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Algebra 1 - Mathematisches Institut der Universität Heidelberg

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Prof. Dr. Otmar Venjakob
Dr. Andreas Riedel
Christian R¨
uschoff
Universit¨
at Heidelberg
Mathematisches Institut
Algebra 1
Wintersemester 2014/2015
Aufgabenblatt 1
16. Oktober 2014
Aufgabe 1.
Es sei L/K eine beliebige K¨
orpererweiterung. Zeigen Sie:
(4 Punkte)
a) Es sei θ ∈ L. Dann gilt
f¨
ur jedes c ∈ K,
K(θ + c) = K(θ),
f¨
ur jedes c ∈ K × .
K(cθ) = K(θ),
b) Es sei [L : K] = p < ∞ prim. Dann gilt L = K(a), f¨
ur jedes a ∈ L\K.
Aufgabe 2.
Es sei L/K eine K¨
orpererweiterung und a, b ∈ L mit a · b = 0. Zeigen Sie:
(4 Punkte)
a) Existieren m, n ∈ N mit ggT(m, n) = 1, so dass am , bn ∈ K, so gilt K(a, b) = K(a · b).
b) Geben Sie ein Gegenbeispiel f¨
ur a) an, falls die Voraussetzung ggT(m, n) = 1 nicht erf¨
ullt ist.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
f
Es seien A und B Ringe und A −→ B ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie:
a) Ist A ein K¨
orper, so ist f injektiv.
b) Ist A ein K¨
orper, so ist dessen Charakteristik 0 oder eine Primzahl.
c) Die Charakteristik von A ist ein Vielfaches der Charakteristik von B.
d) Folgern Sie, dass es keinen Ringhomomorphismus zwischen zwei K¨orpern unterschiedlicher Charakteristik geben kann.
Hinweis: Die Charakteristik eines Rings R sei definiert als die kleinste nat¨
urliche Zahl n ≥ 1, so
dass in R die folgende Gleichheit gilt:
n = n · 1 = 1 + ... + 1 = 0.
n mal
Gibt es keine solche Zahl, so ist die Charakteristik als 0 definiert.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass die Cardanischen Formeln
1
x1 = (A + B),
3
1
x2 = (ζ 2 A + ζB),
3
1
x3 = (ζA + ζ 2 B)
3
die komplexwertigen L¨
osungen der Gleichung X 3 + pX + q = 0 berechnen, wobei ζ = e2πi/3 ,
A=
3
−
27
3√
q+
−3D,
2
2
B=
3
−
27
3√
q−
−3D,
2
2
D = −(4p3 + 27q 2 ).
b) Nutzen Sie diese Formeln, um die Gleichung x3 − 9x − 28 = 0 zu l¨osen.
√
√
3
3
c) Zeigen Sie, dass 54 + 30 · 3 + 54 − 30 · 3 eine ganze Zahl ist.
Hinweis: Benutzen Sie das kubische Polynom x3 − 2x − 4.
Homepage zur Vorlesung: www.mathi.uni-heidelberg.de/~rueschoff/ws14algebra1
Abgabe bis sp¨atestens 23. Oktober 2014 vor der Vorlesung, bei den K¨asten am Eingang von INF 288.
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Gesundheitswesen
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