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F A C H A R B E I T

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Graf - Münster - Gymnasium
Bayreuth
K o l l e g s t u f e
Jahrgang 1986/87
F A C H A R B E I T
Leistungskurs :
Mathematik
Kursleiter
:
Studiendirektor
Verfasser
:
Thomas Ziegler
Thema :
D ie
Auf
Datum der Abgabe
:
ANWENDUNG
Baumgärtel
DER
KOMPLEXEN
ZAHLEN
Sc h w i n g u n g s p r o b l e m e
16.Februar 1987
Einfache Punktzahl:
..............
Note:
..............
Unterschrift des Kursleiters:
..............................
In h a l t
Seite
Vorwort.................................
1
Grundlagen................................................ 4
2
Die Eulersche Formel...... ........................
5
2.1
Die Sinusreihe..............
6
2.2
Die Cosinusreihe.......................................... 8
2.3
Die Exponentialreihe...................................... 8
2.4
Identifikation im Komplexen...............................8
3
Harmonische Schwingungen.................................10
3.1
Zeigerdarstellung harmonischer Schwingungen............. 10
3.2
Komplexe Darstellung einer harmonischenSchwingung....... 11
3.2.1 Differentiation und Integration der
komplexen Schwingungsfunktion........................... 12
3.2.2 Geschwindigkeit und Beschleunigung der
Schwingung im Komplexen................................. 14
3.3
Reelle Schwingungsfur.ktionen in konjugiert
komplexer Darstellung.................................... 15
3.4
18
Überlagerung harmonischer Schwingungen.......
3.4.1 Überlagerung harmonischer Schwingungen
gleicher Frequenz........................................ 18
3.4.2 Überlagerung harmonischer Schwingungen
verschiedener Frequenz...................................21
3.4.3 Schwebungen.......................
22
4
Periodische Schwingungen..............
........26
4.1
Fourieranalyse periodischer Schwingungen................ 27
4.1.1 Beweis der Orthogonalitätsrelationen.................... 31
4.2
Sätze zur Fourieranalyse..........
32
4.3
Anwendung der Fourieranalyse.................
33
4.3.1 Fourieranalyse des Rechteckimpulses..................... 33
4.3.2 Fourieranalyse der Sägezahnschwingung................... 35
4.3.3 Fourieranalyse der Dreieckschwingung.................... 37
Literaturverzeichnis....................................
Erklärung....................................................... 40
3
Vorwort
Auf Schwingungen trifft man nahezu in allen Teildisziplinen der
Physik:
vor
allem in Mechanik,
Akustik,
Optik,
Elektrizitäts­
lehre und Atomphysik. Diese Vielfalt des Phänomens der Schwing­
ung motiviert zum Entwurf eines allgemeingültigen und abstrakten
Schwingungsmodells. Hierzu stellt die Mathematik mit den komple­
xen Zahlen ein hilfreiches Werkzeug
zur Verfügung,
Vergleich
besonders
zum reellen Zahlenbereich
welches
im
im Hinblick auf
Rechenaufwand und Aussagekraft entscheidende Vorteile bietet.
Das
mathematische
Instrumentarium
für
Schwingungsbetrachtungen
reicht jedoch weit über das Gebiet der komplexen Zahlen hinaus,
denn neben Grundwissen in Geometrie,
ist vor allem
Trigonometrie und Analysis
(bei der Herleitung der Eulerschen Formel und den
Fourierreihen) die Kenntnis von unendlichen Reihen erforderlich.
Um unmittelbar auf dem Wissen der Kollegstufe aufzubauen, wird
in der Facharbeit nach einer kurzen Wiederholung der als bekannt
vorausgesetzten Grundlagen die Eulersche Formel, eine fundamen­
tale Beziehung für die nachfolgenden Untersuchungen,
tet.
Für
die
Herleitung
im
zweiten
Kapitel
ist
hergelei­
zunächst
ein
kleiner Exkurs über die Taylorsche Reihenentwicklung notwendig.
Kapitel drei befaßt sich überwiegend mit der Darstellung harmo­
nischer Schwingungen und mit verschiedenen Arten der Überlager­
ung. Die theoretische Herleitung sowie die Anwendung der komple­
xen und reellen Fourieranalyse wird im Abschnitt vier behandelt,
an
dessen
Ende
die
Fourierreihen
einfacher
periodischer
Schwingungen berechnet werden.
Beim Entwurf der Facharbeit galt mein Anliegen zwei sich gegen­
überstehenden
jeden
Forderungen:
Kollegiaten
werden,
also
das
wenig unbegründet
sich
die
des
LK
Thema
Einerseits
Mathematik
ausführlich
im Raum stehen
Untersuchungen
nicht
an
sollte
die
verständlich
darstellen
lassen.
Arbeit
geschrieben
und
möglichst
Andererseits
unwesentlichen
für
sollten
Einzelheiten
aufhalten, durch die man den Gesamtüberblick und das eigentliche
Thema
aus dem Auge verliert.
Ich hoffe,
in meiner Arbeit das
richtige Verhältnis zwischen beiden Gesichtspunkten gefunden zu
haben.
Thomas Ziegler
- 4 -
1 Gr u n d l a g e n
KomplexeZahlen
lassen
sich
formal
alsLinearkombinationen
reeller Zahlen x und y auffassen:
z = x + iy
;
(1 .1 )
x,y e R
Die imaginäre Einheit i ist durch
i2 = -1
(1 .2 )
definiert. Auf der Gaußschen Zahlenebene (Abb.l) werden komplexe
Zahlen als Punkte mit den Koordinaten x und y dargestellt, wobei
x
*Re(z)der
Realteil
und
y
=
Im(z)der
Imaginärteil
der
komplexen Zahl ist.
Spiegelt man z an der reellen Achse, so erhält man die zu z kon­
jugiert komplexe Zahl
*
z
*
= x - iy
A
,
(1.3)
A
für die gilt: Reiz ) = Re(z) und Im(z ) = -Im(z).
Aus den Gleichungen (1.1) mit (1.3) folgen außerdem die Rechen­
gesetze:
ζ·ζ* = x 2 + y 2
z
+ z
z - z
=2
Re(z)
= 2i Im(z)
(1.4)
(1.5)
(1 .6 )
Komplexe Zahlen lassen sich auch in der Polarform 1
z = lzl*(cos<p + isinv>)
*
z
(1.7)
= Iz I· (cos (-<p) + isin(-^>))
darstellen, wo die Beziehungen
Izl
x = Re(z) = lz!*cos<p
(1.8)
y = Im(z) = lzl*sin<p
(1.9)
=
·/ X 2 +
y2
= ■/ ζ·ζ *
tan φ - -ϊ—
X
(1.10)
(1.11)
gelten (vgl.Abb.l).
1Häufig verwendet man hier die Abkürzung Ε(φ) = cos?) + isinp
- 5 -
Anhand der Additionstheoreme lassen sich noch folgende wichtige
Eigenschaften der trigonometrischen Summe
cos<p + isin<p herlei­
ten:
(cos<®1 + isin<pX ) · (cos# it +isin<p ) - cos (φ1 + φ 2 ) + isin(<p x + i φ )
à
cosî >1+
isin<i(>1
cos [φ^ —
ψ
2) + isin(v>1- <P2 )
cos?>2+ isin?>2
(cosφ + isinv>) n = cos(n<p) + isin(n«p)
2
"Moivre"
D ie E u l e r s c h e F o r m e l
Die drei letzten Gleichungen erinnern stark an die Rechenregeln
für Potenzen. Diese Beobachtung läßt vermuten,
cos<p + isin«p um
eine mit
den
daß es sich bei
Exponentialfunktionen
zumindest
verwandte Funktion handelt. Um die zwei Funktionsklassen -trigo­
nometrische Funktionen und Exponentialfunktionen- miteinander in
Beziehung bringen zu können, ist es folglich notwendig, beide in
eine
deln.
dritte
Funktionenklasse,
die
Dies geschieht mit Hilfe des
Verfahrens der Taylor-Entwicklung.
Polynomfunktionen,
umzuwan­
im folgenden beschriebenen
-
Die Sinusreihe
Zunächst betrachtet
6
-
2.1
man
eine
ganzrationale
Funktion
n-ten
Grades :
p
(x) = a n x n + a n - i„x n 1 + · ■· + a„x3
+ a„x2
+ a i x + an
*n
3
2
0
und ihre Ableitungen:
p η ' (x) = na xn n-i + (n-l)an - 1.x n~2 + ··· + 3 a„x2
+2 2 a„x1 + a,
3
p η ' ' (x) =* (n-l)na n x n-2 + (n-2)(n-l)a n -1,xn-3 + ··· + 6a.x
+ 2a_2
3
p π '''(x) = (n-2)(n-l)na π x n-3 + ··· + 6a,3
•
·
·
•
*
*
•
·
·
•
·
·
p <k5(x) = ... + k(k-l)(k-2).......2 ‘1 ‘a, = ■·· + k!*a,
n
p
•
•
·
·
·
·
•
•
·
·
·
·
( n) i t
(x)
η
Die
k
k
i
« η!·β
n
Koeffizienten des
p η (x) an der Stelle
Polynoms
x0 = 0
sind nun
so zu bestimmen,
daß
sowohl in Funktionswert, als auch in
allen Ableitungen mit f(x) = sin(x) übereinstimmt:
f{x„)
Ο
=
sin(O) =
0 = p η(0)
= 0
!
Ο
·
4
an=
O
0
f ’{x.)
Ο
= cos(0) =
1 = pη '(0)
= l!*a„ 1
>♦ a1 =
1
f ·' (xn
)
Ο
--sin (0) =
0 = pn '' (0)
= 2!
*♦ a2 =
0
f '' ' (xU )
= -cos (0 ) = - 1 = p Π ''' (0 )
f " 11 (xn
)
0
= sin( 0 ) =
•
•
0 = p ''' ' (0 )
n
·
·
•
·
·
·
•
2
= 3 !·a 3
a 3 = - -i-7
3 z
= 4 i*a,4
=4 a
«
4
0
·
·
·
Das gesuchte Polynom n-ten Grades lautet somit:
/
\
«
,
-
,
Λ
2
1
3,
Λ
4
1
5.
Λ
6
1
7,
P n (x) = 0 + 1·χ + 0·χ - —“ ·χ + 0 ·χ + -g-j-*x + 0·χ - -γτ'Χ +
+
0
+ -i—
·χη
η !
+
für η = 4 m
für η = 4 m + 1
··.■.
œ € IN
+
0
- -i--*xn
n !
für η = 4m + 2
für n = 4m + 3
- 7 -
Mit dieser Gleichung läßt sich sogar für jedes beliebige x der
Wert von sinx mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen, denn
wie aus Abb.2 hervorgeht,
schmiegen sich die Graphen der Poly­
nome offensichtlich mit steigendem Grad immer enger abwechselnd
von oben und von unten an den Graphen sinx an ; sie konvergieren
gegen
G f < x ).« t l n x
Der Graph
Polynome
G.,
„ ,
f C x > « si n x
p n und
Bei beliebigem
pnx
liegt
also zwischen den Graphen der zwei
3
2
giltfürdie maximale Abweichung d vom tatQl
sächlichen Wert.sin(x ) :
d s lpn (xm ) - pn Da der Grenzwert
n
2
(x
) I = -i—
· Ix
Inm
m
π
!
lim _
-> CD
· Ixm |n = 0
n!
, n > 2
und ungerade.
existiert, d.h. die Ab-
weichung bei einem über alle Grenzen wachsenden Polynomgrad ver-
2
Den Beweis hierfür liefert auch die wiederholte Integration der
für alle
t * 2nn ; n e 2
schen den Grenzen
gültigen Ungleichung
0 und x > 0.
(vgl. Keil,Kratz,Müller,Wörle: Analysis 2 , S.350)
cost < 1 zwi­
-
schwindet, gilt für alle
8
-
x e R
die unendliche Reihe:
1
i
s m x = x - ——
x + - y x5 - -yy
x7 .+ ··· =
/o 1 \
(2.1)
CO
Σ
( - 1)
_
v 2q+i
· —
(2q + 1)I
q* 0
2.2
---------
D ie c o s i n u s r e i h e
Die Taylor-Entwicklung auf cosx angewandt ergibt analog:
1
COSX « 1 - — y
.
2^
4
1
f
6^
X +
**‘ =
/λ
(2 .2 )
.
^
q-o
2.3
i
X + -yy X - - y
(2q)I
D ie E x p o n e n t i a l r e i h e
Im Unterricht wurde nach dem gleichen Verfahren bereits die Ex­
ponent ial re inenentwicklung für ex an der Stelle
xQ= 0
durchge­
führt. Es läßt sich auch hier wie bei der Sinusreihe zeigen, daß
die Aussage
CD
ex= 1 + x + -γρ x 2+ ···
=
-xq
(2.3)
q-0
für alle
2.4
x e
r
Gültigkeit hat.
I d e n t i f i k a t i o n im K o m p l e x e n
Setzt man
x *
1 + iφ β (1
'
i<p
in (2.3), so wird
—2!— φ 2- i—3 —
φ3 + —4 !—
!
i——
5 !
— — -— β>2 + — -— φ* + · · ·) + i {φ — — -—
2!
= οοεφ + isin<p
4!
3 !
■*· =
φ3 + — -— φ5 + · ■ ■) =
Β !
Es ergibt sich folgende nach Euler benannte Gleichung:
εχφ- οοεφ + i sin?
(2.4)
Die Eulersche Formel stellt -wie sich in den nächsten Kapiteln
zeigen wird- vor allem im Hinblick auf die mathematische Behand­
lung
harmonischer Schwingungen ein elementares Hilfsmittel dar;
einerseits
deshalb,
weil
für
die
Funktion
e x<i>die
gleichen
Rechenregeln gelten wie für die Exponentialfunktion im Reellen,
insbesondere aber aus dem Grund,
daß mit dieser Formel kompli­
zierte Additionstheoreme umgangen werden können.
Für eine beliebige komplexe Zahl folgt daraus:
z =
Iz I·e ^
z* =
,
{ 2 - 5)
Iz ,
I·e-i*
■k
Addition bzw.Subtraktion von z und z ergibt mit (1.5) und (1.8)
bzw.(1 .6 ) und (1.9)
z + z* = Iz I» ( e ^ + e χφ
) = 2 Re(z) = 2x = 2lzlcos?
οοεφ - -4—
z - z
e χφ ) -
* Iz I* (
-►
( ε χφ+ e x</> )
sin? - - y
(2 .6 )
2 i Im(z) = 2 iy = 2 lzlisin?
{ extp- e~x<p )
(2.7)
Aus (1.10) folgt: le^l = ■/
· e
' = ■/ e° = 1; die komplei#
xen Zahlen e
liegen demnach auf dem Einheitskreis in der Gauß­
schen Zahlenebene.
Für spätere Berechnungen seien schließlich noch die Beziehungen
e
n
T
n ...
n
= cos — + i s m — = i
(2 .8 )
TT
e
genannt.
2 = cos(- j
) + isin{- j
) = -i = y
-
3
10
-
Ha r m o n i s c h e Sc h w i n g u n g e n
"Wenn man eine gleichförmige Kreisbewegung
'von der Seite be­
trachtet
projiziert,
der
’, d.h.
sie auf eine Gerade
Kreisbahnebene
liegt,
so
(...)
erhält
man
eine
die in
harmonische
3
Schwingung."
Dieser
der
Physik
entnommenen
Definition
einer
harmonischen
Schwingung entspricht die mathematische Betrachtung eines Vek­
tors ( oder Zeigers ) vom Betrag S , der mit konstanter Winkel­
geschwindigkeit
rotiert.
beiden
Die
ω
um
den
Projektion
Koordinatenachsen
Ursprung
der
Spitze
führt
eines
des
Koordinatensystems
Vektors
dann eine
auf
eine
Sinusschwingung
der
aus.
Für die Winkelgeschwindigkeit oder auch Kreisfrequenz gilt:
Δφ
-'
ω = ----- =---- —
At
T
= 2vr· f = const. ,
(3.1)
wenn man T als Perioden- oder Schwingungsdauer und deren Rezi­
prokwert als Frequenz f definiert. Nach
hängige Winkel des
den Vektors
(3.1) kann der zeitab­
( im mathematisch positiven Sinn ) rotieren­
gegen die x-Achse
durch die
Proportionalitätskon­
stante o ausgedrückt werden: φ = cot .
Setzt man außerdem voraus,
daß der Zeiger zur Zeit t = 0 den
Nullphasenwinkel ε ( auch Phasenverschiebung genannt ) gegen die
x-Achse einnehmen soll, so folgt
φ = «t + ε
.
(3.2)
φ wird in diesem Zusammenhang auch Phase genannt.
3.1
Ze î g e r d a r s t e l l u n g h a r m o n i s c h e r S c h w i n g u n g e n
Gemäß Abb. 3 wird die
Projektion der Zeigerdrehung
auf
die y-
Achse durch die Gleichung
y(t) - S*sin<p = S*sin(wt + ε )
(3.3)
beschrieben.
3Zitat aus: Gerthsen,Kneser,Vogel : Physik; Berlin 1977, S.14
- 11
Dermaximale
Betrag
von
y(t)
T
fwelcher
mit
der
Zeigerlänge
S
identisch ist, heißt Amplitude. Geschwindigkeit und Beschleuni­
gung der projizierten Bewegung errechnet sich folgendermaßen:
3.S
Läßt
S&>cos(o>t + ε )
v(t)
= y'(t) =
(3.4)
a(t)
= y' '(t) = -Sw2sin(&)t + ε)
(3.5)
K o m p l e x e D a r s t e l l u n g einer h a r m o n i s c h e n S c h w i n g u n g
man
einen
komplexen
Vektor4
r
mit
konstanter
Winkelge­
schwindigkeit <■> um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene ro­
tieren, und projiziert seine Spitze auf die beiden Koordinaten­
achsen,
so
entstehen
eine Sinusschwingung
und
zwei
bei
Systeme
harmonischer
Schwingungen:
der Projektion auf die
Imaginärachse
die dazugehörige Cosinusschwingung bei derProjektion
auf
die reelle Achse (vgl.Abb.4).
4Um Mißverständnisse
auszuschließen,
werden
im folgenden
kom­
plexe Großen durch Unterstreichung gekennzeichnet, wie es auch
in der weiterführenden Literatur üblich ist.
- 12 -
Die komplexe Zahl r setzt sich aus ihren zeitabhängigen Kompo­
nenten zusammen:
Re ( r (t) ) = lrl*cos?>
Im( r(t)) = lrl*sin<p
Somit
kann
man
Sinus-
und
(3.6)
Cosinusschwingung
des
rotierenden
Zeigers durch Linearkombination seiner zeitabhängigen Komponen­
ten zu den komplexen Funktionen nach der Zeit
r(t)
= Re(r(t)) + i*Im{ r(t))
zusammenfassen;
= lrl*(cos<p + isin^o)
(3.7)
nach (2.4) läßt sich mithin schreiben:
r (t) = Irl·ei<p - lrl-ei(wt + c )
(3.8)
Ebenso gebräuchlich ist die äquivalente Form
I
r(t) = IIrl·
e
'der
komplexen
Schwingungsfunktion;
· ei w
das
t
zi
oi
(3.9)
Produkt
Irl*e1£
heißt
komplexe Amplitude der Schwingung.
Der
Vorteil
dieser
komplexen
Schreibweise
beruht
einerseits
darauf, daß mit der Funktion r(t) im Gegensatz zur reellen Funk­
tion y (t) aus Abschnitt 3.1 die Kreisbahn eines Puinktes r in der
Ebene
beschrieben
(v.a.in der
wird;
andererseits
Schwingungsphysik)
werden
viele
dadurch vereinfacht,
Rechnungen
indem man
sie nicht mit Sinus- und Cosinusfunktionen, sondern mit der kom­
plexen Schwingungsfunktion durchführt; erst am Ende solcher Be­
rechnungen bestimmt man Real- und Imaginärteil, da diese allein
physikalische Bedeutung haben.
3.2.1
D iff e r e n t ia tio n
u nd
I n t e g r a t io n
der
ko m plexen
S c h w in g u n g s fu n k tio n
Die Ableitungsregeln reeller
Funktionen
lassen
sich auch
auf
die komplexe Funktion z(t) = x(t) + iy(t) mit den zeitabhängigen
Parametern x(t) und y(t) übertragen.
insbesondere
(f+g) ' (x) = f'(x)+g'(x) und (c«f) ' (x) = c*f'{x)
- 13 -
Folglich wird eine
komplexe
Funktion differenziert,
indem man
Real- und Imaginärteil nach der Veränderlichen ableitet:
z'{t) * x ' (t) + iy’(t) .
Damit
lautet
die
Ableitung
der
komplexen
Schwingungsfunktion
nach der Zeit:
r '(t) * Irlcos'? + ilrlsin'? =
*
I r I (c o s ' i w t +
»
Ir I (- ü s i n ( « t + c)
*
Ir I (i 2w s i n ( w t
«
i&>· Ir I ( c o s ( w t + ε)
Zu selbigem Ergebnis
ε) +
i s i n ' (ωί + ε) ) *
+ ia>cos(Qt + ε)
) *
+ ε) + i&>cos(Qt + ε) )=
+ isin(o>t + ε) )
kommt man
auch einfacher,
indem man die
Exponentialform heranzieht:
E(t) - lE l-.i(ot + *>
■*
r'(t) = iulrl-e1 *"1 + c)
(3.10)
Der Faktor i läßt sich mit der Beziehung (2.8) in den Exponenten
aufnehmen
und
Funktion um
erhöht
^
2
den
Nullphasenwinkel
der
ursprünglichen
:
r '(t) = QlrI-e
i(<at + ε + ^ )
2
Die Integration komplexer Funktionen verläuft analog: man inte­
griert Real- und Imaginärteil.
/z(t)dt * /x(t)dt + i/y(t)dt
Daraus folgt:
/r(t)dt « /lrlcos(wt + ε)dt + i/lrlsin(«t + e ) d t =
_ [r j. sin(ot + ε)
t i |r j. -cos(ot + c)
1
*
*lrl( cos(«t + ε) + isin(&>t + ε) )
_
- 14 -
Auch
hier
wird
der
Vorteil
der
exponentiellen
Schreibweise
deutlich:
/r (t)dt * / lrl*el{ot + e)dt = -i_.
|r I-e1 {(at + c)
i G)
Wie bei der Ableitung läßt sich nach
(2.8) der Faktor
(3.11)
in den
Exponenten aufnehmen:
i(ot + c - ^ )
/r (t)dt = —
Ct)· Ir I·e
TC
Der ursprüngliche Nullphasenwinkel verringert sich um — .
Die
Ergebnisse
dieses
Abschnittes
können
auf
folgende
kurze
Formel gebracht werden:
Satz 1 : D i f f e r e n t i a t i o n der komplexen Schwingungs
funktion bedeutet M u l t i p l i k a t i o n mit ίω,
I n t e g ra t i o n D i v i s i o n durch io .
3.2.2
Geschwindigkeit u n d Beschleunigung d e r Schwingung
im
Komplexen
Leitet
man den Ortsvektor des Punktes r nach der Zeit ab, dann
erhält
man den komplexen Geschwindigkeitsvektor
i(ot + e + ^ )
y(t) = r'(t) = oIr I·e
(3.12)
mit
Re{ v(t)) «= olrlcos(ot + ε + j
)
Im{ y(t)) = olrlsin(ot + ε + ^ )
und für den Beschleunigungsvektor
y
a(t) = r ’ ' (t) = -o 2 lrl*el{a>t + e)
mit
R e { a(t)) = -o 2 lrlcos(ot + c)
Im( a(t)) = -o 2 IrIsin(ot + c)
(3.13)
- 15 -
Geschwindigkeits-
und
Beschleunigungsvektor
rotieren
demnach
auch mit der gleichen Kreisfreqenz ω und projizieren ebenfalls
harmonische Schwingungsbewegungen, allerdings mit den Amplituden
eolrI bzw. -ω2 Irl .
Es ist unschwer zu erkennen,
daß im Rückblick
Funktion y{t) aus Kapitel 3.1 mit
Im( r(t)) = y(t)
Anders
S = Irl
auf die reelle
resultiert:
, Im( v(t)) = y'(t) und Im( a(t)} = y''(t) .
augedrückt:
Die
Imaginärteile
der
Gleichungen
(3.8)
,
(3.12) und (3.13) ergeben die Gleichungen (3.3),(3.4) und (3.5).
3.3
R e e l l e S c h w i n g u n g s f u n k t i o n e n in k o n j u g i e r t k o m p l e x e r
Darstellung
In Abb.5 sind zwei konjugiert komplexe umlaufende Zeiger veran­
schaulicht. Da sie zueinander konjugiert sind, rotieren sie mit
entgegengesetzt gleicher Winkelgeschwindigkeit.
Abb. 5
Für den Summenvektor erhält man nach (2.6)
z + z** lzl*{ e x<p+ e**i?> ) * 2lzlcosv>
Die
Summe der beiden umlaufenden
Zeiger
ändert
sich also für
konstante Umlaufgeschwindigkeit gemäß der Cosinusfunktion.
Entsprechend verläuft die Differenz der beiden konjugiert kom­
plexen Zeiger zeitlich sinusförmig:
Ά ~ Ά - lzl*( e ^ -
e
) = 2ilzlsin<p
- 16 -
Umgekehrt
kann
man
nach
(2.6)
jede
reelle
Cosinusschwingung
durch Paare zueinander konjugiert komplexer Schwingungsfunktio­
nen darstellen:
C*cos (üt + c> = £ e1 “ *
+ £) + s.
2
+ c)
2
Definiert man die zeitunabhängige komplexe Zahl
C ie
ç := — e
so
Λ
läßt sich umformen:
C·cos (cot + ε) = c ,e2'il>*' + c *e
wobei
C = 2 Ici
,
Im(c)
tane = ------Re (ç)
und
(3.14)
(3.15)
Analog gilt für die Sinusschwingung:
S· sin (cot + ε) = S· cos (cot + ε - ~ ) =
«
. /
.
tt
,
. . .
7r .
s x(cot + ε - - )
—i (wt + ε — — )
= —
e
+
—
e
2
2
•
Entsprechend wird hier
mit
S = 2lsl
n
/
S xU
s := — e
V
" 7 *
gesetzt und es folgt:
S*sin(cot + ε) = s ,eXW*' + s**e
(3.16)
Im(s)
t a ^ = - -------Re (s)
(3.17)
und
Die komplexe Darstellung reeller Schwingungsfunktionen erweist
sich
insbesondere
dann
als
zweckmäßig,
wenn
diese
innerhalb
einer Rechnung multipliziert werden müssen.
folgt aus
Re(c)
--------- =
Im(c)
Ici'cose
Icl'sinc
1
=
tanc
;
(3.17) analog
Dazu ein Beispiel aus der Praxis:
In
einer
elektrischen
Schaltung
Verbraucher die Wechselspannung
herrscht
ist
der
Quelle
und
U(t) = ■/ 2 ‘Uocos (wt + δ) ;zum
Verbraucher fließt der Wechselstrom
Gesucht
zwischen
Augenblickswert
I(t) = ■/ 2 · IQcos(ot + ψ ) .
der
vom
Verbraucher
aufge­
nommenen Leistung P(t) .
Lösung:
Es gilt: P(t) * U(t)*I(t)
Hit (3.14) läßt sich umformen:
U(t) = U*eiwt + ü**e“iwt
,
wobei U = i- · / ~ 2 -U ei5
““
I(t) = I ·e1<*>t + I* •e-1Wt
«
,
V
wobei I = j / ~2"·Ι0β1ί5
Damit ist die Homentanleistung
P{t) = ( U*I*el2ù5t + U*.I*-e"2&>t ) + ( U-I* + U*-I )
Beziehung
(3.15)
ermöglicht Rückführung in die reelle Schreib­
weise :
P(t) =
=
UQ Iocos( 2ot + δ + ψ ) + U0 IQcos( δ - φ ) =
" Wechselleistung
+
Wirkleistung "
18
-
3.4
-
ÜBERLAGERUNG HARMONISCHER SCHWINGUNGEN
Entsprechend zum reellen Zahlenbereich, wo Schwingungen überla­
gert
werden,
indem
man
Schwingungsüberlagerung
sie
addiert,
geht
im
Superposition
, auch
Komplexen
genannt,
aus
die
der
Vektoraddition der komplexen Zeiger hervor.
3.4.1
ÜBERLAGERUNG HARMONISCHER SCHWINGUNGEN GLEICHER FREQUENZ
In der Gaußschen Zahlenebene rotieren zwei komplexe Zeiger r
und
r2
mit
gleicher
Frequenz
(Abb.7).
Zu
jedem
schließen die beiden Zeiger einen starren Winkel
Zeitpunkt
ein,
welcher
der Differenz ihrer Nullphasenwinkel gleich ist.
/ \ _ s A ("t +
r (t)
= A ±e
i)
v.
Die Vektoraddition von r
iE,'
* , <»>
- A , . 1<·*♦*.>
;
A,,“
Ιε, i
r
= A
;
A =
Ir
und r
(t)
+
ergibt den Zeiger r . Da ^
I
und
r 2 gleichfrequent rotieren, dreht sich auch das von ihnen aufge­
spannte Parallelogramm mit derselben Winkelgeschwindigkeit
und
ändert seine Gestalt nicht. Daraus kann man folgern, daß r 1 , r 2
und der aus der Schwingungsüberlagerung resultierende Zeiger r
gleiche
Winkelgeschwindigkeit
und
somit
auch gleiche
Frequenz
haben.
Dies läßt sich auch rechnerisch nachweisen:
χε
r (t) = r,(t) + r,(t) = ( A *e
X
2
r (t) * k - e ± C - e ±0t
I
ίε
1 + A *e
2
. .
2 )· βιω
(3.18)
r ist also betragsmäßig gleich der Summe der komplexen Amplitu­
den von
keit ω .
ri und r2
und rotiert mit gleicher Winkelgeschwindig­
- 19 -
Damit wird folgender Satz evident:
Satz 2 : Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen
beliebiger
Frequenz
Amplituden
ergibt
und
Phasen aber gleicher
stets wieder
eine
harmonische
Schwingung derselben Frequenz.
Amplitude A und Nullphasenwinkel c der entstandenen Schwingung
erhält man durch Betrachtung der Zeiger zum Zeitpunkt t = 0
—r 1 (0) = A 1 e
r2 (°) = A 2e
r
Nach dem Cosinussatz gilt:
( 0)
:
ίει
i£2
= A
A 2= A 2+ A 2- 2A1A 2c o s (tt - U 3-
Damit beträgt die gesuchte Amplitude:
A = / a 2+ A 2+ 2A A
1
2
1 2
cos
(c - ε )
2
1
(3.19)
Aus Abb.8 geht außerdem die Beziehung für den Nullphasenwinkel
der Überlagerungsschwingung hervor:
A.sins, + A,sine,
1
1
2
2
tan ε = ---------------------A, COSE,
1
1
+ A C O S E„
2
2
(3.20)
-
20
-
Beispiel:
Gesucht ist die Summenschwingung P*cos(t + rp) der beiden reellen
Funktionen f{t) = 3*sin(t + ^
)
6
und
g(t) « 5*cos(t + ) .
4
Lösung:
f(t) * 3*sin(t
+
~r )
o
3*cos(
-
~
2
~
t
-
6
= 3*cos(t - )
3
)
g(t) = 5'cos(t + ^
)
4
•IX.
n \
l(t
- )
f{t)
■R e ( f(t))
mit
f(t) = 3*e
•ix. - -n )\
i(t
g(t)
=R e ( g(t))
mit
.·
f.(t) + g(t) = ( 3*e
.P =
tan
/
n
g(t) = 5*e
\
3
·
+ 5*e
■/
32+ 52+ 30*cos(-^—
ψ
3*sin(- ~ ) + 5*sin( ~ )
* ----------------3*cos(- —
) + 5*cos( 4— )
3
1 2
%
n
4
n)
zwei
Spezialfälle
der
it
5,1 ;
-- *
Die gesuchte Summenschwingung lautet:
Folgende
)*e
0,186*4 >y% -Ï- ;
5,l*cos(t + — — ) .
1B
Überlagerung
sind
schließlich
noch erwahnenswèrt:
- Die beiden Zeiger haben gleiche Nullphasenwinkel:
ε * ε
-» A = A + A, a
c = ε —c
1 2
1 2
1 2
( größtmögliche Amplitude bei variablen Nullphasenwinkeln )
- Die beiden Zeiger haben entgegengesetzte Richtungen:
e ±~ C2 ~ z ' n
'
z £ Z , z * 0
{
und ungerade
e
,wenn
A >A
ε2
I wenn
A t < A2
( minimale Amplitude bei festen A
und A
X
phasenwinkein )
*♦
mit variablen Null2
- 21 -
3.4.2
Ü b e r l a g e r u n g h a r m o n i s c h e r Sc h w i n g u n g e n v e r s c h i e d e n e r
Fr e q u e n z
Die Überlagerung verschiedenfrequenter Schwingungen bedeutet in
der komplexen Zahlenebene Vektoraddition unterschiedlich schnell
rotierender
Zeiger.
In
vektoriell addiert,
Abb. 9
werden
die
Zeiger
r^
indem man den Anfangspunkt von r
r_2
und
auf die
2
Spitze von rt legt.
Der Summenvektor r verbindet Anfangspunkt des ersten Vektors mit
•dem
Endpunkt
rotieren
des
jetzt
zweiten
aber
mit
Vektors.
Die
verschiedener
beiden
Teilvektoren
Winkelgeschwindigkeit;
infolge dessen verändert sich auch die Gestalt des Vektordrei­
ecks ständig.
Die Länge des Summenvektors r ist folglich eine
Funktion der Zeit.
Bei der rechnerischen Behandlung des Problems setzt man der Ein­
fachheit halber
ε i= ε ^= 0
und bringt die Vektorsumme auf eine
der Gleichung (3.18) entsprechende Form:
i<u t
i<*> t
r(t) ■ A te
+ A 2e
ω — ω
—
;
(3.21)
ω + ω
1
i
+
ω — ω
i)t
r(t) = A e
-
ω - ω_
I A te
ω + ω
i
+ _
i-—
-)
t
2
*/
«
i-—
+ A.e
i
^
1 (---r(t)
i(
2»
ω - ω
*
,
)t
.
1
1 (-------+ A 2e
ω + ω
i-E(t)
±~J~2—2
r (t) - A (t ) · e 1 C{Z}. e
;
2.
ω + ω
,
1
2»
,
)t-, l(--- ---- )t
* e
'
ω + ω
i(— "h — - t
« Ait)-e
2
+ e(t))
-
22
-
Damit folgt für die zeitabhängigen Parameter des Summenvektors:
A(t) = / A* + A 2+ 2A 1 A 2cos ({g>^— g>2 ) *t)
g>
A sin(—
î
A < cos (—
tan( e(t)) =
a
*►
tan(
( 2. 22)
— G)
ω — g)
---- t)
— t) + A s i n (- —
---------- 1-------------------— t) + A 2 cos (- — 2
t)
2
A - A
ε (t)) = -----
V
— ·tan(—
G) — G)
----
t)
(3.23)
A2
Auch wenn diese Darstellung komplizierter ist als die Ausgangs­
gleichung,
so läßt sich dennoch mit ihrer Hilfe eine technisch
besonders interessante Klasse von überlagerten Schwingungen, die
Schwebungen, anschaulich deuten.
3.4.3
Sc h w e b u n g e n
Schwebungen
Schwingungen,
entstehen
deren
durch
Überlagerung
zweier
benachbart,
Kreisfrequenzen
harmonischer
d.h.
betrags­
mäßig nahezu gleich, sind. Nach (3.21) ist der Summenvektor
G) + G)
r(t) = A(t)*e
i(— h —
Sind g> und o
( mit g> > g> )
1
2
1 2
sehen ihnen die Beziehung
ω - g) «
1 2
Die
Parameter A(t)
der
Kreisfrequenzen
~ t + £(t))
benachbart,
dann besteht zwi-
G) + ω
1 2
und e(t) , deren Beträge
hervorgehen (s.(3.22)
sich also nur langsam gegenüber dem Winkel
aus der
Differenz
u.(3.23))
, ändern
ω 1+
---
g)2
t
im Argu­
- 23 -
Anschaulich entstehen Schwebungen
also aus einem Zeiger r (t) ,
ω + ω
der annähernd mit der Kreisfrequenz ------- rotiert und dessen
Länge sich erst über mehrere Umläufe hinweg merklich verändert.
Die Projektion derartiger Zeiger ergibt demzufolge Schwingungen
mit langsam an- und abschwellender Amplitude
wird
durch
Gleichung
(3.22)
beschrieben
(s.Abb.10)
und
liegt
; diese
gemäß
dem
Wertebereich der Cosinusfunktion im Intervall
IA1- A 2 I * A(t) s Aa+ A 2
denn
A
(t) «■
max
A m i,η(t) =
Diesbestätigen
1
A2 + A. für
ΙΑ1 -2 A, Ifür
,
(ω 1- ω
)*t = ζ·2π
2
(ω 1- <
a ) ·t = ζ·2« +
2
auch die Spezialfälle aus Kapitel
Gleichung (3.22)
(3.24)
stellt somit die
Hüllkurve der
Z
_
e
-,
Z
η
3.4.1
Summen-
. Die
oder
Hauptschwingung dar.
maximal wird,
vergeht zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima der Hüllkurve
die Schwebungsdauer
Ts= -Τ Γ ^ Ι Γ
1
■*
Die Differenz
(3·25>
2
f_s
1
ω — ω
-φ- - — --- —
Ts
2n
= f - f.
1 2
f2
( mit ft> f2)
gibt also -auf das Zeiger­
(3.26)
diagramm angewandt-an, wie oft pro Zeiteinheit A(t) maximal ist,
d.h. wieoft
überholt.
der
schneller
rotierende
Zeiger
den
langsameren
- 24 -
I
Schwebungen werden auch als modulierte Schwingungen bezeichnet.
Ihre Kreisfrequenz, die sogenannte Trägerfrequenz, schwankt geω + ω
i
2
--und ihre Amplitude ist
ringfügig um den Mittelwert
mit der Modulationsfrequenz
Eine
spezielle
kommenen
Gruppe
Schwebungen;
harmonischer
unter
sie
Schwingungen
gleichen Amplituden
ω - α>2
den
moduliert.
Schwebungen
entstehen
mit
die
voll­
durch Überlagerung
verschiedenen
iA 1s= λ )
sind
zweier
Frequenzen
aber
und Nullphasenwinkeln. Setzt man
wie in (3.21) an, dann ist
iö t
r(t) » A e
ΐω t
+ A^ e
ω — ω
,
r(t) = A±e
.,ι
2
;
ω + ω
1(--- 3-----+-
2..
à----] t , ,
+ A te
ω — ω
·
1
2
x.
!-----t
Γ
r (t) * Α χ *
1
e
-i-
ω - ω
1
2.
ω + ω
1(------3-----+---
ω — ω
1
. Ί
---2 t
]
+ e
·.
i
1
i-
;
ω + ω
1
2.
---t
· e
ω - ω
i—
r (t) * 2A1cos{ — —— - t ) · e
2. .
3--
;
ω + ω
t
(3.27)
Die Hüllkurve der vollkommenen Schwebung ergibt wieder eine harω - ω
1
2
monxsche Schwingung 2A1cos( ----1) ,in deren Extrema sich
die
Amplituden
deren
addieren
Nullstellen
sich
( kon struktive
die
{ d e s t r u k t iv e I n t e r f e r e n z ) .
Amplituden
Interferenz
vollständig
)
und
in
auslöschen
- 25 -
Beispiel:
Aus zwei harmonischen Schwingungen soll durch Überlagerung eine
Schwebung mit der Trägerfrequenz
fT= 2,5 s~1
erzeugt werden;
die Amplitude der Schwebung schwankt zwischen 1 und 3 und ist
mit der Modulationsfrequenz
fm= 0,5 s”1 moduliert. Um welche
zwei harmonischen Schwingungen handelt es sich ?
Lösung:
fBl « 0,5 s_1
-4
ω n = 2n.f Bl= 3,1 s" 1
fT = 2,5 s 1
*4
ωT » 2π·f
= 15,7 s 1
T
1 )
II)
ωι"
ω + ω
ωτ= — ~
3' 1 s_i
-4 ω * 17,25 s
= 15,7 s"1
_.
_1
; ω = 14,15 s
.
«■
I )
II)
A 1+ 2 Α_= 3
IA 1-
A2. I= 1
f
J
**
1 . F a l l : A 1-
22 ; A - 1
für .A 1> 2A.
2 . Fall: A 1=
12 ; A = 2
für A 1 < 2A
Die Schwebung kann also durch folgende zwei Überlagerungen er­
zeugt werden:
2*sin( 17/25 s~ 1 · t ) + sin{ 14,15 s” 1 · t )
s.Abb.12
oder
sin( 17,25 s~1 · t ) + 2*sin( 14,15 s ί · t )
s.Abb.13
- 26 -
4-
Periodische Schwingungen
Schwingungsfunktionen, deren Verlauf
Zeit T
sich nach
einer gewissen
(exakt) wiederholt, heißen periodische Schwingungen. Für
derartige periodische Schwingungen gilt folglich die Beziehung
f(t) = f(t + T)
,
(4.1)
welche besagt, daß die Schwingungsfunktion f zu zwei beliebigen
Zeitpunkten,
zwischen
Wertannimmt. Wie
auch
denen
die
Zeit T vergeht,
den gleichen
bei den harmonischen Schwingungen spricht man
hier
frequenz
vonder
Periodendauer
T
und
der
Kreis2n
ω *= — ψ - . Ihre Amplitude ist der halbe Abstand zwi­
schen maximalem und minimalem Funktionswert, also
a Periodische
2
(fm a x - fm i,)
.
π
Schwingungen haben
Sägezahnschwingungen
(Abb.14)
beispielsweise
, sie entstehen
(4.2)
die
aber
Gestalt von
auch durch
Überlagerung verschiedenfrequenter harmonischer Schwingungen un­
gleicher Amplituden (Abb.15) .
f(t)
- 27 -
4.1
Fourieranalyse periodischer Schwingungen
Abb.15 zeigt, wie eine periodische Schwingung durch Überlager­
ung
zweier
Bapiste
gegebener
Fourier
Sinusschwingungen
stellte
(neben
Euler)
erzeugt
wird.
umgekehrt
die
Jean
Frage,
welche Sinusschwingungen für die Erzeugung einer gegebenen peri­
odischen Schwingung überlagert werden müssen. Der nach ihm be­
nannte
Satz besagt, daß sich jeder periodische Vorgang der Peri­
odendauer T
nischen
in eine -im allgemeinen unendliche- Summe von harmo­
Teilschwingungen
zerlegen
läßt,
ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
deren
Kreisfrequenzen
2 tc
ω = — ψ-
sind:
f(t) = aQ+ alcosot + a2cos2o>t + a3cos3<at + ·■*
+ b, sinut + b„sin2ot + b,sin3cit + ■·· =
1
2
3
<4-3>
00
= a + ) ( a cosncot + b sinnot )
o
Z_i
n
n
;
n e [N
η· 1
Der Summand mit der Kreisfrequenz ω heißt Grundschwingung , die
übrigen mit ganzzahligen Vielfachen von ω werden
ungen genannt.
Das mathematische Problem,
komplexen Zahlen ein hilfreiches
F o u r ie r k o e ff iz ie n t e n ,
zu dessen Lösung die
Instrument
d.h.
Oberschwing­
sind,
darin,
die
und b Π
, zu finden, durch welche f(t) erzeugt wird.
besteht nun
geeignete Amplituden
aR
Mit den Gleichungen (2.6) und (2.7) kann der allgemeine Summand
von (4.3) in die komplexe Schreibweise übergeführt werden:
a cosn<ot + b sinnot =
π
n
i , inot . -inwt . . .
i , inwt
-ino>t ,
= a n · —2 ( e
+e
) + b n · — 2—i ( e
- e
) =
- i- ( a - ib
2
η
n
)-einut
+
i. (a + ib
2
π
n
)-e-inut
28
-
Definiert man anschließend die komplexe Zahl
ç
a
o
:*= ■<
n
wobei
— ( a - ib )
^
2
η
n
a = 2*Re(c )
n
— η
und
für n
= 0
mit
für n
> 0
,
b = ~2*Im(c )
n
*
c
:= 0
—o
, so ergibt sich die
komplexe Form des allgemeinen Summanden:
a cosnot + b sinnot =
η
n
c
— η
einwt +
c e inwt
,
n
n z 0
Es handelt sich also wieder um ein Paar zueinander konjugiert
komplexer Schwingungsfunktionen. Folglich kann man anstatt (4.3)
auch
00
£(t> = Y
( Ç n eirwt
+
ç* e'1""1 )
(4.4)
n« 0
schreiben . Die Unbekannten sind jetzt die komplexen Zahlen
und heißen komplexe F o u r i e r k o e f f i z i e n t e n .
Um diese zu bestimmen, greift man auf eine wichtige Beziehung,
die sogenannten Or th ogo na litätsrelationen,
• , a.
.
Γ Ο
f einot · e -îinwt at
.. =
_
p
[T
fur
m * η
für
m « n
iw
m,n e I
N
zurück, wobei m und n natürliche Zahlen sind.
Y
An dieser Stelle sei nochmals darauf hingewiesen,
daß es sich
hier um eine reellwertige Summe handelt, da auf die reellwerti­
gen Sinus- und Cosinusglieder nur die in Kapitel 3.3 beschrie­
bene Umformung angewandt wurde !
- 29 -
Multipliziert man nämlich (4.4) mit
schließend über das Intervall
e ^Inc*>t
[ 0 ; T ]
und integriert an­
nach t , also
00
i ( t / * e - im o t
= V>
=
f
/
■
(/ c„ e i n o t e -imcat +. c *e - i n o t e -im<at .)
-n
-n
n- 0
und
T
T
} f i t ) · . - 1™ * d t -
00
I
0
[ £
( £jie i n " V im" t +
,j et
n* 0
0
s o e r h ä l t man nach Umformung:
T
00
J f ( t t e '^ d t
0
T
“Σ
T
[ £„ J ein" V i,n“ tat + ^
η·0
O
j . - in“ V
im“ tat 1
0
Da nach den Orthogonalitätsrelationen alle Integrale der rechten
Seite dieser Gleichung für
m * n
gleich Null sind und nur der­
jenige Summand übrigbleibt, für den
m = n
gilt, verkürzt sich
die unendliche Reihe zu
T
Γ £ ,x.V -imwt ,.
_
I f (t )·e
dt = ç n · T
o
Da ja
m = n
ist, sind die komplexen Fourierkoeffizienten mit
der Gleichung
T
ç n=
j f (t )-e
o
e i n d e u t i g bestimmbar.
~ x n o t
dt
;
n i 0
(4. 5)
■ 30 -
Mit der Eulerschen Formel läßt sich das Integral
(4.5) aufspal­
ten, also
c = —T — Jf f (t) cos (-not) dt
—n
+
i· —Ti —
Unmittelbar aus der Definition von —c n
f f (t) sin (-not) dt
j
leiten sich die reellen
Fourierkoeffizienten ab:
a n = 2 Re(c
)
—n
T
■
4
a n=
J f( t)*cosnwt dt
o
;
n > 0
(4.6)
;
n >0
(4.7)
analog
b n = -2 Im(c
)
—n
T
b n = —~1
fJ f(t)*sinno>t
0
dt
T
Dabei ist laut Definition das Glied
aQ= c^® —
J f(t)*e° dt ,
o
T
also
aQ= -φ- J f(t) dt
;
n
« 0
(4.8)
o
offenbar identisch mit dem
während einer Periode.
arithmetischen Mittelwert von
f(t)
- 31 -
4.1.1
Beweis der Orthogonautätsrelationen
Im Gegensatz zur reellen Schreibweise lassen
gonalitätsrelationen
im Komplexen
schnell
sich
und
die
Ortho­
anschaulich
be­
weisen:
T
m,n e M 4
Zu zeigen: wenn
r
Je
innl-
· e
— imot·
f 0
dt = [T
fÜr m * n
für m = n
1 .Fall:
T
+
m * n
T
j e'*'inc,>t· e
dt *=■
0
T
J
e° dt =
0
J
1 dt
= T ;q . e . d .
0
2.Fall:
T
«
- «
m *
n
T
f je
^
.. =_ r
· e -imwt dt
0
« Γ
I
o
1
i(n
i(n-m)wt
.. =_
e
dt
ei(n-m)«t 1T β
JQ
- m) o
------- 1---i(n - m) o
1
i(n - m)cj
Γ ei(n“in)*27r - 1 1
;
j
Da die Differenz
n - m
laut Voraussetzung wieder eine ganze
Zahl ist, vereinfacht sich der Term zu
-----i(n - ιη)ω
f ßi(n-m)ωΤ _ χ Ί =
*
( 1 - 1 ) » Ο
;
q.e.d.
- 32 -
4.2
S ä t z e z u r F o u r i e r an a l y s e
Nicht nur die Funktion f(t), sondern auch sinnot und cosnwt so­
wie e ln0)t sind periodisch mit der Zeit T , denn
sin(n&>(t + T) ) = sin{n —
2n
(t + T) ) = sin(nwt + 2πη) =* sinnest
cos(n«(t + T) ) = cos(n —
(t + T)) = cos(n<^t + 2πη) = cosnwt
und
2n
- i n
—
e-in<a(t + T) = e -inwt · e
·
Φ
T
= e- m ö t
Daraus folgt, daß auch die Integranden der Gleichungen (4.5) bis
(4.8)
T-periodisch sein müssen.
Deshalb können auch die Inte­
grale über ein beliebig liegendes Zeitintervall der Länge T
also von einem beliebigem Zeitpunkt tQ bis zu
t + T
,
erstreckt
werden, und sind demnach unabhängig von tQ . Besonders das Inte-
T
grationsintervall
T
.
- — bis + — bringt häufig Rechenvorteile.
Â
&
Schließlich seien noch folgende Sätze zur Fourieranalyse symme­
trischer Funktionen erwähnt:
Satz 3 : Ist f {t } eine gerade Funktion, d.h. wenn
f{t) = f(-t)
, dann ist
b n= 0
für alle n e IN
T /2
a =
n
T
· f f (t) *cosno)t dt
J
für alle n e IN
0
T /2
«O- Γ
-I
fit) «it
für n = 0
o
Begründung: Wenn f(t) gerade
muß
die
(d.h. achsensymmetrisch)
Integrandenfunktion von Gleichung
Produkt aus der geraden Funktion f(t)
(4.7)
ist, dann
, die
ja
ein
und der ungeraden Sinus­
funktion darstellt, ihrerseits ungerade sein.
- 33 t
Wählt man das Integrationsintervall
[ ” 7
' + 7 ] ' so hebt
sich das Integral dieser ungeraden Funktion auf und sein Betrag
ist
für
alle
n
e
ΒΊ
gleich
Null.
Indes
f(t)cosnöt , also der Integrand von Gleichung
ist
das
(4.6)
Produkt
, eine ge­
rade Funktion; daraus folgt;
T /2
J
0
f(t)cosn&>t dt
J
=
o
-T / 2
+T/2
also
j
f(t)cosnot dt
T/2
fitjcosnwt dt
=
2·|
-T/2
f(t)cosno>t dt
;
n e 9Ί
o
Ferner gilt:
Satz 4 : Ist
f(t) ungerade,d.h.
a =
f(-t) = -f(t)
0
η
,so gilt:
für alle
n
e IN
für alle
n
e IN
O
T/2
b n=
T
tr J* f f{t)sinnwt dt
0
Die Begründung verläuft hier analog.
4.3
4.3.1
Anwendung der Fourieranalyse
F o u r i e r a n a l y s e d e s Re c h t e c k i m p u l s e s
Abb.16 stellt den Graphen eines
T -
Periodendauer
2n
(
Rechteckimpulses dar,
Einheit beispielsweise
durch die Funktionsgleichung
A
für t e
[ 0 ; + I ]
f(t) - „ -A
für alle
t e R
für t e £ -
; 0 J
periodisch festgelegt ist.
ms
der die
) hat und
- 34 -
f ist ungerade; deshalb können nach Satz 4 alle a
gleich Null
Π
gesetzt werden. Gemäß dieses Satzes errechnen sich die übrigen
Fourierkoeffizienten:
T/2
t
T
J
t
o
'
(-cosn‘
0
Das
J
t
Γ -
1
L
ηω
/2
=
Jo
o
= “ES?”
=
t
· f sinnot dt = —■~
b = -■ · f A sinnot dt =
n
/2
* “f“ + 1 > “ -HF" '( - o os nn + 1 ) =
, wenn n gerade
4A
——
, wenn n ungerade
bedeutet,
es
entfallen
nicht
nur
alle
Cosinusglieder,
sondern auch sämtliche geradzahlige Sinusglieder;
übrig bleibt
die trigonometrische Reihe
f(t) = b 1 sin«t3 + b s i n 3 w t + b5 sinöot + ··· =
4A
■ — —
4A
sxnot + -2 n - sin3«t + —
sin5ot + ·■·
;
· ( sinot + 3— sin3a>t
+ — sin5&)t + · ■· )
5
;
1
f (t) = — n
—
4Ä
i
Die ersten drei Fourierpolynome zu f haben folgende Gestalt:
- 35 -
Han erkennt aus Abb.17 deutlich,
daß die Fourierpolynome
mit steigendem Grad immer enger an G f anschmiegen;
sich
sie konver­
gieren gegen G f .
4.3.2
Fourier a n a l y s e d e r Sä g e z a h n s c h w i n g u n g
Die Sägezahnschwingung (Abb.18) ist gegeben durch die Gleichung
f(t) = k*t
odendauer
frequenz
;
k e K
T = 2n
ω = 1
; sie verläuft periodisch mit der Peri­
( Einheit beispielsweise s ) und der Kreis-'
( Einheit beispielsweise s~1 ).
Für die Bestimmung der reellen
auch
der Weg über
werden,
nach
die
da das Integral
T
+ —
Fourierkoeffizienten kann hier
komplexe
(4.5)
C =
1
T
k
beschritten
T
im Integrationsintervall von - —
2
relativ einfach zu bestimmen ist
+T /2
—n
Fourieranalyse
8
.
+7Ï
. fk-t e - iTiat dt
-
J
-T/2
Γ
-int
= Tï--Le
L
8 allgemein gilt
,
-I—
· f t e ~ int dt
2W
t
=
J
-71
1
λ Y n
* ‘ =Ι5Γ- + —n r > JJ 7„T "
/x e“ x dx
=
em x · ( — - — i—
m
2
m
)
; m * 0
36
= —k
2π
. η
1 .
Λίηπ * ,
· Γ e -ίηπ · {
— :— + --) - e
( — π:
-in
2
m
η
= ■k
2τϊ
, -inw +. e ΐηπ )
. = i.· -V-—
k
· —ft
ξ— · ( e
—m
2η
*♦
1 .) ' =
+, --„2
η
· Λ
2 cosnTT
Γ Ο + i · .—
,wenn
c= Ο + i · — cosnw = ί
n k
n
n
iN O + i * (— —n ) ,wenn
;
η gerade
n ungerade
Offenbar besitzen sämtliche komplexe Fourierkoeffizienten von f
keine
Realteile.
Daraus
folgt
für
die
reellen
Fourierkoeffi­
zienten :
a » 2*Re(c ) = 0
η
~n
für alle
Γ - —
b n = -2*Im(c)=-{
Y
— n
, 2 k
+ —n
n e INO
,wenn n gerade
n e fl
.
,wenn n ungerade
Dieses Ergfîbnis bestätigt den Satz 4 , denn
eine ungerade Funktion.
f(t)
= k*t
Man erhält für die Fourierreihe von f :
f(t) « 2k*sincJt - k'sin2<i>t + ^ k ’sin3cot - zr k*sin4c>>t + ■··
f(t) = 2k· { sint - zr
sin2t + zr
sin3t - 47 - sin4t + ··· )
2
3
an G
f
zeigt
:
die
Konvergenz
;
À
•5
Abb.19
ist
der
ersten
drei
;
Fourierpolynome
- 37 -
4.3.3
Fourieranalyse der Dreieckschwingung
Eine Dreieckschwingung sei gegeben durch f{t)
Einfachheit
halber
wählt
[ 0 ; 2tc [
, also
T = 2n
man
für
ihre
«
Periode
(Einheit z.B. s) und
Irr - tl
das
; der
Intervall
ω = 1
( s 1 ).
->· t
Da f ( t ) einegerade
Funktion
ist,
folgt
aus
Satz
für
alle n e IN+
für
alle n e IN+ ;
3 für
ihre
Fourierkoeffizienten:
b = 0
n
T/2
a a i. .
n
T
f |rr- tl*cosnwtdt
J
n * 0
o
Auf die Betragszeichen kann verzichtet werden,
da das Argument
des Betrages im Integrationsintervall ohnehin positiv ist, also:
rr
a n* 7
J
*
η
“ t) cosnt dt =
7 *
[ W*Jcosnt
o
o
Durch Integration
·.-
9
I·
allgemein ist
π
9
dt - J tcosnt dt
j
o
erhält man:
[ A
—
♦
sinnt ];
1
x
/(x*cosnx) dx = — - cosnx + —-— sinnx
n2
n
;
]-
n * 0
38
-
2
---—
·
Γ
1
t
— - cosnt + — —
L n
η
Jo
1 = — ^ —
■>
»n
n
0
I"
sinnt
· f —— - cosnw -
s -
-
· { 1 - cosnw ) =
»wenn n gerade
n x 0
“ I
4
--------
<·
Der
,wenn
n
ungerade
7m
Sununand aQ
, der identisch
ist mit dem Mittelwert
von
während einer Periode und gesondert betrachtet werden muß,
f
er­
rechnet sich gemäß Satz 3 :
t/2
ao'
■
Tr
f -J <* - t> dt -
£ ·|
0
=
Die
1
—
77
·
2
( n
- t) dt =
n
; · [ *t - -f— ]
=
0
/
(
'
„2
77 —
Fourierreihe
TC2
t
_
)
=
2
der
77
----2
gegebenen
;
'
Dreieckschwingung
lautet
dem­
nach:
f (t) =
w + % cost + — 7—
2
n
3 77
Abb.21 verdeutlicht die
cos3t + — 7—
5 77
cos5t +
zunehmende Annäherung der
Fourierpolynome an den Graphen G f :
ersten drei
- 39 Literaturverzeichnis
Baierlein,
Barth,
Greifenegger, Krumbacher
;
Anschauliche
Analysis 2, Leistungskurs ; München 1984
Barner,M., Flohr,F.
Dittmann,H.
; Analysis 1 ; Berlin 1983
; Komplexe Zahlen ; München 1974
Gerthsen, F.neser, Vogel ; Physik ; Berlin 1977
Kästner,G.
;
Einführung
in
die
Mathematik
für
Naturwissen­
schaftler ; Mannheim 1968
Keil, Kratz, Müller, Wörle ; Analysis 2 ; München 1976
Lippmann,H.
Magnus,K,
; Schwingungslehre ; Mannheim 1968
; Schwingungen ; Stuttgart 1961
Meschkowski,H.
; Unendliche Reihen ; Mannheim 1962
Meyer,E., Guicking,D. ; Schwingungslehre ; Braunschweig 1974
Projektgruppe Mathematik ; Fourierreihen ; Tübingen 1979
Studienbücherei
Autorenkollektiv
;
Mathematische Hilfsmittel
Berlin 1974
Telefunken GmbH ; Telefunken Laborbuch, Band 2 ;
Ulm / Donau 1961
;
- 40 -
Er k l ä r u n g
Ich
erkläre,
daß
ich die
Facharbeit
ohne
fremde
Hilfe
ange­
fertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen
und Hilfsmittel benützt habe.
Eckersdorf, den ............
-.............
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