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Lösung 4

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Allgemeine Mechanik
Musterl¨
osung 4.
¨
Ubung
1.
HS 2014
Prof. Thomas Gehrmann
Streuung an einer harten Kugel
Eine Punktmasse streut elastisch an einer ortsfesten Kugel mit Radius R.
(a) Bestimmen Sie geometrisch den Stossparameter s(Θ) und daraus den differentiellen Wirkungsquerdσ
schnitt dΩ
.
(b) Bestimmen Sie den totalen Streuquerschnitt σ.
(c) Betrachten Sie anstatt der Punktmasse eine Kugel mit Radius r. Wie ver¨
andert sich
dσ
dΩ
und σ?
L¨
osung.
(a) Wir benutzen das Reflexionsgesetz “Einfallswinkel = Ausfallswinkel”.
ϕ
Θ
ϕ
s
R
Es gilt s = R sin(ϕ), wobei s der Stossparameter und ϕ der Einfallswinkel ist. Der Streuwinkel ist dann Θ = π − 2ϕ. Es folgt, dass
s = R sin
π−Θ
2
= R cos
Θ
2
,
(L.1)
und der differentielle Wirkungsquerschnitt ist
R cos Θ2
dσ
s
ds
=
=
dΩ
sin(Θ) dΘ
2 cos Θ2 sin
Θ
2
R sin
2
Θ
2
=
R2
.
4
(L.2)
(b)
σ=
dΩ
dσ
= πR2
dΩ
(L.3)
(c) Jetzt ist s = (R + r) sin(ϕ). Es folgt
dσ
(R + r)2
=
dΩ
4
und σ = π(R + r)2 .
1
(L.4)
¨
Ubung
2.
Streuung fu
¨r das repulsive Potential
Ein Teilchen streut am Potential V (r) = α/r2 .
(a) Bestimmen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ
dΩ .
(b) Existiert der totale Streuquerschnitt σ?
L¨
osung.
(a) F¨
ur das Potential V (r) = α/r2 gilt rmin =
Es folgt dass
s2 + α/E, wobei s der Stossparameter ist.
∞
ϕ=s √
dr
s2 +α/E
r
r2
(L.5)
− (s2 + α/E)
∞
s
=
s2
+ α/E arccos
πs
.
=
2
2 s + α/E
√
r2 −(s2 +α/E)
r
√
(L.6)
s2 +α/E
(L.7)
Der Streuwinkel ist dann
Θ = π − 2φ = π 1 −
s
s2 + α/E
.
(L.8)
Es folgt
α (1 − Θ/π)2
E (Θ/π)(2 − Θ/π)
1 − Θ/π
ds
α
s
.
=π
2
dΘ
E Θ (2 − Θ/π)2
s2 =
(L.9)
(L.10)
Der differenzielle Streuquerschnitt ist
dσ
s
ds
α
1 − Θ/π
=
.
=π
2
dΘ
sin Θ dΘ
E Θ (2 − Θ/π)2 sin Θ
(L.11)
(b) Der Wirkungsquerschnitt divergiert f¨
ur kleine Streuwinkel,
πα
dσ
≈
,
dΘ
4EΘ3
f¨
ur Θ
0.
(L.12)
Wegen der Divergenz in Vorw¨
artsrichtung existiert der totale Streuquerschnitt σ nicht.
¨
Ubung
3.
Vertikallooping
Ein Teilchen rutscht ohne Reibung auf einer Rutschbahn (s. Bild).
Am Anfang ist das Teilchen am Punkt P0 und hat die Geschwindigkeit v0 = 0.
2
P0
r
y
H
ϕ
x
(a) Bestimmen Sie die Lagrangegleichungen erster Art f¨
ur den zirkularen Teil der Bahn. Dr¨
ucken Sie
die Zwangskraft λ∇f als Funktion von ϕ aus.
(b) Finden Sie die minimale H¨
ohe H des Punktes P0 , so dass das Teilchen nicht aus dem zirkularen
Teil der Rutschbahn f¨
allt.
Hinweis: Berechnen Sie ϕ(t) nicht explixit.
L¨
osung.
(a) Die Zwangsbedingung f¨
ur den zirkularen Teil der Bahn ist
f = x2 + y 2 − r 2 = 0
und ∇f = (2x, 2y)T .
(L.13)
Die Lagrangegleichungen erster Art sind dann
m¨
x = mg + 2λx
m¨
y = 2λy.
(L.14)
Mit Polarkoordinaten folgt, dass
−mrϕ˙ 2 = mg cos ϕ + 2λr
mrϕ˙ 2 + mg cos ϕ
2r
2
λ∇f = −(mrϕ˙ + mg cos ϕ)(cos ϕ, sin ϕ)T .
λ=−
(L.15)
(L.16)
(L.17)
(b) Die Zwangskraft ist ein Zentripetalkraft, daher
r · λ∇f ≤ 0.
(L.18)
Das Minimum von ϕ˙ 2 und das Maximum von − cos ϕ sind in ϕ = π. Es folgt, dass
mv
≥ mg.
r
(L.19)
mv 2
5
5
+ 2mgr ≥ mgr =⇒ H ≥ r
2
2
2
(L.20)
mrϕ˙ 2 =
Aufgrund von Energieerhaltung
mgH =
3
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