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9
Harmonische Schwingungen
II. MechanischeSchwingungen
9 HarmonischeSchwingungen
9.1
SinusschwingungundgleichförmigeKreisbewegung
9.1.1
Physik
II. Mechanische Schwingungen
Seite 1 von 26
ElongationeinesFederpendels
y
2
2
2
3
1
A
4
y
1
4
0
12
ωt
φ φ0
5
0
3
12
3
1
12
4
0
5 11
5
6 10
6
11
t
11
T
6
10
10
7
7
9
9
7
8
Projektion
Zeigerdiagramm
9
8
8
Schirm
Liniendiagramm
UmdiekinematischeZeit‐Ort‐FunktionderSchwingungeinesFederpendelszuermitteln,ver‐
gleichtmanimExperimentdiePendelschwingungmitderseitlichenSchattenprojektioneiner
gleichfö rmigenKreisbewegung.
BildetmandiePendelschwingungundeinepassendgewä hltegleichfö rmigeKreisbewegung
(BahnradiusA,Winkelgeschwindigkeit  undAnfangsphase  0 mü ssenzurPendelschwingung
passendgewä hltwerden)durchParallelprojektionsenkrechtaufeineBildschirmebenelotrecht
zurKreisbahnebeneab,sofü hrendasFederpendelunddiebeidenSchattensynchronegeradli‐
nigeAuf‐undAbwä rtsbewegungenaus.
Ergebnis:DieZeit‐Ort‐FunktionderSchwingungeinesFederpendelsstimmtü bereinmitder
Zeit‐Ordinaten‐Funktioneinerpassendgewä hltengleichfö rmigenKreisbewegung.
DasomitdieBewegungsgleichungenderPendelschwingungundderProjektionderKreisbewe‐
gungü bereinstimmen,ermitteltman,umdieSchwingungdesFederpendelsmathematischzu
erfassen,ersatzweisedieGesetzedervertikalenKomponentedergleichfö rmigenKreisbewe‐
gung.
⇒ ∙ sin
∙
sin
Zeit‐Ort‐Funktion: ∙ sin
EineBewegung,derenZeit‐Ort‐FunktioneineSinusfunktionist,heißtharmonischeSchwingung.
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Harmonische Schwingungen
Bezeichnungen:
A π
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Elongation,Auslenkung(zeitabhä ngig)
Amplitude,maximale(positive)Elongation ˆ Kreisradius
Kreisfrequenz ˆ Winkelgeschwindigkeit
Phase
Anfangsphase,Phasenverschiebung
Schwingungsdauer,Periode ˆ Umlaufdauer
Frequenz
Folgerung:
∙ sin
BEISPIEL 1:
y  1 cm  sin
Amplitude:
A  1 cm
π

3s
2π π

T 3s
T 6s
Schwingungsdauer:
BEISPIEL 2:
Amplitude:
Schwingungsdauer:
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∙ sin
∙ sin
2π
∙ sin
2π
∙
π
t
3s
 π
π
π 
1 
y  2 cm  sin   t    2 cm  sin   t  s 
6
3s 
2 
3s
A  2 cm
π

3s
2π π

T 3s
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
Seite 3 von 26
T 6s
BEISPIEL 3:
Amplitude:
Schwingungsdauer:
 π
π
π
y  3 cm  sin   t    3 cm  sin
 t  1 s 
4
s
4
4
s


A  3 cm
π

4s
2π π

T
4s
T 8s
BEISPIEL 4:
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Harmonische Schwingungen
y  2,5 cm  sin
9.1.2
Physik
II. Mechanische Schwingungen
Seite 4 von 26
 2π
2π
4π 
  t  2 s   2,5 cm  sin   t  
5s
5 
5s
Geschwindigkeit
1. Methode: Differenzialrechnung
Erinnerung: Ableitung in der Mathematik:
f   x   lim
x  x0
f  x   f  x0 
y  y0
Δy dy
 lim
 lim

Δ
0
x

x
x

0 x  x
x  x0
Δx dx
0
Geschwindigkeit in der Physik:
v  t   s  t   lim
Δt  0
Δs ds

Δt dt
Momentangeschwindigkeit der harmonischen Schwingung:
v  v  t   y  t  
d
y t   
A    cos t  0 
dt
v max

v Kreis
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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2. Methode: Zeigerdiagramm
φ
A
φ
cos  
v t 
vKreis
v  t   vKreis  cos   A   cos  t  0 
9.1.3
Beschleunigung
1. Methode: Differenzialrechnung
Erinnerung: Beschleunigung in der Physik:
a  t   
s  t   v  t   lim
Δt  0
Δv dv

Δt dt
Momentanbeschleunigung der harmonischen Schwingung:
a  a  t   
y  t   v  t  
d
v t    
A   2  sin t  0 
dt
a max



a Kreis
2. Methode: Zeigerdiagramm
φ
φ
A
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Harmonische Schwingungen
sin  
Physik
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a t 
aKreis
a  t   aKreis  sin    A  2  sin  t  0 



Orientierung a  y beachten
9.1.4
Grafische Darstellung der Bewegungsgleichungen
y  A  sin t  0 
Sonderfall: 0  0 
y  A  sin ωt
v  A    cos ωt
a   A   2  sin ωt
y
A
T
t
y  A  sin ωt
v
Aω
T
t
v  A    cos ωt
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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a
Aω2
T
t
a   A   2  sin ωt
9.1.5
Differenzialgleichung der harmonischen Schwingung
y  A  sin t   0 
v  A    cos t   0 
a   A   2  sin t   0     2  A  sin t  0     2  y
a   2  y
a  2  y  0

y  2  y  0
9.1.6
Dynamik der harmonischen Schwingung: Kraftgesetz
Differenzialgleichung a    2  y 
 
Newton-Kraftgesetz F  m  a

F  m  a  m  2  y   m
  2  y   D  y mit D  m   2  konstant

D
Differenzialgleichung und Kraftgesetz sind algebraisch äquivalent.
Lineares Kraftgesetz:
F   D  y mit D  m   2  konstant
Fy
Die Konstante D heißt Richtgröße der harmonischen Schwingung.
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Harmonische Schwingungen
 D    m   2  
Einheit:
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kg kg  m kg  m N N  F 


  
s 2 s 2  m s 2  m m m  y 


Die Kraft F nennt man Rückstellkraft. Für sie gilt stets: F  y
Zusammenfassung: F   D  y   m   2  y   m   2  A  sin  t   0 
9.1.7
Grafische Darstellung des Kraftgesetzes
y  A  sin t  0 
Sonderfall: 0  0 
y  A  sin ωt
v  A    cos ωt
a   A   2  sin ωt
F   D  y   m   2  y   m   2  A  sin t  0 
y
A
T
t
y  A  sin ωt
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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F
mω2A
T
t
F   m   2  A  sin t  0 
9.1.8
T
Schwingungsdauer
2π

D  m  2   2 
T  2π 
D
 
m


2π

  T

D 
m 
2π
D
m
 2π 
m
D
m
D
Interpretation: (1) T 2  m , wenn D  konstant
1
(2) T 2 
, wenn m  konstant
D
(3) T ist von der Amplitude A und der Anfangsphase  0 unabhängig.
9.2
Der Energieerhaltungssatz bei harmonischen Schwingungen
9.2.1
Potenzielle Energie des Schwingers bezüglich der Nulllage
Potenzielle Lageenergie stimmt überein mit der Verschiebungsarbeit vom Bezugsniveau zur
betrachteten Lage.

Verschiebung ist eine Bewegung mit v  konstant .

Die arbeitsverrichtende Kraft FArbeit kompensiert eine weitere, im betrachteten System vor


handene Kraft FSystem : FArbeit   FSystem
Die potenzielle Energie des Oszillators bezüglich der Nulllage y  0 zu einem beliebigen
Zeitpunkt t ist gleich der Arbeit, die beim Verschieben des Schwingers aus der Gleichge
wichtslage bis zu der augenblicklichen Elongation y gegen die Rückstellkraft FRück zu verrichten ist.
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Harmonische Schwingungen
Wpot  F Arbeit  y   F Rück  y  
Physik
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1
1
1
 FRück  y   y      D  y   y   D  y 2 
2
2
2
1
  D  A2  sin 2  t  0 
2
9.2.2
Kinetische Energie des Schwingers
1
1
1
m  v 2   m  A2   2  cos 2 t  0    m
  2  A2  cos 2 t  0  

2
2
2
D
1
  D  A2  cos 2 t  0 
2
Ekin 
9.2.3
Folgerungen
Wpot 
1
1
 D  A2  sin 2  t  0    m  2  A2  sin 2  t  0 
2
2
Wkin 
1
1
 m  2  A2  cos 2  t  0    D  A2  cos 2  t  0 
2
2
9.2.4
Schwingungsgesamtenergie und Energieerhaltung
Wgesamt  Wpot  Wkin 
1
1
  D  y2   m  v2 
2
2
1
1
  D  A2  sin 2  t  0    m  2  A2  cos 2  t  0  
2
2
1
1
  D  A2  sin 2  t  0    D  A2  cos 2  t  0  
2
2
1
  D  A2  sin 2  t  0   cos 2  t  0   



2
1
1
  D  A2  1 
2
1
  D  A2  konstant
2
oder auch:
Wgesamt 
1
 m   2  A2
2
Bei einer harmonischen mechanischen Schwingung ist die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie zeitlich konstant.
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Harmonische Schwingungen
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1
Diese Schwingungsenergie Wgesamt   D  A2 wird an dem Oszillator durch einmalige Stö2
rung von außen mit einer Kraft beim Verschieben von der Nulllage y  0 zu einem der beiden
Umkehrpunkte y  A oder y   A als Verschiebungsarbeit verrichtet.
9.2.5
Mathematische Erinnerung
y  sin x
y  sin 2 x 
1
 1  cos 2 x 
2
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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y  cos x
y  cos 2 x 
9.2.6
1
 1  cos 2 x 
2
Grafische Darstellungen der Schwingungsenergien
Für 0  0 
1
1
1 1

D  A2  sin 2 t  D  A2    cos 2t  
2
2
2 2

1 1
1 1
  DA2   DA2  cos 2t
22
22

 

Wpot 
Verschiebung
Amplitude
1
1
1
1 1

 m  A2   2  sin 2 t  D  A2  cos 2 t  D  A2    cos 2t  
2
2
2
2 2

1 1
1 1
  DA2   DA2  cos 2t
22
22

 

Wkin 
Verschiebung
Wges 
Amplitude
1
 D  A2
2
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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W
t
T
9.3
Beispiele für harmonische Schwingungen
9.3.1
Das vertikale Federpendel
Der Vergleich der Federpendelbewegung mit der projizierten Kreisbewegung lässt vermuten,
dass die Schwingung des Federpendels harmonisch ist. Dies soll jetzt durch Nachweis der
Gültigkeit des linearen Kraftgesetzes bestätigt werden.
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Harmonische Schwingungen
unbelastet
Physik
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Gleichgewichtslage
Nulllage
während der
Schwingung
y
y
0
Hooke-Gesetz: Federkraft FFeder  H   s  y  mit Federhärte H  konstant
Rückstellkraft = Gewichtskraft + Federkraft
FRück  FG  FFeder 
  m  g  H s  y 
  m g  H s  H  y 
H  y   D  y mit D  H ( H  Federhärte )

 m g  H s
Hy 



D
0
Kräftegleichgewicht
in der Nulllage
lineares Kraftgesetz erfüllt 
harmonische Schwingung
Richtgröße D = Federhärte H
Ergebnis: Das Federpendel schwingt im Elastizitätsbereich harmonisch.
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Harmonische Schwingungen
9.3.2
Schwingende Flüssigkeitssäule im U-Rohr
y
Q
Q
Physik
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y
0
ℓ
ρ = Flüssigkeitsdichte
Q = Querschnittsfläche
FG* = Gewichtskraft der überstehenden Flüssigkeitssäule der Länge 2 y
m* = Masse der überstehenden Flüssigkeitssäule der Länge 2 y
V * = Volumen der überstehenden Flüssigkeitssäule der Länge 2 y
In der Nulllage steht die Flüssigkeit in beiden Schenkeln gleich hoch.
Die Flüssigkeitssäule wird zum Schwingen angeregt durch einmalige Störung des Kräftegleichgewichts durch eine äußere Kraft. Dazu erhöht man z.B. in einem Schenkel des URohres den Druck, indem man hineinbläst. Dadurch wird die Flüssigkeitssäule ausgelenkt.
Fällt der Druck plötzlich weg, so schwingt die Flüssigkeitssäule im U-Rohr hin und her.
Rückstellkraft:
FRück  Gewichtskraft FG* der überstehenden Flüssigkeitssäule der Länge 2y 
 FG*   m*  g    V *  g     Q  2 y  g 
  2
gQ  y   D  y mit D  2gQ  konstant
D
lineares Kraftgesetz erfüllt  harmonische Schwingung
Schwingungsdauer T  2 
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m
 V
Q 

 2 
 2 
 2 
D
2gQ
2gQ
2g
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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Interpretation: T 2   , wenn g  konstant
T unabhängig von der Flüssigkeitsdichte ρ, vom Querschnitt Q und der
Amplitude.
9.3.3
Fadenpendel
φ
ℓ
ℓ−h
φ
h
y
φ



Rückstellkraft: FRück  FGewicht  FFaden
FRück  FG  sin    mg  sin    mg  sin
y

lineares Kraftgesetz nicht erfüllt  keine harmonische Schwingung
ABER:
 klein 
sin    
 klein
FRück  FG  sin    mg  sin  
  mg     mg 
 sin   
y
mg
mg

 y   D  y mit D 
 konstant




D
lineares Kraftgesetz erfüllt  harmonische Schwingung für kleine Auslenkwinkel φ
Schwingungsdauer T  2 
m
 2 
D

m
 2 
mg
g

Interpretation: T 2   , wenn g  konstant
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Harmonische Schwingungen
Bestimmung von g:
T  2 

g
T 2  4 2 

g
g
Sekundenpendel:
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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4 2  
T2
T 2s
T  2 

g
T 2  4 2 

g
g T 2


4 2
Zufall?
9,81
m
2
 2 s
2 
s
 0,99 m  1 m
4 2
2  9,87  9,81
Ergänzung: sin x  x
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0, 2 
Harmonische Schwingungen
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0, 2  π
 0, 06366  π  0,06366  180°  11,5°
π
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9.3.4
Reagenzglas in Flüssigkeit
y
Q
Nulllage
Q
ρ
ℓ−y
ℓ
y
m
0
m
Q
-
Masse des mit Bleischrot beschwerten Reagenzglases
Querschnittsfläche
Betrag der Auftriebskraft = Betrag der Gewichtskraft der Flüssigkeit, die vom Körper verdrängt wird
FRück  FAuftrieb  FGewicht    g V *  m  g    g  Q     y   m  g 
   g Q      g Q  y  m  g    g Q    m  g    g Q  y     g Q  y 




D
0
  D  y mit D    g  Q  konstant
lineares Kraftgesetz erfüllt  harmonische Schwingung
T  2π 
 Q  

m
m
 2π 
 2π 
 2π 
  g Q
  g Q
D
g
Interpretation: T 2   , wenn g  konstant
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Harmonische Schwingungen
9.3.5
Bleischnur
feste
Rolle
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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y
y
0
ℓ; m; ρ; Q
ℓ
m
ρ
Q
-
Schnurlänge
Schnurmasse
Materialdichte
Querschnittsfläche der Schnur
FRück   m*  g     V *  g     Q  2 y  g   2    Q  g  y 
m
m
2m g
Q  g  y   2 
Q  g  y  
y
V
Q 

2m g
  D  y mit D 
 konstant

 2
lineares Kraftgesetz erfüllt  harmonische Schwingung
T  2π 
m
 2π 
D
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m

 2π 
2mg
2g

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Harmonische Schwingungen
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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9.3.6
Horizontales Federpendel: Körper zwischen zwei Federn
Frück  Frechts  Flinks  D0     y   D0     y   D0    D0  y  D0    D0  y   2 D0  y 

D
  D  y mit D  2  D0
lineares Kraftgesetz erfüllt  harmonische Schwingung
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Harmonische Schwingungen
9.3.7
Geschiebe (APr 2004 III)
1.1.1
Zum Zeitpunkt t0  0s befindet sich der Stift im höchsten Punkt seiner Umlaufbahn.
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Physik
II. Mechanische Schwingungen
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Harmonische Schwingungen
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II. Mechanische Schwingungen
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1 

y  t    A  sin   t   r  sin  2πf  t    8,0 mm  sin  2π  1,2  t  
s 

1 
1 


  8,0 mm  sin  2, 4π  t    8,0 mm  sin  7,5  t 
s 
s 


1.1.2
1


y  0,75s    8,0 mm  sin  7,5  0,75s   4,9 mm
s


1


oder: y  0,75s    8,0 mm  sin  2π  1,2  0,75s   4,7 mm
s


v  t   y  t    A    cos   t   r  2πf  cos  2πf  t 
1
1
mm


v  0,75s    8,0 mm  2π  1, 2  cos  2π  1, 2  0,75s    49
s
s
s


1
1 

oder: v  t   y  t    8,0 mm  7,5  cos  7,5  t 
s
s 

1
1
mm


v  0,75s    8,0 mm  7,5  cos  7,5  0,75s    47
s
s
s


mm
s
Der Körper K bewegt sich abwärts.
v  0,75s   47
2
1.1.3
amax
m
 1
 A    r  4π  f  8,0  10 m  4π   1, 2   0, 45 2
s
 s
2
ausführlicher:
2
3
2
2
a  t   v  t   A   2  sin   t  r   2πf   sin  2πf  t 
2
2
amax
m
 1
 r  4π  f  8,0  10 m  4π   1, 2   0, 45 2
s
 s
2
2
3
2
Der Betrag der Beschleunigung des Körpers K ist maximal, wenn sich der Körper im
oberen oder im unteren Umkehrpunkt befindet.
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Physik
II. Mechanische Schwingungen
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1.1.4
FS
Frück = FS + FG
FG
Frück  FS  FG
m  amax  FS  m  g
m  amax  FS  m  g
FS  m  amax  m  g  m   amax  g   0, 200 kg   0, 45  9,81
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m
 2,1N
s2
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Harmonische Schwingungen
9.3.8
Geschiebe 2 (APr 1985 III)
1.1
Durch das Geschiebe wird die vertikale (senkrechte) Komponente der gleichförmigen Kreisbewegung auf die Stange übertragen. Diese vertikale Komponente einer
gleichförmigen Kreisbewegung ist gemäß eine harmonische Schwingung. Somit
führt die Stange eine harmonische Schwingung aus.
1.2.1
Physik
II. Mechanische Schwingungen
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1 

s  t    A  cos   t   r  cos  2πf  t    5,0 mm  cos  2π  1,0  t  
s 

1 
1 


  5,0 mm  cos  2,0π  t    5,0 mm  cos  6,3  t 
s 
s 


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II. Mechanische Schwingungen
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2
1.2.2
amax
m
 1
 A    r  4π  f  5,0  10 m  4π   1,0   0, 20 2
s
 s
2
ausführlicher:
2
3
2
2
v  t   s  t   A    sin   t  r  2πf  sin  2πf  t 
a  t   v  t   A   2  cos   t  r   2πf   cos  2πf  t 
2
2
amax
m
 1
 A    r  4π  f  5,0  10 m  4π   1,0   0, 20 2
s
 s
2
2
2
3
2
Fmax  FG  m  amax  m  g  m  amax  m   g  amax  
 1,00 kg   9,81  0, 20 
1.2.3
m
m
 1,00 kg  10,01 2  10,0 N
2
s
s
 

F  FG  FRück




F ist maximal, wenn FG und  FRück gleich orientiert sind, FRück also aufwärts ge
richtet und FRück betragsmäßig maximal ist. Dies ist im unteren Umkehrpunkt, also
für t  0s der Fall.




F ist minimal, wenn FG und  FRück entgegengesetzt orientiert sind, FRück also ab
wärts gerichtet und FRück betragsmäßig maximal ist. Dies ist im oberen UmkehrT
1
1

 0,50s der Fall.
punkt, also für t  
2 2  f 2  1,0 1
s
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