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2. Übung zur
Elementaren Zahlentheorie
Wintersemester 2014/15
Nicola Oswald
Julia Koch
Aufgabe 1
Die Fibonacci-Zahlen Fn sind rekursiv definiert durch
F0 = 1,
F1 = 1,
Fn+1 = Fn + Fn−1 für n ∈ N.
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgenden Gleichungen für alle n ∈ N gelten:
(a)
n
2
k=0 Fk
(b) Fn =
√1
5
= Fn · Fn+1
√ n
1+ 5
2
−
√ n
1− 5
2
Bemerkung: Benannt ist sind die Zahlen nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202
das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Sie tauchen in vielen verblüffenden Zusammenhängen in der Natur auf. Die Gleichung in Teilaufgabe (b) ist auch als Formel von
Moivre-Binet bekannt.
Aufgabe 2
Gelten für beliebige Mengen M1 , M2 und M3 die Gleichungen
(a) M1 ∩ (M2 \M3 ) = (M1 ∩ M2 )\(M1 ∩ M3 )
und
(b) M1 ∪ (M2 \M3 ) = (M1 ∪ M2 )\(M1 ∪ M3 )?
Präsenzaufgabe – keine Abgabe!
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen.
(b) Jede natürliche Zahl größer als 5 kann als Summe von drei Primzahlen geschrieben werden.
Bemerkung: Aussage (a) wird als Goldbachsche Vermutung bezeichnet. Der Wahrheitsgehalt
dieser Aussage, über die in der Aufgabe nichts ausgesagt wird, ist bis heute unbekannt; tatsächlich
gehört die Vermutung als sogenanntes 8. Hilbertsches Problem zu den großen ungelösten
Fragen der Mathematik.
Abgabe bis zum 22.10., 10 Uhr, in die Briefkästen bei der Bibliothek.
Hinweis: Die erreichbare Punktzahl für jede Aufgabe auf diesem und jedem weiteren Blatt ist 10.
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Gesundheitswesen
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