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Aufgaben - LionsExchange

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.
Aufgaben zum
EWF Mid-Term Repetitorium
¨ t Zu
¨ rich
LionsExchange, Universita
Copyright c 2014, Daniel Wochner
Das vorliegende Dokument ist urheberrechtlich gesch¨
utzt. Alle Rechte vorbehalten. Diese Arbeit oder Teile davon d¨
urfen ohne vorherige schriftliche Genehmigung
des Autors in irgendeiner Form weder durch Fotokopie, Mikrofilm oder andere Verfahren reproduziert oder verbreitet noch f¨
ur Vortr¨age oder Pr¨asentationen genutzt
werden.
Repetitorium EWF – Mid-Term
Inhaltsverzeichnis
Antwortblatt
i
A. Statistische Grundlagen
A.1. Statistische Idee & Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . .
A.2. Univariate Wahrscheinlichkeitsfunktionen & -verteilungen
A.3. Bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktionen & -verteilungen .
A.4. Statistische Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5. Statistische Gesetzm¨
assigkeiten . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
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.
.
.
.
B. Lineares Regressionsmodell
B.1. Lineares Regressionsmodell & Interpretation der Koeffizienten
B.2. OLS-Sch¨
atzmethode, drei Spezialf¨alle und Erweiterungen . .
B.3. Regressionsstatistiken & Modellparameter . . . . . . . . . . .
B.4. Annahmen und Eigenschaften der OLS-Sch¨atzer . . . . . . .
B.5. Stichprobenverteilungen, Varianzen und Inferenz . . . . . . .
C. Multiples Regressionsmodell
Daniel Wochner
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1
1
1
4
5
12
.
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.
14
14
16
21
24
31
37
i
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Antwortblatt
Bitte tragen Sie in folgendem Blatt Ihre L¨osungen ein. Sie erhalten 1 Punkt, wenn Sie
die korrekte L¨
osung erhalten haben. Ansonsten werden 0 Punkte verteilt. Es ist immer
mindestens (!) eine L¨
osung richtig; durch leer gelassene Aufgaben k¨onnen somit keine
Punkte erzielt werden.
Vorname, Name:
Matrikel-Nummer:
Part A – Statistische Grundlagen
-
Lo
¨sung
(b)
(c)
(a)
-
Prf.
(d)
Aufgaben zu Part A.1
Aufgabe A.1.1
Aufgaben zu Part A.2
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
A.2.1
A.2.2
A.2.3
A.2.4
A.2.5
A.2.6
A.2.7
A.2.8
ϕ=
Aufgaben zu Part A.3
♣
Aufgabe A.3.1
, falls
, falls

, falls
, falls
pY (yj ) =
, falls
pY |X (1|2) =
PX,Y (1, 1) =
Aufgabe A.3.2 (i)
pX (xk ) =
Aufgabe A.3.2 (ii)
Aufgabe A.3.2 (iii)
Aufgabe A.3.2 (iv)
Aufgabe A.3.3
♣
♠
,
,
,
fY (y) =
,
fY |X (2|1) =
F (1, 1) =
Aufgabe A.3.4 (i)
fX (x) =
Aufgabe A.3.4 (ii)
Aufgabe A.3.4 (iii)
Aufgabe A.3.4 (iv)
Daniel Wochner


i
falls
sonst
falls
sonst
♠
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Part A – Statistische Grundlagen
(a)
Lo
¨sung
(b)
(c)
Pkte.
(d)
Aufgaben zu Part A.4
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
A.4.1
A.4.2
A.4.3
A.4.4
A.4.5
A.4.6
A.4.7
A.4.8
A.4.9
A.4.10
A.4.11
A.4.12
A.4.13
A.4.14
A.4.15
A.4.16
A.4.17
A.4.18
E U (X) =
♠
♣
♠
♣
Aufgaben zu Part A.5
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
A.5.1
A.5.2
A.5.3
A.5.4
♣
Part B – Simples Regressionsmodell
(a)
Lo
¨sung
(b)
(c)
Prf.
(d)
Aufgaben zu Part B.1
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
B.1.1
B.1.2
B.1.3
B.1.4
B.1.5
B.1.6
Daniel Wochner
♠
ii
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Part B – Simples Regressionsmodell
Lo
¨sung
(b)
(c)
(a)
Prf.
(d)
Aufgaben zu Part B.2
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
B.2.1
B.2.2
B.2.3
B.2.4
B.2.5
B.2.6
B.2.7
B.2.8
B.2.9
B.2.10
B.2.11
B.2.12
B.2.13
B.2.14
βˆ0 =
Y2 =
,
,
βˆ1 =
ˆ2 =
♠
βˆ0 =
,
βˆ1 =
♣
♣
RSS =
♠
♠
α
ˆ1 =
,
φˆ =
♣
Yi =
Aufgaben zu Part B.3
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
B.3.1
B.3.2
B.3.3
B.3.4
B.3.4
B.3.4
B.3.4
♠
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Yi =
RSS =
KI = [
Antwort:
,
2 =
RM
;
]
Aufgaben zu Part B.4
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
B.4.1
B.4.2
B.4.3
B.4.4
B.4.5
B.4.6
B.4.7
B.4.8
B.4.9
Daniel Wochner
♠
♣
iii
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Part B – Simples Regressionsmodell
(a)
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Lo
¨sung
(b)
(c)
Prf.
(d)
♠
♣
B.4.10
B.4.11
B.4.12
B.4.13
B.4.14
Aufgaben zu Part B.5
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
♣
♠
B.5.1
B.5.2
B.5.3
B.5.4
B.5.5
B.5.6
B.5.7
B.5.8
B.5.9
B.5.10
B.5.11
B.5.12
B.5.13
B.5.14
B.5.15
B.5.16
B.5.17
Daniel Wochner
♣
ki = [
;
]
♣
♠
ki = [
;
]
PW =
♠
♣
♠
PW =
iv
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Pr¨
ufungssimulation
In obigem Antwortblatt wurden gewisse Aufgaben mit einem Stern, Pik oder
Kreuz ( , ♠, ♣) versehen und stellen drei verschiedene Pr¨
ufungsserien dar. Zusammen
mit den Aufgaben aus dem End-Term Repetitorium stellen diese auserw¨ahlte Aufgaben
dar, die alle zusammen (pro Serie) einer Pr¨
ufung in Empirischer Wirtschaftsforschung
gleich kommen, die Sie in 90 Minuten l¨osen k¨onnen sollten. F¨
ur Ihre Pr¨
ufungsvorbereitung
k¨onnen Sie sich daher auf eine Serie fokussieren ( , ♠ oder ♣) und sich 90 Minuten Zeit
nehmen und s¨
amtliche mit dem jeweiligen Symbol versehenen Aufgaben durchexerzieren.
Die mit einem Symbol versehenen Aufgaben geben aber in keinster Weise Empfehlung
oder Hinweise u
ur Ihre Pr¨
ufung in Empirischer
¨ber die Relevanz der Aufgabentypen f¨
Wirtschaftsforschung ab, sondern es sollen Ihnen dadurch (lediglich) pr¨
ufungsnahe Simulationen erm¨
oglicht werden.
Leistungsbeurteilung
Zur anschliessenden perso
¨nlichen Beurteilung Ihrer Leistung, k¨onnen Sie sich an
folgende Noten-Formel halten:
Note = 5 ×
Ihre erreichte Punktzahl
+1
Total m¨ogliche Anzahl Punkte
Ihre Noten f¨
ur Pr¨
ufungen an der Universit¨at Z¨
urich werden allerdings nicht (direkt)
u
ber
diesen
Notenmassstab
berechnet,
dennoch
gibt dieser einen guten Richtwert f¨
ur
¨
Ihre Leistung.
Rechtliche Hinweise
Es sei an dieser Stelle ausserdem darauf hingewiesen, dass der Autor dieses Dokuments,
Daniel Wochner, in keinster Weise an der Mitschrift oder Gestaltung der AbschlussPr¨
ufung in der Veranstaltung ‘Einf¨
uhrung in die Empirische Wirtschaftsforschung’ bei
Prof. Dr. R. Winkelmann f¨
ur das HS12 sein wird und ausserdem noch nie daran beteiligt
war.
Daniel Wochner
v
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
A. Statistische Grundlagen
A.1. Statistische Idee & Zufallsvariablen
Aufgabe A.1.1
Fast alle Ph¨
anomene um uns herum, sind durch Elemente der Zuf¨alligkeit charakterisiert
(Wetter, Noten, Aktienkurse). Die Erfahrung lehrt uns aber, dass diese Zuf¨alligkeit h¨aufig
feste Gewohnheiten hat, d.h. hinter diesen vordergr¨
undigen Zuf¨allen steckt h¨aufig ein
Muster oder eine Systematik. Die Statistik liefert uns analytische Methoden, um diese
Muster zu charakterisieren. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a) Die Grundidee dabei ist, dass alle m¨oglichen Ausg¨ange oder Ereignisse der Welt als
Ergebnis eines Zufallsexperiments aufgefasst werden.
(b) Die Beschreibung derartiger Muster kann durch Zufallsvariablen modelliert werden
(c) Eine Zufallsvariable ist eine mathematische Funktion, die allen Elementen des Ereignisraumes reelle Zahlen zuordnet.
(d) Alle obigen Aussagen treffen zu.
A.2. Univariate Wahrscheinlichkeitsfunktionen & -verteilungen
Aufgabe A.2.1
Welche der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind diskret?
(a)
(b)
(c)
(d)
Binomial-Verteilung
Normalverteilung
F -Verteilung
Bernoulli-Verteilung
Aufgabe A.2.2
Eine diskrete Zufallsvariable habe die Wahrscheinlichkeitsfunktion,
p(xk ) ≡ P (X = xk ) =
xk /ψ, f¨
ur xk = {1, 2, 3, 4}
0,
sonst
F¨
ur welchen Wert von ψ handelt es sich um eine g¨
ultige Wahrscheinlichkeitsfunktion?
(a)
(b)
(c)
(d)
ψ=1
ψ=4
ψ = 10
Keine der angegebenen Antworten stimmt.
Daniel Wochner
1
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.2.3
Nehmen Sie an, Sie haben die untenstehende kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion
gegeben. Wie gross ist P (X = 2)?


0,
f¨
ur xk < 0



0.2, f¨
ur 0 ≤ xk < 2
P (xk ) = P (X ≤ xk ) =

0.6, f¨
ur 2 ≤ xk < 3



1,
f¨
ur xk ≥ 3
(a)
(b)
(c)
(d)
P (X
P (X
P (X
P (X
= 2) = 0.2
= 2) = 0.4
= 2) = 0.6
= 2) = 0.8
Aufgabe A.2.4
Betrachten Sie die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion f¨
ur eine Zufallsvariable X, welche die diskreten Werte {x1 , x2 , x3 } = {1, 2, 4} annimmt,

1

ur x1 = 1
 6 , f¨
3
k = 1, 2, 3
p(xk ) = P (X = xk ) = 6 , f¨
ur x2 = 2 ,

2
ur x3 = 4
6 , f¨
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
p(2) = P (X = 2) = 21
P (3) = P (X ≤ 3) = 23
1 − P (4) = 1 − P (X ≤ 4) =
P (0.5) = P (X ≤ 0.5) = 0
4
6
Aufgabe A.2.5
Welche der folgenden Eigenschaften erf¨
ullt eine Verteilungsfunktion, F (x) ≡ P (X ≤ x),
einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X nicht?
(a)
(b)
(c)
(d)
0 ≤ F (x) ≤ 1
F (·) ist monoton steigend in x
limx→−∞ F (x) = 0 und limx→+∞ F (x) = 1
F (x) ist unstetig
Daniel Wochner
2
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.2.6
Wie gross ist die die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 1 und 4 liegt, i.e. P (1 ≤ X ≤ 4),
wenn die Dichtefunktion durch
f (x) =
1
10
0
f¨
ur 0 ≤ x ≤ 10
sonst
gegeben ist.
(a)
(b)
(c)
(d)
P (1 ≤ X
P (1 ≤ X
P (1 ≤ X
P (1 ≤ X
≤ 4) = 0.4
≤ 4) = 0.6
≤ 4) = 0.3
≤ 4) = 0.1
Aufgabe A.2.7
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 1 und 3 liegt, i.e. P (1 ≤ X ≤ 3),
wenn die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion durch


f¨
ur x < 0
0
1
F (x) = P (X ≤ x) = 4 · x f¨
ur 0 ≤ x ≤ 4


1
f¨
ur x > 4
gegeben ist.
(a)
(b)
(c)
(d)
P (1 ≤ X
P (1 ≤ X
P (1 ≤ X
P (1 ≤ X
≤ 3) = 0.4
≤ 3) = 0.6
≤ 3) = 0.3
≤ 3) = 0.5
Aufgabe A.2.8
Betrachten Sie folgende Dichtefunktion, f (x),
f (x) =
0.5 − 0.125 · x
0
f¨
ur 0 ≤ x ≤ 4
,
sonst


ur x < 0
0, f¨
F (x) = ϕ, f¨
ur 0 ≤ x ≤ 4


1, f¨
ur x > 4
Wenn F (x) die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen X bezeichnet, wie lautet ϕ?
Daniel Wochner
3
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
A.3. Bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktionen & -verteilungen
Aufgabe A.3.1
X und Y seien zwei diskrete Zufallsvariablen, wobei X die Werte (x1 , . . . , xk , . . . , xK )
und Y die Werte (y1 , . . . , yj , . . . , yJ ) annehmen kann. Weiter haben X und Y folgende
diskrete bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung (dbWF):
x1
x2
..
.
y1
p(x1 , y1 )
p(x2 , y1 )
..
.
y2
p(x1 , y2 )
p(x2 , y2 )
..
.
···
···
···
..
.
yJ
p(x1 , yJ )
p(x2 , yJ )
..
.
xK
p(xK , y1 )
p(xK , y2 )
···
p(xK , yJ )
wobei pX,Y (xk , yj ) = p(xk , yj ). Welche der folgenden Aussagen trifft nicht auf eine
diskrete bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung zu?
K
J
(a)
k=1
j=1 pX,Y (xk , yj ) = 1
(b) 0 ≤ pX,Y (xk , yj ) ≤ 1
(c) pY (yj ) = Jj=1 pX,Y (xk , yj )
(d) pX|Y (xk |yj ) = pX,Y (xk , yj )/pX (xk )
Aufgabe A.3.2
Betrachten Sie folgende diskrete bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion (dbWF):
dbWF
Werte von X
x1 = 0
x2 = 1
x3 = 2
Werte von Y
y1 = 0 y2 = 1
0.1
0.1
0.2
0.1
0.3
0.2
L¨osen Sie folgende vier Teilaufgaben:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Wie lautet die univariate Randverteilung von X, pX (xk ) ∀ xk ?
Wie lautet die univariate Randverteilung von Y , pY (yj ) ∀ yj ?
Wie lautet die bivariate konditionierte Wahrscheinlichkeit pY |X (y2 |x3 ) = pY |X (1|2) ?
Wie lautet die bivariate kumulative Wahrscheinlichkeit PX,Y (x2 , y2 ) = PX,Y (1, 1) ?
Daniel Wochner
4
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.3.3
X und Y seien zwei kontinuierliche Zufallsvariablen, wobei X die Werte x ∈ R und Y
die Werte y ∈ R annehmen kann. Weiter haben X und Y die kontinuierliche bivariate
Wahrscheinlichkeitsverteilung (kbWF) fX,Y (x, y). Welche der folgenden Aussagen trifft
nicht auf eine kontinuierliche bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
∞
∞
FX,Y (x, y) = −∞ −∞ fX,Y (x, y) dy dx
0 ≤ fX,Y (x, y) < ∞
∞
fY (y) = −∞ fX,Y (x, y) dx
FX,Y (−∞, −∞) = 1
Aufgabe A.3.4
Betrachten Sie folgende kontinuierliche bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion (kbWF):
fX,Y (x, y) =
1
4,
0,
falls x ∈ [0, 2] und y ∈ [0, 2]
sonst
L¨osen Sie folgende vier Teilaufgaben:
(i) Wie lautet die univariate (Wahrscheinlichkeits-)Funktion von X, fX (x) ?
(ii) Wie lautet die univariate (Wahrscheinlichkeits-)Funktion von Y , fY (y) ?
(iii) Wie lautet die bivariate konditionierte Wahrscheinlichkeit fY |X (2|1), d.h. die konditionierte Wahrscheinlichkeit f¨
ur Y = 2 gegeben, dass X = 1?
(iv) Wie lautet die bivariate kumulative Wahrscheinlichkeit FX,Y (1, 1), d.h. die kumulative Wahrscheinlichkeit f¨
ur X = 1 und Y = 1?
A.4. Statistische Kennzahlen
Aufgabe A.4.1
Sie betrachten einen vierseitigen (fairen) “W¨
urfel” mit Augenzahlen 1, 2, 3 und 4. Wie
lautet der Erwartungswert der Augenzahl?
(a)
(b)
(c)
(d)
E[X] = 2.25
E[X] = 2.50
E[X] = 2.75
E[X] = 3.00
Daniel Wochner
5
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.4.2
Berechnen Sie den Erwartungswert der Dichtefunktion f (x) = x2 /9 f¨
ur x ∈ [0, 3].
(a)
(b)
(c)
(d)
E[X] = 2.25
E[X] = 4.50
E[X] = 3.75
E[X] = 5.00
Aufgabe A.4.3
Welche der folgenden Transformationen sind nicht zul¨assig, wenn α, β Konstanten und
X sowie Y zwei (nicht notwendigerweise unabh¨angige) Zufallsvariablen sind?
(a)
(b)
(c)
(d)
E[α + Y ] = α + E[Y ]
E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]
E[α · X + β · Y ] = α2 · E[X] + β 2 · E[Y ]
E[α · X · Y ] = α · E[X] · E[Y ]
Aufgabe A.4.4
Wenn X die Augenzahl eines (fairen) W¨
urfels ist, wissen Sie, dass der Erwartungswert
von X, E[X] = 3.5 betr¨
agt. Wie gross ist der Erwartungswert von g(X) = X 2 ? Wie
gross ist dann die Varianz von X?
(a)
(b)
(c)
(d)
E[X 2 ] = 12.23,
E[X 2 ] = 15.17,
E[X 2 ] = 12.23,
E[X 2 ] = 15.17,
Var (X) = 2.91
Var (X) = 2.91
Var (X) = 1.92
Var (X) = 1.92
Aufgabe A.4.5
Ein Individuum erh¨
alt aus einem Spiel folgende stochastische Auszahlungen {x1 , x2 , x3 }
= {(−e+1), 0, 1} mit Wahrscheinlichkeit {p(x1 ), p(x2 ), p(x3 )} = {0.25, 0.50, 0.25}, wobei
p(xk ) ≡ P (X = xk ). Die Nutzenfunktion f¨
ur die Auszahlungen xk sei gegeben durch eine
Kahneman-Tversky Nutzenfunktion mit Verlustaversion,
U (X) =
xαk ,
falls xk > 0
−β · ln [−(xk − 1)] , falls xk ≤ 0
wobei α = 0.5 und β = 2. Wie gross ist der erwartete Nutzen, E[U (X)], dieses Spiels?
(Hinweis: e ≈ 2.7183)
Daniel Wochner
6
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.4.6
Berechnen Sie die Varianz der Dichtefunktion f (x) = x2 /9 f¨
ur x ∈ [0, 3], wenn Sie
wissen, dass der Erwartungswert E[X] = 2.25 betr¨agt.
(a)
(b)
(c)
(d)
Var (X) = 0.50
Var (X) = 0.34
Var (X) = 0.26
Var (X) = 0.11
Aufgabe A.4.7
Welche der folgenden Transformationen sind nicht zul¨assig, wenn γ, δ Konstanten und
X sowie Y zwei (nicht notwendigerweise unabh¨angige) Zufallsvariablen sind?
(a)
(b)
(c)
(d)
Var (γ) = γ 2
Var (X − Y ) = Var (X) − Var (Y )
Var (γ · X + δ · Y ) = γ 2 · Var (X) + δ 2 · Var (Y )
Var (δ + X) = Var (X)
Aufgabe A.4.8
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist rechtsschief, . . .
(a)
(b)
(c)
(d)
. . . wenn die Schiefe negativ ist, S(X) < 0
. . . wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion nach rechts geneigt ist
. . . wenn µ3 > 3µ1 σ 2 + (µ1 )3
Alle drei oben angegebenen Antworten sind falsch.
Hinweis: µr = E[X r ] bezeichnet daher das r-te Moment und σ 2 die Varianz von X.
Aufgabe A.4.9
Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable und uniform-verteilt u
¨ber das Intervall [−2, 2],
X ∼ U[−2,2] . Wie lautet die Schiefe, S(X), und Kurtosis, K(X), der Wahrscheinlichkeitsfunktion, fX (x)?
(a)
(b)
(c)
(d)
S(X) = 0,
S(X) = 0,
S(X) = 2,
S(X) = 2,
K(X) = 3.00
K(X) = 1.80
K(X) = 3.00
K(X) = 1.80
Daniel Wochner
7
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.4.10
Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable mit Erwartungswert E[X] = 0 und einer Wahrscheinlichkeitsfunktion gX (x) deren Kurtosis gr¨osser ist als 3, i.e. K(X) > 3. Welche der
folgenden Aussagen sind korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
µ4 ist mindestens drei mal so gross wie σ 4
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion gX (x) wird auch ‘platykurtisch’ genannt.
Die Kurtosis von gX (x) ist gr¨
osser als jene der Normalverteilung.
Die Kurtosis von gX (x) ist kleiner als jene der Standard-Normalverteilung.
Hinweis: µr = E[X r ] bezeichnet das r-te Moment und σ 4 die quadrierte Varianz von X.
Aufgabe A.4.11
Betrachten Sie folgende diskrete bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion (dbWF):
dbWF
Werte von X
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 8
Werte von Y
y1 = 0 y2 = 2 y3 = 4
0.10
0.05
0.20
0.25
0.10
0.10
0.05
0.05
0.10
Wie lautet das dritte Moment gegeben Y = 2, folglich E[X 3 |Y = 2] und sowie die
bedingte Varianz Var (X|Y = 2)?
(a)
(b)
(c)
(d)
E[X 3 |Y
E[X 3 |Y
E[X 3 |Y
E[X 3 |Y
= 2] = 148
= 2] = 162
= 2] = 162
= 2] = 148
und
und
und
und
Var (X|Y
Var (X|Y
Var (X|Y
Var (X|Y
= 2) = 4.75
= 2) = 2.60
= 2) = 4.75
= 2) = 2.60
Aufgabe A.4.12
Seien X, Y und Z Zufallsvariablen und a, b sowie c Konstanten. Welche der folgenden
Aussagen sind korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
Cov (X, Y ) = 0 impliziert Unabh¨angigkeit von X und Y
Cov (a, Z) + Cov (b · Y, c · Z) = b · c · Cov (Z, Y )
Cov (X, (a + b · X)) = b · Var (X)
Cov (X, X + Y ) = Var (X) + Cov (Y, X)
Daniel Wochner
8
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.4.13
Sie erheben eine Stichprobe und erhalten: sx = 2, sy = 3, sx,y = 3. Wie lautet die
entsprechende Korrelation?
(a) ρX,Y = Corr (X, Y ) = 0.5
(b) ρˆX,Y = Corr(X, Y ) = 0.5
(c) rx,y = 0.5
(d) Keine der oben genannten Versionen.
Hinweis: ρ bezeichnet den Parameter, ρˆ den Sch¨atzer und r die Statistik des Korrelationskoeffizienten.
Aufgabe A.4.14
Sie erheben folgende Stichprobe mit n = 5 Beobachtungen zu K¨orpergr¨osse (gemessen
in cm) und Gewicht (gemessen in Kilogramm, kg),
Gr¨
osse [cm], xi
Gewicht [kg], yi
160
55
165
58
175
65
180
80
195
90
Wie lautet die (Stichproben-)Kovarianz, sx,y , und die entsprechende (Stichproben-) Korrelation, rx,y ?
(a)
(b)
(c)
(d)
sx,y
sx,y
sx,y
sx,y
= 159 und rx,y = 0.87
= 159 cm · kg und rx,y = 0.87
= 198.75 und rx,y = 0.97
= 198.75 cm · kg und rx,y = 0.97
Aufgabe A.4.15
Wie lautet die Kovarianz in Aufgabe A.4.15, wenn Sie die Stichprobendaten der Gr¨osse
in Metern statt Centimetern ausdr¨
ucken?
(a)
(b)
(c)
(d)
s˜x,y
s˜x,y
s˜x,y
s˜x,y
= 15900 m · kg
= 1.59 m · kg
= 1.9875 m · kg
= 19875 m · kg
Daniel Wochner
9
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.4.16
Der Zusammenhang zwischen zwei kontinuierlichen Zufallsvariablen X und Y sei charakterisiert durch: Y = 0.50 + 0.25 · X. Wie gross ist die Korrelation zwischen X und
Y?
(a)
(b)
(c)
(d)
Corr (X, Y ) = 0.00
Corr (X, Y ) = 0.25
Corr (X, Y ) = 1.00
Es kann keine Aussage u
¨ber die Korrelation gemacht werden.
Aufgabe A.4.17
Sie betrachten die folgende diskrete bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion (dbWF), pX,Y (xk , yj )
wobei k = 1, 2, 3 und j = 1, 2, 3:
dbWF
Werte von X
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 6
Werte von Y
y1 = 0 y2 = 2 y3 = 4
0.10
0.05
0.20
0.25
0.10
0.10
0.05
0.05
0.10
Welche der folgenden Aussagen trifft zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabh¨angig.
Die bedingte Verteilung von Y = 0 gegeben X = 4 betr¨agt, pY |X (0|4) = 0.56
Der Erwartungswert von Y betr¨agt, µY ≡ E[Y ] = 3.70
Die Kovarianz von X und Y betr¨agt, σX,Y ≡ Cov(X, Y ) = −1.00
Daniel Wochner
10
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.4.18
¨
Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) stellt die durchschnittliche (Uber-)Rendite
¨
einer Anlage k in linearen Zusammenhang zur durchschnittlichen (Uber-)Rendite des
Marktportfolios, M ,
E[Rk ] − Rf =
⇐⇒
Cov(Rk , RM )
· E[RM ] − Rf
Var(RM )
µk − Rf = βk,M · µM − Rf ,
mit βk,M =
Cov(Rk , RM )
Var(RM )
wobei Rk der Rendite der Anlage k, RM der Rendite des Marktportfolios und Rf dem
risikofreien Zins entspricht. Rk und RM sind daher Zufallsvariablen und Rf eine Konstante.
Zeigen Sie anhand Ihrer erlernten statistischen Werkzeuge, wie die obige CAPM-Beziehung
aussieht, wenn Rknew = (1−λ)·Rf +λ·R , d.h. wenn Sie als Investor den Anteil λ ∈ [0, 1] in
die risikofreie Anlage mit Rendite Rf und (1−λ) in Anlage mit Rendite R investieren.
(a)
(b)
(c)
(d)
µ − µM = Rf + β ,M · (µM − Rf )
µ − Rf = Rf + λ · (µM − Rf )
µ − Rf = β ,M · (µM − Rf )
Keine der obigen Aussagen ist korrekt.
Daniel Wochner
11
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Repetitorium EWF – Mid-Term
A.5. Statistische Gesetzm¨
assigkeiten
Aufgabe A.5.1
Seien X und Y zwei Zufallsvariablen. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
Unkorreliertheit zwischen X und Y
Unkorreliertheit zwischen X und Y
Unabh¨
angigkeit zwischen X und Y
Unabh¨
angigkeit zwischen X und Y
impliziert Cov (X, Y ) = 0
impliziert Corr (X, Y ) = 0
impliziert Cov (X, Y ) = 0
impliziert Corr (X, Y ) = 0
Aufgabe A.5.2
Die diskrete univariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Y ist gegeben durch,


0.0, falls yj = 0
pY (yj ) ≡ P (Y = yj ) = 0.4, falls yj = 1


0.6, falls yj = 2
Ausserdem kennen Sie die Funktion E[X|Y ] des bedingten Erwartungswertes,


0.5, falls yj = 0
E[X|Y ] = 1.0, falls yj = 1


1.5, falls yj = 2
Gem¨ass obiger Funktion gilt also bspw. E[X|Y = 0] = 0.5. Wie lautet dann der unbedingte Erwartungswert von X, E[X]?
(a)
(b)
(c)
(d)
E[X] = 0.50
E[X] = 1.15
E[X] = 1.30
E[X] = 3.00
Aufgabe A.5.3
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? Gem¨ass dem Gesetz der iterierten Erwartung (L.I.E.) gilt:
(a)
(b)
(c)
(d)
E[X] = EY
E[Y ] = EX
E[Y ] = EY
E[X] = EX
E[Y |X]
E[Y |X]
E[Y |X]
E[Y |X]
Hinweis: Der Index beim ¨
ausseren Erwartungswert-Operator soll verdeutlichen, dass sie
die ¨aussere Erwartung bez¨
uglich der Zufallsvariable im Index nehmen.
Daniel Wochner
12
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe A.5.4
Sie betrachten zwei Sch¨
atzer, γˆ resp. τˆ, wobei γ resp. τ die wahren Parameter in der
Grundgesamtheit darstellen. Es gilt nun E[ˆ
γ ] = γ und E[ˆ
τ ] = τ und Var(ˆ
γ ) > Var(ˆ
τ ).
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
Der Sch¨
atzer γˆ ist erwartungstreu.
Der Sch¨
atzer τˆ ist konsistent f¨
ur τ .
Der Sch¨
atzer τˆ ist effizienter als γˆ .
Falls der Sch¨
atzer τˆ erwartungstreu w¨are, w¨are γˆ effizienter als τˆ.
Daniel Wochner
13
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Repetitorium EWF – Mid-Term
B. Lineares Regressionsmodell
B.1. Lineares Regressionsmodell & Interpretation der Koeffizienten
Aufgabe B.1.1
Stellen Sie sich vor, Sie erheben f¨
ur Ihre Bachelor-Arbeit eine einmalige Stichprobe
bez¨
uglich Einkommen und Ausbildung von n = 111 Individuen dieses Jahres. Welche
der folgenden Aussagen sind dann korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
Es handelt sich
Es handelt sich
Es handelt sich
Keine der oben
um L¨
angsschnitt-Daten.
um Querschnitts-Daten.
um Panel-Daten.
genannten Antworten ist richtig.
Aufgabe B.1.2
Das simple lineare Regressionsmodell sei gegeben durch,
Yi = β0 + β1 X1,i + i ,
i = 1, . . . , N
wobei N die Gr¨
osse der Population darstellt. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Yi und Xi
β0 und β1
Yi und Xi
β0 und β1
und i sind beobachtbar
sind unbeobachtbar
und i sind beobachtungsspezifisch
sind beobachtungsspezifisch
Hinweis: Beobachtungsspezifische Gr¨ossen unterscheiden sich zwischen den einzelnen
Beobachtungen.
Aufgabe B.1.3
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) β1 misst den wahren marginalen Effekt von Xi auf E[Yi |Xi ] in der Grundgesamtheit;
formal ausgedr¨
uckt ∂E[Yi |Xi ]/∂Xi = β1 .
ˆ
(b) β1 misst den gesch¨
atzten marginalen Effekt von Xi auf Yi ; formal ausgedr¨
uckt
∂ Yi /∂Xi = βˆ1
(c) βˆ1 misst sowohl die durchschnittlichen marginalen wie diskreten Effekte; formal ausgedr¨
uckt βˆ1 = ∂ Yi /∂Xi = ∆Yi /∆Xi .
(d) Alle Aussagen sind korrekt.
Daniel Wochner
14
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.1.4
Welche der folgenden vier Beziehungen existieren?
(a) E[Yi |Xi ] = β0 + β1 Xi + i
(b) Yi = β0 + β1 Xi + i
(c) Yi = β0 + β1 Xi + i
(d) Yi = βˆ0 + βˆ1 Xi + i
Lehnen Sie sich zur Beantwortung der Frage an die u
¨blichen Notationen und Modellierungen, die Sie aus der Vorlesung kennen.
Aufgabe B.1.5
Betrachten Sie folgende vier Modelle:
Yi = β0 + β1 Xi +
Yi = β0 + Xiβ1 +
(A)
i
(B)
i
ln(Yi ) = β0 + β1 ln(Xi ) +
(C)
i
ln(Yi ) = β0β1 + exp(β1 ) ln(Xi ) +
(D)
i
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Modell (A) ist sowohl linear in den Parametern sowie linear in den Regressoren.
(b) Modell (B) ist linear in den Parametern aber nicht-linear in den Regressoren.
(c) Modell (C) ist nicht-linear in den Parametern aber linear in den Regressoren.
(d) Modell (D) ist sowohl nicht-linear in den Parametern sowie nicht-linear in den Regressoren.
Aufgabe B.1.6
Die Grundgesamtheit bestehe aus N Individuen und dieser Grundgesamheit wird eine
Stichprobe der Gr¨
osse n entnommen. Sie betrachten die beiden entsprechenden Regressionsmodelle:
Yi = β0 + β1 Xi +
i
und
Yi = βˆ0 + βˆ1 Xi + ˆi
Unter welchen Bedingungen exisitiert die Gleichheit von Fehlerterm, i und Residuum,
ˆi , i.e. i = ˆi , ∀ i = 1, . . . , n? Sie d¨
urfen davon ausgehen, dass s¨amtliche Annahmen des
Regressionsmodells zur Beantwortung der Frage erf¨
ullt sind.
(a) Die OLS-Methode sorgt daf¨
ur, dass beide stets identisch sind.
(b) Die Identit¨
at gilt f¨
ur alle Stichproben n < N
(c) Die Gleichheit gilt nur f¨
ur n → N .
(d) Keine der oben genannten Antworten ist richtig.
Daniel Wochner
15
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
B.2. OLS-Sch¨
atzmethode, drei Spezialf¨
alle und Erweiterungen
Aufgabe B.2.1
Das OLS-Methode f¨
ur das simple lineare Regressionsmodell minimiert die Funktion,
(a)
(b) (
(c)
(d)
n
2
i=1 (Yi − β0 − β1 Xi )
n
2
ˆ
ˆ
i=1 Yi − β0 − β1 Xi )
n
2
ˆ
ˆ
i=1 (Yi − β0 − β1 Xi )
n
2
ˆ
ˆ
i=1 (Yi − β0 − β1 Xi )
Aufgabe B.2.2
Sie haben anhand der OLS-Methode die Parameter β0 sowie β1 des Modells: Yi = β0 +
β1 Xi + i gesch¨
atzt. Welche der folgenden Eigenschaften treffen im Allgemeinen zu?
(a)
(b) (
(c)
(d)
n
2
i=1 ˆi = 0
2
n
i=1 ˆi ) = 0
n
i=1 ˆi Xi = 0
n
ˆ
i=1 ˆi Yi = 0
Aufgabe B.2.3
Sie m¨ochten das simple lineare Regressionsmodell
Yi = β0 + β1 Xi + i ,
i = 1, . . . , N
mit der OLS-Methode sch¨
atzen. Die OLS-Methode kann aber nur angewendet werden,
um beide Parameter β0 und β1 zu sch¨atzen, . . .
(a)
(b)
(c)
(d)
. . . wenn
. . . wenn
. . . wenn
. . . wenn
die Annahmen des simplen Regressionsmodells (SR.1)–(SR.3) erf¨
ullt sind
wir eine Stichprobe der Gr¨osse n ≥ 2 gezogen haben
die Variation in Xi gr¨
osser als Null ist.
alle der obigen Aussagen zutreffen.
Hinweis: N bezeichnet die Gr¨
osse der Grundgesamtheit und n die Gr¨osse der gezogenen
Stichprobe.
Daniel Wochner
16
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.2.4
Sie erheben eine Stichprobe bez¨
uglich Ausbildung (gemessen in Jahren) und dem monatlichen Einkommen (gemessen in 1’000 CHF) von n = 5 Personen aus Ihrem Umfeld
und erhalten folgende Angaben
Individuum, i
Ausbildung [Jahre], Xi
Einkommen [Tausend CHF], Yi
1
8
7.0
2
10
8.0
3
10
12.0
4
12
12.0
5
14
18.0
Sch¨atzen Sie die lineare Regression: Yi = β0 + β1 Xi + i anhand den Ihnen gegebenen
Stichprobendaten. Geben Sie Ihr Endresultat auf zwei Dezimalstellen genau an.
Aufgabe B.2.5
Sie und Ihre zwei Kolleginnen halten die Anzahl gelernter Stunden sowie die erzielten
Note an der Pr¨
ufung fest. Ihre Stichprobe von n = 3 Personen ergibt folgende Daten:
Individuum, i
Lernaufwand [Std.], Xi
Punkte [Pkt.] , Yi
1
30
4.50
2
45
5.00
3
60
5.50
Sch¨atzen Sie das Modell Yi = β0 +β1 Xi + i . Wie lautet die Vorhersage, Yˆi , Ihres Modells
f¨
ur Individuum i = 2? Wie gross ist ˆ2 ? Geben Sie Ihre Endresultate f¨
ur Yˆ2 und ˆ2 auf
zwei Dezimalstellen genau an.
Aufgabe B.2.6
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a) Die Funktion des globalen Fehlers, S(·), ¨andert sich, wenn neue Beobachtungen
hinzugezogen werden.
(b) Die Funktion des globalen Fehlers, S(·), ¨andert sich, wenn βˆ0 und βˆ1 variiert werden.
(c) Der Funktionswert des globalen Fehlers, ¨andert sich, wenn βˆ0 und βˆ1 variiert werden.
(d) Der globale Fehler, also die Funktion S(·), tangiert die (βˆ0 , βˆ1 )-Ebene, wenn perfekte
Korrelation zwischen Xi und Yi vorliegt.
Daniel Wochner
17
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.2.7
Sie haben Daten zu n Personen bez¨
uglich deren Einkommen und Ausbildung erhalten
und stehen vor der Sch¨
atzung der Parameter β0 sowie β1 . Wie lauten die entsprechenden
Sch¨atzungen, βˆ0 sowie βˆ1 , wenn der globale Fehler gegeben ist durch,
3
S βˆ0 , βˆ1 = · βˆ0
2
2
+ 2 · βˆ1
2
+ 2 · βˆ0 · βˆ1 − 16 · βˆ0 − 12 · βˆ1 + 4
Hinweis: Der globale Fehler entspricht der Summe der quadrierten Residuen.
Aufgabe B.2.8
¨
Gehen Sie von der vorherigen Aufgabenstellung aus. Andert
sich der gesch¨atzte Wert
f¨
ur βˆ1 in einem ‘No-Intercept’ Modell, d.h. wenn wir β0 = 0 annehmen?
(a) Nein, er ¨
andert sich nicht, da der globale Fehler durch die Restriktion nicht ¨andert.
(b) Ja, er a
¨ndert sich, weil das Minimierungsoptimum von βˆ1 nicht dasselbe bleibt.
¨
(c) Keine Anderung
findet nur dann statt, wenn das Interzept im klassischen Regressionsmodell tats¨
achlich auf βˆ0 = 0 gesch¨atzt wurde.
(d) Ohne weitere Annahmen u
¨ber die funktionale Form trifft keine der obigen Aussagen
zu.
Hinweis: Wenn Sie vorherige Aufgabe nicht l¨osen konnten, nehmen Sie an Sie h¨atten in
Aufgabe B.2.7. βˆ0 = 2.10 erhalten.
Aufgabe B.2.9
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
(a) Sie sch¨
atzen das Regressionsmodell Yi = β0 + β1 Xi + i , wobei zwischen Xi und
Yi eine perfekt negative Korrelation vorliegt. In diesem Modell ist die Summe der
quadrierten Residuen Null, i.e. ni=1 ˆ2i = 0.
(b) Sie sch¨
atzen das Regressionsmodell Yi = β0 + β1 Xi + i , wobei zwischen Xi und Yi
keine perfekte Korrelation vorliegt. In diesem Modell ist die Summe der quadrierten
Residuen Null, i.e. ni=1 ˆ2i = 0.
(c) Sie sch¨
atzen das Regressionsmodell Yi = α1 Xi + i . In diesem Modell ist die Summe
der Residuen Null, i.e. ni=1 ˆi = 0.
(d) Sie sch¨
atzen das Regressionsmodell Yi = γ0 + i . In diesem Modell ist die Summe
der Residuen Null, i.e. ni=1 ˆi = 0.
Daniel Wochner
18
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.2.10
Sie sch¨atzen anhand einer Stichprobe von n = 100 das folgende ‘No-Intercept’-Regressionsmodell,
Yi = α1 Xi + νi
n
ˆ 1 Xi )2 , ist in folgender Abbildung f¨
ur eine
Der globale Fehler, S(ˆ
α1 ) =
i=1 (Yi − α
Stichprobe der Gr¨
osse n grafisch dargestellt. Ermitteln Sie den numerischen Wert des
OLS-Sch¨
atzers, α
ˆ 1 , und geben Sie den Absolutwert der Residuen-Quadratsumme, RSS,
an.
9
S(α
ˆ1)
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
α
ˆ1
−4 −3 −2 −1
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
9
Abbildung (zu Aufgabe B.2.10): Globaler Fehler im ‘No-Intercept’ Modell
Aufgabe B.2.11
Betrachten Sie erneut ‘No-Intercept’ Regressionsmodell aus vorheriger Aufgabenstellung.
Der Funktionsverlauf des globalen Fehlers deutet auf folgende Eigenschaften:
(a) Es liegt eine negative Beziehung zwischen Xi und Yi vor.
(b) Liegt eine negative Beziehung zwischen Xi und Yi vor, so ist der Funktionswert des
globalen Fehlers, S(ˆ
α1 ), negativ im Minimierungsoptimum.
(c) Das Hinzuf¨
ugen eines grossen (negativen) Aussreissers, νˆi < 0, verschiebt die Funktion nach unten.
(d) Keine der obigen Aussagen ist korrekt.
Daniel Wochner
19
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.2.12
Der globale Fehler sei gegeben durch,
n
S φˆ =
n
ˆ2i
(Yi − φˆ )2
=
i=1
i=1
ˆ f¨
Wie lautet dann der OLS-Sch¨
atzer, φ,
ur φ?
Aufgabe B.2.13
Sie sch¨atzen vier Regressionsmodelle anhand derselben Daten:
Modell (A) : Yi = β0 + β1 Xi +
i
Modell (B) : Yi = δ1 Xi + ξi
¨ i + νi
Modell (C) : Y¨i = α1 X
Modell (D) : Yi = γ0 + τi
¨ i = Xi − X
¯ und Y¨i = Yi − Y¯ den Mittelwert-transformierten Variablen entwobei X
sprechen. Gehen Sie davon aus, dass zwischen Xi und Yi ein positiver Zusammenhang
existiert. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
Modell (A) und (C) sind mathematisch identisch.
¯ Y¯ ).
Modell (A) und (B) verlaufen durch den Mittelwert-Punkt (X,
Modell (D) erhalten wir durch eine lineare Restriktion von Modell (C).
Modell (D) hat eine mindestens so grosse Residuen-Quadratsumme wie Modell (A),
d.h. RSS(D) ≥ RSS(A) .
Aufgabe B.2.14
¯ = 2 und Y¯ = 1, wobei X
¯ sowie Y¯ den Mittelwert der
Gegeben sei eine Stichprobe mit X
Variablen X bzw. Y bezeichnen. Sie sch¨atzen das Regressionsmodell Yi = β0 + β1 Xi +
ur das gesch¨
atzte Interzept: βˆ0 = 0. Geben Sie basierend auf diesen
i und erhalten f¨
Angaben an, wie der vorhergesagte Y -Wert, Yˆi , f¨
ur eine Beobachtung mit Xi = 4 lautet.
Daniel Wochner
20
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
B.3. Regressionsstatistiken & Modellparameter
Aufgabe B.3.1
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Ein hohes R2 geht mit einer genauen Messung der Regressionskoeffizienten einher.
(b) Das Bestimmtheitsmass, R2 , gibt an, wie ‘gut’ die Regressionsgerade die Beobachtungspunkte beschreibt.
(c) Weil das R2 die Streuung der abh¨angigen Variable zerlegt, liegen bei einem R2 = 0.60
60% der Datenpunkte u
¨ber und 40% der Datenpunkte unter der Regressionsgeraden.
(d) Das Bestimmtheitsmass, R2 , misst, welcher Anteil der gesamten Streuung von Yi
durch den Regressor, Xi , erkl¨
art wird.
Aufgabe B.3.2
Sie betrachten das Bestimmtheitsmass, R2 , von folgendem simplen Regressionsmodell,
Yi = β0 + β1 Xi + i . Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
F¨
ur βˆ1 = 0 folgt, dass R2 = 0.
F¨
ur βˆ1 < 1 folgt, dass R2 < 1.
Es gilt, βˆ1 < 0 ⇐⇒ ρˆX,Y > 0.
2
2 ·σ
Es gilt, R2 = σ
ˆX,Y
·σ
ˆX
ˆY2 .
Aufgabe B.3.3
Sie betrachten das ‘No-Intercept’ sowie das ‘Constant-Only’ Modell,
‘Constant-Only’ Modell : Yi = γ0 + τi
‘No-Intercept’ Modell : Yi = α1 Xi + νi
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Das R2 im ‘Constant-Only’ Modell ist stets R2 = 1.00.
Das R2 im ‘No-Intercept’ und ‘Constant-Only’ Modell sind im Allgemeinen gleich.
Das R2 im ‘No-Intercept’ Modell kann gr¨osser werden als 1, i.e. R2 ∈ [0, ∞).
Im ‘Constant-Only’ Modell gilt, dass TSS = RSS.
Daniel Wochner
21
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.3.4
Sie sch¨atzen das Regressionsmodell,
Yi,M = β0,M + β1,M Xi,M +
i,M ,
i = 1, . . . , n
Die Datenpunkte sind in unten stehender Abbildung eingetragen und zeigen n = 6 Beobachtungen von M¨
annern bez¨
uglich XiM und YiM . Der Index, M , gibt an, dass es sich
um die Regression von M¨
annern handelt. Nehmen Sie f¨
ur die folgenden Berechnungen
an, dass Annahme (SR.4) der Homoskedastie erf¨
ullt sei, i.e. Var( i.M |Xi,M ) = σ 2 , ∀ i =
1, . . . , n.
11
Yi,M
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
Xi,M
1
-1
-1
0
1
2
2
3
3
4
4
5
6
5
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
12
Abbildung (zu Aufgabe B.3.4): Streudiagramm
L¨osen Sie folgende Aufgaben anhand den Ihnen gegebenen Informationen:
(i) Berechnen Sie die gesch¨
atzte Regressionsgerade, Yi,M = βˆ0,M + βˆ1,M Xi,M und
skizzieren Sie diese in obiger Abbildung.
(ii) Berechnen Sie die Residuen-Quadratsumme, RSSM , und skizzieren Sie die jeweiligen quadrierten Residuen in obiger Abbildung. Kalkulieren Sie danach das Be2 .
stimmtheitsmass, RM
Daniel Wochner
22
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Eine analoge Berechnung anhand eines Datensatzes von n = 6 Frauen ergibt eine
gesch¨atzte Regressionsgerade von:
Yi,F = 2 + 0.75Xi,F
Verwenden Sie zur Berechnung der Standardfehler der OLS-Sch¨atzer die unverzerrten
(und nicht die konsistenten Versionen)1 und l¨osen Sie folgende Aufgaben anhand den
Ihnen gegebenen Informationen:
(iii) Berechnen Sie das (1 − α)-Konfidenzintervall f¨
ur β1 (von der Regression f¨
ur
M¨
anner) zum Signifikanzniveau, α = 5%.
(iv) Verwirft der Hypothesentest, H0 : β1,M = 0.75 vs. HA : β1,M = 0.75 die
Nullhypothese zum Signifkanzniveau, α = 5%? Sie testen dadurch, ob der
Einfluss von Xi auf Yi bei M¨annern gleich hoch ist, wie bei Frauen.
Es sei erneut darauf hingewiesen, dass Sie f¨
ur Inferenz die Annahme der Homoskedastie
(SR.4) verwenden d¨
urfen. Geben Sie Ihre Endresultate bis auf zwei Dezimalstellen genau
an.
1
Der unverzerrte (und konsistente) Sch¨
atzer f¨
ur den Standardfehler der OLS-Sch¨
atzers teilt durch (n−1)
und der konsistente (aber verzerrte) Sch¨
atzer teilt durch n. F¨
ur den Sch¨
atzer des Standardfehlers des
OLS-Sch¨
atzers von βˆ0 existieren demnach zwei Versionen,
σ βˆ0 = µX 2 ·
σˆ2
,
2
(n − 1) · σX
und
σ βˆ0 = µX 2 ·
σˆ2
2
n · σX
F¨
ur n → ∞ konvergieren diese beiden Sch¨
atzer gegeneinander: limn→∞ n−1
= 1. Wenn n daher
n
sehr hoch ist, ist der Unterschied vernachl¨
assigbar. In dieser Aufgabe haben wir allerdings nur n = 6
Beobachtungen, daher verwenden wir die unverzerrten Versionen.
Daniel Wochner
23
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Repetitorium EWF – Mid-Term
B.4. Annahmen und Eigenschaften der OLS-Sch¨
atzer
Aufgabe B.4.1
Sie haben die Annahmen des simplen Regressionsmodells kennen gelernt. Welche der
folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Die Annahmen (SR.1)–(SR.3) erm¨oglichen uns die OLS-Sch¨atzer berechnen zu k¨onnen.
(b) Die Annahmen (SR.1)–(SR.3) erlauben uns Eigenschaften und Verhaltensweisen der
OLS-Sch¨
atzer in kleinen Stichproben (d.h. f¨
ur endliche n) zu studieren.
(c) Die Annahmen (SR.1)–(SR.3) erlauben uns Inferenz in kleinen Stichproben zu betreiben.
(d) Die Annahmen f¨
ur kleine Stichproben sind weniger stark als jene f¨
ur grosse Stichproben.
Aufgabe B.4.2
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Annahme
sind.
(b) Annahme
(c) Annahme
(d) Annahme
(SR.1) und (SR.2) implizieren, dass die Regressoren und Fehler korreliert
(SR.2) besagt, dass alle Paare (Xi , Yi ), i = 1, . . . , n identisch sind.
(SR.3) besagt, dass Ausreisser unwahrscheinlich sind.
(SR.4) impliziert homoskedastische Fehlerterme.
Aufgabe B.4.3
In der Vorlesung haben Sie den OLS-Sch¨atzer, βˆ1 , nach einigen Umformungen wie folgt
hergeleitet,
βˆ1 = β1 +
n
¯
i=1 (Xi − X) i
n
¯ 2
i=1 (Xi − X)
≡Φ
Welche der folgenden Aussagen treffen bez¨
uglich den Eigenschaften des OLS-Sch¨atzers,
βˆ1 , zu?
(a) Unter der Annahme (SR.1) verschwindet Φ asymptotisch, i.e. f¨
ur n → ∞.
ˆ
(b) Unter den Annahmen (SR.1) und (SR.3) folgt E[β1 ] = β1 .
p
(c) Unter den Annahmen (SR.1) und (SR.2) folgt βˆ1 −→ β1 .
(d) Unter den Annahmen (SR.1)–(SR.3) ist βˆ1 erwartungstreu und konsistent.
Daniel Wochner
24
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.4.4
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Ist ein Sch¨
atzer erwartungstreu so ist er stets auch konsistent.
(b) Ein effizienter Sch¨
atzer ist stets unverzerrt.
(c) Ein Sch¨
atzer ist konsistent, wenn er in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameter konvergiert, f¨
ur n → ∞.
(d) Ein Sch¨
atzer ist unverzerrt, wenn er im Mittel dem wahren Parameter entspricht.
Aufgabe B.4.5
Unter den erweiterten SR-Annahmen, (SR.1)–(SR.5), gilt, dass die OLS-Sch¨atzer . . .
(a)
(b)
(c)
(d)
. . . unverzerrt und konsistent sind.
. . . varianz-minimal sind.
. . . exakt normalverteilt und effzient sind.
Alle der obigen Aussagen treffen zu.
Aufgabe B.4.6
Gehen Sie davon aus, Annahmen (SR.1)–(SR.3) seien erf¨
ullt. Was wird durch Hinzunahme der Annahmen (SR.4) und (SR.5) zus¨
atzlich impliziert? Das heisst, was gilt unter
den Annahmen (SR.1)–(SR.5) neu, was zuvor unter (SR.1)–(SR.3) noch nicht galt.
(a) Der auf Xi konditionierte sowie unkonditionierte Erwartungswert der Fehler ist nun
Null.
(b) Die auf Xi konditionierte Varianz der Fehlerterme ist nun heteroskedastisch.
(c) Die Fehlerterme sind nun normalverteilt.
(d) Die Feherterme sind nun strikt exogen.
Aufgabe B.4.7
Die folgenden Ausf¨
uhrungen beziehen sich auf die Annahmen (SR.1)–(SR.2). Gehen Sie
davon aus, dass die beiden Annahmen (SR.1)–(SR.2) erf¨
ullt sind. Welche der folgenden
Aussagen sind f¨
ur alle i, j = 1, . . . , n korrekt?
(a) Es gilt, E[ i ] = 0 und die Fehlerterme sind mit den Regressoren unkorreliert, das
heisst Cov( i , Xj ) = 0.
(b) Die Fehlerterme stehen orthogonal zu den Regressoren, E[ i Xj ] = 0.
(c) Falls Cov(Xi , j ) = 0, so ist (SR.1) nicht erf¨
ullt.
(d) Alle obigen Aussagen sind korrekt.
Daniel Wochner
25
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.4.8
Welche der folgenden Aussagen trifft bez¨
uglich den Annahmen (SR.1)–(SR.4) zu? Gehen
Sie davon aus, dass bis auf die erw¨ahnten Verletzungen alle anderen Annahmen erf¨
ullt
sind.
(a) Ist Annahme (SR.2) verletzt, so sind die OLS-Sch¨atzer nicht mehr erwartungstreu
aber nach wie vor konsistent.
(b) Ist Annahme (SR.3) verletzt, so sind die OLS-Sch¨atzer dennoch erartungstreu.
(c) Ist Annahme (SR.4) verletzt, so sind die OLS-Sch¨atzer weder Varianz-minimal noch
effizient aber nach wie vor konsistent und erwartungstreu.
(d) Ist die Annahme (SR.1) verletzt, so sind die OLS-Sch¨atzer weder erwartungstreu
noch konsistent, aber nach wie vor effizient.
Aufgabe B.4.9
Beurteilen Sie anhand der untenstehenden zwei Gefahrendiagramme, welche Annahmen
des erweiterten SR-Annahme-Sets, (SR.1)–(SR.5), verletzt ist bzw. sind.
Cook's distance
40
Residuals vs Fitted
0.25
0.20
0.15
Cook's distance
404
0.10
0
-40
405
6
414
0.05
-20
Residuals
20
0.30
405
0.00
39
640
660
680
700
720
0
Fitted values
lm(testscr ~ avginc)
100
200
300
400
Obs. number
lm(testscr ~ avginc)
(A): Residuen-Diagramm
(B): Cook’s Distance Diagramm
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die Annahme der Exogenit¨
at ist verletzt.
Die Annahme der Zufallsstichprobe ist verletzt.
Die Annahme keiner perfekten Kollinearit¨at der Regressoren ist verletzt.
Keine der obigen Aussagen trifft zu.
Daniel Wochner
26
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.4.10
Sie sch¨
atzen ein simples lineares Regressionsmodell. Beurteilen Sie anhand der untenstehenden zwei Gefahrendiagramme, was der Datenpunkt mit Nummer 10 darstellt und
impliziert.
Residuals vs Fitted
Cook's distance
10
0.15
0.10
Cook's distance
100
50
Residuals
150
200
0.20
250
10
0
0.05
417
-50
80
412
0.00
7
645
650
655
660
665
0
Fitted values
lm(testscr ~ str)
100
200
300
400
Obs. number
lm(testscr ~ str)
(A): Residuen-Diagramm
(B): Cook’s Distance Diagramm
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die Beobachtung 10 hat ein extremes Xi .
Die Beobachtung 10 ist ein Ausreisser und/oder eine einflussreiche Beobachtung.
Die Entfernung von Beobachtung 10 senkt die Residuen-Quadratsumme.
Alle obigen Antworten sind korrekt.
Daniel Wochner
27
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.4.11
Das Normal-Quantil-Diagramm tr¨agt die theoretischen Quantile gegen die empirischen
Quantile ab. Anhand Ihrer gesch¨
atzten Regressionsgerade erhalten Sie folgendes NormalQuantil-Diagramm.
3
Normal Q-Q
1
0
-2
-1
Standardized residuals
2
417
6
-3
7
-2
-1
0
1
2
3
Theoretical Quantiles
lm(testscr ~ expn_stu)
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die Residuen sind normalverteilt.
Die Verteilung der Residuen weist ‘Heavy Tails’ auf.
Die Verteilung der Residuen weist ‘Light Tails’ auf.
Keine der obigen Aussagen treffen zu.
Hinweis: Die Bezeichnungen ‘Heavy Tails’ bzw. ‘Light Tails’ deuten darauf hin, dass im
Vergleich zur Normalverteilung tendenziell mehr bzw. weniger Gewicht in den Enden
der Verteilung liegen.
Daniel Wochner
28
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.4.12
Gehen Sie davon aus Sie haben eine Zufallsstichprobe von n = 420 Individuen erhoben
und sch¨
atzen das folgende simple Regressionsmodell:
Yi = β0 + β1 Xi +
i
Um zu u
ufen, welche Eigenschaften die OLS-Sch¨atzer in Ihrem Modell besitzen,
¨berpr¨
u
ufen Sie anhand der folgenden vier (Gefahren-)Diagramme inwiefern die erweiter¨berpr¨
ten Annahmen des simplen Regressionsmodells, (SR.1)–(SR.5), erf¨
ullt sind.
Normal Q-Q
4
Residuals vs Fitted
417
416
-40
-2
0
Standardized residuals
0
-20
Residuals
20
2
40
273
145
6
-60
239
610
620
630
640
650
660
-3
-2
-1
Fitted values
lm(testscr ~ el_pct)
0
(A): Residuen-Diagramm
2
3
(B): Normal-Quantil Diagramm
Cook's distance
0.020
Scale-Location
6
262
0.010
Cook's distance
0.0
0.000
0.5
0.005
1.0
417
31
0.015
1.5
417
416
Standardized residuals
1
Theoretical Quantiles
lm(testscr ~ el_pct)
610
620
630
640
650
660
0
Fitted values
lm(testscr ~ el_pct)
100
200
300
400
Obs. number
lm(testscr ~ el_pct)
(C): Verfeinertes Residuen-Diagramm
(D): Cook’s Distance Diagramm
Welche der folgenden Aussagen treffen eindeutig zu?
(a) Die Annahme der Exogenit¨
at, (SR.1), ist verletzt.
(b) Die Annahme keiner extremen Ausreisser, (SR.3), ist verletzt.
(c) Die Annahme homoskedastischer Fehlerterme, (SR.4), ist verletzt.
(d) Die Annahme normalverteilter Fehlerterme, (SR.5), ist verletzt.
Daniel Wochner
29
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.4.13
Beziehen Sie sich erneut auf vorherige Aufgabenstellung. Im Bezug auf Ihre obige Analyse
und Inspektion, welche Konsequenzen zieht Ihre Analyse nach sich?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die
Die
Die
Die
OLS-Sch¨
atzer
OLS-Sch¨
atzer
OLS-Sch¨
atzer
OLS-Sch¨
atzer
sind
sind
sind
sind
verzerrt.
inkonsistent.
nicht mehr Varianz-minimal.
(in kleinen Stichproben) nicht mehr normalverteilt.
Aufgabe B.4.14
Beziehen Sie sich erneut auf die beiden vorherigen Aufgabenstellungen. Wie begegnen
Sie dem erkannten bzw. den erkannten Problem(en)?
(a) Da Endogenit¨
at vorliegt, m¨
ussen wir unser Modell neu spezifizieren und dem Modell
weitere Variablen hinzuf¨
ugen.
(b) Da Heteroskedastie vorliegt, m¨
ussen f¨
ur jegliche inferenziellen Analysen Heteroskedastierobuste Standardfehler verwendet werden.
(c) Da extreme Ausreisser vorliegen, m¨
ussen die Daten um Ausreisser bereinigt werden.
(d) Da keine Normalit¨
at der Fehlerterme vorliegt, wir aber dennoch bereits u
¨ber hohes
n verf¨
ugen, sind die OLS-Sch¨
atzer bereits approximativ normalverteilt.
Daniel Wochner
30
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
B.5. Stichprobenverteilungen, Varianzen und Inferenz
Aufgabe B.5.1
Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Nehmen Sie an, die Annahme (SR.4) der
Homoskedastie sei erf¨
ullt. Die Varianz des OLS-Sch¨atzers f¨
ur βˆ1 , σ
˜β2ˆ , wird ceteris paribus
1
(a)
(b)
(c)
(d)
. . . gr¨
osser, je gr¨
osser n ist.
. . . gr¨
osser, je gr¨
osser der Abstand zum Ursprung, µX 2 , ist.
. . . kleiner, je kleiner die Fehlerterm-Varianz, σ 2 , ist.
2 , ist.
. . . kleiner, je kleiner die Varianz der Regressoren, σX
Aufgabe B.5.2
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a) Liegen Anzeichen von Heteroskedastie vor, so werden die Varianzen der OLS-Sch¨atzer
verzerrt gesch¨
atzt, wenn die nicht-Heteroskedastie robusten Varianzen verwendet
werden.
(b) Die heteroskedastie-robuste Varianz ist ein Spezialfall der nicht-heteroskedastierobusten Varianz.
(c) Unter den Annahmen (SR.1)–(SR.4) haben die OLS-Sch¨atzer die kleinsten Varianzen
unter allen linearen unverzerrten Sch¨atzern.
(d) Der Sch¨
atzer f¨
ur den Standardfehler der Regression zum Quadrat, σ 2 , ist ein unverzerrter Sch¨
atzer f¨
ur die Varianz der Fehlerterme in der Grundgesamtheit.
Aufgabe B.5.3
Nehmen Sie an, es gelten die erweiterten SR-Annahmen, (SR.1)–(SR.5), und sie m¨
ussen
Ihren Sch¨
atzer, βˆ1 , zur Durchf¨
uhrung von Hypothesentests standardisieren. Welche der
folgenden Aussagen ist dann wahr?
(a) Die entsprechend standardisierte Zufallsvariable folgt einer T(df) -verteilung.
(b) Unter den erweiterten SR-Annahmen d¨
urfen wir Inferenz in kleinen Stichproben
durchf¨
uhren.
(c) F¨
ur kleine n sind die auf der T(df) -Verteilung basierenden kritischen Werte gleich,
wie jene basierend auf der Standardnormalverteilung.
(d) Die T(df) -Verteilung konvergiert f¨
ur n → ∞ gegen eine Standardnormalverteilung.
Daniel Wochner
31
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.5.4
Sie ziehen eine Stichprobe von n = 12 Personen und messen deren Gewicht (Y , in kg)
und K¨orpergr¨
osse (X, in cm) m¨
ochten das Gewicht der Person durch deren K¨orpergr¨osse
erkl¨aren.
Yˆi = −100 + 1.00 · Xi ,
R2 = 0.64
Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Gehen Sie davon aus, Annahmen (SR.1)–
(SR.3) seien erf¨
ullt.
(a)
(b)
(c)
(d)
Inferenz ist in diesem Modell zul¨assig.
Das vorhergesagte Gewicht einer Person mit K¨orpergr¨osse 180cm ist Yˆi = 80 kg.
Die Stichproben-Korrelation betr¨agt rx,y = 0.80.
Alle obigen Antworten sind korrekt.
Aufgabe B.5.5
Sie sch¨atzen Ihre Daten mit dem Statistik-Programm R und erhalten folgenden Regressionsoutput:
Coefficients:
(Intercept)
X
Estimate
(i)
0.1801
Std.Error
2.1738
(iii)
z-value
1.2600
5.7540
PR(>|z|)
(ii)
0.0001
wobei (Intercept) f¨
ur die Regressionskonstante und X f¨
ur den Regressor steht. Die
entsprechende Varianz-Kovarianz-Matrix ist gegeben durch,
Covariance Matrix:
COV
(Intercept)
X
(Intercept)
(iv)
-0.0668
X
-0.0668
0.0010
Leider sind dabei einige Eintr¨
age (i)-(iv) verloren gegangen. Welche der folgenden
Aussagen sind korrekt? Beachten Sie, dass starke Anzeichen f¨
ur Heteroskedastie vorliegen, Sie Ihre Sch¨
atzungen aber dementsprechend angepasst haben.
(a)
(b)
(c)
(d)
Wert
Wert
Wert
Wert
(i) = 2.7390
(ii) = 0.2076
(iii) = (iv) = 4.7254
Hinweis: Das Zeichen ‘-’ unter Antwort (c) meint, dass der Wert anhand der gegebenen
Informationen nicht berechnet werden kann.
Daniel Wochner
32
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.5.6
Sie erheben Daten von n = 100 Personen bez¨
uglich X und Y und erhalten eine Sch¨atzung
des Steigungskoeffizienten von b1 = 5.10 und eine Stichproben-Standardabweichung Ihrer Sch¨atzung von sβˆ1 = 3.50. Berechnen Sie das entsprechende 70%-Konfidenzintervall
f¨
ur β1 und geben Sie die Bandbreiten bis auf zwei Dezimalstellen genau an.
Aufgabe B.5.7
Sie ziehen eine Stichprobe von n Individuen aus der Grundgesamtheit und berechnen basierend auf der Stichprobe ein Konfidenzintervall f¨
ur β0 . Welche der folgenden Aussagen
treffen zu?
(a) Das berechnete Konfidenzintervall enth¨alt den wahren Parameter β0 .
(b) Das berechnete Konfidenzintervall enth¨alt den wahren Parameter β0 nicht.
(c) Das berechnete Konfidenzintervall enth¨alt den wahren Parameter β0 mit Wahrscheinlichkeit (1 − α) · 100 Prozent.
(d) Keine der obigen drei Antwortm¨oglichkeiten trifft zu.
Aufgabe B.5.8
Nehmen Sie an, Sie berechnen ein Konfidenzintervall f¨
ur β1 basierend auf n Beobachtungen. Welche der folgenden ceteris-paribus Ver¨anderungen des Konfidenzintervalls f¨
uhren
zu einem k¨
urzeren Konfidenzintervall?
(a)
(b)
(c)
(d)
Erh¨
ohung des Signifikanzniveaus α.
Eine Verringerung des Stichprobenumfangs, n.
Eine Verschiebung der Sch¨
atzung, b1 , um eine Konstante θ < 0.
α
Eine Erh¨
ohung von z1− 2 .
Aufgabe B.5.9
Sie ziehen eine Stichprobe von n = 102 Personen und regressieren Y auf eine Konstante
und X und sch¨
atzen somit das folgende gesch¨atzte Regressionsmodell,
Yi = β0 + β1 Xi + i ,
i = 1, . . . , N
Ihnen sind ausserdem folgende Kennzahlen bekannt: Der Funktionswert des globalen Fehlers ihrer Regression, S(b0 , b1 ) = 1600, die Stichprobenvarianz von X bzw. Y , s2X = 16
bzw. s2Y = 144 und der Determinationskoeffizient, R2 = 0.64. Wie lautet dann das
gesch¨atzte 99%-Konfidenzintervall f¨
ur β1 ?
Nehmen Sie an, Ihre Daten weisen starke Anzeichen f¨
ur homosekdastische Fehlerterme
auf. Geben Sie Ihr Endresultat auf zwei Dezimalstellen genau an.
Daniel Wochner
33
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.5.10
Betrachten Sie Ihr erhaltenes Resultat aus vorhergehender Aufgabe. Sie testen nun die
Null-Hypothese, H0 : β1 = 0 vs. HA : β1 = 0. Welche der folgenden Schl¨
usse k¨onnen
Sie ohne weitere Berechnungen direkt ziehen?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau α = 1% verworfen.
Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau α = 5% verworfen.
Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau α = 10% nicht verworfen.
Alle drei Antworten sind korrekt.
Hinweis: Falls Sie vorherige Aufgabe nicht l¨osen konnten, nehmen Sie an, das gesch¨atzte
99%-KonfidenzintervalI sei gegeben durch: ki = [2.20; 2.60] und beantworten Sie die Frage unter dieser Information.
Aufgabe B.5.11
Sie sch¨atzen das ‘Constant-Only’ Regressionsmodell,
Yi = γ0 + νi
und erhalten anhand Ihrer Stichprobe mit n = 150 Individuen eine Sch¨atzung von,
Yi = 3.00 + νˆi
uhren Sie einen
Ausserdem wissen Sie, dass die Residuenvarianz s2ˆ = 600 betr¨agt. F¨
Hypothesentest f¨
ur H0 : γ0 = 0 vs. HA : γ0 = 0. Wie lautet der entsprechende P -Wert?
Geben Sie Ihr Endresultat in Prozent bis auf zwei Dezimalstellen genau an.
Aufgabe B.5.12
Sie f¨
uhren einen Hypothesentest der Form: H0 : β0 = 0 vs. HA : β0 = 0 und erhalten
einen (zweiseitigen) P -Wert von P W2S . Sie k¨onnen ihre Hypothese allerdings zu α = 5%
nicht verwerfen. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
Der zweiseitige P -Wert ist gr¨
osser als α
Die Test-Statistik ist standard-normalverteilt
Eine massive Erh¨
ohung des Stichprobenumfangs n, kann zu einer Verwerfung f¨
uhren
b
α
|z 2 | ist kleiner als Ihre berechnete Test-Statistik im Absolutbetrag |z |
Hinweis: P W2S meint hier den P -Wert f¨
ur des (zweiseitigen) Hypothesentests, also
b
ˆ
P W2S = 2 · P (β0 ≥ |b0 |) = 2 · P (Z ≥ |z |) .
Daniel Wochner
34
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.5.13
Sie f¨
uhren einen zweiseitigen Hypothesentest der Form H0 : β1 = β10 vs. HA : β1 = β10 .
Welche der folgenden certeris-paribus Aussagen sind dann zum Signifikanzniveau α = 5%
korrekt?
(a) Wenn Sie β10 beliebig erh¨
ohen (potentiell unendlich gross wird), so wird jede Nullhypothese verworfen.
(b) Wenn Sie n beliebig erh¨
ohen (potentiell unendlich gross), so wird jede Nullhypothese
0
mit b1 = β1 verworfen.
(c) Wenn Ihre Sch¨
atzung b1 = 0 betr¨agt, wird der Hypothesentest f¨
ur β10 = 0 unabh¨angig
von der Stichprobengr¨
osse die Nullhypothese niemals verwerfen k¨onnen.
(d) Alle obigen Aussagen treffen zu.
Hinweis: ‘Ceteris paribus’ meint, dass wir nur diesen einen Faktor ver¨andern und dabei
alle anderen Faktoren konstant halten.
Aufgabe B.5.14
Sie f¨
uhren einen zweiseitigen Signifikanztest der Form H0 : β0 = 0 vs. HA : β0 = 0 und
erhalten einen P -Wert von P W = 3%. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
(a)
(b)
(c)
(d)
Die
Die
Die
Die
H0
H0
H0
H0
wird
wird
wird
wird
zum
zum
zum
zum
Signifikanzniveau
Signifikanzniveau
Signifikanzniveau
Signifikanzniveau
α = 30% verworfen
α = 10% verworfen
α = 5% angenommen
α < 1% angenommen
Hinweis: Beachten Sie, dass es sich hierbei um einen Signifikanztest handelt, i.e. β00 = 0.
Aufgabe B.5.15
Betrachten Sie erneut die Aufgabenstellung aus vorhergehender Aufgabe. Sie erfahren
nun, dass der gesch¨
atzte Wert b0 = 1.50 betr¨agt und der P -Wert vom zweiseitigen
Signifikanztest nach wie vor P W2S = 3% sei. Sie m¨ochten nun von einem zweiseitigen
auf einen einseitigen Hypothesentest schliessen. Welche der folgenden Aussagen sind
dann zul¨
assig?
(a)
(b)
(c)
(d)
Der
Der
Der
Der
rechtsseitige Signifikanztest weist einen P -Wert von P WRS = 1.5% auf.
rechtsseitige Signifikanztest verwirft die H0 zum Signifikanzniveau 5%.
linksseitige Signifikanztest weist einen P -Wert von P WLS = 98.5% auf.
linksseitige Signifikanztest verwirft die H0 zum Signifikanzniveau 5% nicht.
Daniel Wochner
35
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Repetitorium EWF – Mid-Term
Aufgabe B.5.16
Sie haben das folgende Konfidenzintervall f¨
ur β1 basierend auf einer Stichprobe von n =
360 Individuen berechnet und erhalten: ki = [k; k] = [−0.3; 2.4] zum Signifikanzniveau
α = 5%. Sie betrachten ausserdem den Hypothesen-Test: H0 : β1 = 2 vs. HA : β1 = 2.
Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
(a)
(b)
(c)
(d)
β1 ist nicht statistisch signifikant verschieden von Null zu α = 5%.
Der zweiseitige Hypothesen-Test wird die H0 -Hypothese zu α = 5% nicht verwerfen.
Der P -Wert f¨
ur den zweiseitigen Hypothesentest ist kleiner als α = 5%.
Aus den gegebenen Informationen k¨onnen wir derartige Aussagen nicht ableiten.
Aufgabe B.5.17
Basierend auf einer Stichprobe mit n = 500 Beobachtungen f¨
uhren Sie eine Sch¨atzung
von Y auf eine Konstante und Regressor X durch und erhalten aus dem StatistikProgramm R folgenden Output,
Call:
lm(formula= Y ∼ X)
Residuals:
Min
-47.7270
1Q
-14.2510
Median
0.4830
3Q
12.8220
Max
48.5400
Estimate
698.9330
-2.2798
Std.Error
9.4675
-----
z-value
73.825
-----
PR(>|z|)
< 2e-16
-----
Coefficients:
(Intercept)
X
Residual standard error: 18.58 on 418 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.0512, Adjusted R-squared: 0.0490
F-statistic: 22.58 on 1 and 418 DF, p-value: ----Leider sind dabei die Werte ‘-----’ verloren gegangen. Wie lautet der P -Wert f¨
ur folgenden Hypothesentest: H0 : β1 = 0 vs. HA : β1 = 0? Geben Sie Ihr Endresultat in
Prozent bis auf zwei Dezimalstellen genau an.
Daniel Wochner
36
Lions Exchange
Repetitorium EWF – Mid-Term
C. Multiples Regressionsmodell
Die Aufgaben zum Part C: ‘Multiples Regressionsmodell’ sind im Aufgabenskript des
End-Term Repetitoriums enthalten.
Daniel Wochner
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Gesundheitswesen
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