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Blatt 03

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Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marco Sobiech M. Sc.
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2014/2015
Abgabe bis Dienstag, 28.10.2014, 14:00 Uhr
¨
Einwurf in die Kasten
im Mathefoyer
Lineare Algebra I
¨
Ubungsblatt
3
Aufgabe 9 (Lineare Gleichungssysteme).
geben Sie dabei die L¨osungsmenge an:

x1 + x2




x2 + x3

x3 + x4
(a)


x + x2
+ x4


 1
x1 − x2
+ x4

 7x1 − 4x2 − 2x3 +
(b) 2x1 − 5x2 − x3 −

x1 + 2x2
+

4x1 + 5x2 + 5x3 =




 2x1 + 3x2 + 4x3 =
(c) 3x1 + 5x2 + 5x3 =


x + 2x2 + 2x3 =


 1
5x1 + 6x2 + 6x3 =
L¨osen Sie die folgenden drei reellen linearen Gleichungssysteme und
+ x5
− x5
= 9
= 7
= 5
= 12
= 2
20x4 = −3
2x4 = −3
8x4 =
3
5
0
0
−1
7
Aufgabe 10 (L¨osbarkeit linearer Gleichungssysteme). Entscheiden Sie, ob die folgenden reellen linearen Gleichungssysteme genau eine, mehrere oder keine L¨osungen haben. Geben Sie jeweils die L¨osungsmenge an.

x1
+ x3
+ x5
= −1




x2
+ x4 − x5
=
0

+ 2x3 + x4
=
0
(a) x1


x
+
x
+
2x
+
x
+
2x
+
x
=
−2

1
2
3
4
5
6


x1
− x3
+ x5 + x6 =
0

x1 + x2 + x3 + x4 = 10



x1 + x2 + x3 − x4 =
2
(b)
x
+
x
+
x
=
6

1
2
3


x1 − x2
− x4 = −5

− 2x4 = 20
 5x1 + 4x2
(c) 2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 17

x1 + x2 − x3 − x4 = 1
Aufgabe 11 (Lineares Gleichungssystem mit Parameter). Wir betrachten das folgende reelle lineare Gleichungssystem mit einem Parameter c ∈ R:
x1 + (c + 1)x2 + cx3 +
x4
= 2
x1 +
cx2
+
x4
= 1
2x1 +
cx2
− x3 + (c2 + 1)x4 = 3
F¨ur welche c ∈ R ist es l¨osbar? Bestimmen Sie im Fall der L¨osbarkeit die L¨osungsmenge des linearen Gleichungssystems.
Aufgabe 12 (Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme). Beweisen Sie mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsalgorithmus, dass ein homogenes lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten
stets eine nicht-triviale L¨osung besitzt. Zeigen Sie weiter mit Hilfe eines Gegenbeispiels, dass dies f¨ur inhomogene lineare Gleichungssysteme nicht mehr gilt.
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Bildung
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