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2 Frequenzgang linearer, zeitinvarianter (LTI-)Systeme mit

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Prof. Dr. T. Wolf
Hochschule Landshut
Elektrotechnik III
Studiengang Elektro- und Informationstechnik
2 Frequenzgang linearer, zeitinvarianter (LTI-)Systeme mit
konzentrierten Elementen
2.1 Berechnung des Frequenzganges
LTI-Systeme mit konzentrierten Elementen können durch gewöhnliche lineare
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden:
LTI-System mit
konzentrierten
Elementen
ye(t)
cn
ya(t)
dn y a t 
dn1y a t 
dy a t 
dz y e t 
dz 1y e t 
dy t 


c
c
c
y
t
d
d









     d1 e  d0 y e t 
n 1
1
0 a
z
z 1
dt n
dt n1
dt
dt z
dt z 1
dt
Beispiele:
R
RC-Tiefpass:
ue(t)
MG:  u e t   uR t   u a t   0
i(t)
C
ua(t)
BG: uR t   R  it 
BG: it   C 
du a t 
 u a t   u e t 
dt
 RC 
du a t 
dt
MG:  u e t   u C t   uL t   u a t   0
RLC-Bandpass:
C i(t)
BG: u a t   R  it 
L
ue(t)
R
ua(t)
BG: it   C 
du C t 
dt
BG: uL t   L 
 LC 
dit 
dt
d 2u a t 
du t 
du t 
 RC  a  u a t   RC  e
2
dt
dt
dt
d2 y a t 
dy t 
Feder-Masse-Dämpfer-System: m 
 f  a  k  y a t   k  y e t 
2
dt
dt
Gleichstrommaschine: u e t   R  it   L 
J  2 

dit 
 c  2  nt   
dt
dnt 
 c  it   
dt
2  J  L d 2 nt  2  J  R dnt 



 2  c    nt   u e t 
c
c
dt
dt 2
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Im eingeschwungenen Zustand besteht die Lösung dieser DGL bei einem stabilen
System nur noch aus der partikulären Lösung, da die homogene Lösung nach einer
gewissen Einschwingzeit 0 wird.
Für ein sinusförmiges Eingangssignal y e ( t )  Im Y e   e jt erhält man die partikuläre
Lösung bei einer gewöhnlichen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten durch den
Ansatz y a ( t )  Im Y a   e jt .
Wenn man den komplexen Ansatz in die DGL einsetzt, erhält man:


c j  c
n
n
n 1

jn1      c1j  c 0  Y a   e jt  dz jz  dz1jz1      d1j  d0  Y e   e jt
 Systemgleichung: Y a   G( j)  Y e 
dz  j  dz 1  j
z
mit G( j) 

z 1
c n  j  c n1  j
n
n 1
Ye()
LTI-System mit
Frequenzgang
G(j)
Ya()
     d1  j  d0
     c 1  j  c 0
Die Funktion G(j) ist eine wichtige Systemeigenschaft und heisst Frequenzgang des
Systems. Der Frequenzgang ist eine rationale Funktion der komplexen Variable j
mit reellen Koeffizienten ci, di und damit im allgemeinen eine komplexe Funktion
(aber nicht notwendig, z.B. Tiefpass 2. Ordnung mit R = 0).
Der Betrag von G(j) gibt an, mit welchem Faktor G( j) die Amplitude eines sinusförmigen Eingangssignals mit der Frequenz  multipliziert werden muss, um die
Amplitude des sinusförmigen Ausgangssignals bei der gleichen Frequenz zu
erhalten.
Die Phase von G(j) gibt die Phasenverschiebung zwischen dem sinusförmigen
Ausgangssignal und dem sinusförmigen Eingangssignal bei der Frequenz  an.
Da diese Eigenschaften aus der Tatsache folgen, dass die beschreibenden
Gleichungen gewöhnliche, lineare Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten sind, gelten sie ganz allgemein für alle Systeme, die durch solche
Gleichungen beschrieben werden. Dies ist die Grundlage für die große Bedeutung
des Frequenzganges.
Man kann die Gleichung Y a   G( j)  Y e  auch durch die Fouriertransformation
der DGL erhalten, wenn man den Differentiationssatz anwendet. Man erhält
demnach die Fouriertransformierte des Ausgangssignals eines LTI-Systems, indem
man die Fouriertransformierte des Eingangssignals mit dem Frequenzgang des
Systems multipliziert.
Dies führt auf eine weitere wichtige Eigenschaft des Frequenzganges:
Wenn man als Eingangssignal eine Deltafunktion y e t   t  wählt, gilt Y e   1.
Bei einer solchen Anregung des Systems ist die Fouriertransformierte des
Ausgangssignals der Frequenzgang des Systems:
Y a   G( j)  Y e   G( j)  1  G( j)
Die Fourierrücktransformation des Frequenzgangs liefert also die Impulsantwort g(t)
des Systems: gt   FT 1G j.
Umgekehrt kann man den Frequenzgang aus einer Fouriertransformation der
Impulsantwort erhalten: G j  FTgt 
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Wenn man die Gleichung Y a   G( j)  Y e 
unter Anwendung des Faltungssatzes rücktransformiert, erhält man die wichtige Beziehung: ye(t)
y a t   gt   y e t 
LTI-System mit
Impulsantwort
g(t)
ya(t)
Man kann also die Reaktion eines Systems auf ein beliebiges Zeitsignal durch
Faltung mit der Impulsantwort des Systems berechnen. Dies wird z.B. in PSpice
angewendet, wenn das System nur durch seinen Frequenzgang modelliert wird.
Bei linearen elektrischen Netzwerken mit konzentrierten, zeitkonstanten Elementen
R, L, C und gesteuerten Quellen kann man den Frequenzgang direkt durch Anwendung der komplexen Wechselstromrechnung ermitteln. Wenn man zwischen zwei
Knoten (dem Eingang) eine Spannung mit der komplexen Amplitude Ue oder einen
Strom Ie einprägt, kann man zwischen zwei anderen Knoten (dem Ausgang) eine
Lastimpedanz ZL anschließen und eine Spannung Ua bzw. einen Strom Ia messen:
Ie
Ue
Ia
lineares
Netzwerk
mit
R, L, C und
gest. Quellen
ZL
Ua
Je nach Kombination von Eingangs- und Ausgangsgröße hat der Frequenzgang einen eigenen Namen und evtl. eine Benennung:
A
Ua
Ue
Spannungsverstärkung
dimensionslos
z.B. Spannungsverstärkung eines Operationsverstärkers
B
Ia
Ie
Stromverstärkung
dimensionslos
z.B. Stromverstärkung des Bipolartransistors
S
Ia
Ue
Transconductance (Übertragungsleitwert) Dimension: S
z.B. Steilheit des Bipolar- und Feldeffekttransistors
R
Ua
Ie
Transimpedanz (Übertragungswiderstand) Dimension: 
z.B. Verstärkung eines Transimpedanz-Verstärkers
Ze 
Ue
Ie
Eingangsimpedanz Dimension: 
Mit einer Spannungs- oder Stromquelle am Ausgang und Ue  0 oder Ie  0:
U
Z a  a Ausgangsimpedanz Dimension: 
Ia
Der Frequenzgang elektrischer Netzwerke kann mit einem sog. Netzwerkanalysator
(Network Analyzer) gemessen werden. Der NA misst die Amplitude und Phase einer
aus dem Netzwerk herauslaufenden Sinuswelle und setzt sie ins Verhältnis zur
Amplitude und Phase einer hineinlaufenden Welle: G( j)  Y a  Y e 
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Zusammenfassung wichtiger Beziehungen:
G  G e jG  ReG  j  ImG

G  GG 
G  arctan
Frequenzgang
Re(G)2  Im(G)2
Amplitudengang
Im( G)
  , wenn Re(G)  0 
Re(G)
Phasengang, Übertragungswinkel
p  
G

Phasenlaufzeit durch das System
g  
dG
d
Gruppenlaufzeit durch das System
Grenzfrequenz fg:
Frequenz, bei der |G|dB um 3dB gegenüber
dem Wert bei f  0 abgesunken ist
Transitfrequenz fT:
Frequenz, bei der |G|  1 bzw. |G|dB  0dB erreicht wird
Keine Verzerrungen im Zeitbereich, wenn alle Frequenzkomponenten gleiche Phasen- und Gruppenlaufzeit besitzen  g = p = konst.  G = konst., d.h. das
System verursacht nur eine Zeitverzögerung.
Aus der Mathematik ist bekannt, dass sich Polynome mit reellen Koeffizienten als
Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren darstellen lassen. Ein Linearfaktor
ergibt sich für jede einfache Nullstelle des Polynoms, ein quadratischer Faktor ergibt
sich für jedes konjugiert-komplexe Nullstellenpaar des Polynoms.
Damit kann man den Frequenzgang auf folgende faktorisierte Form bringen:
m
Zi ( j)
 j  
i
G  V0    
 0   Nk ( j)
k
Die Faktoren Zi(j) und Nk(j) haben folgende normierte Form:
2
j  j 

oder
quadratischer Faktor: 1  2  D i 
pi  pi 
Polfrequenz, Kennfrequenz oder Eckfrequenz
pi wird formal negativ, wenn das Vorzeichen vor dem linearen Glied negativ ist
(nur im Zähler möglich, da das System sonst instabil ist)
j
linearer Faktor: 1
pi
pi
Di
Dämpfungsgrad
Di wird immer als positiv angenommen, da ein evtl. negatives Vorzeichen des
linearen Gliedes bereits durch ein negatives pi ausgedrückt wird
Di<1, da sonst der quadratische Faktor in zwei lineare Faktoren zerfällt
Zusammenhang mit der nicht normierten Form 1  a  j bzw. 1  a  j  b   j :
1
1
a
quadratischer Faktor: P 
linearer Faktor: P 
, D
a
b
2 b
2
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m
 j 
Der Faktor   enthält die Nullstellen j = 0 des Zählers und Nenners nach dem
 0 
Kürzen. Die Normierungsfrequenz 0 ist keine Kennfrequenz. Sie kann beliebig gewählt werden, z.B. 1Hz.
Die reelle Konstante V0 ergibt sich aus den Divisionen, die notwendig sind, um alle
Faktoren auf ihre Normalform zu bringen (Die Wahl von 0 beeinflusst V0).
Diese Faktorisierung ist im Prinzip immer möglich, allerdings muss man für ihre praktische Durchführung die Polynomnullstellen berechnen und daraus die Polfrequenzen
und Polgüten. Dies ist im allgemeinen nur numerisch möglich und dann leider auch
ein numerisch schlecht konditioniertes Problem, da bereits kleine Abweichungen in
den Koeffizienten zu großen Abweichungen bei den Polynomnullstellen führen. Es
gibt jedoch viele praktisch wichtige Fälle, bei denen sich die Faktorisierung von selbst
ergibt, z.B. bei Kettenschaltungen von Systemen mit sehr niedrigem
Ausgangswiderstand und/oder sehr hohem Eingangswiderstand. In diesem Fall muss
nur noch die Normierung durchgeführt werden.
Beispiele:
R
Tiefpass 1. Ordnung:
U
1
G( j)  a 
Ue 1  jRC
Ue
Ua
C
V0 = 1, m = 0, p1 = 1/RC
Hochpass 1. Ordnung:
U
jRC
G( j)  a 
Ue 1  jRC
C
Ue
R
V0 = 1, m = 1, 0 = 1/RC, p1 = 1/RC
Tiefpass 2. Ordnung:
U
1
G( j)  a 
Ue 1  jRC  LC j2
R
L
Ue
V0 = 1, m = 0, p1 
C
Ua
R C
1
, D1 
2 L
LC
Bandpass 2. Ordnung:
U
jRC
G( j)  a 
Ue 1  jRC  LC j2
C
Ue
V0 = 1, m = 1, 0 = 1/RC, p1 
Ua
L
R
Ua
1
R C
, D1 
2 L
LC
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2.2 Bode-Diagramm
Häufig überstreicht der interessierende Frequenzbereich mehrere Größenordnungen
(z.B. Audio: 20Hz - 20kHz). Der Amplitudengang variiert dabei oft ebenfalls über
mehrere Größenordnungen. Deshalb definiert man den Logarithmus des Amplitudenganges als sog. Übertragungsmaß:
G dB  20 lg G
Bei dimensionsbehafteten Frequenzgängen muss vor der Betragsbildung durch eine
Bezugsgröße (z.B. 1V) dividiert werden. Die Bezugsgröße wird an dB angehängt,
z.B. dBV oder dBV
Merke: Faktor 10   20dB
Faktor 2   6dB
Mit den üblichen Rechenregeln für den Logarithmus (Multiplikation  Addition, Division  Subtraktion, Potenzieren  Multiplikation) kann in den meisten Fällen der dB-Wert relativ genau geschätzt werden.
Beispiele:
3
G  73  80  102 GdB  20dB  36dB  38dB (genau: 37.3dB)
5
GdB  50dB  20dB  56dB G  102  320 (genau: 316.2)
Ein Bode-Diagramm ist die graphische Darstellung des Übertragungsmaßes und des
Phasenganges über einer logarithmisch geteilten Frequenzachse.
Besonders einfach wird die Zeichnung des Bode-Diagrammes, wenn man von der
faktorisierten Form in Betrags-Phase-Darstellung ausgeht:
m
G  V0 e jV0 

e jm90
0
 Z ( j) e

 N ( j) e
j Z i
i
i
jNk
k
k

Damit erhält man für den Amplitudengang: G  V0 
0
m
 Z ( j)

 N ( j)
i
i
k
k
Das Übertragungsmaß zerfällt damit in eine Summe:
G dB  20 lg G  20 lg V0  m  20 lg
G dB  V0 dB  m 

0

  20 lg Zi ( j)   20 lg Nk ( j)
0
i
k
  Zi ( j) dB   Nk ( j) dB ("Zähler verstärkt, Nenner dämpft")
dB
i
k
Auch der Phasengang ist als Summe darstellbar:
G  V0  m  90   Zi   Nk
i
k
Beachte: Winkel von V0 nicht vergessen (0° bzw. 180°), Nenner bewirkt immer Phasennacheilung, Zähler kann Phasenvor- und nacheilung bewirken.
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Da das Bode-Diagramm des gesamten Frequenzganges sich aus der Addition der
Bode-Diagramme der einzelnen Faktoren ergibt, genügt es, sich die BodeDiagramme dieser Faktoren zu betrachten.
m
 j 
Bode-Diagramm von   :
 0 
Bode-Diagramm von V0  10
40
40
|G|dB
|G|dB
20
20
0
0
-20
-20
-40
-1
10
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /0
-40
-1
10
4
+270°
G
+270°
G
+180°
+180°
+90°
+90°
0°
0°
-90°
-90°
-180°
-180°
-270°
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /0
4
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /0
4
-270°
10
-1
2
4
6 8 10
0
2
4
6 8 10
1
/0
4
10
-1
2
j  j 
j
Beim linearen Faktor 1
und beim quadratischen Faktor 1  2  D i 

pi
pi  pi 
beschränkt man sich in der Praxis meist auf den asymptotischen Verlauf für   pi
und   pi:
1
j 
1
  j
 pi 
  pi
G dB
für   pi
für   pi
0dB
für   pi



20 lg  für   pi
pi

0
für   pi
G  
90  sgnpi  für   pi
j  j

1  2  Di 
pi  pi
G dB
1
für   pi
2


2
    j 

 für   pi
 

  pi 
0dB
für   pi



 40 lg  für   pi
pi

0
für   pi
G  
180  sgnpi  für   pi
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Asymptotisches Bode-Diagramm eines linearen Faktors 1
j
:
pi
40
im Zähler
|G|dB
20
0
-20
im Nenner
-40
-1
10
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /pi
4
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /pi
4
+270°
G
+180°
+90°
0°
-90°
-180°
-270°
-1
10
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Exakter Amplitudengang eines linearen Faktors im Nenner (pi  1Hz):
 G dB
  
j

 20 lg G  20 lg1  20 lg 1 
 20 lg 1  
 p 
p i
 i
2
G
1
j
1
p i
0
-10
-20
-30
-40
0,01
0,1
1
10
100
10
100
Exakter Phasengang eines linearen Faktors im Nenner (pi  1Hz):

  
j 

 G  1  1 
  arctan
 p 
 p 
i 

 i
0
-15
-30
-45
-60
-75
-90
0,01
0,1
1
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2
j  j 

Asymptotisches Bode-Diagramm eines quadratischen Faktors 1  2  D i 
:
pi  pi 
40
im Zähler
|G|dB
20
0
-20
im Nenner
-40
-1
10
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /pi
4
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 /pi
4
+270°
G
+180°
+90°
0°
-90°
-180°
-270°
-1
10
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Exakter Amplitudengang eines quadrat. Faktors im Nenner (pi  1Hz, Di  variabel):
G
1
j  j 
1  2  Di 

pi  pi 
2
 G dB
  
 20 lg 1  
  pi





2
2


  4  Di 2   
 p

 i





2
20
0
-20
-40
0,1
1
D=1
D=0.707
D=0.5
10
D=0.25
D=0.05
Exakter Phasengang eines quadrat. Faktors im Nenner (pi  1Hz, Di  variabel):
2

       
   (-, wenn   pi)
 1  
G   arctan 2  Di  
 p    p   

 i    i  

0
-45
-90
-135
-180
0,1
1
D=1
D=0.707
2-11
D=0.5
10
D=0.25
D=0.05
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Zeichnen des asymptotischen Amplituden- und Phasenganges
In der asymptotischen Näherung bestehen alle Bode-Diagramme dieser Faktoren
aus Geradenstücken. Da die Addition von Geradenstücken wieder Geradenstücke
ergibt, muss die Überlagerung zum Gesamtdiagramm nicht punktweise ausgeführt
werden, sondern kann nach folgendem „Kochrezept“ durchgeführt werden:
 Frequenzgang auf normierte Form bringen
 Beträge der Eckfrequenzen durch senkrechte Striche markieren (o ist keine
Eckfrequenz!)
 Links von kleinster Eckfrequenz bei Start Amplitude berechnen und einzeichnen:
m

Start 
Start

G dB
 20 log V0 
0 


 Bis zur ersten Eckfrequenz eine Gerade mit Steigung m20dB/Dekade zeichnen.
 Nach jeder Eckfrequenz ändert sich die Steigung um +/-20dB/Dekade (Linearfaktor im Zähler/Nenner) oder +/-40dB/Dekade (quadratischer Faktor im
Zähler/Nenner). Bei zusammenfallenden Eckfrequenzen addieren sich die Steigungsänderungen.
 Links von kleinster Eckfrequenz bei Start die Phase berechnen und einzeichnen:
G
Start
 V0  m  90
 Waagrechte Gerade bis zur ersten Eckfrequenz zeichnen
 Bei jeder Eckfrequenz springt die Phase um +/-90° (Linearfaktor mit positiver Eckfrequenz im Zähler/Linearfaktor im Nenner und Linearfaktor mit negativer Eckfrequenz im Zähler) oder +/-180° (quadratischer Faktor mit positiver Eckfrequenz im
Zähler/Quadratischer Faktor im Nenner und quadratischer Faktor mit negativer
Eckfrequenz im Zähler).
 Zwischen den Eckfrequenzen verläuft die Phase waagrecht.
Simulation des Bode-Diagramms mit PSpice
Schaltplan eingeben mit ABM-Bauteil LAPLACE aus Bibliothek abm.slb und Quelle
VAC aus source.slb:
Den Attributen NOM und DENOM von LAPLACE wir das Zähler- bzw.
Nennerpolynom zugewiesen (s = j).
Mit Analysis/Setup und Analysis/Simulate AC-Sweep über den interessierenden
Frequenzbereich durchführen, im Beispiel von f = 0.1/(2) bis f = 100/(2).
In Probe x-Achsenvariable mit Plot/X-Axis-Settings von FREQUENCY auf
2*PI*FREQUENCY ändern
Mit Trace/Add Kurve dB(V(a)) darstellen, mit Plot/Add Plot zweites Diagramm
erzeugen und mit Trace/Add Kurve P(V(a)) darstellen.
2-12
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G( j) 
Beispiel:
Elektrotechnik III
Studiengang Elektro- und Informationstechnik


1600  2s 1  j
j  5s  j  2  16  0.8s  j  0.25s 2  2


60
|G|dB
40
20
0
-20
-40
-60
-1
10
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101
2
4
6 8 102 /s-1
4
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101
2
4
6 8 102 /s-1
4
+270°
G
+180°
+90°
0°
-90°
-180°
-270°
10
-1
2-13
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Elektrotechnik III
Studiengang Elektro- und Informationstechnik
Frequenzgang wichtiger Systeme
P-Glied, Verstärker
G  K P bzw. G  A
KP: Proportionalbeiwert
A: Verstärkung
I-Glied, Integrator
K
1
G  I bzw. G 
j
j  TI
D-Glied, idealer Differentiator (nicht realisierb.)
G  K D  j bzw. G  j  TD
KI: Integrationsbeiwert
KD: Differentiationsbeiwert
TI: Integrationszeitkonstante
TD: Differentiationszeitkonstante
2-14
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PT1-Glied, Tiefpass 1. Ordnung
G
Elektrotechnik III
Studiengang Elektro- und Informationstechnik
PT2-Glied, Tiefpass 2. Ordnung
K
A
bzw. G 
j
1  j  T1
1
g
G
G
K
2
1  2  D  j  T2   j  T2 
A
j  j 
1 2  D 

p  p 
2
K, A: Verstärkungsfaktor
K, A: Verstärkungsfaktor
T1: Zeitkonstante
T2: Zeitkonstante
g: Grenzfrequenz
P: Eckfrequenz
D: Dämpfungsgrad
2-15
bzw.
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Studiengang Elektro- und Informationstechnik
PI-Regler
idealer PD-Regler (nicht realisierbar)

1 

G  K P  1 
j  TN 

G  K P  1  j  TV 
KP: Proportionalbeiwert
KP: Proportionalbeiwert
TN: Nachstellzeit
TV: Vorhaltezeit
DTd-Glied, realisierbarer Differentiator
G
PDTd-Regler (realisierbar)

j  TV 

G  K P  1 
1
j
T



d


j  TD
mit Td  TD
1  j  Td
TD: Differentiationszeitkonstante
KP: Proportionalbeiwert
Td: Verzögerungszeit
TV: Vorhaltezeit
2-16
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Idealer PID-Regler (nicht realisierbar)
2


1
1  j  TN   j  TV  TN
 j  TV   K P 
G  K P  1 
j  TN
j  TN


KP: Proportionalbeiwert
G  KP 
1  j  TN   1  j  TV  , wenn
j  TN
TV  TN
TN: Nachstellzeit
TV: Vorhaltezeit
2-17
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Studiengang Elektro- und Informationstechnik
2.3 Ortskurve
Die Ortskurve des Frequenzganges, d.h. eine Auftragung des Imaginärteils ImG(j)
über dem Realteil ReG(j) wird auch als Nyquist-Diagramm bezeichnet. Dieses
Diagramm hat eine sehr große Bedeutung bei der Beurteilung der Stabilität von
Regelkreisen.
Eine analytische Darstellung der Ortskurve durch Eliminierung des Parameters  ist
nur in Ausnahmefällen möglich, in der Regel muss das Nyquist-Diagramm erzeugt
werden, indem  variiert wird und die zugehörigen Werte für ReG(j) und ImG(j)
numerisch berechnet werden.
Beispiel: PT1-Glied
G( j) 
1
1  jT1
1
 T1


 j
2
2
2
1  jT1 1  T1 
1  T1 
1  T1 
1
 I) ReG( j) 
 1  T
1
Re

2
 T1
und II) ImG( j) 

 1  T 2
1
Im
Eliminierung des Parameters :
1
1
In II):
Aus I): T1 
Re
Im   Re
1
1
Re
2
1
1

 Im  Re Re  Im   Re  
2
4

Dies ist ein Halbkreis im 4. Quadranten der komplexen Ebene
mit Mittelpunkt (1/2, 0) und Radius 1/2
2
2
2
Simulation des Nyquist-Diagramms mit PSpice
Schaltplan eingeben mit ABM-Bauteil LAPLACE aus Bibliothek abm.slb und Quelle
VAC aus source.slb:
Den Attributen NOM und DENOM von LAPLACE wir das Zähler- bzw. Nennerpolynom zugewiesen (s = j).
Mit Analysis/Setup und Analysis/Simulate AC-Sweep über den interessierenden
Frequenzbereich durchführen, im Beispiel von f = 0.1/(2) bis f = 100/(2).
In Probe x-Achse mit Plot/X-Axis-Settings auf lineare Skalierung umstellen. Danach
x-Achsenvariable von FREQUENCY auf R(V(a)) ändern.
Mit Trace/Add Kurve IMG(V(a)) darstellen.
2-18
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Darstellung des Bode- und Nyquist-Diagramms im Grafikmenü des TR mit
Benutzung des CAS
Eingabe im CAS:
Zuweisung des komplexen Frequenzganges G an Funktion Xt1, wobei W anstelle
von  benutzt wird.
*
substitute(Xt1, W = -W)  Yt1
(  Yt1 ist G , da 
Kombination j vorkommt)
cExpand((Xt1  Yt1)/2)
simplify(Ans)  Xt2
cExpand((Xt1 - Yt1)/2/i )
simplify(Ans)  Yt2
T  Xt3
2
2
10log(Xt2 + Yt2 ) Yt3 
T  Xt4
-1
tan (Yt2/Xt2)  Yt4 
nur
in
der
T
substitute(Xt2, W = 10 )  Xt2
(  Xt2 ist Re(G))
T
substitute(Yt2, W = 10 )  Yt2
(  Yt2 ist Im(G))
(  Yt3 ist GdB)
(  Yt4 ist G bis auf eine evtl. Addition von 180°)
Vor der Zeichnung im Menü 3 muss die gewünschte Funktion selektiert werden und
T
im View-Window der Bereich für X, Y und T eingestellt werden, wobei   10 gilt.
Winkeleinstellung: DEG
Zeichnung von Xt2, Yt2 liefert das Nyquist-Diagramm
Zeichnung von Xt3, Yt3 liefert den Amplitudengang des Bode-Diagramms
Zeichnung von Xt4, Yt4 liefert den Phasengang des Bode-Diagramms
Darstellung des Bode- und Nyquist-Diagramms in MATLAB
Das Zähler- und Nennerpolynom des Frequnzgangs wird in MATLAB durch je einen
Zeilenvektor mit den Polynomkoeffizienten nach fallenden Potenzen angegeben.
Wenn die Polynome aus mehreren Polynomfaktoren bestehen, können je zwei
Faktoren mit der Funktion conv() ausmultipliziert werden.
Beispiel:


1600  2s 1  j
G( j) 
j  5s  j  2  16  0.8s  j  0.25s 2  2


z  1600  1 2 erzeugt das Zählerpolynom
n  conv 1 0, 5 2 erzeugt den ersten Teil des Nennerpolynoms
n  conv n , 0.25 0.8 16 erzeugt das Nennerpolynom
1600  2  s
G  tf z , n erzeugt die Übertragungsfunktion Gs  
s  5s  2  16  0.8s  0.25s2
bode(G) erzeugt das Bodediagramm


nyquist(G) erzeugt das Nyquistdiagramm
2-19
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2.4 Kettenschaltung rückwirkungsfreier LTI-Systeme
Zeitbereich
ye1(t)
LTI1
mit
g1(t)
ya1(t)
ye2(t)
LTI2 ya2(t)
mit
g2(t)
Frequenzbereich
Ye1()
y a 2 t   g 2 t   y e 2 t 
Y a 2   G 2 ( j)  Y e 2 
y a 2 t   g 2 t   y a1 t 
Y a 2   G 2 ( j)  Y a1 
y a1 t   g1 t   y e1 t 
Y a1   G1 ( j)  Y e1 
Y a 2   G 2 ( j)  G1 ( j)  Y e1 
y a 2 t   g 2 t   g1 t   y e1 t 
ye1(t)
LTI1 Ya1() LTI2 Ya2()
mit
mit
G1(j) Ye2() G2(j)
ya2(t)
LTI
mit
g(t)=g1 (t)*g2(t)
Ye1()
y a 2 t   gt   y e1 t 
Ya2()
LTI
mit
G(j)=G1(j)G2(j)
Y a 2   G( j)  Y e1 
2-20
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Skizzieren Sie den asymptotischen Amplituden- und Phasenverlauf
a) für eine PT2-Strecke mit K  0.5, T2  2.5ms:
G1 
K
1  2  D  j  T2   j  T2 
2
+20dB
+90°
G1dB
G1
0dB
0°
-20dB
-90°
-40dB
-60dB
10
10
2
10
3
/s
-1
10
4
-180°
10
10
2
b) für einen PID-Regler mit KP  20, TN  10ms, TV  1ms: G2 
10
3
/s
-1
10
4
K P  1  j  TV   1  j  TN 
j  TN
+60dB
+90°
G2dB
G2
+40dB
0°
+20dB
-90°
0dB
-20dB
10
10
2
10
3
/s
-1
10
4
-180°
10
10
2
10
3
/s
-1
10
4
c) für die Schleifenverstärkung bei Regelung der PT2-Strecke mit dem PID-Regler:
G  G1  G 2
+40dB
+90°
GdB
G
+20dB
0°
0dB
-90°
-20dB
-40dB
10
10
2
10
3
/s
-1
10
4
-180°
10
2-21
10
2
10
3
/s
-1
10
4
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Konstruktion des Ausgangsspektrums aus dem Eingangsspektrum und dem
Frequenzgang des Systems:
LTI-System mit
Frequenzgang
G(jf)
Ye(f)
Ya(f)
Y a f   G( jf )  Y e f 

 Y a f    Y e f   G( jf )

 Y a f   G( jf )  Y e f 
Multiplikation der Betragsgleichung mit 2 liefert: 2  Y a f   G( jf )  2  Y e f 
 Yˆa f   G( jf )  Yˆe f 
Division durch 1Vs, Logarithmieren und Multiplikation mit 20 liefert:
 Yˆ f  

 Yˆ f  
 Yˆ f  
Yˆ f  
20 log a   20 log G( jf )  e   20 log a   20 log e   20 log G( jf ) 
1Vs 
 1Vs 

 1Vs 
 1Vs 
 Yˆa f 
dBVs
 Yˆe f 
dBVs
 G( jf ) dB
Man kann das Amplituden- und das Phasenspektrum des Ausgangssignals somit
konstruieren, indem man zum Amplituden- und zum Phasenspektrum des
Eingangssignals jeweils den Amplitudengang und den Phasengang des Systems
addiert.
Beispiel:
Ein Trapezpuls mit h  1V,   4s und trf  0.8s durchläuft ein Tiefpassfilter 1.
Ordnung mit einer Grenzfrequenz fg1  1MHz, fg2  200kHz bzw. fg3  40kHz. Die
Grenzfrequenz ist beim Tiefpass 1. Ordnung identisch mit der Polfrequenz:
G jf  
1
1
jf
fg
2-22
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+40dB
1

Ûe(f)|dBV
+20dB
20 lg
2h
1Vs
0dB
1
t rf
-20dB
-40dB
4
10
10
5
10
6
f/Hz
10
7
+20dB
|G(f)|dB
fg3
fg2
fg1
0dB
-20dB
-40dB
-60dB
4
10
10
5
10
6
f/Hz
10
7
10
5
10
6
f/Hz
10
7
+40dB
Ûa(f)|dBV
+20dB
0dB
-20dB
-40dB
4
10
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In allen drei Fällen ergibt sich ein Ausgangsspektrum mit 3 Knickfrequenzen, bei
denen die Steigung jeweils um -20dB/Dek. abnimmt. Dies ist im Wesentlichen das
Spektrum eines Trapezpulses (Knick 1 und 2) mit abgerundeten Ecken (Knick 3).
a
a
a
Berechnung der Kenngrößen h ,  und trf des Ausgangspulses aus den Kenne e
e
größen h ,  und trf des Eingangspulses und der Grenzfrequenz fg des Tiefpasses:
1. Fall: fg  fg1  1MHz
Hier ändert sich die Lage der ersten beiden Knicke nicht, so dass die
a
e a
e
a
e
Kenngrößen unverändert bleiben: h  h ,    und trf  trf .
Der Tiefpass bewirkt nur eine Abrundung der Ecken.
 Wenn ein Trapezpuls durch ein Tiefpasssystem nicht wesentlich
verändert werden darf (z.B. digitale Signale), muss die Grenzfrequenz
des Tiefpasssystems mindestens 1/(trf) betragen.
2. Fall: fg  fg2  200kHz
Hier ändert sich die Lage des zweiten Knickes, so dass nur die Flankena
e a
e
a
steilheit verändert wird: h  h ,    und trf  1/(fg2)  1.6s.
 Wenn die Breite und Höhe eines Trapezpulses durch ein Tiefpasssystem nicht wesentlich verändert werden darf, muss die Grenzfrequenz des Tiefpasssystems mindestens 1/() betragen. Die
Anstiegs- und Abfallzeit wird auf 1/(fg) vergrößert.
3. Fall: fg  fg3  40kHz
Hier ändert sich die Lage des ersten und zweiten Knickes, so dass alle
a
e
a
Kenngrößen verändert werden: trf    4s,   1/(fg3)  8s
a
e e a
h  h  /  0.5V
 Wenn die Grenzfrequenz eines Tiefpasssystems kleiner ist als 1/(),
wird die Breite eines Trapezpulses auf 1/(fg) vergrößert. Die Höhe des
Pulses wird um den Faktor reduziert um den die Breite zunimmt.
Simulation des Ausgangspulses mit PSpice:
2-24
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Gesundheitswesen
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