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Lösung 5

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D-BAUG
Dr. Meike Akveld
Analysis I
HS 2014
MC-Fragen Serie 5
Einsendeschluss: Donnerstag, der 23.10.2014 17:00 Uhr
1. Welche der folgenden st¨
uckweise definierten Funktionen ist nicht stetig?
(a)
f (x) =
|x| ,
x2 ,
x≥0
x < 0.
Man sieht, dass die beiden Teil-Funktionen stetig sind. Man muss also nur noch den
Grenzwert in der Verbindungsstelle u
¨berpr¨
ufen
lim x2 = 0 = |0|
x→0
und somit ist die Funktion stetig.
(b)
f (x) =
ex ,
x>1
e − x + 1, x ≤ 1.
Man sieht, dass die beiden Teil-Funktionen stetig sind. Man muss also nur noch den
Grenzwert in der Verbindungsstelle u
¨berpr¨
ufen
lim ex = e = e − 1 + 1
x→1
und somit ist die Funktion stetig.
√
(c)
f (x) =
2x + 3, x > 0
3x,
x ≤ 0.
Man sieht, dass die beiden Teil-Funktionen stetig sind. Man muss also nur noch den
Grenzwert in der Verbindungsstelle u
¨berpr¨
ufen
lim 2x + 3 = 3 = 3 · 0
x→0
und somit ist die Funktion nicht stetig.
(d)

2x,
f (x) = x2 − 9

,
x−3
x≥3
x < 3.
Man sieht, dass die beiden Teil-Funktionen stetig sind. Man muss also nur noch den
Grenzwert in der Verbindungsstelle u
¨berpr¨
ufen
lim
x→3
x2 − 9
(x − 3)(x + 3)
= lim
= lim x + 3 = 6 = 2 · 3
x→3
x→3
x−3
x−3
und somit ist die Funktion stetig.
1
2. Welche der folgenden Aussagen u
¨ber die Funktion
f (x) = (x + 2)
|x − 1|
x−1
ist falsch?
(a)
lim f (x) = −2.
x→0
Man berechnet
lim f (x) = 2
x→0
(b)
| − 1|
= 2 · −1 = −2.
−1
lim f (x) = 3.
x→1+
Man berechnet
lim f (x) = lim (x + 2)
x→1+
(c)
x→1+
x−1
= lim x + 2 = 3 · 1 = 3.
x→1+
x−1
lim f (x) = −3.
x→1−
Man berechnet
lim f (x) = lim (x + 2)
x→1−
√
(d)
x→1−
−(x − 1)
= lim (x + 2) · (−1) = −3.
x→1−
x−1
lim f (x) = 3.
x→1
Falls der Grenzwert existiert, muss limx→1+ f (x) = limx→1− f (x) gelten. Wir haben
jedoch
limx→1+ f (x) = 3 · 1 = 3
lim f (x) =
x→1
limx→1− f (x) = 3 · (−1) = −3
also existiert dieser Grenzwert nicht.
2
3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
√
(a)
Es existiert eine Injektion {x ∈ R | x2 − 5x + 6 = 0} ∪ {0, 1} → {x ∈
N | 10 < x2 < 100}.
Die linke Menge ist gleich {0, 1, 2, 3}, die rechte ist gleich {4, 5, 6, 7, 8, 9}. Eine Injektion
w¨
are zum Beispiel 0 → 4, 1 → 9, 2 → 8, 3 → 5.
√
(b)
Es existiert eine Bijektion N → Z (hier ist 0 ∈ N).
Zum Beispiel n → n/2 f¨
ur n gerade und n → −(n + 1)/2 f¨
ur n ungerade.
(c)
Es existiert eine Injektion N → {x ∈ [−1000, 1000] | sin(x) = 0}.
Die erste Menge hat unendlich viele Elemente, die zweite ist endlich. Damit nehmen
sicher zwei Elemente in N den selben Funktionswert an.
√
(d)
Es existiert eine Injektion N → [0, 1/2].
Zum Beispiel 0 → 0 und n → 1/(2n) f¨
ur n ≥ 1.
Bemerkung: F¨
ur beliebige Mengen X, Y mit endlich vielen Elementen und eine
beliebige Menge Z mit unendlich vielen Elementen gilt (dabei bezeichnet |A|
die Anzahl der Elemente von A):
• Es gibt eine Injektion X → Y genau dann, wenn |X| ≤ |Y |.
• Es gibt eine Surjektion X → Y genau dann, wenn |X| ≥ |Y |.
• Folglich gibt es eine Bijektion X → Y genau dann, wenn |X| = |Y |.
• Es gibt keine Injektion Z → Y .
• Es gibt keine Surjektion X → Z.
3
4. Was ist die geometrische Bedeutung der Abbildung R2 → R2 : (x, y) → (y, x)?
(a)
Spiegelung an der y-Achse.
Das w¨
are (x, y) → (−x, y).
(b)
Spiegelung an der x-Achse.
Das w¨
are (x, y) → (x, −y).
(c)
Drehung um π/2 im Uhrzeigersinn.
Das w¨
are (x, y) → (y, −x).
(d)
Drehung um π/2 gegen den Uhrzeigersinn.
Das w¨
are (x, y) → (−y, x).
(e)
Drehung um π.
Das w¨
are (x, y) → (−x, −y).
√
(f)
Spiegelung an der Geraden x = y.
Richtig. Dadurch werden die Koordinaten vertauscht.
4
5. Welche der folgenden Teilmengen sind Graphen von Funktionen?
√
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Nur (a).
(b)
Nur (a) und (b).
(c)
Nur (a) und (d).
(d)
Nur (a), (c) und (d).
(e)
Nur (c) und (d).
(b) ist kein Graph, weil verschiedene y-Koordinaten mit derselben x-Koordinate
m¨
oglich sind. F¨
ur die anderen Teilmengen tritt dieses Problem nicht auf; deshalb sind sie Graph einer Funktion auf einem geeigneten Definitionsbereich.
Die korrekte Antwort lautet daher (a), (c) und (d).
5
6. Welche der folgenden Funktionen ] − 1, 1[→ R sind streng monoton wachsend?
√
(a)
x → x2
(b)
x → |x| + x
(c)
x → x3 − x
(d)
x → ex
(e)
x → arccos x
(f)
Keine.
Auf ]−1, 0] ist x2 streng monoton fallend und |x|+x = 0 konstant, also scheiden
diese aus. Wegen ( 21 )3 − 21 = − 38 < 0 = 03 − 0 scheidet auch x → x3 − x
aus. Die Funktion x → arccos x ist sogar streng monoton fallend. Nur die
Exponentialfunktion x → ex ist hier streng monoton wachsend.
7. Die auf allen reellen Zahlen definierten Funktionen f und g seien ungerade.
Welche der folgenden Aussagen ist falsch?
√
(a)
Die Funktion f + g ist ungerade.
(b)
Die Funktion f − g ist ungerade.
(c)
Die Funktion f · g ist ungerade.
(d)
Die Funktion f /g : R\{0} → R ist gerade (hier wird ∀x ∈ R\{0} : g(x) = 0
angenommen).
F¨
ur x ∈ R gilt
(f + g)(−x) = f (−x) + g(−x) = −f (x) − g(x) = −(f + g)(x) =⇒ f + g ist ungerade,
(f − g)(−x) = f (−x) − g(−x) = −f (x) + g(x) = −(f − g)(x) =⇒ f − g ist ungerade,
(f · g)(−x) = f (−x) · g(−x) = (−f (x)) · (−g(x)) = (f · g)(x) =⇒ f · g ist gerade und
(f /g)(−x) =
−f (x)
f (−x)
=
= (f /g)(x) =⇒ f /g ist gerade.
g(−x)
−g(x)
Also lautet die richtige Antwort (c).
6
8. Gegeben seien vier Funktionen fi : Di → Zi , i = 1, 2, 3, 4. Welches fi besitzt
keine Umkehrfunktion f −1 : Zi → Di ?
√
(a)
f1 : [−2, 2] → [−16, 16], x → x3 − 12x
(b)
f2 : [ π2 , 3π
2 ] → [−1, 1], x → sin x
(c)
f3 : [1, 4] → [1, 16], x → x2
(d)
f4 : [2, 4] → [−16, 24], x → x3 − 12x
(e)
Alle besitzen eine Umkehrfunktion.
Die Funktionen sind alle streng monoton, die ersten beiden fallend und die
anderen wachsend. Sie sind daher injektiv. Der Wertebereich ist jeweils wieder
ein Intervall, und zwar wegen der Monotonie genau das Intervall zwischen den
Funktionswerten an den Grenzen des Definitionsintervalls. Bei f1 , f2 , f3 sind
diese Funktionswerte genau die Grenzen des Zielintervalls, also ist die Funktion
surjektiv und somit bijektiv. Bei f4 gilt dagegen f (2) = −16 und f (4) = 16 <
24, also ist der Wertebereich nur [−16, 16] = [−16, 24] und die Funktion nicht
surjektiv.
ur die Def9. Gegeben sei der Punkt (r, φ, θ) = (2, π6 , 5π
6 ) in Kugelkoordinaten (f¨
inition siehe Vorlesungsnotizen). Welchem Punkt entspricht er in kartesischen
Koordinaten?
√
√
(a) ( 21 , 23 , − 3).
√
√
3 1
2 , 2,
(b)
(−
(c)
(
(d)
(− 32 , −
√
3 1
2 , 2, −
√
√
3).
3).
√
3
2 , 1).
Nach Definition gilt x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ und z = r cos θ, wobei
θ ∈ [0, π] und φ ∈ (−π, π].
7
10. Kugelkoordinaten:
In den Aufgaben 10-13 geht es darum, 4 Gebiete der jeweils passenden Parametrisierung
in Kugelkoordinaten zuzuordnen.
Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
(a)
√
{(r, φ, θ) : 1 ≤ r ≤ 3} .
2
sin θ , 0
(b)
(r, φ, θ) : r =
(c)
(r, φ, θ) : r = 4 cos θ, 0 ≤ θ ≤
(d)
(r, φ, θ) : r =
2
cos θ , 0
<θ<π .
≤θ<
π
2
π
4
.
.
Nach Definition der Kugelkoordinaten x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z =
r cos θ entspricht r sin θ der Projektion des Radius auf die xy-Ebene, oder in
anderen Worten dem Abstand zur z-Achse. Falls r sin θ = const hat man folglich
einen Zylinder.
8
11. Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
(a)
√
{(r, φ, θ) : 1 ≤ r ≤ 3} .
2
sin θ , 0
(b)
(r, φ, θ) : r =
(c)
(r, φ, θ) : r = 4 cos θ, 0 ≤ θ ≤
(d)
(r, φ, θ) : r =
2
cos θ , 0
<θ<π .
≤θ<
π
2
π
4
.
.
Wenn man die Gleichung r = 4 cos θ mit r > 0 multipliziert, folgt r2 = 4z. Mit
der Definition von r rechnen wir (mit quadratischem Erg¨anzen)
r2 = x2 + y 2 + z 2 = 4z
⇔ x2 + y 2 + z 2 − 4z = 0
⇔ x2 + y 2 + (z − 2)2 − 4 = 0
⇔ x2 + y 2 + (z − 2)2 = 4.
Das ist die Gleichung der Sph¨
are mit Radius 2 und Mittelpunkt (0, 0, 2). Wegen
¨
Sie sich
0 ≤ θ ≤ π4 wird nur die obere Halbsph¨are parametrisiert. Uberlegen
weshalb.
9
12. Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
√
(a)
{(r, φ, θ) : 1 ≤ r ≤ 3} .
2
sin θ , 0
(b)
(r, φ, θ) : r =
(c)
(r, φ, θ) : r = 4 cos θ, 0 ≤ θ ≤
(d)
(r, φ, θ) : r =
2
cos θ , 0
<θ<π .
≤θ<
π
2
π
4
.
.
Der Radius darf zwischen 1 und 3 variieren. θ ∈ [0, π] und φ ∈ (−π, π] sind
beliebig.
10
13. Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
(a)
√
{(r, φ, θ) : 1 ≤ r ≤ 3} .
2
sin θ , 0
(b)
(r, φ, θ) : r =
(c)
(r, φ, θ) : r = 4 cos θ, 0 ≤ θ ≤
(d)
(r, φ, θ) : r =
2
cos θ , 0
<θ<π .
≤θ<
π
2
π
4
.
.
Nach Definition der Kugelkoordinaten x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z =
r cos θ entspricht r cos θ der z−Koordinate. F¨
ur r cos θ = const hat man eine
horizontale Ebene.
11
14. Zylinderkoordinaten:
In den Aufgaben 14-17 geht es darum, 4 Gebiete der jeweils passenden Parametrisierung
in Zylinderkoordinaten zuzuordnen.
Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
(a)
√
(r, φ, z) : 0 ≤ φ ≤
π
2,z
=1 .
(b)
{(r, φ, z) : 2r ≤ z ≤ 4} .
(c)
(r, φ, z) : 0 ≤ z ≤ 2 −
(d)
(r, φ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
r
2
.
π
3,0
≤z≤1 .
Die Figur ist rotationssymmetrisch bez¨
uglich der z-Achse. Die z-Koordinate
ist von unten durch 0 und von oben durch die Gerade z = 2 − 2r beschr¨ankt.
Somit hat man einen Kegel mit Spitze in (0, 0, 2) und Basis in der xy-Ebene mit
Zentrum im Ursprung und Radius 4.
12
15. Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
√
(a)
(r, φ, z) : 0 ≤ φ ≤
π
2,z
=1 .
(b)
{(r, φ, z) : 2r ≤ z ≤ 4} .
(c)
(r, φ, z) : 0 ≤ z ≤ 2 −
(d)
(r, φ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
r
2
.
π
3,0
≤z≤1 .
Folgt direkt aus der Definition der Zylinderkoordinaten x = r sin φ, y = r sin φ,
z = z, wobei φ ∈ (−π, π].
13
16. Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
(a)
√
(r, φ, z) : 0 ≤ φ ≤
π
2,z
=1 .
(b)
{(r, φ, z) : 2r ≤ z ≤ 4} .
(c)
(r, φ, z) : 0 ≤ z ≤ 2 −
(d)
(r, φ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
r
2
.
π
3,0
≤z≤1 .
Der obere Rand z = 4 ist offensichtlich eine horizontale Ebene. Der untere Rand
ist gegeben durch die Gleichung 2r = z oder ¨aquivalent r = z2 . Somit hat man
einen Kegel mit Spitze im Ursprung und Basis in z = 4 mit Zentrum (0, 0, 4)
und Radius 2.
14
17. Welche Parametrisierung passt zu dieser Zeichnung?
(a)
√
(r, φ, z) : 0 ≤ φ ≤
π
2,z
=1 .
(b)
{(r, φ, z) : 2r ≤ z ≤ 4} .
(c)
(r, φ, z) : 0 ≤ z ≤ 2 −
(d)
(r, φ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ φ ≤
r
2
.
π
3,0
≤z≤1 .
Mit −π < φ ≤ π w¨
are der Zylinder voll. Da aber 0 ≤ φ ≤
einen Sektor davon.
π
3
gilt, hat man nur
18. Es sei
2x3 + x2 + 2x + 1
.
2x − 1
Bestimme f (−1), f (0), f (1). Was l¨asst sich mit dem Zwischenwertsatz folgern?
f (x) =
√
(a)
∃x ∈ [−1, 0] mit f (x) = 0,
Ja. f ist stetig auf [−1, 0] und f (0) = −1 < 0 < f (−1) =
(b)
2
.
3
∃x ∈ [0, 1] mit f (x) = 0,
Nein. f (x) ist nicht definiert f¨
ur x = 12 und daher ist f nicht stetig auf [0, 1] und der
Zwischenwertsatz nicht anwendbar, obwohl f (0) = −1 < 0 < f (1) = 6.
(c)
∃x1 = x2 ∈ [−1, 1] mit f (x1 ) = f (x2 ) = 0.
Nein. Der Zwischenwertsatz liefert uns nur die Existenz einer Nullstelle in [−1, 0], f¨
ur
[0, 1] ist er nicht anwendbar.
15
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