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47,03 KB - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

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Universität Stuttgart
1. Institut für Theoretische Physik
Dr. Holger Cartarius
Übungen zur Vorlesung „Einführung in relativistische Quantenfeldtheorien”
Wintersemester 2014/15
Übungsblatt 1
Ausgabe:
Dienstag, 14. Oktober 2014
Besprechung: Übungsstunde in der KW 43 (2. Vorlesungswoche)
Aufgabe 1: Maxwell-Gleichungen
Zu einer kovarianten Formulierung der Elektrodynamik gelangt man, wenn man den Feldstärketensor Fαβ und den Viererstrom J α ,
Fαβ



0
Ex
Ey
Ez
−E

0
−B
B

x
z
y 
=
 ,
−Ey
Bz
0
−Bx 
−Ez −By Bx
0

cρ
j 
 
Jα =  x ,
 jy 
jz
mit den elektrischen und magnetischen Feldern E und B, der Ladungsdichte ρ und der Stromdichte
j einführt. Der duale Feldstärketensor ist
1
F˜ αβ = ǫαβγδ Fγδ
2


0 −Bx −By −Bz
B
0
Ez −Ey 
 x

=

By −Ez
0
Ex 
Bz Ey −Ex
0
mit dem vollständig antisymmetrischen Pseudotensor ǫαβγδ .
a) Zeigen Sie, dass sich die Gleichungen
F˜ αβ ,α = 0 ,
F αβ ,α =
4π β
J ,
c
wobei das Komma eine Ableitung symbolisiert (F αβ ,γ = ∂γ F αβ ), in die vier Maxwell-Gleichungen
der nicht-kovarianten Schreibweise umschreiben lassen.
(2 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass J α ,α = 0 gilt und dies der Ladungserhaltung entspricht.
(1 Punkt)
c) Das Viererpotential Aα = (Φ, Ax , Ay , Az )T führt über F αβ = Aβ,α − Aα,β auf die elektrischen
und magnetischen Felder. Geben Sie an, wie sich E und B aus Φ und A ergeben. (1 Punkt)
d) Zeigen Sie, dass Fαβ die Maxwell-Gleichungen genau dann erfüllt, falls
Aα,µ ,µ − Aµ ,µ ,α =
gilt.
4π α
J
c
(1 Punkt)
e) Zeigen Sie, dass Fαβ unter der Transformation A′ α = Aα −∂ α Λ(xβ ) mit einer beliebigen Funktion
Λ invariant ist.
(1 Punkt)
1
Aufgabe 2: Kontinuitätsgleichung für die Klein-Gordon-Gleichung
Die Klein-Gordon-Gleichung für ein freies Teilchen lautet
∂µ ∂ µ +
mc
2
ψ=0.
(1a)
ψ∗ = 0 .
(1b)
Die dazu konjugiert-komplexe Gleichung ist
∂µ ∂ µ +
mc
2
In dieser Aufgabe suchen wir nach einer sinnvollen Definition für die Wahrscheinlichkeitsdichte und
decken ein Interpretationsproblem auf.
a) Bilden Sie eine Gleichung aus
i
[ψ ∗ (1a) − ψ(1b)]
(2)
2m
und zeigen Sie, dass sie auf die Form ∂µ j µ gebracht werden kann. Identifizieren Sie in dieser
analog zur nichtrelativistischen Quantenmechanik eine Wahrscheinlichkeitsdichte ρ und einen
Wahrscheinlichkeitsstrom j. Was fällt im Vergleich zur nichtrelativistischen Quantenmechanik
auf? Welches Problem entsteht daraus?
(2 Punkte)
b) Begründen Sie, warum |ψ|2 nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann.
(1 Punkt)
c) Zeigen Sie, dass die Funktionen
fk (r, t) =
1
(2π)3/2
c −ikµ xµ
e
2ωk
mit k0 = ωk /c = (mc/ )2 + k2 Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung sind und dass sie die
Orthonormierungsbedingungen
↔
d3 r fk∗ (r, t)i ∂ ct fk′ (r, t) = δ(k − k′ ) ,
↔
d3 r fk (r, t)i ∂ ct fk′ (r, t) = 0 ,
↔
d3 r fk∗ (r, t)i ∂ ct fk∗′ (r, t) = 0
↔
mit dem Ableitungsoperator a ∂ ct b = a∂ct b − (∂ct a)b erfüllen.
(2 Punkte)
d) Mit den Basisfunktionen fk (r, t) lassen sich alle Lösungen positiver und negativer Energie der
Klein-Gordon-Gleichung schreiben als
ψ(r, t) =
d3 k [ak fk (r, t) + c∗k fk∗ (r, t)] ,
wobei die Entwicklungskoeffizienten ak und c∗k eingeführt wurden. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit d3 r ρ(r, t) ausgedrückt durch die Koeffizienten an. Was fällt in dieser Darstellung deutlich
auf?
(2 Punkte)
2
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