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1 Allgemeines Zählprinzip - STARK Verlag

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50 r Kombinatorische Hilfsmittel
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Allgemeines Zählprinzip
Schon von klein auf beschäftigt man sich beim Spielen indirekt mit dem allgemeinen Zählprinzip. Die dreijährige Heidi z. B. hat einen schwarzen, einen
weißen und einen grauen Würfel und möchte aus diesen drei Würfeln immer
unterschiedliche Türme bauen. Wie viele Möglichkeiten hat sie? Betrachtet man
dazu das zugehörige Baumdiagramm,
sieht man schnell, dass Heidi für die unterste Lage 3 Würfel zur Auswahl hat, für
die mittlere Lage jeweils noch 2 Würfel und für die oberste Lage nur noch 1 Würfel. Insgesamt gibt es also 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Möglichkeiten, also sechs verschiedene Türme.
Jeder Turm ergibt sich durch Vertauschen der drei verschiedenen Holzwürfel.
Man sagt, es gibt 6 verschiedene Permutationen der drei Würfel (lat. permutare
= vertauschen). Hätte Heidi statt 3 z. B. 7 verschiedenfarbige Holzwürfel, so wäre
das Baumdiagramm wenig hilfreich, da die Zahl der Äste sehr groß wird und der
Aufwand, es zu zeichnen, immens ist. Die gleiche Überlegung wie oben liefert
aber: Es können 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5 040 verschiedene Türme gebaut werden.
Für das Produkt 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 schreibt man kurz 7! und spricht: „7 Fakultät“
Der Taschenrechner hat dafür die Tastenfolge: 5 shift x!
Definition
• Stehen bei einem n-stufigen Zufallsexperiment für die i-te Stufe ki Möglichkeiten zur Verfügung, dann gibt es k1 ⋅ k2 ⋅ … ⋅ kn verschiedene Ergebnisse. Man
spricht vom allgemeinen Zählprinzip.
• n! (n Fakultät) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, allgemein:
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ (n – 3)… ⋅ 2 ⋅ 1, n ∈ 70
Man definiert 1! = 1 sowie 0! = 1.
Kombinatorische Hilfsmittel r 51
Beispiele
1. Herr Mayer geht in ein Speiselokal und wählt ein Menü, das er aus 5 Vorspeisen, 8 Hauptspeisen, 6 Beilagen und 3 Nachspeisen zusammenstellen
kann.
a) Bestimmen Sie, wie viele verschiedene Menüs Herr Mayer zur Auswahl hat, wenn er eine Vorspeise, eine Hauptspeise, eine Beilage und
eine Nachspeise möchte.
b) Bestimmen Sie, wie viele Menüs er zur Auswahl hat, wenn er 2 verschiedene Beilagen statt nur einer möchte.
Lösung:
a) Die Menüwahl kann man sich als vierstufiges Zufallsexperiment vorstellen. In der 1. Stufe wählt Herr Mayer aus den 5 Vorspeisen, in der
2. Stufe aus den 8 Hauptspeisen, in der 3. Stufe aus den 6 Beilagen
und in der 4. Stufe aus den 3 Nachspeisen.
Herr Mayer hat also 5 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 3 = 720 Menüs zur Auswahl.
b) Das vierstufige Zufallsexperiment aus Teilaufgabe a wird zu einem
fünfstufigen Zufallsexperiment erweitert. Für die erste Beilage (Stufe 3) kann Herr Mayer aus 6 Beilagen wählen, für die zweite Beilage
(neue Stufe 4) noch aus 5 Beilagen.
Herr Mayer hat also 5 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 3 = 3 600 Menüs zur Auswahl.
2. Ermitteln Sie, wie viele verschiedene 5-stellige gerade Zahlen es gibt, bei
denen die Zehner- und die Hunderterstelle gleich sind.
Lösung:
{0; 2; 4; 6; 8}
alle 10 Ziffern von 0 bis 9 sind möglich
gleiche Ziffer wie die Zehnerziffer
alle 10 Ziffern von 0 bis 9 sind möglich
alle Ziffern außer der 0
Es gibt 9 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 5 = 4 500 solche Zahlen.
Aufgaben
45. Bei der Blindenschrift kann jeder der
6 Punkte in einem Rechteck geprägt oder
nicht geprägt werden.
Ermitteln Sie, wie viele verschiedene Zeichen auf diese Art dargestellt werden können.
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