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Konsultation Wintersemester 05/06

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Elektrotechnik für Maschinenbauer
Grundlagen der Elektrotechnik für Maschinenbauer
Konsultation 11: „Messtechnik“
1. Mittelwert, Effektivwert, Gleichrichtwert
Für die Messungen großer elektrischer Ströme und Spannungen werden auch heute noch
verschiedene analoge Messgeräte eingesetzt. Grob kann man unterscheiden zwischen:
a) Dreheisenmessgeräten
– diese messen den __________________________
b) und Drehspulmessgeräten – diese messen den __________________________.
(Einsetzen: Effektivwert, arithmetischer Mittelwert).
Periodizität
Definition: Eine reelle Zahl T heißt Periode oder Periodendauer einer im Definitionsbereich
D u ∈ ℜ definierten Funktion u , genau dann wenn gilt:
1) Für alle t∈ ℜ gilt: t∈ D u ⇔ tT ∈D u
2) Für alle t ∈ D u gilt: u tT =u t
Satz: Ist T eine Periode von u, so ist auch 2⋅T eine Periode von u.
Satz: Ist T eine Periode von u, so ist auch −T eine Periode von u.
Satz: Sind T1 und T2 zwei Perioden von u, so ist auch T1 + T2 eine Periode von u.
Aufgabe: Bestimmen Sie jeweils die kleinste Periode T1 und T2 der Funktionen u1 und u2, und
geben Sie die zugehörigen Frequenzen f1 und f2 an.
0
u
1
/ V
1
-1
-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
t/s
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
0
u
2
/ V
1
-1
Abbildung 1: Sinusfunktion und Sägezahnfunktion
T1 = _______________________
f1 = ______________________
T2 = _______________________
f2 = ______________________
Messtechnik 1/7
Elektrotechnik für Maschinenbauer
Mittelwert
Der Mittelwert u einer periodischen Funktion ist als Integral über eine Periodendauer
definiert.
T
u=
1
∫ u t dt
T 0
Zum Verständnis des Integrals nehmen wir an, ein digitales Messgerät liefert N=100
Messwerte u(1), u(2), ..., u(100) pro Periodendauer. Mit welcher Formel würden Sie die
Berechnung des Mittelwertes annähern? Verwenden Sie ein Summenzeichen mit dem Index
k=1...N.
u≈
.
Das Integral geht über in eine _________________________________________________.
Die Spannung u(t) geht über in ________________________________________________.
Die Periodendauer geht über in ________________________________________________.
Der Faktor dt geht über in ____________________________________________________.
Geben Sie die Mittelwerte u 1 und u 2 der Sinus- bzw. Sägezahnfunktion aus Abbildung 1
ohne Rechnung an:
u 1=
.
u 2=
.
Beide Signale oszillieren offenbar um ihren Mittelwert Null.
Welchen Wert zeigt ein Drehspulinstrument bei folgenden Spannungen an (ohne Rechnung)?
2
u
1
/ V
3
1
-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
t/s
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
2
u
2
/ V
3
1
Abbildung 2: Sinusfunktion und Sägezahnfunktion mit Gleichanteil
u 1=
.
u 2=
Messtechnik 2/7
.
Elektrotechnik für Maschinenbauer
Ein Drehspulinstrument zeigt bei beiden Funktionen also den gleichen Wert an, obwohl die
Funktionsverläufe sich stark unterscheiden!
Überlegen Sie anhand der Beispiele, ob sich die folgenden Integrale unterscheiden:
T
1
u= ∫ u t dt
T 0
1
u=
T
0
∫ u t dt
−T
1
u=
T
T/2
∫
u t dt
−T / 2
1
u=
T
5T /4
∫ u t dt
T /4
O
Die Werte unterscheiden sich. Man muss die Definition exakt einhalten.
O
Die Werte unterscheiden sich nicht. Es reicht aus, über eine Periode zu integrieren.
Das kann man ggf. als Rechenvorteil nutzen!
Effektivwert: Mittelwert der Quadrate
Stellen Sie sich zum Verständnis vor, dass u(t) die Spannung über einem Widerstand ist.
Abbildung 3: Die Momentanleistung an einem
Widerstand beträgt u²(t)/R
Dann ist das Quadrat u²(t)/R die Momentanleistung, die im Widerstand umgesetzt wird.
Dessen zeitlicher Mittelwert ist die mittlere im Widerstand umgesetzte Leistung.
Der Effektivwert u einer Spannung u berechnet sich in Anlehnung hieran als mittlerer Wert
der Spannungsquadrate: Sie wichten dabei jeden Wert u 2 gleichmäßig mit der
Intervallbreite dt und summieren alle Werte u 2⋅dt , die sich im Intervall 0...T befinden,
auf. Anschließend teilen Sie das Ergebnis durch T, so dass nur das mittlere u 2 übrig bleibt.
Der Faktor 1/R wird zu eins gesetzt:

T
1
u=
u 2 t dt

∫
T 0
Auch hier können Sie die Integrationsgrenzen frei wählen, solange die Integration insgesamt
über eine gesamte Periodendauer geht.
Aufgabe:
Betrachten Sie nochmals Abbildung 1 (Seite 1) und geben sie jeweils eine Formel (inkl.
Zahlenwerte und Einheiten) für die Spannungen u1 und u2 an. Bei u2 genügt es, wenn die
Formel für –T/2 ... T/2 stimmt.
u 1=
⋅sin t ; =
u 2=
⋅t
.
Messtechnik 3/7
Elektrotechnik für Maschinenbauer
Aufgabe:
Berechnen Sie jeweils den Effektivwert beider Spannungen! Als Hilfsmittel können Sie das
1
x
1
x
folgende Integral nutzen: ∫ sin²  x  dx=− sin  x cos  x =− sin 2⋅x  .
2
2
4
2
Fehlerquelle: Beachten Sie, dass es nicht um ∫ sin² t dt , sondern um ∫ sin² t dt
2
mit =
geht. Sie müssen eine entsprechende Substitution durchführen
T
(Substitutionsregel der Integralrechnung), da die Kettenregel bei der Ableitung der
Stammfunktion einen zusätzlichen Faktor  bringt.
u1=
.
u2=
.
Hinweis: Sie sehen am Ergebnis, dass der Effektivwert bei Sinusfunktionen tatsächlich um
1
den
Betrag
kleiner ist als der Spitzenwert.
2
Hinweis: Beachten Sie, dass der Faktor  3 nichts mit dem Faktor
dem Wechsel von Stern- in Dreieckschaltung benötigt wird!
Messtechnik 4/7
 3 zu tun hat, der bei
Elektrotechnik für Maschinenbauer
Gleichrichtwert: Mittelwert des Betrages
Der Gleichrichtwert ∣u∣ einer periodischen Funktion u ist der Mittelwert des Betrages.
Es gilt:
T
∣u∣ = 1 ∫∣u t∣dt
T 0
Aufgabe: Sie möchten den Gleichrichtwert einer Spannung u(t) messen. Ihnen stehen die
folgenden Instrumente zur Verfügung:
1) eine Spannungsquelle, die die Spannung u(t) bereitstellt
2) ein Dreheiseninstrument
3) ein Drehspulinstrument
4) vier ideale Dioden
5) ein Widerstand
Zeichnen Sie die zugehörige Schaltung und verwenden Sie dabei einen Grätz-Gleichrichter.
Aufgabe:
Unterscheiden sich der Gleichrichtwert und der arithmetische Mittelwert einer
Sägezahnspannung?
O Ja
O Nein
Unterscheidet sich der Gleichrichtwert der Sinusspannung (Abbildung 1a) vom
Gleichrichtwert der Sägezahnspannung (Abbildung 1b)?
O Ja
O Nein
Unterscheiden sich bei einer Sinusfunktion die Gleichricht- und die Effektivwerte?
O Ja
O Nein
Messtechnik 5/7
Elektrotechnik für Maschinenbauer
2. Messbrücke
Die Messtechnik befasst sich mit Geräten und Methoden zur Bestimmung physikalischer
Größen. In der elektrischen Messtechnik geht es vorwiegend darum, physikalische Größen in
elektrische Größen umzuwandeln, ehe sie weiterverarbeitet werden.
Exemplarisch behandeln wir die Temperaturmessung mithilfe einer Messbrücke.
Messbrücken sind Anordnungen von vier Impedanzen, die durch eine gemeinsame Quelle
gespeist werden. Über die Spannung UD – die sogenannte Diagonalspannung oder auch
Differenzspannung – macht man indirekte Aussagen über mögliche Abweichungen der
Impedanzwerte.
Wenn die Spannung UD=0 ist (man nennt sie auch „Diagonalspannung“) so sagt man, die
Messbrücke ist abgeglichen.
Aufgabe 5: Leiten Sie mithilfe der Spannungsteilerregel eine
Bedingung dafür her, dass die Brücke abgeglichen ist, d. h.
damit UD=0 ist. In die Gleichung gehen nur die vier
Impdanzen ein!
U0
Z1
Z2
UD
Z3
Z4
Abbildung 4: Typisches Aussehen
einer Messbrücke
Eine Brücke ist also abgeglichen, wenn die Produkte der Impedanzen „über Kreuz“ gleich
sind.
Im Ausgangszustand (beispielsweise bei =0 ° C ) ist eine Brücke in der Regel
abgeglichen. Die Diagonalspannung verändert sich dann (eineindeutig) mit der zu messenden
Größe.
Wir betrachten exemplarisch die Messbrücke der Klausuraufgabe (nächste Seite):
Wie bei Metallen üblich, steigt in unserem nächsten Beispiel der Widerstand mit steigender
Temperatur (vgl. nächste Seite). Die Diagonalspannung heißt in diesem Fall uA (A: Ausgang).
Steigt die Temperatur, so ____________________ (erhöht/vermindert) sich das Potential
links an der Basis des uA-Pfeils. Das Potential rechts an der Pfeilspitze von uA jedoch
_____________________ sich.
Die Spannung uA fällt also mit steigender Temperatur. In ziemlich guter Näherung ist sie zur
Temperatur proportional.
Messtechnik 6/7
Elektrotechnik für Maschinenbauer
Aufgabe 3: Messbrücke
(8 Punkte, 18 min)
Gegeben ist die abgebildete Brückenschaltung zur Temperaturmessung. Die
temperaturabhängigen Widerstände R(∆ ϑ ) bestehen aus Platin.
I
RN
R(∆ ϑ )
Ua
Uq
RN
R(∆ ϑ )
Uq = 5 V
RN = 100 Ω
R(∆ ϑ ) beträgt 100 Ω bei 0°C
∆ϑ = ϑ - ϑ0
ϑ …Temperatur in °C
ϑ 0 …Bezugstemperatur in °C
(Werkstoffwerte siehe Deckblatt!)
a.)
Wie groß ist der Widerstand R(∆ ϑ ) bei -10 °C? (1P)
R(-10°C-0°C) =
b.)
Berechnen Sie den Strom I, der bei einer Temperatur von 0°C fließt. (2P)
I=
c.)
Welche Leistung P wird bei 0°C an einem der Widerstände RN umgesetzt? (1P)
P=
d.)
Leiten Sie einen Zusammenhang her, der die Ausgangsspannung U a in Abhängigkeit der
Quellenspannung Uq und der Widerstände RN , R(∆ ϑ ) beschreibt. (2P)
Ua =
e.)
Welchen Werte haben der Widerstand R(∆ ϑ ) und die Temperatur ϑ , wenn die Spannung
Ua = -50 mV gemessen wird? (2P)
R(∆ ϑ ) =
ϑ =
Messtechnik 7/7
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