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Lokale Körper - Mathematisches Institut

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Ralf Gerkmann
Mathematisches Institut der
Ludwig-Maximilians-Universität München
Lokale Körper
(Version vom 18. November 2014)
Inhaltsverzeichnis
............................
3
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
...
20
§ 3.
Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 5.
Das Henselsche Lemma
60
....................................
§ 1. Bewertungen und Bewertungsringe
Der aus der elementaren Mathematik bekannte Absolutbetrag auf den reellen und komplexen Zahlen kann folgendermaßen auf beliebige Körper verallgemeinert werden.
Definition 1.1
Eine Betragsbewertung auf einem Körper K ist eine Abbildung | · | : K → R+ mit
der Eigenschaft, dass für alle a, b ∈ K die Bedingungen
(i) |a| = 0 ⇔ a = 0
(ii) |ab| = |a||b|
(iii) |a + b| ≤ |a| + |b|
erfüllt sind.
Das Paar (K , | · |) nennt man dann auch einen bewerteten Körper.
Die Bedingung (iii) wird häufig als Dreiecksungleichung bezeichnet. Man beachte, dass für jede Betragsbewertung aus
|1| = 0 und |1|2 = |1|·|1| = |1·1| = |1| jeweils |1| = 1 folgt. Ebenso liefert |−1|2 = |(−1)2 | = |1| = 1 die Gleichung |−1| = 1. Wie
bei den reellen und komplexen Zahlen rechnet man unmittelbar nach, dass auch die Ungleichung ||a| − |b|| ≤ |a − b|
für alle a, b ∈ K erfüllt ist.
Offenbar ist für jeden Körper K durch |0K | = 0 und |a| = 1K für alle a ∈ K × eine Betragsbewertung definiert; man nennt
sie die triviale Betragsbewertung des Körpers.
Proposition 1.2
Beweis:
Auf einem endlichen Körper ist die einzige Betragsbewertung die triviale.
Sei K endlich, und nehmen wir an, dass | · | eine nichttriviale Betragsbewertung auf K ist. Dann gibt es ein
a ∈ K × mit |a| = 1. Weil es sich bei K × um eine endliche Gruppe handelt, gilt a n = 1 für ein n ∈ N. Aber andererseits
ist |a n | = |a|n wegen |a| = 1 entweder kleiner oder größer als 1. Der Widerspruch zeigt, dass auf K keine nichttriviale
Betragsbewertung existiert.
Wir wiederholen einige Grundlagen aus der mengentheoretischen Topologie. Den Begriff des topologischen Raums
und die Definition der offenen und abgeschlossenen Teilmengen eines solchen Raums setzen wir als bekannt voraus.
Ist X ein topologischer Raum und p ∈ X , dann ist eine Umgebung von p eine Teilmenge U ⊆ X mit der Eigenschaft,
dass in X eine offene Menge V mit p ∈ V und V ⊆ U existiert. Eine offene Umgebung von p ist einfach eine offene
Teilmenge von X , die p enthält. Eine Menge B von Umgebungen von p wird Umgebungsbasis genannt, wenn für jede
Umgebung U von p eine Meng V ∈ B mit p ∈ V und V ⊆ U existiert. Umgekehrt ist eine Teilmenge U ⊆ X unter
dieser Voraussetzung genau dann eine Umgebung von p, wenn ein V ∈ B mit V ⊆ U existiert. Bezeichnen wir nun für
jeden Punkt p ∈ X mit Bp eine beliebig gewählte Umgebungsbasis, dann erfüllen diese Mengensysteme die folgenden
Bedingungen.
(i) Für jedes p ∈ X und U ∈ Bp gilt p ∈ U .
(ii) Für vorgegebene p ∈ X und U1 ,U2 ∈ Bp existiert jeweils ein V ∈ Bp mit V ⊆ U1 ∩U2 .
(iii) Für jedes p ∈ X und jedes U ∈ Bp gibt es eine Menge V ⊆ U mit p ∈ V und der folgenden weiteren Eigenschaft:
Für jeden Punkt q ∈ V gibt es ein W ∈ Bq mit W ⊆ V .
—– 3 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Durch die Bedingung (iii) wird ausgedrückt, dass V eine Umgebung all ihrer Punkte ist. Dies ist gleichbedeutend
damit, dass es sich bei V um eine offene Menge handelt; jede Umgebung U von p soll also eine offene Umgebung von
p enthalten.
Ist nun X eine beliebige Menge, und ist für jeden Punkt p ∈ X ein Mengensystem Bp vorgegeben, so dass die Bedingungen (i) bis (iii) erfüllt sind, dann existiert auf X eine eindeutig bestimmte Topologie T mit der Eigenschaft, dass für
jeden Punkt p das Mengensystem Bp jeweils eine Umgebungsbasis von p ist. Eine Teilmenge V ⊆ X ist genau dann
offen in (X , T ), es gilt also V ∈ T genau dann, wenn für jedes q ∈ V ein W ∈ Bq mit W ⊆ U existiert. Insbesondere ist
eine Topologie also durch die Angabe von Umgebungsbasen für jeden Punkt eindeutig festgelegt.
Wir erinnern an den folgenden Satz aus der elementare Topologie.
Satz 1.3
Sei (X , d ) ein metrischer Raum. Dann existiert auf X eine eindeutig bestimmte Topo-
logie mit der Eigenschaft, dass für jedes p ∈ X die Mengen der Form Ur (p) = {x ∈ X | d (p, x) < r }
eine Umgebungsbasis von p bilden.
Beweis:
Zu überprüfen ist, dass für jedes p ∈ X die Mengensysteme der Form Bp = {Ur (p) | r ∈ R+ } den oben
aufgeführten Bedingungen (i),(ii),(iii) genügen. Ist p ∈ X und U ∈ Bp , dann gilt U = Ur (p) für ein r ∈ R+ , und wegen
d (p, p) = 0 < r ist p in U enthalten. Also ist (i) erfüllt. Seien nun p ∈ X und U1 ,U2 ∈ Bp vorgegeben. Dann gibt es
r 1 , r 2 ∈ R+ mit U1 = Ur 1 (p) und U2 = Ur 2 (p). Setzen wir r = min{r 1 , r 2 }, dann liegt V = Ur (p) wiederum in Bp , und
offensichtlich gilt V ⊆ U1 ∩U2 . Dies zeigt, dass auch (ii) erfüllt ist.
Zum Nachweis von (iii) seien p ∈ X und U ∈ Bp vorgegeben. Wiederum gilt U = Ur (p) für ein geeignetes r ∈ R+ . Sei
V = U und q ∈ V ein beliebiger Punkt. Setzen wir s = r − d (p, q), dann gilt s > 0, und die Menge W = U s (b) erfüllt
W ⊆ V . Denn für jedes x ∈ W gilt d (q, x) < s, und auf Grund der Dreiecksungleichung folgt d (p, x) ≤ d (p, q)+d (q, x) <
d (p, q) + (r − d (p, q)) = r , also x ∈ V .
Unmittelbar aus der Definition der Betragsbewertungen auf einem Körper folgt
Proposition 1.4
Sei (K , | · |) ein bewerteter Körper. Dann ist durch d (a, b) = |a − b| eine Metrik
auf K definiert.
Beweis:
Seien a, b, c ∈ K vorgegeben. Zunächst gilt d (a, b) = 0 ⇔ |a − b| = 0 ⇔ a − b = 0 ⇔ a = b, außerdem d (a, b) =
|a − b| = |(−1)(a − b)| = |b − a| = d (b, a). Die Dreiecksungleichung erhält man schließlich durch die kurze Rechnung
d (a, c) = |(a − b) + (b − c)| ≤ |a − b| + |b − c| = d (a, b) + d (b, c).
Ist (X , T ) ein topologischer Raum, dann bezeichnet man als Produkttopologie auf X × X die eindeutig bestimmte
Topologie mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt (p, q) ∈ X × X durch
B(p,q)
=
{U × V | U ,V offen, mit p ∈ U und q ∈ V }
eine Umgebungsbasis von (p, q) gegeben ist. Handelt sich bei (X , d ) um einen metrischen Raum, dessen Topologie mit
T übereinstimmt, dann bilden auch die Mengen Ur (p)×U s (q) mit r, s ∈ R+ eine Umgebungsbasis von (p, q) bezüglich
der Produkttopologie, wie man anhand der Definitionen unmittelbar nachprüft. Zugleich wird die Produkttopologie
auf X × X dann auch durch die Metrix d ((p, q), (p , q )) = max{d (p, p ), d (q, q )} induziert.
—– 4 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die Produkttopologie kann verwendet werden, um Topologien auf algebraischen Strukturen zu definieren. Ein Ring
(R, +, ·) wird topologischer Ring genannt, wenn auf R eine Topologie existiert, so dass die Abbildungen + : R × R → R
und · : R × R → R stetig sind, wobei auf R × R die Produkttopologie zu Grunde gelegt wird. Ist R sogar ein Körper und
auch die Abbildung K × → K × , a → a −1 stetig, dann spricht man von einem topologischen Körper.
Proposition 1.5
Auf jedem bewerteten Körper (K , | · |) existiert eine eindeutig bestimmte Topo-
logie mit der Eigenschaft, dass für jedes a ∈ K die Mengen der Form
Ur (a) = c ∈ K |c − a| < r
mit r ∈ R+
eine Umgebungsbasis von a bilden. Man bezeichnet sie als die von | · | induzierte Topologie auf
K . Bezüglich dieser Topologie wird K zu einem topologischen Körper.
Beweis:
Dass die Mengen der Form Ur (a) eine eindeutig bestimmte Topologie auf K liefern, folgt direkt aus Satz 1.3
und Proposition 1.5. Zu zeigen bleibt, dass K bezüglich dieser Topologie zu einem topologischen Körper wird. Dies ist
nach Definition gleichbedeutend mit der Stetigkeit der beiden Abbildungen K × K → K gegeben durch (a, b) → a + b,
(a, b) → ab und der Abbildung K × → K × , a → a −1 . Aus der elementaren Topologie ist bekannt, dass in metrischen
Räumen Stetigkeit und Folgenstetigkeit zueinander äquivalent sind. Es genügt also zu zeigen, dass die drei angegebenen Abbildungen folgenstetig sind.
Der Nachweis dieser Eigenschaft ist im Prinzip aus der Vorlesung über mehrdimensionale Analysis bekannt. Sei (a, b) ∈
K ×K und ((a n , b n ))n∈N eine Folge, die bezüglich der Produkttopologie gegen (a, b) konvergiert. Zu zeigen ist, dass die
Folgen (a n + b n )n∈N und (a n b n )n∈N gegen a + b bzw. ab konvergieren. Sei ε ∈ R+ vorgegeben. Dann gibt es ein N ∈ N
mit (a n , b n ) ∈ Uε/2 (a) ×Uε/2 (b) für alle n ≥ N . Es folgt
|(a n + b n ) − (a + b)|
|a n − a| + |b n − b|
≤
<
1
1
2ε+ 2ε
=
ε
für alle n ≥ N . Damit ist die Stetigkeit von + bewiesen. Weil konvergente Folgen in metrischen Räumen beschränkt
sind, gibt es ein κ ∈ R+ mit max{|a n |, |b n |} < κ für alle n ∈ N. Nach eventueller Vergrößerung von κ können wir auch
|a|, |b| < κ annehmen. Wählen wir nun N1 ∈ N so groß, dass (a n , b n ) ∈ Uε1 (a)×Uε1 (b) mit ε1 =
ε
2κ
für alle n ≥ N1 erfüllt
ist. Wir erhalten
|a n b n − ab|
=
|(a n b n − ab n ) + (ab n − ab)|
≤
|a n − a||b n | + |a||b n − b|
ε
ε
κ+κ
2κ
2κ
<
=
ε
für n ≥ N1 , was die Stetigkeit der Multiplikation beweist. Zum Nachweis der Stetigkeit von a → a −1 sei a ∈ K × und
(a n )n∈N eine Folge in K × mit limn a n = a. Nach Weglassen von endlich vielen Folgengliedern können wir voraussetzen, dass |a n − a| ≤ 21 |a| für alle n ∈ N erfüllt ist. Es folgt dann |a n | ≥ 21 |a| für alle n ∈ N, ansonsten würde sich der
Widerspruch |a| ≤ |a − a n | + |a n | < 12 |a| + 21 |a| = |a| ergeben. Sei nun ε ∈ R+ vorgegeben und N2 ∈ N so gewählt, dass
|a n − a| < Uε2 (a) mit ε2 = 12 ε|a|2 für alle n ≥ N2 gilt. Dann folgt
1
1
−
an a
=
a − an
an a
=
1
an a
|a n − a|
<
2 ε|a|2
·
|a|2
2
=
ε
für alle n ≥ N2 , also ist auch die Invertierungsabbildung stetig.
Eine Topologie auf einer Menge X bezeichnet man als diskret, wenn alle Teilmengen von X bezüglich dieser Topologie
offen sind.
—– 5 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Proposition 1.6
Eine Betragsbewertung induziert genau dann auf einem Körper die diskrete
Topologie, wenn sie trivial ist.
Beweis:
Sei (K , | · |) ein bewerteter Körper derart, dass | · | auf K die diskrete Topologie induziert und nehmen wir
an, dass die Betragsbewertung | · | dennoch nicht trivial ist. Dann gibt es ein Element a ∈ K × mit |a| = 1. Nachdem
wir a gegebenenfalls durch a −1 ersetzt haben, können wir wegen |a −1 | = |a|−1 davon ausgehen, dass |a| < 1 gilt. Nach
Voraussetzung ist {0} eine offene Teilmenge von K . Weil die Mengen der Form Ur (0) eine Umgebungsbasis von 0
bilden, existiert ein r ∈ R+ mit Ur (0) = {0}. Andererseits existiert ein n ∈ N mit |a n | = |a|n < r , woraus a n ∈ Ur (0)
und a n = 0 folgt. Weil K aber ein Körper ist, muss mit a auch a n ungleich Null sein. Der Widerspruch zeigt, dass die
Betragsbewertung | · | trivial sein muss.
Ist umgekehrt | · | die triviale Betragsbewertung auf K , dann gilt Ur (a) = {a} für jedes a ∈ K und jedes r ∈ R+ mit r ≤ 1.
Insbesondere ist {a} also eine offene Umgebung von a. Weil beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen
sind, folgt daraus, dass jede Teilmenge von K offen ist. Also induziert | · | auf K die diskrete Topologie.
Auf Grund dieser Proposition werden wir uns im weiteren Verlauf fast ausschließlich mit nichttrivialen Bewertungen
beschäftigen.
Definition 1.7
Man bezeichnet zwei Betragsbewertungen | · | und | · |1 auf einem Körper K als
äquivalent, wenn die beiden auf K induzierten Topologien übereinstimmen.
Für jeden Körper K ist somit eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Betragsbewertungen von K definiert. Dabei ist
die triviale Betragsbewertung nach Proposition 1.6 nur zu sich selbst äquivalent. Eine Äquivalenzklasse nichttrivaler
Betragsbewertungen von K bezeichnet man auch als Primstelle des Körpers K . Ist allgemeiner L|K eine Körpererweiterung, dann sind die Primstellen von L|K nach Definition die Äquivalenzklassen nichttrivialer Bewertungen | · | von
L mit |a| = 1 für alle a ∈ K × .
Satz 1.8
Seien | · | und | · |1 zwei nichttriviale Betragsbewertungen auf einem Körper K . Dann
sind die folgenden drei Aussagen gleichwertig.
(i) Für jedes a ∈ K folgt aus |a| < 1 jeweils |a|1 < 1.
(ii) Es gibt ein s ∈ R+ , so dass |a|1 = |a|s für alle a ∈ K erfüllt ist.
(iii) Die beiden Betragsbewertungen sind äquivalent.
Beweis: „(i) ⇒ (ii)“ Weil die Bewertung |·| nichttrivial ist, gibt es ein a ∈ K × mit |a| = 1. Nachdem wir a gegebenenfalls
durch a −1 ersetzt haben, können wir davon ausgehen, dass |a| > 1 gilt. Aus |a| > 1 folgt |a −1 | < 1, und auf Grund
unserer Voraussetzung ist damit auch |a −1 |1 < 1 und |a|1 > 1 erfüllt. Somit ist
s
=
ln |a|1
ln |a|
eine positive Zahl. Sei nun b ∈ K × beliebig vorgegeben. Wir zeigen, dass dann |b|1 = |b|s gilt; diese Gleichung ist
äquivalent zu ln |b|1 = s ln |b| oder zu
s
=
ln |b|1
ln |b|
—– 6 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Um nun diese Gleichung zu beweisen, sei α ∈ R+ so gewählt, dass |b| = |a|α gilt. Sei außerdem ( n k )k∈N eine Folge
m
m
rationaler Zahlen mit limk n k
k
mk
|a| nk < |b|
⇒
= α und
|a|mk < |b|nk
für alle k ∈ N und damit wegen
mk
nk
⇒
m
limk n k
k
k
< α für alle k ∈ N, wobei jeweils m k ∈ Z und n k ∈ N ist. Es gilt nun
a mk
<1
b nk
⇒
a mk
b nk
<1
⇒
1
m
n
|a|1 k < |b|1 k
⇒
mk
n
|a|1 k < |b|1
= α auch |a|α
1 ≤ |b|1 . Mit einer Folge rationaler Zahlen, die von oben gegen
α
α konvergiert, beweist man nach demselben Muster die Ungleichung |a|α
1 ≥ |b|1 . Insgesamt gilt also |a|1 = |b|1 . Diese
Gleichung wiederum liefert
ln |b|
ln |b|1
=α=
ln |a|
ln |a|1
⇔
ln |b|1
ln |a|1
=s=
.
ln |b|
ln |a|
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei s ∈ R+ mit der Eigenschaft, dass |a|1 = |a|s für alle a ∈ K × erfüllt ist. Setzen wir für a ∈ K und r ∈ R+
jeweils Ur (a) = {c ∈ K | |c − a| < r } und U1,r (a) = {c ∈ K | |c − a|1 < r , dann gilt U1,r s (a) = Ur (a), denn für alle c ∈ K × gilt
die Äquivalenz |c − a|1 < r s ⇔ |c − a|s < r s ⇔ |c − a| < r . Dies zeigt, dass die Mengen Ur (a) eine Umgebungbasis von a
sowohl bezüglich der | · |- als auch bezüglich der | · |1 -Topologie bilden. Also stimmen die beiden Topologien überein.
„(iii) ⇒ (i)“ Sei a ∈ K mit |a| < 1. Dann konvergiert die Folge (a n )n∈N bezüglich der | · |-Topologie gegen Null. Weil
die beiden Bewertungen dieselbe Topologie definieren, konvergiert die Folge auch bezüglich | · | gegen Null, d.h. die
Folge der reellen Zahlen |a n | = (|a| )n ist eine Nullfolge. Dies wiederum ist nur möglich, wenn |a| < 1 gilt.
Die folgende Aussage kommt fast immer zum Einsatz, wenn verschiedene Betragsbewertungen auf einem Körper im
Spiel sind.
Satz 1.9
(Approximationssatz)
Seien K ein Körper, s ∈ N und |·|1 , ..., |·|s nichttriviale, paarweise nicht-äquivalente Betragsbewertungen auf K . Seien a 1 , ..., a s ∈ K beliebig vorgegeben. Dann existiert für jedes ε ∈ R+ ein Element
a ∈ K , so dass |a k − a|k < ε für 1 ≤ k ≤ s erfüllt ist.
Als Vorbereitung beweisen wir
Lemma 1.10 Seien K ein Körper, s ∈ N und |·|1 , ..., |·|s nichttriviale, paarweise nicht-äquivalente
Betragsbewertungen auf K . Dann gibt es ein a ∈ K mit |a|1 > 1 und |a|k < 1 für 1 ≤ k ≤ s.
Beweis:
Für s = 1 folgt die Aussage sofort aus der Tatsache, dass | · |1 nichttrivial ist. Beweisen wir sie nun durch
vollständige Induktion für größere s und beginnen mit dem Fall s = 2. Weil |·|1 nichttrivial und |·|1 , |·|2 nicht äquivalent
sind, gibt es ein u ∈ K × mit |u|1 > 1 und |u|2 ≤ 1. Ebenso findet man ein v ∈ K × mit |v|1 ≤ 1 und |v|2 > 1. Setzen wir
a = uv , dann gilt |a|1 > 1 und |a|2 < 1.
Sei nun s > 2, und setzen wir die Aussage für s −1 voraus. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein u ∈ K × mit |u|1 > 1
und |u|k < 1 für 2 ≤ k ≤ s − 1. Außerdem gibt es ein v ∈ K × mit v ∈ K × mit |v|1 > 1 und |v|n < 1. Ist nun |u|n ≤ 1, dann
erfüllt u m v für hinreichen großes m ∈ N die Bedingungen |u m v|1 > 1 und |u m v|k < 1 für 1 ≤ k ≤ s. Nehmen wir nun
an, dass |u|n > 1 ist. In diesem Fall definieren wir für jedes m ∈ N das Element
tm
=
um
.
1 + um
—– 7 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die Folge (t m )m∈N konvergiert bezüglich | · |1 und | · |s gegen 1 und bezüglich | · |k gegen Null für 2 ≤ k ≤ s − 1. Für
hinreichend großes m gilt nun |t m v|1 > 1 und |t m v|k < 1 für 2 ≤ k ≤ s.
Beweis von Satz 1.9:
Nach Lemma 1.10 gibt es für 1 ≤ k ≤ s jeweils ein u k ∈ K × mit |u k |k > 1 und |u k | j < 1 für j = k. Die Folge bestehend
aus den Elementen
u k(m)
=
u km
1 + u km
konvergiert für m → ∞ bezüglich | · | j im Fall j = k gegen 1 und im Fall j = k gegen Null. Also konvergiert die Folge
bestehend aus den Elementen a (m) = u 1(m) a 1 + ... + u s(m) a s bezüglich | · |k jeweils gegen a k , für 1 ≤ k ≤ s.
Die folgende Aufteilung der Betragsbewertungen wird im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle spielen.
Definition 1.11
Eine nichttriviale Betragsbewertung | · | : K → R+ auf einem Körper K bezeich-
nen wir als archimedisch, wenn für vorgegebene a, b ∈ K × jeweils ein n ∈ N existiert, so dass
|na| > |b| erfüllt ist. Eine nichttriviale Betragsbewertung, die diese Eigenschaft nicht besitzt, bezeichnen wir als nicht-archimedisch.
Seien |·|, |·| zwei äquivalente Betragsbewertungen. Offenbar ist |·| genau dann trivial (bzw. archimedisch, nicht-archimedisch), wenn | · | trivial (bzw. archimedisch, nicht-archimedisch) ist.
Wenden wir uns nun speziell den nicht-archimedischen Betragsbewertungen zu. Für sie wird sich die folgende Charakterisierung als nützlich erweisen.
Proposition 1.12
Für eine nichttriviale Betragsbewertung |·| : K → R+ auf einem Körper K sind
folgende Aussagen äquivalent.
(i) Die Betragsbewertung | · | ist nicht-archimedisch.
(ii) Die Teilmenge der reellen Zahlen gegeben durch |n 1K | n ∈ N ist beschränkt.
(iii) Es gilt die verschärfte Dreiecksungleichung |x + y| ≤ max { |x|, |y| } für alle x, y ∈ K .
Beweis: Die Äquivalenz „(i) ⇔ (ii)“ ist leicht zu sehen. Setzen wir zunächst voraus, dass |·| archimedisch ist, und sei κ ∈
R+ vorgegeben. Weil es sich bei |·| um eine nichttriviale Bewertung handelt, gibt es ein b ∈ K × mit |b| > 1. Ersetzen wir
a durch eine genügend hohe Potenz, dann erhalten wir |b| > κ. Wenden wir nun die archimedische Eigenschaft von
|·| auf a = 1K und b an, so finden ein n ∈ N mit |n1K | > |b| > κ. Dies zeigt, dass die Menge {|n1K | | n ∈ N} unbeschränkt
ist. Setzen wir umgekehrt voraus, dass die Menge unbeschränkt ist, und seien a, b ∈ K × beliebig vorgegeben. Dann
gibt es ein n ∈ N mit |n1K | > | ba |. Durch Multiplikation mit |a| erhalten wir |na| > b.
„(iii) ⇒ (ii)“ Für alle n ∈ N gilt auf Grund der verschärften Dreiecksungleichung jeweils |(n + 1)1K | = |n1K + 1K | ≤
max{|n1K |, |1K |}. Durch vollständige Induktion erhält man |n1K | ≤ |1K | für alle n ∈ N, insbesondere ist die Menge
{|n1K | | n ∈ N} beschränkt.
„(ii) ⇒ (iii)“ Sei κ ∈ R+ eine obere Schranke von {|n1K | | n ∈ N}, und seien a, b ∈ K vorgegeben, wobei wir o.B.d.A.
|a| ≥ |b| voraussetzen. Dann gilt |a|k |b|n−k ≤ |a|n für alle n ∈ N und 0 ≤ k ≤ n, und der binomische Lehrsatz liefert die
—– 8 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Abschätzung
|a + b|n
n
≤
k=0
n
|a|k |b|n−k
k
≤
κ(n + 1)|a|n .
Ziehen wir auf beiden Seiten die n-te Wurzel und lassen n gegen unendlich laufen, dann erhalten wir die gewünschte
Ungleichung |a + b| ≤ |a| = max{|a|, |b|}.
Folgerung 1.13 Sei |·| : K → R+ eine nicht-archimedische Betragsbewertung, und seien a, b ∈ K
mit |a| < |b|. Dann gilt |a + b| = |b| = max{|a|, |b|}.
Beweis:
Die zweite Gleichung ist unmittelbar klar. Auf Grund der verschärften Dreiecksungleichung gilt einerseits
|a + b| ≤ |b|, aus |b| = |a + b − a| ≤ max{|a + b|, |a|} folgt wegen |a| < |b| andererseits aber auch |b| ≤ |a + b|.
Häufig werden die nicht-archimedischen Betragsbewertungen auch in einer „Exponentialschreibweise“ dargestellt.
Um diese zu definieren, erweitern wir die Menge R der reellen Zahlen durch ein Element ∞ ∉ R. Die Totalordnung ≤
¯ = R ∪ {∞} ausgedehnt werden, indem man a < ∞ für alle a ∈ R fordert. Auch die
auf den reellen Zahlen kann auf R
¯ erweitern, indem wir a + ∞ = ∞ + a = ∞ für alle a ∈ R
¯ festlegen. Man beachte, dass
Verknüpfung + können wir auf R
¯
(R, +) keine Gruppe, sondern lediglich eine Halbgruppe ist.
Definition 1.14
¯ mit
Sei K ein Körper. Eine (klassische) Bewertung ist eine Abbildung v : K → R
den folgenden Eigenschaften.
(i) Für alle a ∈ K gilt die Äquivalenz a = 0 ⇔ v(a) = ∞.
(ii) Es gilt v(ab) = v(a) + v(b) für alle a, b ∈ K .
(iii) Es gilt v(a + b) ≥ min{v(a), v(b)} für alle a, b ∈ K .
Man bezeichnet v als trivial, wenn v(0) = ∞ und v(a) = 0 für alle a ∈ K × gilt.
¯ eine Bewertung und γ ∈ R+ mit γ > 1. Setzt man γ−∞ = 0, dann ist durch |a|v = γ−v(a) eine BetragsSei v : K → R
bewertung auf K definiert, wie man durch Nachrechnen der Bedingungen (i) bis (iii) in Def. 1.1 unmittelbar bestätigt. Diese ist trivial genau dann, wenn v trivial ist, und ansonsten nicht-archimedisch. Die Rechenregel in Folgerung
1.13 lässt sich übersetzen in v(a, b) = min{v(a), v(b)}, falls a, b ∈ K Elemente mit v(a) = v(b) bezeichnen. Ist umgekehrt | · | : K → R+ eine nicht-archimedische Betragsbewertung auf K , dann ist durch v(a) = − ln(|a|) für a ∈ K × und
v(0) = −∞ eine nichttriviale Bewertung auf K definiert. Aus Satz 1.8 folgt unmittelbar
Folgerung 1.15
Zwei Bewertungen v, v eines Körpers K sind genau dann äquivalent, wenn ein
+
s ∈ R mit v (a) = sv(a) für alle a ∈ K × existiert.
Im Gegensatz zu den archimedischen Betragsbewertungen besitzen die nicht-archimedisch bewerten Körper eine
wichtige algebraische Invariante, ihren Bewertungsring.
Definition 1.16
¯ eine Bewertung. Dann bezeichnet man die
Sei K ein Körper und v : K → R
Teilmenge O v = a ∈ K v(a) ≥ 0 von K als Bewertungsring zur Bewertung v.
Offenbar ist eine Bewertung v genau dann trivial, wenn O v = K gilt.
—– 9 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die folgende Proposition fasst die Eigenschaften der Bewertungsringe zusammen. Dazu erinnern wir daran, dass ein
Integritätsbereich R als lokaler Ring bezeichnet wird, wenn er genau ein maximales Ideal besitzt, und als normal,
wenn er in seinem Quotientenkörper ganzabgeschlossen ist.
Proposition 1.17
Sei (K , v) ein bewerteter Körper.
(i) Durch O v ist ein Teilring von K definiert, der K als Quotientenkörper besitzt.
(ii) Die Einheitengruppe von O v ist gegeben durch {a ∈ K | v(a) = 0}.
(iii) Der Ring O v ist ein normaler und lokaler Ring, dessen einziges maximales Ideal durch
pv = {a ∈ K | v(a) > 0} gegeben ist.
Beweis:
zu (i)
Zunächst beweisen wir die Teilring-Eigenschaft. Wegen v(1) = 0 gilt jedenfalls 1 ∈ O v . Seien nun
a, b ∈ O v vorgegeben. Dann gilt v(a) ≥ 0 und v(−b) = v(b) ≥ 0. Aus den Eigenschaften einer Bewertung folgt v(a − b) ≥
min{v(a), v(−b)} ≥ min{0, 0} = 0 und v(ab) = v(a) + v(b) ≥ 0 + 0 = 0, also a − b ∈ O v und ab ∈ O v . Nun zeigen wir noch,
dass K der Quotientenkörper von O v ist. Sei c ∈ K × vorgegeben. Ist die Bewertung trivial, dann gilt K = O v , und die
Aussage ist offensichtlich. Ansonsten gibt es ein a ∈ K × mit v(a) > 0. Für hinreichend großes n ist v(c) + nv(a) ≥ 0,
also v(c a n ) ≥ 0. Damit liegt das Element b = ca n in O v . Durch c = (c a n )/(a n ) können wir c also als Quotient zweier
Elemente aus O v darstellen.
zu (ii)
Liegt ein Element a in der Einheitengruppe O v× , dann gibt es ein b ∈ O v× mit ab = 1. Aus a, b ∈ O v folgt
v(a), v(b) ≥ 0. Zusammen mit v(a)+v(b) = v(ab) = v(1) = 0 folgt daraus v(a) = 0. Sei nun umgekeht a ∈ K mit v(a) = 0.
Dann gilt insbesondere a = 0 und somit auch v(a −1 ) = −v(a) = 0. Dies zeigt, dass auch a −1 in O v liegt und a somit
eine Einheit des Rings O v ist.
zu (iii) Zunächst zeigen wir, dass durch die angegebene Menge pv tatsächlich ein Ideal von O v definiert ist. Wegen
v(0) = ∞ > 0 ist das Nullelement in pv enthalten. Seien nun r ∈ O v und a, b ∈ pv vorgegeben. Nach Definition gilt
v(r ) ≥ 0 und v(a), v(b) > 0. Es folgt v(a +b) ≥ min{v(a), v(b)} > 0 und v(r a) = v(r )+ v(a) > 0, insgesamt also a +b, r a ∈
pv . Für jedes Element a in O v \ pv gilt v(a) = 0, nach (ii) handelt es sich also um eine Einheit. Dies zeigt, dass pv sogar
ein maximales Ideal ist.
Nun zeigen wir, dass pv das einzige maximale Ideal ist. Nehmen wir nämlich an, dass q ein von pv verschiedenes Ideal
ist. Dann ist q ⊆ pv auf Grund der Maximalität von pv ausgeschlossen. Statt dessen gibt es ein Element c ∈ q \ pv . Aber
ein solches Element ist zwangsläufig eine Einheit, und wir erhalten q = (1K ) im Widerspruch zu unserer Annahme.
Zum Schluss beweisen wir noch die Ganzabgeschlossenheit von O v in K . Sei c ∈ K ein Element, dass über dem Teilring O v ganz ist. Dann gibt es ein n ∈ N und Koeffizienten a 0 , ..., a n−1 ∈ O v , so dass c n + a n−1 c n−1 + ... + a 1 c + a 0 = 0
erfüllt ist. Nehmen wir nun an, dass c nicht in O v liegt, also v(c) < 0 gilt. Dann folgt jeweils nv(c) < kv(c) und somit
v(c n ) = nv(c) < kv(c) ≤ v(a k )+kv(c) = v(a k c k ) für 0 ≤ k < n. Setzen wir der Einfachheit halber a n = 1, dann liefert die
Gleichung
v(0)
=
min v a k c k
0≤k ≤n
=
v(c n )
<
∞
im Widerspruch zu v(0) = ∞. Die Anname v(c) < 0 war also falsch, und es folgt c ∈ O v wie gewünscht.
Weil es sich bei pv um ein maximales Ideal von O v handelt, ist der Faktorring κv = O v /pv ein Körper. Man nennt ihn
∼K.
den Restklassenkörper von (K , v). Ist die Bewertung v trivial, dann gilt offenbar pv = (0) und deshalb κv =
—– 10 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Die folgende Klasse von Bewertungen wird im weiteren Verlauf eine besonders wichtige Rolle spielen.
Definition 1.18
Sei K ein Körper. Eine Bewertung v von K wird als diskret bezeichnet, wenn sie
nichttrivial ist und die Wertemenge v(K × ) eine diskrete Untergruppe von (R, +) bildet.
Für jede Bewertung v auf einem Körper K ist v(K × ) eine Untergruppe von (R, +), denn auf Grund der Bedingung
v(ab) = v(a) + v(b) ist durch v ein Gruppenhomomorphismus zwischen K × und (R, +) definiert. Es ist nicht schwer
zu zeigen, dass die nichttrivialen diskreten Untergruppen von (R, +) genau die Teilmengen der Form s Z sind, wobei
s die positiven reellen Zahlen durchläuft. Nach Folgerung 1.15 ist eine diskrete Bewertung deshalb immer äquivalent
zu einer Bewertung v mit Wertegruppe v(K × ) = Z. Alle bisher behandelten Beispiele von Bewertungen sind diskrete
Bewertungen.
Satz 1.19
Sei K ein Körper und v und diskrete Bewertung auf K mit v(K × ) = Z und π ∈ K ein
beliebig gewähltes Element mit v(π) = 1.
(i) Jedes Element a ∈ K × hat eine eindeutige Darstellung der Form a = uπn mit n ∈ Z und
u ∈ O v× . Dabei ist n = v(a), und a liegt genau dann in O v , wenn n ≥ 0 ist.
(ii) Der Ring O v ist ein Hauptidealring. Seine Ideale = (0) sind genau die Hauptideale der Form
(πn ) mit n ∈ N0 .
(iii) Die Primelemente in O v sind genau die Elemente p ∈ K mit v(p) = 1, und für jedes solche
Element gilt pv = (p) und pnv = (p n ) für alle n ∈ N.
Beweis:
zu (i)
Zunächst beweisen wir die Existenz einer solchen Darstellung. Sei a ∈ K × vorgegeben, n = v(a)
und u = aπ−n . Dann gilt v(u) = v(a) − nv(π) = n − n = 0, also ist u in O v eine Einheit. Insgesamt ist a = uπn also
eine Darstellung mit den gewünschten Eigenschaften. Sei nun a = wπm eine weitere Darstellung von a mit m ∈ Z
und w ∈ O v× . Dann gibt m = 0 + m = v(w) + mv(π) = v(wπm ) = v(a) = n und damit auch w = aπ−m = aπ−n = u. Die
Aussage über die Zugehörigkeit zu O v folgt direkt aus der Gleichung v(a) = n.
zu (ii) Sei a ein Ideal von O v ungleich Null und n = min{v(a) | a ∈ a}. Wir zeigen, dass a = (πn ) gilt. Zum Nachweis
von „⊆“ sei a ∈ a vorgegeben. Dann gilt v(a) ≥ n, und folglich liegt das Element aπ−n wegen v(aπ−n ) ≥ n + (−n) = 0 in
O v . Damit erhalten wir a = bπn ∈ (πn ). Für den Beweis von „⊇“ bemerken wir, dass nach Definition von n ein Element
a ∈ a mit v(a) = n existiert. Damit ist u = aπ−n eine Einheit, und mit a ∈ a liegt auch πn = u −1 a in a. Es folgt (πn ) ⊆ a.
zu (iii) Sei p ∈ O v mit v(p) = 1. Weil O v ein Hauptidealring ist, genügt es zu zeigen, dass p irreduzibel ist. Zunächst ist
p wegen v(p) = 0 keine Einheit. Seien nun a, b ∈ O v mit p = ab. Aus v(a) + v(b) = v(ab) = v(p) = 1 und v(a), v(b) ≥ 0
folgt wegen v(K × ) = Z, dass entweder v(a) oder v(b) gleich Null ist, eines der Elemente ist also eine Einheit. Damit ist
die Irreduzibilität von p bewiesen.
Nun beweisen wir die Gleichung (p) = pv . Aus Teil (ii) wissen wir bereits, dass pv = (πn ) für ein n ∈ N0 gilt. Wegen
pv = (1) ist n = 0 ausgeschlossen. Andererseits ist π wegen v(π) = 1 > 0 in pv enthalten. Wäre n ≥ 2, dann gäbe es
nur Elemente a mit v(a) ≥ 2 in pv . Also gilt pv = (π). Die Elemente p und π unterscheiden sich wegen v(pπ−1 ) =
v(p) − v(π) = 1 − 1 = 0 nur um eine Einheit. Also sind die Hauptideale (π) und (p) gleich, es gilt somit auch pv = (p).
Die Gleichung pnv = (p n ) für alle n ∈ N folgt aus der allgemeinen Rechenregel (a)n = (a n ) für Hauptideale.
—– 11 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Ist (K , v) ein allgemeiner diskret bewerteter Körper, v(K × ) = s Z mit s ∈ R+ , dann sind die Primelemente in O v entsprechend genau die Elemente a ∈ K mit v(a) = s. Die Aussage (i) und (ii) aus Satz 1.19 gelten entsprechend.
In jedem direkte bewerteten Körper bilden die Ideale pv ⊇ p2v ⊇ p3v ⊇ ... eine absteigende Folge von Untergruppen von
(K , +) und zugleich eine Umgebungsbasis der Null. Eine ähnliche Konstellation findet man auch für die multiplikative
Gruppe K × des Körpers vor.
Definition 1.20 Sei (K , v) ein diskret bewerteter Körper und π ein Primelement des Bewertungsrings. Für jedes n ∈ N bezeichnet man U v(n) = 1 + pn = {1 + aπn | a ∈ O v } als die n-te Einseinheitengruppe des Körpers.
Die folgende Ausage zeigt, dass diese Benennung der Teilmengen U v(n) sinnvoll ist.
Proposition 1.21
Sei (K , v) ein diskret bewerteter Körper.
(i) Es gilt O v× ⊇ U v(1) und U v(n) ⊇ U v(n+1) für alle n ∈ N.
(ii) Für jedes n ∈ N ist U v(n) eine Untergruppe von O v× .
(iii) Die Teilmengen U v(n) bilden eine Umgebungsbasis von 1 ∈ K × .
Beweis:
zu (i) Für alle n ∈ N und a ∈ O v gilt v(1+ aπ) = min{v(1), v(aπ)} = min{0, v(a)+1} = 0 und somit 1+ aπ ∈ O v× .
Damit ist die erste Inklusion bewiesen. Die Inklusion U v(n) ⊇ U v(n+1) für alle n ∈ N ist auf Grund der Definition von U v(n)
offensichtlich.
zu (ii) Denn das Einselement ist offenbar in U (n) enthalten, und sind u = 1 + aπn und v = 1 + bπn zwei vorgegebene
Elemente in U (n) mit a, b ∈ O v , dann ist wegen uv = (1+aπn )(1+bπn ) = 1+(a+b)πn +abπ2n auch uv in U (n) enthalten.
Auch das Element u −1 liegt in U (n) , denn es gilt
v(u −1 − 1)
=
v(u −1 (1 − u))
=
v(u −1 ) + v(−aπn )
≥
0+n
=
n.
zu (iii) Sei U ⊆ K eine Umgebung des Einselements. Ist γ ∈ R+ ein beliebig gewähltes Element mit γ > 1, dann ist |a| =
γ−v(a) eine zu v gehörende Betragsbewertung. Nach Definition der Topologie auf K gibt es ein r ∈ R+ mit Ur (1) ⊆ U
(vgl. Proposition 1.5). Sei n ∈ N mit n >
r
ln(γ)
n
und u ∈ U (n) , u = 1 + aπn für ein a ∈ O v . Dann gilt |u − 1| = γ−v(aπ ) = γ−n ,
und wegen (−n) ln(γ) < r und γ−n < r folgt |u − 1| < r . Damit ist U (n) ⊆ U nachgewiesen.
Die folgende Aussage wird sich später bei der Untersuchung der arithmetischen Struktur der lokalen Körper als nützlich heraussstellen.
Satz 1.22
Sei (K , v) ein diskret bewerteter Körper. Dann erhält man nach Wahl eines Primele-
ments π ∈ O v für jedes n ∈ N natürliche Gruppenisomorphismen
∼
(i) pnv /pn+1
= O v /pv
v
n ×
(ii) O v× /U v(n) ∼
= (O v /pv )
(iii) U v(n) /U v(n+1) ∼
= κv
die durch die Abbildungen πn a → a, a → a und 1 + πn a → a induziert werden.
—– 12 —–
,
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Beweis:
zu (i) Jedes Element in pnv besitzt eine eindeutige Darstellung der Form πn a mit a ∈ O v , somit ist pnv → O v ,
πn a → a eine wohldefinierte Abbildung, die zudem offenbar surjektiv ist. Somit ist auch die Abbildung φ : pnv → κv
gegeben durch πn a → a + pv wohldefiniert und surjektiv. Wie man unmittelbar überprüft, handelt es sich bei φ um
einen Homomorphismus zwischen den additiven Gruppen. Außerdem gilt für alle a ∈ O v die Äquivalenz
a ∈ ker(φ)
a + pv = pv
⇔
a ∈ pv
⇔
πn a ∈ pn+1
v
⇔
,
n n+1 ∼
also ker(φ) = pn+1
= κv .
v . Der Homomorphiesatz liefert also einen Isomorphismus pv /pv
zu (ii) Der Ringhomomorphismus O v → O v /pnv , a → a + pnv definiert einen Homomorphismus φ : O v× → (O v /pnv )×
zwischen den Einheitengruppen. Wir zeigen, dass φ surjektiv ist. Sei b ∈ O v ein Element mit b + pnv ∈ (O v /pnv )× . Dann
gibt es ein c ∈ O v mit bc + pnv = (b+ pnv )(c + pnv ) = 1+ pnv , insbesondere ist 1 in bc + pnv enthalten. Wäre b ∉ O v× , dann würde
bc + pnv nur Elemente a mit v(a) ≥ 1 enthalten, im Widerspruch zu 1 ∈ bc + pnv . So aber gilt b ∈ O v× und φ(b) = b + pnv ,
womit die Surjektivität bewiesen ist. Darüber hinaus ist ker(φ) = U (n) , denn für alle u ∈ c alO ×
v gilt die Äquivalenz
u ∈ ker(φ)
u + pnv = 1 + pnv
⇔
u − 1 ∈ pnv
⇔
⇔
u ∈ U (n) .
Der Homomorphiesatz liefert also O v× /U v(n) ∼
= (O v /pnv )× .
zu (iii) Jedes Element in U v(n) hat eine eindeutig bestimmte Darstellung in der Form 1 + aπn mit a ∈ O v und n ∈ N,
somit existiert eine wohldefinierte, surjektive Abbildung U (n) → κv , 1 + aπn → a + pv . Wegen
φ((1 + aπn )(1 + bπn ))
=
φ(1 + (a + b)π + abπn )
(a + pv ) + (b + pv )
=
=
(a + b) + pv
=
φ(1 + aπn ) + φ(1 + bπn )
für a, b ∈ O v handelt es sich um einen Gruppenhomomorphismus zwischen der multiplikativen Gruppe U (n) und der
additiven Gruppe von κv . Für alle a ∈ O v gilt die Äquivalenz
1 + aπn ∈ ker(φ)
⇔
a + pv = pv
⇔
a ∈ pv
⇔
1 + aπn ∈ U v(n+1)
und somit ker(φ) = U v(n+1) . Durch Anwendung des Homomorphiesatzes erhalten wir den gewünschten Isomorphismus U (n) /U (n+1) ∼
= κv .
v
v
Ein besonders wichtiger Spezialfall von Satz 1.22 (ii) ist der Isomorphismus O v× /U v(1) ∼
= κ×
v.
—– 13 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Anhang:
Krullsche Bewertungen
Im letzten Teil dieses Kapitels werden wir die Bewertungsringe O v allein durch ihre algebraischen Eigenschaften, also
ohne die Bezugnahme auf eine Bewertung v, charakterisieren. Auf dieses Ergebnis werden wir dann später im Kapitel
über Bewertungsfortsetzungen zurückgreifen. Zunächst müssen wir dazu den Begriff der Bewertung eines Körpers
noch weiter verallgemeinern.
Definition 1.23
Eine angeordnete abelsche Gruppe ist ein Tripel (Γ, +, ≤) bestehend aus einer
Menge Γ, einer Verknüpfung + mit der Eigenschaft, dass (Γ, +) zu einer abelschen Gruppe wird,
und einer Halbordnung ≤ auf G, so dass die Äquivalenz
α≤β
⇔
α+γ ≤ β+γ
für alle α, β, γ ∈ γ erfüllt ist. Ist ≤ darüber hinaus eine Totalordnung, so spricht man von einer
totalgeordneten abelschen Gruppe.
Ein Homomorphismus zwischen angeordneten abelschen Gruppen (Γ, +, ≤) und (Γ , + , ≤ ) ist ein Homomorphismus
φ : Γ → Γ von Gruppen mit der zusätzlichen Eigenschaft α ≤ β ⇔ φ(α) ≤ φ(β) für alle α, β ∈ Γ. Ist φ auch bijektiv,
dann spricht man von einem Isomorphismus und bezeichnet die angeordneten abelschen Gruppen als isomorph. Wir
sagen, eine totalgeordnete abelsche Gruppe Γ besitzt die archimedische Eigenschaft, wenn für vorgegebene α, β ∈ Γ
mit α, β > 0Γ jeweils ein n ∈ N mit nα > β existiert.
¯ erweitert haben, können wir auch jede anGenau wie wir die reellen Zahlen zu einer totalgeordneten Halbgruppe R
geordnete abelsche Gruppe Γ durch Hinzunahme eines Elements ∞ mit α < ∞ für alle a ∈ Γ zu einer totalgeordneten
¯ = Γ ∪ {∞} erweitern. Auch die Verknüpfung + können wir genau wie dort von Γ auf Γ
¯ ausdehnen.
Menge Γ
Proposition 1.24
Eine totalgeordnete abelsche Gruppe besitzt genau dann die archimedische
Eigenschaft, wenn sie (als angeordnete Gruppe) isomorph zu einer Untergruppe von (R, +, ≤) ist,
mit der herkömmlichen Addition und Anordnung auf den reellen Zahlen.
Beweis: „⇐“ Nach Voraussetzung existiert ein Monomorphismus φ : Γ → R angeordneter abelscher Gruppen. Um zu
zeigen, dass Γ die archimedische Eigenschaft besitzt, seien α, β ∈ Γ mit α, β > 0Γ vorgegeben. Dann gilt φ(α), φ(β) > 0,
und weil das archimedische Axiom in den reellen Zahlen gültig ist, existiert ein n ∈ N mit nφ(α) > φ(β). Es folgt
φ(nα) > φ(β) und nα > β. „⇒“ Sei (Γ, +, ≤) eine totalgeordnete abelsche Gruppe mit der archimedischen Eigenschaft. Wir können voraussetzen, dass Γ = {0Γ } gilt, denn andernfalls ist Γ isomorph zur trivialen Untergruppe {0} ⊆ R.
Damit ist auch Γ+ = {γ ∈ Γ | γ > 0Γ } nichtleer. Sei nun α ∈ Γ+ beliebig gewählt; für jedes γ ∈ Γ mit γ ∈ Γ+ definieren wir
Sγ
=
m
n
∈ Q+ m, n ∈ N, mα ≤ nγ .
Ob r ∈ Q+ in S γ enthalten ist, ist offenbar unabhängig von der Darstellung von r als Bruch zweier natürlicher Zahlen, denn für beliebige m, n, p ∈ N gilt die Äquivalenz mα ≤ nγ ⇔ mpα ≤ npα. Wir beweisen nun nacheinander die
folgenden Aussagen.
—– 14 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
(i) Für alle γ ∈ Γ+ gilt S γ = ∅ und S γ = Q+ . Sind r, s ∈ Q+ mit r < s und ist s ∈ S γ , dann folgt r ∈ S γ .
(ii) Für jedes γ ∈ Γ+ ist S γ eine nichtleere und beschränkte Teilmenge von Q+ . Durch die Zuordnung φ : γ → sup S γ
ist somit eine Abbildung φ : Γ+ → R+ definiert.
(iii) Für alle γ, δ ∈ Q+ gilt die Äquivalenz γ ≤ δ ⇔ S γ ⊆ S δ ⇔ φ(γ) ≤ φ(δ).
(iv) Seien γ, δ ∈ Γ+ und r, s ∈ Q+ . Aus r ∈ S γ und s ∈ S δ folgt r + s ∈ S γ+δ . Aus r ∉ S γ , s ∉ S δ folgt ebenso r + s ∉ S γ+δ .
(v) Es gilt φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ) für alle γ, δ ∈ Γ+ .
(vi) Setzen wir die Definition von φ durch φ(0Γ ) = 0 und φ(−γ) = φ(γ) für γ ∈ Γ+ auf die gesamte Gruppe Γ fort,
dann gilt φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ) und γ ≤ δ ⇔ φ(γ) ≤ φ(δ) für alle γ, δ ∈ Γ.
Insgesamt ist φ dann ein Monomorphismus abelscher Gruppen.
zu (i) Für jedes γ ∈ Γ+ gibt es ein n ∈ N mit nγ > α. Nach Definition ist dann
1
n
in S γ enthalten, also insbesondere
S γ = ∅. Wäre S γ = Q , dann würde insbesondere n ∈ S γ und somit nα ≤ γ fur alle n ∈ N. Aber dies widerspricht der
+
archimedischen Eigenschaft. Zum Beweis der dritten Aussage seien r, s ∈ Q+ mit r < s und s ∈ S γ vorgegeben. Sei r =
und s =
m
n
wiederum
mit k, , m, n ∈ N. Dann gilt
kn
n
kn
n
<
m
n
k
und kn < m. Aus s ∈ S γ folgt mα ≤ nγ und knα ≤ mα ≤ nγ, daraus
+
=r ∈Q .
zu (ii) Dass S γ nicht leer ist, wurde bereits gezeigt. Wäre S γ unbeschränkt, dann gäbe es für jedes n ∈ N in r ∈ S γ
mit r > n, und nach (i) würde daraus n ∈ S γ folgen. Aber daraus folgt nα ≤ γ für alle n ∈ N, was im Widerspruch zur
archimedischen Eigenschaft steht.
zu (iii) Wir führen zwischen den drei Aussagen einen Ringschluss durch. Zum Beweis der ersten Implikation setzen
m
n
wir γ ≤ δ voraus. Ist r ∈ S γ , r =
mit m, n ∈ N dann gilt mα ≤ nγ. Wegen γ ≤ δ folgt daraus mα ≤ nδ, was wiederum
mit r ∈ S δ gleichbedeutend ist. Die zweite Implikation ist offensichtlich.
Zum Beweis der letzten Implikation setzen wir φ(γ) ≤ φ(δ) voraus und führen die Annahme γ > δ zu einem Widerspruch. Auf Grund der archimedischen Eigenschaft existiert ein n ∈ N mit n(γ − δ) > 2α. Sei nun m ∈ N minimal mit
mα > nδ gewählt. Dann gilt einerseits
ein r ∈ S δ mit r >
m
n,
m
n
∉ S δ , und es folgt
und nach (i) würde daraus
m
n
m
n
≥ φ(δ). Wäre nämlich
Insgesamt erhalten wir φ(δ) ≤
<
m+1
n
< φ(δ) = sup S δ , dann gäbe es
∈ S δ folgen. Andererseits gilt auf Grund der Minimalität von m die
Ungleichung (m − 1)α ≤ nδ, somit (m + 1)α ≤ nδ + 2α < nδ + n(γ − δ) = nγ und
m
n
m
n
m+1
n
∈ S γ , also
m+1
n
≤ sup S γ = φ(γ).
≤ φ(γ), im Widerspruch zur Voraussetzung.
zu (iv) Seien r ∈ S γ und s ∈ S δ vorgegeben, r =
k
und s =
m
n
mit k, , m, n ∈ N. Dann gilt kα ≤ γ und mα ≤ nδ. Es
folgt knα ≤ nγ und mα ≤ nδ, also
(kn + m)α
und somit r + s =
kn+ m
n
=
knα + mα
≤
nγ + nδ
=
n(γ + δ)
∈ S γ+δ . Die zweite Aussage erhält man, indem man im soeben durchgeführten Beweis überall
„≤“ durch „>“ ersetzt.
zu (v) Zunächst zeigen wir, dass φ(γ) + φ(δ) eine obere Schranke von S γ+δ ist. Nehmen wir an, dass ein r ∈ S γ+δ
mit r > φ(γ) + φ(δ) existiert. Dann setzen wir ε = r − φ(γ) − φ(δ) und wählen s, t ∈ Q+ mit φ(γ) < s < φ(γ) + 12 ε und
φ(δ) < t < φ(δ) + 12 ε. Damit gilt
s+t
<
φ(γ) + φ(δ) + ε
—– 15 —–
=
r.
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Aus s > φ(γ) = sup S γ folgt andererseits s ∉ S γ , und aus demselben Grund gilt t ∉ S δ . Nach (iv) erhalten wir s + t ∉ S γ+δ .
Wäre s + t < φ(γ + δ) = sup S γ+δ , dann gäbe es ein u ∈ S γ+δ mit u > s + t , und daraus würde nach (i) dann s + t ∈ S γ+δ
folgen. So aber gilt s + t ≥ φ(γ+δ) ≥ r ; damit haben insgesamt r ≤ s + t < r hergeleitet. Der Widerspruch zeigt, dass ein
r wie angegeben nicht existiert.
Nun zeigen wir noch, dass φ(γ) + φ(δ) die kleinste obere Schranke von S γ+δ ist. Nehmen wir an, dass eine noch kleine
obere Schranke u ∈ R+ existiert, und setzen wir ε = φ(γ) + φ(δ) − u. Wegen φ(γ) = sup S γ und φ(δ) = sup S δ gibt es
r ∈ S γ und s ∈ S δ mit r > φ(γ) − 21 ε und s > φ(δ) − 12 ε. Nach (iv) liegt r + s in S γ+δ , daraus folgt r + s ≤ u. Andererseits
gilt r + s > φ(γ) + φ(δ) − ε = u. Unserer Annahme hat also zu einem Widerspruch geführt.
zu (vi) Hier zeigen wir zuerst die Äquivalenz γ ≤ δ ⇔ φ(γ) ≤ φ(δ). Ist eines der Elemente γ, δ gleich Null, dann ist die
Aussage offensichtlich, denn nach Definition von φ gilt γ ≥ 0Γ ⇔ φ(γ) ≥ 0 für alle γ ∈ Γ. Ist γ < 0Γ und δ > 0Γ , dann folgt
nach Definition φ(γ) < 0 und φ(δ) > 0. Auch die umgekehrte Implikation ist nach Definition offensichtlich erfüllt, und
für γ > 0Γ und δ < 0Γ läuft die Argumentation völlig analog. Für den Fall γ, δ > 0Γ wurde die Äquivalenz bereits in (iii)
bewiesen. Der einzige verbleibende Fall ist somit γ, δ < 0Γ ; diesen erhalten wir durch die Äquivalenz
γ≤δ
⇔
−γ ≥ −δ
(iii)
⇔
φ(−γ) ≥ φ(−δ)
⇔
−φ(γ) ≥ −φ(δ)
⇔
φ(γ) ≤ φ(δ).
Kommen wir nun zum Beweis von φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ) für beliebige γ, δ ∈ Γ. Sind γ und δ beide positiv, dann ist die
Gleichugn durch (v) bereits bewiesen. Sind beide negativ, dann können wir sie durch
φ(γ + δ)
=
−φ((−γ) + (−δ))
=
(−φ(−γ)) + (−φ(−δ))
=
φ(γ) + φ(δ)
auf den bereits bekannten Fall zurückführen. Im Fall γ = 0Γ oder δ = 0Γ ist die Gleichung offensichtlich. Nach eventueller Vertauschung von γ und δ können wir nun γ < 0Γ < δ annehmen. Zunächst betrachten wir den Fall γ ≥ −δ. Dann
ist γ + δ ≥ 0Γ , und auf Grund des zuvor schon Bewiesenen gilt
φ(γ + δ) + φ(−δ) = φ(γ)
⇔
φ(γ + δ) − φ(δ) = φ(γ)
⇔
φ(γ + δ) = φ(γ) + φ(δ).
Setzen wir nun γ < −δ voraus. Dann ist −γ − δ > 0, also φ(γ) + φ(−γ − δ) = φ(−δ), was äquivalent zu φ(γ) − φ(γ + δ) =
−φ(δ) und zu φ(γ) + φ(δ) = φ(γ + δ) ist.
Wir können nun den Begriff der Bewertung folgendermaßen verallgemeinern.
Sei K ein Körper und Γ eine angeordnete abelsche Gruppe. Eine Krullsche
¯ mit folgenden Eigenschaften.
Bewertung mit Werten in Γ ist eine Abbildung v : K → Γ
Definition 1.25
(i) Für alle a ∈ K gilt die Äquivalenz a = 0 ⇔ v(a) = ∞.
(ii) Es gilt v(ab) = v(a) + v(b) für alle a, b ∈ K .
(iii) Es gilt v(a + b) ≥ min{v(a), v(b)} für alle a, b ∈ K .
Auch eine Krullsche Bewertung v bezeichnet man als trivial, wenn v(0) = ∞ und v(a) = 0Γ für
alle a ∈ K × gilt.
Aus dem zweiten Teil der Bedingung (ii) folgt insbesondere, dass man durch Einschränkung von v einen Gruppenhomomorphismus zwischen K × und Γ erhält. Die Bildgruppe v(K × ) bezeichnet man als Wertegruppe von v. Wie bei
¯ auf einem Körper K die
den klassischen Bewertungen definiert man auch für eine Krullsche Bewertung v : K → Γ
Teilmenge O v = {a ∈ K | v(a) ≥ 0Γ }. Auch hier gilt
—– 16 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
Proposition 1.26
¯
Sei K ein Körper mit einer Krullschen Bewertung v : K → Γ.
(i) Durch O v ist ein Teilring von K definiert, der K als Quotientenkörper besitzt.
(ii) Es gilt O v = K genau dann, wenn die Bewertung v trivial ist.
(iii) Die Einheitengruppe von O v ist gegeben durch {a ∈ K | v(a) = 0Γ }.
(iv) Der Ring O v ist ein normaler und lokaler Ring, dessen einziges maximales Ideal durch
pv = {a ∈ K | v(a) > 0} gegeben ist.
Beweis:
Im Beweis von Proposition 1.17 wurde lediglich verwendet, dass (R, +) eine angeordnete abelsche Gruppe
ist. Deshalb kann der Beweis für die hier vorliegenden Aussagen unverändert übernommen werden.
Folgerung 1.27
Sei (K , v) ein Körper mit einer Krullschen Bewertung. Besitzt die Wertegruppe
×
v(K ) die archimedische Eigenschaft, dann existiert eine klassische Bewertung w auf K , so dass
O v = O w , pv = pw und κv = κw gilt.
Beweis:
¯ auffassen. Weil Γ nach Voraussetzung die
Setzen wir Γ = v(K × ), dann können wir v als Abbildung K → Γ
archimedische Eigenschaft besitzt, existiert nach Proposition 1.24 ein Isomorphismus φ angeordneter Gruppen zwi¯ durch w(a) = (φ ◦ v)(a) für alle a ∈ K × und w(0) = ∞. Für
schen (Γ, +, ≤) und (R, +, ≤). Wir definieren nun w : K → R
jedes a ∈ K × gilt w(a) ≥ 0 genau dann, wenn v(a) ≥ 0Γ erfüllt ist, also stimmen O w und O v überein. Genauso beweist
man die anderen beiden Gleichungen.
Wir werden nun die Bewertungsringe in der Gesamtheit aller Integritätsbereiche rein algebraisch, ohne Bezugnahme auf eine Bewertung, charakterisieren. Dazu erinnern wir an den Begriff des gebrochenen Hauptideals aus der
Algebraischen Zahlentheorie: Ist R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper, dann ist ein gebrochenes
Hauptideal ein R-Untermodul von K , der durch ein einziges Element erzeugt wird, also eine Teilmenge der Form
Ra = {r a | r ∈ R}, wobei a ein beliebiges Element aus K bezeichnet. Liegt a in R, dann ist Ra natürlich ein Hauptideal
im herkömmlichen Sinn.
Proposition 1.28
Sei R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper. Dann sind die
folgende Aussagen äquivalent.
(i) Für alle a ∈ K \ R gilt a −1 ∈ R.
(ii) Es gibt eine Krullsche Bewertung v auf K mit R = O v .
Beweis: Wir ergänzen (i),(ii) durch die zusätzliche Aussage
(iii) Die Menge der gebrochenen Hauptideale von R in K ist bezüglich Inklusion total geordnet.
und beweisen die Äquivalenz von (i), (ii) und (iii). „(iii) ⇒ (ii)“ Sei Γ die Menge der gebrochenen Hauptideale von R
in K ungleich Null. Zunächst überprüfen wir, dass auf Γ eine Verknüpfung + mit
Ra + Rb
=
R(ab)
für alle a, b ∈ K
existiert. Dazu wählen wir für jedes gebrochene Hauptideal I ein Element a I ∈ K mit R = a I . Dann definieren wir
I + J = R(a I b J ) für beliebige I , J ∈ Γ. Zum Beweis der Gleichung seien nun a, b ∈ K vorgegeben, außerdem I = Ra
—– 17 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
und J = Rb. Wegen Ra = I = Ra I und Rb = J = Ra J unterscheiden sich a, a I und a, a J nur um Einheiten; es gibt also
ε, ε ∈ R × mit a = εa I und b = ε a J . Nach Definition gilt I + J = R(a I b J ), und weil auch εε eine Einheit in R ist, gilt
R(ab) = R(εε a I b J ) = R(a I b J ).
Sei nun die Relation ≤ auf Γ definiert durch Ra ≤ Rb ⇔ Ra ⊇ Rb für alle a, b ∈ K . Nach Voraussetzung ist ≤ eine
Totalordnung auf Γ. Wir überprüfen, dass durch (Γ, +, ≤) eine totalgeordnete abelsche Gruppe definiert ist. Für alle
a, b, c ∈ K × gilt
(Ra + Rb) + Rc
=
R(ab) + Rc
=
R((ab)c)
=
R(a(bc))
=
Ra + R(bc)
=
Ra + (Rb + Rc).
Also ist die Verknüpfung + auf Γ assoziativ. Außerdem gilt Ra + R1K = Ra für alle a ∈ K × . Dies zeigt, dass R1K ein
Neutralelement in (Γ, +) ist. Schließlich gilt noch Ra+Ra −1 = R(aa −1 ) = R1K für alle a ∈ K × . Also besitzt jedes Element
in Γ ein Inverses, insgesamt ist (Γ, +) damit eine Gruppe. Für alle a, b, c ∈ K × gilt die Äquivalenz
Ra ≤ Rb
⇔
Ra ⊇ Rb
⇔
b ∈ Ra
bc ∈ R(ac)
⇔
⇔
R(ac) ⊇ R(bc)
⇔
Ra + Rc ≤ Rb + Rc.
¯ = Γ ∪ {∞} fortsetzen, indem wir weiterhin Ra ≤
Sei nun ∞ = R0K = {0K }. Dann können wir die Totalordnung ≤ auf Γ
Rb ⇔ Ra ⊇ Rb fordern. Ebenso ist die Verknüpfung Ra + Rb = R(ab) für alle a, b aus K einschließlich 0K definiert.
¯ durch v(a) = Ra für alle a ∈ K und überprüfen, dass v eine Krullsche
Wir definieren nun eine Abbildung v : K → Γ
Bewertung ist. Für alle a ∈ K gilt
v(a) = ∞
⇔
Ra = R0K
⇔
a = 0K .
¯ jeweils v(ab) = R(ab) = Ra +Rb = v(a)+ v(b). Seien nun
Für alle a, b ∈ K gilt nach Definition der Verknüpfung + auf Γ
a, b ∈ K mit v(a) ≥ v(b) vorgegeben. Dann gilt Ra ⊆ Rb, also a ∈ Rb und damit auch R(a + b) ⊆ Rb. Es folgt v(a + b) =
R(a + b) ≥ Rb = v(b) = min{v(a), v(b)}. Schließlich gilt für alle a ∈ K außerdem noch v(a) ≥ 0Γ ⇔ aR ⊆ R ⇔ a ∈ R,
somit ist R = O v nachgewiesen.
„(ii) ⇒ (i)“ Sei v eine Krullsche Bewertung auf K und R = O v . Ist a ∈ K \ R, dann gilt v(a) < 0Γ nach Definition von O v ,
also v(a −1 ) = −v(a) ≥ 0Γ und somit a −1 ∈ O v .
„(i) ⇒ (iii)“ Seien a, b ∈ K beliebig vorgegeben und Ra, Rb die zugehörigen gebrochnen Hauptideale. Nehmen wir an,
dass Ra ⊆ Rb gilt. Ist b = 0K , dann ist Rb = {0K } ⊆ Ra offenbar erfüllt. Ansonsten gilt b = 0K und a ∉ Rb. Es folgt
also a = 0K und
b
a
a
b
∉ R,
∈ R auf Grund unserer Voraussetzung an den Ring R. Daraus wiederum folgt b ∈ Ra und Rb ⊆ Ra.
Nun sind wir in der Lage, auch die Bewertungsringe der klassischen Bewertungen zu charakterisieren.
Satz 1.29
Sei R ein Integritätsbereich und K sein Quotientenkörper.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(i) Es gibt eine nichttriviale klassische Bewertung v auf K , so dass R = O v gilt.
(ii) Der Ring R ist ein maximaler echter Teilring von K .
(iii) Für jedes Element a ∈ K \ R gilt a −1 ∈ R. Darüber hinaus existiert für jedes a ∈ R \ R × und
jedes b ∈ K × ein n ∈ N mit a n ∈ Rb.
Beweis:
„(i) ⇒ (ii)“ Weil die Bewertung v auf K nichttrivial ist, gibt es ein a ∈ K × mit v(a) = 0. Nachdem wir a
gegebenenfalls durch a −1 ersetzt haben, können wir v(a) < 0 annehmen. Damit ist a ein Element aus K \R, somit ist R
—– 18 —–
§ 1.
Bewertungen und Bewertungsringe
ein echter Teilring von K . Zum Beweis der Maximalität sei R˜ ein Teilring von K mit R˜ R. Ist c ein beliebiges Element
aus R˜ \ R, dann gilt v(c) < 0 und v(c −1 ) > 0. Sei nun a ∈ K × vorgegeben. Weil (R, +) die archimedische Eigenschaft
besitzt, gibt es ein n ∈ N mit nv(c −1 ) > v(a −1 ). Es folgt
v(c −n ) > v(a −1 )
⇒
v(c −n ) − v(a −1 ) > 0
v(c −n ) + v(a) > 0
⇒
⇒
v(ac −n ) > 0
˜ Wir erhalten R˜ = K , also ist R als echter Teilring von K tatsächlich maximal.
und somit ac −n ∈ R und a = (ac −n )c n ∈ R.
„(ii) ⇒ (iii)“ Zum Beweis der ersten Aussage von (iii) sei a ∈ K \ R vorgegeben. Nehmen wir an, dass a −1 ∉ R gilt. Weil
R als echter Teilring von K maximal ist, muss dann R[a −1 ] = K gelten. Es gibt also ein n ∈ N und a 0 , ..., a n ∈ R, so dass
a
=
a 0 + a 1 a −1 + ... + a n a −n
erfüllt ist. Multiplikation mit a n liefert a n+1 = a 0 a n + a 1 a n−1 + ... + a n . Durch einen einfachen Induktionsbeweis zeigt
man, dass a n+k als R-Linearkombination von 1, a, ..., a n dargestellt ist, für alle k ∈ N.
Nun gilt wegen a ∉ R und auf Grund der Maximalität von R auch K = R[a]. Dies bedeutet, dass jedes Element in
K als R-Linearkombination von 1, a, ..., a n dargestellt werden kann. Stellen wir diese n + 1 Elemente von K jeweils
als Bruch zweier Elemente aus R da, so erhalten wir durch Bildung des Hauptnenners ein Element 0 = c ∈ R mit
c a k ∈ R für 0 ≤ k ≤ n. Daraus folgt cK ⊆ R und insbesondere a = c(c −1 a) ∈ R, im Widerspruch zur Annahme a ∉ R. Der
Widerspruch zeigt, dass a −1 in R liegt.
Zum Beweis der zweiten Teilaussage seien nun a ∈ R \ R × und b ∈ K × vorgegeben. Dann gilt a −1 ∉ R, und weil R als
echter Teilring von K maximal ist, erhalten wir R[a −1 ] = K . Insbesondere existiert ein n ∈ N0 und a 0 , ..., a n ∈ R mit
b −1 = a 0 + a 1 a −1 + ... + a n a −n . Setzen wir c = a 0 a n + a 1 a n−1 + ... + a n , dann gilt b −1 = c a −n , und c ist in R enthalten. Es
folgt a n = bc ∈ Rb wie gewünscht.
„(iii) ⇒ (i)“ Auf Grund der ersten Teilaussage von (iii) existiert nach Proposition 1.28 eine Krullsche Bewertung v auf K
mit R = O v . Wir zeigen, dass v(K × ) die archimedische Eigenschaft besitzt. Seien α, β ∈ v(K × ) mit α, β > 0Γ vorgegeben.
Dann gibt es a, b ∈ K × mit v(a) = α und v(b) = β. Wegen v(a) > 0Γ gilt a ∈ R \ R × . Auf Grund der zweiten Teilaussage
von (iii) finden wir somit ein c ∈ R und ein n ∈ N mit a n = bc. Daraus wiederum folgt
nα
=
nv(a)
=
v(a n )
=
v(bc)
=
v(b) + v(c)
≥
v(b)
=
β
und somit (n + 1)α > β. Wir können nun Folgerung 1.27 anwenden und erhalten eine klassiche Bewertung w auf K
mit R = O v = O w .
—– 19 —–
§ 2. Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
In diesem Abschnitt werden wir die Primstellen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper klassifizieren.
Zunächst werden wir dazu den Zusammenhang zwischen Primidealen und Bewertungen genauer untersuchen.
Proposition 2.1 Sei R ein Hauptidealring, K sein Quotientenkörper und p ∈ R ein Primelement.
Für jedes a ∈ R sei v p (a) = max{ n ∈ N0 | p n teilt a }, außerdem setzen wir v p (a) = 0.
b
c
(i) Es gibt eine eindeutig bestimmte Fortsetzung von v p auf K , so dass v p
= v p (b) − v p (c)
für alle b, c ∈ R mit c = 0 erfüllt ist. Durch diese Fortsetzung ist eine Bewertung von K
definiert.
(ii) Sei q ∈ R ein weiteres Primelement in R. Genau dann sind v p und v q äquivalent, wenn p
und q assoziiert sind.
Beweis:
zu (i) Wir überprüfen, dass der Wert v p (r ) eines Elements r ∈ K unabhängig von seiner Darstellung als
Quotient zweier Elemente aus r ist. Gilt
b
c
=r =
b
c
mit b, b , c, c ∈ R, dann folgt bc = b c, also v p (b) + v p (c ) = v p (b ) +
v p (c) und somit v p (b) − v p (c) = v p (b ) − v p (c ). Außerdem erhalten wir so tatsächlich eine Fortsetzung der Abbildung
v p auf R, denn wegen p 1 ist v p (1) = 0 und v p ( a1 ) = v p (a) − v p (0) = v p (a) für alle a ∈ R.
Nun überprüfen wir, dass durch v p eine Bewertung auf K definiert ist. Für jedes r =
b
c
∈ K mit b, c ∈ R und c = 0 gilt
die Äquivalenz
v p (r ) = ∞
v p (b) − v p (c) = ∞
⇔
⇔
v p (b) = ∞
⇔
b=0
⇔
r = 0.
Seien nun r, s ∈ K vorgegeben. Zu zeigen ist v p (r s) = v p (r )+v p (s). Ist r = 0 oder s = 0, dann steht auf beiden Seiten der
Wert ∞. Setzen wir also r, s = 0 voraus, und betrachten wir zunächst den Fall, dass r und s in R enthalten sind. Sind
m, n ∈ N0 so gewählt, dass p m | r , p m+1 r und p n | r , p n+1 s gilt, dann ist v p (r ) = m und v p (s) = n nach Definition.
Außerdem gilt p m+n | (r s), p m+n+1 (r s) und somit v p (r s) = m + n = v p (r ) + v p (s). Für den allgemeinen Fall seien nun
r = bc , s =
d
f
mit b, c, d , f ∈ R ungleich Null. Dann gilt r s =
v p (r s)
=
v p (bd ) − v p (c f )
=
bd
cf
und somit
v p (b) + v p (d ) − v p (c) + v p ( f )
v p (b) − v p (c) + v p (d ) − v p ( f )
=
=
v p (r ) + v p (s).
Nun zeigen wir noch, dass v p (r + s) ≥ min{v p (r ), v p (s)} für beliebige r, s ∈ K gilt. Wieder können wir den Fall r s = 0
ausschließen. Außerdem genügt es, die Ungleichung für r, s ∈ R zu beweisen. Liegt nämlich mindestens eines der
Elemente nicht in R, dann wählen wir ein c ∈ R, so dass r c, sc ∈ R erfüllt ist. Setzen wir die Ungleichung für Elemente
aus R voraus, dann erhalten wir
v p (r + s)
=
v p (r c + sc) − v p (c)
≥
min{v p (r c), v p (sc)} − v p (c)
min{v p (r c) − v p (c), v p (sc) − v p (c)}
=
=
min{v p (r ), v p (s)}.
Seien also r, s ∈ R mit r, s = 0, außerdem m = v p (r ) und n = v p (s). Es gibt dann r 0 , s 0 ∈ R mit r = p m r 0 und s = p n s 0 .
Nach eventueller Vertauschung können wir m ≥ n voraussetzen. Wir erhalten r + s = p m−n p n r 0 + p n s 0 = p n (p m−n r 0 +
s 0 ). Dies zeigt, dass r + s durch p n teilbar ist. Es gilt also v p (r + s) ≥ n = min{m, n} = min{v p (r ), v p (s)}.
—– 20 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
zu (ii) Seien p und q Primelemente von R. Setzen wir zunächst voraus, dass p und q assoziiert sind. Für jedes a ∈ R
und m ∈ N0 gilt p m | a jeweils genau dann, wenn q m | a gilt. Daraus folgt v p (a) = v q (a) für alle a ∈ R und damit auch
v p (a) = v q (a) für alle a ∈ K . Die Bewertungen v p und v q stimmen also überein, insbesondere sind sie äquivalent.
Setzen wir andererseits voraus, dass p und q nicht äquivalent sind, dann gilt v p (p) = 1 und v q (p) = 0. Dies zeigt, dass
kein s ∈ R+ mit v q (a) = sv p (a) für alle a ∈ K existiert. Nach Folgerung 1.15 sind v p und v q damit nicht äquivalent.
Primelemente in Hauptidealen definieren also Bewertungen des Quotientenkörpers. Umgekehrt gilt ganz allgemein
Proposition 2.2
Sei R ein Integritätsbereich, K sein Quotientenkörper und v eine Bewertung
von K mit v(a) ≥ 0 für alle a ∈ K . Dann ist p = {a ∈ R | v(a) > 0} ein Primideal in R.
Beweis: Zunächst folgt 0 ∈ p aus v(0) = ∞. Seien nun r ∈ R und a, b ∈ p vorgegeben. Dann gilt v(r ) ≥ 0 und v(a), v(b) >
0. Es folgt v(a +b) ≥ min{v(a), v(b)} > 0 und v(r a) = v(r )+v(a) > 0, also r a ∈ p und a +b ∈ p. Dies zeigt, dass p ein Ideal
in R ist. Wegen v(1) = 0 gilt 1 ∉ p. Sind a, b ∈ R mit ab ∈ p vorgegeben, dann folgt v(a) + v(b) = v(ab) > 0 und somit
v(a) > 0 oder v(b) > 0. Es gilt also a ∈ p oder b ∈ p. Damit ist p sogar ein Primideal.
Für jede Primzahl p erhalten wir durch |a|p = p −v p (a) eine nicht-archimedische Betragsbewertung auf Q. Eine weitere
ist durch den gewöhnlichen Absolutbetrag gegeben. Für sie verwenden wir die Bezeichnung |·|∞ . Weil es sich bei |·|∞
um eine archimedische Betragsbewertung handelt, ist sie für keine Primzahl p zu |·|p äquivalent. Wir zeigen nun, dass
damit bis auf Äquivalenz alle Betragsbewertungen von Q angegeben wurden.
Proposition 2.3
Sei | · | eine archimedische Betragsbewertung von Q. Dann ist | · | äquivalent
zum gewöhnlichen Absolutbetrag | · |∞ .
Beweis:
Wir werden weiter unten zeigen, dass der Quotient ln |m|/ ln(m) für alle m ∈ N den gleichen Wert s ∈ R+
besitzt. Daraus folgt die gewünschte Aussage, denn dann erhalten wir für jedes n ∈ N die Gleichung
s
|n|∞
=
ns
=
n ln |n|/ ln(n)
=
exp ln(n) ·
1
· ln |n|
ln(n)
exp(ln |n|)
=
=
|n|.
s
= |a| für alle a ∈ Z und schließlich auch für alle a ∈ Q. Kommen wir nun zum Beweis der Gleichung
Es folgt |a|∞
ln |m|/ ln(m) = ln |n|/ ln(n) für m, n ∈ N. Dazu schreiben wir m in der Form
r
m
ak n k
=
mit 0 ≤ a k < n , r ∈ N0 ,
k=0
wobei wir a r = 0 voraussetzen. Dann ist n r ≤ m ⇔ r ≤ ln(m)/ ln(n), außerdem |a k | ≤
|n| < 1, dann würde daraus
r
|m|
≤
∞
|a n ||n|k
≤
k=0
n · |n|k
=
k=0
n
|1| ≤ n
=1
für 0 ≤ k ≤ r . Wäre
n
1 − |n|
folgen. Damit wäre die Menge {|m| | m ∈ N} ⊆ R beschränkt und | · | nach Proposition 1.12 nicht-archimedisch, im
Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss |n| ≥ 1 gelten, und für |m| erhalten wir die Abschätzung
r
|m|
≤
|a n ||n|k
k=0
r
≤
n|n|k
(1 + r )n|n|r
≤
≤
1+
k=0
ln(m)
n|n|ln(m)/ ln(n) .
ln(n)
Ersetzen wir in dieser Gleichung m durch m k , dann erhalten wir
|m|k ≤ 1 + k
ln(m)
n|n|k ln(m)/ ln(n)
ln(n)
⇔
|m| ≤ 1 + k
—– 21 —–
ln(m)
ln(n)
1/k
n 1/k |n|ln(m)/ ln(n)
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
und der Grenzübergang k → ∞ liefert |m| ≤ |n|ln(m)/ ln(n) . Es folgt |m|1/ ln(m) ≤ |n|1/ ln(n) und ln |m|/ ln(m) ≤ ln |n|/ ln(n)
nach Ziehen des Logarithmus auf beiden Seiten. Vertauscht man die Rollen von m und n in der gesamten Rechnung,
dann erhält man Gleichheit.
Satz 2.4
Jede nichttriviale Betragsbewertung auf Q ist äquivalent zu | · |∞ oder zu | · |p für eine
Primzahl p.
Beweis:
Ist | · | archimedisch, dann ist | · | nach Proposition 2.3 äquivalent zu | · |∞ . Setzen wir nun voraus, dass | · |
nicht-archimedisch ist, und sei v die zugehörige Bewertung. Aus v(1) = 0 erhält man v(m) ≥ 0 für alle m ∈ N durch
vollständige Induktion. Zusammen mit v(0) = ∞ und v(−m) = v(−1) + v(m) = v(m) für alle m ∈ N folgt insgesamt
v(a) ≥ 0 für alle a ∈ Z.
Wir können also Proposition 2.2 anwenden. Demnach ist p = {a ∈ Q | v(a) > 0} ein Primideal in Z. Im Fall p = (0) wären
die Bewertungen | · | und v trivial, im Widerspruch zur Voraussetzung. So aber gilt p = (p) für eine Primzahl p. Setzen
wir s = v(p), so gilt v(a) = sm für jede ganze Zahl a, die genau m mal durch p teilbar ist. Es gilt also v(a) = sv p (a) für
alle a ∈ Z \ {0} mit der Bewertung v p aus Proposition 2.1. Weil Q der Quotientenkörper von Z ist, gilt diese Gleichung
auch für alle a ∈ Q. Also sind v und v p und damit auch | · | und | · |p äquivalent.
Satz 2.5
(Produktformel für Q)
Für alle a ∈ Q× gilt |a|p = 1 für nur endlich viele Primzahlen, darüber hinaus gilt
|a|∞ ·
Beweis:
|a|p
=
1.
p
Die erste Teilaussage gilt, weil Zähler und Nenner jeder Bruchzahl nur durch endlich viele Primzahlen
teilbar sind. Weil die linke Seite der Gleichung multiplikativ ist, genügt es, sie für Primzahlen zu überprüfen. Ist p eine
Primzahl, dann gilt |p|∞ = p, |p|p =
1
p
und |p|q = 1 für alle Primzahlen q = p. Also ist die Gleichung für p erfüllt.
Sei nun K ein beliebiger Körper. Unser nächstes Ziel besteht darin, die Betragsbewertungen des rationalen Funktionenkörpers K (t ) zu klassifizieren, die auf K trivial sind. Zunächst bemerken wir, dass man sich hier ganz auf die
klassischen Bewertungen konzentrieren kann, denn es gilt
Proposition 2.6
Beweis:
Es gibt auf K (t ) keine archimedische Betragsbewertung, die auf K trivial ist.
Ist | · | auf K trivial, dann gilt insbesondere |n| = 1 für alle n ∈ N. Nach Proposition 1.12 ist | · | damit eine
nicht-archimedische oder triviale Bewertung.
Wendet man Proposition 2.1 auf den Hauptidealring K [t ] an, so erhält man für jedes normierte, irreduzible Polynom
g eine Bewertung v g . Weil die Konstanten ungleich Null in K [t ] nicht durch g teilbar sind, gilt v g (a) = 0 für alle a ∈ K × .
Eine weitere Bewertung von K (t ) erhält man wie folgt.
Proposition 2.7
f
v∞( g
¯ gegeben durch die Gleichungen v ∞ (0) = ∞ und
Die Abbildung v ∞ : K → R
) = grad(g ) − grad( f ) für f , g ∈ K [t ] ist eine Bewertung. Diese ist auf K trivial.
—– 22 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
f
Beweis:
Wir überprüfen die Bewertungseigenschaften der Abbildung v ∞ . Die Äquivalenz v ∞ ( g ) = ∞ ⇔
f
g
= 0 ist
auf Grund der Definition offensichtlich. Seien nun f 1 , f 2 , g 1 , g 2 ∈ K [t ] vorgegeben, wobei g 1 , g 2 = 0 gilt. Ist eine der
Funktionen
f1 f2
g1 , g2
gleich Null, dann gilt dasselbe für das Produkt
f1
g1
f
f
· g22 . Die Gleichung v ∞ ( g11
f2
g2 ) =
f
f
v ∞ ( g11 ) + v ∞ ( g22 )
ist damit erfüllt, weil auf beiden Seiten der Wert ∞ steht. Ansonsten erhält man die Gleichung durch die Rechung
v∞
f1 f2
·
g1 g2
f1 f2
g1g2
v∞
=
=
=
grad(g 1 g 2 ) − grad( f 1 f 2 )
=
grad(g 1 ) − grad( f 1 ) + grad(g 2 ) − grad( f 2 )
f
Ebenso können wir uns bei Beweis der Ungleichung v ∞ ( g11 +
f2
g2 )
grad(g 1 ) + grad(g 2 ) − grad( f 1 ) − grad( f 2 )
v∞
=
≥ min v ∞
f1
g1
f2
f1
+ v∞
.
g1
g2
, v∞
f2
g2
auf den Fall f 1 , f 2 = 0 be-
schränken. Wegen grad( f + g ) ≤ max{grad( f ), grad(g )} erhalten wir
v∞
f1
f2
+
g1 g2
=
v∞
f1 g2 + f2 g1
g1g2
=
grad(g 1 g 2 ) − grad( f 1 g 2 + f 2 g 1 )
min{grad(g 1 g 2 ) − grad( f 1 g 2 ), grad(g 1 g 2 ) − grad( f 2 g 1 )}
min{grad(g 1 ) − grad( f 1 ), grad(g 2 ) − grad( f 2 )}
=
min v ∞
≥
=
f1
g1
, v∞
f2
g2
.
Außerdem ist v ∞ auf K trivial, da die Elemente aus K × nach Definition genau die Polynome vom Grad Null sind.
Damit sind alle Bewertungen der Erweiterung K (t )|K bis auf Äquivalenz bestimmt.
Satz 2.8
Jede nichttriviale Bewertung von K (t ), die auf K trivial ist, ist entweder zu v ∞ oder zu
v g äquivalent, für ein normiertes irreduzibles Polynom g ∈ K [t ].
Beweis:
Sei v eine Bewertung auf K (t ) mit den angegebenen Eigenschaften. Sei außerdem 0 ≤ f ∈ K [t ] beliebig
n
a t
k=0 k k
vorgegeben, f =
mit n ∈ N und a n = 0. Zunächst betrachten wir den Fall, dass v(t ) < 0 gilt. In diesem Fall
n
gilt v(a n t ) = nv(t ) und
v(a k t k )
=
v(a k ) + kv(t )
=
kv(t )
>
nv(t )
=
v(t n )
für 0 ≤ k < n.
Insgesamt erhalten wir v( f ) = min{v(a k t k ) | 0 ≤ k ≤ n} = v(t n ) = nv(t ) = grad( f )} v(t ). Setzen wir s = −v(t ), dann gilt
also v( f ) = sv ∞ ( f ) für alle f ∈ K [t ] und somit auch für beliebiges f ∈ K (t ). Dies zeigt, dass v und v ∞ äquivalent sind.
Betrachten wir nun den Fall v(t ) ≥ 0. In diesem Fall gilt v( f ) ≥ min{v(a k t k ) | 0 ≤ k ≤ n} = min{v(a k ) + kv(t )} ≥ 0.
Nach Proposition 2.2 ist p = { f ∈ K [t ] | v( f ) > 0} ein Primideal in K [t ]. Weil v nichttrivial ist, gilt p = (0). Da K [t ]
ein Hauptidealring ist, finden wir ein normiertes, irreduzibles Polynom g ∈ K [t ] mit p = (g ). Setzen wir s = v(g ) und
ist f ∈ K [t ] genau m mal durch g teilbar, dann gilt v( f ) = mv(g ) = sm = sv g ( f ). Daraus folgt v( f ) = sv g ( f ) für alle
f ∈ K (t ), die Bewertungen v und v g sind also äquivalent.
Satz 2.9
(Produktformel für Funktionenkörper)
Sei c eine beliebige reelle Zahl mit c > 1. Für jedes f ∈ K (t ) ungleich Null setzen wir | f |∞ = c grad( f ) ,
außerdem sei | f |g = (c grad(g ) )−v g ( f ) für jedes irreduzible normierte g ∈ K [t ]. Dann gilt | f |g = 1 nur
für endlich viele solche g , und außerdem
| f |∞ ·
| f |g
=
g
—– 23 —–
1.
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Beweis:
Weil Zähler und Nenner von f nur endlich viele irreduzible Faktoren besitzen, gilt | f |g = 1 nur für endlich
viele g . Weil die linke Seite multiplikativ ist, genügt es wieder, sie für ein irreduzibles, normiertes Polynom f ∈ K [t ] zu
überprüfen. Sei m = grad( f ). Dann gilt | f |∞ = c m , außerdem | f | f = (c m )−1 = c −m und | f |g = 1 für g = f . Also ist die
Gleichung für dieses f erfüllt.
Die Bewertung v ∞ unterscheidet sich nicht wesentlich von den Bewertungen v g , die wir den irreduziblen, normierten
Polynomen g ∈ K [t ] zugeordnet haben. Allgemein gilt
Proposition 2.10
Seien K , L ein Körper, v eine Bewertung auf L und σ : K → L ein Homomor-
phismus von Körpern. Dann ist durch v ◦ σ eine Bewertung auf K definiert.
Beweis:
Dies kann unmittelbar nachgerechnet werden. Zunächst gilt für jedes a ∈ K die Äquivalenz
(v ◦ σ)(a) = ∞
⇔
v(σ(a)) = ∞
⇔
σ(a) = 0
⇔
a =0 ,
wobei wir im letzten Schritt verwendet haben, dass Körperhomomorphismen stets injektiv sind. Seien nun a, b ∈ K
vorgegeben. Dann gilt (v ◦ σ)(ab) = v(σ(ab)) = v(σ(a)σ(b)) = v(σ(a)) + v(σ(b)) = (v ◦ σ)(a) + (v ◦ σ)(b), und ebenso
erhalten wir
(v ◦ σ)(a + b)
=
v(σ(a + b))
Proposition 2.11
=
v(σ(a) + σ(b))
min{v(σ(a)), v(σ(b))}
≥
=
min{(v ◦ σ)(a), (v ◦ σ)(b)}.
Sei σ : K (t ) → K (t ) der K -Automorphismus von K (t ) gegeben durch σ(t ) = 1t .
Dann gilt v t ◦ σ = v ∞ .
Beweis: Es genügt, die Übereinstimmung der beiden Bewertungen für ein Polynom f ∈ K [t ] mit f = 0 zu überprüfen.
n
a tk
k=0 k
Sei also f ∈ K [t ] ein Polynom vom Grad n ∈ N0 , f =
außerdem
σ( f )
n
ak
=
k=0
1
t
mit a 0 , ..., a n ∈ K und a n = 0. Dann gilt v ∞ ( f ) = −n,
k
=
t −n
n
a k t n−k .
k=0
Wegen a n = 0 ist das Polynom in der Klammer nicht durch t teilbar. Es folgt (v ◦ σ)( f ) = −n = v ∞ ( f ).
Wenden wir nuns nun den Bewertungen der Zahlkörper zu. Aus der Algebraischen Zahlentheorie I ist bekannt, dass
jedes gebrochene Ideal a = (0) auf eindeutige Weise als Produkt der Form
a
pe p
=
p
mit e p ∈ Z
dargestellt werden kann, wobei das Produkt über alle maximalen Ideale p des Ganzheitsrings O K läuft und e p nur für
endliche viele solche Ideale ungleich Null ist. Wir bezeichnen den Exponenten e p in dieser Produktzerlegung von a
jeweils mit v p (a). Für jedes α ∈ K × setzen wir v p (α) = v p ((α)), wobei (α) das von α erzeugte gebrochene Hauptideal
bezeichnet, und außerdem v p (0) = ∞.
Proposition 2.12
Für jedes maximale Ideal p von O K definiert v p eine Bewertung von K . Sind
p, q zwei verschiedene Primideale, dann sind die Bewertungen v p und v q nicht zueinander äquivalent.
—– 24 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Die Äquivalenz v p (α) = ∞ ⇔ α = 0 für jedes α ∈ K und jedes maximale Ideal p ist offensichtlich. Für den
Beweis:
Beweis der Gleichung v p (αβ) = v p (α) + v p (β) für α, β ∈ K können wir α, β = 0 voraussetzen, da ansonsten auf beiden
Seiten der Gleichung der Wert ∞ steht. Die Gleichung folgt dann aus v p (ab) = v p (a) + v p (b) für beliebige gebrochene
Ideale a, b, was sich unmittelbar aus der Primidealzerlegung von a und b ergibt.
Für den Beweis von v p (α + β) ≥ min{v p (α), v p (β)} kann erneut α, β = 0 vorausgesetzt werden. Nehmen wir nun an,
dass die Gleichung für 0 = α, β ∈ O K bereits bewiesen wurde. Dann können wir im allgemeinen Fall ein c ∈ N wählen,
so dass cα, cβ in O K liegen. Die Ungleichung ergibt sich dann mit Hilfe der Rechnung
v p (α + β)
≥
min{v p (cα), v p (cβ)} − v p (c)
v p (c(α + β)) − v p (c)
=
=
=
v p (cα + cβ) − v p (c)
min{v p (α) + v p (c), v p (β) + v p (c)} − v p (c)
=
min{v p (α) + v p (β)}.
Also können wir nun 0 = α, β ∈ O K voraussetzen. Sei a = (α), b = (β), m = v p (a) und n = v p (b); ohne Beschränkung der
Allgemeinheit sei m ≥ n. Dann gibt es Ideale a0 und b0 mit a = pn a0 und b = pn b0 . Es folgt a + b = pn (a0 + b0 ) und damit
v p (a + b) ≥ n. Wegen (α + β) ⊆ (α) + (β) = a + b erhalten wir insgesamt
v p (α + β)
=
v p ((α + β))
=
min{v p (a), v p (b)}
≥
v p (a + b)
=
≥
n
=
min{m, n}
min{v p (α), v p (β)}.
Seien nun p, q zwei verschiedene maximale Ideale von O K . Zum Nachweis der Nicht-Äquivalenz von v p und v q genügt
es, ein Element a ∈ p \ q zu wählen. Es gilt dann v p (a) > 0 und v q (a) = 0. Nach Folgerung 1.15 sind v p und v q damit
nicht äquivalent.
Lemma 2.13
Sei K ein Zahlkörper und p ein maximales Ideal in O K .
(i) In jeder Idealklasse von K gibt es ein Ideal a in O K , das zu p teilerfremd ist.
(ii) Für jedes α ∈ K × mit v p (α) ≥ 0 gibt es a, b ∈ O = K mit v p (b) = 0 und α = a/b.
Beweis:
zu (i) Sei c eine Idealklasse, b ein ganzzahliger Repräsentant von c und m = v p (b). Ist m = 0, dann ist nichts
zu zeigen. Ansonsten wählen wir ein c ∈ pm \ pm+1 und setzen b1 = ( 1c )b. Wegen v p (c) = m ist v p (b1 ) = 0. Schreiben wir
b1 als Produkt b2 (b3 )−1 mit ganzzahligen, teilerfremden Idealen b2 und b3 , dann gilt p b2 , b3 . Nach dem Chinesischen
Restsatz existiert ein d ∈ O K mit d ≡ 0 mod b3 und d ≡ 1 mod p. Setzen wir nun a = (d )b1 , dann ist a wegen (d ) ⊆ b3
ganzzahlig. Desweiteren gilt v p (d ) = 0 und somit p a. Wegen a = ( dc )b liegen a und b in derselben Idealklasse.
zu (ii) Seien a, b ganzzahlige teilerfremde Ideale in O K mit (α) = ab−1 . Dann liegen a und b in derselben Idealklasse.
Nach (i) gibt es in der Idealklasse [a]−1 = [b]−1 ein ganzzahliges Ideal c, das teilerfremd zu p ist. Wir können damit
(α)
=
ab−1
=
(ac)(bc)−1
schreiben. Dabei sind ac und bc beides Hauptideale, es gibt also a, b ∈ O K mit ac = (a) und bc = (b). Wegen v p (α) ≥ 0
und der Teilerfremdheit von a und b gilt v p (b) = 0. Es gilt also p b und p c, insgesamt also p bc und somit auch
v p (b) = 0. Nach Definition gilt (α) = (a)(b)−1 = ( ba ), es gibt also ein ε ∈ O K× mit α = ε ba . Setzen wir a durch εa, so
erhalten wir eine Darstellung von α in der gewünschten Form.
Satz 2.14
Jede nichttriviale Bewertung eines Zahlkörpers ist äquivalent zu v p für ein geeignetes
maximales Ideal p von O K .
—– 25 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Beweis:
Sei v eine nichttriviale Bewertung von K und v 0 = v|Q . Wäre v trivial, dann wäre Q im Bewertungsring O v
von v enthalten. Weil Bewertungsringe nach Proposition 1.17 normal sind und der ganze Abschluss von Q in K gleich
K ist, würden daraus K = O v gelten. Aber dies würde bedeuten, dass v trivial ist, im Widerspruch zur Voraussetzung.
So aber gilt v = v p für eine Primzahl p nach Satz 2.4. Es folgt Z ⊆ O v , und die Ganzabgeschlossenheit von O v in K liefert
O K ⊆ O v . Wir können nun Proposition Proposition 2.2 anwenden. Demnach ist p = {a ∈ O K | v(a) > 0} ein Primideal
von O K ist, sgoar ein maximales Ideal, denn andernfalls wäre v trivial.
Wir werden nun zeigen, dass v und v p äquivalent sind. Zunächst zeigen wir, dass für alle α ∈ K × aus v p (α) = 0 stets
v(α) = 0 folgt. Nach Lemma Lemma 2.13 gibt es a, b ∈ O K mit v p (b) = 0 und α = ba . Aus v p (α) = 0 folgt dann v p (a) = 0.
Dies wiederum bedeutet, dass a nicht in p liegt und somit v(a) = 0 ist. Ebenso erhält man v(b) = 0, insgesamt v(α) =
v(a) − v(b) = 0. Zum Nachweis der Äquivalenz wählen wir ein Element c ∈ p \ p2 und setzen s = v(c). Ist nun α ∈ K ×
vorgegeben und n = v p (α), dann gilt v p ( γαn ) = 0. Auf Grund der bereits bewiesenen Aussage erhalten wir v( γαn ) = 0. Es
folgt v(α) = nv(γ) = v(γ)n = sv p (α), also sind v und v p tatsächlich äquivalent.
Wenden wir uns nun den archimedischen Betragsbewertungen von K zu. Nach dem Satz vom primitiven Element
gibt es in jedem Zahlkörper K ein Element θ, so dass K = Q(θ) gilt. Bezeichnen wir mit f ∈ Q[x] das Minimalpolynom
von θ über Q, dann stimmt der Grad von f mit n = [K : Q] überein. Die komplexen, nicht-reellen Nullstellen von f
treten in komplexen-konjugierten Paaren auf. Bezeichnen wir die Anzahl diese Paare mit s und die Anzahl der reeellen
Nullstellen mit r , dann gilt also r +2s = n. Nach dem Fortsetzungssatz aus der Körpertheorie gibt es für jede Nullstelle
α ∈ C eine eindeutig bestimmte Einbettung ια : K → C mit ια (θ) = α. Sind die Nullstellen α und β komplex-konjugiert,
¯ dann gilt ιβ (γ) = ια (γ) für alle γ ∈ K . Daraus folgt auch, dass für reelles α stets ια (K ) ⊆ R gilt.
also β = α,
Der Zahlkörper K besitzt also genau r reelle Einbettungen und s Paare von nicht-reellen, konjugiert-komplexen Einbettungen nach C. Nach Proposition 2.10 definiert jede Einbettung ι : K → C durch |γ|ι = |ι(γ)|∞ eine Betragsbewertung von K . Weil die Menge der Werte |n|ι = |ι(n)|∞ = |n|∞ = n mit n ∈ N unbeschränkt ist, handelt es sich nach
Proposition 1.12 um eine archimedische Bewertung.
Satz 2.15
Sei K ein Zahlkörper.
(i) Jede archimedische Betragsbewertung von K ist äquivalent zu | · |ι für eine komplexe Einbettung ι von K .
(ii) Sind ι, ι zwei verschiedene komplexe Einbettungen von K , die nicht komplex-konjugiert
zueinander sind, dann sind | · |ι und | · |ι nicht äquivalent.
Den Beweis dieses Satzes holen wir im nächsten Abschnitt nach, wenn wir den Begriff der Komplettierung zur Verfügung haben. Insgesamt haben wir damit der Bewertungen der Zahlkörper bis auf Äquivalenz klassifiziert.
Bereits im letzten Abschnitt haben wir die für die Äquivalenzklassen nichttrivialer Betragsbewertungen eines Körpers
den Begriff der Primstelle definiert. Für den Körper Q haben wir gezeigt, dass jeder Primzahl p eine Primstelle von
Q zugeordnet werden kann, die wir ebenfalls mit p bezeichnen. Für die einzige archimedische Primstelle (die zum
gewöhnlichen Absolutbetrag auf Q gehört), verwenden wir die Bezeichnung ∞.
Ist K ein beliebiger Körper, dann werden die Primstellen von K (t )|K parametrisiert durch die irreduziblen, normierten
Polynome g ∈ K [t ], mit Ausnahme einer Primstelle „im Unendlichen“, die durch die Bewertung v ∞ repräsentiert
—– 26 —–
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
wird. Falls K algebraisch abgeschlossen wird, sind die Polynome g alle von der Form x − a, wobei a die Elemente
von K durchläuft. Man erhält so eine bijektive Korrespondenz zwischen den Primstellen von K und den Punkten von
P1K = A1K ∪ {∞}, der projektiven Geraden über K .
Im Fall eines Zahlkörpers K haben wir jedem maximalen Ideal p von O K eine Primstelle zugeordnet, für die wir ebenfalls die Bezeichnung p verwenden. Ferner gibt es nach Satz 2.15 für jede reelle Einbettung ι von K eine Primstelle
(ι) und für jedes Paar (ι,¯ι) nicht-reeller, komplex-konjugierter Einbettungen eine Primstelle, die wir ebenfalls mit (ι,¯ι)
bezeichnen.
Definition 2.16
(i) Sei L|K eine Körpererweiterung und | · | eine Betragsbewertung von K . Eine Betrangsbewertung | · | von L bezeichnet man als Fortsetzung von | · | auf L, wenn |a| = |a| für alle
a ∈ K gilt. Ebenso nennen wir eine Bewertung w von L eine Fortsetzung einer Bewertung
v von K , wenn w(a) = v(a) für alle a ∈ K erfüllt ist.
(ii) Sei nun p eine Primstelle von K . Man sagt, eine Primstelle P von L liegt über p und schreibt
P | p, wenn es eine (Betrags-)Bewertung in P gibt, die eine (Betrags-)Bewertung in p fortsetzt.
Ist p eine Primzahl und p ein maximales Ideal von O K mit p | (p), dann gilt v p (a) = ev p (a) für alle a ∈ Q× , wobei
e ∈ N den Verzweigungsindex von p bezeichnet. Somit ist v p (a) eine Fortsetzung von ev p (a). Es gilt also p | p, d.h. die
Primstelle p liegt über p. Die Primstellen von K , die zu den komplexen Einbettungen von K gehören, sind offenbar
genau die Primstellen p mit p | ∞.
Um die Produktformel für Zahlkörper anzugeben, führen wir die folgenden Bezeichnungen ein. Sei α ∈ K × vorgegeben. Für jede Primstelle p ∞ setzen wir |α|p = N(p)−v p (α) , wobei N(p) = (O K : p) die Absolutnorm von p bezeichnet. Ist
p = (ι) mit einer reellen Einbettung ι, dann setzen wir |α|p = |α|ι = |ι(α)|∞ , wobei |·|∞ den gewöhnlichen Absolutbetrag
auf R (oder C) bezeichnet. Ist schließlich p = (ι,¯ι) definiert durch ein Paar konjugiert-komplexer Einbettungen, dann
setzen wir |α|p = |ι(α)||¯ι(α)| = |ι(α)|2 .
Satz 2.17 Sei α ∈ K × . Dann gilt |α|p = 1 für alle bis auf endlich viele Primstellen p, und außerdem
|α|p
1
=
p
wobei das Produkt über alle Primstellen von K läuft.
Beweis:
Die erste Aussage ist klar, denn in der Produktzerlegung des gebrochenen Hauptideals (α) kommen nur
endlich viele Primideale vor, und folglich gilt v p (α) = 0 für alle bis auf endlich viele p. Zum Beweis der zweiten Aussage
seien σ1 , ..., σr die reellen und (τ1 , τ¯1 ), ..., (τs , τ¯ s ) die Paare nicht-reeller, komplex-konjugierter Einbettungen von K
nach C. Außerdem sei
m
(α)
e
=
k=1
pkk
die Produktzerlegung des gebrochenen Hauptideals (α), mit e k ∈ Z für 1 ≤ k ≤ m. Dann gilt einerseits
|α|p
p∞
N(p)−v p )(α)
=
p∞
m
=
−1
N(p)e k
m
=
N
k=1
k=1
—– 27 —–
−1
pe k
=
N((α))−1
=
|NK |Q (α)|−1 .
§ 2.
Die Bewertungen der Zahlkörper und der rationalen Funktionenkörper
Andererseits ist die Norm das Produkt über sämtliche komplexen Einbettungen von α, es gilt also
s
r
|α|p
|σi (α)|
=
p|∞
|τ j (α)||τ¯ j (α)|
=
|NK |Q (α)|.
j =1
i =1
Insgesamt erhalten wir
|α|p
p
=
|α|p
|α|p
p∞
p|∞
=
|NK |Q (α)|−1 |NK |Q (α)|
—– 28 —–
=
1.
§ 3. Vollständigkeit
Aus der Analysis ist der Begriff der konvergenten Folge und der Cauchyfolge bekannt. Dieser lässt sich ohne Änderung
von R auf einen beliebigen bewerteten Körper (K , |·|) übertragen. Man sagt, eine Folge (a n )n∈N konvergiert gegen ein
Element a ∈ K und schreibt a = limn a n , wenn für jedes ε ∈ R+ ein n ∈ N existiert, so dass |a n − a| < ε für alle n ≥ N
erfüllt ist. Ebenso wie bei den reellen Zahlen verwendet man die Notation
∞
an
n=1
der Reihe über (a n )n∈N sowohl für die Folge (s n )n∈N der Partialsummen gegeben durch s n =
n
a
k=1 k
für alle n ∈
N als auch für deren Grenzwert limn s n , sofern dieser existiert. Bezüglich der trivialen Bewertung auf K konvergiert
eine Folge (a n )n∈N genau dann gegen ein a ∈ K , wenn ein N ∈ N mit a n = a für alle n ≥ N existiert. Die einzigen
konvergenten Folgen sind also die „im Wesentlichen“ konstanten Folgen.
Von einer Cauchyfolge in einem bewerteten Körper (K , | · |) spricht man, wenn für jedes ε ∈ R+ ein N ∈ N existiert,
so dass |a m − a n | < ε für alle m, n ∈ N mit m, n ≥ N erfüllt ist. Genau wie in der Analysis beweist man, dass jede
konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist.
Definition 3.1
Man bezeichnet einen bewerteten Körper (K , | · |) als vollständig, wenn jede
Cauchyfolge in K konvergiert.
Im Gegensatz zum archimedischen Fall lässt sich die Konvergenz von Reihen bezüglich einer nicht-archimedischen
Betragsbewertung sehr einfach feststellen.
Proposition 3.2 Sei (K , |·|) ein vollständiger nicht-archimedisch bewerteter Körper und (a n )n∈N
eine Folge in K . Die Reihe
Beweis:
∞
n=1 a n
konvergiert genau dann, wenn limn a n = 0 gilt.
„⇒“ Sei (s n )n∈N die Folge der Partialsummen von
∞
n=1 a n .
Als konvergente Folge ist (s n )n∈N auch eine
Cauchyfolge. Insbesondere gibt es für jedes ε ∈ R ein N ∈ N, so dass |a n | = |s n − s n−1 | < ε für alle n ≥ N gilt. Damit ist
+
limn a n = 0 bewiesen.
„⇐“ Auf Grund der Vollständigkeit genügt es zu zeigen, dass die Folge (s n )n∈N der Partialsummen eine Cauchyfolge
bildet. Sei ε ∈ R+ vorgegeben und N ∈ N so gewählt, dass |a n | < ε für alle n ≥ N erfüllt ist. Für alle m, n ∈ N mit
m ≥ n ≥ N gilt auf Grund der strikten Dreiecksungleichung dann
m
|s m − s n |
ak
=
≤
max{ |a k | | n + 1 ≤ k ≤ m}
<
ε.
k=n+1
Aus der Analysis ist bekannt, dass es sich bei R und C um vollständige bewertete Körper handelt. Unmittelbar klar ist
auch, dass jeder trivial bewertete Körper vollständig ist, denn in diesem Fall sind sowohl die konvergenten Folgen als
auch die Cauchyfolgen genau die im Wesentlichen konstanten Folgen.
—– 29 —–
§ 3.
Vollständigkeit
Seien (K , | · |K ) und (L, | · |L ) bewertete Körper. Man nennt (L, | · |L ) wird eine Erweiterung von (K , | · |K ), wenn L|K eine
Körpererweiterung und |·|L eine Fortsetzung von |·|K ist. Sei nun (M , |·|M ) ebenfalls eine Erweiterungen von (K , |·|K ).
Eine K -Isometrie von L nach M ist ein K -Homomorphismus σ : L → M mit der Eigenschaft, dass |σ(x)|M = |x|L für
alle x ∈ L erfüllt ist. Handelt es sich bei σ darüber hinaus um eine bijektive Abbildung, dann spricht man von einer
K -Isomtrie von L auf den Körper M .
Wir wiederholen noch einen weiteren Begriff aus der elementaren Topologie. Sei (L, | · |) ein bewerteter Körper. Eine
Teilmenge S ⊆ L wird als dicht bezeichnet, wenn der Abschluss von S in L mit ganz L übereinstimmt. Eine äquivalente
Bedingung lautet, dass für jedes a ∈ L und jedes ε ∈ R+ ein s ∈ S mit |s − a| < ε existiert.
Lemma 3.3
Jeder stetige Homomorphismus zwischen bewerteten Körpern ist sogar gleichmä-
ßig stetig.
Beweis:
Sei φ : K → K ein stetiger Homomorphismus zwischen bewerteten Körpern (K , | · |) und (K , | · | ). Sei ε ∈ R+
vorgegeben. Auf Grund der Stetigkeit von φ im Punkt 0 gibt es ein δ ∈ R+ , so dass |φ(a)| < ε für alle a ∈ K mit |a| < δ
gilt. Sind nun a, b ∈ K mit |a − b| < δ, dann folgt |φ(a) − φ(b)| = |φ(a − b)| < ε.
Sei L|K eine Erweiterung bewerteter Körper, wobei K ein dichter Teilkörper
von L ist. Sei außerdem φ : K → K˜ ein stetiger Homomorphismus von K in einen vollständigen
Körper K˜ . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte, stetige Fortsetzung ψ von φ zu einem KörperProposition 3.4
homomorphismus L → K˜ . Ist φ eine Isometrie, dann gilt dasselbe für ψ.
Beweis:
Zunächst beweisen wir die Eindeutigkeit. Nehmen wir an, dass ψ und ψ zwei Abbildungen L → K˜ mit den
angegebenen Eigenschaften sind. Für jedes vorgegebene a ∈ L gibt es eine Folge (a n )n∈N in K mit limn a n = a, weil K
in L dicht liegt. Auf Grund der Stetigkeit von ψ und ψ gilt
ψ(a)
=
lim ψ(a n )
n→∞
=
lim ψ (a n )
n→∞
=
ψ (a).
Kommen wir nun zum Nachweis der Existenz. Für jedes a ∈ L wählen wir eine Folge (a n )n∈N in K , die gegen a konvergiert. Dann ist (a n )n∈N insbesondere eine Cauchyfolge in K . Weil φ nach Lemma 3.3 gleichmäßig stetig ist, ist auch
(φ(a n ))n∈N eine Cauchyfolge. Ist nämlich ε ∈ R+ vorgegeben, dann existiert auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit
von φ ein δ ∈ R+ , so dass für alle a, b ∈ K die Implikation |a − b| < δ ⇒ |φ(a) − φ(b)| < ε erfüllt ist. Sei nun N ∈ N so
gewählt, dass |a m − a n | < δ für alle m, n ∈ N mit m, n ≥ N gilt. Dann folgt |φ(a m ) − φ(a n )| < ε für dieselben m, n. Weil
K˜ vollständig ist, handelt es sich bei (φ(a n ))n∈N um eine konvergente Folge, und wir können
ψ(a)
=
lim ψ(a n )
n→∞
definieren.
Diese Definition ist unabhängig von der gewählten Folge (a n )n∈N . Ist nämlich (a n )n∈N eine weitere Folge mit lim a n =
a, dann konvergiert limn (a n − a) gegen Null. Auf Grund der Stetigkeit von φ im Nullpunkt folgt limn φ(a n − a n ) =
limn φ(a n ) − limn φ(a n ) = 0 und damit limn φ(a n ) = limn φ(a n ). Daraus folgt auch, dass ψ|L = φ gilt, denn für jedes
a ∈ K konvergiert die Folge mit dem konstanten Glied a gegen a.
Um zu zeigen, dass ψ eine stetige Abbildung ist, bemerken wir zunächst, dass nach Definition von ψ für vorgegebene
δ, ε ∈ R+ und a ∈ L jeweils ein b ∈ K mit |a − b| < δ und |ψ(a) − φ(b)| < ε existiert. Zum Beweis wählen wir eine Folge
(a n )n∈N mit limn a n = a. Nach Definition von ψ konvergiert (φ(a n ))n∈N gegen ψ(a). Für hinreichend großes n ist
—– 30 —–
§ 3.
Vollständigkeit
|a n − a| < δ und |ψ(a) − φ(a n )| < ε, wir können also b = a n wählen. Zum Nachweis der Stetigkeit seien nun ε ∈ R+ und
a ∈ L vorgegeben. Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit von φ gibt es ein δ ∈ R+ , so dass |b−b | < δ ⇒ |φ(b)−φ(b )| <
1
3 ε für alle b, b
∈ K erfüllt ist. Sei nun a ∈ L mit |a − a | < 31 δ. Dann gibt es Punkte b, b ∈ K mit |a −b|, |a −b | < 13 δ und
|ψ(a) − φ(b)| < 13 ε, |ψ(a ) − φ(b )| < 31 ε. Es gilt
|b − b |
≤
|b − a| + |a − a | + |a − b |
1
1
1
3δ+ 3δ+ 3δ
=
=
δ
und folglich |φ(b) − φ(b )| < 13 ε. Daraus wiederum folgt
|ψ(a) − ψ (a)|
|ψ(a) − φ(b)| + |φ(b) − φ(b )| + |φ(b ) − ψ(a )|
≤
1
1
1
3ε+ 3ε+ 3ε
<
=
ε.
Nun zeigen wir, dass ψ ein Körperhomomorphismus ist. Zunächst gilt 1 ∈ K und somit ψ(1) = φ(1) = 1. Sind a, b ∈ L
vorgegeben, dann wählen wir Folgen (a n )n∈N und (b n )n∈N in K mit limn a n = a und limn b n = b. Die Folge (a n +b n )n∈N
liegt dann ebenfalls in K , und sie konvergiert gegen a + b. Wir erhalten
ψ(a + b)
=
lim φ(a n + b n )
n→∞
=
lim φ(a n ) + lim φ(b n )
n→∞
n→∞
=
ψ(a) + ψ(b).
Ebenso beweist man die Verträglichkeit von ψ mit der Multiplikation.
Zum Nachweis der letzten Aussage setzen wir voraus, dass φ eine Isometrie ist, also |φ(b)| = |b| für alle b ∈ K gilt.
Ist nun a ∈ L vorgegeben, dann wählen wir eine Folge (a n )n∈N in K mit limn a n = a. Auf Grund der Stetigkeit der
Bewertungsfunktionen auf L und K˜ erhalten wir
|ψ(a)|
Definition 3.5
=
lim |φ(a n )|
n→∞
=
lim |a n |
n→∞
=
|a|.
Eine Erweiterung Kˆ eines bewerteten Körper (K , |·|) wird Komplettierung von K
genannt, wenn sie vollständig ist und K als dichte Teilmenge enthält.
Aus der Analysis ist bekannt, dass es sich bei R um eine Komplettierung von Q handelt. Das Hauptergebnis dieses
Kapitels lautet
Satz 3.6
(Existenz und Eindeutigkeit der Komplettierung)
Jeder bewertete Körper (K , | · |) besitzt eine Komplettierung (Kˆ , | · |Kˆ ). Ist (Kˆ1 , | · |Kˆ1 ) eine weitere
Komplettierung, dann existiert eine eindeutig bestimmte K -Isometrie von Kˆ auf Kˆ1 .
Beweis der Existenz:
Aus der Algebra ist folgendes zur Konstruktion von Ringerweiterungen bekannt: Ist φ : R → S ein Monomorphismus
ˆ R = φ. Es genügt
von Ringen, dann existiert ein Erweiterungsring Rˆ ⊇ R und ein Isomorphismus φˆ : Rˆ → S mit φ|
deshalb, einen vollständigen Körper bewerteten L und eine Isometrie φ : K → L zu konstruieren mit der Eigenschaft,
dass φ(K ) in L eine dichte Teilmenge ist.
—– 31 —–
§ 3.
Vollständigkeit
1. Schritt:
Konstruktion des Körpers L und der Einbettung φ
Sei R die Menge der Cauchyfolgen in K . Durch komponentenweise Addition und Multiplikation ist auf R offenbar
eine Ringstruktur definiert. Sei N ⊆ R die Teilmenge der Nullfolgen, also die Menge der Folgen (a n )n∈N in K mit
limn a n = 0. Wir zeigen nun als erstes, dass N in R ein maximales Ideal bildet. Weil die Summe zweier Nullfolgen
wiederum eine Nullfolge ist, ist die Menge N abgeschlossen unter Addition. Seien nun (a n )n∈N ∈ R und (b n )n∈N ∈ N
vorgegeben. Weil Cauchyfolgen beschränkt sind, ist auch (a n b n )n∈N eine Nullfolge, also ein Element aus N . Dies
zeigt, dass N jedenfalls ein Ideal von R ist.
Nun beweisen wir noch die Maximalität dieses Ideals. Ist (a n )n∈N eine Folge in R \ N , dann gibt es ein δ ∈ R+ und
ein N ∈ N mit |a n | ≥ δ für alle n ≥ N . Andernfalls könnten wir für jedes vorgegebene ε ∈ R+ eine Zahl N so groß
wählen, dass |a m − a n | < ε für alle m, n ≥ N gilt. Außerdem gäbe es ein N1 ∈ N mit |a N1 | < δ und N1 ≥ N . Es würde
dann |a n − a N1 | = |a n | + |a N1 | < 2δ für alle n ≥ N1 folgen, und damit wäre (a n )n∈N eine Nullfolge, im Widerspruch zur
Voraussetzung. So aber können wir eine nun Folge (b n )n∈N durch b n = 1 für n < N und b n = a n−1 für n ≥ N definieren.
An der Gleichung
bm − bn
=
1
1
−
am an
=
am − an
am an
und |a m a n |−1 ≤ δ−1 für m, n ≥ N erkennt man, dass mit (a n )n∈N auch (b n )n∈N eine Cauchyfolge in K ist. Außerdem
gilt limn a n b n = 1 (genau genommen ist a n b n bereits für alle bis auf endlich viele n gleich 1). Es gibt also eine Nullfolge
(c n )n∈N (genauer: im wesentlichen konstante Nullfolge), so dass (a n )n∈N (b n )n∈N + (c n )n∈N mit dem Einselement von
R übereinstimmt. Das Ideal N würde also durch Hinzunahme eines beliebigen Elements (a n )n∈N zum Einsideal,
damit ist N maximal.
Auf Grund dieses Ergebnisses ist der Faktorring L = R/N ein Körper. Um die Notation übersichtlich zu halten, bezeichnen wir die Restklasse (a n )n∈N +N jedes Elements (a n )n∈N jeweils mit [a n ]n∈N . Indem wir jedem Körperelement
a ∈ K die Klasse [a]n∈N der konstanten Folge zuordnen, erhalten wir einen Körperhomomorphismus φ : K → L, wie
man unmittelbar überprüft.
2. Schritt:
Konstruktion einer Bewertung auf L
Für jede Folge (a n )n∈N in R bilden die Beträge |a n | der Folgenglieder wegen ||a m | − |a n || ≤ |a m − a n | für m, n ∈ N eine
Cauchyfolge im Körper R der reellen Zahlen. Weil dieser vollständig ist, existiert der Grenzwert limn |a n |. Unterscheiden sich zwei Folgen (a n )n∈N und (b n )n∈N in R nur um eine Nullfolge, dann folgt aus ||a n | − |b n || ≤ |a n − b n | für alle
n ∈ N und limn (a n − b n ) = 0 die Gleichung limn ||a n | − |b n || = 0 und somit limn |a n | = limn |b n |. Dies zeigt, dass durch
|[a n ]n∈N |L
=
lim |a n |
n→∞
ist also eine wohldefinierte, von der Wahl der repräsentierenden Folge (a n )n∈N unabhängige Abbildung gegeben. Es
gilt |[a n ]n∈N |L = 0 genau dann, wenn (a n )n∈N eine Nullfolge ist, also genau dann, wenn [a n ]n∈N = 0L gilt. Für je zwei
Elemente [a n ]n∈N und [b n ]n∈N in L gilt jeweils |a n b n | = |a n ||b n | für alle n ∈ N und damit
|[a n b n ]n∈N |L
=
lim |a n ||b n |
n→∞
=
lim |a n |
n→∞
lim |b n |
n→∞
=
|[a n ]n∈N |L · |[b n ]n∈N |L .
Aus |a n + b n | ≤ |a n | + |b n | für alle n ∈ N folgt schließlich auch die Dreiecksungleichung, denn es gilt
|[a n + b n ]n∈N |L
=
lim |a n + b n |
n→∞
≤
lim |a n | + lim |b n |
n→∞
n→∞
—– 32 —–
=
|[a n ]n∈N |L + |[b n ]n∈N |L .
§ 3.
Vollständigkeit
Also ist durch | · |L tatsächlich eine Bewertung auf dem Körper L definiert. Für jedes a ∈ K gilt außerdem jeweils die
Gleichung |φ(a)|L = |[a]n∈N |L = limn |a| = |a|. Somit handelt es sich bei der Einbettung φ um eine Isometrie.
Das Bild φ(K ) liegt in L dicht.
3. Schritt:
Seien [a n ]n∈N ∈ L und ε ∈ R+ vorgegeben. Weil der Repräsentant (a n )n∈N eine Cauchyfolge ist, gibt es ein N ∈ N mit
|a m − a n | < 21 ε für alle m, n ≥ N . Setzen wir a = a N , dann erhalten wir
|φ(a) − [a n ]n∈N |L
4. Schritt:
=
lim |φ(a) − a n |
n∈N
=
lim |a N − a n |
n∈N
≤
1
2ε
<
ε.
Der Körper L ist vollständig.
Sei (c m )m∈N eine Cauchyfolge in L. Jedes Element c m ist in der Form c m = [a n(m) ]n∈N mit einer geeigneten Cauchyfolge
(a n(m) )n∈N in K darstellbar. Weil φ(K ) in L dicht liegt, können wir für jedes m ∈ N ein d m ∈ K mit |φ(d m ) − c m |L < 2−m
wählen. Wir zeigen nun, dass (d m )m∈N eine Cauchyfolge in K ist und in L die Gleichung
lim c m
m→∞
=
[d m ]m∈N
gilt.
(1)
Zum Beweis der ersten Aussage sei ε ∈ R+ vorgegeben. Weil (c m )n∈N eine Cauchyfolge in L ist, gibt es ein N ∈ N mit
|c m − c n |L < ε für alle m, n ≥ N . Nach eventueller Vergrößerung von N können wir 2−N < ε voraussetzen. Wir erhalten
nun für alle m, n ∈ N die Abschätzung
|d m − d n |
=
|φ(d m ) − φ(d n )|L
=
|φ(d m ) − c m |L + |c m − c n |L + |c n − φ(d n )|L
<
2−m + ε + 2−n
<
3ε.
Damit ist (d m )m∈N ∈ R nachgewiesen. Kommen wir nun zum Beweis der Gleichung (1) und zeigen dafür zunächst,
dass limn φ(d n ) = [d m ]m∈N gilt. Wegen (d m )m∈N ∈ R existiert für vorgegebenes ε ∈ R+ ein N ∈ N mit |d m − d n | < ε für
alle m, n ≥ N . Daraus folgt
|[d m ]m∈N − φ(d n )|L
=
lim |d m − d n |
n→∞
≤
ε
für n ≥ N
,
womit die angegebene Gleichung bewiesen ist. Aus |φ(d n ) − c n |L < 2−n für alle n ∈ N folgt außerdem die Identität
limn c n = limn φ(d n ) = [d m ]m∈N in L. Damit ist der Existenzbeweis für die Komplettierung abgeschlossen.
Beweis der Eindeutigkeit:
Nehmen wir an, dass (Kˆ1 , | · |Kˆ1 ) neben (Kˆ , | · |Kˆ ) eine weitere Komplettierung von K ist. Dann ist K ein dichter Teilkörper von Kˆ , und die Inklusionsabbildung φ : K → Kˆ1 , a → a ist eine Isometrie. Nach Proposition 3.4 kann φ auf
eindeutige Weise zu einer K -Isometrie ψ : Kˆ → Kˆ1 fortgesetzt werden. Ebenso erhält man eine eindeutig bestimmte K -Isometrie ψ1 : Kˆ1 → Kˆ . Damit ist durch ψ1 ◦ ψ ein isometrischer K -Automorphismus von Kˆ gegeben. Weil der
eindeutig bestimmte isometrische K -Automorphismus von Kˆ aber die identische Abbildung auf Kˆ ist, erhalten wir
ψ1 ◦ ψ = id ˆ . Genauso beweist man die Gleichung ψ ◦ ψ1 = id ˆ . Damit ist insgesamt bewiesen, dass zwischen Kˆ und
K
K
Kˆ1 eine eindeutig bestimmte K -Isomtrie existiert.
Wir können nun den Beweis von Satz 2.15 nachholen.
s
Lemma 3.7 Sei s ∈ R+ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass durch R → R+ , a → |a|∞
eine Betragss
bewertung der reellen Zahlen definiert ist. Dann ist C → R+ , z → |z|∞
die einzige Fortsetzung
dieser Abbildung zu einer Betragsbewertung von C.
—– 33 —–
§ 3.
Vollständigkeit
s
Sei | · | eine beliebige Fortsetzung von | · |∞
auf C. Zunächst zeigen wir, dass für alle z ∈ C aus |z|∞ = 1
Beweis:
jeweils |z| = 1 folgt. Ist dies nicht der Fall, dann gibt es ein z ∈ C mit |z|∞ = 1 und |z| > 1. Zerlegen wir z n jeweils durch
z n = a n +i b n in Real- und Imaginärteil, dann gelten wegen |z n |∞ = |z|n∞ = 1 für alle n ∈ N die Abschätzungen |a n |∞ ≤ 1
und |b n |∞ ≤ 1. Es folgt
|z n |
=
|a n + i b n |
≤
|a n | + |i ||b n |
=
s
s
|a n |∞
+ |i ||b n |∞
≤
1 + |i |
für alle n ∈ N; damit ist |z n | beschränkt, im Widerspruch zu
lim |z n |
n→∞
=
lim |z|n
n→∞
=
+∞
wegen |z| > 1. Damit ist die Implikation |z|∞ = 1 ⇒ |z| = 1 für alle z ∈ C bewiesen. Sei nun z ∈ C× beliebig vorgegeben
und z 1 =
z
|z|∞ .
Dann gilt |z 1 |∞ = 1 und folglich |z 1 | = 1. Für die reelle Zahl a = |z|∞ gilt auf Grund der Forsetzungsei-
s
genschaft von | · | die Gleichung |a| = |a|∞
. Aus |z 1 | = 1 folgt nun
z
=1
a
⇔
|z|
=1
s
|a|∞
s
s
|z| = |a|∞
= |z|∞
.
⇔
Beweis von Satz 2.15:
zu (i)
Sei K ein Zahlkörper und | · | eine archimedische Betragsbewertung auf K . Weil auf den rationalen Zahlen
der gewöhnliche Absolutbetrag | · |∞ bis auf Äquivalenz die einzige archimedische Betragsbewertung ist, gibt es ein
s
s ∈ R+ , so dass |a| = |a|∞
für alle a ∈ Q erfüllt ist. Durch die Einbettung ι0 : Q → C ist also eine Isometrie von (Q, | · |)
s
nach (C, | · |∞ ) definiert. Sei nun Kˆ eine Komplettierung von K und Kˆ0 der Abschluss von Q in Kˆ . Nach Proposition 3.4
s
gibt es eine eindeutig bestimmte Isometrie σ : Kˆ0 → R, die ι0 fortsetzt. Insbesondere gilt |a| = |σ(a)|∞
für alle a ∈ Kˆ0 .
Sei nun θ ∈ K ein Element mit K = Q(θ) und f ∈ Q[x] das Minimalpolynom von θ über Q. Wir unterscheiden zwei
Fälle. Liegt θ bereits in Kˆ0 , dann folgt K ⊆ Kˆ0 . In diesem Fall können wir die Isometrie σ zu einem Homomorphismus ι :
s
s
K → R einschränken. Es gilt dann |a| = |σ(a)|∞
= |ι(a)|∞
= |a|ιs für alle a ∈ K . Dies zeigt, dass die Betragsbewertungen
| · | und | · |ιs zueinander äquivalent sind.
Betrachten wir nun den Fall θ ∉ Kˆ0 . Sei g ∈ Kˆ0 [x] das Minimalpolynom von θ über Kˆ0 und g˜ = σ(x) das Bildpolynom
in R[x]. Weil g irreduzibel vom Grad > 1 ist, gilt dasselbe für g˜ . Weil aber C die einzige echte algebraische Erweiterung
von R ist, muss
grad(g )
=
grad(g˜ )
=
[C : R]
2
=
gelten.
Sei nun θ˜ ∈ C eine beliebige Nullstelle von g˜ . Nach dem Fortsetzungssatz aus der Algebra existiert eine eindeutig
bestimmte Fortsetzung σ1 : Kˆ0 (θ) → C, die θ auf θ˜ abbildet. Diese Fortsetzung ist sogar ein Isomorphismus, denn aus
˜ = C. Durch Einschränkung von σ1 erhalten wir eine Einbettung ι von K = Q(θ) nach C, und durch
θ˜ ∉ R folgt R(θ)
s
s
a → |σ−1
1 (a)| erhalten wir eine Fortsetzung der Bewertung |·|∞ von R auf C. Nach Lemma 3.7 kann die Bewertung |·|∞
s
aber nur auf eine Weise nach C fortgesetzt werden, nämlich durch a → |a|∞
mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag
s
| · |∞ auf C. Es folgt |σ−1
1 (a)| = |a|∞ für alle a ∈ C, damit auch
|a|
=
s
|σ1 (a)|∞
=
|ι(a)|s
Also sind | · | und | · |ι auch in diesem Fall äquivalent.
—– 34 —–
=
|a|ιs .
§ 3.
Vollständigkeit
zu (ii) Seien ι, ι zwei komplexe, zueinander äquivalente Einbettungen von K und θ ∈ K ein erzeugendes Element
K = Q(θ) wie oben. Wir zeigen, dass die zusammengesetzte Abbildung σ = ι ◦ι−1 einen isometrischen Isomorphismus
zwischen Q(ι(θ) und Q(ι (θ)) definiert. Weil die Bewertungen |·|ι und |·|ι zueinander äquivalent sind, gibt es ein s ∈ R+
mit | · |ι = | · |ιs . Für alle a ∈ Q gilt aber
|a|ι
=
|ι(a)|∞
=
|a|∞
=
|ι(a )|∞
=
|a|ι .
Weil die Bewertungen | · |ι und | · |ι auf Q übereinstimmen, muss s = 1 sein, damit sind die Bewertungen auch auf K
˜ Wir erhalten
gleich. Ist nun β˜ ∈ Q(ι(θ)) beliebig vorgegeben, dann gibt es ein β ∈ K mit ι(β) = β.
˜ ∞
|σ(β)|
=
|ι (β)|∞
=
|β|ι
=
|β|ι
=
|ι(β)|∞
=
˜∞
|β|
,
also ist σ tatsächlich eine Isometrie. Nun ist Q(ι(θ)) in R(ι(θ)) eine dichte Teilmenge, und R(ι(θ )) ist ein vollständiger Körper. Nach Proposition 3.4 gibt es eine eindeutig bestimmte Fortsetzung von σ : Q(ι(θ)) → R(ι (θ)) zu einer
Isometrie σ1 : R(ι(θ)) → R(ι (θ)). Auf Grund der Stetigkeit von σ1 und wegen σ1 |Q = idQ ist die Abbildung σ1 ein
R-Isomorphismus.
Ist nun ι(θ) reell, dann gilt R(ι(θ)) = R = R(ι (θ)) auf Grund der Isomorphismus-Eigenschaft von σ1 , und σ1 stimmt
mit der identischen Abbildung auf R überein. Es folgt dann ι = ι . Ist ι(θ) nicht-reell, dann gilt R(ι(θ)) = C = R(ι (θ)).
Als R-Homomorphismus von C nach C ist σ entweder die Identität oder die komplexe Konjugation auf C. Im ersten
Fall ist wiederum ι = ι , im zweiten Fall sind ι und ι komplex-konjugiert zueinander.
Seien K ein Körper und | · |, | · |1 zwei äquivalente Betragsbewertungen. Dann gibt es ein s ∈ R+ mit | · |1 = | · |s . Ist nun
(Kˆ , | · |) eine Komplettierung von (K , | · |), dann ist durch (Kˆ , | · |s ) offenbar eine Komplettierung von (K , | · |1 ) gegeben.
Denn der Körper K bildet in Kˆ genau dann eine dichte Teilmenge bezüglich | · |, wenn er eine dichte Teilmenge in
bezüglich | · |s bildet. Auch für die Vollständigkeit von Kˆ ist es gleichgültig, ob man diese hinsichtlich | · | oder | · |s
betrachtet, denn die Cauchyfolgen und die konvergenten Folgen sind für beide Betragsbewertungen dieselben. Aus
diesen Gründen ist es zulässig, von der Komplettierung bezüglich einer Primstelle zu sprechen.
Unter einer Komplettierung eines bewerteten Körpers (K , v) verstehen wir eine Komplettierung bezüglich einer beliebig gewählten Betragsbewertung, die v zugeordnet ist. Wie im letzten Abschnitt erläutert, ist die Komplettierung von
dieser Auswahl unabhängig. Wir bemerken noch, dass jeder trivial bewertete Körper vollständig ist und deshalb mit
seiner Komplettierung übereinstimmt.
Definition 3.8
Sei p eine Primzahl, die wir nach §2 als Primstelle des Körpers Q betrachten
können. Dann bezeichnet man die Komplettierung Qp von Q bezüglich p als den Körper der
(rationalen) p-adischen Zahlen. Sein Bewertungsring Zp wird der Ring der ganzen p-adischen
Zahlen genannt.
Nach Definition der Komplettierung ist Q ein Teilkörper von Qp . Weil die Bewertung von Q auf Qp fortgesetzt wird,
ist die Lokalisierung Z(p) von Z in Zp enthalten, genauer gilt Z(p) = Zp ∩ Q. Wir werden aber weiter unten feststellen,
dass Zp ein weitaus größerer Rig als Z(p) ist; im Gegensatz zu Z(p) und Q ist er überabzählbar.
Der Körper R ist eine Komplettierung von Q bezüglich der Primstelle ∞. Deshalb ist die Notation Q∞ = R gerechtfertigt. Weil die Bewertungen von ∞ archimedisch sind, gibt es in diesem Fall aber keinen Bewertungsring.
—– 35 —–
§ 3.
Vollständigkeit
Aus §2 wissen wir auch, dass jedem maximalen Ideal p im Ganzheitsring eines Zahlkörpers K eine Primstelle zugeordnet werden kann. Wir bezeichnen die zugehörige Komplettierung von K mit K p und dessen Bewertungsring mit
O K ,p . Es wird sich später herausstellen, dass es sich bei den Körpern dieses Typs um endliche algebraische Erweiterungen der Qp handelt. Außerdem gibt es im Zahlkörperfall mehrere archimedische Primstellen, bezüglich derer K
vervollständigt werden kann. Wir werden später sehen, dass diese Komplettierungen stets isomorph zu R oder C sind.
ˆ eine Komplettierung. Dann gilt
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und (Kˆ , v)
Proposition 3.9
ˆ Kˆ × ) = v(K × ).
v(
Beweis:
Sei a ∈ Kˆ × vorgegeben. Weil K in Kˆ dicht liegt, gibt es eine Folge (a n )n∈N in K , die gegen a konvergiert. Auf
ˆ n −a) > v(a).
ˆ
ˆ n ) = min{v(a
ˆ n −a), v(a)}
ˆ
ˆ
Grund der Konvergenz existiert ein n ∈ N mit v(a
Es gilt dann v(a n ) = v(a
= v(a),
ˆ
also v(a)
∈ v(K × ).
Ist insbesondere v eine diskrete Bewertung, dann ist auch vˆ diskret. Für die p-adischen Zahlen gilt bespielsweise
×
vˆp (Q×
p ) = v p (Q ) = Z.
ˆ eine Komplettierung. Seien O v und Oˆ v
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und (Kˆ , v)
ˆ v die zugehörigen maximalen Ideale. Dann
ˆ und mv , m
die Bewertungsringe von (K , v) bzw. (Kˆ , v)
Satz 3.10
induziert die Einbettung O v → Oˆ v einen
O v /mv
∼
=
ˆv
Oˆ v /m
,
ˆ v der Bewertungsringe sind also bis auf einen kanonischen Isodie Restklassenkörper κv und κ
ˆ n für
morphismus identisch. Ist die Bewertung v diskret, dann gilt darüber hinaus O v /mn ∼
= O vˆ /m
v
v
alle n ∈ N.
ˆ v gegeben durch a → a + m
ˆ v . Zunächst zeigen wir, dass dieser Ringhomomorphismus
Sei φ : O v → Oˆ v /m
ˆ − b) > 0. Wegen v(b) =
surjektiv ist. Weil K in Kˆ dicht liegt, gibt es für jedes vorgegebene a ∈ Oˆ v ein b ∈ K mit v(a
Beweis:
ˆ v , also a ≡ b mod m
ˆ v und somit
ˆ
ˆ − a), v(a)}
ˆ
ˆ − b) > 0 folgt außerdem a − b ∈ m
v(b)
≥ min{v(b
≥ 0 liegt b in O v . Aus v(a
ˆ v . Damit ist die Surjektivität von φ nachgewiesen. Der Kern von φ stimmt mit O v ∩ m
ˆ v überein, und wegen
φ(b) = a + m
∼
ˆ v = mv . Der Homomorphiesatz für Ringe liefert also den gewünschten Isomorphismus O v /mv =
ˆ K = v ist O v ∩ m
v|
ˆ v.
Oˆ v /m
ˆ nv im diskreten Fall ist nahezu identisch. Sei φn : O v → Oˆ v /m
ˆ nv gegeben durch a → a+m
ˆ nv .
Der Beweis von O v /mnv ∼
= Oˆ v /m
Für vorgegebenes a ∈ Oˆ v existiert ein b ∈ K mit v(a − b) ≥ n. Wie oben zeigt man, dass b in O v liegt. Aus v(a − b) ≥ n
ˆ nv und damit die Surjektivität von φn . Ebenso wie oben zeigt man auch, dass ker(φn ) = mnv gilt.
folgt a ≡ b mod m
Wir beschäftigen uns nun mit der Frage, wie sich die Elemente des Körpers Qp der p-adischen Zahlen explizit durch
konvergente Reihen beschreiben lassen. Dazu bemerken wir als erstes
Lemma 3.11
Sei (K , v) ein vollständiger, bewerteter Körper, und π ∈ K mit v(π) > 0. Für jede
Folge (a n )n∈N0 im Bewertungsring O v mit a 0 = 0 ist die Reihe
∞
a
=
a n πn
konvergent, und es gilt
n=0
—– 36 —–
v(a) = v(a 0 ).
§ 3.
Vollständigkeit
Für jedes n ∈ N0 gilt v(a n πn ) = v(a n ) + nv(π) ≥ nv(π). Damit ist (a n πn )n∈N0 eine Nullfolge in K , und die
Beweis:
Konvergenz der Reihe folgt aus Proposition 3.2. Auf Grund der Konvergenz existiert ein n ∈ N mit v(
v(a 0 ). Wegen v(a k π ) > v(a 0 ) für 1 ≤ k ≤ n − 1 gilt v(a 0 ) = v(
n−1
v(a)
v
=
a k πk +
n−1
a k πk
min v
=
∞
a k πk , v
n−1
a k πk
v
=
>
a k πk
=
v(a 0 ).
k=0
k=n
k=0
k=n
k=0
Satz 3.12
∞
∞
a πk )
k=n k
n−1
a πk ), und damit erhalten wir
k=0 k
k
Sei (K , v) ein vollständiger, diskret bewerteter Körper und R ⊆ O v ein Repräsentan-
tensystem des Restklassenkörpers κv = O v /mv mit 0 ∈ R. Dann besitzt jedes Element a ∈ K × eine
eindeutige Darstellung der Form
∞
a
=
a k πk
mit r ∈ Z , a r = 0 und a k ∈ R für alle k ≥ r.
k=r
Beweis:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass v(π) = 1 und somit v(K × ) = Z gilt.
Zunächst beweisen wir für jedes a ∈ K × die Existenz einer Darstellung in der angegebenen Form. Setzen wir r = v(a),
dann ist das Element a˜ = π−r a in O v \ mv enthalten. Wir zeigen nun durch vollständige Induktion über n ∈ N0 , dass
n
a πk
k=0 k
es Elemente a 0 , ..., a n ∈ R gibt, so dass die Differenz
− a˜ in mn+1
liegt. Sei a 0 ∈ R das eindeutig bestimmte
v
Element mit a 0 ≡ a˜ mod mv ; dann ist a 0 = 0 und a 0 − a˜ ∈ mv . Sei nun n ∈ N0 und nehmen wir an, dass a 0 , ..., a s bereits
konstruiert wurden mit der Eigenschaft, dass
n
cn
=
a k πk − a˜
k=0
in mn+1
liegt. Sei a n+1 ∈ R das eindeutig bestimmte Element mit π−n−1 c n +a n+1 ∈ mv . Dann folgt c n +a n+1 πn+1 ∈ mn+2
v
v
und
n+1
a k πk − a˜
n
=
k=0
a k πk + a n+1 πn+1 − a˜
=
c n + a n+1 πn+1
∈
mn+2
v .
k=0
Wegen v(a n πn ) ≥ n gilt limn a n πn = 0. Nach Lemma 3.11 ist
∞
n
n=0 a n π
damit eine konvergente Reihe. Deren Wert
stimmt mit a˜ überein, denn nach Konstruktion gilt
∞
v
a n πn − a˜
n
=
v
n=0
∞
a k πk − a˜ +
k=0
n
a k πk
k=n+1
n
min v
a k πk − a˜ , v πn+1
k=0
a k πk − a˜ , n + 1 + v
k=0
für alle n ∈ N. Es folgt v(
min v
=
∞
∞
a n+1+k πk
k=0
a n+1+k πk
≥
n +1
k=0
∞
n
˜ = ∞ und somit
n=0 a n π − a)
∞
n
˜=0⇔
n=0 a n π − a
∞
n
n=0 a n π
˜ Durch Multiplikation mit
= a.
r
π erhalten wir eine entsprechende Darstellung für das Element a.
Kommen wir nun zum Beweis der Eindeutigkeit und nehmen wir an, dass zwei Reihen der Form
∞
n
n=s b n π
mit r, s ∈ Z, a r , b s = 0 und a m , b n ∈ R für alle m ≥ r bzw. n ≥ s denselben Wert a ∈ K
×
∞
n=r
a n πn und
besitzen. Dann
gilt zunächst r = v(a) = s. Wir beweisen nun durch vollständige Induktion über n die Gleichung a n = b n für alle n ≥ r .
Es gilt
ar
≡
π−r
∞
a n πn
≡
π−r a
≡
π−r
n=r
∞
n=r
—– 37 —–
b n πn
≡
br
mod mv
§ 3.
Vollständigkeit
und damit a r = b r , da a r , b r in R liegen und R ein Repräsentantensystem von κv ist. Sei nun n ∈ Z mit n ≥ r und
∞
a πk
k=n+1 k
setzen wir die Gleichung a k = b k für r ≤ k ≤ n voraus. Dann gilt
a n+1
≡
π−n−1
∞
a k πk
≡
π−n−1
∞
b n πk
n
k=r
=a−
≡
b n+1
a k πk =
∞
b πk . Es folgt
k=n+1 k
mod mv
k=n+1
k=n+1
und deshalb a n+1 = b n+1 mit demselben Argument wie zuvor. Insgesamt ist damit die Eindeutigkeit der Darstellung
bewiesen.
ˆ eine Komplettierung. Nach Satz 3.10 ist ein Repräsentantensystem von
Sei (K , v) ein bewerteter Körper und (Kˆ , v)
ˆ v . Wendet man Satz 3.12 auf (Kˆ , v)
ˆ an, dann kann die Menge
O v /mv zugleich auch ein Repräsentantensytem von Oˆ v /m
R also stets als Teilmenge von O v gewählt werden. Ist beispielsweise K = Q und v = v p für eine Primzahl p, dann ist
∼ Z(p) /p Z(p) =
∼ Zp /p Zp .
R = {0, 1, ..., p − 1} ein Repräsentantensystem von Z/p Z =
Für die Elemente von Q ⊆ Qp kann eine Reihenentwicklung wie in Satz 3.12 leicht berechnet werden. Als Beispiel
ermitteln wir eine solche Darstellung für die Zahl
die Form
4
7
∞
=
a n 5n
4
7
in Q5 . Wegen 5 4 und 5 7 gilt v 5 ( 47 ) = 0, somit hat die Darstellung
mit a n ∈ {0, 1, 2, 3, 4} für alle n ∈ N0
und a 0 = 0.
n=0
Multiplikation mit 7 liefert
∞
4
=
7a n 5n .
n=0
Wir ermitteln nun die Stellen a 0 , a 1 , a 2 , ..., indem wir diese Gleichung fortlaufend modulo 5 betrachten und nach Abzug eines Terms auf beiden Seiten durch 5 dividieren.
∞
n=0
4 ≡ 7a 0 mod 5
⇒
a0 = 2
⇒
7a n 5n
−10 =
∞
⇒
−2 =
n=1
∞
n=1
−2 ≡ 7a 1 mod 5
⇒
a1 = 4
⇒
7a n+1 5n
−30 =
∞
⇒
−6 =
n=1
∞
n=2
−6 ≡ 7a 2 mod 5
⇒
a2 = 2
⇒
∞
⇒
−4 =
n=1
∞
n=3
−6 ≡ 7a 3 mod 5
⇒
a3 = 3
⇒
∞
⇒
−5 =
n=1
∞
n=4
−5 ≡ 7a 4 mod 5
⇒
a4 = 0
⇒
−5 =
7a n+4 5n
∞
⇒
−1 =
⇒
a5 = 2
⇒
7a n+5 5n
−15 =
∞
⇒
−3 =
n=1
∞
n=6
−3 ≡ 7a 6 mod 5
⇒
a6 = 1
⇒
7a n+6 5n
−10 =
∞
−2 ≡ 7a 7 mod 5
⇒
a7 = 4
⇒
∞
⇒
−2 =
7a n+7 5n
n=0
7a n+7 5n
−30 =
7a n+6 5n
n=0
n=1
n=7
7a n+5 5n
n=0
∞
−1 ≡ 7a 5 mod 5
7a n+4 5n
n=0
n=1
n=5
7a n+3 5n
n=0
7a n+3 5n
−25 =
7a n+2 5n
n=0
7a n+2 5n
−20 =
7a n+1 5n
n=0
∞
⇒
n=1
−6 =
7a n+8 5n
n=0
Ab hier beginnt sich die Folge der Ziffern zu wiederholen. Man erhält a 8 = 2, a 9 = 3, a 10 = 0, a 11 = 2, a 12 = 1, a 13 = 4,
a 14 = 2 usw. Insgesamt sieht es also nach aus, dass die rationale Zahl
a
=
2 + 4 · 51
∞
n=0
56n + 2 · 52
∞
n=0
56n + 3 · 53
∞
4
7
56n + 0 · 54
n=0
—– 38 —–
im Körper Q5 durch die Reihendarstellung
∞
n=0
56n + 2 · 55
∞
n=0
56n + 1 · 56
∞
n=0
56n
§ 3.
Vollständigkeit
gegeben ist. Diese Gleichung können wir mit Hilfe der geometrischen Reihe verifizieren. Wie in den reellen Zahlen gilt
auch in Qp die Gleichung
∞
an
1
1−a
=
n=0
für jedes a ∈ K
mit |a|p < 1.
Damit erhalten wir
a
=
∞
2 + 4 · 51 + 2 · 5 2 + 3 · 5 3 + 0 · 5 4 + 2 · 55 + 1 · 5 6
56n
=
2 + 22320 ·
n=0
2+
22320
(−15624)
=
2 + − 10
7
=
4
7
1
1 − 56
=
.
Aus Satz 3.12 folgt auch, dass der Körper Qp der p-adischen Zahlen für jede Primzahl p überabzählbar ist. Jedes
Repräsentantensystem R des Restklassenkörpers besteht nämlich aus p Elementen, und Qp ist auf Grund des Satzes
gleichmächtig mit Z × Abb(N0 , R), wobei Abb(N0 , R) die Menge der Abbildungen N0 → R bezeichnet. Die Menge
Z × Abb(N0 , R) ist wiederum genauso mächtig wie P(N) oder R.
Ist K (t ) der rationale Funktionenkörper über einem Körper K , dann bildet K ein natürliches Repräsentantensystem
für den Restklassenkörper des Bewertungsrings zur Primstelle p = (t ). Die Elemente f = 0 in der Komplettierung von
K (t ) bezüglich p besitzen also nach Satz 3.12 eine eindeutige Darstellung der Form
∞
f
=
ak t k
mit r ∈ Z , a r = 0 und a k ∈ K für alle k ≥ r.
k=r
Man bezeichnet die Elemente dieser Form als Laurentreihen und die Komplettierung selbst als den Laurentreihenkörper K ((t )) über dem Grundkörper K .
—– 39 —–
§ 4. Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
In diesem Kapitel werden wir ein neues algebraisches Hilfsmittel einführen, den sog. projektiven Limes einer Familie
algebraischer Objekte. Da wir diesen in einer möglichst allgemeinen Form definieren werden, lohnt es sich an dieser
Stelle, die Sprache der Kategorien zu verwenden. Eine Kategorie im Sinne der Algebra besteht aus den folgenden
Daten.
(i) einer Klasse C , deren Elemente die Objekte der Kategorie genannt werden
(ii) für jedes Paar (A, B ) von Objekten eine Menge HomC (A, B ), deren Elemente man als Morphismen in der Kategorie C bezeichnet (In der Regel verwendet man die Notation f : A → B um anzuzeigen, dass f ein Element
der Menge HomC (A, B ) ist.)
(iii) für jedes Tripel (A, B,C ) von Objekten eine Abbildung ◦ : HomC (B,C ) × HomC (A, B ) → HomC (A,C )
(iv) für jedes Objekt A ein ausgezeichnetes Element id A ∈ HomC (A, A)
Dabei wird vorausgesetzt, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind.
(i) Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt, d.h. sind A, B, A , B Objekte und A = A oder B = B , dann
folgt HomC (A, B ) ∩ HomC (A , B ) = .
(ii) Sind A, B,C , D Objekte und f ∈ HomC (A, B ), g ∈ HomC (B,C ) und h ∈ HomC (C , D),
dann gilt (h ◦ g ) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
(iii) Sind A, B Objekte und f ∈ HomC (A, B ), dann gilt f ◦ id A = f .
Ebenso gilt idB ◦ f = f für alle f ∈ HomC (A, B ).
Definition 4.1
Ein Morphismus f : A → B in einer Kategorie C wird Isomorphismus genannt,
wenn in C ein Morphismus g : B → A mit g ◦ f = id A und f ◦g = idB existiert. Zwei Objekte A, B in
einer Kategorie C bezeichnet man als isomorph, wenn in C ein Isomorphismus A → B existiert.
Im folgenden werden wir uns vor allem mit den folgenden Kategorien beschäftigen.
(i) die Kategorie Set
Die Objekte dieser Kategorie sind die Mengen. Für beliebige Mengen X , Y ist HomSet (X , Y ) die Menge der
Abbildungen zwischen X und Y .
(ii) die Kategorie Top
Hier sind die Objekte die topologischen Räume, und für zwei topologische Räume (X , S ) und (Y , T ) ist
HomTop (X , Y ) die Menge der stetigen Abbildungen X → Y bezüglich der Topologien S und T .
(iii) die Kategorie Grp
Hier sind die Objekte die Gruppen und die Morphismen die Gruppenhomomorphismen.
—– 40 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
(iv) die Kategorie Ab
In dieser Kategorie sind die Objekte die abelschen Gruppen, die Morphismen sind weiterhin die
Gruppenhomomorphismen.
(v) die Katgorie Rng
Hier sind die Objekte die kommutativen Ringe mit Einselement. Für Objekte A, B ∈ Rng ist HomRng (A, B ) die
Menge der Ringhomomorphismen zwischen A und B , also die Menge der Abbildungen f : A → B mit f (1 A ) =
1B , f (a + b) = f (a) + f (b) und f (ab) = f (a) f (b) für alle a, b ∈ A.
(vi) die Kategorie der topologischen Gruppen
Hier sind die Morphismen die stetigen Gruppenhomorphismen.
(vii) die Kategorie der topologischen Ringe
Hier sind die Morphismen die stetigen Ringhomomorphismen.
Man beachte, dass die Objekte Ab eine Teilklasse der Objekte von Grp ist, für alle A, B ∈ Ab aber jeweils HomAb (A, B ) =
HomGrp (A, B ) gilt. Man sagt dazu, dass Ab eine volle Unterkategorie von Grp bildet.
Eine gerichtete Menge ist eine Halbordnung (I , ≤) mit der Eigenschaft, dass für alle i , j ∈ I jeweils ein k ∈ I mit k ≥ i
und k ≥ j existiert. Jede Totalordnung ist beispielsweise eine gerichtete Menge. Auch das Paar (N, ) ist eine gerichtete
Menge, wenn wir die Relation
Definition 4.2
auf den natürlichen Zahlen durch m
n ⇔ m | n definieren.
Sei (I , ≤) eine gerichtete Menge und C eine Kategorie. Ein projektives System in
C über (I , ≤) ist ein Paar ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) bestehend aus einer Familie (A i )i ∈I von Objekten aus
C und einer Familie ( f i j )i ≤ j aus Morphimen f i j : A j → A i für jedes Paar (i , j ) mit i ≤ j , so dass
f i i = id A i i
fi j ◦ f j k = fi k
für alle i , j , k
mit i ≤ j ≤ k
gilt.
Ein Morphismus zwischen projektiven Systemem ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) und ((B i )i ∈I , (g i j )i ≤ j ) ist eine
Familie (h i )i ∈I mit der Eigenschaft, dass h i ◦ f i j = g i j ◦ h j für alle Paare (i , j ) mit i ≤ j gilt.
Ai o
hi
Bi o
Definition 4.3
fi j
Aj o
hj
gi j
Bj o
f jk
g jk
Ak
hk
Bk
Sei C eine Kategorie und ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System in C über ei-
ner gerichteten Menge (I , ≤). Ein Objekt A ∈ C wird projektiver Limes des projektiven Systems
genannt, wenn eine Familie ( f i )i ∈I von Morphismen f i : A → A i existiert, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind.
(i) Es gilt f i j ◦ f j = f i für alle Paar (i , j ) mit i ≤ j .
(ii) Sei B ein Objekt und (g i )i ∈I eine Familie von Morphismen g i : B → A i , so dass g i j ◦ g j = g i
für alle Paare (i , j ) mit i ≤ j gilt. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus
g : B → A, so dass f i ◦ g = g i für alle i ∈ I erfüllt ist.
—– 41 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Der projektive Limes ist also durch das folgende kommutative Diagramm gekennzeichnet.
?
gj
g
B
2 Aj
fj
/A
fi j
fi
,A
i
gi
Im Allgemeinen braucht nicht jedes projektive System in einer Kategorie einen projektiven Limes besitzen. In vielen
Kategorien ist dies aber der Fall, und es existiert darüber hinaus auch eine konkrete Beschreibung dieser Objekte.
Satz 4.4
Sei (I , ≤) eine gerichtete Menge und ((X i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System in Set.
Dann ist durch die Menge
lim X i
←−−
=
Xi
(x i )i ∈I ∈
f i j (x j ) = x i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j
i ∈I
i ∈I
ein projektiver Limes dieses Systems in der Kategorie Set gegeben.
Beweis:
Wir bezeichnen die angegebene Menge mit X und zeigen, dass diese tatsächlich ein projektiver Limes in der
Kategorie Set ist. Für jedes j ∈ I sei f j : X → X j die Projektionsabbildung gegeben durch f j ((x i )i ∈I ) = x j . Für beliebige
j , k ∈ I mit j ≤ k und (x i )i ∈I ∈ X gilt dann ( f j k ◦ f k )((x i )i ∈I ) = f j k (x k ) = x j = f j ((x i )i ∈I ), also f j k ◦ f k = f j .
Sei nun Y eine beliebige Menge und (g i )i ∈I ein System von Abbildungen mit f j k ◦ g k = g j für alle j , k ∈ I mit j ≤ k.
Wir definieren eine Abbildung g : Y →
i ∈I
X i durch g (y) = (g i (y))i ∈I für alle i ∈ I . Wegen f j k (g k (y)) = g j (y) für alle
y ∈ Y und j , k ∈ I mit j ≤ k gilt g (Y ) ⊆ X , wir können g somit als Abbildung Y → X auffassen. Wie man unmittelbar
überprüft, ist f i ◦ g = g i für alle i ∈ I erfüllt.
Sei h : Y → X eine weitere Abbildung mit der Eigenschaft, dass f i ◦ h = g i für alle i ∈ I erfüllt ist, und sei y ∈ Y beliebig
vorgegeben. Für die Komponenten von (x i )i ∈I = h(y) gilt dann x i = f i (h(y)) = f i (g (y)) = f i (y), also h(y) = g (y).
In der Kategorie Top besteht ein projektives System ((X i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) aus stetigen Abbildungen f i j : X j → X i . Versehen
wir das Produkt
i ∈I
X i mit der Produkttopologie und die Menge
lim X i
←−−
i ∈I
=
Xi
(x i )i ∈I ∈
f i j (x j ) = x i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j
i ∈I
mit der entsprechenden Teilraumtopologie, so erhalten wir den projektiven Limes in der Kategorie Top. Für den Beweis müssen wir zunächst überprüfen, dass die Abbildungen f j : X → X j gegeben durch f j ((x i )i ∈I ) = x j für alle j ∈ I
stetig sind. Ist U ⊆ X j eine offene Menge, dann gilt
f j−1 (U )
=
U×
Xi ∩ X
,
i=j
und diese Menge ist offen in X . Also ist f j in der Tat eine stetige Abbildung. Sei nun Y ein topologischer Raum und
(g i )i ∈I ein System stetiger Abbildungen mit f j k ◦ g k = g j für alle j , k ∈ I mit j ≤ k. Sei g : Y → X wie im Beweis von
—– 42 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Satz 4.4 definiert. Für den Nachweis der Stetigkeit von g genügt es zu überprüfen, dass die Urbilder einer Subbasis der
Topologie unter g offen in Y sind. Eine solche Subbasis ist gegeben durch Mengen der Form
Xi ∩ X
U×
,
i=j
wobei j die Indexmenge I und U die offenen Teilmengen von X j durchläuft. Wegen f j ◦ g = g j ist das Urbild einer
solchen Menge gerade g −1
(U ), denn für alle y ∈ Y gilt die Äquivalenz
j
y ∈ g −1
j (U )
⇔
g j (y) ∈ U
⇔
( f j ◦ g )(y) ∈ U
⇔
g (y) ∈ f j−1 (U )
⇔
Xi ∩ X .
g (y) ∈ U ×
i=j
Auf Grund der Stetigkeit von g j ist die Teilmenge g −1
(U ) offen in Y , also ist g tatsächlich stetig. Der Beweis der Einj
deutigkeit von g läuft wieder genauso wie in der Kategorie Set der Mengen.
Ebenso wie in Set und Top beweist man die Existenz von projektiven Limiten in jeder der Kategorien Grp, Ab und
Rng; dabei sind lediglich die Abbildungen durch Gruppen- bzw. Ringhomomorphismen zu ersetzen. Auf dieselbe
Weise kann auch gezeigt werden, dass in den Kategorien der topologischen Gruppen topologischen Ringe beliebige
projektive Limiten existieren. Dagegen existiert beispielsweise in der Kategorie der endlichen Mengen nicht für jedes
projektive System ein projektiver Limes (Nachweis als Übung).
Satz 4.5
Je zwei projektive Limiten desselben projektiven Systems in einer Kategorie sind zu-
einander isomorph.
Beweis:
Sei ((X i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System, und seien A, B projektive Limiten dieses Systems. Dann gibt
es Systeme ( f i )i ∈I und (g i )i ∈I von Morphismen f i : A → X i bzw. g i : B → X i mit f i j ◦ f j = f i und g i j ◦ g j = g i für alle
i , j ∈ I mit i ≤ j . Nach Definition des projektiven Limes existieren nun eindeutig bestimmte Morphismen f : B → A
und g : A → B , so dass g i = f i ◦ f und f i = g i ◦ g für alle i ∈ I erfüllt ist.
Aus diesen beiden Gleichungen folgt f i = ( f i ◦ f ) ◦ g = f i ◦ ( f ◦ g ) für alle i ∈ I . Nach Definition des projektiven Limes
ist aber id A der eindeutig bestimmte Morphismus A → A mit f i = f i ◦ id A für alle i ∈ I . Daraus folgt f ◦ g = id A . Ebenso
erhalten wir g i = (g i ◦g )◦ f = g i ◦(g ◦ f ) für alle i ∈ I . Aus g i ◦idB = g i für alle i ∈ I und der Eindeutigkeit folgt g ◦ f = idB .
Insgesamt sind die Morphismen f und g invers zueinander, also Isomorphismen. Daraus folgt, dass die Objekte A und
B isomorph sind.
Häufig steht man vor der Aufgaben, zwischen zwei projektiven Limiten einen Morphismus anzugeben oder zu konstruieren. Dabei ist der folgende Satz hilfreich.
Satz 4.6
Sei C eine Kategorie, (I , ≤) eine gerichtete Menge, und seien ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) und
((B i )i ∈I , (g i j )i ≤ j ) projektive Systeme in C über (I , ≤). Seien A, B ∈ C projektive Limiten dieser
Systeme und ( f i )i ∈I , (g i )i ∈I zugehörige Familien von Morphismen f i : A → A i und g i : B → B i
mit f i j ◦ f j = f i und g i j ◦ g j = g i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j . Dann gibt es für jeden Morphismus
(h i )i ∈I zwischen den projektiven Systemen einen eindeutig bestimmten Morphismus h : A → B
mit g i ◦ h = h i ◦ f i für alle i ∈ I .
—– 43 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Beweis:
Wir betrachten das folgende kommutative Diagramm.
fj
?
hj
Aj
?
gj
/B
h
A
/ Bj
gi j
fi j
fi
hi
Ai
gi
/ Bi
Weil es sich bei (h i )i ∈I um einen Morphismus projektiver Systeme handelt, gilt
g i j ◦ (h j ◦ f j )
=
(g i j ◦ h j ) ◦ f j
(h i ◦ f i j ) ◦ f j
=
=
hi ◦ ( f i j ◦ f j )
=
hi ◦ f i .
Weil A der projektive Limes des Systems ((A i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ist, folgt aus dieser Gleichung, dass ein eindeutig bestimmter
Morphismus h : A → B mit g i ◦ h = h i ◦ f i für alle i ∈ I existiert.
Folgerung 4.7
Seien die Bezeichnungen wie in Satz 4.6 gewählt. Ist der Familie (h i )i ∈I jeder
Morphismus h i ein Isomorphismus, dann ist auch h : A → B ein Isomorphismus.
Beweis:
Ist h i für jedes i ∈ I ein Isomorphismus, dann bildet die Familie (h i−1 )i ∈I der inversen Isomorphismen
ebenfalls einen Morphismus projektiver Systeme, denn für alle i , j ∈ I mit i ≤ j gilt
hi ◦ f i j = g i j ◦ h j
⇔
−1
−1
h i−1 ◦ h i ◦ f i j ◦ h −1
j = hi ◦ g i j ◦ h j ◦ h j
⇔
⇔
−1
idB i ◦ f i j ◦ h −1
j = h i ◦ g i j ◦ idB j
−1
f i j ◦ h −1
j = hi ◦ g i j .
Durch Anwendung von Satz 4.6 erhalten wir einen Morphismus h : B → A mit f i ◦ h = h i−1 ◦ g i für alle i ∈ I . Es folgt
id A i ◦ f i
=
h i−1 ◦ h i ◦ f i
=
h i−1 ◦ g i ◦ h
=
f i ◦ h ◦ h.
Aber nach Satz 4.6 ist id A der eindeutig bestimmte Morphismus mit der Eigenschaft f i ◦ id A = id A i ◦ f i für alle i ∈ I .
Daraus folgt h ◦ h = id A . Ebenso liefert die Rechnung
idB i ◦ g i
=
h i ◦ h i−1 ◦ g i
=
hi ◦ f i ◦ h
=
gi ◦ h ◦ h
die Gleichung h ◦ h = idB , denn idB ist durch die Eigenschaft g i ◦ idB = idB i ◦ g i für alle i ∈ I eindeutig bestimmt.
Insgesamt sind h und h invers zueinander und damit Isomorphismen.
Ein erstes konkretes Beispiel für projektive Limiten erhält man durch die im letzten Abschnitt eingeführte Komplettierung.
Satz 4.8
Sei K ein Zahlkörper, O K der Ring der ganzen Zahlen in K und p ein Primideal in O K .
Ferner sei K p die Komplettierung von K bezüglich der Bewertung v p und O p ⊆ K p der zugehörige
Bewertungsring. Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
Op
∼
=
lim O K /pn .
←−−
n∈N
in der Kategorie der topologischen Ringe.
—– 44 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Beweis:
Für jedes n ∈ N sei A n = O K /pn der endliche Restklassenring ausgestattet mit der diskreten Topologie.
Für jedes Paar m, n natürlicher Zahlen mit m ≤ n sei f mn : A n → A m der kanonische Epimorphismus a + pn → a +
pm , der offenbar stetig bezüglich der diskreten Topologien auf A m und A n ist. Wir zeigen, dass Op ein projektiver
Limes des projektiven Systems ((A n )n∈N , ( f mn )m≤n ) ist. Für jedes n ∈ N sei dazu ιn der kanonische Isomorphismus
∼
O p /pn O p → A n und f n : O p → A n gegeben durch a → ιn (a + pn O p ). Offenbar gilt f m = f mn ◦ f n für alle m, n ∈ N mit
m ≤ n. Außerdem ist f n für jedes n ∈ N stetig, denn für jedes a ∈ O K besteht das Urbild der Nebenklasse a + pn ∈ O K /pn
aus der Umgebung
a + pn O p
=
{x ∈ O p | v p (x − a) ≥ n}
Op
⊆
von a.
Sei nun B ein weiterer topologischer Ring und (g n )n∈N eine Familie stetiger Abbildungen g n : B → O K /pn mit g m =
f mn ◦g n für alle m, n ∈ N mit m ≤ n. Gesucht wird die eindeutig bestimmte, stetige Abbildung g : B → O p mit f n ◦g = g n
für alle n ∈ N.
2 O< K /pn
gn
g
B
fn
/ Op
f mn
fm
, # gm
O K /pm
Für die Definition von g sei b ∈ B vorgegeben. Für jedes n ∈ N sei a n ∈ O K ein Element, dass die Gleichung g n (b) =
a n + pn erfüllt. Es gilt a m + pm = g m (b) = ( f mn ◦ g n )(b) = f mn (a n + pn ) = a n + pm , also v p (a n − a m ) ≥ m für alle m, n ∈ N
mit m ≤ n. Dies zeigt, dass (a n )n∈N in O p eine Cauchyfolge ist. Wir können deshalb
g (b)
=
lim a n
n→∞
definieren.
Der Grenzwert ist offenbar unabhängig von der Wahl der Elemente a n . Ist nämlich (a n )n∈N eine weitere Folge in O K
mit a n + pn = g n (b) = a n + pn für alle n ∈ N, dann folgt v p (a n − a n ) ≥ n für alle n ∈ N, also limn a n = lim a n = g (b).
Wegen v p (a n − a m ) ≥ m für m ≤ n gilt auch v p (g (b) − a m ) ≥ n und somit g (b) + pm O p = a m + pm O p , also
( f m ◦ g )(b)
=
f m (g (b))
=
ιm (g (b) + pm O p )
=
ιm (a m + pm O p )
=
a m + pm
=
g m (b) ,
also f m ◦ g = g m für alle m ∈ N. Wir zeigen nun, dass g ein Ringhomomorphismus ist. Wegen g n (1B ) = 1 + pn für alle
n ∈ N gilt g (b) = limn 1 = 1 nach Definition von g . Seien nun b, b ∈ B vorgegeben und (a n )n∈N , (a n )n∈N Folgen mit
g n (b) = a n + pn und g n (b ) = a n + pn für alle n ∈ N. Dann folgt g n (b + b ) = g n (b) + g n (b ) = (a n + a n ) + pn für alle n ∈ N,
also
g (b + b )
=
lim (a n + a n )
n→∞
=
lim a n + lim a n
n→∞
n→∞
=
g (b) + g (b ).
Genauso beweist man die Gleichung g (bb ) = g (b)g (b ). Um zu zeigen, dass g auch stetig ist, seien n ∈ N und b ∈ B
vorgegeben, und a = g (b) ∈ O p . Es genügt zu zeigen, dass für eine gewisse Umgebung U von b die Inklusion g (U ) ⊆
a + pn O p erfüllt ist. Sei a n ∈ O K ein Element mit f n (a) = a n + pn , also a + pn O p = a n + pn O p . Die Menge U = g n−1 (a n + pn )
ist auf Grund der Stetigkeit von g n offen und enthält wegen g n (b) = ( f n ◦g )(b) = f n (a) = a n + pn das Element b. Sei nun
b ∈ U beliebig vorgegeben. Wegen f n ◦ g = g n gilt
f n (g (b )) = g n (b )
⇒
ιn (g (b ) + pn O p ) = a n + pn
⇒
g (b ) + pn O p = a n + pn O p = a + pn O p
und somit tatsächlich g (b ) ∈ a + pn O p . Damit ist die Stetigkeit von g bewiesen.
—– 45 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Zum Schluss zeigen wir noch, dass g durch die Bedingung f n ◦ g = g n für alle n ∈ N eindeutig festgelegt ist. Sei dazu
h : B → O p eine beliebige Abbildung mit f n ◦ h = g n für alle n ∈ N. Dann folgt
ιn (h(b) + pn O pn )
=
g n (b)
=
ιn (g (b) + pn O pn )
⇒
h(b) + pn O pn
=
g (b) + pn O pn
,
also v p (h(b) − g (b)) ≥ n für alle n ∈ N und somit h(b) − g (b) = 0 ⇔ g (b) = h(b).
Für die ganzen p-adischen Zahlen existiert also ein Isomorphismus von topologischen Ringen
∼
=
Zp
lim Z/p n Z.
←−−
n∈N
Jedes Element a ∈ Zp wird also repräsentiert durch eine Folge (a n + p n Z)n∈N von Kongruenzklassen, wobei für m ≤ n
jeweils a m ≡ a n mod p m gilt. Für p = 5 ist hat diese Zuordnung beispielsweise die Form
147
→
(2 + 5Z , 22 + 25Z , 22 + 125Z , 147 + 625Z , 147 + 3125Z , ...)
−2
→
(3 + 5Z , 23 + 25Z , 123 + 125Z , 623 + 625Z , 3123 + 3125Z , ...)
4
7
→
(2 + 5Z, 22 + 25Z, 72 + 125Z, 447 + 625Z, 447 + 3125Z, ...)
In der Darstellung von
4
7
sind die Restklassen a n +5n Z so gewählt, dass die Gleichungen (a n +5n Z)(7+5n Z) = 4+5n Z
für alle n ∈ N sind. Dies entspricht der Gleichung
4
7
· 7 = 4 im Ring Z5 .
Der folgende Ring wird für die unendliche Galoistheorie eine wichtige Rolle spielen.
Proposition 4.9
Sei
die Halbordnung auf N gegeben durch m
n ⇔ m | n. Für jedes n ∈
N sei R n = Z/n Z, und für jedes Paar (m, n) natürlicher Zahlen mit m ≤ n sei f mn : R n → R m
die kanonische Abbildung a mod n Z → a mod m Z. Dann ist ((R n )n∈I , ( f mn )m≤n ) ein projektives
System in der Kategorie der topologischen Ringe, wobei R n jeweils mit der diskreten Topologie
versehen ist. Der zugehörige projektive Limes
ˆ
Z
=
lim Z/n Z
←−−
wird der Prüfer-Ring genannt.
n∈I
Beweis:
Für jedes n ∈ N ist f nn nach Definition gleich idRn . Seien nun k, m, n ∈ N mit k
m und m
n vorgegeben.
Für jedes a ∈ Z gilt nach Definition ( f km ◦ f mn )(a + n Z) = f km (a + m Z) = a + k Z = f kn (a + n Z), also f km ◦ f mn = f kn .
Jedes f mn ist ein Ringhomomorphismus, und weil R m und R n mit der diskreten Topologie versehen sind, ist f mn eine
stetige Abbildung.
Satz 4.10
ˆ∼
Es gibt einen natürlichen Isomorphismus Z
=
p∈P Zp
topologischer Ringe, wobei P
die Menge der Primzahlen bezeichnet.
Beweis:
Der erste Beweisschritt besteht darin, das Produkt
p∈P Zp
als projektiven Limes eines geeigneten projek-
tiven Systems darzustellen. Dazu I die Menge der Familien (e p )p∈P mit e p ∈ N0 für alle p ∈ P, wobei jeweils e p = 0 für
alle bis auf endlich viele p ∈ P gilt. Wir definieren auf I eine Halbordnung
, indem wir (e p )p∈P
e p ≤ e p für alle p ∈ P gilt. Für jedes (e p )p∈P sei A (e p ) das Produkt
ep
—– 46 —–
p∈P Z/p
(e p )p∈P setzen, falls
Z, wobei die Restklassenringe Z/p e p Z
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
mit der diskreten Topologie und A (e p ) mit der Produkttopologie versehen ist. Für jedes Paar von Elementen aus I mit
(e p )p∈P sei f (e p )(e p ) : A (e p ) → A (e p ) die kanonische Abbildung gegeben durch
(e p )p∈P
(a p + p e p Z)p∈P
(a p + p e p Z)p∈P .
→
Wie in Proposition 4.9 überprüft man unmittelbar, dass die Objekte A (e p ) mit diesen Morphismen ein projektives
System in der Kategorie der topologischen Ringe bilden. Wir zeigen nun, dass
p∈P Zp
mit der Produkttopologie ein
∼
e
projektiver Limes dieses Systems ist. Für jedes p ∈ P und jedes e ∈ N0 sei ιp,e : Zp /p Zp → Z/p e Z der natürliche
Isomorphismus. Für jedes (e p )p∈P ∈ I sei
Zp −→ A (e p ) , (a p )p∈P → (ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P .
f (e p ) :
p∈P
Offenbar handelt es sich bei f (e p ) um einen Ringhomomorphismus. Seien nun (e p )p∈P , (e p )p∈P ∈ I mit (e p )p∈P
(e p )p∈P vorgegeben. Sei (a p )p∈P ∈
p∈P Zp
( f (e p )(e p ) ◦ f (e p ) )((a p )p∈P )
=
f (e p )(e p ) ((a˜ p + p e p Z)p∈P )
=
=
und a˜ p ∈ Z jeweils ein Element mit a p + p e p Zp = a p + p e p Zp . Dann gilt
f (e p )(e p ) ( f (e p ) ((a p )p∈P ))
(a˜ p + p e p Z)p∈P
=
f (e p )(e p ) ((ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P )
=
(ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P
f (e p ) ((a p )p∈P ) ,
=
also f (e p )(e p ) ◦ f (e p ) = f (e p ) . Außerdem ist jedes f (e p ) eine stetige Abbildung. Denn die Mengen gegeben durch Va,q =
{a + q e q Z}×
p=q Z/p
ep
Z mit a ∈ Z und q ∈ P bilden eine Basis der Topologie von A (e p ) , und das Urbild einer solchen
Menge ist gegeben durch
f (e−1p ) (Va,q )
die bezüglich der Produkttopologie auf
p∈P Zp
a + q e q Zq ×
=
Zp ,
q=p
offen ist. Sei nun B ein topologischer Ring und g (e p ) : B → A (e p ) ein
System von stetigen Ringhomomorphismen mit der Eigenschaft f (e p )(e p ) ◦ g (e p ) = g (e p ) für (e p )p∈P
g (e
2 A (e p )
=
p)
f (e
g
B
/
(e p )p∈P .
p)
f (e p )(e
Zp
p∈P
p)
f (e p )
, A! g (e p )
(e p )
Zu zeigen ist, dass ein eindeutig bestimmter, stetiger Ringhomomorphismus g : B →
p∈P Zp
mit f (e p ) ◦ g = g (e p ) für
alle (e p )p∈P existiert. Sei b ∈ B beliebig vorgegeben, außerdem q ∈ P und e ∈ N0 . Dann definieren wir (e p )p∈P ∈ I durch
e q = e und e p = 0 für p = q und wählen jeweils a q,e ∈ Z beliebig, so dass g (e p ) (b)q = a q,e + q e Z erfüllt ist. Für e ≤ e gilt
jeweils a q,e ≡ a q,e mod q e . Definieren wir nämlich (e p )p∈P und (e p )p∈P durch e q = e, e q = e und e p = e p = 0 für p = q,
dann gilt
q q,e + q e Z
=
f (e p )(e p ) (a q,e + q e Z
( f (e p )(e p ) ◦ g (e p ) )(b)q
=
=
Dies zeigt, dass (a q,e )e∈N in Zq eine Cauchyfolge ist und folglich der Grenzwert
aq
=
lim a q,e
n→∞
∈
Zq
—– 47 —–
existiert.
g (e p ) (b)q
=
a q,e + q e Z.
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Unmittelbar klar ist die Unabhängigkeit des Grenzwertes von der Wahl der Elemente a q,e . Wir definieren nun g (b) =
(a p )b∈P . Der Nachweis, dass es sich bei g um einen Ringhomomorphismus handelt, der die Gleichung f (e p ) ◦ g = g (e p )
für alle (e p )p∈P erfüllt, ist wie in Satz 4.8 reine Routine. Auch die Tatsache, dass g durch die Gleichungen f (e p ) ◦ g =
g (e p ) für alle (e p )p∈P ∈ I bereits eindeutig festgelegt ist, lässt sich leicht überprüfen: Sei h : B →
p∈P Zp
eine weitere
Abbildung mit dieser Eigenschaft, und seien b ∈ B und (e p )p∈P ∈ I vorgegeben. Schreiben wir g (b) = (a p )p∈P und
h(b) = (b p )p∈P mit a p , b p ∈ Zp , dann gilt
(ιp,e p (a p + p e p Zp ))p∈P
f (e p ) ((a p )p∈P )
=
f (e p ) ((b p )p∈P )
( f (e p ) ◦ g )(b)
=
=
=
g (e p )
=
( f (e p ) ◦ h)(b)
=
(ιp,e p (b p + p e p Zp ))p∈P .
Es folgt a p +p e p Zp = b p +p e p Zp für alle b ∈ P. Wenden wir dies auf alle (e p )p∈P ∈ I an, dann folgt a p = b p für alle b ∈ P
und somit g (b) = h(b).
Für den Nachweis der Stetigkeit von g sei b ∈ B vorgegeben und (a p )p∈P = g (b). Seien q ∈ P und e ∈ N0 beliebig
gewählt. Es genügt zu zeigen, dass eine gewisse Umgebung U von b durch den Homorphismus g in die Menge
Vq,e
(a q + q e Zq ) ×
=
Zq
p=q
abgebildet wird, denn die Mengen dieser Form bilden eine Umgebungsbasis von (a p )p∈P . Sei wieder (e p )p∈P ∈ I durch
e q = e und e p = 0 für p = p definiert. Sei außerdem a˜ q ∈ Z ein Element mit a q + q e Zq = a˜ q + q e Zq und U q,e =
{a˜ q + q e Z} × p∈P {0¯ }. Dann ist U q,e offen in A (e p ) , und auf Grund der Stetigkeit von g (e p ) ist U = g −1 (U q,e ) eine offene
(e p )
Umgebung von b. Wir überprüfen nun, dass g (U ) ⊆ Vq,e erfüllt ist. Sei b ∈ U vorgegeben. Aus f (e p ) ◦ g = g (e p ) folgt
f (e p ) (g (b )) = g (e p ) (b )
⇒
f (e p ) (g (b )) ∈ U q,e
⇒
ιq,e (g (b )q ) = a˜ q + q e Z
und somit g (b ) ∈ Vq,e . Damit ist auch die Stetigkeit von g bewiesen und der Ring
⇒
p∈P Zp
g (b )q = a q + q e Zq
tatsächlich ein projektiver
Limes des angegebenen Systems.
Im einem zweiten Schritt bringen wir das soeben konstruierte projektive System mit dem projektiven System des
Prüfer-Rings in Verbindung. Sei
die Teilerrelation auf N. Jedes n ∈ N besitzt eine Primfaktorzerlegung n =
p∈P p
ep
.
Durch die Zuordnung n → (e p )p∈P erhält man eine natürliche Bijektion φ : N → I mit m
n ⇔ φ(m) φ(n) für
alle m, n ∈ N. Setzen wir A˜ n = A φ(n) für alle n ∈ N, so erhalten wir ein projektives System über (N, ). Ist n ∈ N und
(e p )p∈P = φ(n), dann liefert der Chinesische Restsatz einen Isomorphismus φn : Z/n Z → A˜ n gegeben durch a + n Z →
(a + p e p Z)p∈P . Für alle n, n ∈ N mit n
n und (e p )p∈P = φ(n), (e p )p∈P = φ(n ) ist das Diagramm
Z/n Z
Z/n Z
φn
φn
/ A˜ n =
/ A˜ n =
p∈P Z/p
ep
f φ(n)φ(n
p∈P Z/p
Z
)
ep
Z
kommutativ, wobei die Abbildung links durch a+n Z → a+n Z gegeben ist. Also definiert (φn )n∈N ein Isomorphismus
zwischen dem projektiven System des Prüfer-Rings einerseits und dem projektiven System gegeben durch die Objekte
A˜ n und die Morphismen f φ(n)φ(n ) andererseits. Nach Folgerung 4.7 erhält man einen topologischen Isomorphismus
ˆ und
zwischen Z
p∈P Zp .
—– 48 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Definition 4.11
Eine topologische Gruppe wird pro-endliche Gruppe genannt, wenn sie haus-
dorffsch und kompakt ist und eine Umgebungsbasis des Neutralelements bestehend aus offenen
Normalteilern besitzt.
Wir werden nun zeigen, dass sich pro-endliche Gruppen als projektiver Limes von endlichen Gruppen (ausgestattet
mit der diskreten Topologie) beschreiben lassen.
Proposition 4.12
Sei G eine topologische Gruppe.
(i) Jede offene Untergruppe von G ist auch abgeschlossen. Jede abgeschlossene Untergruppe
von endlichem Index ist offen.
(ii) Ist G kompakt, dann sind die offenen Untergruppen von G genau die abgeschlossenen
Untergruppen von endlichem Index.
Beweis:
zu (i) Sei U eine offene Untergruppe von G und R ⊆ G ein Repräsentantensystem der von U verschiedenen
Linksnebenklassen von U . Weil die Translationsabbildungen τg : G → G, h → g h für jedes g ∈ G Homöomorphismen
sind, ist gU für jedes g ∈ G eine offene Teilmenge von G. Also ist auch
G \U
gU
=
(1)
g ∈R
offen und U damit abgeschlossen. Setzen wir nun voraus, dass U abgeschlossen von endlichem Index ist. Dann zeigt
die endliche Vereinigung in (1), dass G \U abgeschlossen und U somit offen ist.
zu (ii) Sei U eine offene Untergruppe und R ⊆ G wie in Teil (i). Wegen G = U ∪
g ∈R
gU bilden die Linksnebenklassen
eine offene Überdeckung von G. Weil die Nebenklassen disjunkt und G kompakt ist, muss die Menge R und damit
auch (G : U ) endlich sein.
Satz 4.13
Sei G eine pro-endliche Gruppe und (Ni )i ∈I eine Familie offener Normalteiler von G,
die eine Umgebungsbasis des Neutralelements bilden.
(i) Für jedes i ∈ I ist G i = G/Ni eine endliche Gruppe, und die Quotiententopologie auf G ist
die diskrete Topologie.
(ii) Durch i ≤ j ⇔ Ni ⊇ N j für i , j ∈ I wird (I , ≤) zu einer gerichteten Menge.
(iii) Für i , j ∈ I mit i ≤ j sei f i j : G j → G i jeweils der (stetige) Homomorphismus gegeben
durch f i j (g N j ) = gG i für alle g ∈ G. Dann ist ((G i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j ) ein projektives System in
der Kategorie der topologischen Gruppen.
(iv) Es gibt einen natürlichen Isomorphismus G ∼
= lim G i von topologischen Gruppen.
←−−
i ∈I
Beweis:
zu (i) Weil Ni offen ist, handelt es sich nach Proposition 4.12 um eine Untergruppe von endlichem Index.
Also ist G/Ni offen. Sei πi : G → G/Ni der kanonische Epimorphismus. Mit N ist auch jede Nebenklasse g Ni mit g ∈ G
offen. Es gilt jeweils π−1
({g Ni }) = g Ni , also ist nach Definition der Quotiententopologie jede einelementige Teilmenge
i
{g Ni } von G/Ni offen. Dies zeigt, dass die Quotiententopologie auf G/Ni die diskrete Topologie ist.
—– 49 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
zu (ii) Die Halbordnungseigenschaft kann unmittelbar nachgerechnet werden. Sind i , j ∈ I beliebig vorgegeben, dann
ist mit Ni und N j auch Ni ∩N j eine offene Umgebung des Neutralelements. Weil die Normalteiler aus der Familie eine
Umgebungsbasis bilden, gibt es ein k ∈ I mit G k ⊆ Ni ∩ N j . Daraus folgt k ≥ i und k ≥ j . Also ist (I , ≤) tatsächlich eine
gerichtete Menge.
zu (iii) Die Gleichungen f i i = idG i und f i j ◦ f j k = f i k für i ≤ j ≤ k ergeben sich direkt aus der Definition.
zu (iv) Für jedes i ∈ I sei f i : G → G i , g → g Ni der kanonische Epimorphismus. Nach Definition der Quotiententopologie auf G i ist dieser stetig. Für alle i , j ∈ I mit i ≤ j und alle g ∈ G gilt
( f i j ◦ f j )(g )
=
f i j (g N j )
=
g Ni
=
f i (g )
und somit f i j ◦ f j = f i . Sei nun H eine topologische Gruppe und φi : H → G i ein System von stetigen Homomorphismen mit f i j ◦ h j = h i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j . Sei h ∈ H vorgegeben und g i ∈ G für jedes i ∈ I jeweils ein Element, so
dass φi (h) = g i G i erfüllt ist. Wir zeigen, dass ein eindeutig bestimmtes g ∈ G existiert, so dass g ∈ g i Ni für alle i ∈ I
erfüllt ist, mit anderen Worten, dass die Schnittmenge
g i Ni
i ∈I
einelementig ist. Als Translate von Ni sind die Teilmengen g i Ni von G sowohl offen als auch abgeschlossen. Sind nun
i , j ∈ I beliebig vorgegeben, dann existiert nach (ii) ein k ∈ I mit k ≥ i , j , also Nk ⊆ Ni ∩ N j . Es gilt dann
g i Ni
=
φi (h)
=
( f i k ◦ φk )(h)
=
f i k (g k Nk )
=
g k Ni
,
und ebenso erhält man g j N j = g k N j . Das Element g k ist also in g i Ni ∩ g j N j enthalten. Durch vollständige Induktion
sieht man, dass der Durchschnitt von je endlich vielen der abgeschlossenen Mengen g i Ni nichtleer ist. Weil es sich
bei G um eine kompakte Gruppe handelt, ist damit der gesamte Durchschnitt
i ∈I
g i Ni nichtleer. Nehmen wir nun
an, dass der Durchschnitt zwei verschiedene Elemente g , g ∈ G enthält. Dann gilt g Ni = g Ni für alle ∈ I . Weil G
Hausdorffsch ist, und die Normalteiler Ni eine Umgebungsbasis des Neutralelements bilden, gibt es i , j ∈ I , so dass
der Durchschnitt g Ni ∩ g N j leer ist. Es folgt g Ni ∩ g N j =
, im Widerspruch dazu, dass g im Durchschnitt dieser
Mengen liegt.
Damit ist die Behauptung insgesamt bewiesen. Ist g das eindeutig bestimmte Element in
i ∈I
g i Ni , dann definieren
wir φ(h) = g . Wir zeigen nun, dass φ ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien dazu h, h ∈ H vorgegeben. Nach Definition der Abbildung φ gilt φ(h) ∈ φi (h) und φ(h ) ∈ φi (h ) für alle i ∈ I . Es folgt φ(h)φ(h ) ∈ φi (h)φi (h ) und φ(h)φ(h ) ∈
φi (hh ) auf Grund der Homomorphismus-Eigenschaft von φi , für alle i ∈ I . Nach Definition von φ ist φ(hh ) das eindeutig bestimmte Element in
i ∈I
φi (hh ), also gilt φ(h)φ(h ) = φ(hh ). Damit ist die Homomorphismus-Eigenschaft
bewiesen.
Wir überprüfen die Gleichung φi = f i ◦ φ für alle i ∈ I . Seien i ∈ I und h ∈ H vorgegeben. Wegen φ(h) ∈ φi (h) gilt
φ(h)Ni = φi (h) und somit ( f i ◦φ)(h) = f i (φ(h)) = φ(h)Ni = φi (h). Durch Eigenschaft ist die Abbildung φ auch eindeutig
festgelegt. Ist nämlich ψ : H → G eine beliebige Abbildung mit φi = f i ◦ ψ für alle i ∈ I , dann gilt für jedes h ∈ H jeweils
φi (h) = ψ(h)Ni und somit ψ(h) ∈ φi (h) für alle i ∈ I . Weil φ(h) das eindeutig bestimmte Element in
daraus ψ(h) = φ(h).
—– 50 —–
i ∈I
φi (h) ist, folgt
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Um nachzuweisen, dass φ stetig ist, genügt es die Stetigkeit im Punkt e H zu zeigen. Für beliebig vorgegebenes i ∈ I
zeigen wir, dass eine Umgebung V von e H mit φ(V ) ⊆ Ni existiert. Weil jedes φi und G i = G/Ni diskret ist, gibt es
eine Umgebung V von e H mit φi (V ) = {eG Ni }. Es gilt nun φ(V ) ⊆ Ni , denn für vorgegebenes h ∈ V erhalten wir wegen
φi = f i ◦ φ die Gleichung φi (h) = ( f i ◦ φ)(h) = φ(h)Ni und somit φ(h) ∈ φi (h) = Ni .
Wir bezeichnen eine Teilmenge eines topologischen Raums als offen-abgeschlossen, wenn er sowohl offen als auch
abgeschlossen ist.
Proposition 4.14
Sei G eine kompakte und total unzusammenhängende topologische Gruppe.
Dann besitzt das Neutralelement von G eine Umgebungsbasis bestehend aus offen-abgeschlossenen Teilmengen.
Beweis:
Sei U eine offene Umgebung des Neutralelements eG und (Ui )i ∈I der offen-abgeschlossenen Teilmengen
von G, die eG enthalten. Da die Zusammenhangskomponente von eG der Durchschnitt all dieser Mengen ist, gilt
i ∈I Ui
= {eG } nach Voraussetzung. Wegen (G \ U ) ∩ {eG } = ∅ sind G \ U und
i ∈I Ui
disjunkt. Die Menge U bildet
also zusammen mit den G \ Ui eine offene Überdeckung. Auf Grund der Kompaktheit von G gibt es ein r ∈ N und
i 1 , ..., i r ∈ I , so dass bereits U zusammen mit G \Ui 1 , ...,G \Ui r eine Überdeckung bilden. Daraus wiederum folgt
(G \U ) ∩Ui 1 ∩ ... ∩Ui r
∅.
=
Somit ist U1 ∩ ... ∩Ui r eine offen-abgeschlossene Umgebung von eG .
Proposition 4.15
Sei G eine kompakte und total unzusammenhängende topologische Gruppe.
Dann besitzt das Neutralelement von G eine Umgebungsbasis aus offenen Normalteilern.
Beweis:
Sei U eine beliebige Umgebung von eG . Nach Proposition 4.14 können wir (nach eventueller Verkleinerung
von U ) annehmen, dass U offen-abgeschlossen ist. Wir betrachten nun die Teilmengen
V = {g ∈ U | U g ⊆ U }
und
H = {g ∈ V | g −1 ∈ V }
und zeigen zunächst, dass V offen ist. Ist g ∈ V beliebig vorgegeben, dann gilt ug ∈ U für alle u ∈ U . Auf Grund der
Stetigkeit der Multiplikationsabbildung und der Offenheit von U gibt es jeweils Umgebungen Uu von u und Vu von g
mit Uu Vu ⊆ U . Als abgeschlossene Teilmenge von G ist U kompakt, und die Mengen Uu bilden offenbar eine offene
Überdeckung von U . Es gilt also ein r ∈ N und u 1 , ..., u r ∈ U mit U = Uu1 ∪ ... ∪Uur . Setzen wir
V˜
=
Vu1 ∩ ... ∩ Vur
,
dann folgt Uuk V˜ ⊆ U für 1 ≤ k ≤ n und somit U V˜ ⊆ U . Dies wiederum zeigt, dass V˜ ⊆ V gilt. Es handelt sich bei V˜ also
um eine in V liegende, offene Umgebung von g . Weil g ∈ V beliebig vorgegeben war, folgt daraus die Offenheit von V .
Auf Grund der Stetigkeit der Invertierungsabbildung g → g −1 ist mit V auch H = V ∩ V −1 offen. Wir zeigen nun, dass
H eine Untergruppe von G ist. Wegen U eG ⊆ U gilt eG ∈ V und damit auch eG ∈ H . Seien nun g , h ∈ H vorgegeben.
Offenbar ist dann auch g −1 , h −1 in H enthalten. Aus g , h ∈ H folgt g , h ∈ V und somit U g h ⊆ U h ⊆ U und somit g h ∈ V .
Ebenso gilt U h −1 g −1 ⊆ U g −1 ⊆ U und damit (g h)−1 = h −1 g −1 ∈ V . Aus g h ∈ V und (g h)−1 ∈ V folgt H . Damit sind die
Untergruppen-Eigenschaften von H nachgewiesen.
—– 51 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Als offene Untergruppe ist H von endlichem Index in G. Daraus folgt, dass es nur endlich viele, zu H konjugierte
Untergruppen gibt. Als Durchschnitt von endlich vielen offenen Untergruppen ist N =
g ∈G
g H g −1 wiederum offen,
außerdem ein Normalteiler von G.
(Satz von Tychonoff )
Satz 4.16
Sei (X i )i ∈I eine Familie kompakter topologischer Räume. Dann ist auch das direkte Produkt
i ∈I
X i ausgestattet mit der Produkttopologie kompakt.
Den Beweis dieses Satzes verschieben wir in den Anhang.
Lemma 4.17
Sei ((G i )i ∈I , ( f i j )i ≤ j )i ∈I ein projektives System endlicher, diskreter Gruppen G i
und
G˜
=
Gi
(g i )i ∈I ∈
f i j (g j ) = g i für alle i , j ∈ I mit i ≤ j .
i ∈I
Dann ist G˜ eine abgeschlossene Teilmenge von i ∈I G i (mit der Produkttopologie) und ein projektiver Limes des Systems. Außerdem ist G˜ hausdorffsch und total unzusammenhängend.
Für den Nachweis, dass es sich bei G˜ um einen projektiven Limes handelt, muss lediglich der Beweis von
Satz 4.4 für die Kategorie der Mengen bzw. topologischen Räume leicht modifiziert werden. Wir zeigen nun, dass G˜
Beweis:
kompakt ist. Für jedes Paar i , j mit i ≤ j ist
Gi j
=
{(g i , g j ) ∈ G i ×G j | f i j (g j ) = g i } ×
Gk
k=i , j
eine abgeschlossene Teilmenge des Produkts i ∈I G i . Weil G˜ nach Definition der Durchschnitt über alle Paare (i , j ) ∈
I 2 mit i ≤ j ist, handelt es sich bei G˜ um eine abgeschlossene Teilmenge von i ∈I G i . Weil das direkte Produkt nach
dem Satz von Tychonoff kompakt ist, ist G˜ als abgeschlossene Teilmenge des Produkts ebenfalls kompakt.
Zum Nachweis der anderen beiden Eigenschaften seien zwei verschiedene Elemente (g i )i ∈I und (g i )i ∈I in G˜ vorgegeben. Sei i 0 ∈ I ein Index mit g i 0 = g i . Setzen wir U = {g i 0 } × i =i 0 G i und V = (G i 0 \ {g i 0 }) × i =i 0 G i , dann ist durch
0
G = U˜ ∪ V˜ mit U˜ = U ∩ G˜ und V˜ = V ∩ G˜ eine Zerlegung von G in disjunkte, offen-abgeschlossene Umgebungen von
(g i )i ∈I und (g )i ∈I definiert. Dies zeigt, dass G˜ hausdorffsch und total unzusammenhängend ist.
i
Satz 4.18
Für eine topologische Grupe G sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Die Gruppe G ist pro-endlich.
(ii) Sie ist hausdorffsch, kompakt und total unzusammenhängend.
(iii) Es gibt ein projektives System bestehend aus endlichen Gruppen mit der diskreten Topologie, so dass G ein projektiver Limes dieses Systems ist.
Beweis:
Die Richtung „(i) ⇒ (iii)“ ist Inhalt von Satz 4.13. Die Implikation „(ii) ⇒ (i)“ folgt aus Proposition 4.15 und
„(iii) ⇒ (ii)“ aus Lemma 4.17.
Wir werden nun die Theorie der endlichen Gruppen auf die Galoistheorie anwenden.
—– 52 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Proposition 4.19 Sei L|K eine (endliche oder unendliche) Galois-Erweiterung und G = Gal(L|K )
die zugehörige Galoisgruppe. Dann existiert auf G eine eindeutig bestimmte Topologie, die jedem
σ ∈ G als Umgebungsbasis die Nebenklassen σGal(L|N ) zuordnet, wobei N |K die endlichen normalen Teilerweiterungen von L|K durchläuft.
Beweis:
Für jedes σ ∈ G sei Bσ = { σGal(L|N ) | N |K endlich galoissch }. Wir überprüfen, dass diese Mengensysteme
die Eigenschaften (i) bis (iii) aus §1 besitzen, die erforderlich sind, damit die Mengensysteme zu Umgebungsbasen
einer Topologie werden. Für jedes σ ∈ G und jede Menge der Form σGal(L|N ) ∈ Bσ gilt σ ∈ σGal(L|N ), also ist Bedingung (i) erfüllt. Zum Nachweis von (ii) seien σ ∈ G und U ,V ∈ Bσ vorgegeben. Nach Definition von Bσ gibt es endliche
normale Teilerweiterungen M |K und N |K mit U = Gal(L|M ) und V = Gal(L|N ). Setzt man W = Gal(L|M N ), wobei M N
das Kompositum der Teilkörper M und N in L bezeichnet, so erhält man eine Menge W ∈ Bσ mit W ⊆ U ∩ V .
Für den Beweis von (iii) bemerken wir zunächst, dass für beliebige σ, τ ∈ G und jede endliche normale Teilerweiterung
N |K jeweils die Äquivalenz τ ∈ σGal(L|N ) ⇔ τ|N = σ|N gilt. Seien nun σ ∈ G, U ∈ Bσ und τ ∈ U vorgegeben. Dann gibt
es eine endliche, normale Teilerweiterung N |K mit U = σGal(L|N ). Setzen wir W = τGal(L|N ), dann gilt für jedes
ρ ∈ W jeweils ρ|N = τ|N = σ|N und somit ρ ∈ σGal(L|N ), also ρ ∈ U . Damit ist W ⊆ U nachgewiesen.
Die in Proposition 4.19 definierte Topologie auf Gal(L|K ) wird Krull-Topologie genannt. Wir bemerken noch, dass
Gal(L|M ) für jede endliche Erweiterung M |K offen ist, auch wenn die Erweiterung M |K nicht normal ist. Denn aus
der Algebra-Vorlesung ist bekannt, dass für jedes solche M stets eine endliche normale Erweiterung N |K mit N ⊇ M
existiert. Sei r = [N : M ], und seien τ¯1 , ..., τ¯r die Elemente von Gal(N |M ). Wählen wir für jedes τ¯i ein beliebiges Urbild
τi ∈ G, dann gilt
r
Gal(L|M )
=
τi Gal(L|N ).
(2)
i =1
Ist nämlich τ ∈ Gal(L|M ) beliebig vorgegeben, dann liegt die Einschränkung τ|N in Gal(N |M ) und stimmt also mit
einem der Elemente τ¯i überein. Aus τ|N = τi |N wiederum folgt τ ∈ τi Gal(L|N ). Die Gleichung (2) zeigt, dass Gal(L|M )
offen ist.
Proposition 4.20
Durch die Krull-Topologie wird G = Gal(L|K ) zu einer topologischen Gruppe.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass die Gruppenverknüpfung und die Invertierungsabbildung stetig sind. Seien σ1 , σ2 ∈
G und eine offene Umgebung von σ1 σ2 der Form σ1 σ2 Gal(L|N ) vorgegeben, wobei N |K eine endliche normale Teilerweiterung von L|K bezeichnet. Zu zeigen ist, dass Umgebungen U und V von σ1 , σ2 existieren, so dass das Bild
von U × V unter der Gruppenverknüpfung in σ1 σ2 Gal(L|N ) enthalten ist. Hierfür können wir U = σ1 Gal(L|N ) und
V = σ2 Gal(L|N ) wählen. Sind nämlich τ1 ∈ U und τ2 ∈ V beliebig vorgegeben, dann gilt τ1 |N = σ1 |N , τ2 |N = σ2 |N und
somit auch (σ1 σ2 )|N = (τ1 τ2 )N . Dabei ist zu beachten, dass σ2 (M ) ⊆ N und τ2 (M ) ⊆ N gilt, weil die Erweiterung N |K
normal ist. Aus der Gleichung (ρ 1 ρ 2 )|N = (τ1 τ2 )N wiederum folgt τ1 τ2 ∈ (σ1 σ2 )Gal(L|N ). Damit ist die Stetigkeit der
Gruppenverknüpfung bewiesen.
Um die Stetigkeit der Invertierungsabbildung nachzuweisen, seien σ ∈ G und eine offene Umgebung von σ−1 der
Form U = σ−1 Gal(L|N ) vorgegeben, mit einer endlichen normalen Teilerweiterung N |K . Das Urbild von U unter der
Invertierungsabbildung ist Gal(L|N )σ = σGal(L|N ), also eine offene Umgebung von σ.
—– 53 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Als nächstes werden wir zeigen, dass G = Gal(L|K ) eine pro-endliche Gruppe ist. Dafür beweisen wir zunächst
Sei L|K eine Galois-Erweiterung und (Ni )i ∈I eine Familie von endlichen
Proposition 4.21
normalen Teilerweiterungen mit der Eigenschaft, dass für beliebige i , j ∈ I jeweils ein k ∈ I mit
Nk ⊇ Ni N j existiert.
(i) Die Menge I wird durch i ≤ j ⇔ Ni ⊆ N j zu einer gerichteten Menge.
(ii) Die endlichen Gruppen G i = Gal(L|Ni ) bilden mit den Einschränkungsabbildungen f i j :
G j → G i , τ → τ|Ni ein projektives System in der Kategorie der topologischen Gruppen,
wobei jedes G i mit der diskreten Topologie ausgestattet ist.
Beweis:
zu (i) Seien i , j ∈ I vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es ein k ∈ I mit Nk ⊇ Ni N j . Daraus folgt Nk ⊇ Ni
und Nk ⊇ N j , also k ≥ i und k ≥ j .
zu (ii) Für jedes i ∈ I und jedes τ ∈ G i gilt f i i (τ) = τ|Ni = τ. Also ist f i i = idG i für jedes i ∈ I erfüllt. Sind i , j , k mit i ≤
j ≤ k vorgegeben, dann gilt Ni ⊆ N j ⊆ Nk . Für jedes τ ∈ G k gilt dann ( f i j ◦ f j k )(τ) = f i j (τ|N j ) = (τ|N j )|Ni = τ|Ni = f i k (τ),
also ist auch die Bedingung f i j ◦ f j k = f i k erfüllt.
Proposition 4.22
Für jede (endliche oder unendliche) Galois-Erweiterung ist die Galoisgruppe
G = Gal(L|K ) eine pro-endliche topologische Gruppe. Genauer gilt: Ist (Ni )i ∈I eine Familie von
Teilerweiterungen wie in Proposition 4.21 und gilt zusätzlich L =
i ∈I
Ni , dann ist G ein projekti-
ver Limes des dort beschriebenen Systems.
Beweis:
Wir betrachten im direkten Produkt G =
G˜
=
Gi
(σi )i ∈I ∈
i ∈I G i
die Teilmenge G˜ gegben durch
f i j (σ j ) = σi für alle i , j ∈ I mit i ≤ j .
i ∈I
Nach Lemma 4.17 und Satz 4.18 ist G˜ eine pro-endliche Gruppe. Wir zeigen nun
(i) Durch φ : G →
i ∈I G i , τ → τ|Ni
ist eine injektive Abbildung mit φ(G) = G˜ definiert.
(ii) Die Abbildung φ ist ein Homöomorphismus auf ihr Bild.
zu (i) Sei τ ∈ G und (τi )i ∈I = φ(τ). Dann gilt nach Definition τi = τ|Ni für alle i ∈ I . Für i , j ∈ I mit i ≤ j gilt jeweils
f i j (τi ) = τi |N = (τ|N )|N = τ|N = τ j , also ist φ(τ) in G˜ enthalten. Sei nun umgekehrt ein Tupel (τi )i ∈I ∈ G˜ vorgegeben.
j
Wegen L =
i ∈I
i
j
j
Ni ist jedes α ∈ L in einer Teilerweiterung Ni enthalten. Wir definieren eine Abbildung τ : L → L, indem
wir für jedes α ∈ L ein i α ∈ I mit α ∈ Ni α wählen und τ(α) = τi α (α) setzen. Zu zeigen ist, dass wir mit τ ein Element der
Galoisgruppe G definiert haben.
Zunächst bemerken wir, dass für jedes α ∈ L und jedes i ∈ I mit α ∈ Ni jeweils τ(α) = τi (α) gilt. Ist nämlich k ∈ I ein
Element mit k ≥ i α , i , dann gilt τ(α) = τi α (α) = τk (α) = τi (α). Zum Nachweis der K -Homomorphismus-Eigenschaft
seien a ∈ K und α, β ∈ L vorgegeben. Wir wählen dann i ∈ I mit α, β ∈ Ni und erhalten τ(a) = τi (a) = a, wegen α + β ∈
Ni ebenso
τ(α + β)
=
τi (α + β)
=
τi (α) + τi (β)
—– 54 —–
=
τ(α) + τ(β)
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
und durch eine analoge Rechnung auch τ(αβ) = τ(α)τ(β). Die Abbildung τ ist darüber hinaus ein K -Automorphismus,
insgesamt also ein Element von G. Ist nämlich α ∈ L vorgegeben, dann gibt es ein i ∈ I mit α ∈ Ni . Weil τi ein K Automorphismus von Ni ist, gibt es ein β ∈ Ni mit τ(β) = τi (β) = α.
Nun überprüfen wir noch die Injektivität von φ. Sei dazu τ ∈ G ein Element aus dem Kern. Dann gilt τ|Ni = idNi für
alle i ∈ I . Ist α ∈ L beliebig vorgegeben, dann wählen wir ein i ∈ I mit α ∈ Ni und erhalten τ(α) = τi (α) = idNi (α) = α.
Damit ist τ = idL nachgewiesen. Insgesamt ist durch φ also eine Bijektion zwischen G und G˜ gegeben.
¯ ∈ G i 0 die Urbildmenge
zu (ii) Für den Nachweis der Stetigkeit genügt es zu zeigen, dass für jedes i 0 ∈ I und jedes σ
φ−1 (U ) von
U
G i ∩ G˜
¯ ×
{σ}
=
i =i 0
˜ Tatsächlich
eine offene Teilmenge von G ist, denn die Mengen U dieser Form bilden eine Subbasis der Topologie auf G.
¯ Für
gilt φ−1 (U ) = σGal(L|Ni 0 ), wie man leicht überprüft. Zum Nachweis sei σ ∈ G ein beliebiges Element mit σ|Ni 0 = σ.
jedes τ ∈ G gilt nun die Äquivalenz
τ ∈ φ−1 (U )
⇔
φ(τ) ∈ U
¯ = σ|Ni 0
τ|Ni 0 = σ
⇔
⇔
τ ∈ σGal(L|Ni 0 ).
Nach Definition der Topologie auf G ist σGal(L|Ni 0 ) eine offene Teilmenge.
¯ ∈ G i 0 , σ ∈ G und U ⊆ G˜ wie im letzten Absatz
Nun zeigen wir noch, dass φ auch eine offene Abbildung ist. Seien dazu σ
definiert. Wir beweisen die Gleichung
φ(σGal(L|Ni 0 )
=
U ∩ φ(G).
Die Inklusion „⊆“ ist nach Definition der Abbildung φ offensichtlich. Zum Beweis von „⊇“ sei (τi )i ∈I vorgegeben.
Wegen (τi )i ∈I ∈ φ(G) gibt es ein τ ∈ G, so dass τ|Ni = τi für alle i ∈ I erfüllt ist. Wegen (τi )i ∈I ∈ U gilt außerdem τ|Ni 0 =
¯ = σ|Ni 0 . Insgesamt gilt also τ ∈ σGal(L|Ni 0 ) und damit (τi )i ∈I ∈ φ(σGal(L|Ni 0 )). Damit ist die Offenheit von φ
τi = σ
bewiesen, denn für diese Eigenschaft ist es hinreichend, dass für jedes σ ∈ G die Bildmengen einer Umgebungsbasis
von σ in G˜ = φ(G) offen sind, was hiermit gezeigt wurde.
Ist L ein Körper und U eine Untergruppe von Aut(L), der Menge der Automorphismen von L, dann bezeichnen wir
mit LU = {α ∈ L | σ(α) = α ∀ σ ∈ U } den Fixkörper von U .
Satz 4.23
(Hauptsatz der unendlichen Galoistheorie)
Sei L|K eine (endliche oder unendliche) Galois-Erweiterung und G = Gal(L|K ). Es sei G die Menge
der abgeschlossenen Untergruppen von G und Z die Menge der Zwischenkörper von L|K . Dann
sind die Zuordnungen
G → Z , U → LU
,
Z → G , M → Gal(L|M )
zueinander inverse Bijektionen zwischen U und Z .
Beweis:
Ist U ∈ G , dann ist LU offenbar ein Teilkörper von L mit LU ⊇ K , insgesamt also ein Zwischenkörper von L|K .
Sei nun umgekehrt M ∈ Z vorgegeben. Bezeichnen wir mit (M i )i ∈I die Familie der endlichen Teilerweiterungen von
L|K , dann ist jede der Untergruppen Gal(L|M i ) offen und nach Proposition 4.12 auch abgeschlossen. Auf Grund der
—– 55 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Voraussetzung L =
i ∈I
M i gilt
Gal(L|M )
Gal(L|M i ).
=
i ∈I
Als Durchschnitt abgeschlossener Untergruppen ist auch Gal(L|M ) abgeschlossen. Es bleibt zu zeigen, dass die beiden
Abbildungen G → Z und Z → G zueinander invers sind. Sei zunächst M ∈ Z vorgegeben. Zu zeigen ist dann
M
=
L Gal(L|M ) .
Ist α ∈ M und σ ∈ Gal(L|M ), dann gilt σ(α) = α und somit α ∈ L Gal(L|M ) . Für den Beweis von „⊇“ sei α ∈ L Gal(L|M ) .
Nehmen wir an, dass α nicht in M liegt. Dann gibt es jedenfalls eine endliche normale Teilerweiterung M 1 |M von L|M
mit α ∈ M 1 . Wegen α ∉ M finden wir nach dem Hauptsatz der endlichen Galoistheorie ein τ1 ∈ Gal(M 1 |M ) mit τ1 (α) =
α. Nun ist aus der Algebra bekannt, dass jeder Körperhomomorphismus in einen algebraisch abgeschlossenen Körper
auf jede beliebige algebraische Erweiterung fortgesetzt werden kann. Bezeichnen wir mit L alg einen algebraischen
Abschluss von L und wenden wir dies auf τ1 : M 1 → L alg an, so erhalten wir einen Homomorphismus τ : L → L alg
mit τ|M1 = τ1 . Weil die Erweiterung L|M normal ist, liegt τ in Gal(L|M ). Wir haben also ein Element τ ∈ Gal(L|M ) mit
τ(α) = τ1 (α) = α gefunden. Dies widerspricht der Annahme, dass α im Fixkörper von Gal(L|M ) liegt. Also muss α ∈ M
gelten.
Sei nun U eine abgeschlossene Untergruppe von G und M = LU . Zu zeigen ist U = Gal(L|M ). Die Inklusion „⊆“ ist
offensichtlich, denn für σ ∈ U und α ∈ M gilt σ(α) = α und damit σ ∈ Gal(L|M ). Zum Beweis von „⊇“ betrachten wir
für eine beliebige endliche galoissche Teilerweiterung M 1 |M von L|M den Homomorphismus
ψ : U −→ Gal(M 1 |M ) ,
τ → τ|M1
¯
und bezeichnen das Bild von ψ mit U¯ . Der Fixkörper M 1U von U¯ stimmt mit M überein. Ist nämlich α ∈ M 1 \ M vorgegeben, dann liegt α nicht im Fixkörper von U , es gibt also ein τ ∈ U mit τ(α) = α. Für das Bild τ¯ ∈ U¯ gilt dann ebenfalls
¯
¯
¯
τ(α)
= α, also liegt α ∉ M 1U . Damit ist M 1U ⊆ M bewiesen, und die umgekehrte Inklusion ist offensichtlich. Aus dem
Hauptsatz der endlichen Galoistheorie folgt nun Gal(M 1 |M ) = U¯ , damit ist ψ surjektiv.
Sei nun σ ∈ Gal(L|M ) vorgegeben. Wie im letzten Absatz zeigt wurde, existiert für jede endliche Teilerweiterung M 1 |M
von L|M ein τ ∈ U mit τ|M1 = σ|M1 , es gilt also τ ∈ U ∩ σGal(L|M 1 ). Jede offene Umgebung von σ hat also mit U einen
nichtleeren Durchschnitt. Dies zeigt, dass σ im Abschluss von U , wegen der Abgeschlossenheit von U also in U selbst
enthalten ist. Damit ist die Inklusion Gal(L|M ) ⊆ U bewiesen.
Die folgende Aussage ist wahrscheinlich aus der Algebra-Vorlesung bekannt. Da sie dort aber möglicherweise nicht
für unendliche algebraische Erweiterungen formuliert wurde, ergänzen wir sie hier der Vollständigkeit halber.
Lemma 4.24
Sei L|K eine (endliche oder unendliche) algebraische Erweiterung. Dann ist jeder
K -Homomorphismus σ : L → L ein K -Automorphismus.
Beweis:
Sei σ : L → L ein K -Homomorphismus. Wir müssen zeigen, dass σ surjektiv ist. Sei dazu β ∈ L vorgegeben
und f ∈ K [x] das Minimalpolynom von β über K . Bezeichnen wir mit N die Menge der Nullstellen von f in L, dann
gilt β ∈ L und σ(N ) ⊆ N . Weil N endlich und die Abbildung σ|N : N → N injektiv ist, ist sie auch surjektiv. Insbesondere
gibt es ein α ∈ N mit σ(α) = β.
—– 56 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
Satz 4.25
(Ergänzungen zum Hauptsatz der Galoistheorie)
Sei L|K eine Galois-Erweiterung und G = Gal(L|K ).
(i) Es gilt L idL = L, LG = K , Gal(L|L) = {idL } und Gal(L|K ) = G.
(ii) Für jedes σ ∈ G und jeden Zwischenkörper M von L|K gilt Gal(L|σ(M )) = σGal(L|M )σ−1 .
(iii) Sei M ein Zwischenkörper und U = Gal(L|M ). Genau dann ist U ein Normalteiler von G,
wenn die Erweiterung M |K normal ist. In diesem Fall existiert ein natürlicher Isomorphismus G/U ∼
= Gal(M |K ) von topologischen Gruppen.
(iv) Eine Teilerweiterung M |K von L|K ist genau dann endlich, wenn der Index (G : Gal(L|M ))
endlich ist. In diesem Fall gilt [M : K ] = (G : Gal(L|M )).
Beweis:
zu (i) Die Gültigkeit der Gleichungen L idL = L, Gal(L|L) = {idL } und Gal(L|K ) = G ist offensichtlich. Die Glei-
chung LG = K folgt aus Gal(L|K ) = G und der Tatsache, dass die Zuordnungen M → Gal(L|M ) und U → LU zueinander
invers sind.
zu (ii) Für alle τ ∈ G gilt die Äquivalenz
τ ∈ Gal(L|σ(M ))
⇔
τ(σ(α)) = σ(α) ∀ α ∈ M
σ−1 ◦ τ ◦ σ = Gal(L|M )
⇔
⇔
(σ−1 ◦ τ ◦ σ)(α) = α ∀ α ∈ M
⇔
τ ∈ σGal(L|M )σ−1 .
Also gilt Gal(L|σ(M )) = σGal(L|M )σ−1 .
zu (iii)
Die Untergruppe U ist genau dann Normalteiler von G, wenn σU σ−1 = U für alle σ ∈ G gilt. Nach (ii) ist
das äquivalent zu Gal(L|σ(M )) = Gal(L|M ) für alle σ ∈ G, nach dem Hauptsatz der Galoistheorie also zur Gleichung
σ(M ) = M für alle σ ∈ G.
Aus der Algebra ist bekannt, dass die Erweiterung M |K genau dann normal ist, wenn für jeden K -Homomorphismus
σ : M → L alg jeweils σ(M ) ⊆ M gilt, wobei L alg einen algebraischen Abschluss von L bezeichnet. Ist dies erfüllt, dann
gilt nach Lemma Lemma 4.24 auch σ(M ) = M für jeden solchen K -Homomorphismus, damit erst recht σ(M ) = M für
alle σ ∈ G. Setzen wir dies nun umgekehrt voraus, und sei σ : M → L alg ein K -Homomorphismus. Weil die Erweiterung
L|K normal ist, gilt σ(L) ⊆ L. Auf Grund von Lemma Lemma 4.24 ist σ damit ein Element von G. Die Voraussetzung
liefert nun σ(M ) = M . Dies zeigt, dass M |K normal ist.
Sei H = Gal(M |K ). Zum Beweis des Isomorphismus G/U ∼
= H betrachten wir die Abbildung φ : G → H , σ → σ|M . Weil
M |K normal ist, handelt es sich bei σ|M tatsächlich um ein Element von H . Die Abbildung ist surjektiv, denn aus der
Algebra ist bekannt, dass jeder Automorphismus τ ∈ Gal(M |K ) zu einem K -Homomorphismus τ˜ : L → L alg fortgesetzt
˜ =τ
werden kann. Weil L|K eine Galois-Erweiterung ist, handelt es sich bei τ˜ um eine Element der Gruppe G, das φ(τ)
erfüllt. Außerdem ist stimmt der Kern von φ ofenbar mit dem Normalteiler U G überein. Der Homomorphisatz liefert
uns einen Isomorphismus φ¯ : G/U → H von Gruppen.
Um zu zeigen, dass die Abbildung φ stetig ist, genügt es nachzuweisen, dass das Urbild einer Nebenklasse τN unter
φ offen ist, für τ ∈ H und einen offenen Normalteiler N von H , denn die Teilmengen diese Form bilden eine Umgebungsbasis von τ. Auf Grund der Offenheit ist (H : N ) von endlichem Index, es gibt also eine endliche normale
Teilerweiterung M 1 |K von M |K mit N = Gal(M |M 1 ). Das Urbild von N unter φ ist Gal(L|M 1 ), und diese Untergruppe
—– 57 —–
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
ist wegen [M 1 : K ] < ∞ eine offene Untergruppe von G. Bezeichnet nun τ˜ ∈ G ein beliebiges Urbild von τ, dann ist
˜
φ−1 (τN ) = τGal(L|M
1 ) wiederum offen in G.
Andererseits ist die Abbildung φ auch offen. Sei dazu N ⊆ G ein offener Normalteiler von G und σ ∈ G. Es genügt zu
zeigen, dass φ(σN ) eine offene Teilmenge von H ist. Auf Grund der Offenheit von N gibt es eine endliche normale
Teilerweiterung M 1 |K von L|K mit N = Gal(L|M 1 ). Die Einschränkungsabbildung φ bildet N auf Gal(M |M 1 ∩ M ) ab.
Mit M 1 |K und M |K ist auch M 1 ∩ M |K eine endliche normale Erweiterung. Folglich sind φ(N ) und φ(τN ) = φ(τ)N
offene Teilmengen von H .
¯ Das Urbild von τN unter φ¯ ist genau das
Übertragen wir nun die Stetigkeit und Offenheit von der Abbildung φ auf φ.
˜
Bild von τGal(L|M
1 ) in G/U . Nach Definition der Quotiententopologie auf G/U ist dieses ebenfalls offen, dies beweist
¯ Andererseits ist die Abbildung φ¯ auch offen. Ist nämlich V¯ ⊆ G/U eine offene Teilmenge, dann
die Stetigkeit von φ.
gilt π(π−1 (V¯ ) = V¯ auf Grund der Surjektivität von π. Außerdem ist V = π−1 (V¯ ) offen nach Definition der Quotiententopologie. Es gilt nun
¯ V¯ )
φ(
−1 ¯
¯
φ(π(π
(V )))
=
=
φ(π−1 (V )).
¯ V¯ ). Als bijektive, stetige und offene Abbildung ist φ¯ ein
Weil π−1 (V ) offen und φ offen ist, folgt daraus die Offenheit φ(
Homöomorphismus.
zu (iv)
Sei M |K eine endliche Teilerweiterung von L|K . Dann ist Gal(L|M ) eine offene Untergruppe von G und
hat somit einen endlichen Index. Zum Beweis der Gleichung [M : K ] = (G : Gal(L|M )) verwenden wir, dass es ei∼ Gal(M 1 |K ), also
ne endliche normale Teilerweiterung M 1 |K von L|K mit M 1 ⊇ M gibt. Nach (iii) gilt G/Gal(L|M 1 ) =
(G : Gal(L|M 1 )) = [M 1 : K ]. Ebenso erhält man (Gal(L|M ) : Gal(L|M 1 )) = [M 1 : M ], denn die Erweiterung M 1 |M ist ebenfalls normal. Mit dem Gradsatz folgt nun
[M : K ]
=
[M 1 : K ]
[M 1 : M ]
=
(G : Gal(L|M 1 ))
(Gal(L|M ) : Gal(L|M 1 ))
=
(G : Gal(L|M )).
Ist M |K dagegen unendlich, dann gibt es eine unendliche Folge (τn )n∈N von K -Homomorphismen M → K alg , die zu
unendlich vielen verschiedenen Elementen τ˜n ∈ G fortgesetzt werden können. Für m = n gilt jeweils τ˜m |M = τ˜n |M
und somit τ˜m Gal(L|M ) = τ˜n Gal(L|M ). Dies zeigt, dass es unendlich viele Nebenklassen von Gal(L|M ) gibt, der Index
(G : Gal(L|M )) also unendlich ist.
Zum Abschluss bestimmen wir die Galois-Gruppen von zwei konkret vorgegebenen unendlichen Erweiterungen. Für
jedes n ∈ N sei ζn = e
2π
n
, eine primitive n-te Einheitswurzel. Wir definieren S = {ζn | n ∈ N} und nennen Qcyc =
Q(S) die maximale zyklotomische Erweiterung von Q. Ein Ergebnis der globalen Klassenkörpertheorie, der Satz von
Kronecker-Weber besagt, dass diese mit der maximalen abelschen Erweiterung von Q übereinstimmt. Weil Qcyc von
den Kreisteilungskörpern der Form Q(ζn ) ausgeschöpft wird und jeder Kreisteilungskörper abelsch ist, lautet eine
äquivalente Formulierung, dass jede abelsche Erweiterung von Q in einem Kreisteilungskörper enthalten ist.
Satz 4.26
Es gibt natürliche Isomorphismen
alg
Gal Fq |Fq
∼
=
ˆ , +)
(Z
und
in der Kategorie der topologischen Gruppen.
—– 58 —–
Gal Qcyc |Q
∼
=
ˆ×
Z
§ 4.
Projektive Limiten und unendliche Galoistheorie
alg
Beweis: Wegen Fq =
n∈N Fq n
bilden die Galoisgruppen Gal(Fq n |Fq ) nach Proposition 4.21 ein projektives System,
alg
ˆ , +) ein projektiver Limes der Gruppen
dessen direkter Limes die Gruppe Gal(F |Fq ) ist. Außerdem ist die Gruppe (Z
q
(Z/n Z, +). Es genügt deshalb, einen Isomorphismus projektiver Systeme zwischen (Z/n Z, +) und Gal(Fq n |Fq ) anzugeben. Für jedes n ∈ N sei ϕn ∈ Gal(Fq n |Fq ) der Frobenius-Automorphismus gegeben durch ϕn (α) = αq für α ∈ Fq n .
Aus der Algebra ist bekannt, dass Gal(Fq n |Fq ) zyklisch von Ordnung n ist und von ϕn erzeugt wird. Daraus folgt,
∼
dass durch a¯ → ϕna ein Isomorphismus f n : Z/n Z → Gal(Fq n |Fq ) definiert ist, wobei a ∈ Z jeweils einen beliebigen
Repräsentanten von a¯ ∈ Z/n Z bezeichnet.
Sind m, n ∈ N mit m|n, dann bezeichnen wir mit f mn : Z/n Z → Z/m Z die Abbildung a + n Z → a + m Z und mit g mn :
Gal(Fq n |Fq ) → Gal(Fq m |Fq ), σ → σ|Fq m die Restriktionsabbildung. Zum Beweis der Kommutativität des Diagramms
fn
Z/n Z
f mn
Z/m Z
fm
/ Gal(Fq n |Fq )
g mn
/ Gal(Fq m |Fq )
a
sei a + n Z ∈ Z/n Z vorgegeben, mit a ∈ Z. Dann gilt einerseits (g mn ◦ f n )(a + n Z) = g mn (ϕna ) = ϕna |Fq m = ϕm
, anderera
seits auch ( f m ◦ f mn )(a +m Z) = f m (a +n Z) = ϕm
. Auf Grund der Kommutativität ist durch ( f n )n∈N ein Isomorphismus
projektiver Systeme definiert. Nach Folgerung 4.7 erhält man dadurch einen Isomorphismus zwischen den projektiˆ und Gal(Falg |Fq ).
ven Limiten Z
q
Für den Nachweis des zweiten Isomorphismus verwenden wir entsprechend die Gleichung Qcyc = n∈N Q(ζn ) so∼
ˆ × der projektive Limes der primen Restklassengruppen (Z/n Z)× ist. Mit f n : (Z/n Z)× →
wie die Tatsache, dass Z
Gal(Q(ζn )|Q) bezeichnen wir den aus der Algebra bekannten Isomorphismus, der jeder primen Restklasse a +n Z den
Automorphismus σa gegeben durch σa (ζn ) = ζna zuordnet. Bezeichnen wir mit f mn : Z/n Z× → Z/m Z× die Abbildung
a + n Z → a + m Z und mit g mn : Gal(Q(ζn )|Q) → Gal(Q(ζm )|Q) wieder die Restriktionsabbildung, dann lässt sich die
Kommutativität des Diagramms
(Z/n Z)×
f mn
(Z/m Z)×
fn
fm
/ Gal(Q(ζn )|Q)
g mn
/ Gal(Q(ζm )|Q)
ebenso mühelos überprüfen wie im ersten Fall. Wiederum ist ( f n )n∈N damit ein Isomorphismus projektiver Systeme,
ˆ × und Gal(Qcyc |Q).
und wie zuvor erhalten wir einen Isomorphismus zwischen den projektiven Limiten Z
—– 59 —–
§ 5. Das Henselsche Lemma
In diesem Abschnitt werden wir ein wichtiges Hilfsmittel kennenlernen, mit dem in vielen Fällen die Lösbarkeit von
Polynomgleichungen über vollständigen Körpern entschieden werden kann. Wir erinnern daran, dass ein Polynom
f ∈ A[x] über einem faktoriellen Ring A als primitiv bezeichnet wird, wenn der größte gemeinsame Teiler seiner
Koeffizienten gleich 1 ist. Gilt unter dieser Voraussetzung also f = ag mit a ∈ A und g ∈ A[x], dann muss a eine
Einheit in A sein. Ist A = O v ein Bewertungsring, dann bezeichnen wir ein Polynom f ∈ O v [x] als primitiv, wenn
zumindest einer der Koeffizienten von f eine Einheit ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Bild von f in κv [x]
nicht verschwindet.
(Henselsches Lemma)
Satz 5.1
Sei (K , v) vollständig, f ∈ O v [x] ein primitives Polynom und f¯ sein Bild in κv [x]. Weiter setzen
wir voraus, dass f¯ eine Zerlegung f¯ = g¯ · h¯ in teilerfremde Polynome g¯ , h¯ ∈ κv [x] besitzt. Dann
existieren Polynome g , h ∈ O v [x] mit der Eigenschaft, dass f = g h erfüllt ist, grad(g ) = grad(g¯ ) gilt
und die Bilder von g , h in κv [x] mit g¯ , h¯ übereinstimmen.
¯ b¯ ∈ κv [x] mit a¯ g¯ + b¯ h¯ = 1¯ . Seien
Sei d = grad( f ) und r = grad(g¯ ). Weil g¯ und h¯ teilerfremd sind, gibt es a,
¯ wobei wir grad(g 1 ) = grad(g¯ ) und
¯ b¯ und g 1 , h 1 ∈ O v [x] Urbilder von g¯ , h,
a, b ∈ O v [x] beliebig gewählte Urbilder von a,
Beweis:
¯ ≤ d − r voraussetzen. Bezeichnen wir mit π den Koeffizienten in den Polynomen ag 1 + bh 1 − 1 und
grad(h 1 ) = grad(h)
f − g 1 h 1 mit der kleinsten positiven Bewertung, dann gilt
ag 1 + bh 1 ≡ 1 mod π
g 1 h 1 ≡ f mod π.
und
Wir zeigen nun durch vollständige Induktion über n, dass es für jedes n ∈ N Polynome g n , h n ∈ O v [x] gibt, so dass
g m ≡ g n mod πm
,
h m ≡ h n mod πm
f ≡ g n h n mod πn
,
für alle m ∈ N mit m ≤ n erfüllt ist und außerdem grad(g n ) = r und grad(h m ) ≤ d −r gilt. Für n = 1 haben die Polynome
g 1 , h 1 nach Definition die gewünschten Eigenschaften.
Sei nun n ∈ N, und setzen wir voraus, dass g n , h n ∈ O v [x] wie angegeben existieren. Wir setzen die Polynome g n+1 und
h n+1 nun in der Form
g n+1 = g n + πn p n
und
h n+1 = h n + πn q n
mit
p n , q n ∈ O v [x]
an.
Dann sind die Bedingungen g m ≡ g n+1 mod πm und h m ≡ h n+1 mod πm für m ≤ n + 1 auf jeden Fall erfüllt. Setzen wir
u n = π−n ( f − g n h n ), dann gilt außerdem
g n+1 h n+1 ≡ f mod πn+1
⇔
⇔
(g n + πn p n )(h n + πn q n ) ≡ f mod πn+1
q n g n + p n h n ≡ u n mod π
⇔
⇔
g n h n + πn (q n g n + p n h n ) ≡ f mod πn+1
q n g 1 + p n h 1 ≡ u n mod π.
Auf Grund der Definition von g 1 , h 1 gilt ag 1 + bh 1 ≡ 1 mod π und damit au n g 1 + bu n h 1 ≡ u n mod π. Wir könnten also
q n = au n und p n = bu n setzen, würden dadurch allerdings zu große Polynomgrade erhalten. Statt dessen führen wir
—– 60 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
eine Division mit Rest durch und schreiben bu n = q g 1 + p n mit q, p n ∈ O v [x] und grad(p n ) < grad(g 1 ) = r . Dies ist
möglich, weil der Leitkoeffizient von g 1 eine Einheit ist. Durch Einsetzen erhalten wir
au n g 1 + (q g 1 + p n )h 1 ≡ u n mod π
⇔
(au n + qh 1 )g 1 + p n h 1 ≡ u n mod π
Wegen grad(u n ) ≤ d und grad(p n h 1 ) < r + (d − r ) = d können wir das Polynom au n + qh 1 modulo π zu einem Polynom q n ∈ O v [x] vom Grad ≤ d − r abändern. Es gilt dann grad(g n+1 ) = r , grad(h n+1 ) ≤ d − r , und die Kongruenz
f ≡ g n+1 h n+1 mod πn+1 ist erfüllt.
Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen. Nach Konstruktion konvergieren die Polynome g n , h n koeffizientenweise gegen g , h ∈ O v [x], und aus f ≡ g n h n mod πn folgt f ≡ g h mod πn für alle n ∈ N, also f = g h. Wegen grad(p n ) <
r stimmen die Leitkoeffizienten der Polynome g n jeweils mit dem Leitkoeffizient von g überein. Deshalb ist auch
grad(g ) = r erfüllt.
Folgerung 5.2
Sei (K , v) vollständig, f ∈ O v [x] ein primitives Polynom und a˜ ∈ O v ein Element
˜ ≡ 0 mod pv und f (a)
˜ ≡ 0 mod pv . Dann gibt es ein a ∈ O v mit f (a) = 0 und a ≡ a˜ mod pv .
mit f (a)
Sei a¯ das Bild von a˜ in κv und f¯ das Bild von f in κv [x]. Nach Voraussetzung ist a¯ keine Nullstelle von f¯ .
¯ h¯ mit h¯ ∈ κv [x], dann sind x − a¯ und h¯ also teilerfremd. Wir können somit
Schreiben wir f¯ in der Form f¯ = (x − a)
Beweis:
das Henselsche Lemma anwenden und erhalten Polynome g , h ∈ O v [x], deren Reduktion modulo pv mit x − a¯ und h¯
"bereinistmmt. Außerdem ist g ∈ O v [x] linear und hat eine Einheit als Leitkoeffizient. Damit besitzt g eine Nullstelle
in O v , deren Bild in κv mit a¯ übereinstimmt, also a ≡ a˜ mod pv erfüllt.
Proposition 5.3
(i) Sei p eine ungerade Primzahl, a ∈ Z×
p und u ∈ Z mit a ≡ u mod p Zp . Genau dann ist a ein
Quadrat in Zp , wenn u ein quadratischer Rest modulo p ist.
(ii) Sei p eine beliebige Primzahl. Ein Element a ∈ Q×
p ist genau dann ein Quadrat in Qp , wenn
2n 2
ein n ∈ Z und eine Einheit u ∈ Z×
p existieren, so dass a = p u erfüllt ist.
Beweis:
zu (i) „⇐“ Sei f = x 2 − a ∈ Zp [x]. Nach Voraussetzung gibt es ein v ∈ Z mit a ≡ u ≡ v 2 mod p Zp . Es gilt
also f (v) ≡ 0 mod p Zp . Die Primzahl p ist wegen a ∈ Z×
p kein Teiler von a und damit auch kein Teiler von v. Weil p
ungerade ist, gilt für die Ableitung f = 2x somit f (v) = 2v ≡ 0 mod p. Durch Anwendung von Satz 5.4 erhalten wir
2
ein w ∈ Zp mit f (w) = 0 ⇔ w 2 = a. „⇒“ Ist a ein Quadrat in Zp , dann gibt es ein v ∈ Z×
p mit a = v . Wählen wir ein
2
2
2
w ∈ Z mit w ≡ v mod p Z×
p , dann folgt w ≡ v = a ≡ u mod p Zp und somit u ≡ w mod p im Ring Z. Also ist u ein
quadratischer Rest modulo p.
2n 2
zu (ii) „⇒“ Sei b ∈ Q× mit b 2 = a. Schreiben wir b = up n mit n = v p (b) ∈ N0 und u ∈ Z×
p , dann folgt a = p u .
„⇐“ Hat a die angegebene Form, dann ist a offenbar ein Quadrat von b = p n u.
˜ ≡ 0 mod pv aus Folgerung 5.2 als zu restriktiv. Beispielsweise
Für viele Anwendungen erweist sich die Bedingung f (a)
hat diese Einschränkung zur Folge, dass die Quadrate in Q2 mit diesem Kriterium nicht bestimmt werden könen.
Deshalb beweisen wir eine allgemeinere Aussage, die wir im Folgenden als verfeinerte Nullstellenliftungs-Eigenschaft
bezeichnen.
—– 61 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
˜ > 2v( f (a)).
˜ Dann gibt es eine Nullstelle a ∈ O v
Sei f ∈ O v [x] und a˜ ∈ O v mit v( f (a))
Satz 5.4
˜ > v( f (a))
˜ − 2v( f (a)).
˜
von f mit v(a − a)
Beweis:
Wir definieren eine Folge (a n )n∈N in K durch a 0 = a˜ und
a n+1
=
an −
f (a n )
.
f (a n )
˜ − 2v( f (a))
˜ ∈ R+ . Durch vollständige Induktion beweisen wir die folgenden drei Aussagen
Sei außerdem s = v( f (a))
für alle n ∈ N0 .
(i) a n ∈ O v
(iii) v( f (a n )) − 2v( f (a n )) ≥ 2n s
˜ ≥s
(ii) v(a n − a)
Für n = 0 sind alle drei Aussagen auf Grund unserer Voraussetzungen erfüllt. Sei nun n ∈ N0 , und setzen wir (i) bis (iii)
für dieses n voraus. Es gilt
v(a n+1 − a n )
≥
v −
f (a n )
f (a n )
v( f (a n )) − v( f (a n ))
≥
≥
v( f (a n )) − 2v( f (a n ))
2n s
≥
>
0.
Daraus folgt v(a n+1 ) ≥ min{v(a n+1 − a n ), v(a n )} ≥ 0, also ist (i) für n + 1 erfüllt. Ebenso gilt
˜
v(a n+1 − a)
≥
˜
min{v(a n+1 − a n ), v(a n − a)}
≥
min{2n s, s}
≥
s
,
damit ist auch (ii) erfüllt. Zum Beweis von (iii) schreiben wir das Polynom f in der Form f =
d
c (x
k=0 k
− a n )k , mit
d = grad( f ) und c k ∈ O v für 0 ≤ k ≤ d . Dann ist c 0 = f (a n ) und c 1 = f (a n ). Es gilt somit
f (a n+1 )
=
f (a n ) + f (a n )(a n+1 − a n ) + c(a n+1 − a n )2
c(a n+1 − a n )2
=
=
=
c
f (a n ) + f (a n ) −
f (a n )
f (a n )
f (a n )
+ c(a n+1 − a n )2
f (a n )
2
für ein geeignetes c ∈ O v . Daraus folgt v( f (a n+1 )) ≥ 2v( f (a n ))−2v( f (a n )). Wir zeigen nun, dass v( f (a n )) = v( f (a n+1 ))
gilt. Stellen wir die Ableitung f von f in der Form f =
d −1
d (x − a n )k
k=0 k
dar, mit d k ∈ O v für 0 ≤ k ≤ d − 1, dann gilt
d 0 = f (a n ) und
f (a n+1 )
f (a n ) + d (a n+1 − a n )
=
=
f (a n ) + d
f (a n )
f (a n )
für ein d ∈ O v . Wegen v( f (a n )) − 2v( f (a n )) ≥ 2n s > 0 gilt insbesondere v( f (a n )) − v( f (a n )) > v( f (a n )) und somit
v d
f (a n )
f (a n )
≥
f (a n )
f (a n )
v
=
v( f (a n )) − v( f (a n ))
>
v( f (a n )) ,
woraus die gewünschte Gleichung v( f (a n )) = v( f (a n+1 )) folgt. Wir erhalten nun
v( f (a n+1 )) ≥ 2v( f (a n )) − 2v( f (a n ))
v
⇔
v( f (a n+1 )) − 2v( f (a n+1 )) > 2v( f (a n )) − 4v( f (a n ))
⇔
f (a n )
f (a n+1 )
> 2v
≥ 2n+1 s.
2
f (a n+1 )
f (a n )
Damit ist auch die Ungleichung (iii) für n + 1 bewiesen. Wir zeigen nun, dass aus den drei Ungleichungen die Aussage
des Satzes folgt. Wie wir bereits gesehen haben, gilt v(a n+1 − a n ) ≥ 2n s für alle n ∈ N. Damit ist (a n )n∈N eine Cauchy˜ ≥ s für alle
folge in O v , die auf Grund der Vollständigkeit des Körpers gegen ein a ∈ O v konvergiert. Wegen v(a n − a)
˜ ≥ s. Aus (iii) folgt v( f (a n )) ≥ 2n für alle n ∈ N und damit auch v( f (a)) ≥ 2n für jedes n. Dies
n ∈ N gilt auch v(a − a)
zeigt, dass a eine Nullstelle von f ist.
—– 62 —–
§ 5.
Das Henselsche Lemma
Proposition 5.5
Ein Element c ∈ Z×
2 ist genau dann ein Quadrat in Z2 , wenn c ≡ 1 mod 8Z2 gilt.
2
„⇒“ Setzen wir voraus, dass c ein Quadrat in Z2 ist. Dann gibt es ein v ∈ Z×
2 mit c = v . Auf Grund der
Isomorphie Z2 /8Z2 ∼
= Z/8Z und wegen 2 v ist das Element v modulo dem Ideal 8Z2 kongruent zu einer der Zahlen
Beweis:
1, 3, 5 oder 7. Wegen 12 ≡ 32 ≡ 52 ≡ 72 ≡ 1 mod 8 folgt daraus c ≡ 1 mod 8Z2 .
˜ ≡ 1−1 ≡ 0 mod 8Z2 und somit v 2 ( f (a))
˜ ≥ 3. Andererseits
„⇐“ Sei f = x 2 −c und a˜ = 3. Dann gilt a˜ 2 ≡ 1 mod 8, also f (a)
˜ = 6 und v 2 ( f (a))
˜ = 1. Insgesamt ist v 2 ( f (a))
˜ > v 2 ( f (a))
˜ erfüllt und somit Satz 5.4 anwendbar.
ist f = 2x, also f (a)
2
Wir erhalten ein a ∈ Z×
2 mit f (a) = 0 ⇔ a = c . (An Stelle der 3 hätte man auch jede andere ungerade ganze Zahl als
Startwert verwenden können.)
—– 63 —–
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