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Stephan Gerber, Lutz Heindorf
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Wintersemester 2014/15
Aufgaben zur Analysis I (Lehramt)
Vorschl¨
age zur Auswahl fu
¨ r das erste Tutorium
Aufgabe 0.1 Der grosse Kreis sei A, der kleine B. Schraffieren Sie
B\A
A\B
A∪B
A∩B
✬✩ ✬✩ ✬✩ ✬✩
✎☞
✎☞
✎☞
✎☞
✍✌
✍✌
✍✌
✍✌
✫✪ ✫✪ ✫✪ ✫✪
Aufgabe 0.2 Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
(a) ∅ ∈ ∅
(b) ∅ ⊆ ∅
(c) ∅ ∈ {∅}
(d) ∅ ⊆ {∅}
(e) ∅ = P(∅)
(f ) {∅} = P(∅)
Aufgabe 0.3 A und B seien beliebige Mengen. Wahr oder falsch?
(a) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) (b) P(A ∪ B) ⊆ P(A) ∪ P(B) (c) P(A ∪ B) ⊇ P(A) ∪ P(B)
(d) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) (e) P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∪ P(B) (f ) P(A \ B) = P(A) \ P(B)
Geben Sie alle 6 Antworten, beweisen Sie eine der g¨
ultigen Beziehungen und widerlegen Sie eine
falsche durch ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 0.4 Wahr oder falsch?
(a) (A \ B) \ C = A \ (B \ C),
(c) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
(b) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B
(d) A \ B = B ⇒ B = ∅
F¨
ur Aufgaben (a,b,c) benutzt man am besten sogenannte Venn-Diagramme. Man malt zweimal
drei Kreise f¨
ur A B und C und schraffiert (eventuell schrittweise) jeweils die auf der linken und
rechten Seite der angeblichen Gleichung stehenden Fl¨achen. Wenn beide Male die gleiche Fl¨ache
schraffiert ist, stimmt die Gleichung. F¨
ur die linke Seite von (c) entstehen schrittweise folgende
Bilder (Schraffur selbst erg¨
anzen):
A \ B schraffiert
(A \ B) \ C schraffiert
✤✜
✤✜
✤✜
✤✜
B
B
A ✤✜
A ✤✜
✣✢
✣✢
✣✢
C
F¨
ur die rechte Seite geht man so vor:
B ∪ C schraffiert
✤✜
✤✜
A ✤✜
B
✣✢
✣✢
✣✢
C
✣✢
✣✢
✣✢
C
A \ (B ∪ C) schraffiert
✤✜
✤✜
A ✤✜
B
✣✢
✣✢
✣✢
C
¨
Man sieht die Ubereinstimmung.
1
Diese Vennsche Methode sieht nicht besonders exakt aus. Sie ist es aber, wenn man aufpaßt, daß bei
¨
den gemalten Kreisen alle Uberlappungen
und Nicht¨
uberlappungen von A, B und C, die theoretisch
m¨
oglich sind auch tats¨
achlich auftreten. Das erkannt zu haben ist u
¨brigens das Verdienst des Herrn
Venn, der selbst von ‘Eulerschen Kreisen’ sprach. Schwierig wird die Methode, wenn vier oder mehr
Mengen beteiligt sind. Dann muß man statt der Kreise Ellipsen benutzen. Mit schlechten Bildern
kann man nat¨
urlich auch falsche Formeln ‘beweisen’.
Aufgabe 0.5 Wir betrachten die vier Abbildungen der Menge M der positiven reellen Zahlen
in sich, die durch folgende Vorschriften gegeben sind
q : x → x2
w:x→
√
b : x → 1 + |x − 1|
x + 25
(a) Finden Sie Formeln zur Berechnung von w ◦ b, k ◦ b
k:x→
1
.
x
und b ◦ k.
(b) Welche der Abbildungen sind injektiv/surjektiv/bijektiv?
(c) Bestimmen Sie die Umkehrabbildungen, sofern sie existieren.
Speziell zur Beantwortung von (b) hilft es, die Funktionsgraphen zu skizzieren.
Aufgabe 0.6 Wir betrachten zwei Abbildungen f : A → B und g : B → C.
Beweis oder Gegenbeispiel:
(a) f, g injektiv/surjektiv/bijektiv =⇒ g ◦ f injektiv/surjektiv/bijektiv.
(b) f injektiv und g surjektiv =⇒ g ◦ f injektiv.
(c) f surjektiv g injektiv =⇒ g ◦ f injektiv/surjektiv.
(d) g ◦ f surjektiv =⇒ g surjektiv/f surjektiv.
(e) g ◦ f injektiv =⇒ g injektiv/f injektiv.
Aufgabe 0.7 (Bilder und Urbilder)
f : A → B sei eine Abbildung, X1 , X2 ⊆ A, Y1 , Y2 ⊂ B. Wahr oder falsch?
(a) X1 ⊆ X2 ⇒ f [X1 ] ⊆ f [X2 ]
(b) Y1 ⊆ Y2 ⇒ f −1 [Y1 ] ⊆ f −1 [Y2 ]
(c) f [X1 ∪ X2 ] = f [X1 ] ∪ f [X2 ]
(d) f [X1 ∩ X2 ] = f [X1 ] ∩ f [X2 ]
(e) f
−1
[Y1 ∪ Y2 ] = f
−1
[Y1 ] ∪ f
−1
(f ) f −1 [Y1 ∩ Y2 ] = f −1 [Y1 ] ∩ f −1 [Y2 ]
[Y2 ]
(g) f [f −1 [Y1 ]] = Y1 ∩ f [A] ⊆ Y1
(h) f −1 [f [X1 ]] ⊇ X1
Geben Sie Beispiele, wo die in (g) und (h) erw¨ahnten Inklusionen echt sind.
Aufgabe 0.8 f : R2 → R2 sei definiert durch f (x, y) = (x, |y|). Anschaulich handelt es sich
um eine ‘Faltung’ an der x-Achse. Schauen Sie sich Bilder und Urbilder verschiedener Mengen
D ⊆ R2 an.
Was f¨
allt bei f −1 [D] auf?
Ist f inektiv, surjektiv?
Wiederholen Sie folgende Begriffe
Teilmenge, Durchschnitt, Vereinigung, Mengendifferenz, leere menge (∅), Potenzmenge, disjunkt,
Mengenprodukt
Abbildung , Bild- und Urbild f [X] und f −1 [Y ], f ◦ g, injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrabbildung
2
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Seele and Geist
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