close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Analysis11-13

EinbettenHerunterladen
Ziel
Vorhersagen von Vorgängen mit zusammengesetzten Funktionen.
Unterkapitel
 Graph
 Gleichung
 Fläche
gesucht
 Optimum gesucht
 Ableitungs- und Integrationsregeln
 Tipps zu bestimmten Funktionstypen
Kernidee
differenzieren integrieren
ableiten
„aufleiten“
1
:  =  3 −  2 + 
6
1
:  =  2 − 2
2
Y gibt die orient. Fläche
von 0 bis x an.
y gibt die Lage des Punktes an der Stelle x an.
y‘ gibt die Steigung
an der Stelle x an.
′: ′ =  − 2
y‘‘ gibt die Krümmung
an der Stelle x an.
 ′′ :  ′′ = 1
Beispiel a) Welche Informationen können wir über den Graph der Funktion f(x) = 0,5 x2 – 2x rechnerisch herausfinden?
Die y, y‘, y‘‘ und Y-Zahlen liefern die entscheidenden Hinweise:
y Zahlen
f(0) = 0
y‘ Zahlen
y‘‘ Zahlen
f´(0) = –2
f´´(0) = 1
f(1) = –1,5
f´(1) = –1
f´´(1) = 1
f(2) = –2
f´(2) = 0
f´´(2) = 1
f(4) = 0
f´(4) = 2
f´´(4) = 1
f(6) = 6
f´(6) = 4
f´´(6) = 1
daran lässt sich ablesen,
wo die Punkte von f liegen
daran lässt sich ablesen,
wo f steigt bzw. fällt
Y Zahlen
0
0 +  = ∫0  
1
F(1) = – 0,83̅ +  = ∫  
F(0) =
0
2
F(2) = – 2, 6̅ +  = ∫0  
4
F(4) = – 5, 3̅ +  = ∫0  
F(6) =
0
+
6
= ∫0  
daran lässt sich ablesen, wo f daran lässt sich die orient. Flälinks- bzw. rechts-gekrümmt ist che zw. f und x-Achse ablesen
Übung1 Bestimmen Sie mit Hilfe der nebenstehenden Tabelle jeweils f‘, f‘‘ und F.
a) () = 0,5 − 2 +  − 1
c) () = −2√ + 4 − 1
5
e) () = 3 3 −  2 + 2
b) () = − + 5 + 6
d) () = 2 2 + 2 − 4
f) () = ( 3 − 4)2
g) () = √ 4
h) () = 3 ∙ sin 
3
5
2
2

i) () =  2 ∙ √ 3
k) () = cos  + 2 ln 
3
Merke  Wann und von wem ist die Analysis II entwickelt worden?






−1
j) () = 3(√ 5 )
1
l) () = 4 ∙   +
4
x
xr
r∙x r-1
ex
ex
ex
x∙ln x – x
ln x
1
– cos x
a∙G
G+H
sin x
a∙g
g+h
g(h)
g∙h
cos x
a∙g‘
g‘ + h‘
g‘(h)∙h‘
g’h + gh‘
g
h
g'h - gh'
r+1

x
Grundfunktionen
b) Bestimmen Sie die Hoch-/Tief-/Sattelpunkte von f. f‘(x) = 0 ⇔ x-2 = 0 ⇔ x = 2. Bei x=2 hat f‘ einen -/+ Übergang ⇒ T(2|-2)
c) Bestimmen Sie die Wende-/Flachpunkte von f. f‘‘ ist nirgendwo gleich 0 ⇒ keine Wendepunkte
F
f
f‘
4
d) Bestimmen Sie den absoluten Flächeninhalt von 1 bis 4.  = |∫1   | =|F(4)-F(1)|=4,2 cm2
1
r+1
2
h
1700 Leibniz/Newton; 1750 Euler; 1850 Cauchy/Weierstraß
Was kann man mit den y-, y‘-, y‘‘- und Y-Zahlen ermitteln? Lage, Steigung, Krümmung und orient. Fläche des Graphen von f.
Wie findet man die Hoch-/Tief-/Sattelpunkte?
 ′ () = 0 ?  y-Koordinate berechnen  Typ ermitteln
Wie findet man die Wende-/Flachpunkte?
 ′′ () = 0 ?  y-Koordinate berechnen  Typ ermitteln
Wie bestimmt man den absoluten Flächeninhalt zw. 1 und 4? A = |F(4) – F(1)| ; das unbekannte c fällt damit weg
Nennen Sie f‘ und F zu den 12 Grundfunktionen. Wie bestimmt man f‘ und F bei zusammengesetzten Funktionen? s. Tabelle
integrieren („aufleiten“)
differenzieren (ableiten)
Aufgabe ↔ Ergebnis
Steigung
Krümmung
absoluter bzw.
orient. Flächeninhalt
Tiefstelle 2
r/ℓ-Wendestelle 8
Achtung: Mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren; c addieren.
Mit dem
alten Exponenten multiplizieren.

sin  ↔ ‘() = cos 
∫ 3 2 + 7  ↔ () =  3 + 7 + 

Vorstellung: Den Graph von links nach rechts entlangfliegen; Kopf unten oder oben?
Steigung –2 bedeutet bei einer Geraden: pro 1 Einheit nach rechts geht‘s 2 Einheiten nach unten
Vorstellung: Den Graph mit dem Fahrrad entlangfahren; Lenkrad links oder rechts eingeschlagen?
Krümmung –3 bedeutet rechtsgekrümmt. Eselsbrücke: bei – denkt man an runter, wie rechts.
Beim absoluten Flächeninhalt werden die Flächenteile über und unter der x-Achse beide positiv
gewertet und summiert. Beim orientierten zählen die Flächen unter der x-Achse negativ.
bedeutet: f‘ (2) = 0 und f‘ hat an der Stelle 2 einen -/+ Übergang
bedeutet: f‘‘(8) = 0 und f‘‘ hat an der Stelle 8 einen -/+ Übergang
1
Graph gesucht
Ziel
Anhand der Funktionsgleichung die wichtigsten Punkte des Graphen ermitteln können.
Beispiel
:  =  5 −  3
5
3
(S)
(R)
(N)
(W)
Übung2
5
3
3
lim  = −∞;
(), 
(hier direkt erkennbar, da
−(), 
alle Exponenten ungerade sind)
Es genügt, nur den Ausdruck mit dem höchsten
Exponenten zu betrachten.
(−) = {
lim  = ∞
→−∞
() = 0 ⇔
⇔
⇔
⇒
(H)
5
(−) = (−)5 − (−)3 = − ( 5 −  3 ) = −() ⇒ 
′() = 0 ⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
‘‘() = 0 ⇔
⇔
⇔
⇒
→∞
 (1) x Ausklammern (2) abc-Formel
(3) Substitution
(4) mit TR/PC
 Tipp: In Linearfaktor-Schreibweise lassen sich
mehrfache Nullstellen erkennen:
f(x)=(x+3)3(x-3)(x-1)2
5
 3 ( 2 − ) = 0
3
 = 0   = ±√5/3
 ≈ −1,29   = 0   ≈ +1,29
(−1,29|0)
(0|0)
(1,29|0)
5 4 − 5 2 = 0
5 2 ( 2 − 1) = 0
 = 0   = ±1
 = −1   = 0
2
(−1| )
(0|0)
+/–
3

 = +1
2
(1 | )
–/–
3
–/+
3
20 − 10 = 0
10(2 2 − 1) = 0
 ≈ −0,71
  = 0
(–0,71|0,41)
(0|0)
–/+
  ≈ 0,71
(0,71|–0,43)
–/+
+/–
Bei Aufgabe h)-k) dürfen die Nullstellen von f, f‘ und f‘‘ mit dem PC bestimmt werden (mathematics, geogebra, wolframalpha.com).
a) () = 3 2 − 3 − 6
b) () =
1
6
d) () = −2 4 + 4 3
e) () =
1
g) () = 0,1( 2 + 1)2
h) () = ( + 6)2 ( + 1)( − 1)
j) () =  4 − 8 3 + 24 2 − 32 + 18
k) () =
*l) () =  ∙ 
*m) () = 3 ∙  −

 3 – 3 2 + 2
20
1
900
1
c) () = –  3 +  2 + 2
1
f) () = ( + 1)2 ( – 2)
5 − 3
6
6
i) () = ( + 1) ∙  2 ∙ ( − 3)3
(2 5 + 35 4 + 200 3 + 520 2 )
*n)() =  ∙ ln( 2 + 1)
2
*o) () =  2 ∙ sin(−3)
Optimum gesucht *
Ziel
Optimierungsprobleme lösen können.
Beispiel
Eine Sportanlage mit einer
Laufbahn mit 400m Länge soll
so angelegt werden, dass die
Fläche A des eingeschlossenen Rechtecks als Fußballfeld
möglichst groß wird.
gesuchte Größe
x : Radius [m]
zu optim. Größe A(x) = 2x∙b
NB 400 = 2b+2πx
= 400x–2πx2
A‘(x) = 0 ⇔ 400–4π x = 0
Spielfläche
⇔ x = 11/π ≈ 31,8 m
⇒ H(31,8|3183)
da A‘ dort ein +/- Übg hat
Übung3 Optimum gesucht
a) Aus einer quadratischen Pappe der Seitenlänge 20 cm soll
durch Aussparen von Quadraten an allen vier Ecken eine oben
offene Schachtel mit möglichst großem Volumen gefaltet werden.
b) Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers
ohne Deckel mit dem Volumen 1000 l gewählt werden, damit
der Blechverbrauch minimal ist?
c) Aus einem rechteckigen DIN-A4-Karton werden an den Ecken
Quartarte der Seitenlänge x ausgeschnitten und die über-stehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?
d) Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße
gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45 m2 der Umfang am kleinsten wird?
e) Eine Elektrofirma verkauft monatlich 5000 Stück eines Bauteils zum Stückpreis von 25€. Die Marktforschungsabteilung dieser Firma stellte fest, dass sich der durchschnittliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von 1€ um jeweils 300
Stück erhöhen würde. Bei welchem Stückpreis sind die monatlichen Einnahmen am größten?
*
2
Diese Aufgaben und dieses Thema werden erste nach den „Ableitungsregeln“ behandelt.
Gleichung gesucht
Ziel
Anhand von Informationen über den Graph die Funktionsgleichung ermitteln.
Beispiel a) Normaler Lösungsweg:
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4-ten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und in P(2|0) eine
4
Wendetangente mit der Steigung − hat.
3
() =  4 +  2 + 
 ′ () = 4 3 + 2
 ′′ () = 12 2 + 2
(2) = 0
16 + 4 +  = 0
 = 1⁄48
4
4
= − ) ⇔ (  = − 1⁄2)
(  ′ (2) = − 3) ⇔ ( 32 + 4
3
 = 5⁄3
48 + 2
= 0
 ′′ (2) = 0
⇒ () =
b) Schnelle Lösung, falls Nullstellen bekannt:
Bestimmen Sie die Gleichung der linken
Funktion von Übung 5a), die durch den
Punkt B(-5|2,7) verlaufen soll.
1
48
1
5
2
3
4 − 2 +
() = ( + 6)( + 4)( + 2)2
(−5) = 2,7 ⇔  ∙ 1 ∙ (−1) ∙ 9 = 2,7 ⇔  = −0,3
⇒ () = −0,3( + 6)( + 4)( + 2)2
Übung4 a) Welche punktsymmetrische Funktion 3. Grades hat bei 1 einen Tiefpunkt und verläuft durch A(2|2)?
b) Welche ganzrationale Funktion 3. Grades hat an der Stelle –2 einen Tiefpunkt, eine Wendestelle bei –2/3 und verläuft durch
die Punkte A(–1|5) und B(1|–1)?
c) Für welche ganzrationale Funktion 2. Grades gilt: f(0) = f(2) = 0 und f'(1) = 0?
d) Bestimmen Sie eine Funktion 3. Grades, die (i) durch A(2|0), B(–2|4) und C(–4|8) geht und einen Tiefpunkt auf der y-Achse hat
(ii) durch A(2|2) und B(3|9) geht und den Tiefpunkt T(1|1) hat.
e) Welche Funktion 3. Grades verläuft durch A(-1|11), besitzt in W(2|0) einen Wendepunkt und hat an der Stelle 3 ein Maximum?
f) Wie verändert sich die Fkt-gleichung, wenn der Graph um +2 in x- und in y-Richtung verschoben und an der x-Achsel gespiegelt wird. Welche achsensymmetrische Funktion schneidet die y-Achse bei –1 und hat H(1|–3) als Hochpunkt?
g) Welche ganzrationale Funktion 4. Grades hat den Tiefpunkt P(–4|6) und den Wendepunkt Q(4|2) mit waagerechter Tangente?
h) Welche ganzrationale Funktion 4. Grades hat im Koordinatenursprung als Wendetangente die 1. Winkelhalbierende und im
Punkt P(2|4) die Steigung 0?
i) Geben Sie die Gleichung einer ganzrat. Funktion an, bei der ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt auf gleicher Höhe liegen.
Übung5 a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen nebenstehender Graphen
vom Grad 4 bzw. 5, wenn folgende Punkte jeweils gegeben sind:
A(1|2,56); B(–5|2,7); C(–2|–1,92); D(2|–3,2); E(5|–3.2)
b) Zeichnen Sie eine Funktion, die eine 1-fach, 2-fach und eine 3-fach
Nullstelle besitzt und geben Sie die jeweilige Gleichung dazu an.
c) Skizzieren Sie mit Hilfe der in der Tabelle gegebenen Informationen
jeweils einen möglichen Verlauf des Graphen und geben Sie eine
mögliche Funktionsgleichung an.
Die Funktion f1 hat den Grad 3, besitzt Nullstellen bei –2, 1 und 3.
Ihr Graph schneidet die y-Achse im Punkt P(0|1,5)
Die Funktion f2 hat den Grad 4 und genau eine zweifache Nullstelle. Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse
Die Funktion f3 hat den Grad 4 und besitzt eine zweifache Nullstelle
bei –7. Ihr Graph verläuft nur in zwei Quadranten.
Die Funktion f4 hat den Grad 5 und besitzt mind. eine zweifache
Nullstelle. Ihr Graph verläuft nicht im III. Quadranten.
Die Funktion f5 hat den Grad 4, besitzt drei Nullstellen und ihr
Graph verläuft durch den Punkt A(2|1)
d) Wie lautet die Funktionsgleichung einer Funktion, die im Vergleich zu f: y = x2 + 4x – 3 um 2 Einheiten nach rechts, um 5
nach oben verschoben und an der x-Achse gespiegelt ist?
e) (i) Bestimmen Sie zuerst anhand des Graphen von f, welcher Grad, welche Nullstellen und welche Lücken f‘ haben muss.
(ii) Finden Sie damit das zugehörende f‘ heraus und bestimmen Sie mit f‘ die Gleichung der abgebildeten Funktion f.
3
Fläche gesucht
Ziel
Flächeninhalt von allen krummlinig-begrenzten Figuren bestimmen können.
Beispiel Die 4 Aufgabentypen des Unterkapitels
F
Bestimmen Sie die Stammfunktion
von f(x) = 0,5x2 – 2x.
Bestimmen Sie den orient. Flächeninhalt
von 1 bis 6.
ges.
∫
ges.
A
ges.
1
1
() = ∫  2 − 2  =  3 −  2 +  *
2
61
∫1 2  2
Bestimmen Sie den absolut. Flächeninhalt
6
1
6
6
1
− 2  = [  3 − 2 + ] = 0 − (−0,83̅) = 0,83̅  2
4
6
a)  = |∫1   | + |∫4   | = |F(4)-F(1)|+|F(6)-F(4)| = 9,83̅ 2
a) von 1 bis 6
1
b) zw. f(x) und g(x) = 2 – x
−1
da h := f – g die Nullstellen bei ±1 hat
∞
Der Graph von f(x)=x+2 rotiert um die x-Achse.
ges.
c)
e)
6
∫2 ( 2 − 4)
3
∫−1( 2 + 8

5
b)
∫ − 2 + 5 + 6 
d)
∫1 (2 2 + 2 − 4) 
f)
− 4) 
1
1
5
3
0
 =  ∫0 ( + 2)2  =  [  3 + 2 2 + 4 + ]
Bestimmen Sie das Volumen von 0 bis 5.
Übg.6 a) ∫ 0,5 3 − 2 2 +  − 1 
= 2, 3̅  2
c)  = ∫1  −2  = [− −1 + ]1∞ = − − (−1−1 ) = 1  2
∞
c) unter f(x) = x – 2 von 1 bis ∞
V
1
2
b)  = ∫−1 2 2 − 2  = [  3 − 2 + ]
3
2
3
2
∫0 ( 3
− 2) 
5
g) ∫ −2√ + 4 − 1 
h) ∫ 3 3 −  2 + 2 

i) Bestimmen Sie die jeweiligen absoluten Flächeninhalte bei den Aufgaben c) – f).
j) () =  2
l) () =  3
n) () =  − 4 + 3
4
2
() = 2 −  2
k)
() = 
m) () =  3 − 3
2
() = − + 7
∞ 1
p) ∫1
r)
t)
o)
() =  3
() = 0,5( − 2) + 3,5 () =  + 3
−1
∞

∞
∫0  − 
0
1
∫−1 √+1 
s)
u)
() = 2 2
2
q) ∫1 (√ 3 )

2
() =  2
∞
∫0 
∙
− 2


2
() =  + 1
rotiert von 0 bis 3
Merke  Wie werden die Stammfunktionen F ermittelt?
Exponent erhöhen | mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren | c addieren
Tipp: F abgeleitet muss wieder f ergeben; evtl. Probe durchführen.
 Was kann man anhand der y-, y‘-, y‘‘- und Y-Zahlen erkennen? Lage, Steigung, Krümmung und orient. Flächeninhalt des Graphen von f.
5
 Wie wird der orientierte Flächeninhalt ermitteln? ∫−3   = (5) − (−3)
Zuerst die obere (rechte) Grenze einsetzen! c fällt weg!
 Wie wird der absolute Flächeninhalt ermitteln? Nullstellen bestimmen und die orientierten Flächen dazwischen berechnen
5
 Vereinbarung: Orientierte Flächen werden m. H. eines langen S (genannt Integralzeichen) beschrieben: ∫−3   sprich: Das Integral
von –3 bis 5 zw. f dx.
 Bezeichnungen:
F
orientierter
Flächeninhalt
Integral
5
∫  
−3
∫  
Bezeichnet diejenigen Funktionen, die abgeleitet wieder f ergeben
F liefert den orient. Flächeninhalt bis auf eine Konstante c genau.
Meint die Summe der negativen (unter der x-Achse) und der positiven (über der x-Achse) Flächeninhalte.
Ein anderes Wort für „orientierter Flächeninhalt“
Bezeichnet den bestimmten orient. Flächeninhalt von –3 bis 5 zwischen f und der x-Achse.
Bezeichnet den unbestimmten orientierten Flächeninhalt, also die
Funktion, mit der man diesen ermitteln kann, also F.
 Wie lautet die einzeilige Kurzschreibweise beim Berechnen best. orient. Flächeninhalte? ∫−1 3 2  = [ 3 + ]4−1 = 64 − (−1) = 65 2
2
3
 Wie wird die zwischen f und g eingeschlossene Fläche ermittelt?
h(x) ≔ f – g; Nullstellen von h(x); A=|∫1 ℎ | + |∫2 ℎ |
2
 Wie wird die Fläche zwischen 1 und ∞ ermittelt?
∞
A = ∫1  −2 ; prüfen, ob ein endlicher oder unendlicher Flächeninhalt entsteht
 Wie wird das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse ermittelt?
 Wie wird das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse ermittelt?
*
6
 =  ∫1  2 
6
 =  ∫1 ( −1 )2 
−1
Bem1: Bei negativen x-Werten, etwa x = –1, ist die obere Grenze kleiner als die untere: (−1) = ∫0   = −1,16̅; es wird also von rechts nach links integriert.
Immer dann liefert F die orientierte Fläche mit umgekehrtem Vorzeichen. Obwohl die Fläche von 0 bis –1 also oberhalb der x-Achse liegt (s. Graph), wird mit
−1,16̅ ein negativen Wert ausgegeben. Bem2: Die Stammfunktion F (x) liefert den orient. Flächeninhalt von 0 bis x, bis auf eine Konstante c genau. c braucht
man nicht zu kennen, im obigen Beispiel muss jedoch c = 0 gelten, da F(0) = 0 + c ergibt und die orientierte Fläche von 0 bis 0 gleich 0 sein muss.
4
Ableitungs- und Integrationsregeln
Ziel Zusammengesetzte Funktionen vom Typ g(h), g∙h und g:h ableiten und integrieren können.
Beispiel
Kettenregel
() = ( 2 + 7)3
⇒ ‘() = 3( 2 + 7)2 ∙ (2 + 7)
F
f
f‘
xr+1
xr
r∙x r-1
ex
ex
ex
x∙ln x – x
ln x
1
– cos x
a∙G
G+H
sin x
a∙g
g+ h
cos x
a∙g‘
g‘ + h‘
g(h)
g‘(h)∙h‘
g∙h
g’h + gh‘
g
h
g'h - gh'
v(t)
W(s)
a(t)
F(s)
1
r+1
Produktregel
2
() =  ∙ ()
2
⇒ ‘() = 2 ∙ () +  ∙ ()
⇒  ′ () =
ln 
1
2∙ln − 2 ∙

2
(ln )
=
2∙ln −
(ln )2
Kettenregel
„rückwärts“
∫ (3)  = 3 ∫ (3) ∙ 3  = − 3 (3) + 
Produktregel
„rückwärts“
∫ 3 ∙ ()  = − () ∙ 3 − ∫ −() ∙ 3 
= −3   + 3   + 
Substitution*
1
2 2+3
∫0 (5+2)2
 =
∫g(h)∙h‘= G(h)
∫g∙h= Gh-∫Gh‘
∫ f = ∫f(h)h‘
1
12 2⁄25 +11⁄25

∫2
2
=[
2
25
ln  −
11 12
]
25 2
s(t)
x
Zusammengesetzte Funkt.
Quotientenregel () =
2
2
Gesamtänderung
h
Änderungsrate
= 0,33
u := 5x + 2 ⇒ x = 0,2u – 2 ⇒ h‘(u) = 0,2
Übung7
Bestimmen Sie f‘ zu denen in Übung9 gegebenen Funktionen.
Übung8
Bestimmen Sie f‘ zu denen in Übung10 und Übung11 gegebenen Funktionen.
Übung9
a) ∫0 (2 + )3 
2
9
e) ∫0 25√ 
9
h) ∫− cos(3) 
d) ∫0 sin(3 − ) 
g) ∫0 15 0,5 
2
j) ∫1
3
(2−3)

m) ∫(4 − 3 2 )2 
Übung10 a) ∫
3
5
(4−5)4

1

(+1)2
9
f) ∫0  2+1 

i) ∫1 1 + 
k) ∫
n) ∫
3 4 −2 3
2
4
2
o) ∫
3
b) ∫  2 ∙   +1 
4
g) ∫ 3 ∙ () 
h) ∫ 5 ∙
∙ln()
1

 3 −2 2 +−5
l) ∫


√1+2 2
e) ∫
m) ∫  ∙ (2) 
c) ∫0
9
d) ∫ (25 − 15) 
j) ∫ 2 ∙ (0,5) 
2
b) ∫2 (1 + 12) 
−2
−2
(4−3 2 )2


c) ∫  3 ∙ ( 4 ) 
f) ∫


2+ 

i) ∫ 4 ∙  2+2 


k) ∫ () cos() 
l) ∫  2 ∙ ( + 1) 

1
n) ∫ ∙ () 
o) ∫  3 
( +3)

p) ∫  ∙ (1 +  2 ) 
Übung11* a) ∫
2+3
(5+2)2
2 5 2 +
d) ∫1
2−1
7

b)∫0,5

e) ∫4
6

√4−1
4
c) ∫0

2−1
 2 −6+9

ln 2  4
f) ∫0

Kurvenlänge und Mittelwert
g) Die Randfunktion einer Skateboard Halfpipe beträgt () = −
4
1+2√
1
(−4,5)
 2 +3
µ

1
b–a
ges. (Mittelwert)
·∫f
(mit 0  x  4). Bestimmen Sie die Länge der Bahn.
h) Bestimmen Sie zur Parabel y = x2 die Länge des Parabelbogens zwischen den
1 + (f ')2
ℓ ges. (Kurvenlänge)
Punkten A(3|9) und B(5|25).
i) Ein Skifahrer wedelt einen 200 m langen Hang entlang der Sinuskurve hinunter. Wie lang ist seine zurückgelegte Strecke?
j) Bestimmen Sie bei Aufgabe a) bis c) den jeweiligen durchschnittlichen Funktionswert.
Von der Änderungsrate zur Gesamtänderung
k) Der Schadstoffausstoß q eines Kraftwerks ist abhängig von der Zeit t und bemisst sich nach folgender Funktion: q(t) =
5sin(0,25t)+10 [in g/h]. Bestimmen Sie die in 24 Stunden insgesamt ausgestoßene Schadstoffmenge.
1
l) Ein Käfer bewegt sich mit der Geschwindigkeit v(t) =
[in m/h]. (i) Welche Strecke legt der Käfer in einer Stunde zurück?
∫
1+t
(ii) Zu welcher Zeit (0 ≤ t ≤ 1) ist die Beschleunigung des Käfers nur noch halb so groß wie zur Zeit t = 0?
*
Dieses Thema und diese Aufgaben werden nicht im Grundkurs behandelt.
5
Tipps zu bestimmten Funktionstypen
Ziel Graph, Gleichung u. Fläche bei Gebrochenrationalen -, Exponential- und Trigonometrischen-Funktionen schnell finden können.
Tipps
Tangentengleichung
() =  + 
Umkehrfunktion f-1
Werden über ein
LGS ermittelt:
 +  = ()
() = ()
=⋯
(
)⇔(
)⇔(
)
=⋯
 = ′()
′() = ′()
 Wie werden sie ermittelt?
x und y vertauschen, dann y alleine stellen
 Wie ähneln sich die Graphen von f und f-1 ?
Spiegelung an Winkelhalb.
1
 Unterscheide: x-1 und f-1
 −1 ≠ 1

Gebrochenrationale
Funktionsschar fk
Ortskurve
Schreibweisen prüfen:
3
() = 2
6 − 54
Exponential-
Normale Schr. (zum Ableiten s. links)
Faktor-Schr. (für Nullstellen u. Lücken s. rechts)
Summen-Schr. (für Randnäherungskurve s. rechts)
() =
3
6( − 3)( + 3)
1
3
≈ +
6
2( 2 − 9)
 Betrachte Zähler- und Nenner-Grad: ZG > NG ⇒ lim  = ± ∞
→∞
ZG < NG ⇒ lim  = 0
(R) Verhalten am Rand
→∞
ZG = NG ⇒ lim  = 
→∞
(R) Verhalten an Lücken
(N)
Trigonom.
 Wann benötigt man f-1?
z.B. bei Rotation um y-Achse
 Eine Funktionenschar ist eine Gruppe ähnlicher Funktionen.
Erfordern viele Fallunterscheidungen, wenn k negativ sein darf.
 Extremstellentyp notfalls ermitteln mit: f‘‘(x0) < 0 ⇒ H
Wendestellentyp notfalls ermitteln mit: f‘‘‘(x0) < 0 ⇒ lrW
Merke: auf dem Zahlenstrahl liegt z.B. 0,5∙k links von k, falls k⋲ℝ+
 Bestimme die Ortskurve durch alle Hochpunkte.
x = -2k ⇒ k = -0,5x
H(-2k|16k3)
y = 16k3 ⇒ y = 16∙(-0,5x)3 = - 2x3
 Randnäherungskurve (ZG > NG) ermitteln
mit Polynomdivision
Liegt eine gerade-, ungerade- oder Loch-Lücke vor? hier ungerade Lücke
Nur in der Faktorschreibeweise sind Lochlücken erkennbar. Man sieht dann,
dass sich der entsprechende Faktor im Nenner komplett weg kürzt .
Liegt eine lineare-, quadrat.- oder kubische Nullstelle vor? Nur in der Faktorschreibweise erkennbar. Im obigen Bsp. liegt eine kubische Nullstelle vor.
Schreibweisen prüfen
() = 2
 ′ () =?
Vor dem Ableiten ex unbedingt ausklammern und zusammenfassen!
Basentransformation:
() = log 3 
(R) Verhalten am Rand
() =  ∙ sin(( + )) + 
() = 2 =  x∙ln 2
() = log 3  =
ln 
⇒  ′ () = ln 2 ∙  ∙ln 2
⇒  ′ () =
ln 3
1
∙ln 3
lim   ∙  4 = 0; Im Unendlichen gilt: ex „stärker als“ xn „stärker als“ ln x
→−∞
vertikale Verschieb.:
d
horizontale Verschieb.: -c
Amplitude:
a
Periode:
b∙Periode = 1∙2π
Übung
2 +2
1 Bestimmen Sie a, b und c in () = (+)(−)
so, dass der
direkt ablesbar
berechenbar mit antiprop. Dreisatz
3 Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graph?
dargestellte Graph entsteht.
2 Bestimmen Sie die Gleichung der ersten Funktion und verändern Sie diese so ab, dass die übrigen Graphen entstehen.
f1(x) =
f4(x) =
3−2
2−2
1
sin( )
2
f2(x) =
f5(x) =
3
1−
2−1
(−1)2
f3(x) =
f6(x) =
32
2 +1
(−1)2 1
−
4
2
4 Skizzieren Sie den Graph so genau wie möglich.
a) f(x) =
c) f(x) =
6
2−3
+1
1
2
−1−
2
3+2
b) f(x) =
d) f(x) =
1,5
2 −1
2 −4
22 + 1
e) f(x) =
4−2
2 −2−3
f)f(x) =
g) f(x) = e – e –20x
i) f(x) = 2 cos(x)
j) f(x) = –x3 + x2 + 2x
l) f(x) = e2x – 4ex
2x
n) f(x) =
9 Bestimmen Sie die Tangentengleichung und an der Stelle u.
22 − 1
 −2
h)f(x) = e + 4x – 12e
j) f(x) = x + sin(x)
k) f(x) = ex(x2 – x)
m) f(x) = (x2 – 9)–1
x
2x

o)f(x) =

2
x
1
 + 1
a) Untersuchen Sie ft(x) =




−2

10 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x2-3. Bestimmen Sie alle
Punkte des Graphe, dessen Tangenten den unteren Punkt enthalten. a) A(2|-3)
b) A(2|-9/8)
a) f(x) = x2 + 1 (a=1; b=5)
auf Extrempunkte.
b) Untersuchen Sie ft(x) =(x–1)e–tx auf gem. Punkte.
c) Gegeben sei ft(x) =
b) f(x) = x3 + 2x ; u = 1
11 Bestimmen Sie das Volumen bei Rotation um die y-Achse.
5 Funktionenschar und Ortskurve
(t–x)ex
a) f(x) = x2 - x ; u = -2
  
b) f(x) = 4/3 x2 (a=0; b=12)
12 Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der nachfolgenden Graphen.
Zeigen Sie, dass alle ft durch (0|0) verlaufen.
Bestimmen Sie Extrem- u. Wendepunkte.
Skizzieren Sie f2 und f–2
Bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte.
6 Skizzieren Sie jeweils den Graph von f':
7 Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktionenschar.
a)  () = 10 ∙  −
5
c)  () = 
b)  () =  + ∙  2

d)  () = 3 ∙ sin
e)  () =
f) () =  ∙ ln( + ) − 0,5
∙
2

− ln()

8 Bestimmen Sie die jeweilige Funktionsgleichung.
.
7
Document
Kategorie
Kunst und Fotos
Seitenansichten
34
Dateigröße
1 042 KB
Tags
1/--Seiten
melden