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Blatt 1 - Institut für Mathematik

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Humboldt-Universit¨
at zu Berlin
Institut f¨
ur Mathematik
Blatt 1
Wintersemester 2014/15
Version 14.10.2014
Dr. Bernhard Gerlach,
Dr. Viktor Fromm, Lutz Klaczynski,
Nikolai Strogies, Kl´ebert Kentia
¨
Ubung
zur Linearen Algebra 1 fu
¨ r Informatiker/innen und Physiker/innen
Aussagenlogik und Mengentheorie
1. Aufgabe (4 Punkte).
Seien a, b, c Aussagen.
a) Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe einer Wahrheitstabelle
(i) a ←→ b
(ii) a → b
⇔
⇔
(a → b) ∧ (b → a)
¬b → ¬a
b) Sei a eine beliebige Aussage u
¨ber x. Beweisen Sie
(i) ¬ ∀x : a(x)
⇔
∃x : ¬a(x)
(ii) ∀x : ¬a(x)
⇔
¬ ∃x : a(x)
2. Aufgabe (4 Punkte).
Seien Ω eine Menge, I eine Indexmenge, A, B ⊆ Ω und f¨
ur alle i ∈ I, Ai ⊆ Ω.
Zeigen Sie
a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c
c
b)
i∈I
Ai
=
i∈I
Aci .
c
Folgern Sie aus b), dass
i∈I
Ai
=
i∈I
Aci
3. Aufgabe (4 Punkte).
Schreiben Sie die folgenden Mengen sowohl implizit als auch explizit.
Zeichnen Sie außerdem M3 und M4 .
a) M1 sei die Menge der Nullstellen des quadratischen Polynoms f (x) = x2 − x − 6,
b) M2 sei die Menge der ungeraden Zahlen,
c) M3 sei die L¨
osungsmenge des linearen Gleichungssystems
x1 + x2
=3
−x1 + 2x2 = 6,
d) M4 sei die Menge aller (x1 ; x2 ) ∈ R2 mit x1 + x2 ≥ 3 und −x1 + 2x2 = 6.
4. Pr¨
asenzaufgabe.
Wir betrachten zwei Aussagen
A : “Die S-Bahn ist unp¨
unktlich.“
B : “Es schneit.“
¨
Ubersetzen
Sie die folgenden Aussagen in die Umgangssprache:
a) Es gilt A und B.
b) Es gilt A und die Verneinung von B.
c) B ist a¨quivalent zur Verneinung von A.
d) Die Verneinung von A wird nicht durch B impliziert.
Negieren Sie die folgenden Aussagen Schreiben Sie Ihre Antwort wieder in die umgangssprache:
e) Immer wenn es schneit ist die S-Bahn unp¨
unktlich.
f) An allen Tagen im Jahr ist die S-Bahn p¨
unktlich.
g) Es gibt mindestens einen Tag im Jahr, an dem es nicht schneit.
h) F¨
ur alle Wochen im Jahr gibt es einen Tag, an dem es nicht schneit.
Abgabe:
Dienstag, 21.10.2014 vor der Vorlesung.
Die ersten drei Aufgaben sind auf getrennten Bl¨
attern zu bearbeiten und mit Namen, Matrikelnummer
¨
¨
und Ubungsgruppe zu versehen. Die Pr¨
asenzaufgabe wird in der Ubung
verglichen.
Abgabe in Zweiergruppen ist erlaubt.
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Bildung
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