = g −1 ug in U . Daraus folgt
h = g u ∈ gU .
—– 32 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Ist G eine beliebige Grupe, dann sind {eG } und G stets Normalteiler von G. Man nennt eine Gruppe einfach, wenn es
neben diesen beiden keine weiteren Normalteiler gibt. Gilt N
G, dann folgt N
U für jede Untergruppe U von G mit
U ⊇ N . Ist G abelsch, dann ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler.
Proposition 5.13
Beweis:
Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe mit (G : U ) = 2, dann gilt U
G.
Sei g ∈ G beliebig. Ist g in U enthalten, dann gilt gU = U = U g . Setzen wir nun g ∉ U voraus. Dann ist gU
eine von U verschiedene Linksnebenklasse in G. Wegen (G : U ) = 2 sind U und gU die einzigen Linksnebenklassen,
und wir erhalten eine disjunkte Zerlegung G = U ∪ gU , also gU = G \ U . Ebenso zeigt man U g = G \ U . Insgesamt
erhalten wir gU = U g .
Beispielsweise ist N = 〈(1 2 3)〉 ein Normalteiler von S 3 , denn aus |N | = 3 und |S 3 | = 6 folgt (G : N ) nach dem Satz
von Lagrange. Die Untergruppe U = 〈(1 2)〉 ist dagegen kein Normalteiler von S 3 . Für g = (1 2 3) gilt nämlich gU =
{(1 2 3), (1 3)} und U g = {(1 2 3), (2 3)}.
Proposition 5.14
N=
Beweis:
Ist G eine Gruppe und (Ni )i ∈I eine Familie von Normalteilern, dann ist auch
i ∈I Ni ein Normalteiler von G.
Für beliebiges g ∈ G ist zu zeigen, dass g N g −1 ⊆ N gilt. Sei also h ∈ g N g −1 . Dann gibt es ein n ∈ N mit
h = g ng −1 . Weil jedes Ni Normalteiler und nach Voraussetzung n in jedem Ni enthalten ist, gilt h = g ng −1 ∈ Ni für
alle i ∈ I . Also liegt h in N .
Proposition 5.15
Sei φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus.
(i) Ist N ein Normalteiler von H , dann ist φ−1 (N ) ein Normalteiler von G. Insbesondere ist
der Kern ker(φ) ein Normalteiler.
(ii) Ist φ surjektiv und N ein Normalteiler von G, dann ist φ(N ) ein Normalteiler von H .
Beweis:
zu (i) Sei n ∈ φ−1 (N ), also φ(n) ∈ N . Dann gilt hφ(n)h −1 ∈ N für alle h ∈ H . Insbesondere gilt φ(g ng −1 ) =
φ(g )φ(n)φ(g )−1 ∈ N für alle g ∈ G, also g ng −1 ∈ φ−1 (N ) für alle g ∈ G. Die zweite Aussage erhält man durch die erste,
angewendet auf den Normalteiler N = {e H } von H .
zu (ii) Sei n ∈ φ(N ), also n = φ(n ) für ein n ∈ G. Ist nun h ∈ H beliebig vorgegeben, dann finden wir auf Grund
der Surjektivität von φ ein g ∈ G mit φ(g ) = h. Weil N Normalteiler von G ist, gilt g n g −1 ∈ N . Es folgt hnh −1 =
φ(g )φ(n )φ(g )−1 = φ(g n g −1 ) ∈ φ(N ).
Proposition 5.16
Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Dann gibt es auf der Menge
G/N eine eindeutig bestimmte Verknüpfung · mit der Eigenschaft
(g N ) · (hN )
=
(g h)N
für alle g , h ∈ G.
—– 33 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Beweis der Eindeutigkeit:
Ist ∗ eine weitere Verknüpfung auf G/N mit der angegebenen Eigenschaft, dann gilt (g N )∗(hN ) = (g h)N = (g N )·(hN ),
also stimmen ∗ und · auf dem gesamten Definitionsbereich G/N ×G/N überein.
Beweis der Existenz:
Sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem der Linksnebenklassen. Sind g¯ , h¯ beliebige Elemente in G/N , dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente g 0 , h 0 ∈ R mit g¯ = g 0 N und h¯ = h 0 N . Wir definieren nun die Verknüpfung · auf G/N durch
g¯ · h¯
(g 0 h 0 )N .
=
Zu zeigen ist nun, dass die Gleichung (g N )·(hN ) = (g h)N für alle g , h ∈ G erfüllt ist. Seien g , h ∈ G beliebig vorgegeben.
Sind g 0 , h 0 ∈ R die eindeutig bestimmten Elemente mit g N = g 0 N und hN = h 0 N , dann gilt nach Definition
(g N ) · (hN )
=
(g 0 h 0 )N .
Wir müssen nun die Gleichung (g 0 h 0 )N = (g h)N beweisen, denn daraus folgt dann (g N ) · (hN ) = (g h)N wie gewünscht. Weil die Linksnebenklassen eine Zerlegung von G bilden und insbesondere zwei Nebenklassen entweder
gleich oder disjunkt sind (siehe Proposition 4.8), genügt der Nachweis, dass g h in (g 0 h 0 )N enthalten ist.
Wegen g ∈ g 0 N und h ∈ h 0 N gibt es Elemente n 1 , n 2 ∈ N mit g = g 0 n 1 , h = h 0 n 2 . Wegen N h 0 = h 0 N gibt es außerdem
ein n 3 ∈ N mit n 1 h 0 = h 0 n 3 . Es folgt
gh
=
(g 0 n 1 )(h 0 n 2 )
=
g 0 (n 1 h 0 )n 2
g 0 (h 0 n 3 )n 2
=
=
(g 0 h 0 )(n 3 n 2 )
∈
(g 0 h 0 )N .
Um die soeben bewiesene Proposition zu illustrieren, betrachten wir als Beispiel die Gruppe G = S 3 und die Untergruppe N = 〈(1 2 3)〉. Dann besteht die Menge G/N der Linksnebenklassen aus den beiden Elementen
id N = {id, (1 2 3), (1 3 2)} ,
(1 2)N = {(1 2), (1 2)(1 2 3), (1 2)(1 3 2)} = {(1 2), (2 3), (1 3)}.
Wegen (G : N ) = 2 ist N ein Normalteiler von G. Für die soeben definierte Verknüpfung · auf G/N gilt beispielsweise
(id N ) · ((1 2)N ) = (id ◦ (1 2))N = (1 2)N
und
((1 2)N ) · ((1 2)N ) = ((1 2) ◦ (1 2)) = id N .
Insgesamt ist die Verknüpfungstabelle von · gegeben durch
·
id N
(1 2)N
id N
id N
(1 2)N
(1 2) N
(1 2)N
id N
Stellt man die Nebenklasse (1 2)N durch andere Repräsentanten dar, so liefert die Verknüpfung · dennoch dasselbe
Ergebnis. Beispielsweise gilt (1 2)N = (2 3)N = (1 3)N , und man erhält entsprechend
((2 3)N ) · ((1 3)N )
=
((2 3) ◦ (1 3))N
=
(1 2 3)N
=
N.
Als nächstes zeigen wir nun, dass die Verknüpfung · auf der Menge G/N eine Gruppenstruktur definiert.
—– 34 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Satz 5.17
Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler. Dann ist die Menge G/N der Linksneben-
klassen mit der Verknüpfung g N ·hN = (g h)N eine Gruppe, die sogenannte Faktorgruppe von G
modulo N .
Beweis: Wir müssen für die gegebene Verknüpfung die Gruppenaxiome überprüfen. Zum Nachweis der Assoziativität
seien g 1 , g 2 , g 3 ∈ G vorgegeben. Dann gilt
(g 1 N · g 2 N ) · g 3 N
=
(g 1 g 2 )N · g 3 N
g 1 N · (g 2 g 3 )N
=
=
((g 1 g 2 )g 3 )N
=
(g 1 (g 2 g 3 ))N
=
g 1 N · (g 2 N · g 3 N ).
Die Nebenklasse e¯ = eG N = N übernimmt die Rolle des Neutralelements, denn für alle g ∈ G gilt g N · eG N = (g eG )N =
¯
g N und eG N · g N = (eG g )N = g N . Außerdem gilt g N · g −1 N = (g g −1 )N = eG N = e¯ und ebenso g −1 N · g N = eG N = e,
also ist g −1 N das zu g N inverse Element in G/N .
Proposition 5.18
Sei G eine Gruppe und N
G ein Normalteiler. Dann ist die Abbildung
πN : G → G/N , g → g N ein surjektiver Homomorphismus, der sogenannte kanonische Epimorphismus.
Beweis:
Für alle g , g ∈ G gilt πN (g g ) = (g g )N = (g N )(g N ) = πN (g )πN (g ). Somit ist πN ein Homomorphismus. Ist
g N ∈ G/N vorgegeben, dann gilt πN (g ) = g N . Also ist πN surjektiv.
Auf Grund von Proposition 5.18 und Lemma 5.6 überträgt sich nicht nur die Gruppenverknüpfung, sondern auch die
Exponentiation von Elementen von der Gruppe auf die Faktorgruppe: Für g ∈ G und n ∈ Z gilt (g N )n = πN (g )n =
πN (g n ) = (g n )N .
Sei G = (Z, +), n ∈ N und U = 〈n〉 = n Z. Dann ist G/U = Z/n Z eine n-elementige, zyklische Gruppe der Ordnung n.
Dass Z/n Z zyklisch ist und vom Element 1 + n Z erzeugt wird, erkennt man an der Gleichung
a + nZ
=
(a · 1) + n Z
=
a · (1 + n Z)
für beliebiges a ∈ Z.
Für 1 ≤ a < n gilt a ∉ n Z und somit a·(1+n Z) = 0+n Z. Andererseits gilt n·(1+n Z) = 0+ Z. Somit ist 1+n Z ein Element
der Ordnung n. Nach Satz 5.10 sind zwei zyklische Gruppen gleicher Ordnung isomorph. Also gilt Z/n Z ∼
= C n für alle
natürlichen Zahlen n.
Sei φ : G → H ein Gruppen-Homomorphismus und N
G ein Normalteiler
mit N ⊆ ker(φ). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus φ¯ : G/N → H mit
Proposition 5.19
¯ N)
φ(g
=
φ(g )
für alle g ∈ G.
Man nennt φ¯ den durch φ induzierten Homomorphismus.
Beweis:
Die Eindeutigkeit von φ¯ ist klar, weil durch die Gleichung die Bilder aller Elemente von G/N festgelegt sind.
Zum Beweis der Existenz sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem von G/N . Ist g¯ ∈ G/N ein beliebiges Element, dann gibt
¯ g¯ ) = φ(g 0 ).
es ein eindeutig bestimmtes g 0 ∈ R mit g¯ = g 0 N , und wir definieren φ(
—– 35 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
¯ N ) = φ(g ). Sei g¯ = g N und g 1 ∈ R das eindeutig
Sei nun g ∈ G beliebig vorgegeben. Wir beweisen die Gleichung φ(g
bestimmte Element mit g¯ = g 1 N . Dann gilt g N = g 1 N , insbesondere gibt es ein n ∈ N mit g 1 = g n. Wegen N ⊆ ker(φ)
und nach Definition der Abbildung φ¯ erhalten wir
¯ N)
φ(g
=
φ(g 1 )
=
φ(g n)
=
φ(g )φ(n)
=
φ(g )e H
=
φ(g ).
Zum Schluss überprüfen wir noch, dass φ¯ ein Homomorphismus ist. Seien g¯ , h¯ ∈ G/N und g , h ∈ G mit g¯ = g N und
h¯ = hN . Dann gilt
¯
¯ g¯ h)
φ(
=
¯ N )(hN ))
φ((g
=
¯ h)N )
φ((g
¯ N )φ(hN
¯
φ(g
)
Satz 5.20
=
=
φ(g h)
=
φ(g )φ(h)
=
¯
¯ g¯ )φ(
¯ h).
φ(
(Homomorphiesatz für Gruppen)
Sei φ : G → H ein Homomorphismus von Gruppen. Dann induziert φ einen Isomorphismus
∼
φ¯ : G/ker(φ) −→ im(φ).
Beweis:
Nach Proposition 5.15 ist N = ker(φ) ein Normalteiler von G. Anwendung von Proposition 5.19 auf diesen
¯ N ) = φ(g )
Normalteiler liefert einen von φ induzierten Homomorphismus φ¯ : G/N → H . Auf Grund der Gleichung φ(g
¯ überein. Wir können φ¯ somit als surjektiven Homomorphismus G/N → im(φ)
für alle g ∈ G stimmen im(φ) und im(φ)
¯ dann gilt φ(g ) = φ(
¯ g¯ ) = e H . Es folgt g ∈ ker(φ), also g ∈ N ,
auffassen. Zusätzlich ist φ¯ injektiv. Ist nämlich g¯ ∈ ker(φ),
¯ = {e}.
¯ Nach Proposition 5.5 folgt daraus
und damit ist g¯ = g N = eG N = e¯ das Neutralelement in G/N . Es gilt also ker(φ)
¯
die Injektivität von φ.
Wir betrachten einige Beispiele zur Anwendung des Homomorphiesatzes.
(i) Sei G eine Gruppe und φ : G → {eG } gegeben durch g → eG für alle g ∈ G. Dann ist im = {eG }, und φ induziert
einen Isomorphismus G/G ∼
= {eG }.
(ii) Die identische Abbildung idG : G → G hat den Kern {eG } und die gesamte Gruppe G als Bild. Sie induziert also
einen Isomorphismus G/{eG } ∼
= G.
(iii) Die Signumsfunktion sgn : S n → {±1} hat als Kern die Untergruppe A n = {σ ∈ S n | sgn(σ) = 1}, die sog. alternierende Gruppe. Außerdem ist sie surjektiv, denn aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass zum Beispiel die
Transpositionen Signum −1 haben. Also induziert sgn einen Isomorphismus S n /A n ∼
= {±1}.
Definition 5.21
Sei G eine Gruppe, und seien A, B ⊆ G beliebige Teilmengen. Dann bezeichnet
man die Teilmenge AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B } als Komplexprodukt von A und B .
—– 36 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Lemma 5.22
Beweis:
Sei G eine Gruppe, und seien U ,V Untergruppen mit U ⊆ V . Dann gilt UV = V .
Ist g ∈ V , dann gilt g = eG g ∈ UV . Liegt umgekehrt g in UV , dann gibt es u ∈ U und v ∈ V mit g = uv. Da V
als Untergruppe von G unter der Verknüpfung abgeschlossen ist und u, v in V liegen, folgt g = uv ∈ V .
Sei G eine Gruppe, und seien U und N Untergruppen von G.
Proposition 5.23
(i) Gilt U N = NU , dann ist U N eine Untergruppe von G. Dies ist insbesondere dann erfüllt,
wenn N ein Normalteiler von G ist.
(ii) Sind N und U beides Normalteiler von G, dann folgt U N
Beweis:
G.
zu (i) Wir beweisen die Untergruppen-Eigenschaft von U N unter der gegebenen Voraussetzung. Zunächst
ist das Neutralelement eG = eG eG wegen eG ∈ U und eG ∈ N in U N enthalten. Seien nun g , g ∈ U N vorgegeben. Dann
gibt es u, u ∈ U und n, n ∈ N mit g = un und g = u n . Auf Grund der Voraussetzung finden wir ein n ∈ N mit
nu = u n , so dass das Element
gg
=
(un)(u n )
=
u(nu )n
=
u(u n )n
=
(uu )(n n )
in U N liegt. Ebenso finden wir ein n 1 ∈ N , so dass g −1 = (un)−1 = n −1 u −1 = u −1 n 1 ∈ U N erfüllt ist.
Sei nun N ein Normalteiler von G und g ∈ U N . Dann gibt es Elemente u ∈ U und n ∈ N mit g = un. Auf Grund der
Normalteiler-Eigenschaft gilt uN = Nu, es existiert also ein n ∈ N mit un = n u. Dies zeigt, dass g in NU enthalten ist,
und wir haben damit die Inklusion U N ⊆ NU bewiesen. Der Nachweis der Inklusion NU ⊆ U N funktioniert analog.
zu (ii) Sei g ∈ G beliebig. Um zu zeigen, dass U N Normalteiler von G ist, müssen wir die Inklusion g (U N )g −1 ⊆ U N
nachrechnen. Ist h ∈ g (U N )g −1 , dann gibt es Elemente u ∈ U und n ∈ N mit h = g (un)g −1 . Da U Normalteiler von G
ist, gilt g ug −1 ∈ U , und aus N
G folgt g ng −1 ∈ G. Insgesamt erhalten wir h = g (un)g −1 = (g ug −1 )(g ng −1 ) ∈ U N .
Selbst wenn U und U beides Untergruppen von G sind, braucht das Komplexprodukt UU im allgemeinen keine Untergruppe von G zu sein. Als Beispiel betrachten wir G = S 3 , U = 〈(1 2)〉 und U = 〈(1 3)〉. Dann ist UU =
{id, (1 2), (1 3), (1 3 2)}. Nach dem Satz von Lagrange kann diese vierelementige Teilmenge keine Untergruppe der
sechselementigen Gruppe S 3 sein.
Proposition 5.24
Sei G eine Gruppe, N
G ein Normalteiler und πN : G → G/N der kanonische
Epimorphismus.
(i) Ist U eine Untergruppe von G, dann gilt π−1
N (πN (U )) = U N .
¯
¯
¯
(ii) Ist U eine Untergrupe von G/N , dann gilt πN (π−1
N (U )) = U .
Beweis:
zu (i)
das Element n = u
Sei g ∈ π−1
N (πN (U )). Dann liegt πN (g ) in πN (U ), es gibt also ein u ∈ U mit πN (g ) = πN (u). Für
−1
g gilt nN = πN (n) = πN (u)−1 πN (g ) = e¯ = N , also ist nN = N und insbesondere n ∈ N . Es folgt
g = un ∈ U N . Ist umgekehrt g ∈ U N , dann gibt es Elemente u ∈ U und n ∈ N mit g = un. Wir erhalten πN (g ) =
πN (un) = πN (u)πN (n) = πN (u)e¯ = πN (u), und es folgt g ∈ π−1
N (πN (U )).
¯
¯
zu (ii) Die Inklusion πN (π−1
N (U )) ⊆ U folgt unmittelbar aus der Definition von Bild- und Urbildmenge. Für die umgekehrte Inklusion sei g¯ ∈ U¯ vorgegeben und g ∈ G mit g N = g¯ . Dann gilt πN (g ) = g¯ und somit g ∈ π−1 (U¯ ) nach
N
−1 ¯
¯
¯
Definition der Urbildmenge π−1
N (U ). Es folgt g = πN (g ) ∈ πN (πN (U )).
—– 37 —–
§ 5.
Homomorphismen und Normalteiler
Satz 5.25
(Korrespondenzsatz für Gruppen)
Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler, G¯ = G/N und πN : G → G¯ der kanonische Epimorphismus.
Ferner sei G¯ die Menge der Untergruppen von G¯ und G N die Menge der Untergruppen U von G
mit U ⊇ N . Dann sind die beiden Abbildungen
G N −→ G¯ , U → πN (U )
und
¯
G¯ −→ G N , U¯ → π−1
N (U )
sind bijektiv und zueinander invers. Außerdem gilt:
(i) Für U ,V ∈ G N gilt U ⊆ V genau dann, wenn πN (U ) ⊆ πN (V ) erfüllt ist.
(ii) Genau dann ist U ∈ G N ein Normalteiler von G, wenn πN (U ) ein Normalteiler von G¯ ist.
Beweis: Sei U ∈ G N , also eine Untergruppe von G mit U ⊇ N . Dann gilt π−1
N (πN (U )) = U N = NU = U , wobei wir im ersten Schritt Proposition 5.24 (i), im zweiten Proposition 5.23 und im dritten Lemma 5.22 verwendet haben. Umgekehrt
¯
liefert Teil (ii) von Proposition 5.24 die Gleichung πN (π−1 (U¯ )) = U¯ für alle Untergruppen U¯ von G.
N
zu (i) Seien U ,V ∈ G N mit U ⊆ V . Dann gilt offenbar πN (U ) ⊆ πN (V ). Ist umgekehrt πN (U ) ⊆ πN (V ) vorausgesetzt,
−1
dann folgt U = π−1
N (πN (U )) ⊆ πN (πN (V )) = V .
zu (ii) Weil der kanonische Homomorphismus πN surjektiv ist, folgen die Richtungen „⇒“ und „⇐“ beide aus Proposition 5.15.
Sei n ∈ N und G = Z/n Z. Für die Elemente von G folgen wir von nun an der allgemein üblichen Konvention, die
Restklasse a + n Z für jedes a ∈ Z jeweils mit a¯ zu bezeichnen, oder auch mit [a]n , falls die Gruppe, in der das Element
liegen soll, nicht aus dem Zusammenhang heraus klar ist.
Wir verwenden nun den Korrespondenzsatz für Gruppen, um alle Untergruppen von (Z, +) zu bestimmen, die die
Untergruppe 〈44〉 enthalten. Sei π〈44〉 : Z → Z/44Z der kanonische Epimorphismus. Die Gruppe (Z/44Z, +) ist eine
zyklische Gruppe der Ordnung 44. Durch Folgerung 3.13 haben wir eine vollständige Beschreibung der Untergruppen von (Z/44Z, +) zur Verfügung: Zu jedem Teiler der Gruppenordnung 44 gibt es eine eindeutig bestimmte Untergruppe, und diese werden erzeugt durch gewisse Potenzen des Erzeugers 1¯ von Z/44Z. Die vollständige Liste der
Untergruppen ist also gegeben durch
〈1¯ 〉 , 〈2¯ 〉 , 〈4¯ 〉 , 〈11〉 , 〈22〉 , 〈44〉 = {0¯ }.
Der Korrespondenzsatz besagt nun, dass es korrespondierend zu diesen sechs Untergruppen von Z/44Z genau sechs
Untergruppen von (Z, +) gibt, die 〈44〉 enthalten. Offenbar ist 〈44〉 in 〈a〉 enthalten für a ∈ {1, 2, 4, 11, 22, 44}, denn jedes
ganzzahlige Vielfache von 44 ist auch ein Vielfaches von a für jede Zahl a in dieser Menge. Der Korrespondenzsatz
liefert uns die Information, dass es keine weiteren Untergruppen U von (Z, +) mit U ⊇ 〈44〉 gibt.
—– 38 —–
§ 6. Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Das Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis, dass jede endliche abelsche Gruppe aus zyklischen Gruppen zusammengesetzt ist. Wir werden dieses Ergebnis sogar auf gewisse unendliche Gruppen ausdehnen, nämlich auf diejenigen mit
einem endlichen Erzeugendensystem.
Definition 6.1
Eine Gruppe G wird endlich erzeugt genannt, wenn eine endliche Teilmenge
S ⊆ G mit G = 〈S〉 existiert.
Die Eigenschaft einer Gruppe, endlich erzeugt zu sein, überträgt sich auf ihre Faktorgruppen.
Lemma 6.2 Ist G endlich erzeugt und N ein Normalteiler von G, dann ist auch die Faktorgruppe
G¯ = G/N endlich erzeugt. Genauer gilt: Ist S ein endliches Erzeugendensystem von G, π : G → G¯
¯
der kanonische Epimorphismus und S¯ = π(S), dann ist G¯ = 〈S〉.
¯ dann folgt π−1 (U¯ ) ⊇ S und somit π−1 (U¯ ) = G, da π−1 (U¯ ) eine UnterIst U¯ ⊆ G¯ eine Untergruppe mit U¯ ⊇ S,
¯
gruppe und S ein Erzeugendensystem von G ist. Auf Grund des Korrespondenzsatzes gilt U¯ = π(π−1 (U¯ )) = π(G) = G.
Beweis:
¯
Also ist S¯ ein Erzeugendensystem von G.
Als erstes zeigen wir nun, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe in eine endliche Gruppe und einen speziellen
Typ unendlicher Gruppen zerlegt werden kann, die sog. freien abelschen Gruppen.
Definition 6.3
Wir bezeichnen eine endlich erzeugte abelsche Gruppe G als frei, wenn ein
r ∈ N0 und ein Isomorphismus φ : Zr → G existieren, wobei Zr mit der komponentenweisen
Addition als Verknüpfung ausgestattet ist.
Im Fall r = 0 definieren wir Z0 = {0}, eine Gruppe G mit G ∼
= Z0 ist also trivial. Dies bedeutet, dass wir auch die trivialen
Gruppen als freie Gruppen ansehen.
Seien (G, ·) und (H , ◦) Gruppen. Man überprüft leicht, dass die Menge G × H mit der Verknüpfung ∗ gegeben durch
(g , h) ∗ (g , h )
=
(g · g , h ◦ h )
für g , g ∈ G, h, h ∈ H
eine Gruppe ist. (Wir haben dies in den Übungen nachgerechnet.) Dabei ist (eG , e H ) das Neutralelement von G × H ,
und für (g , h) ∈ G × H ist (g −1 , h −1 ) jeweils das Inverse. Man bezeichnet G × H als das äußere direkte Produkt der
Gruppen G und H .
Definition 6.4
Sei π : G → H ein Epimorphismus abelscher Gruppen. Wir bezeichnen einen
solchen Epimorphismus π als spaltend, wenn ein Homomorphismus φ : H → G mit π ◦ φ = idH
existiert.
—– 39 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Spaltende Epimorphismen werden verwendet, um abelsche Gruppen in ein äußeres direktes Produkt von kleineren
Gruppen zu zerlegen (zu „spalten“).
Proposition 6.5 Seien G, H abelsche Gruppen und π : G → H ein spaltender Epimorphismus.
∼ ker(π) × H .
Dann gilt G =
Sei φ : H → G ein Homomorphismus mit π ◦ φ = idH . Wir zeigen, dass die Abbildung ψ : ker(π) × H → G,
Beweis:
(g , h) → g + φ(h) ein Isomorphismus von Gruppen ist. Seien (g 1 , h 1 ), (g 2 , h 2 ) ∈ ker(π) × H vorgegeben. Dann gilt
ψ((g 1 , h 1 ) + (g 2 , h 2 ))
=
ψ(g 1 + g 2 , h 1 + h 2 )
(g 1 + φ(h 1 )) + (g 2 + φ(h 2 ))
(g 1 + g 2 ) + φ(h 1 + h 2 )
=
=
ψ(g 1 , h 1 ) + ψ(g 2 , h 2 ).
=
Also ist ψ ein Homomorphismus. Zum Nachweis der Surjektivität sei g ∈ G vorgegeben. Wir definieren h = π(g ) ∈ H
und g = g − φ(h). Es gilt
π(g )
π(g − φ(h))
=
π(g ) − (π ◦ φ)(h)
=
=
π(g ) − idH (h)
=
h −h
=
0H .
Also ist g in ker(π) enthalten. Außerdem gilt ψ(g , h) = g + φ(h) = (g − φ(h)) + φ(h) = g . Damit ist die Surjektivität
bewiesen. Um auch die Injektivität nachzuweisen, sei (g , h) ∈ ker(ψ) mit g ∈ ker(π) und h ∈ H . Dann gilt g + φ(h) =
ψ(g , h) = 0G . Wenden wir π auf diese Gleichung an, so erhalten wir
0H
=
π(0G )
=
π(g + φ(h))
=
π(g ) + (π ◦ φ)(h)
π(g ) + idH (h)
=
=
0H + h
=
h.
Aus h = 0H folgt g = g + 0G = g + φ(0H ) = g + φ(h) = 0G . Damit ist auch die Injektivität des Homomorphismus ψ
bewiesen.
Im folgenden sei e i ∈ Zr für 1 ≤ i ≤ r jeweils das Element mit den Komponenten (e i ) j = δi j , wobei δi j das KroneckerDelta bezeichnet. Es gilt also (e i )i = 1 und (e i ) j = 0 für j = i .
Lemma 6.6
Sei G eine beliebige abelsche Gruppe, r ∈ N0 und g 1 , ..., g r ∈ G. Dann gibt es einen
eindeutig bestimmten Homomorphismus φ : Zr → G mit φ(e i ) = g i für 1 ≤ i ≤ r .
Beweis:
Die Elemente e 1 , ..., e r bilden ein Erzeugendensystem von Zr , denn für jedes Element (a 1 , ..., a r ) ∈ Zr gilt
(a 1 , ..., a r ) = a 1 e 1 + ... + a r e r . Die Eindeutigkeit des Homomorphismus φ folgt deshalb aus Proposition 5.8. Für die Existenz rechnen wir nach, dass durch φ(a 1 , ..., a r ) = a 1 g 1 +...+a r g r ein Gruppenhomomorphismus mit der gewünschen
Eigenschaft gegeben ist. Seien beliebige Elemente (a 1 , ..., a r ) und (b 1 , ..., b r ) in Zr vorgegeben. Weil G eine abelsche
Gruppe ist, gilt
φ((a 1 , ..., a r ) + (b 1 , ..., b r ))
=
=
φ(a 1 + b 1 , ..., a r + b r )
(a 1 g 1 + ... + a r g r ) + (b 1 g 1 + ... + b r g r )
=
=
(a 1 + b 1 )g 1 + ... + (a r + b r )g r
φ(a 1 , ..., a r ) + φ(b 1 , ..., b r ).
Damit ist die Homomorphismus-Eigenschaft nachgewiesen. Außerdem gilt nach Definition φ(e i ) = δi 1 g 1 +...+δi r g r =
g i für 1 ≤ i ≤ r .
Proposition 6.7 Ist G eine beliebige abelsche und H eine endlich erzeugte, freie abelsche Gruppe. Dann ist jeder Epimorphismus π : G → H spaltend.
—– 40 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Beweis:
Sei π : G → H ein Epimorphismus und r ∈ N mit H ∼
= Zr . Ist r = 0, dann gilt H = {0H }, und die Abbildung
φ : H → G gegeben durch φ(0H ) = 0G erfüllt offenbar die Gleichung π◦φ = idH . Setzen wir nun r ≥ 1 voraus. Dann gibt
es einen Isomorphismus ψ : H → Zr . Es genügt, einen Homomorphismus φ : Zr → G mit ψ ◦ π ◦ φ = idZr anzugeben.
Setzen wir nämlich φ˜ = φ ◦ ψ, dann gilt
π ◦ φ˜
=
π◦φ◦ψ
=
ψ−1 ◦ (ψ ◦ π ◦ φ) ◦ ψ
=
ψ−1 ◦ idZr ◦ ψ
=
idH .
Definieren wir also einen Homomorphismus φ : Zr → G mit dieser Eigenschaft. Für jedes i ∈ {1, ..., r } sei g i ∈ G jeweils
ein Element mit (ψ ◦ π)(g i ) = e i . Nach Lemma 6.6 gibt es einen Homomorphismus φ : Zr → G mit φ(e i ) = g i für
1 ≤ i ≤ r . Es folgt
(ψ ◦ π ◦ φ)(e i )
=
(ψ ◦ π)(g i )
=
ei
=
idZr (e i ).
für 1 ≤ i ≤ r . Auf Grund der Eindeutigkeit in Lemma 6.6 erhalten wir ψ ◦ π ◦ φ = idZr .
Nicht jeder Epimorphismus zwischen abelschen Gruppen ist spaltend. Als Beispiel betrachten wir den Epimorphismus
π : Z/4Z → Z/2Z ,
a + 4 Z → a + 2 Z.
Nehmen wir an, dass ein Homomorphismus φ : Z/2Z → Z/4Z mit π ◦ φ = idZ/2Z existiert. Dann wäre ψ(1 + 2Z) =
¯ = 1 + 2Z. Nun ist aber
1 + 4Z oder ψ(1 + 2Z) = 3 + 4Z, denn dies sind die einzigen beiden Elemente a¯ ∈ Z/4Z mit π(a)
1 + 2Z ein Element der Ordnung 2 in Z/2Z, während die Elemente 1 + 4Z und 3 + 4Z aus Z/4Z beide von Ordnung
4 sind. Nach Proposition 5.7 kann die Elementordnung unter Homomorphismen aber nur kleiner werden, deshalb
existiert ein Homomorphismus φ wie angegeben nicht.
Der Beweis des folgenden Lemmas ist eine leichte Übungsaufgabe.
Seien G,G und H , H Gruppen, wobei G ∼
= G und H ∼
= H gilt.
∼G ×H .
Dann folgt G × H =
Lemma 6.8
Wir werden nun zeigen, dass jede endlich erzeugte abelsche Gruppe durch Abspaltung einer freien abelschen Gruppe
zu einer endlichen Gruppe gemacht werden kann. Für den Beweis ist der folgende Satz entscheidend.
Satz 6.9
Sei G eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe und U ⊆ G eine Untergruppe. Dann
ist auch U endlich erzeugt und frei.
Beweis:
Wir können G = Zr voraussetzen und beweisen durch vollständige Induktion über r , dass U isomorph zu
Zs für ein s ≤ r ist. Im Fall r = 0 ist U = G = {0G } und somit nichts zu zeigen. Sei nun r = 1. Dann ist G unendlich
zyklisch. In Satz 3.10 haben wir die Untergruppen einer solchen Gruppe G bestimmt. Demnach gilt entweder U = {0}
oder U = m Z für ein m ∈ N. Im ersten Fall ist U isomorph zu Z0 . Im zweiten Fall ist U unendlich zyklisch, nach Satz
5.10 also isomorph zu Z1 = Z mit der Addition.
—– 41 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Nehmen wir nun an, dass r > 1 ist, und setzen wir die Aussage für alle freien Gruppen voraus, die isomorph zu Zs für
ein s < r sind. Wir betrachten die Projektionsabbildung π : Zr → Z, (a 1 , ..., a r ) → a 1 . Durch Einschränkung von π auf
U erhalten wir einen Epimorphismus πU : U → π(U ). Das Bild π(U ) ist eine Untergruppe von Z1 , also auf Grund des
bereits bewiesen Falls isomorph zu Zt für t ∈ {0, 1}. Insbesondere ist π(U ) frei. Der Epimorphismus πU ist somit nach
Lemma 6.6 spaltend, und wir erhalten
U
∼
=
ker(πU ) × π(U )
∼
=
ker(πU ) × Zt .
Weiter gilt ker(π) = Zr −1 × {0} ∼
= Zr −1 , also ist ker(πU ) = ker(π) ∩U isomorph zu Untergruppe von Zr −1 . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein s ∈ N0 mit s ≤ r − 1 und ker(πU ) ∼
= Zs . Mit Lemma 6.8 folgt U ∼
= Zs × Zt = Zs+t . Also ist
auch U eine freie abelsche Gruppe. Außerdem gilt s + t ≤ (r − 1) + 1 = r .
Satz 6.10
Sei G eine abelsche Gruppe. Dann ist Tor(G) = {g ∈ G | ord(g ) < ∞} eine Untergruppe
von G, die sog. Torsionsuntergruppe. Man nennt G eine Torsionsgruppe, wenn Tor(G) = G erfüllt
ist. Gilt dagegen Tor(G) = {0G }, dann spricht man von einer torsionsfreien Gruppe.
Beweis:
Wir rechnen die Untergruppeneigenschaft von Tor(G) nach. Zunächst ist das Neutralelement 0G ∈ G als
Element der Ordnung 1 in Tor(G) enthalten. Seien nun g , h ∈ Tor(G) und m, n ∈ N mit mg = nh = 0G . Dann gilt mn(g +
h) = n(mg ) + m(nh) = n0G + m0G = 0G , also g + h ∈ Tor(G). Außerdem ist m(−g ) = −mg = −0G = 0G und somit −g ∈
Tor(G).
Endlich erzeugte freie abelsche Gruppen sind offenbar torsionsfrei. Im Gegensatz dazu sind endliche abelsche Gruppen stets Torsionsgruppen. Es gibt aber auch unendliche Torsionsgruppen, zum Beispiel die additive Gruppe (V, +)
eines unendlich-dimensionalen F2 -Vektorraums V . Zunächst untersuchen wir den torsionsfreien Anteil genauer.
Lemma 6.11
Beweis:
Jede torsionsfreie, endlich erzeugte abelsche Gruppe ist frei.
Sei G eine torsionsfreie endlich erzeugte abelsche Gruppe. Weiter sei S ein endliches Erzeugendensy-
stem und T = {g 1 , ..., g n } ⊆ S eine maximale Teilmenge von S mit der Eigenschaft, dass die Abbildung φ : Zn → G,
(a 1 , ..., a n ) → a 1 g 1 + ... + a n g n injektiv ist. Dann ist die Untergruppe U = 〈T 〉 von G frei, denn als Abbildung Zn → U ist
φ auch surjektiv, die Gruppe U also isomorph zu Zn .
Nun sei g ∈ S ein beliebiges Element mit g = 0G . Auf Grund der Torsionsfreiheit gilt mg = 0G für alle m ∈ Z, m = 0.
Wegen der Maximalität von T finden wir aber einen Satz (a, a 1 , ..., a n ) ganzer Zahlen mit ag + a 1 g 1 + ... + a n g n = 0G
und a = 0, a i = 0 für ein i ∈ {1, ..., n}. Wegen
ag
=
−a 1 g 1 − ... − a n g n
ist dann ag in U enthalten. Auf diese Weise erhalten wir für jedes g ∈ S ein a g ∈ Z mit a g g ∈ U . Weil S endlich ist,
können wir das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen bilden und finden so ein a ∈ N mit aS ⊆ U . Nun ist
φ : G → G, g → ag ein (auf Grund der Torsionsfreiheit) injektiver Homomorphismus, dessen Bild φ(G) in der freien abelschen Gruppe U enthalten ist. Nach Satz 6.9 ist G ∼
= φ(G) damit selbst eine freie, endlich erzeugte abelsche
Gruppe.
—– 42 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Satz 6.12
Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe. Dann ist die Faktorgruppe G/Tor(G)
eine freie, endlich erzeugte abelsche Gruppe. Man bezeichnet sie als den freien Anteil von G.
Auf Grund des Lemmas genügt es zu zeigen, dass G¯ = G/Tor(G) torsionsfrei ist. Sei π : G → G¯ der kanonische
Epimorphismus. Nehmen wir an, es gibt ein m ∈ N und ein g¯ ∈ G¯ mit m g¯ = 0¯ . Ist g ∈ G mit π(g ) = g¯ , dann folgt
Beweis:
π(mg ) = 0¯ , d.h. das Element mg ist in Tor(G) enthalten. Dies wiederum bedeutet, dass ein n ∈ N mit (mn)g = n(mg ) =
0G existiert. Aber dies bedeutet, dass bereits g in Tor(G) liegt, also g¯ = 0¯ ist. Damit haben wir nachgewiesen, dass die
Torsionsgruppe von G¯ ist.
Proposition 6.13
Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe, Tor(G) seine Torsionsunter¯
¯
gruppe und G sein freier Anteil. Dann gilt G ∼
= Tor(G) × G.
Weil die Gruppe G¯ nach Satz 6.12 frei ist, ist der kanonische Epimorphismus π : G → G¯ mit dem Kern Tor(G)
¯
nach Proposition 6.7 spaltend, und durch Proposition 6.5 erhalten wir einen Isomorphismus G ∼
= Tor(G) × G.
Beweis:
Lemma 6.14
Jede endlich erzeugte abelsche Torsionsgruppe G ist endlich.
Beweis:
Sei S = {g 1 , ..., g r } ein Erzeugendensystem von G. Nach Proposition 2.12 sind die Elemente von G gegeben
e
durch {g 1 1
· ... · g r r e 1 , ..., e r ∈ Z}. Weil G eine Torsionsgruppe ist, ist g i jeweils von endlicher Ordnung n i , für 1 ≤ i ≤ r .
e
e
e
Daraus folgt G = {g 1 1 · ... · g r r 0 ≤ e i < n i für 1 ≤ i ≤ r }. Dies zeigt, dass G endlich ist.
Satz 6.15
Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe. Dann gibt es ein r ∈ N0 und eine
endliche, abelsche Gruppe U mit G ∼
= U × Zr .
¯ Weil
Beweis: Sei Tor(G) die Torsionsgruppe und G¯ der freie Anteil von G. Nach Proposition 6.13 gilt G ∼
= Tor(G) × G.
G¯ nach Satz 6.12 frei ist, gibt es ein r ∈ N0 mit G¯ ∼
= Zr . Die Gruppe Tor(G) ist eine Torsionsgruppe. Durch Komposition des Isomorphismus G ∼
= Tor(G) × Zr mit der Projektion auf die erste Komponente erhält man einen surjektiven
Homomorphismus ψ : G → Tor(G). Setzen wir N = ker(ψ), dann ist Tor(G) nach dem Homomorphiesatz isomorph
zur Faktorgruppe G/N , und diese ist nach Lemma 6.2 als Faktorgruppe einer endlich erzeugten Gruppe selbst endlich
erzeugt. Also ist U = Tor(G) eine endlich erzeugte Torsionsgruppe und nach Lemma 6.14 eine endliche Gruppe.
Im zweiten Teil dieses Kapitels sehen wir uns nun an, wie eine endliche abelsche Gruppe in kleinere Bestandteile
zerlegt werden kann.
Definition 6.16
Sei G eine Gruppe, und seien U ,V Untergruppen von G. Wir bezeichnen G
als inneres direktes Produkt von U und V , wenn U und V beides Normalteiler von G sind und
G = UV sowie U ∩ V = {e} gilt.
—– 43 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Proposition 6.17
Sei G eine Gruppe und inneres direktes Produkt ihrer Untergruppen U und
V . Dann besitzt jedes g ∈ G eine eindeutige Darstellung der Form g = uv mit u ∈ U und v ∈ V .
Außerdem gilt G ∼
= U × V . (Jedes innere direkte Produkt von U und V ist also isomorph zum
äußeren.)
Beweis:
Das jedes g ∈ G in der Form g = uv mit u ∈ U und v ∈ V dargestellt werden kann, folgt direkt aus der
Definition des Komplexprodukts UV . Zum Nachweis der Eindeutigkeit seien u, u ∈ U und v, v ∈ V mit uv = u v
vorgegeben. Dann gilt u(u )−1 = v(v )−1 . Auf Grund der Voraussetzung U ∩V = {e} folgt uu −1 = e ⇔ u = u und ebenso
die Gleichung v = v .
Für den Isomorphismus G ∼
= U ×V zeigen wir zunächst, dass für alle u ∈ U und v ∈ V die Gleichung uv = vu erfüllt ist.
Wir beweisen die äquivalente Gleichung uvu −1 v −1 = e. Weil V ein Normalteiler von G ist, gilt uvu −1 ∈ V , und somit
liegt auch vuv −1 u −1 in V . Andererseits ist auch U ein Normalteiler von G. Es folgt vu −1 v −1 ∈ U und uvu −1 v −1 ∈ U .
Insgesamt gilt also uvu −1 v −1 ∈ U ∩ V = {e}, also uvu −1 v −1 = e.
Nun zeigen wir, dass durch die Abbildung φ : U × V → G, (u, v) → uv ein Isomorphismus von Gruppen definiert ist.
Zum Nachweis der Homomorphismus-Eigenschaft seien (u 1 , v 1 ), (u 2 , v 2 ) ∈ U × V vorgegeben. Durch Anwendung der
zu Beginn bewiesenen Gleichung u 1 v 2 = v 2 u 1 erhalten wir
φ(u 1 , v 1 )φ(u 2 , v 2 )
(u 1 v 1 )(u 2 v 2 )
=
(u 1 u 2 )(v 1 v 2 )
=
=
u 1 (v 1 u 2 )v 2
φ(u 1 u 2 , v 1 v 2 )
=
=
u 1 (u 2 v 1 )v 2
=
φ((u 1 , v 1 )(u 2 , v 2 )).
Jedes g ∈ G kann als Produkt g = uv mit u ∈ U und v ∈ V dargestellt werden. Dies beweist die Surjektivität von φ, und
die Eindeutigkeit der Darstellung beweist die Injektivität.
Definition 6.18
Sei G eine abelsche Gruppe und m ∈ N. Dann nennt man
G[m] = {g ∈ G | mg = 0G } die m-Torsionsuntergruppe von G.
Proposition 6.19
Sei G eine abelsche Gruppe.
(i) Für jedes m ∈ N ist G[m] eine Untergruppe von G.
(ii) Sind m, n ∈ N teilerfremd, dann ist G[mn] ein inneres direktes Produkt von G[m] und G[n].
Es gilt also G[m] ×G[n] ∼
= G[mn].
Beweis:
zu (i) Sei m ∈ N vorgegeben. Wir überprüfen die Untergruppen-Eigenschaft von G[m]. Es gilt m0G = 0G ,
also ist 0G in G[m] enthalten. Seien g , h ∈ G[m] vorgegeben. Dann gilt mg = mh = 0G . Es folgt m(g + h) = mg + mh =
0G + 0G = 0G und somit g + h ∈ G[m]. Außerdem gilt m(−g ) = −mg = −0G = 0G . Dies zeigt, dass auch −g in G[m] liegt.
zu (ii) Seien m, n ∈ N teilerfremd. Nach dem Lemma von Bézout gibt es a, b ∈ Z mit ma + nb = 1. Wir beweisen nun
die Gleichung G[mn] = G[m]+G[n]. Für die Inklusion „⊇“ genügt es zu bemerken, dass nach Definition G[m] ⊆ G[mn]
und G[n] ⊆ G[mn] gilt. Zum Nachweis von „⊆“ sei g ∈ G[mn] vorgegeben. Wir definieren
g = (bn)g
und
h = (am)g .
—– 44 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Wegen mg = (bmn)g = 0G liegt g in G[m], und wegen nh = (amn)h = 0G ist h ein Element von G[n]. Außerdem gilt
g = 1 · g = (am + bn)g = (am)g + (bn)g = g + h , also insgesamt g ∈ G[m] +G[n].
Nun zeigen wir noch G[m] ∩ G[n] = {0G }. Auch hier ist die Inklusion „⊇“ offensichtlich erfüllt. Sei umgekehrt g ∈
G[m] ∩G[n] vorgegeben. Dann gilt mg = ng = 0G , und es folgt
g
=
1·g
=
(am + bn)g
=
(am)g + (bn)g
=
0G .
Der Isomorphismus G[m] ×G[n] ∼
= G[mn] folgt nun aus Proposition 6.17.
Satz 6.20
(Chinesischer Restsatz)
Sind m, n ∈ N teilerfremd, dann gilt Z/(mn)Z ∼
= Z/m Z × Z/n Z.
Beweis:
Setzen G = Z/(mn)Z, dann gilt G[mn] = G. Ist nämlich [a]mn ∈ G beliebig vorgegeben, so erhalten wir
(mn)[a]mn = [(mn)a]mn = [amn]mn = [0]mn , also [a]mn ∈ G[mn]. Dies zeigt G ⊆ G[mn], und die Inklusion G[mn] ⊆ G
ist auf Grund der Definition offensichtlich. Mit Proposition 6.19 erhalten wir G ∼
= G[m] ×G[n].
Als Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind G[m] und G[n] beide zyklisch. Wegen ord([1]mn ) = mn hat n[1]mn =
[n]mn die Ordnung m. Wegen m[n]mn = [mn]mn = [0]mn ist [n]mn in G[m] enthalten, damit ist G[m] mindestens melementig. Ebenso zeigt man, dass G[n] aus mindestens n Elementen besteht. Wegen |G[m]| · |G[n]| = |G[m] ×G[n]| =
|G| = mn folgt |G[m]| = m und |G[n]| = n. Als zyklische Gruppe der Ordnung m ist G[m] isomorph zu Z/m Z, und
entsprechend ist G[n] isomorph zu Z/n Z. Insgesamt erhalten wir G ∼
= G[m] × G[n] ∼
= Z/m Z × Z/n Z wie gewünscht.
Der Chinesische Restsatz kann nicht angewendet werden, falls m und n nicht teilerfremd sind. Beispielsweise ist die
Gruppe Z/4Z nicht isomorph zu Z/2Z × Z/2Z. Denn Z/4Z enthält als zyklische Gruppe der Ordnung 4 ein Element
der Ordnung 4, während die Gruppe Z/2Z × Z/2Z wegen 2([a]2 , [b]2 ) = ([2a]2 , [2b]2 ) = ([0]2 , [0]2 ) nur Elemente der
Ordnung ≤ 2 enthält.
Lemma 6.21
Sei G eine endliche abelsche Gruppe und p ein Primteiler von |G|. Dann enthält
G ein Element der Ordnung p.
Beweis:
Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion über die Gruppenordnung |G|. Im Fall |G| = 1 braucht
nicht gezeigt werden, weil |G| in diesem Fall keine Primteiler besitzt. Sei nun G eine nichttriviale Gruppe, und setzen
wir die Aussage für Gruppen mit Ordnung < |G| voraus. Sei p ein Primteiler von |G| und g ∈ G ein beliebiges nichttriviales Element. Ist m = ord(g ) ein Vielfaches von p, dann ist
m
p g
nach Lemma 3.11 ein Element mit der gewünschten
Eigenschaft.
¯
Nehmen wir nun an, dass p kein Teiler der Ordnung von g ist. Setzen wir G¯ = G/〈g 〉, dann gilt |G| = |G||〈g
〉| nach dem
¯
Satz von Lagrange. Wegen p |〈g 〉| teilt p dann die Ordnung von |G|. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es in G¯ ein
Element h¯ der Ordnung p. Sei h ∈ G ein Urbild von h¯ unter dem kanonischen Epimorphismus. Nach Proposition 5.7
ist n = ord(h) ein Vielfaches von p, also ist
n
ph
ein Element der Ordnung p.
Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann ist G trivial, oder es gibt ein r ∈ N und
abelsche Gruppen G 1 , ...,G r von Primzahlpotenzordnung mit G ∼
= G 1 × ... ×G r .
Satz 6.22
—– 45 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
Beweis:
Auch hier führen wir den Beweis durch vollständige Induktion über die Gruppenordnung. Im Fall |G| = 1 ist
nichts zu zeigen. Sei nun G eine nichttriviale, endliche abelsche Gruppe, und setzen wir die Aussage für Gruppen mit
Ordnung < |G| voraus. Ist |G| eine Primzahlpotenz, dann können wir r = 1 und G 1 = G setzen. Andernfalls können wir
die Ordnung |G| in ein Produkt mn zweier teilerfremder Zahlen m, n > 1 zerlegen. Für alle g ∈ G gilt (mn)g = 0. Es gilt
also G = G[mn], und mit Proposition 6.19 folgt G ∼
= G[m] ×G[n].
Die Untergruppe G[m] ist nichttrivial. Ist nämlich p ein Primteiler von m, dann gibt es in G nach Lemma 6.21 ein
Element g der Ordnung p. Aus p|m folgt mg = 0, also g ∈ G[m]. Ebenso zeigt man, dass G[n] nichttrivial ist. Weil die
Untergruppen G[m] und G[n] beide nichttrivial sind, muss |G[m]| < |G| und |G[n]| < |G| gelten. Wir können also die
Induktionsvoraussetzung auf diese Untergruppen anwenden und erhalten s, t ∈ N0 sowie Gruppen G i und H j von
Primzahlpotenzordnung mit G[m] ∼
= G 1 × ... ×G s und G[n] ∼
= H1 × ... × H t . Insgesamt erhalten wir
G
∼
=
G[m] ×G[n]
∼
=
G 1 × ... ×G s × H1 × ... × H t .
Ist p eine Primzahl, dann wird eine Gruppe von p-Potenzordnung auch p-Gruppe genannt.
Sei G eine nichttriviale abelsche p-Gruppe und C eine zyklische Untergruppe
maximaler Ordnung. Dann gibt es eine Untergruppe H von G mit G ∼
= C × H.
Proposition 6.23
Sei a ∈ C mit C = 〈a〉 und p n die Ordnung von a. Weil G nichttrivial ist, gilt n > 0. Sei ferner H eine Untergruppe von G, die mit der Eigenschaft C ∩ H = {0G } maximal ist. Dann ist G˜ = C + H ein inneres direktes Produkt von
Beweis:
C und H , also G˜ ∼
= C × H nach Proposition 6.17. Stimmen G˜ und G überein, dann sind wir fertig. Wir setzen nun G˜
G
voraus und führen diese Annahme zu einem Widerspruch.
˜
1. Schritt: Es gibt ein x ∈ G mit x ∉ G˜ und px ∈ G.
˜ Weil p n die maximale Elementordnung in G ist, gilt p n x = 0G und insbeNach Voraussetzung gibt es ein x ∈ G \ G.
˜ Es gibt also ein minimales r ∈ N mit p r x ∈ G.
˜ Setzen wir x = p r −1 x , dann ist x ∉ G˜ und px ∈ G˜
sondere p n x ∈ G.
erfüllt.
2. Schritt: Es gibt ein y ∈ G mit y ∉ H und p y ∈ H .
Wegen px ∈ G˜ gibt es Elemente c ∈ C und h ∈ H mit px = c + h. Weil p n die maximale Elementordnung in G ist,
gilt p n−1 (px) = p n x = 0G . Es folgt p n−1 c + p n−1 h = p n−1 (c + h) = 0G und damit p n−1 c = p n−1 h = 0G , weil G˜ inneres
direktes Produkt von C und H ist. Wegen p n−1 c = 0 muss es ein c ∈ C mit c = pc geben. Denn ansonsten wäre c ein
zu p teilerfremdes Vielfaches vom Erzeuger a und hätte damit die volle Ordnung p n . Setzen wir nun
y
=
x −c
,
dann gilt y ∉ H , denn ansonsten wäre x = c + y in G˜ enthalten. Andererseits ist p y = px − pc = px −c = h ein Element
von H .
—– 46 —–
§ 6.
Endlich erzeugte abelsche Gruppen
3. Schritt: Anwendung der Maximalität von H
Sei K = 〈y〉+H . Weil K echt größer als H ist, gibt es auf Grund der Maximalitätsbedingung ein Element z = 0G in C ∩K .
Dieses hat eine Darstellung der Form z = m y + h mit m ∈ Z und h ∈ H . Dabei gilt p m, denn ansonsten wäre z in
H enthalten, im Widerspruch zu C ∩ H = {0G }. Weil p und m teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bézout
Zahlen u, v ∈ Z mit up + vm = 1. Wir erhalten
y
=
1· y
=
up y + vm y
=
up y + v(z − h )
=
up y + v z − vh .
˜ Damit ist auch x = c + y in G˜ enthalten, im Widerspruch zur Aussage im 1.
Wegen up y, vh ∈ H und v z ∈ C gilt y ∈ G.
Schritt.
Ist G eine endliche abelsche Gruppe, dann ist G entweder trivial, oder es gibt ein
r ∈ N0 und endliche zyklische Gruppen C 1 , ...,C r mit G ∼
= C 1 × ... ×C r .
Satz 6.24
Beweis:
Nach Satz 6.22 kann G als direktes Produkt von Gruppen mit Primzahlpotenzordnung dargestellt werden. Es
genügt deshalb, die Aussage für Gruppen solcher Ordnung zu beweisen. Wieder führen den Beweis durch vollständige
Induktion über die Gruppenordnung durch. Für die triviale Gruppe ist nichts zu zeigen. Sei nun G eine nichttriviale
Gruppe von p-Potenzordnung, wobei p eine Primzahl bezeichnet, und setzen wir die Aussage für alle Gruppen kleinerer Ordnung voraus. Sei C eine zyklische Untergruppe maximaler Ordnung. Dann gibt es nach Proposition 6.23 eine
∼ C × H . Mit G ist auch C nichttrivial, und folglich gilt |H | < |G|. Wir können also die InUntergruppe H von G mit G =
duktionsvoraussetzung anwenden, nach der H entweder trivial oder isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer
Gruppen ist. Damit ist die Behauptung dann auch für G bewiesen.
Als Anwendungsbeispiel für die behandelten Sätze zeigen wir, dass es bis auf Isomorphie genau zwei abelsche Gruppen der Ordnung 50 gibt. Sei G eine solche Gruppe. Nach Satz 6.22 kann G als direktes Produkt von Gruppen mit
Primzahlpotenzordnung dargestellt werden, und nach Satz 6.24 zerfällt jede davon in ein Produkt zyklischer Gruppen. Lassen wir triviale Faktoren außer Acht, so ergeben sich die beiden Möglichkeiten
G∼
= Z/2Z × Z/25Z und G ∼
= Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z.
Dies zeigt, dass es bis auf Isomorphie höchstens zwei abelsche Gruppen der Ordnung 50 gibt. Um zu zeigen, dass
genau zwei Isomorphietypen existieren, müssen wir noch nachweisen, dass Z/2Z × Z/25Z und Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z
nicht isomorph sind. In der ersten Gruppe ist ([0]2 , [1]25 ) ein Element der Ordnung 25. Wären die Gruppen isomorph,
müsste auch in Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z ein Element dieser Ordnung existieren. Aber die Gleichung 10([a]2 , [b]5 , [c]5 ) =
([0]2 , [0]5 , [0]5 ) für alle a, b, c ∈ Z zeigt, dass die Gruppe nur Elemente der Ordnung ≤ 10 enthält.
Zu beachten ist noch, dass die Darstellung einer endlichen (oder endlich erzeugten) abelschen Gruppe als kartesisches Produkt zyklischer Gruppen im allgemeinen nicht eindeutig ist. Beispielsweise gibt es nach dem Chinesischen
Restsatz Isomorphismen
Z/2Z × Z/25Z ∼
= Z/50Z
und
Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z ∼
= Z/10Z × Z/5Z.
—– 47 —–
§ 7. Gruppenoperationen
Definition 7.1
Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Gruppenoperation von G auf X ist
eine Abbildung α : G × X −→ X mit den Eigenschaften
α(eG , x) = x
und
α(g , α(h, x)) = α(g h, x)
für alle g , h ∈ G und x ∈ X , wobei eG das Neutralelement der Gruppe bezeichnet. Man sagt auch,
dass G mittels α auf X operiert.
An Stelle von α(g , x) schreibt man häufig auch einfach g · x. Die definierenden Gleichungen der Gruppenoperation
lassen sich dann sparsamer in der Form eG · x = x und g · (h · x) = (g h) · x schreiben. Man darf allerdings das Symbol ·
nicht mit der Verknüpfungsabbildung der Gruppe verwechseln!
Wir betrachten einige Beispiele für Gruppenoperationen.
(i) Die symmetrische Gruppe S n operiert auf der Menge M n = {1, ..., n} durch σ·x = σ(x) für alle σ ∈ S n und x ∈ M n .
Ist n = 7, dann gilt beispielsweise (1 2 7) · 2 = 7 und (1 2 7) · 3 = 3.
(ii) Sei K ein Körper und V ein K -Vektorraum. Dann operiert die Gruppe G = GL(V ) der bijektiven linearen Abbildungen V → V auf V durch φ · v = φ(v) für alle φ ∈ G und v ∈ V .
Nun schauen wir uns an, durch welche Eigenschaften eine Gruppenoperation genauer beschrieben werden kann.
Definition 7.2
Sei G eine Gruppe, X eine Menge und G × X → X , (g , x) → g · x eine Gruppen-
operation. Für jedes x ∈ X bezeichnet man die Menge
G(x)
=
{g · x | g ∈ G}
als Bahn von x. Gibt es ein x ∈ X mit G(x) = X , dann spricht man von einer transitiven Gruppenoperation. Die Elemente x ∈ X mit G(x) = {x} bezeichnet man als Fixpunkte der Gruppenoperation.
Allgemein bezeichnet man eine Teilmenge Y ⊆ X als G-invariant, wenn für alle g ∈ G und y ∈ Y jeweils g · y ∈ Y gilt.
Dies ist gleichbedeutend mit G(y) ⊆ Y für alle y ∈ Y . Offenbar ist jede Bahn der Gruppenoperation eine G-invariant,
ebenso jede Vereinigung von Bahnen.
Die folgende Beobachtung ist für nachfolgende Theorie von zentraler Bedeutung, ähnlich wie beim Satz von Lagrange
die Zerlegung einer Gruppe in Nebenklassen bezüglich einer Untergruppe.
Proposition 7.3
Die Menge B = {G(x) | x ∈ X } der Bahnen bildet eine Zerlegung der Menge X .
—– 48 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
Beweis:
Wir überprüfen die Bedingungen aus Def. 4.6. Jedes x ∈ X ist wegen eG · x = x in G(x) enthalten. Also ist jede
Bahn nichtleer, und jedes x ∈ X ist in mindestens einer Bahn enthalten. Wir zeigen nun, dass jedes Element in genau
einer Bahn enthalten ist und beweisen dafür: Ist x ∈ X und y ∈ G(x), dann folgt G(x) = G(y). Wegen y ∈ G(x) gibt es ein
Gruppenelement g 0 ∈ G mit g 0 · x = y und
g 0−1 · y
=
g 0−1 · (g 0 · x)
=
(g 0−1 g 0 ) · x
=
eG · x
=
x.
Wir überprüfen nun die Inklusionen G(x) ⊆ G(y) und G(x) ⊇ G(y). „⊆“ Sei z ∈ G(x). Dann gibt es ein g ∈ G mit
g · x = z. Es folgt (g g 0−1 )· y = g ·(g 0−1 · y) = g · x = z und damit z ∈ G(y). „⊇“ Sei z ∈ G(y). Dann existiert nach Definition
der Bahn G(y) ein g ∈ G mit g · y = z. Wir erhalten damit (g g 0 ) · x = g · (g 0 · x) = g · y = z, also z ∈ G(x).
Ist die Gruppenoperation transitiv, so gibt es nur eine Bahn in X . Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass je
zwei Elemente x, y ∈ X in derselben Bahn liegen, also jeweils ein g ∈ G mit g · x = y existiert. Dies bedeutet auch, dass
G(x) = X für alle x ∈ X erfüllt ist.
(i) Die Gruppe S n operiert transitiv auf M n . Sind nämlich a, b ∈ M n mit a = b vorgegeben, dann gilt τ · a = b für
τ = (a b). Also liegen je zwei Elemente in derselben Bahn.
(ii) Sei nun G = S 7 und U = 〈σ〉 die vom Element σ = (1 2 5)(3 4)(6 7) erzeugte, zyklische Untergruppe der Ordnung
6. Für jedes n ∈ Z gilt σn (1) ∈ {1, 2, 5}, wie man mit vollständiger Induktion leicht überprüft. Die Bahn von 1 ist
also durch U (1) = {1, 2, 5} gegeben. Zugleich ist dies auch die Bahn der Elemente 2 und 5. Ebenso sieht man
U (3) = U (4) = {3, 4} und U (6) = U (7) = {6, 7}.
Das letzte Beispiel liefert bereits einen Hinweis darauf, wie die Zykelzerlegung eines Elements der symmetrischen
Gruppe S n mit Hilfe der Gruppenoperationen interpretieren lässt.
Lemma 7.4
Sei n ∈ N, σ ∈ S n und x ∈ tr(σ). Dann gilt 〈σ〉(x) ⊆ tr(σ), und Gleichheit genau dann,
wenn σ ein k-Zykel für ein geeignetes k ∈ N mit k ≥ 2 ist. In diesem Fall gilt k = |tr(σ)|.
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Inklusion 〈σ〉(x) ⊆ tr(σ). Sei y ∈ 〈σ〉(x). Dann gibt es ein a ∈ Z mit y = σa (x).
Daraus folgt, dass y von σ bewegt wird. Wäre nämlich y ∉ tr(y), also σ(y) = y, dann würde daraus σc (y) = y für alle
c ∈ Z folgen, wie ein einfacher Induktionsbeweis zeigt. Insbesondere wäre y = σ−a (y) = x. Aber dies wiederum würde
σ(x) = x bedeuten, im Widerspruch zu x ∈ tr(σ).
Nun beweisen wir die Äquivalenz. „⇒“ Nach Voraussetzung gilt tr(σ) = 〈σ〉(x). Sei k ∈ N minimal mit σk (x) = x. Wir
müssen zeigen, dass σ die Form eines k-Zykels besitzt. Wir definieren nun
xi
=
σi −1 (x)
für 1 ≤ i ≤ k.
Dann gilt σ(x i ) = (σ ◦ σi −1 )(x 1 ) = σi (x 1 ) = x i +1 für 0 ≤ i < k und außerdem σ(x k ) = x 1 . Sei nun y ∈ tr(σ) = 〈σ〉(x)
beliebig vorgegeben. Dann gibt es ein u ∈ Z mit y = σu (x). Durch Division mit Rest erhalten wir q, r ∈ Z mit u = qk +r
und 0 ≤ r < k. Wegen σk (x) = x gilt auch σqk (x) = x und somit
y
=
σu (x)
=
σr (σqk (x))
=
σr (x)
=
x r +1 .
Dies zeigt, dass der Träger von σ genau aus den Elementen x 1 , ..., x k besteht, genauer dass σ mit dem k-Zykel der Form
(x 1 x 2 ... x k ) übereinstimmt.
—– 49 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
„⇐“ Ist σ ein k-Zykel für ein k ∈ N mit k ≥ 2, dann gibt es nach Definition verschiedene Element x 1 , ..., x k in M n ,
so dass σ(x i ) = x i +1 für 1 ≤ i < k und σ(x k ) = x 1 sowie σ(y) = y für y ∉ tr(σ) gilt. Wie wir bereits im Beweis von Satz
3.7 festgestellt haben, gilt σi (x 1 ) = x i +1 für 1 ≤ i < k. Dies zeigt, dass der gesamte Träger tr(σ) = {x 1 , ..., x k } in der
Bahn 〈σ〉(x 1 ) enthalten ist. Mit dem bereits Gezeigten folgt tr(σ) = 〈σ〉(x 1 ). Wegen x ∈ tr(σ) ⊆ 〈σ〉(x 1 ) gilt außerdem
〈σ〉(x 1 ) = 〈σ〉(x).
Satz 7.5
Jedes Element σ ∈ S n , σ = id, ist als Produkt disjunkter Zyklen der Form τ1 ◦ ... ◦ τr , mit
r ∈ N. Diese Darstellung ist bis auf Reihenfolger der σi eindeutig.
Beweis:
Seien B 1 , ..., B r die verschiedenen Bahnen von 〈σ〉 mit Länge > 1, und seien die Elemente τ1 , ..., τr ∈ S n
definiert durch
τi (x)
=

σ(x) falls x ∈ B i
x
sonst.
Sei x ∈ tr(τi ) beliebig gewählt. Wenn wir zeigen können, dass tr(τi ) ⊆ 〈τi 〉(x) erfüllt ist, dann folgt aus Lemma 7.4, dass
es sich bei τi um einen k i -Zykel handelt, mit k i = |〈σ〉(x)| = B i . Aus x ∈ tr(τi ) folgt zunächst x ∈ B i . Ist nun y ∈ tr(τi )
ein weiteres Element, dann folgt y ∈ B i , und weil B i eine Bahn von 〈σ〉 ist, gibt es ein a ∈ Z mit σa (x) = y. Weil σa und
τia auf B i übereinstimmen, gilt y = τia (x) ∈ 〈τi 〉(x). Also sind τ1 , ..., τr tatsächlich Zykel, außerdem paarweise disjunkt,
weil die Mengen B 1 , ..., B r paarweise disjunkt sind.
Wir beweisen nun die Gleichun (τ1 ◦ ... ◦ τr )(x) = σ(x) für alle x ∈ M n . Ist nämlich x ∉ tr(σ), dann folgt x ∉ tr(τi ) für
1 ≤ i ≤ r . Also wird x sowohl von σ als auch vom Produkt τ1 ◦...◦τr auf sich selbst abgebildet. Gilt andererseits x ∈ tr(σ),
dann ist x ∈ B i für ein eindeutig bestimmtes i . Es folgt τi (x) = σ(x) ∈ B i . Andererseits wird x noch σ(x) von einem τ j
mit j = i bewegt, es gilt somit (τ1 ◦ ... ◦ τr )(x) = τi (x) = σ(x). Damit ist die Gleichung σ = τ1 ◦ ... ◦ τr bewiesen.
Sei nun σ = τ1 ◦ ... ◦ τs eine weitere Zerlegung von σ als Produkt von disjunkten Zyklen, und sei B i = tr(τi ) für 1 ≤ i ≤ s.
Dann gilt σ|B = τi |B für alle i . Ist x ∈ B i für ein i , dann gilt 〈τi 〉(x) = tr(τi ) = B i , und wegen σ|B = τi |B ist B i eine
i
i
i
i
Bahn von 〈σ〉. Dies zeigt, dass B 1 , ..., B s genau die Bahnen von 〈σ〉 der Länge > 1 sind. Es gilt also r = s, und nach
Umnummerierung können wir B i = B i für 1 ≤ i ≤ r annehmen. Aus τi |B i = σ|B i = τi |B i folgt τi = τi für 1 ≤ i ≤ r .
Wenden wir uns nun wieder den Eigenschaften von Gruppenoperationen im Allgemeinen zu.
Satz 7.6
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert, und x ∈ X . Dann ist die Teilmenge
G x = {g ∈ G | g · x = x} eine Untergruppe von G, der sogenannte Stabilisator von x.
Beweis:
Wegen eG · x = x gilt eG ∈ G x . Seien nun g , h ∈ G x vorgegeben. Dann gilt g · x = x und h · x = x. Es folgt
(g h) · x = g · (h · x) = g · x = x. Dies zeigt g h ∈ G x . Ferner gilt g −1 · x = g −1 · (g · x) = (g −1 g ) · x = eG · x = x, also g −1 ∈ G x .
Wieder betrachten wir eine Reihe von Beispielen.
(i) Wir betrachten die Operation von G = S 4 auf X = M 4 . Der Stabilisator G 4 des Elements 4 ∈ X besteht nach
Definition aus allen σ ∈ G mit σ · 4 = σ(4) = 4, also allen Permutationen mit 4 ∉ tr(σ). Es gilt also
G4
=
{id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}.
—– 50 —–
§ 7.
Gruppenoperationen
(ii) In der Untergruppe U von S 7 aus Beispiel (i) von oben ist der Stabilisator von 3 durch die dreielementige Untergruppe 〈σ2 〉 gegeben. Denn für jedes m ∈ Z gilt σm (3) = 3 genau dann, wenn m eine gerade Zahl ist. Der
Stabilisator von 1 ist die Untergruppe 〈σ3 〉 der Ordnung 2.
(iii) Sei V = R2 , G = GL(V ) und X = V . Ist v = e 1 , dann besteht G v genau aus den Matrizen der Form
1
a
0
b
mit a, b ∈ R , b = 0 ,
denn an der ersten Spalte der Matrix kann abgelesen werden, dass e 1 = (1, 0) auf sich abgebildet wird. Für den
Nullvektor gilt G (0,0) = G.
Satz 7.7
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert, und sei x ∈ X . Dann gibt es eine
Bijektion φx : G/G x → G(x) mit φx (gG x ) = g · x für alle g ∈ G. Ist insbesondere X endlich, dann ist
auch der Index (G : G x ) endlich, und es gilt (G : G x ) = |G(x)|.
Beweis:
Sei R ⊆ G ein Repräsentantensystem von G/G x . Ist g¯ ∈ G/G x und g 0 ∈ R das eindeutig bestimmte Element
mit g¯ = g 0G x , dann definieren wir φx (g¯ ) = g 0 · x. Wir zeigen nun, dass φx (gG x ) = g · x für alle g ∈ G erfüllt ist. Sei dazu
g ∈ G beliebig vorgegeben und g 0 ∈ R das Element mit gG x = g 0G x . Dann gibt es ein h ∈ G x mit g 0 = g h, und wir
erhalten
φx (gG x )
=
φx (g 0G x )
=
g0 · x
(g h) · x
=
=
g · (h · x)
=
g ·x
Die Abbildung φx ist surjektiv: Ist nämlich y ∈ G(x) vorgegeben, dann existiert nach Definition der Bahn ein Element
g ∈ G mit g · x = y, und wir erhalten φ¯ x (gG x ) = y. Nun beweisen wir noch die Injektivität. Seien g¯ , h¯ ∈ G/G x mit
¯ vorgegeben. Außerdem seien g , h ∈ G so gewählt, dass g¯ = gG x und h¯ = hG x gilt. Nach Definition der
φx (g¯ ) = φx (h)
Abbildung φx gilt g · x = φx (gG x ) = φx (hG x ) = h · x, also
(g −1 h) · x
=
g −1 · (h · x)
g −1 · (g · x)
=
=
x.
Es folgt g −1 h ∈ G x , also g¯ = gG x = g (g −1 h)G x = hG x .
Definition 7.8
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X operiert, B die Menge der Bahnen
dieser Operation und S ⊆ B eine Teilmenge. Eine Teilmenge R ⊆ X wird Repräsentantensystem
von S genannt, wenn G(x) ∈ S für alle x ∈ R gilt und die Abbildung R → S , x → G(x) bijektiv ist.
Satz 7.9
(Bahngleichung)
Sei G eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert. Sei F ⊆ X die Fixmpunktmenge der
Operation und R ⊆ X ein Repräsentantensystem der Menge aller Bahnen G(x) mit mindestens
zwei Elementen. Dann gilt
|X |
=
(G : G x )
|F | +
x∈R
und (G : G x ) > 1 für alle x ∈ R.
—– 51 —–
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Seele and Geist
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