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Experimentalphysik VI - Henri Menke Online

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Prof. Dr. Peter Michler, Universität Stuttgart
Fortgeschrittene Molekül- und Festkörperphysik
Stuttgart, Wintersemester 2014 / 2015
Revision: 18. November 2014
Für Hinweise auf Druckfehler und Kommentare jeder Art bin ich dankbar.1
1
Henri Menke, henrimenke@gmail.com
Übertragung in LATEX durch Henri Menke, Michael Schmid, Marcel Klett und Jan Schnabel.
Dieses Werk ist unter einer Creative Commons Lizenz vom Typ Namensnennung - Nichtkommerziell - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland zugänglich. Um
eine Kopie dieser Lizenz einzusehen, konsultieren Sie http://creativecommons.org/
licenses/by-nc-sa/3.0/de/ oder wenden Sie sich brieflich an Creative Commons, 444
Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
8.4
8.5
8.6
8.7
9
Die effektive Massennäherung 1
Löcher 4
Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung 6
Elektronen im Magnetfeld 7
8.7.1 Zyklotronresonanz 8
8.7.2 Landau-Niveaus 10
8.7.3 Zustandsdichte im Magnetfeld 12
8.7.4 Hall-Effekt 12
8.7.5 Quanten-Hall-Effekt 14
Halbleiter 17
9.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter 18
9.2 Vergleich: Direkte und indirekte Halbleiter 19
9.3 Undotierte Halbleiter 20
9.4 Dotierte Halbleiter 22
9.5 Leitfähigkeit und Beweglichkeit 24
9.6 Inhomogene Halbleiter 25
9.6.1 p-n-Übergang 26
9.6.2 Metall-Halbleiter-Kontakt 32
9.6.3 Halbleiter-Heterostrukturen 33
9.6.4 Bauelemente basierend auf einem p-n-Übergang 34
10 Supraleiter 37
10.1 Grundphänomene 37
10.2 Grundkenntnisse über Supraleitung 39
10.3 Londonsche Gleichungen 41
10.4 Cooper-Paare und BCS-Theorie 42
A Zusammenfassungen 45
A.1 Effektive Masse 45
A.2 Halbleiter 46
ExPhys6
iii
Inhaltsverzeichnis
8.4 Die effektive Massennäherung
Wir nehmen im Folgenden die Elektronen im Festkörper als Materiewellenpakete mit Wellenvektoren aus der nächsten Umgebung von k an. Die Wellenfunktion lautet dann
k+∆k/2
c(k)uk (r)ei(k·r−En (k)t/ ) ,
ψn (r, t) =
k−∆k/2
mit der Gruppengeschwindigkeit
1 dE(k)
dω(k)
=
.
dk
dk
v g (k) =
(8.15)
Diese spiegelt den Einfluss des Kristalls über die Dispersionsrelation E(k), d.h. die Bandstruktur wieder.
Andererseits ist der Energieübertrag dE(k) in einem Feld gegeben durch
dE(k) = F · dr = F · v dt
(8.16)
mit (8.15) folgt
dk
=F
dt
(8.17)
Nun lässt sich die Bewegungsgleichung für k-Vektoren im Impulsraum aus (8.15) ableiten:
1 d2 E
2 dk2
dv g
=
dt
2
⇒ F=
d2 E
dk2
·
F
dv g
dt
(8.18)
Die Gleichung (8.18) hat die Form des zweiten Newtonschen Gesetzes. Damit definieren wir
die effektive Masse m∗ :
2
m∗ =
d2 E
dk2
(8.19)
Die effektive Masse ist proportional zur Krümmung des Energiebandes. Die Definition lässt
sich erweitern auf anisotrope Energieflächen:
1
1 ∂2E
∗ =
2 ∂k ∂k
mij
i
j
(8.20)
Falls die Energieflächen Paraboloide sind folgt, dass m∗ konstant ist. Paraboloide erhält man
auch bei der Lösung der simplizierten2 Schrödingergleichung:
2
2mi∗
∇2i + E ψ = 0.
In mi∗ ist die Wirkung des periodischen Potentials bereits enthalten, da
k2i
2mi∗
2
En,i =
2
(8.21)
kein Potential
2014-10-14
1
8.4 | Die effektive Massennäherung
E
k
m∗
π /a k
1
...
Einige Zahlenwerte für m∗ /m:
Cu, Au, Ag ≈ 1
Alkalimetalle ≈ 0.85–1.1
Pl, Ni, Fe, Co ≈ 10
Ge, Si ≈ 0.1–0.4
InSb ≈ 0.014
Bemerkung: Für große Wellenvektoren k sind Abweichungen zu erwarten.
1. Bemerkung
1. m∗ ist groß, wenn die Krümmung klein ist. Merke: Ist die Krümmung
klein, dann ist das Band schmal und somit die Austauschwechselwirkung klein,
also die e− sind nahe am Atom. Dies führt zu großer Trägheit, also ist m∗ groß.
Diskussion: Eine Kraft (z.B. ein elektrisches Feld) führt zu einer Zunahme von k (dk =
1
eE dt). Dies treibt die Elektronen näher in den Bereich von π /a wo Braggreflexion
1
stattfindet (k = 2 G100 ). Daraus resultiert eine Impulszunahme in Gegenrichtung und
∗
m wird negativ!
In einem konstanten äußeren Feld E würde ein Festkörperelektron somit eine permanente Pendelbewegung ausführen.
Erfahrung: Es fließt ein Strom gegeben durch die mittlere Bewegung der e− in Feldrichtung.
Ursache: Streuung der e− an Phononen und Gitterfehlern.
k-Zuwachs auf kleinen Wert kstationär beschränkt.
2
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Inhaltsverzeichnis
E
G
−π /a
2
π /a
k
...
e− bei kleinen k (teilgefüllte Bänder)
Volle Bänder kein Strom
2. Bemerkung Pendelbewegung bzw. Blochoszillation (Abbildung 2)
Die Bewegungsgleichung lautet
dk
= eE.
dt
Für die Bewegung des Elektrons durch die Brillioun-Zone mit konstanter Geschwindigkeit gilt
˙ = eE = const
|k|
mit der Periode
TB =
2π /a
=
eE/
aeE
und der daraus abgeleiteten Blochfrequenz
ωB =
2π
eEa
=
TB
(8.22)
Dies entspricht einer periodischen Geschwindigkeit im k-Raum als auch im reellen
Raum.
Vorraussetzung: Es finden keine Streuprozesse innerhalb von TB statt, also
ω B T2 ≤ 1
(8.23)
mit der Streuzeit mit Phononen und Gitterelektronen T2 (ps bis einige ns).
Beispiel
E = 1 kV m−1 , a = 2 Å
⇒ TB = 20 ns, νB = 50 MHz, δx = 5 mm
Halbleiter-Übergitter: (Abbildung 3)
Die e− können die Zonenränder ohne Streuprozesse erreichen. Dies ist ein oszillierender Dipol, der Terahertz-Strahlung aussendet.
2014-10-16
3
8.5 | Löcher
Übergitter
3
...
E
ke
4
kh
k
...
8.5 Löcher
In der Halbleiterphysik und der Festkörperphysik (elektrisch) spielen Eigenschaften von
unbesetzten Zuständen in einem sonst gefüllten Bang eine wichtige Rolle.
Eigenschaften
Im Folgenden werden Löcher den Index h erhalten (engl.: hole) und Elektronen den Index
e.
1. Wellenvektor:
(8.24)
kh = −ke
−
Der Gesamtwellenvektor in einem gefüllten Band ist k = 0. Fehlt ein e mit ke ist
der Gesamtwellenvektor des System −ke. Unser Arbeitsbegriff ist
Das Loch ist eine andere Beschreibung für ein Band mit fehlenden Elektronen.
2. Energie:
εh (kh ) = −εe (ke )
(8.25)
Je tiefer im Band das fehlende Elektron sitzt, desto größer ist die Energie des Systems. Die Energie des Lochs hat das entgegengesetzt Vorzeichen wie die Energie des
fehlenden Elektrons
εe (ke ) = εe (−ke ) = −εh (ke ) = −εh (kh )
Dies folgt aus der Symmetrie des Bandes.
4
2014-10-16
Inhaltsverzeichnis
E
Lochband
kh
k
ke
5
Inversion des Bandes
...
3. Geschwindigkeit:
v h (kh ) = v e (ke )
(8.26)
Die Ableitung ist offensichtlich
∇k εh (kh ) = ∇k εe (ke )
vh = ve
4. Masse
mh∗ = me∗
(8.27)
Die effektive Masse ist umgekehrt proportional zur Krümmung des Bandes.
5. Kraft:
dkh
= e(E + v h × B)
dt
(8.28)
Diese Beziehung folgt aus der Bewegungsgleichung (8.17):
dke
= −e(E + v e × B)
dt
mit ke = −kh und v e = v h folgt unmittelbar (8.28). Die Bewegungsgleichung eines
Lochs ist die eines Teilchens mit positiver Ladung e.
Ausblick: Beim Stromtransport bewegen sich Elektronen und Löcher in entgegengesetzte
Richtungen, da sich e− an der Unterkante des Leitungsbandes und die Löcher sich an der
Oberkante des Valenzbandes aufhalten. Ihr Strombeitrag addiert sich.
Lochband
E
+
−
v Drift
e
v Drift
h
k
Valenzband
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5
8.6 | Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung
8.6 Boltzmann-Gleichung und Relaxationszeit-Näherung
In unserer bisherigen makroskopischen Beschreibung galt σ = eµn.
µ=
vD
e
¯=
τ
m
E
¯ und der Driftgeschwindigkeit vD .
mit der gemittelten Relaxationszeit τ
Für eine mikroskopische Beschreibung betrachten wir die Verteilungsfunktion f (r, k, t).
Diese beschreibt die Ladungsträger am Ort r zur Zeit t in den Zuständen k.
Beispiel Die Verteilungsfunktion der Elektronen im Gleichgewicht ist die Fermi-DiracStatistik
1
.
f0 (E(k)) = (E(k)−µ)/k T
B
e
+1
Nichtgleichgewichtsverhalten (Einschalten einer Störung)
Sei δf eine Auslenkung aus der Gleichgewichtsverteilung f0 :
f (r, k, t) = f0 + δf .
Nach Abschalten der Störung relaxiert die Verteilung exponentiell zurück in Gleichgewicht
mit einer Proportionalität δf ∼ exp(−t/τ).
dδf
dτ
=−
Stöße
δf
.
τ
(8.29)
Diese Näherung heißt Relaxationszeitnäherung mit der Relaxationszeit τ.
Annahme: Für das stationäre Gleichgewicht gilt
∂f
=0
∂t
df
df0 dδf
+
=
dt
dt
dt
=0
d
f (r, k, t)
dt
d
f
dt
∂f
df
=
+
dt
∂t
=
Feld
=0
=−
Stöße
δf
τ
∂f
∂r
Diffusionsterm
∂f ˙
k
∂k
˙+
r
Feldterm
δf
˙ gradk f
−
= v gradr f + k
τ
−
δf
e
= v gradr f − (E + v × B) gradk f
τ
(8.30)
(8.31)
Dies ist die Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung.
6
2014-10-16
Inhaltsverzeichnis
Sei die Störung δf nun klein:
f = f0 + δf ≈ f0
δf = −τ v gradr f −
e
(E + v × B) gradk f
(8.32)
Dies ist die linearisierte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung.
Beispiel Gesucht ist die Nichtgleichgewichtsverteilung unter Einfluss eines homogenen
elektrischen Feldes E. Für einen stationären Zustand gilt ∂t f = 0. Außerdem hängt f nicht
vom Ort ab, d.h. gradr f = 0.
δf = τ
e
E gradk f0
f (k) = f0 (k) + τ
e
E gradk f0
(8.33)
Gleichung (8.33) lässt sich als Entwicklung von f0 (k + ∆k) um den Punkt k (in einem
linearisierten Problem) wie folgt auffassen.
f (k) ≈ f0 k +
e
τE
(8.34)
Die sich unter dem Einfluss eines äußeren Feldes E und der Wirkung von Stößen einstellende
stationäre Verteilung lässt sich somit als eine um eτE/ verschobene Gleichgewichts-FermiVerteilung darstellen.
Die Änderung der Fermi-Verteilung f (E(k)) gegenüber der Gleichgewichtsverteilung f0 ist
nun merklich in der Umgebung der Fermi-Energie bzw. der Fermi-Radius kF (Abbildung 6).
Merke: Nur Elektronen in der Nähe der Fermi-Energie sind in Metallen für den Stromtransport
relevant.
Vergleich mit dem Drude-Modell:
Drude
2
e τ
n
m
eτ
µ=
n
m
σ =
parabolisches Band
e2 τ(EF )
n
m∗
eτ(EF )
µ=
m∗
σ =
(8.35)
8.7 Elektronen im Magnetfeld
Die experimentelle Bestimmung der Fermiflächen (also des Elektronengases) wird vor allem
mit Messungen in Magnetfeldern durchgeführt. Hier werden verschiedene Effekte ausgenutzt:
Zyklotronresonanz ωC =
eB
m∗
De Haas-van Alphén Effekt (Magnetisierung µ =
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∂U
∂B
)
7
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
ky
kF
δkx
kx
ky
f
kx
f − f0
δkF
6
kx
...
Shabmikov-de Haas Effekt (Längswiderstand im Quanten-Hall-Effekt)
Magnetowiderstand
8.7.1 Zyklotronresonanz
Die Probe wird im statischen Magnetfeld bestrahlt. Die Frequenz der Mikrowelle wird durchgestimmt. Das Absorptionsmaximum liegt bei der Zyklotronfrequenz.
Es gelten die Gleichungen (8.15) und (8.17).
1 ∂Em (k)
,
∂k
˙ = F = −e[E(r, t) + v m (k) × B(r, t)].
k
r˙ = vm (k) =
Daraus folgt
dk = −
8
1
e
2
∇k E(k) =
[∇k E(k) × B] dt.
(8.15)
(8.17)
(8.37)
2014-10-21
Inhaltsverzeichnis
Die Bedeutung dieser Gleichungen ist, dass sich Elektronen im Magnetfeld auf Flächen
konstanter Energie bewegen, also dk steht senkrecht auf ∇k E.
Die Trajektorien der Elektronen mit der Fermi-Energie (EF ) liegen auf der Fermifläche. In
vielen Fällen ist dies auf Grund der Symmetrie der Fermi-Flächen längs einer geschlossenen
Bahn.
dE
.
|∇k E(k) × B| = B|∇k E(k)|⊥ = B
dk⊥
Durch Integration in (8.37) erhält man die Umlaufzeit T˜, die ein Elektron für einen Bahnumlauf
benötigt.
2
2
| dk|
dk⊥
T˜ = dt =
=
| dk|
eB | dE/ dk⊥ |
eB
dE
mit Querschnittsfläche im k-Raum gilt dS = dk⊥ | dk|
T˜ =
2
dS
.
eB dE
(8.38)
Die Umlaufzeit wird durch die Energieabhängigkeit der im k-Raum von der Bahn eingeschlossenen Schnittfläche bestimmt.
Für das freie Elektronengas gilt (E =
2
k2 /2m):
2π m
dS
=
.
2
dE
(8.39)
Alle Elektronen besitzen die gleiche Umlaufzeit mit der Umlauffrequenz
ωC =
eB
.
m∗
(8.40)
Für Elektronen im Festkörper gilt
m → m∗ .
Achtung Die Zyklotronmasse ist nicht mit der dynamischen Masse (8.20) identisch. mC∗ wird
durch die Lage der Bahn auf der Fermi-Fläche bestimmt und nicht durch eine elektrischen
Zustand.
eB
ωC =
.
(8.41)
m∗
Ergänzungen:
Bahnen im realen Raum sind Spiralen, da auch die z-Komponente des
Wellenvektors berücksichtigt werden muss.
Stimmen Zyklotron- und Mikrowellenfrequenz überein, so werden die Elektronen
beschleunigt und nehmen aus dem elektrischen Feld Energie auf. Man erhält ein
Absorptionsmaximum.
In Metallen treten Komplikationen durch den Skin-Effekt auf. Die Eindringtiefe ist
gegeben durch
2
δ=
.
µ0 ωσ
Daraus ergibt sich, dass das umlaufende Elektron nur an der Probenoberfläche (Metall)
mit dem E-Feld in Berührung kommt. Der Energieeintrag oder -austrag bestimmt
2014-10-21
9
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
sich je nach Phasenlage. Nicht nur bei ωC erscheint ein Maximum, sondern zwischen
zwei Durchläufen eine ganzzahlige Anzahl von Perioden der elektromagnetischen
Schwingung verstreicht.
??? Was zur Hölle ???
Scharfe Resonanzen treten nur auf, wenn ein Elektron mehrere Umläufe ungestört
vollenden kann, d.h. es muss die Bedingung erfüllt sein
ωC T
1 (T : mittlere Stoßzeit).
Hohe Frequenzen, hohe B-Felder, tiefe Temperaturen und reine Proben (keine Defekte)
sind notwendig.
Die effektiven Massen von Elektronen sind nicht gleich. Der Unterschied in den Umlauffrequenzen ωC äußert sich in der Absorption von verschiedenen Frequenzen. Man
erwartet folglich keine scharfe Absorption. Diese wird dennoch beobachtet, wofür es
zwei Gründe gibt.
1. Nur Elektronen an der Fermi-Fläche können Energie aufnehmen (und tragen zur
Absorption bei in Form ihrer unbesetzten Zustände).
2. Das Signal kommt von Elektronen, die mit annähernd der gleichen Frequenz
umlaufen. Die Querschnittsfläche S hat ein Extremum, wodurch Extremalbahnen
auftreten.
8.7.2 Landau-Niveaus
Es folgt die Quantisierung der Elektronenbahnen im konstanten Magnetfeld.
Annahme:
Quasifreie Elektronen mit effektiven Massen m∗ .
Spin wird vernachlässigt (Zusatzterm in der Energie)
Die stationäre Schrödingergleichung lautet
Hψ = Eψ.
In der quantenmechanischen Beschreibung wird des Magnetfeld B = (0, 0, B) über das
Vektorpotential A im Hamiltonian berücksichtigt.
1
(−i ∇ + eA)2 ψ = Eψ
2m∗
(8.42)
mit Magnetfeld B in z-Richtung und A = (0, xB, 0) ergibt sich mit dem von Landau gewählten
Ansatz (in y- und z-Richtung ebene Welle):
−i(ky y+kz z)
˜
.
ψ = ψ(x)e
Die Energieniveaus sind gegeben durch
E = E + E(kz ) =
10
+
1
2
ω0 +
2 2
kz
2m∗
(8.43)
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Inhaltsverzeichnis
E
1
ω
2
3
=1:
ω
2
=0:
−2
7
mit
−1
0
2 kz
1
...
1
≥ 0 ergeben sich die Landau-Niveaus. (Spin-Beitrag ± 2 gS µB B)
Die parabelförmige Bahn freier Elektronen spalten im B-Feld in Sublevel auf, die als LandauNiveaus bezeichnet werden. Die Energieeigenwerte ergeben sich zu δE = ωC .
Bohrsches Korrespondenzprinzip
Im Grenzfall großer Quantenzahlen (bei EF ) gehen klassische und quantenmechanische Beschreibung ineinander über. Die Elektronen bewegen sich in der x, y-Ebene auf Kreisbahnen
mit Bahnradius r , der durch die Amplitude des linearen Oszillators gegeben ist
1
2
1
+
2
1 ∗ 2 2
m ωC r =
2
ωC
+
r2 =
(8.44)
2
m ∗ ωC
(8.45)
Quantisierung des magnetischen Flusses
Φ = π r 2B =
+
1
2
e
(8.46)
Im k-Raum durchlaufen die Elektronen Kreisbahnen mit quantisiertenm k und schließen
definierte Flächen S ein. Klassische Umlaufgeschwindigkeit v = ωC v und v = k .
k2 =
+
1
2
2m∗ ωC
(8.47)
Im k-Raum Si = π k2
S =
+
1
2
2π eB
(8.48)
Für die Fläche im Ortsraum gilt A = π v 2 = (2 + 1)π /eB
2
A =
eB
S
(8.49)
Mit steigendem Magnetfeld verengen sich im Ortsraum die Spiralen.
2014-10-23
11
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
Auf einem Kreis mit der Quantenzahl kondensieren die Zustände, die sich ohne Magnetfeld
in der kx , ky -Ebene in den Kreisring befinden, der durch die Bedingung
k2−1/2 < k2 < k2+1/2
festgelegt ist.
Die eingeschlossene Kreisfläche ist unabhängig von der Quantenzahl
∆S =
2π m∗ ωC
.
Die Zustandsdichte einer quatr. Probe mit Kantenlänge L ist gegeben
k
=
L2
.
4π 2
Der Entartungsgrad der Landau-Niveaus ist
g =
c
L2 m∗ ωC
= L2 B
2π
(8.50)
8.7.3 Zustandsdichte im Magnetfeld
In zweidimensionalen Systemen erhalten wir eine vollständige Quantisierung der Zustände.
Die Zustandsdichte ist dann eine Summe von δ-Funktionen mit Gewicht ge .
In dreidimensionalen Systemen treten Van-Hove-Singularitäten im Abstand von ωC auf.
2D-Fall: Mit zunehmendem Feld vergrößert sich der Abstand zwischen den Landau-Niveaus.
Wird das B-Feld erhöht, steigt die Fermi-Energie EF mit dem obersten besetzten Zustand
an. Gleichzeitig wächst der Entartungsgrad, sodass in den unteren Niveaus immer mehr
Elektronen Platz finden. Die Besetzung des obersten Niveaus nimmt daher stetig ab. Ist es
vollständig entleert, so springt die Fermi-Energie abrupt auf das darunterliegende Niveau.
Immer wenn
N = ge
(8.51)
erfüllt ist (bei T = 0 K) gibt es nur volle oder leere Bänder, wobei N die Anzahl der Elektronen
und die Anzahl der besetzten Niveaus ist.
8.7.4 Hall-Effekt
Der klassische Hall-Effekt erlaubt die Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration in einer
Probe.
12
2014-10-23
Inhaltsverzeichnis
Herleitung: Lorentzkraft in die Bewegungsgleichungen da bei Hall-Messungen zusätzlich
zum E-Feld ein B-Feld anliegt.
˙ = −e[E + v × B] − m∗
m∗ v
v
.
τ
(8.52)
˙ = 0. Die
Wir legen ein B-Feld in z-Richtung an und betrachten den stationären Fall v
Driftgeschwindigkeit der Elektronen (Ausmittlung der Lorentz-Kraft durch Stöße) lautet
eτ
(Ex + vd,y B),
m∗
eτ
= − ∗ (Ey + vd,x B),
m
eτ
= − ∗ Ez .
m
vd,x = −
vd,y
vd,z
(8.54)
Auflösung nach v d unter Berücksichtigung von j = −envd:

 
 
eτ
1
− m∗ B
0
Ex
jx
σ0
 
 
 eτ B
1
0
 m∗
  Ey 
jy  =
e2 τ 2 2
e2 τ 2
1 + m∗2 B
Ez
jz
0
0
1 + m∗2 B 2
(8.55)
Wir betrachten im folgenden einen flachen Stab (Skizze), kein Stromfluss in z-Richtung.
jx
jy
=
σxx
−σxy
σxy
σxx
Ex
Ey
(8.56)
Die Leitwerte werden mit der Zyklotronfrequenz ωC = eB/m∗ ausgedrückt
σxx =
ne ωC τ
B 1 + ω2C τ 2
und
σxy = −
ne ω2C τ 2
.
B 1 + ω2C τ 2
(8.57)
Auflösen nach dem E-Feld
Ex
Ey
=
xx
−
xy
xy
xx
jx
jy
.
(8.58)
Die auftretenden Widerstände sind durch
xx
=
1
m∗
B
=
ne ωC τ
ne2 τ
und
xy
=−
B
ne
gegeben. Die Komponente xx entspricht dem üblichen Ausdruck für den spezifischen
Widerstand, xy ist die Verknüpfung mit dem Hallwiderstand.
Bemerkung: In anisotropen Medien treten auch bei größeren yy und yx auf. In isotropen
Materialien und gewählten Richtung des Magnetfeldes ist jedoch xx = yy und yx =
− xy .
Da nur Strom in x-Richtung fließt gilt jy = 0.
Ey = −
eτ
BEx .
m
(8.59)
Im Magnetfeld baut sich also ein elektrisches Feld in y-Richtung auf, das man als HallFeld bezeichnet. Die Ursache dieses Feldes ist die Ablenkung der Elektronen durch die
2014-10-23
13
8.7 | Elektronen im Magnetfeld
Metall
Wertigkeit
RH (e− /Atom)
1
Li
1
0.8
Cu
1
1.5
Al
3
−0.9
Hall-Koeffizienten ausgewählter Metalle.
Lorentzkraft beim Anlegen eines Magnetfeldes in z-Richtung. Im stationären Gleichgewicht
kompensieren sich die resultierende elektrische Kraft des Hall-Feldes gerade die LorentzKraft (FL = FHall ).
Der Stromfluss in x-Richtung ist bei der vorgegeben Geometrie durch
j x = σ 0 Ex
(8.60)
gegeben. Einsetzen in (8.58) ergibt das Hall-Feld
Ey = −
1
Bjx = RH Bjx
ne
(8.61)
Ey
1
=−
.
jx B
ne
(8.62)
mit der Hall-Konstante
RH =
Bemerkung:
1. Da Ex , jx und B Messgrößen sind, lässt sich RH und somit die Elektronendichte direkt bestimmen.
2. Die Interpretation der experimentell ermittelten Daten ist häufig schwierig, da RH von
B, T und Probenpräparation abhängt. Abweichende Werte sowie Vorzeichenänderungen
da meist mehrere Bänder zum Ladungstransport beitragen (vgl. Alkali-, Erdalkalimetalle) bzw. Löcher zum Ladungstransport beitragen. Einige Hall-Konstanten sind in
Tabelle 1 angegeben.
Wenn Elektronen und Löcher oder verschiedene Bänder zum Stromtransport beitragen miss
dies berücksichtigt werden, es ergibt sich:
RH =
pµp2 − nµn2
e(pµp + nµn )2
.
(8.63)
Hierbei stehen n und m für die Dichte, µn und µp für die Beweglichkeit der Elektronen bzw.
Löchern.
Je nach Dichte und Beweglichkeit der Ladungsträger kann also RH < 0 oder RH > 0 sein.
8.7.5 Quanten-Hall-Effekt
Hall-Messungen in zweidimensionalen Systemen bei tiefen Temperaturen und hohen Magnetfeldern. Realisierung eines zweidimensionalen Elektronengases mit Hilfe von Halbleiterheterosystemen oder Feldeffekttransistoren in dünnen Schichten/Filmen mit Kantenlänge L und
Dicke d.
14
2014-10-23
Inhaltsverzeichnis
Berechnung des Hall-Effekts
Ry =
xy
d
.
(8.64)
In der Probe sind keine teilbesetzten Niveaus vorhanden, wenn N Elektrone auf p voll
besetzte Niveaus verteilt sind.
N = nL2 d = pge = p
e 2
L B.
h
(8.65)
In vollbesetzten Landau-Niveaus tritt keine Elektronenstreuung auf, die Stoßzeit τ ist also
unendlich. Somit ergibt sich für die Leitwerte und den Widerstand in x-Richtung σxx = 0
und xx = 0.
Der Strom wird nicht durch das elektrische Längsfeld Ex = 0 durch die Probe getrieben,
sondern durch das Hall-Feld Ey . Der Hall-Widerstand sollte linear mit der Magnetfeldstärke
ansteigen. Werte können den durch die Gleichung (8.65) vorgegebenen Werte annehmen:
Ry =
xy
d
=
25 812.807 572 Ω
h
=
pe2
p
Im Experiment werden Palteaus in Ry beobachtet und Bereiche in denen der Längswiderstand
verschwindet: Quanten-Hall-Effekt.
Bemerkung:
1. Nur Elektronen an der Fermi-Kante tragen zum Stromtransport bei.
2. Solange EF im Bereich lokalisierter Zustände σxx = 0: Hall-Plateaus.
3. Stromtransport findet über Randkanäle statt, Leitwertquantum GQ = 2e2 /h (Spinentartung der Landau-Niveaus berücksichtigt).
4. Seit 1.1.1990 Widerstandsnormal 25 812.807 Ω.
2014-10-28
15
Halbleiter | 9
9
Halbleiter
Halbleiter sind von überragender Bedeutung für die Elektronik, Optoelektronik und Photonik.
Sie besitzen ein hohes Potential für Quantentechnologien. Einige Beispiele:
Elektronik: Si-Technologie: Prozessoren, Speicherchips, Detektoren
Optoelektronik und Photonik, Quantentechnologien:
Halbleiter-Laser
Optische Nachrichtentechnik (1.3 µm und 1.5 µm)
Compact Disk CD, DVD
Laser-Display Technolgie
Sensortechnik, Medizintechnik
Einzel-Photonen-Lichtquellen
Quantenkryptographie
Quantencomputer
LEDs
Anzeigeinstrumente
Ampeln, Scheinwerfer
Zukunft: Raumbeleuchtung
Nobelpreis Physik 2014: Entwicklung der blauen und weißen LED
Besondere Eigenschaften
Die elektrische Leitfähigkeit ist stark temperaturabhängig (exponetionell)
σ kann durch geringfügige Materialzusätze um viele Größenordnungen variiert werden.
Bandlücke: Valenzband (VB) voll, Leitungsband (LB) leer bei T = 0 K.
2014-10-28
17
9.1 | Daten einiger wichtiger Halbleiter
E
E
E
−
EF
−
−
−
−
Metall
EF
EF
−
−
+
−
x
−
−
−
−
Halbleiter x
−
−
−
Isolator
−
x
8 Das Bändermodell. Das Leitungsband ist orange, das Valenzband blau dargestellt. Kreise mit
einem „−“ sind Elektronen, Kreise mit einem „+“ sind Defektstellen.
9.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter
1. Typische Element-Halbleiter sind: Si, Ge (Diamant). Eine Mischung der s- und pWellenfunktion führt auf ein tetraedrisches Bindungsorbital (sp 3 ). Im Gleichgewichtsabstand spalten sie auf in ein bindendes und antibindendes Orbital. In bindenden
Oribtalen ist das Valenzband voll, in antibindenden ist das Leitungsband leer. Aus
Abbildung 8 erkennt man, dass die Energielücke temperaturabhängig ist, da sich mit
wachsender Temperatur der Gitterabstand auf Grund der thermischen Ausdehnung
vergrößert.
Si, Ge:
Anisotrope Energiebänder
Energieflächen der Leitungselektronen
E(k) =
2
k2x + k2y
2mz∗
+
k2z
2m∗
= const
(9.1)
mit der transversalen Masse mt∗ und der longitudinalen Masse m∗ .
Indirekte Halbleiter:
E
k
Eg (Si)
Eg (Ge)
T = 0K
T = 300 K
1.17 eV
0.75 eV
1.12 eV
0.67 eV
Valenzbandstruktur:
18
2014-10-28
Halbleiter | 9
E
k
Dies rührt von der Spin-Bahn-Wechselwirkung her. Die Energieflächen bei k = 0
sind sphärisch.
2. Verbindungs-Halbleiter
a) Verbindungen von III und IV Hauptgruppe: GaAs, InP, Alx G1−x As, InSb, InAs haben
gemischt ionisch-kovalente Bindungen.
b) Verbindungen von III und IV Hauptgruppe: ZnSe, ZnS, CdTe, Znx S1−x Se haben
einen stärkeren ionischen Anteil als bei III-IV-Halbleitern.
3. Direkte Halbleiter
E
k
Annahme: GeP und AlSb besitzen indirekte Bandlücken. Die Elektronen haben eine
sphärische Energiefläche, die Löcher sind ähnlich wie bei Ge, Si.
9.2 Vergleich: Direkte und indirekte Halbleiter
E
E
Ω
ω
−π /a
ω
π /a
k
−π /a
π /a
k
Optische Übergänge: Energie- und Impulserhaltung müssen erfüllt sein
LB
kVB
e + kPhoton = ke
2014-10-28
19
9.3 | Undotierte Halbleiter
Abschätzung:
2π
2π
=
λ
500 nm
π
π
=
=
a
0.5 nm
kPhoton =
kRand d. BZ
kPhoton
= 10−3
kRand d. BZ
Im E(k)-Diagramm zeigt sich dies als senkrechter Übergang.
In indirekten Halbleitern sind Übergänge nur mit Phononenbeteiligung möglich (Impulserhaltung). Wegen sehr vieler kleiner Übergangswahrscheinlichkeiten sind indirekte Halbleiter
nicht geeignet für effiziente Lichtemitter (z.B. Halbleiter-Laser oder EPQ).
9.3 Undotierte Halbleiter
Beim Halbleiter tragen Elektronen und Löcher zum Stromtransport bei. Nach (7.24) und (7.25)
σ = |e|(nµn + pµp )
(9.2)
mit den Beweglichkeiten der Elektronen und Löcher µn und µp und den Volumenkonzentrationen der Elektronen und Löcher n und p.
Intrinsische Halbleiter besitzen freie Elektronen und Löcher durch thermische Anregung
über die Energielücke. Um die Besetzung zu erhalten müssen wir berechnen:
∞
n=
DL (E) f (E, T ) dE
(9.3)
EL
EV
p=
DV (E) (1 − f (E, T )) dE
(9.4)
−∞
Mit den Zustandsdichten DV des Valenzbandes und DL des Leitungsbandes und der FermiDirac-Statistik f (E, T ). Die Zustandsdichten sind bekannt als
∗ 3/2
(2mn
)
E − EL
2π 2 3
∗ 3/2
(2mp )
DL (E) =
EV − E
2π 2 3
DL (E) =
(E > EL )
(9.5)
(E < EV )
(9.6)
Anmerkung: In der Halbleiterphysik nennt man das chemische Potential µ oft Fermi-Niveau
EF .
Da die „Aufweichungszone“ der Fermi-Funktion (≈ 2kB T ) bei üblichen Temperaturen klein
ist gegen den Bandabstand (≈ 1 eV) lässt sich innerhalb der Bänder die Fermi-Funktion durch
die Boltzmann-Besetzungswahrscheinlichkeit annähern.
1
e
20
E−EF
kB T
E−E
≈e
− k TF
B
1 für E − EF
2kB T
+1
2014-10-30
Halbleiter | 9
ni [cm−3 ]
Eg [eV]
Ge
Si
GaAs
2
2.4 · 1013
1.5 · 1010
5 · 107
0.67
1.1
1.43
Intrinsische Ladungsträgerdichten bei 300 K.
Damit folgt für (9.3)
n=
(2m∗ )3/2 EF /kB T
e
2π 2 3
∞
E − EL e−E/kB T dE
EL
Mit der Substitution XL = (E − EL )/kB T ergibt sich
n=
(2m∗ )3/2
(kB T )3/2 e−(EL −EF )/kB T
2π 2 3
∞
1/2
0
XL e−XL dXL
mit
L −(EL −EF )/kB T
n = Neff
e
V (EV −EF )/kB T
e
p = Neff
L
und Neff
=2
und
V
=2
Neff
∗
2π mn
kB T
h2
3/2
2π mp∗ kB T
3/2
(9.7)
(9.8)
h2
wobei Neff die effektive Zustandsdichte ist.
Anmerkung: Bei hohen Ladungsträgerdichten (Dotierung) kann diese Näherung nicht mehr
verwendet werden. Man spricht dann von entarteten Halbleitern.
Aus (9.7) und (9.8) folgt das Massenwirkungsgesetz
V −Eg /kB T
L
np = Neff
Neff
e
=4
kB T
2π 2
3
∗
(mn
mp∗ )3/2 e−Eg /kB T
(9.9)
Bei einem intrinsischen Halbleiter gilt die Neutralitätsbedingung
n=p
und
V −Eg /2kB T
L
ni = pi = Neff
Neff
e
(9.10)
Für T = 300 K sind einige intrinsische Ladungsträgerdichten in Tabelle 2 aufgetragen.
Aus n = p folgt
EF =
2014-10-30
kB T
EL + EV
+
ln
2
2
L
Neff
V
Neff
=
EL + EV
3
+ kB T ln
2
4
mp∗
∗
mn
(9.11)
21
9.4 | Dotierte Halbleiter
9.4 Dotierte Halbleiter
Dotierte Halbleiter sind technologisch wichtig. Praktisch alle Bauelemente sind dotiert.
Beispiel Man setzt einen subtituionellen Donator, z.B. Phosphor P (5-wertig) auf einen
Gitterplatz im Si-Gitter (4-wertig). Das fünfte nicht für die Bindung zum Silizium benötigte
Elektron bewegt sich praktisch wasserstoffartig um das positive P-Zentrum. Wir lösen das
Wasserstoffproblem unter Berücksichtigung des anwesenden Festkörpers. Damit ergibt sich
die Donator-Rydberg-Energie:
me∗ /m0 H
Ry
RyD =
ε2
Abschätzung:
me∗ ≈ 0.01 . . . 0.5m0
ε ≈ 7 . . . 12
B
ED
≈ 7 . . . 50 meV
p-Halbleiter
n-Halbleiter
E
E
B
ED
Donatorniveau
A
ED
x
Akzeptorniveau
x
Die Neutralitätsbedingung (9.10) muss modifiziert werden
n + NA− = p + ND+
(9.12)
wobei
ND = ND0 + ND+
und
NA = NA0 + NA+ .
Die Fermi-Energie EF muss aus dieser Neutralitätsbedingung berechnet werden.
Die Gesamtkonzentration der Donatoren und Akzeptoren ist gegeben durch ND und NA . Die
Konzentrationen der ionisierten Donatoren und Akzeptoren sind ND+ und NA− .
Für die Besetzung der Donatoren mit Elektronen bzw. der Akzeptoren mit Löchern gilt
ND0 =
DD (E) fD0 (E) dE
DD (E) = ND δ(E − ED )
fD0 (E) = gi
22
1
e(ED −EF )/kB T + 1
(9.13)
(9.14)
(9.15)
2014-10-30
Halbleiter | 9
mit gi dem Entartungsgrad der i-ten Störstelle. Der Entartungsfaktor berücksichtigt die
Entartung der Störstellenniveaus. Bei einfachen Donatoren kann ein Elektron mit Spin nach
oben oder nach unten eingebaut werden. Das heißt wir haben doppeltes statistisches Gewicht
gi = 2. Dieser Faktor wird im Folgenden vernachlässigt.
ND0 = ND 1 + e(ED −EF )/kB T
NA0 = NA 1 + e(EF −EA )/kB T
−1
(9.16)
−1
(9.17)
Berechne Zahl der freien Elektronen als Funktion der Temperatur
1. im Falle von Donatoren und Akzeptoren nur numerisch möglich.
2. n-dotierte Halbleiter (keine Akzeptoren)
Es gilt
L −(EL −EF )/kB T
n = Neff
e
(9.7)
ND = ND0 + ND+
ND0 = ND 1 + e(ED −EF )/kB T
−1
(9.16)
Freie Elektronen können nur von Donatoren oder aus dem Valenzband stammen d.h.
n = ND+ p
(9.18)
Zur Vereinfachung sagen wir, dass der Hauptteil von den Donatoren kommt, d.h. ND+
also n ≈ ND+ = ND − ND0 . Damit folgt mit (9.16)
n ≈ ND 1 −
1
1 + exp[(ED − EF )/kB T ]
ni
(9.19)
Die Fermi-Energie EF lässt sich über Gleichung (9.7) ausdrücken als
n
L
Neff
eEl /kB T = eEF /kB T
das heißt
n=
ND
1 + eEd /kB T
n
L
Neff
n = 2ND 1 +
Drei Grenzfälle von (9.20):
mit Ed = EL − ED
1+4
ND E /k T
d B
L e
Neff
(9.20)
1. Für kleine Temperaturen: Störstellenreserve
4
ND Ed /kB T
L e
Neff
1
L −Ed /2kB T
n = ND Neff
e
2014-10-30
−1
(9.21)
23
9.5 | Leitfähigkeit und Beweglichkeit
2. Für mittlere Temperaturen: Störstellenerschöpfung
4
ND Ed /kB T
L e
Neff
1
n = ND = const
(9.22)
3. Für hohe Temperaturen: Intrinsischer Bereich
n ∼ e−Eg /2kB T
(9.23)
9.5 Leitfähigkeit und Beweglichkeit
Die Leitfähigkeit ist gegeben durch
σ = |e|(nµn + pµp )
(9.24)
γ = σE
(9.25)
Vergleich Metall und Halbleiter
Metall
Halbleiter
µn und µp müssen beim Halbleiter als Mittelwerte über die von e− und h besetzten Zustände im unteren Leitungsband und oberen
Valenzband berücksichtigt werden. Dies erfordert eine Behandlung mit der BoltzmannGleichung. Hier: Qualitative Diskussion der
Streuprozesse.
1
∼Σ v
τ
(9.26)
v ist im Gegensatz zu Metallen als thermischer Mittelwert über alle e− - und h-Geschwindigkeiten zu betrachten.
Bemerkung: Kinetische Gastheorie: v =
v ∼
√
T
3kB T
m∗
e
τ(EF )
m∗
Nur die e− an der Fermikante tragen bei. Die
Zahl der Stöße pro Zeiteinheit ist proportional zum Streuquerschnitt Σ und der Geschwindigkeit der e−
1
∼ Σv(EF )
τ
⇒ Σ∼
1
1
1
=
+
τ
τPhonon
τStör
v(EF ) = const(T )
1
(T
T
ΣPhonon ∼ T
τPhonon ∼
ΣR ∼ T
1
∼ T 3/2
τPhonon
1
µPhonon ∼ 3/2
T
1
τ
1. Phononen
(9.27)
1. Phononen
24
µ=
(9.29)
µ∼
1
T
σ ∼
1
T
Θ)
(9.28)
2014-10-30
Halbleiter | 9
2. Störstellen
2. Störstellen
1
∼ NStör · const(T )
τStör
Streuung an ionisierten Donatoren und
Akzeptoren. Rutherfordstreuung
ΣPhonon ∼ v
√
v ∼ T
⇒
−4
1
NStör
∼ 3/2
τStör
T
µ ∼ T 3/2
(9.30)
log µ
T 3/2
ionisierte
Störstellen
T −3/2
Phononen
log T
Zusätzlich können in piezoelektrischen Halbleitern (z.B. III–V- und II–VI-Halbleitern) noch
Beiträge von Streuung an Phononen herrühren, die mit einer Polarisation behaftet sind.
piezoelektrische Streuung
Streuung an optischen Phononen
In modernen Halbleiter-Bauelementen werden Felder > 105 V m−1 erreicht. Das Ohmsche
Gesetz gilt nicht mehr, vD ist nicht mehr proportional zur Feldstärke
vD ∼ E
bis ca. 2 · 103 V m−1 (GaAs,Si,Ge)
Ladungsträger werden im äußeren Feld entlang der Energiebänder E(k) beschleunigt, bis
die Energie (bezogen auf EF ) optische Phononen mit hoher Zustandsdichte (etwa 60 meV
bei Si, 36 meV bis GaAs) erreichen. Dies führt zur Anregung optischer Phonenen und die
Driftgeschwindigkeit VD sättigt.
Eine weitere Besonderheit bei direkten Halbleitern (GaAs, InP, GaN) ist, dass ab einer kritischen Feldstärke Elektronen in Seitentäler (L,X) gestreut werden. Es resultiert ein negativer
differentieller Widerstand (in den Seitentälern ist die effektive Masse größer).
Die beschleunigten Elektronen gewinnen so viel Energie, dass sie weitere Elektronen aus dem
Valenzband ins Leitungsband anregen können.
9.6 Inhomogene Halbleiter
Das Verständnis von inhomogenen Halbleitern ist Vorraussetzung zum Verständnis der
technischen Anwendung von Halbleitern.
2014-11-04
25
9.6 | Inhomogene Halbleiter
9.6.1 p-n-Übergang
Im Folgenden betrachten wir abrupte Übergänge, also sprunghafte Änderungen in der
Dotierung.
E
ELn
EFn
ED
p
EF
p
EV
EA
x
− − − −
−
−
−
−eVD
◦ ◦ ◦ ◦
◦
−
˜−
−e
(x)− −
−V
◦
◦ ◦ ◦ ◦
◦
◦
Dabei ist VD die Diffusionsspannung. Im Kontakt ist die Diffusion von Ladungsträgern aus
den jeweiligen Gebieten hoher in jene niedriger Konzentration.
Ausgleich der Ferminiveaus
Aufbau von Diffusionsspannung VD
Bandverbiegung
Störung entgegen der Diffusion
p
Die Diffusionsspannung ist durch die Differenz EFn − EF der beiden Fermi-Niveaus der
dotierten Kristalle gegeben.
p
eVD = EFn − EF
im Beispiel der Störstellenerschöpfung gilt
n ≈ ND
26
(9.22)
2014-11-04
Halbleiter | 9
und damit
n
L −(EL −EF )/kB T
n = ND = Neff
e
eVD = EL − kB T ln
= Eg − kB T ln
L
Neff
ND
− EV − kB T ln
V
Neff
NA
V
L
Neff
Neff
ND NA
⇒ eVD = Eg
Die Minoritätsladungsträger sind
e− im p-Gebiet
h im n-Gebiet
In großer Entfernung vom Übergang gilt
nn ≈ ND+ ≈ ND
bzw. pp ≈ NA− ≈ NA
Massenwirkungsgesetz
np · pp = nn · pn = ni · pi
Bei üblichen Dotierungen ist die Majoritätsladungsträgerdichte sehr viel größer, die Minoritätsladungsträger sehr viel kleiner als die ni -Ladungsträgerdichte im Übergangsbereich.
˜ (x)
ELn (x) = EL − eV
p
˜ (x)
EV (x) = EV − eV
L
n(x) = Neff
exp −
˜ (x) − EF
EL − e V
kB T
(9.31a)
V
p(x) = Neff
exp −
˜ (x)
EF − EV + e V
kB T
(9.31b)
log n, p
p-HL
ND+
n-HL
NA−
pq
np
x=0
x
Verarmungszone
ND > NA
Störstellen völlig ionisiert
2014-11-04
27
9.6 | Inhomogene Halbleiter
Massenwirkungsgesetz:
n(x)p(x) = const
In der Verarmungszone wird die Ladung der ionisierten Donatoren und Akzeptoren nicht
mehr durch die freien Ladungsträger kompensiert. Es resultiert ein Aufbau von einer Raumladung.
Raumladungsdichte:
(x) = e[ND+ − nn (x) + pn (x)] ,
(x) =
−e[NA−
x>0
+ np (x) − pp (x)] ,
x<0
(9.32)
(9.33)
Der Potentialverlauf und die Raumladung sind über die Poissongleichung verknüpft.
∂2
˜ (x) = −
V
∂x 2
ε0 εr
(9.34)
Die Lösung muss über ein selbstkonsistentes Verfahren erfolgen. In der Raumladungszone
ist die Konzentration freier Ladungsträger gering und wird daher vernachlässigt. Wir machen
hier die Näherung: Der Verlauf von (x) wird durch einen rechteckigen Verlauf ersetzt. Dies
führt auf das Schottky-Modell.

0





−eNA
(x) =
eNA





0
für 0 < −dp
für −dp < x < 0
für 0 < x < dn
(9.35)
für x > dn
Dabei sind dn und dp die Dicken der Raumladungszone. Für den n-leitenden Teil lösen wir
die Poisson-Gleichung.
∂2
eND
˜ (x) = −
U
∂x 2
ε0 εr
∂U (x)
eND
Ex = −
=−
(dn − x)
∂x
ε0 εr
eND
˜ (x) = U
˜n (∞) −
U
(dn − x)2
2ε0 εr
28
(9.36)
(9.37)
(9.38)
2014-11-04
Halbleiter | 9
(x)
+
eND
−
eNA
E(x)
x
V (x)
˜ (−∞)
V
x
˜ (+∞)
V
x
x = 0 dn
dp
Neutralitätsbedingung:
ND dn = NA dp
(9.39)
˜ (x = 0)
Aus (9.39) und der Stetigkeit von U
e
˜n (∞) − V
˜p (∞) = VD
(ND d2n + NA d2p ) = V
2ε0 εr
Lassen sich die Dicken dp und dn berechnen
dn =
2ε0 εr VD NA /ND
e
NA + ND
(9.40)
dp =
2ε0 εr VD ND /NA
e
NA + ND
(9.41)
Beispiel eVD = Eg = 1 eV und NA = ND = 1020 . . . 1024 m−3 .
⇒ dn = dp = 1 µm . . . 10 nm
E = 106 V m−1 . . . 108 V m−1
Ströme im p-n-Übergang
− − − −
−
−
−
◦ ◦ ◦ ◦
◦
− − − −
◦
◦ ◦ ◦ ◦
◦
◦
2014-11-06
−
29
9.6 | Inhomogene Halbleiter
Der Diffusionsstrom (Rekombinationsstrom) ensteht aufgrund der Ladungsträgerkonzentration auf den beiden Seiten des p-n-Übergangs. Die e− (h) die im Leitungsband (Valenzband)
eine sehr hohe Energie haben (Boltzmann-Ausläufer) und die nach dem Durchlaufen der
Raumladungszone mit den entgegengesetzt geladenen Ladungsträgern rekombinieren.
j d = jnd + jpd = e Dn
∂n
∂p
− Dp
∂x
∂x
(9.42)
Der Feldstrom (Generationsstrom) wird durch das elektrische Feld verursacht und wirkt dem
Diffusionsstrom entgegen. Im thermodynamischen Gleichgewicht werden ständig ElektronLoch-Paare gebildet, wobei die Elektronen und Löcher sofort über die p-n-Schicht fließen.
j f = fnf + jpf = e(nµn + pµp )Ex
(9.43)
Im thermodynamischen Gleichgewicht kompensieren sich die Ströme
jd + jf = 0
(9.44)
dies gilt auch für die Elektronen- und Löcher-Ströme einzeln.
für e−
Dn
˜ (x)
∂n
∂V
= nµn
∂x
∂x
Ex = −
˜ (x)
∂V
∂x
Siehe (??)
L
n(x) = Neff
exp −
˜ (x) − EF
EL − e V
kB T
˜ (x)
∂n
e ∂V
=n
∂x
kB T ∂x
(9.45)
Die Transportgrößen sind über die Einstein-Beziehung verknüpft:
kB T
µn
e
kB T
Dp =
µp
e
Dn =
(9.47)
Annahme: Ist die Raumladungszone dünn, so kann der Rekombinationsstrom von Elektronen und Löchern in der Raumladungszone vernachlässigt werden und für die Diffusionslänge
gilt
LD
dn + dp
Die Stärke des Stroms hängt nicht vom Potentialverlauf ab. Die Elektronen müssen gegen die
Potentialdifferenz anlaufen.
jd ∼ e
eV
−k D
T
B
|j d | = |j f | = a(T )e
eV
−k D
T
B
(9.48)
Der Vorfaktor a(T ) hängt schwach von der Temperatur ab.
30
2014-11-06
Halbleiter | 9
Der p-n-Übergang unter äußerer Spannung Eine äußere Spannung stört das Gleichgewicht
von Feld- und Diffusionsstrom. Die Gleichgewichtsthermodynamik ist nicht mehr anwendbar.
Eine angelegte Spannung U fällt hauptsächlich in der Raumladungszone ab, da dort wenig
Ladungsträger und damit R groß ist.
˜n (∞) − V
˜p (−∞) = VD − U
V
(9.49)
Konvention Eine positive Spannung ist der Diffusionsspannung entgegengerichtet. Eine positive Polung bei p und eine negative Polung bei n entspricht der Durchlassrichtung. Der
umgekehrte Fall ist die Sperrrichtung.
In der Raumladungszone sind die Ladungsträger nicht im Gleichgewicht, d.h. sie haben kein
gemeinsames Fermi-Niveau. Falls aber Elektronen und Löcher untereinander im Gleichgewicht
gibt es ein Quasi-Fermi-Niveau der Elektronen EFn und der Löcher EFp .
−e(VD − |U|)
EL
EFn
EFp
EV
−e(VD + |U|)
EFp
EL
EFn
EV
Einfluss der angelegten Spannung:
1. Der Feldstrom wird in erster Näherung nicht beeinflusst. Jeder Ladungsträger innerhalb
der Raumladungszone wird abgesaugt.
jnf (U ) = jnf (0)
2. Der Diffusionsstrom ändert sich, da die Potentialbarriere geändert wird auf VD − U.
jnd (U ) = a(T )e−e(VD −U )/kB T = jnd (0)eeU /kB T
3. Der Feld- und Diffusionsstrom fließen entgegengesetzt
jn (U ) = jnd (U ) − jnf = jnf eeU /kB T − jnf = jnf eeU /kB T − 1
f
wobei |jnd (0)| = |jn (0)|.
2014-11-06
31
9.6 | Inhomogene Halbleiter
j(U ) = (jnf + jpf ) eeU /kB T − 1 = jS eeU /kB T − 1
(9.50)
I
f
f
−(jn + jp )
U
Zenerdurchbruch
f
f
Zur Berechnung von (jn + jp ) siehe Ibach, Lüth S. 435.
j(U ) =
eDp
eDn
pn +
np
Lp
Ln
eeU /kB T − 1
(9.51)
mit
Lp = Dp τp
Ln = Dn τn
mit der Lebensdauer τ.
9.6.2 Metall-Halbleiter-Kontakt
φM
EVak
χ
EVak
EL
φM Austrittsarbeit
EF
EF
EV
Austrittsarbeit: φM = EVak − EF
Elektronenaffinität: χ = EVak − EL
Idealer Fall
Es existieren keine Grenzflächenzustände am Metall-Halbleiter-Kontakt.
Grundregeln
1. Ohne Kontakt wird die gegenseitige Energieanordnung durch das gemeinsame Vakuumniveau vermittelt.
32
2014-11-06
Halbleiter | 9
Si
GaAs
3
φBa = 0.27 φm − (0.55 ± 0.22 eV)
φBa = 0.075 φm − (4.49 ± 0.24 eV)
Experimentelle Daten zur Schottky-Barriere.
2. Mit Kontakt ist das Fermi-Niveau in beiden Materialien durchgehend konstant.
3. Die Majoritäten bestimmen die Ausgleichsprozesse an der Grenzfläche. Daher wird die
Barrierenhöhe φB zwischen dem metallischen Fermi-Niveau und der Bandkante der
Majoritätsträger gerechnet.
Realer Fall
Am Metall-Halbleiter-Kontakt bilden sich Grenzflächenzustände mit hoher Dichte aus. Diese
bestimmen die Lage des Fermi-Niveaus. Dies führt zur Ausbildung einer Barriere, der sogenannten Schottky-Barriere. Diese ist für den Metall-Halbleiter-Übergang charakteristische
Größe.
9.6.3 Halbleiter-Heterostrukturen
n-HL
stark dotiert
n-HL
schwach dotiert
∆EL
∆EV
entartetes e− Gas (2D)
EF
Es bilden sich
Banddiskontinuitäten ∆EL , ∆EV
Bandverbiegungen
Beispiel GaAs/Ge:
∆EV = 0.45 eV
∆EL = 0.28 eV
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33
9.6 | Inhomogene Halbleiter
An der Grenzfläche entsteht ein 2D Elektronengas. Den Vorteil liefern Störstellen (Dotieratome im Halbleiter mit größerer Bandfläche), da sie zu höherer Elektronen-Beweglichkeit
führen (Quantenhalleffekt, FQHE).
Für die Energiezustände betrachten wir einen Quantentrog:
2
Ej (kx , ky ) =
(k2x + k2y )
∗
2mxy
+ Ej
(9.52)
∗
mit der effektiven Masse in der x, y-Ebene mxy
und der transversalen Energie Ej . Im Falle
eines unendlichen Potentialtopfs gilt
2
Ej =
π 2 j2
2mz∗ dz2
HL1
Ej
mit j = 1, 2, 3
HL2
HL1
EL
Ej
dz
EV
HL1
EL
Minibänder
EV
9.6.4 Bauelemente basierend auf einem p-n-Übergang
1. Solarzelle: Die Absorption eines Photons in der Raumladungszone.
ω
RL
↓I
p
n
Das Elektron-Loch-Paar wird durch das elektrische Feld getrennt.
34
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Halbleiter | 9
Ein zusätzlicher Strom IL in Richtung des Feldstroms.
I = IS eeU /kB T − 1 − IL
(9.53)
2
Typische Werte bei einer Fläche von 4 cm sind IL ∼ 100 mA und IS ∼ 1 mA.
I
U
P = UI
Arbeitspunkt
Leerlaufspannung:
I=0
⇒ UL ≈
kB T
IL
ln
e
IS
typisch sind hier 0.5 V.
Kurschlussstrom:
U =0
⇒ I ≈ IL ∼ Bleuchtungsstärke
Die Betriebsbedingungen müssen so gewählt werden, dass die Fläche des Rechtecks
(siehe Abbildung) minimal wird. Fausregel: U ≈ 80 %UL . Der Verbrauchswiderstand RL
muss an die Solarzelle angepasst werden.
Amorphes Si ∼ 10 %
Polykrist. Si ∼ 15 %
Kristallines Si ∼ 20 %
GaAs (3 Schichten) ∼ 25 %
4
Typische Wirkungsgrade
2. Photodiode: Betrieb in Sperrrichtung.
3. Leuchtdioden: Betrieb in Durchlassrichtung.
4. Halbleiterlaser (p-n-Übergang in Durchlassrichtung): Rekombination von e− und h im
Bereich der Raumladungszone. Voraussetzung für Lasertätigkeit: Besetzungsinversion.
Elektronen und Löcher halten sich an den Bandkanten auf:
f (E = EL ) > f (E = EV )
f (EL ) = 1 + e
(9.54)
(EL −EFn )/kB T
p
f (EV ) = 1 + e(EV −EF )/kB T
p
EFn − EF > EL − EV = Eg
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−1
−1
(9.55)
35
Supraleiter | 10
10
Supraleiter
10.1 Grundphänomene
1911 H. K. Onnes (Hg)
T
TC
Messung: Erzeugung eines Dauerstroms
Herausziehen
IS
S
B
N
B
1. Abkühlen T < TC
2. Herausziehen des Magneten
˙ ). Bei
3. Durch das Herausziehen des Magneten wird ein Strom induziert (rot E = −B
endlichem Widerstand klingt der induzierte Strom als
I(t) = I0 e−Rt/L
(10.1)
ab mit dem Widerstand R des Rings und der Induktivität L.
Abklingzeit > 105 a
Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Feldverdrängung im Supraleiter:
Ba = µ 0 H
Bi = µ0 (H + M) = µ0 (H + χH) = µ0 H(1 + χ) = 0
χ = −1
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(10.2)
37
10.1 | Grundp hänomene
Oberflächenströme
Ba
9
Bi = Ba
Ba
Bi = 0
Durchflutung eines Leiters nach dem Meißner-Ochsenfeld-Effekt
Ein Supraleiter ist ein idealer Diamagnet. Wird das äußere Feld erhöht, so bricht die Abschirmung bei einem kritischen Feld BC zusammen und es folgt ein Übergang in den Normalzustand.
Bi
Ba
BC
Empirisch:
BC (T ) = BC (0) 1 −
T
TC
2
(10.3)
BC
NL
BC (T )
SL
T
BC umfasst hierbei
1. externe Felder Ba
2. interne Felder Bi
Bi wird aufgebaut wenn der Supraleiter von einem Strom durchflossen wird. Bei einem Draht
mit Radius R0 ist Bi an der Oberfläche
Bi =
µ0 I0
2π R0
Es muss gelten Bi + Ba ≤ BC (T ).
Supraleitung kann durch zu hohen Strom unterbrochen werden. Es gibt einen Grenzstrom
I > IC bei dem die Supraleitung verschwindet. (IC = 5 . . . 200 A für T = 0 K).
38
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Supraleiter | 10
Torsionsfaden
Lichtzeiger
BM
10 µm
SiO2 Quarzröhrchen
Pb
Be
10
Versuchsaufbau von Doll und Nähbauer zur Feldquantisierung
10.2 Grundkenntnisse über Supraleitung
1.
i) Elementsupraleiter sind vor allem Nichtübergangsmetalle sowie einige Übergangsmetalle mit nicht gefüllten inneren Schalen.
ii) Ferromagneten sind keine Supraleiter.
2. Verbindungs-Supraleiter haben eine höhere Sprungtemperatur
Element-Supraleiter ≤ 10 K
Verbindungs-Supraleiter ≥ 20 K
Hochtemperatur-Supraleiter bis 135 K
3. TC ist mit der Masse der Gitterbausteine verknüpft.
const
TC ∼ √
m
(10.4)
Isotopieeffekt.
Die Wechselwirkung, die bei der Supraleitung auftritt muss etwas mit der Masse der
Atomrümpfe zu tun haben. Phononen spielen also eine Rolle.
4. Bei der Messung sehr kleiner Abschirmströme stellte sich heraus, dass sie gequantelt
sind. Siehe dazu das Experiment von Doll und Nähbauer in Abbildung 10.
a) T > TC : Be einschalten, Be geht auch durch die Röhrchenmitte.
b) T < TC : Feldverdrängung aus dem supraleitenden Pb-Zylinder nicht jedoch aus dem
Quartzröhrchen.
c) Be ausschalten: Die Feldlinien können aus dem Quartzröhrchen nicht austreten. Be
wird im Quartzröhrchen eingefroren. Der magnetische Fluss ist Φe = Be A mit der
Querschnittsfläche A des Röhrchens (≈ 7.5 Å).
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39
10.2 | Grundkenntnisse über Supraleitung
d) Bleizylinder mit Röhrchen wirkt als magnetischer Dipol µ im Feld BM und erfährt
ein Drehmoment D = µ × B. Im Prinzip ist eine statische Magnetisierung möglich,
die es erlaubt Φe zu bestimmen.
Dynamische Methode (sehr viel empfindlicher)
Wechselfeld BM = BM,z sin ωt
Erzwungene Torsionsschwingung
Resonanzamplitude bestimmt Φe
Quantisierung des Flusses
Φe = nΦ0 = n
h
2e
(10.5)
(Elementares Flussquant h/e).
Abschrimströme werden nicht von Einzelelektronen, sondern von Elektronen-Paaren
mit der Ladung 2e, den sogenannten Cooper-Paaren, getragen.
5. Spezifische Wärme
cV
TC
T
Für Normalleiter gilt Ce (NL) ∼ T mit C = γT + αT 3 . Beim Supraleiter beobachtet man
eine exponentielle Abhängigkeit
Ce (SL) ∼ e−∆/kB T
(10.6)
Dies lässt vermuten, dass die Anregung der Elektronen über eine Energielücke erreicht
wird. Wir erhalten einen Phasenübergang zweiter Ordnung
Es tritt keine latente Wärme auf
aber Sprung in cV
Der Effekt der Elektronen ist S(SL) < S(NL)
⇒ geordneter Zustand.
Theoretischer Überblick
Ein theoretisches Verständnis der Phänomene, die mit der Supraleitung verbunden sind, wird
auf verschiedene Arten gewonnen.
1. Phänomenologische Gleichungen
a) Londonsche Gleichungen (Ergänzungen zu den Maxwellgleichungen) (1930)
b) Landau-Ginzburg-Gleichungen (1950)
2. Quantentheorie des Supraleiters: Bardeen, Cooper, Schriefer
40
2014-11-13
Supraleiter | 10
10.3 Londonsche Gleichungen
Für idealen Leiter = 0 wird der Stoßterm/Reibungsterm in den klassischen Bewegungsgleichungen vernachlässigt.
mvD
= 0 ⇒ m˙
v = −eE
(10.7)
2
Für die Stromdichte gilt
(10.8)
j S = −env
und es folgt die 1. Londonsche Gleichung
jS =
nS eS2
E
mS
(10.9)
der Index S steht für Suprastrom. Nicht die Stromdichte wie beim Ohmschen Gesetz (j = σ E),
sondern ihre zeitliche Ableitung ist proportional zur Feldstärke. Für E = 0 ist ∂t j = 0, also
j = const, d.h. ein einmal angeworfener Strom fließt auch ohne angelegtes Feld. Einsetzen
˙:
von (10.9) in die Maxwellsche-Gleichung rot E = −B
∂
∂t
mS
rot j S + B
nS eS2
(10.10)
=0
Die Gleichung besagt, dass der Magnetfluss durch eine beliebige Fläche innerhalb der Probe
zeitlich unveränderlich ist. Da nach dem Meißner-Effekt in einem Supraleiter aber das
Magnetfeld und nicht nur seine zeitliche Ableitung verschwindet, muss der Klammerausdruck
selbst verschwinden.
nS eS2
B
(10.11)
rot j S = −
mS
Dies ist die 2. Londonsche Gleichung.
Da Abschrimströme auch die Präsenz von Magnetfelder erfordern muss das Magnetfeld
etwas eindringen. Betrachte dazu rot B = µ0 j S :
rot rot B = −∇2 B = µ0 rot j S
mit (10.11)
∇2 B −
µ0 nS eS2
B=0
mS
(10.12)
SL
Vakuum
z
∼ e−x/λL
x
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41
10.4 | Cooper-Paare und BCS-Theorie
Bz (x) = B0 e−x/λL
(10.13)
−x/λL
(10.14)
mS
µ0 nS eS2
(10.15)
jS,y = jS,0 e
mit der Londonschen Eindringtiefe
λL =
Abschätzung für λ ≈ 15 nm.
Falls die Probendicke sehr viel kleiner als die Eindringtiefe ist d
λL so durchdringt das
Feld den Supraleiter. Der Meißnereffekt ist nicht vollständig (Supraleiter zweiter Art).
10.4 Cooper-Paare und BCS-Theorie
Es folgt eine kurze Zusammenfassung der bisherigen Erkenntnisse, die in die Theorie einfließen müssen.
1. Es gibt eine kritische Temperatur TC , einen kritischen Strom IC und ein kritisches Feld
BC bei dem die Supraleitung verschwindet.
2. Der eingefrorene Fluss ist mit h/2e quantisiert.
√
3. TC ∼ 1/ m
4. CV zeigt einen Sprung bei TC und exponentielles Verhalten für T < TC .
aus 2. e− -Paare sind für die Supraleitung verantwortlich
aus 3. Die Wechselwirkung der e− untereinander ist phononischer Natur
aus 4. Supraleitung ist mit einer Energielücke verbunden.
Cooper (1956): Bei einer attraktiven Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen ist der
Grundzustand des Fermi-Gases nicht mehr stabil und die Energie dieser zwei Elektronen
wird abgesenkt. Wie kann es zur einer attraktiven Wechselwirkung kommen?
e− -Gitter-e− -Wechselwirkung: Ein Elektron polarisiert das Gitter und es entsteht eine
positive Ladungswolke, die ein anderes Elektron anziehen kann. Erst nach einem
Viertel der Ionen-Schwingungszeit bildet sich die höchste positive Ladungsdichte
aus. Das erste Elektron ist nach dieser Zeit schon ca. 100 nm weiter entfernt. Die
Elektron-Elektron-Coulomb-Wechselwirkung mit einem zweiten Elektron ist klein und
die attraktive Wechselwirkung überwiegt.
Theoretische Beschreibung: Die Elektronen tauschen virtuelle Phononen aus. Man kann
eine Impulsbetrachtung vornehmen.
Vor dem Phononenaustausch k1 , k2
Nach dem Phononenaustausch
k1 = k1 + q
k2 = k2 − q
42
2014-11-18
Supraleiter | 10
k1
k2
−k
k
k
−k
11
k
Die beiden Elektronen im k-Raum (zweidimensionale Projektion).
Impulserhaltung muss weiterhin gelten. Aus der Gesamtimpulserhaltung folgt:
k1 + k2 = k1 + k2 = k
(10.16)
Die folgenden Betrachtungen gelten für T = 0 K. Für die beiden Elektronen sind nur
Zustände oberhalb von EF zugänglich, also der Energiebereich EF bis EF + ωD wobei
ωD die Debye-Frequenz ist. Im k-Raum bedeutet das
2
(kF + δk)2
= EF + ωD
2m
mωD
⇒ δk =
kF
Bei vorgegebenem k können nur Elektronenpaare in den in Abbildung 11 schraffierten
Bereichen die Impulserhaltung erfüllen. Am wahrscheinlichsten ist die für k = 0. Für
ein Cooper-Paar gilt
k1 = −k2
(10.17)
Betrachten wir die Zwei-Teilchen-Wellenfunktion ψ(r 1 , r 2 ) des Cooper-Paars. Wir wählen den Ansatz
ψ = Aeik1 r 1 eik2 r 2 = Aeik1 (r 1 −r 2 ) = Aeikr
mit der Relativkoordinate r = r 1 − r 2 . Die Lösung der Schrödingergleichung ist eine
Superposition solcher Paarzustände.
kF +δk
Ak eikr
ψ(r) =
(10.18)
k=kF
dabei ist |Ak |2 ein Maß für die Wahrscheinlichkeit ein spezielles Paar im Zustand
(k, −k) zu finden. Die Schrödingergleichung lautet
2
−
2m
˜ (r 1 , r 2 ) ψ(r 1 , r 2 ) = Eψ(r 1 , r 2 )
(∇21 + ∇22 ) + V
(10.19)
˜ (r 1 , r 2 ) zwei Anteile:
Hier hat V
1. attraktive Wechselwirkung (Phononenaustausch),
2. Coulomb-Abstoßung.
2014-11-18
43
10.4 | Cooper-Paare und BCS-Theorie
Für eine ausführliche Lösung siehe [1, 3, 2].
δE = E − 2EF =
2 ωD
˜
≈ −2 ωD e−4/(V0 D(EF ))
1 − e4/(V˜0 D(EF ))
(10.20)
˜0 das konstantes Matrixelement der Wechselwirkung ist. Die Energieändewobei V
rung ist negativ, d.h. die Energie der Cooper-Paare wird reduziert. An der Oberfläche
des Fermi-Sees bilden sich Zwei-Elektronenzustände, deren Energie um den Wert δE
gegenüber der Energie der freien Elektronen bei T = 0 K abgesenkt ist.
Bemerkung:
1. Die Gleichung (10.20) erlaubt eine Erklärung der scheinbar paradoxen
Beobachtung, dass gute Metalle wie Silber oder Kupfer nicht supraleitend sind. Die
Elektronen koppeln nur schwach an die Phononen.
2. Elektronen sind Fermionen, die Gesamtwellenfunktion muss also antisymmetrisch sein.
Die Wellenfunktion (10.18) ist symmetrisch bezüglich Elektronenaustausch. Wir wählen
also den Spinanteil antisymmetrisch.
(k↑, −k↓) (Singulett-Paar (S = 0)
Dieses verhält sich nach außen hin wie ein Boson. Es ist also ein gemeinsamer quantenmechanischer Grundzustand möglich.
3. Falls die Wechselwirkungen zwischen den Elektronen nicht isotrop ist, können auch
andere Fälle auftreten, z.B.
Suprafluides 3 He: Triplett S = 1 Ortswellenfunktion p-artig und antisymmetrisch.
Hochtemperatur-Supraleiter: Ortswellenfunktion d-artig.
4. Die Ausdehnung eines Cooper-Paares beträgt 100 nm to 1000 nm. Das bedeutet, dass
sich zwischen den beiden Elektronen eines Cooper-Paares Millionen andere aufhalten.
BCS-Grundzustand: Die theoretische Beschreibung des Gesamtzustandes ist mathematisch
sehr aufwändig [1, 3, 2]. Im Energiespektrum des Supraleiters tritt eine Energielücke ∆ auf.
Diese ist eng mit der Bindungsenergie der Cooper-Paare verbunden.
∆ = 2 ωD exp −
2
˜0 D(EF )
V
Die minimale Energie, die nötig ist um ein Cooper-Paar aufzubrechen beträgt
δEmin = 2∆
(10.21)
−
Angeregte Elektronen werden im Allgemeinen als Quasi-Teilchen (teils e , teils h-Charakter)
bezeichnet. Der gemeinsame Grundzustand der Cooper-Paare ist von den Zuständen der
Quasiteilchen durch die Energielücke getrennt.
Bemerkung:
1. Bei endlicher Temperatur sind nicht alle Elektronen an der Fermi-Fläche
gepaart, denn durch thermische Anregung werden Cooper-Paare aufgebrochen und
damit Quasiteilchen erzeugt. Für T → TC geht ∆ → 0. Aus der Theorie
∆(0) = 1.764 kB TC
44
(10.22)
ExPhys6
Zusammenfassungen | A
A
Zusammenfassungen
A.1 Effektive Masse
Die Bewegungsgleichung für die k-Vektoren lautet
dk
=F
dt
(A.1)
Die effektive Elektronenmasse ist gegeben durch
1 ∂ 2 E(k)
1
∗ =
2 ∂k ∂k
mij
i
j
(A.2)
Falls die Energieflächen Paraboloide sind gilt m∗ = const und E =
2 k2
2m∗
.
E
m∗
k
π /a k
Für Blochoszillationen in Übergittern gilt
ω B T2 ≤ 1
(A.3)
mit der Blochfrequenz ωB und der Streuzeit T2 .
folie02
45
A.2 | Halbleiter
A.2 Halbleiter
Besetzung der Bänder
∞
n=
DL (E)f (E, T ) dE
EL
EV
DV (E)[1 − f (E, T )] dE
p=
−∞
Für E − EF
2kB T :
L
n = Neff
e
V
e
p = Neff
E −E
− Lk T F
B
EV −EF
kB T
V
L
und Neff
mit den effektiven Zustandsdichten Neff
Massenwirkungsgesetz
V −Eg /kB T
L
n · p = Neff
Neff
e
Undotierte Halbleiter: Neutralitätsbedingung n = p
EF =
EL − EV
kB T
+
ln
2
2
V
Neff
L
Neff
Dotierte Halbleiter: Neutralitätsbedingung n + NA− = p + ND+
log n
Steigung ∼
Ed
2kB
Np > ND
Steigung ∼
Eg
2kB
ND
1/T
log µ
T 3/2
T −3/2
Streuung an
ionisierten
Störstellen
Phononenstreuung
log T
σ = |e|(nµn + pµp )
46
folie02
Zusammenfassungen | A
log σ
Eigenleitung
therm. Aktivierung von e− auf
den Donatoren
Streuung an
Phononen
1/T
ExPhys6
47
Index
—B—
Blochfrequenz, 3
Boltzmanngleichung in
Relaxationszeitnäherung
linearisiert, 7
Boltzmanngleichung in
Relaxationszeitnäherung, 6
—D—
Diffusionsstrom, 30
—E—
effektive Masse, 1
ExPhys6
—F—
Feldstrom, 30
Fermi-Dirac-Statistik, 6
—Q—
Quanten-Hall-Effekt, 15
—R—
Relaxationszeitnäherung, 6
—S—
Schottky-Barriere, 33
Schottky-Modell, 28
49
Literatur
Literatur
[1]
S. Hunklinger. Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2007. isbn: 978-3486-57562-0.
[2]
H. Ibach und H. Lüth. Festkörperphysik – Einfuhrung in die Grundlagen. SpringerLehrbuch. Springer, 2009. isbn: 978-3-540-85795-2.
[3]
R. Gross und A. Marx. Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2012. isbn:
978-3-486-71294-0.
[4]
H. Haken und H. C. Wolf. Molekülphysik und Quantenchemie. 5. Aufl. Springer Verlag,
Okt. 2005. isbn: 3-540-30314-6. doi: 10.1007/3-540-30315-4.
[5]
H. Haken und H. C. Wolf. Atom- und Quantenphysik. 8. Aufl. Springer Verlag, 2004. isbn:
978-3-642-62142-0. doi: 10.1007/978-3-642-18519-9.
[6]
C. Kittel und S. Hunklinger. Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2013. isbn: 978-3-486-59755-4.
[7]
W. Demtröder. Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle Und Festkörper. Springer, 2010.
isbn: 978-3-642-03910-2. doi: 10.1007/978-3-642-03911-9.
ExPhys6
51
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