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INFO zur VU 835.104 (WS 14/15) - Webseiten der

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INFO zur VU 835.104 (WS 14/15)
f¨
ur alle Studierenden der Forstwirtschaft
sowie der Holz- und Naturfasertechnologie
im 1. Semester an der BOKU
Herzlich willkommen an der Universit¨
at f¨
ur Bodenkultur!
Auf dieser Seite finden Sie kurz gefaßt die wesentlichen Informationen
zu Ihrer Grundausbildung im Pflichtfach Mathematik an der BOKU.
Am Ende der dieser Seite angeh¨angten Aufgabensammlung der ersten
Semesterh¨
alfte finden Sie den detaillierten Modus der Lehrveranstaltung.
Vorlesungs¨
ubung Mathematik I (VU 835.104) – Pflichtlehrveranstaltung
(3 Semesterwochenstunden, immanenter Pr¨
ufungscharakter, Anwesenheitspflicht)
Lehrveranstaltungsleiter: Ao.Univ.Prof. Mag. Dr. Gerald Kuba
Die VU (insgesamt 45 akad. Stunden) besteht aus einem 1-st¨
undigen Vorlesungsteil,
¨
der auf die zweite Semesterh¨alfte geblockt wird, und einem 2-st¨
undigen Ubungsteil
w¨
ahrend des ganzen Semesters, der aufgrund der Pr¨
ufungstermine 28. November und
30. Januar und wegen des Ausfalls am 3. Oktober ebenfalls geblockt wird.
→ Vorlesungsteil immer am Donnerstag 14:15 - 15:45 in EH 04
¨
→ Ubungsteil
immer am Freitag und zwar 17:00 - 18:40 w¨ahrend STEOP
sowie 16:00 - 18:00 nach STEOP
¨
Im Ubungsteil
(drei Gruppen) f¨
uhren die Studierenden vorbereitete Aufgaben freiwillig an
¨
der Tafel vor und erkl¨aren sie (unterst¨
utzt vom Ubungsleiter)
ihren Kollegen.
In der ersten Semesterh¨
alfte werden nur Aufgaben durchgenommen, die mit ausreichenden
Kenntnissen und Fertigkeiten aus der Schule ohne Schwierigkeiten bew¨altigbar sind. F¨
ur
Studienanf¨
anger mit unzureichenden Mathematik-Vorkenntnissen wird der Mathematik
Br¨
uckenkurs (VO 835.091, freiwillig, 1 SWSt.) angeboten. Diese Vorlesung wird auf die
erste Semesterh¨
alfte geblockt und am 6./13./20./27. Oktober sowie am 3. November
von 16:15 bis 17:45 in EH 01 und am 6. und 13. November von 14:15 bis 15:45 in
EH 04 abgehalten.
→ Beginn des Br¨
uckenkurses:
Montag, 6. Oktober
BEGINN der Pflichtlehrveranstaltung:
Freitag, 10. Oktober
(Erster Vorlesungsteil der Pflichtlehrveranstaltung:
20. November)
ZWISCHENTEST am 28. November von 16:30 bis 17:45
ABSCHLUSSTEST am 30. Januar von 16:00 bis 17:40
• Das Skriptum zu Br¨
uckenkurs + VU ist in der Lehrmittelstelle (”BOKU Shop”)
Peter-Jordan-Straße 76 erh¨altlich.
Diese Webseite stammt vom Institut f¨
ur Mathematik der Universit¨
at f¨
ur Bodenkultur Wien (BOKU).
Siehe daher http://www.boku.ac.at/ f¨
ur Impressum und weitere Informationen.
Aufgaben zur 1. UE-Einheit am 10. Oktober 2014
1. Rampen f¨
ur Rollstuhlfahrer sollten nicht steiler als 6 Prozent sein. Wie lange muß
die (schr¨
age) Rampe mindestens sein, wenn sie den H¨ohenunterschied 175 Zentimeter
u
¨berwinden helfen soll.
2. Eine Gerade (im x, y-Koordinatensystem) ist durch die Gleichung 3x + 4y = z
festgelegt. Geben Sie drei Punkte an, die auf der Geraden liegen, sowie zwei Punkte, die
nicht auf der Geraden liegen.
3. Eine Ellipse (im x, y-Koordinatensystem) ist durch die Gleichung 3x2 + 4y 2 = 7
festgelegt. Geben Sie mit minimalem Aufwand vier Punkte an, die auf der Ellipse liegen,
sowie vier Punkte, die nicht auf der Ellipse liegen.
4. Begr¨
unden Sie warum eine in der Form ax + by = c gegebene Gerade auch durch
eine Gleichung der (in der Schule oft verwendeten) Form y = kx + d beschrieben werden
kann, sofern die Gerade nicht vertikal steht, also nicht parallel zur y-Achse ist.
5. Stellen Sie fest, ob die drei Punkte A(12, 21) und B(123, 321) und C(1234, 4321) auf
einer gemeinsamen Geraden liegen.
6. Zeichnen Sie die durch 3x − y = 4 und 4x + y = 5 festgelegten Geraden und
berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts derselben.
7. Gegeben sind die vier Punkte A(0, 0) , B(7, 0) , C(8, 3) , D(0, 9) . Ermitteln Sie den
Schnittpunkt der Geraden durch A und C mit der Geraden durch B und D .
8. Begr¨
unden Sie unter Berufung auf den pythagoreischen Lehrsatz anhand einer Skizze,
daß der Abstand zweier Punkte A(a1 , a2 ) und B(b1 , b2 ) exakt
(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2
betr¨agt.
9. Berechnen Sie (bezugnehmend auf Aufgabe 8) den Umfang des Dreiecks mit den
Eckpunkten A(0, 0) und B(17, 2) und C(−1, 13) .
10. Erkl¨
aren Sie (bezugnehmend auf Aufgabe 8), daß (x − a)2 + (y − b)2 = r2 die
Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt M (a, b) und Radius r ist. (Skizze!)
11. Zeigen Sie (bezugnehmend auf Aufgabe 10), daß die durch x2 + y 2 + 2x + 6y = 14
festgelegte Kurve ein Kreis ist und bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius desselben.
12. Ein Kreis k ist durch x2 + y 2 = 25 festgelegt. Es sei g die Gerade durch den Punkt
P (6, 8) und den Mittelpunkt M von k . Bestimmen Sie die beiden Schnittpunkte von g
mit k . Mit der dadurch gewonnenen Information sind ferner die beiden Schnittpunkte
von h mit k zu bestimmen, wobei h die Normale auf g durch M ist.
13. Ein Kreis k1 bzw. k2 ist durch den Mittelpunkt M1 (−2, 0) bzw. M2 (7, 0) sowie
durch den Radius r1 = 5 bzw r2 = 6 festgelegt. Bestimmen Sie (bezugnehmend auf
Aufgabe 10) die beiden Schnittpunkte von k1 mit k2 . Stellen Sie ferner eine Gleichung
der Geraden durch die beiden Schnittpunkte auf.
14. Auf einem kreisf¨ormigen Platz mit Durchmesser d wird eine Arena errichtet, die
rundum von einem konstant breiten Zuschauerraum umgeben wird, der exakt a) die H¨alfte,
b) ein Drittel, c) ein Viertel, d) ein F¨
unftel des Platzes einnimmt. Berechnen Sie die Breite
des Zuschauerraums mit einer einzigen Rechnung (und nicht mit einer unn¨otig langen
Akkumulation von vier getrennten Rechnungen).
15. Berechnen Sie m¨
oglichst einfach anhand einer Skizze den Fl¨acheninhalt des Dreiecks
mit den Eckpunkten A(−7, 0) und B(8, 0) und C(0, 5) .
Aufgaben zur 2. UE-Einheit am 17. Oktober 2014
Die Steigung k einer nichtvertikalen Geraden g in der x, y-Ebene ist durch
−y1
k = xy22 −x
gegeben, wobei (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) zwei (verschiedene) Punkte
1
auf g sind, die v¨
ollig beliebig gew¨ahlt werden k¨onnen.
−y1
16. Begr¨
unden Sie elementargeometrisch, warum die Steigung k = xy22 −x
eindeutig be1
stimmt, dh. unabh¨
angig von der Wahl der Punkte (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) ist. (Unterscheiden
Sie dabei die F¨alle x1 < x2 und x1 > x2 !)
17. Begr¨
unden Sie, warum die Zahl k in der Geradengleichung y = kx + d die Steigung
der Geraden ist. Geben Sie ferner eine Interpretation der Konstanten d .
18. Der Graph einer Funktion g sei eine Gerade. Zeigen Sie, daß f¨
ur eine beliebige reelle
Zahl a die Steigung der Geraden erstens exakt gleich g(a + 1) − g(a) ist und zweitens
allgemeiner exakt gleich h1 (g(a + h) − g(a)) f¨
ur jede Zahl h > 0 ist und drittens noch
1
allgemeiner exakt gleich h (g(a + h) − g(a)) f¨
ur jede Zahl h = 0 ist.
Die (erste) Ableitung einer differenzierbaren reellen Funktion f an der Stelle
a ist eine wohldefinierte Zahl, die mit f (a) bezeichnet wird. Physikalisch
ist die Ableitung eine Geschwindigkeit. Geometrisch ist f (a) die Steigung
der Tangente im Punkt (a, f (a)) der Kurve y = f (x) .
Eine zugeh¨
orige Tangentengleichung ist daher y = f (a) x + d mit einer passenden
Konstanten d . Diese Konstante ist zwangsl¨
aufig durch d = f (a) − af (a) gegeben.
(Somit ist auch y = f (a) + f (a)(x − a) eine Tangentengleichung.)
Erw¨
ahnenswert im Zusammenhang mit Aufgabe 18 ist die Definition
1
(f (a
h→0 h
f (a) = lim
•
19.
+ h) − f (a)) .
Berechnen Sie in den folgenden vier Aufgaben einerseits f (2) und andererseits f (2) .
f (x) = x3 + 1
20.
f (x) = x2 − 3x
21. f (x) =
2
x
22.
f (x) =
1
x2
23. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve y = 2 + (1 + 3x)4 im
Kurvenpunkt (0, 3) .
24. Stellen Sie die Gleichungen der Tangenten in den beiden Schnittpunkten der Parabel
y = 9 − x2 mit der x-Achse auf.
Die (erste) Ableitung einer differenzierbaren reellen Funktion f ist eine
(naheliegenderweise mit f bezeichnete) Funktion, die jeder reellen
Zahl x die Zahl f (x) als Funktionswert zuweist.
•
25.
28.
Berechnen Sie in den folgenden sechs Aufgaben jeweils f (x) .
f (x) = e3x+4
f (x) = xx+2
2 +1
26. f (x) = (x2 − 4x)5
29. f (x) = x2 sin(3x − 7)
√
27. f (x) = x4 + 3x2 + 1
30. f (x) = x ln(x2 + 3)
31. Ermitteln Sie alle Punkte auf der Kurve y = 4x3 − 8x2 + 4x − 7 , wo die Tangente
an die Kurve horizontal, dh. parallel zur x-Achse ist.
32. Ermitteln Sie alle Punkte auf der Kurve y = 13 x3 − 5x2 + 28x − 31 , wo die Tangente
an die Kurve parallel zur Geraden y = 2x ist.
Aufgaben zur 3. UE-Einheit am 24. Oktober 2014
Jede Parabel in der x, y-Ebene mit vertikaler Achse kann durch eine Gleichung
der Form y = ax2 + bx + c mit reellen Konstanten a, b, c beschrieben werden.
Umgekehrt ist bei beliebig vorgegebenen Konstanten a, b, c mit a = 0 der Graph
der Funktion f (x) = ax2 + bx + c eine Parabel mit vertikaler Achse. Der Scheitel
einer Parabel ist derjenige Parabelpunkt, der auf der Parabelachse liegt.
33. Zeigen Sie, daß eine Parabel mit vertikaler Achse immer durch eine Gleichung der
Form y = α(x − β)2 + γ mit reellen Konstanten α, β, γ beschrieben werden kann und
dabei (β, γ) der Scheitel der Parabel sein muß. (Hinweis: Aus Symmetriegr¨
unden ist der
Scheitel einer Parabel mit vertikaler Achse der h¨
ochste bzw. tiefste Punkt – Skizze!)
34. Gegeben ist die Parabel y = 4x2 − 8x + 6 . Formen Sie die Gleichung gem¨aß der
vorigen Aufgabe um und bestimmen Sie damit den Scheitel der Parabel.
35. Begr¨
unden Sie anhand einer Skizze, daß der Scheitel einer Parabel mit vertikaler
Achse derjenige Parabelpunkt ist, wo die Tangent horizontal ist. Bestimmen Sie damit
den Scheitel der Parabel y = 4x2 − 5x + 6 .
36. Stellen Sie im Lichte der vorigen Aufgabe eine einfache Formel zur Berechnung der
Koordinaten des Scheitels der Parabel y = ax2 + bx + c auf.
37. Die Flugbahn eines vom Punkt (0, 12) abgefeuerten Geschoßes ist durch die Parabel
y = 12 + 2.7x − 0.03x2 modelliert. Der Landepunkt des Geschoßes liegt auf der x-Achse.
Berechnen Sie die Flugweite und die Steigh¨ohe des Geschoßes. (Skizze!)
38. Welcher Punkt der Parabel y = x2 hat den kleinsten Abstand von der Geraden
y = 2x−5 ?
→ Nicht als ”Extremwertaufgabe” behandeln! Finden Sie die L¨
osung im Fahrwasser von Aufgabe 32 !
• In den folgenden sieben Aufgaben sind f und g differenzierbare reelle Funktionen,
u
¨ber die vier Informationen vorliegen: f (3) = 1 , f (3) = 2 , g(3) = 5 , g (3) = 4 .
Berechnen Sie die Werte h(3) und h (3) f¨
ur
39.
42.
44.
h(x) = f (x) − 2 · g(x)
40. h(x) = f (x) · g(x)
41. h(x) =
2
3
h(x) = 1 + f (x) + g(x)
43. h(x) = (2 · f (x) − 3 · g(x))4
45. h(x) = f (x)1/3 · 4 + g(x)
h(x) = f (x)3 + 7 · g(x)
f (x)
g(x)
46. Es sind f und g differenzierbare reelle Funktionen, u
¨ber die vier Informationen
vorliegen: f (0) = 1 , f (0) = 2 , g(1) = 4 , g (1) = 3 .
Berechnen Sie die Werte h(0) und h (0) f¨
ur h(x) = g(f (x)) .
47. Rekonstruieren Sie die differenzierbare reelle Funktion f aus der Ableitung f , die
durch f (x) = x3 − x2 + x festgelegt ist, unter Verwendung der zus¨atzlichen Information
f (0) = 1 . Ist die Information f (0) = 1 wichtig zur Rekonstruktion oder entbehrlich?
48.
Rekonstruieren Sie f aus f (x) = 2x3 + 7x2 − 1 mit f (1) = 2 .
49. Rekonstruieren Sie f aus
Erraten.
f (x) = 3 cos(2x)
mit f (0) = 5 durch geschicktes
50. Rekonstruieren Sie f aus f (x) = sin(π + 3x) mit f (0) = 4 durch geschicktes
Erraten.
Aufgaben zur 4. UE-Einheit am 31. Oktober 2014
Eine differenzierbare reelle Funktion F ist eine Stammfunktion der reellen
Funktion f genau dann, wenn F (x) = f (x) f¨
ur alle Stellen x gilt.
51.
Finden Sie drei Stammfunktionen von f (x) = 3x2 + 4x − 5 .
52. Begr¨
unden Sie folgenden fundamentalen Sachverhalt:
Ist F1 eine Stammfunktion von f und c1 irgendeine Konstante, so ist die durch
F2 (x) = F1 (x) + c1 festgelegte Funktion F2 ebenfalls eine Stammfunktion von f .
Sind F1 und F2 zwei Stammfunktionen von f , so gibt es eine Konstante c dergestalt,
daß F2 (x) = F1 (x) + c f¨
ur alle Stellen x gilt.
Das unbestimmte Integral
f (x) dx ist die Kollektion aller Stammfunktionen von f . Bezugnehmend auf Aufgabe 52 schreibt man
f (x) dx = F (x) + c ,
wobei F irgendeine Stammfunktion von f ist. (F¨
ur jede Stammfunktion S von f gilt S(x) = F (x) + c mit einer Konstanten c .)
• L¨
osen Sie die folgenden unbestimmten Integrale und u
¨berpr¨
ufen Sie Ihre L¨osung durch
Probe.
(x2 −3x)·ex dx
53.)
54.)
(2x−3)·ln x dx
55.)
(4x−5)·sin x dx
• Ohne umst¨andliche (aus der Schule bekannte) Substitution l¨ose man durch gezieltes
Erraten die folgenden unbestimmten Integrale.
√
4
56.)
x · sin(x2 + π) dx
57.)
x 3 − x2 dx
58.)
x3 e3−x dx
• Es sei f eine stetige reelle Funktion und F eine Stammfunktion von f . Im Lichte
der vorigen Aufgabe stelle man praktische Formeln zur Berechnung von:
59.)
f (ax + b) dx
62.)
60.)
x · f (ax2 + b) dx
(cos x) · f (a + b sin x) dx
63.)
61.)
x2 · f (ax3 + b) dx
e−x · f (a + b e−x ) dx
Es sei f eine auf dem Intervall a ≤ x ≤ b definierte stetige reellwertige
Funktion mit durchwegs f (x) ≥ 0 . Der Fl¨
acheninhalt des ebenen Bereichs
aller Punkte (x, y) , f¨
ur die a ≤ x ≤ b und 0 ≤ y ≤ f (x) gilt, ist exakt
gleich der Zahl F (b) − F (a) , wobei F eine Stammfunktion von f ist.
64. Zeigen Sie (bezugnehmend auf Aufgabe 52), daß die Zahl F (b) − F (a) eindeutig
bestimmt, d.h. unabh¨angig von der Wahl der Stammfunktion F ist.
•
Berechnen Sie (auf f¨
unf Ziffern nach dem Dezimalpunkt genau) den Fl¨acheninhalt
der Bereiche:
65.) 0 ≤ y ≤ x3 − x2 + 5
(4 ≤ x ≤ 7)
√
66.) 0 ≤ y ≤ 13 − 2x
(3 ≤ x ≤ 6)
√
67.) −4 ≤ y ≤ 13 − 2x
(3 ≤ x ≤ 6)
(Skizze!)
Aufgaben zur 5. UE-Einheit am 7. November 2014
b
Das bestimmte Integral
f (x) dx ist eine wohldefinierte Zahl, sofern f eine auf dem
a
Intervall a ≤ x ≤ b definierte stetige reellwertige Funktion ist. Gilt stets f (x) ≥ 0 , so
b
ist
f (x) dx der Fl¨
acheninhalt des Bereichs 0 ≤ y ≤ f (x) (a ≤ x ≤ b) . Immer gilt
a
b
f (x) dx = F (b) − F (a) , wobei F eine Stammfunktion von f ist.
a
•
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
1
68.)
2
(x5 + x4 + x3 ) dx
69.)
0
a)
0
2
72.)
x · e−x dx
1
b)
t · e−t dt
1
x · e−u dx
u · e−u du
0
1
73.)
t · e−x dx
1
d)
y · e−y dy
0
3
74.
a)
0
u · e−u dx b)
0
Eine reelle Funktion h ist durch h(x) = 3 +
x√
u
u · e−u dt
0
4 + t5 dt festgelegt. Bestimmen
0
Sie h(0) und h (0) .
76.
(1 + sin(3x)) dx
0
c)
0
−1
75.
70.)
1
1
71.
π
2
x · e−x dx
Eine Kurve in der x, y-Ebene ist durch y =
x√
t4 + t3 + 7 dt festgelegt. Bestimmen
1
Sie die Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt (x0 , y0 ) f¨
ur x0 = 1 .
77. Begr¨
unden Sie durch geschicktes Rauf- und Runterschieben von Funktionsgraphen
folgende Sachverhalt: Sind f und g zwei auf dem Intervall a ≤ x ≤ b definierte
b
stetige reellwertige Funktionen, wobei stets f (x) ≤ g(x) gilt, so ist
der Fl¨
acheninhalt des ebenen Bereichs aller Punkte (x, y) , f¨
ur die
f (x) ≤ y ≤ g(x) gilt.
78.
79.
80.
(g(x) − f (x)) dx
a
a ≤ x ≤ b
und
Gesucht ist der Fl¨acheninhalt des Bereichs −1 − x2 ≤ y ≤ 2 + x3 (−1 ≤ x ≤ 4) .
√
Gesucht ist der Fl¨acheninhalt des Bereichs |y| ≤ 18 − 2x (−9 ≤ x ≤ 7) .
√
Gesucht ist der Fl¨acheninhalt des linsenf¨ormigen Bereichs x2 ≤ y ≤ x . (Skizze!)
81. Gesucht ist der Fl¨acheninhalt des Bereichs, der von der durch y 2 = x2 − x4 und
√
√
x ≥ 0 festgelegten Kurve umrandet wird. (Hinweis: F¨ur 0 ≤ x ≤ 1 gilt x2 − x4 = x 1 − x2 .)
b
82.
Zeigen Sie, daß das bestimmte Integral
f (x) dx auch ohne die Einschr¨ankung
a
f (x) ≥ 0 folgendermaßen in Bezug zu einem Fl¨
acheninhalt gesetzt werden kann:
Es sei d ≤ 0 so gew¨ahlt, daß d ≤ f (x) f¨
ur a ≤ x ≤ b gilt. (Diese Wahl ist sicher
m¨
oglich, falls f stetig ist. Minimaxprinzip!) Ist A der Fl¨acheninhalt des Bereichs
b
d ≤ y ≤ f (x) (a ≤ x ≤ b) , so muß
f (x) dx = A + d(b − a) gelten.
a
Aufgaben zur 6. UE-Einheit am 14. November 2014
Das Maximum/Minimum einer reellwertigen Funktion f auf dem Intervall a ≤ x ≤ b ist
der gr¨
oßte/kleinste Funktionswert f (ξ) mit a ≤ ξ ≤ b . Die Existenz des Maximums und
des Minimums ist garantiert, falls f stetig ist. (Minimaxprinzip!)
Warnendes Beispiel einer falschen L¨
osung einer Extremwertaufgabe: Gesucht ist das Maximum
und das Minimum von f (x) = x3 − 3x + 1 auf dem Intervall −3 ≤ x ≤ 3 . In der Schule pflegt man
folgende Vorgangsweise: Erstens f (x) = 3x2 − 3 ausrechnen, zweitens f (x) = 6x aurechnen, drittens
f (x) = 0 l¨
osen, also die L¨
osungen x1 = −1 und x2 = 1 der Gleichung 3x2 − 3 = 0 bestimmen, viertens
f (x1 ), f (x2 ) ausrechnen, also f (−1) = −6 und f (1) = 6 , f¨
unftens erkennen, daß f (−1) negativ
und f (1) positiv ist, sechstens damit feststellen, daß f an der Stelle −1 bzw. 1 ein lokales Maximum
bzw. Minimum hat, siebentens auswerten f (−1) = 3 und f (1) = −1 , achtens die L¨
osung der Aufgabe
aufschreiben: Das Maximum ist 3, das Minimum ist −1. Abschließend eventuell noch begr¨
unden: Das
globale Maximum/Minimum muß ja unter den lokalen Maxima/Minima zu finden sein und hier gibt es
jeweils nur eines und somit muß das lokale Maximum/Minimum automatisch das gesuchte globale sein.
83. Gesucht ist das Maximum und das Minimum von f (x) = x3 − 3x + 1 auf dem
Intervall −δ ≤ x ≤ δ einerseits f¨
ur δ = 2 und andererseits f¨
ur δ = 3 . Demonstrieren
Sie damit, daß die obige schulische Vorgangsweise f¨
ur δ = 3 zu einem falschen Ergebnis
f¨
uhrt und daher im Falle δ = 2 rein zuf¨
allig zu einem richtigen Ergebnis f¨
uhren w¨
urde.
Verwenden Sie f¨
ur diese Aufgabe (und alle weiteren) eine mathematisch korrekte Methode,
vorzugsweise die folgende Standardmethode.
Das Maximum/Minimum einer stetigen, reellwertigen Funktion f auf dem Intervall
a ≤ x ≤ b ist der gr¨
oßte/kleinste Wert unter den (meist wenigen) Funktionswerten
f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), ... , wobei x1 , x2 , x3 , ... s¨
amtliche Stellen x mit
a < x < b sind, f¨
ur die entweder f (x) = 0 gilt oder f (x) nicht existiert.
84. Erkl¨
aren Sie anhand einer gut gew¨ahlten Skizze in einfachen Worten, warum diese
Standardmethode zielf¨
uhrend sein muß.
• In den folgenden acht Aufgaben ist jeweils das Minimum und das Maximum der stetigen
reellwertigen Funktion f auf dem Intervall a ≤ x ≤ b zu ermitteln.
85.
86.
f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 27 ; 1 ≤ x ≤ 8
f (x) = x2 (1 − x2 ) ; 0 ≤ x ≤ 1
87.
88.
f (x) = 7 − ex (3x + 5) ; −1 ≤ x ≤ 1
f (x) = x3 + 4x + sin(4x) ; −3 ≤ x ≤ 2
√
√
3
f (x) = xx2−5x
;
−
5
≤
x
≤
5
+3
f (x) = x + cos x ; 0 ≤ x ≤ 6π
f (x) = 5 − x3 − e2x ; −1 ≤ x ≤ 1
f (x) = x + |x2 − 1| ; −2 ≤ x ≤ 2
89.
90.
91.
92.
2
93. Aus einem Baumstamm wird ein Balken so herausges¨agt, daß der dabei entstehende
Abfall m¨
oglichst gering ist. Wie muß der Querschnitt des Balkens dann genau aussehen?
94. Aus einem Baumstamm wird ein Balken mit maximaler Tragf¨
ahigkeit herausges¨
agt.
Wie muß der Querschnitt des Balkens dann genau aussehen? (Aus der Statik weiß man, daß
die Tragf¨
ahigkeit eines Balken proportional zum Produkt seiner Breite und dem Quadrat
seiner Dicke ist.)
95. Ein Fenster von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis hat den Umfang u. Wie ist der Radius des Halbkreises zu w¨ahlen, damit m¨oglichst viel Licht durch
das Fenster einfallen kann?
Aufgaben zur 7. UE-Einheit am 21. November 2014
96. Auf der Geraden g durch die Punkte A(−1, 0, −5) und B(2, 4, 7) ist zun¨achst einmal
derjenige Punkt C zu ermitteln, den man durch Abtragen einer Strecke der L¨ange 52 von
A aus in Richtung nach B bekommt. Ermitteln Sie dann die Gleichung der Ebene durch
den Punkt C , die normal auf die Gerade g steht.
• Gegeben ist das Dreieck durch die Punkte A(−1, 3, 0), B(12, 3, −1), C(3, 14, −2) .
Berechnen Sie
97.) den Umfang
und
98.) den Fl¨
acheninhalt.
• Bestimmen Sie 99.) den Schnittpunkt und 100.) den Schnittwinkel der Diagonalen
AC und BD des Vierecks durch die Punkte A(−3, −4), B(5, −2), C(6, 7), D(−8, 4) .
101. Von welchen Punkten P der Geraden g :
x
y
z
1
= λ −2
−1
aus sieht man die
Punkte A(1, −5, 8) und B(6, 3, −2) unter einem rechten Winkel? (Um Mißverst¨
andnisse
zu vermeiden: ABP soll ein Dreieck mit einem rechten Winkel in P sein!)
102. Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g durch die Punkte A(−3, 7) und B(12, 2)
sowie die Gleichung der Geraden h , die durch den Mittelpunkt der Strecke AB geht und
mit der Geraden g einen rechten Winkel einschließt.
103. Es sei g die Gerade, die den Punkt (−1, 2, −4) mit dem Ursprung (0, 0, 0) verbindet,
und h die Gerade, die den Punkt (2, −3, 5) mit dem Ursprung (0, 0, 0) verbindet. Berechnen
Sie den Winkel zwischen den (einander schneidenden) Geraden g und h.
104. Gegeben sind zwei Ebenen ε1 und ε2 durch die Gleichungen
2x + 4y − 5z = 8
und
3x − 5y + 7z = 9 .
Gesucht ist die Gleichung derjenigen Ebene, die durch den Punkt (0, 0, 1) geht und normal
auf die Schnittgerade der Ebenen ε1 und ε2 steht.
105. Eine Ebene ist durch die drei Punkte A(−1, 1, 0) und B(1, −2, 0) und C(8, 6, 1)
festgelegt. Ferner ist eine Gerade durch die beiden Punkte P (−7, −5, 0) und Q(4, 6, 12)
festgelegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Gerade und Ebene.
106. Von einem gleichschenkeligen Dreieck ABC , wobei die Seiten AC und BC gleich
lang sind, kennt man die Eckpunkte A(−5, 1, 2) und B(7, 0, −4) . Der Punkt C liegt
auf der Geraden, die die Punkte P (0, 0, −5) und Q(−2, 3, 0) verbindet. Berechnen Sie
Umfang und Fl¨acheninhalt des Dreiecks.
107. Stellen Sie fest, ob die vier Punkte A(0, −1, 2), B(6, −2, 1), C(7, 0, 6), D(−7, 3, 5) in
einer gemeinsamen Ebene liegen.
108. Beweisen Sie, daß der Mittelpunkt M der Strecke mit den Endpunkten A(u, v, w)
v+s w+t
und B(r, s, t) durch M u+r
gegeben ist.
2 , 2 , 2
109. Man bestimme die Zahlen a, b so, daß die beiden Vektoren
1
a
2
und
b
3
4
kollinear sind.
Struktur und Modus der VU 835.104
Die Vorlesungs¨
ubung Mathematik I ist eine Pflichtlehrveranstaltung (3 Semesterwochenstunden, immanenter Pr¨
ufungscharakter, Anwesenheitspflicht) f¨
ur die Studierenden
der Forstwirtschaft sowie der Holz- und Naturfasertechnologie im ersten Semester.
Die VU (insgesamt 45 akad. Stunden) besteht aus einem 1-st¨
undigen Vorlesungsteil,
¨
der auf die zweite Semesterh¨alfte geblockt wird, und einem 2-st¨
undigen Ubungsteil
w¨
ahrend des ganzen Semesters, der aufgrund der lehrveranstaltungsfreien Tage sowie der
¨
w¨
ahrend zweier Ubungstermine
abgehaltenen schriftlichen Pr¨
ufungen auch (ein wenig)
geblockt wird.
¨
Im Ubungsteil
f¨
uhren die Studierenden vorbereitete Aufgaben freiwillig an der Tafel vor
¨
und erkl¨aren sie (unterst¨
utzt vom Ubungsleiter)
ihren Kollegen.
In der ersten Semesterh¨
alfte werden nur Aufgaben durchgenommen, die allein mit schulmathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten bew¨altigbar sind. (F¨
ur Studienanf¨anger
mit unzureichenden Mathematik-Vorkenntnissen wird begleitend dazu der Mathematik
Br¨
uckenkurs VO 835.091 angeboten.) In der zweiten Semesterh¨
alfte werden Aufgaben
zu ausgew¨ahlten Kapiteln aus Ingenieurmathematik gerechnet.
Anwesenheit. W¨ahrend der gesamten VU herrscht Anwesenheitspflicht. Jedoch wird nur
¨
in den Ubungen
an den Freitagen eine Anwesenheitskontrolle durchgef¨
uhrt. Das Fehlen in
¨
einer Ubungseinheit ist nur aus gravierenden Gr¨
unden (Krankheit, Unfall, Pr¨
ufung, famili¨
arer Notfall, Gerichtstermin o.¨a.) gestattet und muß mit einer schriftlichen Begr¨
undung
(¨
arztliches Attest o.¨a) ehebaldigst entschuldigt werden. Wer einen Freitagstermin unentschuldigt oder drei Freitagstermine insgesamt vers¨
aumt, wird automatisch
von der LVA abgemeldet und bekommt kein Zeugnis. In H¨artef¨allen (l¨angerer
Krankenstand o.¨a.) kann diese Regelung nach R¨
ucksprache mit dem Lehrveranstaltungsleiter individuell aufgehoben werden.
¨
Tafelmeldungen. Die Studierenden haben f¨
ur jede Ubungseinheit
ein vorgeschriebenes
Pensum an Aufgaben vorzubereiten. In der Regel meldet sich zu jeder Aufgabe ein Studierender freiwillig an die Tafel, um seine L¨osung der Aufgabe mit den n¨otigen Erl¨auterungen
dem Auditorium vorzuf¨
uhren. Bei zufriedenstellender Tafelmeldung wird ein Tafelpunkt
gutgeschrieben, ansonsten gibt es keinen Tafelpunkt. Sollte die Bereitschaft, sich an die
Tafel zu melden, im Laufe des Semesters intolerabel schwinden, so k¨onnen im Rahmen
einer Ausnahmeregelung Studierende auch an die Tafel gerufen werden, wobei dann bei
negativen Leistungen an der Tafel Punkte von der Gesamtpunktezahl abgezogen werden.
Schriftliche Tests. Zur H¨alfte des Semesters wird ein Zwischentest (75 Minuten) und am
Ende des Semesters ein Abschlußtest (100 Minuten) abgehalten. In beiden Tests werden
¨
Rechenaufgaben ¨ahnlich den in den Ubungen
durchgenommenen gestellt. Die maximale
Testpunktezahl betr¨agt 12 beim Zwischentest und 24 beim Abschlußtest. Als Hilfsmittel
bei den Tests d¨
urfen das mit eigenen Notizen versehene Skriptum (keine losen Bl¨atter!)
und ein Standardtaschenrechner (ohne Algebraprogramme!) verwendet werden.
Ein entschuldigt vers¨
aumter Abschlußtest kann am Beginn des Sommersemesters nachgeholt werden. F¨
ur einen vers¨
aumten Zwischentest wird kein Ersatztermin angeboten.
(Ein etwaig reduziertes Engagement w¨ahrend STEOP, das einen positiven Abschluß der VU
gef¨
ahrden k¨onnte, wird nicht durch das Angebot alternativer Pr¨
ufungstermine gef¨ordert.)
Zeugnisnote. Abschlußtestpunkte plus Tafelpunkte plus Zwischentestpunkte ergeben die
Gesamtpunktezahl. Ein positiver Abschluß der VU wird erzielt, wenn sowohl die
Abschlußtestpunktezahl mindestens 8 , als auch die
Gesamtpunktezahl mindestens 18 betr¨agt.
Es gilt dann folgende Notenskala :
4
3
2
1
.......
.......
.......
.......
18
23
30
35
bis 22 Punkte
bis 29 Punkte
bis 34 Punkte
oder mehr Punkte
Nachtest. Auch wenn auf diese Weise kein positiver Abschluß der Lehrveranstaltung
erreicht wurde, ist ein solcher unter versch¨
arften Bedingungen mit Hilfe eines Nachtests
am Beginn des Sommersemesters immer noch m¨oglich. (Letzte Chance!)
Der Nachtest entspricht dem verpatzten Abschlußtest, dauert allerdings nur 90 Minuten
und wird auch nicht bepunktet. Vielmehr resultiert die Zeugnisnote direkt aus den beim
Nachtest erbrachten Leistungen. Der Nachtest besteht aus vier Aufgaben und gilt als
bestanden, wenn mindestens zwei Aufgaben richtig oder fast richtig gel¨ost wurden. Bei
bestandenem Nachtest ist die Zeugnisnote Gen¨
ugend oder Befriedigend oder Gut, je nachdem, ob genau zwei oder drei oder vier Aufgaben mindestens fast richtig gel¨ost wurden.
Im Falle, daß alle vier Aufgaben v¨
ollig fehlerfrei gel¨ost wurden, ist die Zeugnisnote Sehr
Gut. Bei nicht bestandenem oder vers¨aumtem Nachtest ist die Zeugnisnote definitiv Nicht
Gen¨
ugend.
Ersatztest. Sollte der Abschlußtest vers¨
aumt worden sein, so kann derselbe durch einen
Ersatztest nachgeholt werden, falls die Abwesenheit rechtzeitig und glaubhaft entschuldigt
wird. (Andernfalls gilt der vers¨
aumte Abschlußtest einem verpatzten gleichwertig und der
Ersatztest wird als Nachtest behandelt!) Der Ersatztest entspricht v¨ollig dem vers¨aumten
Abschlußtest und ersetzt diesen in der Notenfindung. Der Ersatztest dauert jedoch nur
90 Minuten, da er gleichzeitig mit dem Nachtest abgehalten wird. Wer dem Abschlußtest
und dem Ersatztest fernbleibt, wird als abgemeldet eingestuft und bekommt kein Zeugnis.
Anrechnung des Zwischentests. Wer auf den Zwischentest mindestens 6 Punkte erreicht, bekommt auf Wunsch ein positives Zeugnis u
¨ber den Br¨
uckenkurs Mathematik
(VO 835.091) ausgestellt. Notenskala :
4 ....... 6 Punkte
3 ....... 7 oder 8 Punkte
2 ....... 9 oder 10 Punkte
1 ....... 11 oder 12 Punkte
Alternativ kann ein Zeugnis u
¨ber die VO 835.091 auch (bis ein Jahr nach Semesterende)
mit einer m¨
undlichen Pr¨
ufung erworben werden.
Im Gegensatz dazu wird f¨
ur die VU 835.104 wegen des immanenten Pr¨
ufungscharakters
der Lehrveranstaltung und der permanenten Anwesenheitspflicht, die das Fernbleiben vom
Abschlußtest ohne zwingende Gr¨
unde (Krankheit o.¨a.) nicht gestattet, außer dem Nachtest
bzw. Ersatztest keine m¨
undliche oder schriftliche Pr¨
ufung nach dem Ende der Lehrveranstaltung angeboten.
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